高中数学 《抽样方法》教案(2) 北师大版必修3

统计、抽样方法

一、教学目标

1. 随机抽样。

2. 用样本估计总体。 3. 变量的相关性。

二、知识提要

1. 抽样

当总体中的个体较少时,一般可用简单随机抽样;当总体 中的个体较多时,一般可用系 统抽样;当总体由差异明显的几部分组成时,一般可用分层抽样,而简单随机抽样作为一种 最简单的抽样方法, 又在其中处于一种非常重要的地位 . 实施简单随机抽样, 主要有两种方法:抽签法和随机数表法 .

系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况,因为这时采用简单随机抽样就显得不方便, 系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系,即在将总体中的个体均匀分后的每一段进行 抽样时,采用的是简单随机抽样;与简单随机抽样一样,系统抽样也属于等概率抽样 .

分层抽样在内容上与系统抽样 是平行的,在每一层进行抽样时,采用简单随机抽样或系 统抽样,分层抽样也是等概率抽样 .

2. 样本与总体

用样本估计总体是研究统计问题的一种思想方法 . 当总体中的个体取不同数值很少时,其 频率分布表由所取样本的不同数值及其相应的频率来表示,其几何表示就是相应的条形图, 当总体中的个体取不同值较多,甚至无限时,其频率分布的研究要用到初中学过的整理样本 数据的知识 .

用样本估计总体,除在整体上用样本的频率分布去估计总体的分布以外,还可以从特征 数上进行估计,即用样本的平均数去估计总体的平均数,用关于样本的方差(标准差去估 计总体的方差(标准差 .

3. 正态分布

正态分布在实际生产、生活中有着广泛的应用,很多变量,如测量的误差、产品的尺寸 等服从或近似服 从正态分布,利用正态分布的有关性质可以对产品进行假设检验 .

4. 线性回归直线

设 x 、 y 是具有相关关系的两个变量,且相应于 n 组观察值的 n 个点大致分布在一条直线 的附近,我们把整体上这 n 个点最接近的一条直线叫线性回归直线 .

三、基础训练

1. 一个总体中共有 10个个体,用简单随机抽样的方法从中抽取一容量为 3的样本,则某 特定个体入样的概率是 (

A.

310

C 3

B.

8

9103

⨯⨯

C.

10

3 D.

10

1 2. (2004年江苏, 6某校为了了解学生的课外阅读情况,随机调查了 50名学生,得到 他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据, 结果用下面的条形图表示 . 根据条形图可得这 50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 (

h

A.0.6 h B.0.9 h C.1.0 h D.1.5 h

3. 如果随机变量 ξ~N (μ, σ2 ,且 E ξ=3, D ξ=1,则 P (-1<ξ≤ 1等于 ( A.2Φ(1-1 B.

Φ(4-Φ(2

C. Φ(2-Φ(4 D. Φ(-4-Φ(-2

4. . 为考虑广告费用 x 与销售额 y 之间的关系,抽取了 5家餐厅,得到如下数据:

现要使销售额达到 6万元,则需广告费用为 ______.(保留两位有效 数字

四、典型例题

【例 1】 某批零件共 160个,其中,一级品 48个,二级品 64个,三级品 32个,等外品 16个 . 从中抽取一个容量为 20的样本 . 请说明分别用简单随机抽样、 系统抽样和分层抽样法抽 取时总体中的每个个体被取到的概率均相同 .

【例 2】 已知测量误差 ξ~N (2, 100 (cm ,必须进行多少次测量,才能使至少有一次 测量误差的绝对值不超过 8 cm的频率大于 0.9?

五、达标检测

1. 对总数为 N 的一批零件抽取一个容量为 30的样本,若每个零件被抽取的概率为 0.25, 则 N 等于 (

A.150 B.200 C.120 D.100

2. 设随机变量 ξ~N (μ, σ ,且 P (ξ≤ C =P(ξ>C ,则 C 等于 (

A.0 B. σ C.-μ D.μ

3. (2003年全国, 14 某公司生产三种型号的轿车, 产量分别为 1200辆、 6000辆和 2000辆,为检验该公司的产品质量,现用分层抽样的方法抽取 46辆进行检验,这三种型号的轿车 依次应抽取 ______辆、 ______辆、 ______辆 .

4. 某厂生产的零件外直径 ξ~N (8.0, 1.52 (mm ,今从该厂上、下午生产的 零件中各随 机取出一个,测得其外直径分别为 7.9 mm和 7.5 mm,则可认为 (

A. 上、下午生产情况均为正常 B. 上、下午生产情况均为异常

C. 上午生产情况正常,下午生产情况异常 D. 上午生产情况异 常,下午生产情况正常 5. 随机变量 ξ服从正态分布 N (0, 1 ,如果 P (ξ<1 =0.8413,求 P (-1<ξ<0 .

6. 公共汽车门的高度是按照确保 99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的, 如果 某地成年男子的身高 ξ~N (173, 72 (cm ,问车门应设计多高?

基础训练

1.解析:简单随机抽样中每一个体的入样概率为

N

n . 答案:C

2.解析:一天平均每人的课外阅读时间应为一天的总阅读时间与学生数的比,即

50

5

0. 2105. 1100. 1205. 050⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=0.9 h.

答案:B

3.解析:对正态分布, μ=Eξ=3, σ2

=Dξ=1,故 P (-1<ξ≤ 1 =Φ(1-3-Φ(-1-3 =Φ(-2-Φ(-4 =Φ(4-Φ(2 .

答案:B

4.解析:先求出回归方程 y

ˆ=bx+a,令 y ˆ=6,得 x=1.5万元 . 答案:1.5万 元

典型例题

【例 1】 剖析:要说明每个个体被取到的概率相同,只需计算出用三种抽样方法抽取

个体时,每个个体被取到的概率 .

解:(1 简单随机抽样法:可采取抽签法, 将 160个零件按 1~160编号, 相应地制作

1~160号的 160个签,从中随机抽 20个 . 显然每个个体被抽到的概率为

16020=8

1

. (2系统抽样法:将 160个零件从 1至 160编上号,按编号顺序分成 20组,每组 8个 . 然后在第 1组用抽签法随机抽取一个号码,如它是第 k 号(1≤ k ≤ 8 ,则在其余组中分别抽

取第 k+8n(n=1, 2, 3,…, 19号,此时每个个体被抽到的概率为 8

1.

(3分层抽样法:按比例

16020=8

1

,分别在一级品、二级品、三级品、等外品中抽取 48×81=6个, 64×81=8个,

32×81=4个, 16×81=2个, 每个个体被抽到的概率分别为 486, 648, 324, 162,即都是 8

1. 综上可知,无论采取哪种抽样,总体的每个个体被抽到的概率都是 8

1

.

评述:三种抽样方法的共同点就是每个个体被抽到的概率相同,这样样本的抽 取体现了 公平性和客观性 .

思考讨论:现有 20张奖券,已知只有一张能获奖,甲从中任摸一张,中奖的概率为

20

1, 刮开一看没中奖 . 乙再从余下 19张中任摸一张,中奖概率为

19

1

,这样说甲、乙中奖的概率不 一样,是否正确 ?

【例 2】解:设 η表示 n 次测量中绝对误差不超过 8 cm的次数,则 η~B (n , p .

其中 P=P(|ξ|<8 =Φ(

1028--Φ(10

2

8-- =Φ(0.6-1+Φ(1 =0.7258-1+0.8413=0.5671.

由题意,∵ P (η≥ 1 >0.9, n 应满足 P (η≥ 1 =1-P (η=0 =1-(1-p n

>0.9,

∴ n>

5671. 01lg( 9. 01lg(--=4329

. 0lg 1

-=2.75.

因此,至少要进行 3次测量,才能使至少有一次误差的绝对值不超过 8 cm的概率大于 0.9. 达标检测

1.解析:∵

N

30

=0.25,∴ N=120. 答案:C

2.解析:由正态曲线的图象关于直线 x=μ对称可得答案为 D. 答案:D

3.解析:因总轿车数为 9200辆,而抽取 46辆进行检验,抽样比例为 920046=200

1

,而三 种型号的轿车有显著区别 . 根据分层抽样分为三层按

200

1

比例分别有 6辆、 30辆、 10辆 . 答案:6 30 10

4.解析:根据 3σ原则,在 8+3×1.5=8.45(mm 与 8-3×1.5=7.55(mm 之外时为异常 .

答案:C

5.解:∵ ξ~N (0, 1 ,∴ P (-1<ξ<0 =P(0<ξ<1 =Φ(1-Φ(0 =0.8413-0.5=0.3413.

6.解:设公共汽车门的设计高度为 x cm,由题意,需使 P (ξ≥ x <1%.

∵ ξ~N (173, 72

,∴ P (ξ≤ x =Φ(7

173

-x >0.99. 查表得

7

173

-x >2.33,∴ x >189.31,即公共汽车门的高度应设计为 190 cm ,可确保 99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞 .