七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二十一讲 应用题(含答案)

第21讲二元一次方程组的应用（2）——数字、行程、销售问题培优训练1．某校初一年级到礼堂开会，若每条长凳坐5人，则少8条长凳，若每条长凳坐6人，则有多两条长凳，，若设学生人数为x，长凳数为y，由题意有方程组（）.A.585662x yx y=-⨯⎧⎨=+⨯⎩B.585662x yx y=+⨯⎧⎨=-⨯⎩C.5862x yx y=+⎧⎨=-⎩D.5862x yx y=-⎧⎨=+⎩2.设学校购买35张电影票共用250元，其中甲种票每张8元，乙种票每张6元，设甲种票为x张，乙种票为y张，则例方程组，方程组的解为 .3.有一个两位数和一个一位数，如果在这个一位数后面多写一个O，则它和这个两位数的和是146，如果这个两位数除以这个一位数，则商是6余数为2，求这个两位数和一位数.4.如图，一个长方形有7个形状完全相同的小长方形拼成，大长方形的周长为34，求小长方形的长和宽.5.汽车在平路上每小时行30千米，上坡时每小时行28千米，下坡时每小时行35千米，现在行驶142千米的路程用去4小时30分钟，回来使用4小时42分钟，问这段路中平路有多少千米？去时上、下坡各有多少千米？6. 快慢两列火车的长分别是150米和200米，相向行驶在平行轨道上．若坐在慢车上的人见快车驶过窗口的时间是6秒，那么坐在快车上的人见慢车驶过窗口所用的时间是多少？竞赛训练7.刘玉蕾在超市买了4包酸奶和4包鲜奶，共付款14元，后来她退了2包酸奶，再买4包鲜奶，收银员找还给她1元，每包酸奶的价格是元．8.（“希望杯”竞赛）男女运动员各一位，在环形跑道上练习长跑，男运动员比女运动员速度快．如果他们从同一起跑点沿相反的方向同时出发，那么每隔25秒钟相遇一次．现在，他们从同一起跑点沿相同方向同时出发．男运动员经过15分钟追上女运动员，并且比女运动员多跑了16圈，此时，女运动员跑了圈.9.有一个正在向上匀速移动的自动扶梯，旅客A从其顶端往下匀速行至其底端，共走了60级，B从其底端往上匀速行至其顶端，共走了30级（扶梯行驶，两人也在梯上行走，且每次只跨l级），且A的速度（即单位时间所走的级数）是B的速度的3倍，那么自动扶梯露在外面的级数是 .10.一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶km．11.（1）列式表示积分与胜、负场数之间的数量关系.（2）是否某队的胜场总积分是否等于它的负场总积分？（3）某队的负场总积分是否会等于它胜场积分的整数倍？如果存在，求此时胜、负场的情况.（4）某队的胜场总积分是否会等于它负场积分的整数倍？如果存在，求此时胜、负场的情况.12.某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果．8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，l千克C水果．已知A水果每千克2元，B水果每千克1.2元，C水果每千克10元．某天该商店销售这三种搭配水果共441.2元．其中A水果的销售额为116元，问C水果的销售额为多少元？第21讲二元一次方程组的应用（2）——数字、行程、销售问题 答案1. B2.3586250x y x y +=⎧⎨+=⎩，2015x y =⎧⎨=⎩.[提示（1）（甲种票+乙种票）数量=35；（2）（甲种票+乙种票）金额=250元.]3. 设这个两位数为x ，一位数为y ，依题意得1014662x y x y +=⎧⎨=+⎩，得569x y =⎧⎨=⎩，这个两位数为56，一位数为9.4.设小长方形的长为x ，宽为y ，依题意得254734x y x y =⎧⎨+=⎩，解得52x y =⎧⎨=⎩，所以小长方形的长、宽分别为5,2.5. 解：设去时上坡路是x 千米，下坡路是y 千米，平路是z 千米．依题意得：1421428353027435283010x y z xy z x y z ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩＋＋＝＋＋＝＋＋＝解得427030x y z ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝答：这段路的去时上坡路是42千米，下坡路是70千米，平路是30千米． 6.解：设坐在快车上的人见慢车驶过窗口所用的时间为x 秒．1502006x=，解得x ＝8， 经检验x ＝8是原分式方程的解．7. 2.5.[提示：设每包酸奶x 元，鲜奶元，则()4414421x y x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩， 2.51x y =⎧⎨=⎩]8. 10.[提示：设女运动员跑了x 圈，则男运动员跑了（x ＋16）圈，则：x ＋x ＋16＝15×60÷25，解得：x ＝10．故答案为：10．][提示：设女运动员速度1v ，则男运动员速度2v 跑道长s ，依题意得121225156016sv v v v s s ⎧=⎪+⎪⎨⎛⎫⎪-⨯⨯= ⎪⎪⎝⎭⎩于是236161560102v s -⨯⨯==.] 9.解：设扶梯的速度为x 级/分，旅客B 的速度为y 级/分，扶梯外面的级数为n ，则606033030n y xn yx -⎧⎪⎪⎨-⎪⎪⎩＝＝两式相除得：260330n n --＝解得：n ＝48，经检验得n ＝48是方程的根．故答案为：48．10.解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ，则安装在前轮的轮胎每行驶1km 磨损量为5000k，安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000k．又设一对新轮胎交换位置前走了xkm ，交换位置后走了ykm ．分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，有5000300050003000kx ky k ky kx k⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋＝＋＝两式相加，得()(25000300)0k x y k x y k ＋＋＋＝则237501150003000x y ＋＝＝＋ 11.（1）如果一个队胜m 场，则负（14-m ）场，胜一场2分，负一场1分，故胜场积分2m ，负场积分（14-m ）总积分：2m +（14-m ）=m +14. (2)设一个队胜x 场，则负（14-x ）场，依题意的2x =14-x ，解得143x =，不为整数，∴某队胜场总积分不等于负场总积分.(3)设胜x 场，负场总积分是胜场总积分的k 倍（k 为整数）则2kx =14-x ，（2k +1）x =14，则1421x k =+， ∵k 为整数，2k +1=1,2,7,14，此时取k =0，3，∴x =14或14-x =0；或x =2,14-x =12. 即胜场14场，负0场或胜2场，负12场 .(4)设胜x 场，胜场总积分为负场总积分的k 倍（k 为整数）.则()214x k x =-，214x kx k +=，则14281422k x k k==-++，∵x 为整数，∴2+k =1,2,4,7,14,28，此时x =0，7,10,12,13，k =0,2,5,12,26. 故存在这样的情况，即胜0场，负14场；胜7场，负7场；胜10场，负4场；胜12长，负2场；胜13场，负1场.12.解：如图，设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别是x 、y 、z 套．则由题意得22321168.82( 5.621.2442) 1.x y z x y z ⎧⎨⎩＋＋＝＋＋＝即23258?2264531103x y z x y z ⎧⎨⎩＋＋＝①＋＋＝②，由②−①×11得31465y z （＋）＝ 即15y z ＋＝，所以，共卖出C 水果15千克，C 水果的销售额为15×10＝150（元）答：C 水果的销售额为150元．。

初一数学基础知识讲义第一讲和绝对值有关的问题一、知识结构框图：数二、绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。

(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。

也可以写成：()()() ||0a aa aa a⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。

三、典型例题例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（A ）A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。

脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。

这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。

例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ C ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示：所以分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。

这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。

虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。

例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。

第一讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1计算：分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．例2计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789)=1 000 000．说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．例3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．解 S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n．下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有例4在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．所以，所求最小非负数是1．说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．2．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，①这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．例5计算 3001×2999的值．解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．例6计算 103×97×10 009的值．解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919．例7计算：分析与解直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为n2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 690．例8计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．分析式子中2，22，24，…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了．解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=……=(232-1)(232+1)=264-1．例9计算：分析在前面的例题中，应用过公式(a+b)(a-b)=a2-b2．这个公式也可以反着使用，即a2-b2=(a+b)(a-b)．本题就是一个例子．通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化．例10计算：我们用一个字母表示它以简化计算．3．观察算式找规律例11某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．分析与解若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分为 90+(-1)÷20=89.95．例12 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．分析观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．解用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+…+1997+1999．①再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1．②将①，②两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)=2000×500．从而有 S=500 000．说明一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决．例13计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．分析观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．解设S=1+5+52+…+599+5100，①所以5S=5+52+53+…+5100+5101．②②—①得4S=5101-1，说明如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5)，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．例14 计算：分析一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．解由于所以说明本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．练习一1．计算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；(6)1+4+7+ (244)2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．第二讲绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)若｜a｜=b，则a=b；(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．解 (1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．(2)对．(3)对．(4)不对．当a≥0时成立．(5)不对．当b＞0时成立．(6)不对．当a＋b＞0时成立．例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．解由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．再根据绝对值的概念，得｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．例3已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．解原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)=｜3+｜3+x｜｜=｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)=｜-x｜=-x．解因为 abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．说明本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．解因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．(1)当y=2时，x+y=-1；(2)当y=-2时，x+y=-5．所以x+y的值为-1或-5．例6若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．解 a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且｜a-b｜19，｜c-a｜99为两个非负整数，和为1，所以只能是｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1，①或｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0．②由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1，所以｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．解依相反数的意义有｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜．因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得2y=2002， y=1001，所以例8 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．分析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们为三个部分(如图1－2所示)，即这样我们就可以分类讨论化简了．原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；原式=(3x+1)+(2x-1)=5x．即说明解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．例9已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．分析首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者．解有三个分界点：-3，1，-1．(1)当x≤-3时，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是-4．(2)当-3≤x≤-1时，y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y的最大值是6．(3)当-1≤x≤1时，y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，由于-1≤x≤1，所以0≤-3x+3≤6，y的最大值是6．(4)当x≥1时，y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是0．综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6．例10设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值．分析本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．解设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则｜x-a｜表示线段AX之长，同理，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜分别表示线段BX，CX，DX之长．现要求｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小．因为a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列应如图1－3所示：所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即(d-a)+(c-b)．例11若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．分析与解要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有｜4-5x｜=4-5x且｜1-3x｜=3x-1．故x应满足的条件是此时原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4=7．练习二1．x是什么实数时，下列等式成立：(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．2．化简下列各式：(2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．3．若a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．4．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．5．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，对于满足p≤x≤15的x 来说，T的最小值是多少？6．已知a＜b，求｜x-a｜+｜x-b｜的最小值．7．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B点应为( )．(1)在A，C点的右边；(2)在A，C点的左边；(3)在A，C点之间；(4)以上三种情况都有可能．第三讲求代数式的值用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程．具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值．下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧．例1求下列代数式的值：分析上面两题均可直接代入求值，但会很麻烦，容易出错．我们可以利用已经学过的有关概念、法则，如合并同类项，添、去括号等，先将代数式化简，然后再求值，这样会大大提高运算的速度和结果的准确性．=0-4a3b2-a2b-5=-4×13×(- 2)2- 12×(-2)-5=-16+2-5=-19．(2)原式=3x2y-xyz+(2xyz-x2z)+4x2?[3x2y-(xyz-5x2z)]=3x2y-xyz+2xyz-x2z+4x2z-3x2y+(xyz-5x2z)=(3x2y-3x2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4x2z-5x2z)=2xyz-2x2z=2×(-1)×2×(-3)-2×(-1)2×(-3)=12+6=18．说明本例中(1)的化简是添括号，将同类项合并后，再代入求值；(2)是先去括号，然后再添括号，合并化简后，再代入求值．去、添括号时，一定要注意各项符号的变化．例2已知a-b=-1，求a3+3ab-b3的值．分析由已知条件a-b=-1，我们无法求出a，b的确定值，因此本题不能像例1那样，代入a，b的值求代数式的值．下面给出本题的五种解法．解法1由a-b=-1得a=b-1，代入所求代数式化简a3+3ab-b3=(b-1)3+3(b-1)b-b3=b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3=-1．说明这是用代入消元法消去a化简求值的．解法2因为a-b=-1，所以原式=(a3-b3)+3ab=(a-b)(a2+ab+b2)+3ab=-1×(a2+ab+b2)+3ab=-a2-ab-b2+3ab=-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2=-(-1)2=-1．说明这种解法是利用了乘法公式，将原式化简求值的．解法3 因为a-b=-1，所以原式=a3-3ab(-1)-b3=a3-3ab(a-b)-b3=a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3=(-1)3=-1．说明这种解法巧妙地利用了-1=a-b，并将3ab化为-3ab(-1)=-3ab(a-b)，从而凑成了(a-b)3．解法4 因为a-b=-1，所以(a-b)3=(-1)3=1，即 a3+3ab2-3a2b-b3=-1，a3-b3-3ab(a-b)=-1，所以 a3-b3-3ab(-1)=-1，即 a3-b3+3ab=-1．说明这种解法是由a-b=-1，演绎推理出所求代数式的值．解法 5a3+3ab-b3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab=(a-b)3+3ab(a-b)+3ab=(-1)3+3ab(-1)+3ab=-1．说明这种解法是添项，凑出(a-b)3，然后化简求值．通过这个例题可以看出，求代数式的值的方法是很灵活的，需要认真思考，才能找到简便的算法．在本例的各种解法中，用到了几个常用的乘法公式，现总结如下：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2；(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3；a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．解由已知，xy=2(x+y)，代入所求代数式中，消去xy，然后化简．所以解因为a=3b，所以c=5a=5×(3b)=15b．将a，c代入所求代数式，化简得解因为(x-5)2，｜m｜都是非负数，所以由(1)有由(2)得y+1=3，所以y=2．下面先化简所求代数式，然后再代入求值．=x2y+5m2x+10xy2=52×2+0+10×5×22=250例6如果4a-3b=7，并且3a+2b=19，求14a-2b的值．分析此题可以用方程组求出a，b的值，再分别代入14a-2b求值．下面介绍一种不必求出a，b的值的解法．解 14a-2b=2(7a-b)=2[(4a+3a)+(-3b+2b)]=2[(4a-3b)+(3a+2b)]=2(7+19)=52．｜x｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜+｜x-4｜+｜x-5｜的值．分析所求代数式中六个绝对值的分界点，分别为：0，1，2，据绝对值的意义去掉绝对值的符号，将有3个x和3个-x，这样将抵消掉x，使求值变得容易．原式=x+(x-1)+(x-2)-(x-3)-(x-4)-(x-5)=-1-2+3+4+5=9．说明实际上，本题只要x的值在2与3之间，那么这个代数式的值就是9，即它与x具体的取值无关．例8若x:y:z=3:4:7，且2x-y+z=18，那么x+2y-z的值是多少？分析 x:y:z=3:4:7可以写成的形式，对于等比，我们通常可以设它们的比值为常数k，这样可以给问题的解决带来便利．x=3k，y=4k，z=7k．因为2x-y+z=18，所以2×3k-4k+7k=18，所以k=2，所以x=6，y=8，z=14，所以x+2y-z=6+16-14=8．例9已知x=y=11，求(xy-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy)的值．分析本题是可直接代入求值的．下面采用换元法，先将式子改写得较简洁，然后再求值．解设x+y=m，xy=n．原式=(n-1)2+(m-2)(m-2n)=(n-1)2+m2-2m-2mn+4n=n2-2n+1+4n-2m-2mn+m2=(n+1)2-2m(n+1)+m2=(n+1-m)2=(11×11+1-22)2=(121+1-22)2=1002=10000．说明换元法是处理较复杂的代数式的常用手法，通过换元，可以使代数式的特征更加突出，从而简化了题目的表述形式．练习三1．求下列代数式的值：(1)a4+3ab-6a2b2-3ab2+4ab+6a2b-7a2b2-2a4，其中a=-2，b=1；的值．3．已知a=3.5，b=-0.8，求代数式｜6-5b｜-｜3a-2b｜-｜8b-1｜的值．4．已知(a+1)2-(3a2+4ab+4b2+2)=0，求 a，b的值．5．已知第四讲一元一次方程方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决．本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧．用等号连结两个代数式的式子叫等式．如果给等式中的文字代以任何数值，等式都成立，这种等式叫恒等式．一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的．如果给等式中的文字(未知数)代以某些值，等式成立，而代以其他的值，则等式不成立，这种等式叫作条件等式．条件等式也称为方程．使方程成立的未知数的值叫作方程的解．方程的解的集合，叫作方程的解集．解方程就是求出方程的解集．只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程．任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解．一元一次方程ax=b的解由a，b的取值来确定：(2)若a=0，且b=0，方程变为0·x=0，则方程有无数多个解；(3)若a=0，且b≠0，方程变为0·x=b，则方程无解．例1解方程解法1从里到外逐级去括号．去小括号得去中括号得去大括号得解法2按照分配律由外及里去括号．去大括号得化简为去中括号得去小括号得例2已知下面两个方程3(x+2)=5x，①4x-3(a-x)=6x-7(a-x) ②有相同的解，试求a的值．分析本题解题思路是从方程①中求出x的值，代入方程②，求出a的值．解由方程①可求得3x-5x=-6，所以x=3．由已知，x=3也是方程②的解，根据方程解的定义，把x=3代入方程②时，应有4×3-3(a-3)=6×3-7(a-3)，7(a-3)-3(a-3)=18-12，例3已知方程2(x+1)=3(x-1)的解为a+2，求方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a的解．解由方程2(x+1)=3(x-1)解得x=5．由题设知a+2=5，所以a=3．于是有2[2(x+3)-3(x-3)]=3×3，-2x=-21，例4解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0．分析这个方程中未知数是x，m，n是可以取不同实数值的常数，因此需要讨论m，n取不同值时，方程解的情况．解把原方程化为m2x+mnx-mn-n2=0，整理得 m(m+n)x=n(m+n)．当m+n≠0，且m=0时，方程无解；当m+n=0时，方程的解为一切实数．说明含有字母系数的方程，一定要注意字母的取值范围．解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论．例5解方程(a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2．分析本题将方程中的括号去掉后产生x2项，但整理化简后，可以消去x2，也就是说，原方程实际上仍是一个一元一次方程．解将原方程整理化简得(a-b)2-x2=a2b2+a2x-b2x-x2-a2b2，即 (a2-b2)x=(a-b)2．(1)当a2-b2≠0时，即a≠±b时，方程有唯一解(2)当a2-b2=0时，即a=b或a=-b时，若a-b≠0，即a≠b，即a=-b时，方程无解；若a-b=0，即a=b，方程有无数多个解．例6已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，求代数式199(m+x)(x-2m)+m的值．解因为(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，所以m2-1=0，即m=±1．(1)当m=1时，方程变为-2x+8=0，因此x=4，代数式的值为199(1+4)(4-2×1)+1=1991；(2)当m=-1时，原方程无解．所以所求代数式的值为1991．例7 已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a的值．解将原方程变形为2ax-a=3x-2，即 (2a-3)x=a-2．由已知该方程无解，所以例8 k为何正数时，方程k2x-k2=2kx-5k的解是正数？来确定：(1)若b=0时，方程的解是零；反之，若方程ax=b的解是零，则b=0成立．(2)若ab＞0时，则方程的解是正数；反之，若方程ax=b的解是正数，则ab＞0成立．(3)若ab＜0时，则方程的解是负数；反之，若方程ax=b的解是负数，则ab＜0成立．解按未知数x整理方程得(k2-2k)x=k2-5k．要使方程的解为正数，需要(k2-2k)(k2-5k)＞0．看不等式的左端(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5)．因为k2≥0，所以只要k＞5或k＜2时上式大于零，所以当k＜2或k＞5时，原方程的解是正数，所以k＞5或0＜k＜2即为所求．例9若abc=1，解方程解因为abc=1，所以原方程可变形为化简整理为化简整理为说明像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化．例10若a，b，c是正数，解方程解法1原方程两边乘以abc，得到方程ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc．移项、合并同类项得ab[x-(a+b+c)]+bc[x-(a+b+c)]+ac[x-(a+b+c)]=0，因此有[x-(a+b+c)](ab+bc+ac)=0．因为a＞0，b＞0，c＞0，所以ab+bc+ac≠0，所以x-(a+b+c)=0，即x=a+b+c为原方程的解．解法2将原方程右边的3移到左边变为-3，再拆为三个“-1”，并注意到其余两项做类似处理．设m=a+b+c，则原方程变形为所以即x-(a+b+c)=0．所以x=a+b+c为原方程的解．说明注意观察，巧妙变形，是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之一．例11设n为自然数，[x]表示不超过x的最大整数，解方程：分析要解此方程，必须先去掉[ ]，由于n是自然数，所以n与(n+1)…，n[x]都是整数，所以x必是整数．解根据分析，x必为整数，即x=[x]，所以原方程化为合并同类项得故有所以x=n(n+1)为原方程的解．例12已知关于x的方程且a为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a的最小值．解由原方程可解得a最小，所以x应取x=160．所以所以满足题设的自然数a的最小值为2．练习四1．解下列方程：*2．解下列关于x的方程：(1)a2(x-2)-3a=x+1；4．当k取何值时，关于x的方程3(x+1)=5-kx，分别有：(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解．第五讲方程组的解法二元及多元(二元以上)一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决．所以，解方程组的基本思想是消元，主要的消元方法有代入消元和加减消元两种，下面结合例题予以介绍．例1解方程组解将原方程组改写为由方程②得x=6+4y，代入①化简得11y-4z=-19．④由③得2y+3z=4．⑤④×3+⑤×4得33y+8y=-57+16，所以 y=-1．将y=-1代入⑤，得z=2．将y=-1代入②，得x=2．所以为原方程组的解．说明本题解法中，由①，②消x时，采用了代入消元法；解④，⑤组成的方程组时，若用代入法消元，无论消y，还是消z，都会出现分数系数，计算较繁，而利用两个方程中z的系数是一正一负，且系数的绝对值较小，采用加减消元法较简单．解方程组消元时，是使用代入消元，还是使用加减消元，要根据方程的具体特点而定，灵活地采用各种方法与技巧，使解法简捷明快．例2解方程组解法1由①，④消x得由⑥，⑦消元，得解之得将y=2代入①得x=1．将z=3代入③得u=4．所以解法2由原方程组得所以x=5-2y=5-2(8-2z)=-11+4z=-11+4(11-2u)=33-8u=33-8(6-2x)=-15+16x，即x=-15+16x，解之得x=1．将x=1代入⑧得u=4．将u=4代入⑦得z=3．将z=3代入⑥得y=2．所以为原方程组的解．解法3①+②+③+④得x+y+z+u=10，⑤由⑤-(①+③)得y+u=6，⑥由①×2-④得4y-u=4，⑦⑥+⑦得y=2．以下略．说明解法2很好地利用了本题方程组的特点，解法简捷、流畅．例3解方程组分析与解注意到各方程中同一未知数系数的关系，可以先得到下面四个二元方程：①+②得x+u=3，⑥②+③得y+v=5，⑦③+④得z+x=7，⑧④+⑤得u+y=9．⑨又①+②+③+④+⑤得x+y+z+u+v=15．⑩⑩-⑥-⑦得z=7，把z=7代入⑧得x=0，把x=0代入⑥得u=3，把u=3代入⑨得y=6，把y=6代入⑦得v=-1．所以为原方程组的解．例4解方程组解法1①×2+②得由③得代入④得为原方程组的解．为原方程组的解．说明解法1称为整体处理法，即从整体上进行加减消元或代入消为换元法，也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”，从而简化方程组的求解过程．例5已知分析与解一般想法是利用方程组求出x，y，z的值之后，代入所求的代数式计算．但本题中方程组是由三个未知数两个方程组成的，因此无法求出x，y，z的确定有限解，但我们可以利用加减消元法将原方程组变形．①-②消去x得①×3+②消去y得①×5+②×3消去z得例6已知关于x，y的方程组分别求出当a为何值时，方程组(1)有唯一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解．分析与一元一次方程一样，含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论，一般是通过消元，归结为一元一次方程ax=b的形式进行讨论．但必须特别注意，消元时，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时，这个式子的值不能等于零．解由①得2y=(1+a)-ax，③将③代入②得(a-2)(a+1)x=(a-2)(a+2)．④(1)当(a-2)(a+1)≠0，即a≠2且a≠-1时，方程④有因而原方程组有唯一一组解．(2)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)≠0时，即a=-1时，方程④无解，因此原方程组无解．(3)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)=0时，即a=2时，方程④有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解．例7已知关于x，y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0，当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．解法1根据题意，可分别令a=1，a=-2代入原方程得到一个方程组将x=3，y=-1代入原方程得(a-1)·3+(a+2)·(-1)+5-2a=0．所以对任何a值都是原方程的解．说明取a=1为的是使方程中(a-1)x=0，方程无x项，可直接求出y值；取a=-2的道理类似．解法2可将原方程变形为a(x+y-2)-(x-2y-5)=0．由于公共解与a无关，故有例8甲、乙两人解方程组原方程的解．分析与解因为甲只看错了方程①中的a，所以甲所得到的解4×(-3)-b×(-1)=-2．③a×5+5×4=13．④解由③，④联立的方程组得所以原方程组应为练习五1．解方程组2．若x1，x2，x3，x4，x5满足方程组试确定3x4+2x5的值．3．将式子3x2+2x-5写成a(x+1)2+b(x+1)+c的形式，试求4．k为何值时，方程组有唯一一组解；无解；无穷多解？5．若方程组的解满足x+y=0，试求m的值．第六讲一次不等式(不等式组)的解法不等式和方程一样，也是代数里的一种重要模型．在概念方面，它与方程很类似，尤其重要的是不等式具有一系列基本性质，而且“数学的基本结果往往是一些不等式而不是等式”．本讲是系统学习不等式的基础．下面先介绍有关一次不等式的基本知识，然后进行例题分析．1．不等式的基本性质这里特别要强调的是在用一个不等于零的数或式子去乘(或去除)不等式时，一定要注意它与等式的类似性质上的差异，即当所乘(或除)的数或式子大于零时，不等号方向不变(性质(5))；当所乘(或除)的数或式子小于零时，不等号方向要改变(性质(6))．2．区间概念在许多情况下，可以用不等式表示数集和点集．如果设a，b为实数，且a＜b，那么(1)满足不等式a＜x＜b的数x的全体叫作一个开区间，记作(a，b)．如图1－4(a)．(2)满足不等式a≤x≤b的数x的全体叫作一个闭区间，记作[a，b]．如图1－4(b)．(3)满足不等式a＜x≤b(或a≤x＜b)的x的全体叫作一个半开半闭区间，记作(a，b](或[a，b))．如图1－4(c)，(d)．3．一次不等式的一般解法一元一次不等式像方程一样，经过移项、合并同类项、整理后，总可以写成下面的标准型：ax＞b，或ax＜b．为确定起见，下面仅讨论前一种形式．一元一次不等式ax＞b．(3)当a=0时，用区间表示为(-∞，+∞)．例1解不等式解两边同时乘以6得12(x+1)+2(x-2)≥21x-6，化简得-7x≥-14，两边同除以-7，有x≤2．所以不等式的解为x≤2，用区间表示为(-∞，2]．例2求不等式的正整数解．正整数解，所以原不等式的正整数解为x=1，2，3．例3解不等式分析与解因y2+1＞0，所以根据不等式的基本性质有例4解不等式为x+2＞7，解为x＞5．这种错误没有考虑到使原不等式有意义的条件：x≠6．解将原不等式变形为解之得所以原不等式的解为x＞5且x≠6．例5已知2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)，且y＜x+9，试比较解首先解关于x的方程得x=-10．将x=-10代入不等式得y＜-10+9，即y＜-1．例6解关于x的不等式：解显然a≠0，将原不等式变形为3x+3-2a2＞a-2ax，即(3+2a)x＞(2a+3)(a-1)．说明对含有字母系数的不等式的解，也要分情况讨论．例7已知a，b为实数，若不等式(2a-b)x+3a-4b＜0解由(2a-b)x+3a-4b＜0得(2a-b)x＜4b-3a．。

第二十一讲应用题趣题引路】2003年“信利杯”数学竞赛有一道有趣的应用型问题：某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：h）如图21-1所示若汽车行驶的平均速度为SOkm/h,而汽车每行驶lkm需要的平均费用为1. 2元试指岀此人从A城岀发到B城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？解：从A城岀发到达B城的路线分成如下两类：（1）从A城岀发到达B城，经过0城.因为从A城到0城所需要最短时间为26h,从0城到B城所需最短时间为22h.所以，此类路线所需最短时间为26+22二48 （h）.（2）从A城岀发到达B城，不经过0城。

这时从A城到达B城，必泄经过C, D, E城或F, G, H城，所需时间至少为49h.综上，从A城到达B城所需的最短时间为48h,所走的路线为A-F-O-E-B.所需的费用最少为80X 48X1.2=4608 （元）.在本讲中，将介绍各类应用题的解法与技巧。

知识拓展】当今数学已经渗人到整个社会的各个领域，因此，应用数学去观察、分析日常生活现象，去解决日常生活问题，成为各类数学竞赛的一个热点。

应用性问题能引导学生关心生活、关心社会，使学生充分体会到数学与自然和人类社会的密切联系，增强对数学的理解和应用数学的信心。

解答应用性问题，关键是要学会运用数学知识去观察、分析、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，将其转化为数学模型.其求解程序如下：()在初中范国内常见的数学模型有：数式模型、方程模型.不等式模型、函数模型、平而几何模型、图 表模型等. 一、用数式模型解决应用题数与式是最基本的数学语言，由于它能够有效、简捷、准确地揭示数学的本质，富有通用性和启发性, 因而成为描述和表达数学问题的重要方法.例1： （2003年安微中考题）某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统讣，调价前后各 景点的游客人数基本不变，有关数据如下表所示：（1） 该风景区称调整前后这5个景点门票的平均收费不变，平均日总收入持平•问风景区是怎样计算 的？（2） 另一方而，游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%. 问游客是怎样计算的？（3） 你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际？解析：抓住“平均价格”''平均日总收入”等关键词. 解：（1）风景区是这样计算的：调整前的平均价格：1（）- — -2<-25=16 （元）•调整后的平均价格：5 =16 （元）・所以调整前后的平均价格不变，平均日人数不变，故平均日总收入持平.（2）游客是这样计算的：原平均日总收入：10X1 + 10X 1 + 15X2+20X3 + 25X2=160 （千元）， 现平均日总收入：5X 1+5X1 + 15X2+25X3+ 30X2=175 （千元），（6）若数斡吉果不舲实际，则修正，改迹重适 数冷型实际情景抽象通过数学化求解数学问麵（4）结合实际（5）故平均日总收入增加了：门5-16（）“4% .160（3）游客的说法较能反映整体实际.二、用方程模型解应用题研究和解决生产实际和现实生活中有关问题常常要用到方程（组）的知识，它可以帮助人们从数量关 系和相等关系的角度去认识和理解现实世界.例2： （2003年重庆中考题）某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼 共有4道门，其中两道正门大小相同，两逍侧门大小也相同.安全检査中，对4道门进行了测试：当同时 开启一道正门和两道侧门时，2min 内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4min 内 可以通过800名学生・（1） 求平均每分钟一道正门和一道侧门％可以通过多少名学生？（2） 检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率降低20%.安全检查规左：在紧急情况下全大 楼的学生应在5min内通过这4道门安全撤离•假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建适的 这4道门是否符合安全规左？请说明理由.解析：列方程（组）的关键是找到题中等量关系：两种测试中通过的学生数量•设未知数时一般问什 么设什么•“符合安全规左”之义为最大通过量不小于学生总数.解：（1）设平均每分钟一道正门可以通过x 名学生，一道侧门可以通过y 名学生，由题意得:2(x + 2y) = 560, <4(x+y) = 800, （2）这栋楼最多有学生4X8X45=1440 （名）, 拥挤时5min4道门能通过：5X2 （120+80） （1-20%） =1600 （需人 因1600>1440>故建造的4道门符合安全规左.三. 用不等式模型解应用题现实世界中的不等关系是普遍存在的，许多问题有时并不需要研究它们之间的相等关系，只需要确左 某个量的变化范围，即可对所研究的问题有比较淸楚的认识.例3： （2003年苏州中考题）我国东南沿海某地的风力资源丰富，一年内日平均的风速不小于3m/s 的 时间共约160天，其中日平均风速不小于6m/s 的时间占60天.为了充分利用“风能”这种“绿色资源”， 该地拟建一个小型风力发电场，决左选用A 、B 两种型号的风力发电机，根据产品说明，这两种风力发电 机在各种风速下的日发电量（即一天的发电量）如下表：根据上而的数据回答：（1）若这个发电场购x 台£型风力发电机，则预计这些A 型风力发电机一年的发电总疑至少为 ____________________ k W -h ；（2）已知A 型风力发电机每台0.3万元，B 型风力发电机每台0.2万元，该发电场拟购风力发电机共解得：2 120, y = 80.10台，希望购机的费用不超过2.6万元，而建成的风力发电场每年的发电量不少于102000kW・h,请你提供符合条件的购机方案.解：（1）（100X36+60X 150）A =12600.V：（2）设购A型发电机x台，则购B型发电机（10—x）台，解法一根据题意得：0.31+0.2（10-A）^2.6,12600.V + 7800（10 - *）2102000,解得5Wx£6.故可购A型发电机5台，B型发电机5台；或购A型发电机6台，B型发电机4台.解法二假设恰好将购机款用完，则0.3x+0.2 （10—x） =2.6,解得x=6,若x=6,则年发电量至少为：12600X6+7800 （10-6） = 106800> 102000,符合要求.故可购A型发电机6台，B型发电机4台.四、用函数知识解决的应用题函数类应用问题主要有以下两种类型：（1）从实际问题出发，引进数学符号，建立函数关系；（2）由提供的基本模型和初始条件去确定函数关系式.例4：（2003年扬州）杨嫂在再就业中心的扶持下，创办了“润杨”报刊零售点.对经营的某种晚报，杨嫂提供了如下信息：①买进每份0.20元，卖岀每份0.30元；②一个月内（以30天计），有20天每天可以卖出200份，其余10天每天只能卖出120份：③一个月内，每天从报社买进的报纸份数必须相同•当天卖不掉的报纸，以每份0.10元退回给报社：（1）填表：（2）设每天从报社买进该种晚报X份，120£xW200时，月利润为y元，试求出y与x的函数关系式, 并求月利润的最大值.解析：（1）填表：（2）由题意可知，一个月内的20天可获利润：20X［（0.3—0.2）x］=2x （元）；其余10 天可获利润:10［（0.3—0.2）X120—0.1 120）］ =240—x （元）：故y=x+240, （120WxW200）,当x=200时，月利润y的最大值为440元.点评：根据题意，正确列岀函数关系式，是解决问题的关键，这里特别要注意自变量x的取值范国. 另外，初三还会提及统计型应用题，几何型应用题.好题妙解】佳题新题品味()例1 （北京市东城区）某音乐厅五月初决左在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的？，若提前购票，则给予不同程度的优惠•在五月份内，团体票每张12元，3共售岀团体票数的°,零售票每张16元，共售岀零售票数的一半：如果在六月份内，团体票按每张16元5出售，并计划在六月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元左价才能使这两个月的票款收入持平？解析：设总票数为"张，六月份零售票应按每张X元泄价，则五月份团体票售出数为：3 2 2一x —a = —“ ♦5 3 5票款收入为:12x—r/=—6Z （兀）：5 5零售票售出数为：1 1 1—X—"=—“♦2 3 6票款收入为:（元）・6 3六月份团体票所剩票数为：2 2 4—x—“ = —a 95 3 15票款数收入为:\6x±a = —a（元）：15 15零售票所剩票数为：1 1 1票款数收入为：丄= （元）・6 6由题意，得24 8 64 1——"+ —" = —CI +—UX ,5 3 15 6解得：x=19.2.例2 （广州市）2003年2月27日《广州日报》报道：2002年底广州市自然保护区覆盖率（即自然保护区而积占全市而积的百分比）为4.65%,尚未达到国家A级标准.因此，市政府决左加快绿化建设，力争到2004年底自然保护区覆盖率达到8%以上.若要达到最低目标8%,则广州市自然保护区面积的年平均增长率应是多少？（结果保留三位有效数字）解析：设广州市的总而积为1，广州市自然保护区而积年平均增长率为X,根据题意得：IX4.65%X （1+X）2=1X8%•••（l+x）2al.720・T x>0, ••• l+x>0.••• 1+x〜1.312,••• x=0.312.点评：增长率公式：第一年A ：年均增长率x,则第"年：P n =A （\ + x ）n-'.例3 （哈尔滨市）建网就等于建一个学校，哈市慧明中学为加强现代信息技术课教学，拟投资建一个 初级计算机机房和一个髙级计算机机房，每个计算机机房只配巻1台教师用机，若干台学生用机•英中初 级机房教师用机每台8000元，学生用机每台3500元；髙级机房教师用机每台11500元,学生用机每台7000 元•已知两机房购买计算机的总钱数相等，且每个机房购买计算机的总钱数不少于20万元也不超过21万 元，则该校拟建的初级机房、高级机房各应有多少台计算机？解折：本题中既有相等关系又有不等关系，用等式（不等式）表示全部题意是关键. 解：设该校拟建的初级机房有x 台计算机，髙级机房有y 台计算机，则有：0.8 + O.35（x-1） = 1」5 + 0.7（ >■-1）, < 20<0.8 + 0.35（x-l ）<21, 20W1.15 + 0.70，-1）W21.V x 为整数,:.兀=56, 57, 58.同理，y=28, 29.x = 56, x = 5&y = 2& [y = 29・中考真题欣赏例1 （安徽省）王大伯承包了 25亩上地，今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜，用去了 44000 元，英中种茄子每亩用了 1700元，获纯利2400元；种西红柿每亩用了 1800元，获纯利2600元，问王大 伯一共获纯利多少元？解：设王大伯种了 x 亩茄子，y 亩西红柿，根据题意，得：x + y = 25,“ 1700x + 1800v = 44000・共获纯利：2400X 10+2600X 15=63000 （元）. 答：王大伯一共获纯利63000元.例2 （桂林市）某公司需在一月（31天）内完成新建办公楼的装修工程•如果由甲、乙两个工程队 合做，12天可完成：如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成.（1） 求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数.（2） 如果请甲工程队施工，公司每日需付费用2000元；如果请乙工程队施工，公司每日需付费用1400 元•在规泄时间内：A.请甲队单独完成此项工程：B.请乙队单独完成此项工程；C.请甲、乙两队合作完成 此项工程•以上方案哪一种花钱解得：2 10, y = 15.最少？解析：这是一道策略优选问题.工程问题中：工作量=工作效率X工时.解：（1）设乙工程队单独完成此项工程需x天，根据题意得：1 1 1—4 --------- =—.X X-10 12去分母，整理得x2-34x+120=0解得xj=4» X2=3O・经检验知，小=4, X2=30都是原方程的解，因为x=4不合题意，所以只取x=30.所以，甲工程队单独完成此项工程需用20天，乙队需30天.（2）各种方案所需的费用分别为：A・请甲队需2000X20=40000元；B. 请乙队需1400X30=42000 元；C. 请甲、乙两队合作需（2000+1400） X 12=40800元.所以单独请甲队完成此项工程花钱最少.竞赛样题展示例1 （全国联赛初赛题）一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区，他们以每天17km 的速度出发，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天25km的速度返回，在岀发后的第60天，考察队行进了24km后回到出发点，试问：科学考察队任生态区考察了多少天？解折：挖掘题目中隐藏条件是关键！解：设考察队到生态区去用了x天，返回用了y天，考察用了z天，则x+y+z=60・且17x-25y=-h K卩25y-17x=l. ①这里X、y是正整数，现设法求出①的一组合题意的解，然后计算岀z的值.为此，先求出①的一组特殊解（xo, y0）,（这里小，血可以是负整数）.用辗转相除法.25 = 1X17+8, 17=2X84-1,故1 = 17-2X8= 17-2X （25-17）= 3X17-2X25.与①的左端比较可知，X0= - 3,內=-2.下面再求出①的合题意的解.由不左方程的知识可知，①的一切整数解可表示为x= -3+25f, y= -2+17A••• x+y=42f—5, f 为整数.按题意0Vx+yV60,故仅当r=l 时才合题意，这时x+y=42 - 5=37,.・.z=60 — （x+y ） =23.答：考察队在生态区考察的天数是23天.点评：本题涉及到的未知量多，最终转化为二元一次不左方程来解，希读者仔细咀嚼所用方法.例2 （江苏省第17届初中竞赛题）华鑫超市对顾客实行优惠购物，规左如下：（1） 若一次购物少于200元，则不予优惠：（2） 若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠：（3） 若一次购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠.小明两次去该超市购物，分別付款198元与554元.现在小亮决左一次去购买小明分两次购买的同样 多的物品，他需付款多少？解析：应付198元购物款讨论：第一次付款198元，可能是所购物品的实价，未享受优惠：也可能是按九折优惠后所付的款，故应分 两种情况加以讨论. 情形1：当198元为购物不打折付的钱时，所购物品的原价为198元.又554=450+104,英中450元为购物500元打九折付的钱，104元为购物打八折付的钱，104宁0.8 = 130 （元）. 因此，554元所购物品的原价为130+500=630 （元），于是购买小明花198+630=828 （元）所购的 全部物品，小亮一次性购买应付500X0.9+ （828 - 500） X0.8=712.4 （元）.情形2：当198元为购物打九折付的钱时，所购物品的原价为1920.9=220 （元）•仿情形1的讨论, 购220+630=850 （元）物品一次性付款应为500X0.94- （850 - 500） X0.8=730 （元）.综上所述，小亮一次去超市购买小明已购的同样多的物品，应付款712.40元或730元.例3 （2002年全国数学竞赛题）某项工程，如果由甲、乙两队承包，2?天完成，需付180000元；由 5乙、丙两队承包，3。

数的整除（一）【知识精读】如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.一些数的整除特征能被7整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。

如 1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）【分类解析】例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。

求x,y解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=31234能被12整除，求X。

例2己知五位数x解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，当1＋2＋3＋4＋X能被3整除时，x=2，5，84能被4整除时，X＝0，4，8当末两位X∴X＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数。

解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63，均可，∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。

【实战模拟】1分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296987能被3整除，那么a=_______________2若四位数a12X能被11整除，那么X＝__________-3若五位数3435m能被25整除4当m=_________时，59610能被7整除5当n=__________时，n6能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________ 88个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________,8__________,9_________,11__________9从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除但不是5的倍数的共______个。

七年级第1题：已知0132=+-x x , 则 =++13242x x x 。

答案：0.1第2题：若,,a b c 互异，且x y a b b c c aZ ==---，求x y Z ++的值。

答案：0第3题：a 取什么值时，方程组⎩⎨⎧=+=+3135y x a y x 的解是正数？答案：6.2<a <331第4题：方程 200422=-b a的正整数解有 组.答案：2组第5题：用一张长方形的纸，折出一个30°的角，如何折？答案：第6题：（1）若A 和B 都是4次多项式，则A+B 一定是（ ） A 、8次多项式 B 、4次多项式C 、次数不高于4次的整式D 、次数不低于4次的整式答案: C（2）如果316x +的立方根是4，求24x +的平方根___________。

答案：立方根是4，则这个数是43=64。

3x+16=64，解得x =16。

2x +4=2×16+4=36， 36=±6。

第7题：已知21x x +=，那么 . 答案: 2016解析：x 4+2x 3-x 2-2x +2017= x 4+2x 3+ x 2-2x 2-2x +2017=（x 2+x ）2-2（x 2+x ）+2017=12-2×1+2017=1-2+2017=2016。

第8题：若2a ＋5b ＋4c ＝0，3a ＋b －7c ＝0，则a ＋b －c 的值是___________________答案：2a +5b +4c =0 ① a +b -7c =0 ②将①×3得6a +15b +12c =0 ③将②×2得6a +2b -14c =0 ④由③-④得13b +26c =0 ， b= -2c ⑤将⑤带入① 2a -10c +4c =0 ， 2a =6c ，a =3c ⑥将⑤和⑥带入a +b -c =3c -2c-c =0。

第 9 题：如图所示，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且AB AE 21=，BC CF 31=，AF 与CE 相交于G ，如果矩形ABCD 的面积为120，那么可知AEG ∆与CGF ∆的面积之和为____________。

装订线初一数学竞赛培优第1讲数论的方法技巧（上）数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。

数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。

因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。

任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。

”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。

数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。

主要的结论有：1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r（0≤r＜b），且q，r是唯一的。

特别地，如果r=0，那么a=bq。

这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a的约数，a是b的倍数。

2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。

3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的。

（1）式称为n的质因数分解或标准分解。

4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）。

5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。

因此，不等式x＜y与x≤y-1是等价的。

下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。

一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。

这些常用的形式有： 1．十进制表示形式：n=a n 10n +a n-110n-1+…+a 0； 2．带余形式：a=bq+r ；4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t ，其中t 为奇数。

例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。

第十一讲不等式(组)的应用趣题引路】(2002年江苏省常州市中考题)某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生，买了若干本课外读物准备送给他们•如果每人送3本，则还余8本；如果前面每人送5本，则最后一人得到的课外读物不足3本•设该校买了加本课外读物，有x需学生获奖，请解答下列问题：(1)用含x的代数式表示加；(2)求出该校的获奖人数及所买的课外读物的本数.解析：(1) m=3x+8；(2)依题意得严F-ipo, ®3x + 8-5(x-l)<3・(2)•由①得点6丄；2由②得x>5・•••原不等式组的解集为5<xW6丄.2•・• x是正整数，・・.x = 6.把；v = 6彳弋入〃？ = 3x+8 ,得加=26.答：该校的获奖人数为6人，所买的课外读物的本数为26.点评：在一些实际问题中，往往含有“不足” “不超过”“不低于”等关键词，将这些关键词转换成不等符号，就可以建立不等式，从而使问题得以解决.知识延伸】一、不等关系与相等关系的综合在实际问题中，往往既存在相等关系又存在不等关系，我们充分利用这些关系建立方程和不等式，可以把问题解决.例1：(黑龙江省中考题)为了迎接2002年的世界杯足球赛，某足球协会举办了一次足球赛，其记分规则和奖励方案如下：当比赛进行到第12轮结束时(每队需要比赛12场)，A队共积19分.(1)请通过计算，判断A队胜.平.负各几场？(2)若每赛一场，每个参赛队员得出场费500元，设A队其中一需参赛队员所得的奖金和出场费的和为W (元人试求W的最大值.解析：(1)设A队胜x场，平y场，负z场，则有(兀 + y + z = 12,(3x+y = 19 ・2 = 19-3上iz = 2x — 7.解得：由题意可知4^0,且X、八z均为整数,19-3x^0,心0・解得：3丄WrWl, ••• x=4, 5, 6.2 3•••A队胜4场，平7场，负1场；或胜5场，平4场，负3场：或胜6场，平1场，负5场.(2) VV = (1500 + 500)x + (700 + 500)y + 500z = -600x +19300观察代数式-6OO.r+19300,发现x越小，W越大.•••当x = 4时，比叭=16900元.点评：题中有两个明显的相等关系•可以列出两个方程，但问题中迫切需要求出三个未知量，利用题中隐含的不等关系“三个未知量都是非负整数”建立不等式组，确泄未知量的取值范国•这实际上也是利用不等式求不定方程组的整数解的一种重要方法.二、不等式与商品定价在商品销售问题中往往牵涉到价格、商品数目“至多…至少…盈利”等词语，将这些词语转化为不等符号，即可建立不等式，解决实际问题.例2：商业大厦购进某种商品1000件，销售价左为购进价的125%.现计划节日期间按原左销售价让利10%,售出至多100件商品，而在销售淡季按原立销售价的60%大甩卖，为使全部商品售完后盈利，在节日和淡季外要按原定价销售至少多少件商品？解析：设购进价为“元，按原立价销售x件，节日让利销售y件，则淡季销售（1000-x-y ）件•依题意有：125%心 + 125%（1-10%）© + 125%x60%“（100-x-y） > 1000u 即4x + 3y > 2000 ,V 応100 ,•••4x>2000-3yM1700,又x是整数，•••x±425・所以，在节日和淡季外要按原定价销售至少435件商品才能盈利.点评：充分利用“盈利”这一不等关系，盈利即销售金额大于成本•题目中并没有包含儿y的等量关系，但利用）0100和不等式的传递性建立关于x的不等式，从而求岀;v的取值范耐三.不等式与决策方案现实生活中职能部门政策的制左，公司生产方案的决策等都蕴含着大量的数学知识，不等式在其中时常会有所体现.例3：某市政府为了进一步改善投资环境和居民生活环境，并吸引更多的人来观光旅游，决左对古运河城区段实施二期开发工程，现需要A. B两种花砖50万块，全部由某砖瓦厂完成此项生产任务•该厂现有甲种原料180万千克，乙种原料145万千克.已知生产1万块A砖，用甲种原料4.5万千克，乙种原料1・5万千克，造价1.2万元；生产1万块B砖，用甲种原料2万千克，乙种原料5万千克，造价1.8万元.（1）利用现有的原料，该厂是否能按要求完成任务？若能，按A、B两种花砖生产的块数，有哪几种生产方案？请你设计出来.（以1万块为一个单位且取整数）（2）试分析你设计的哪种方案总造价最低？最低造价是多少？解析：（1）设应生产A种花砖x万块，则应生产B种花砖（50-天）万块.j4・5x + 2(50-x)W180,①依题意得il.5x + 5(50-x)W145・②由①、②可得30WxW32・V 兀是整数,••• x=30, 31, 32：对应的50-x=20, 19, 18.所以有以下三种方案可供选择：方案一：生产A种花砖30万块，B种花砖20块；方案二：生产A种花砖31万块，B种花砖19块；方案三：生产A种花砖32万块，B种花砖18块.（2）三种方案的造价分别为：方案一：30x1.2+20x1.8 = 72 （万元）：方案二：31x1.2 + 19x1.8 = 71.4 （万元）；方案三：32x1.2+18x1.8=70.8 （万元）.显然，方案三造价最低，最低造价为70.8万元.点评：利用“所需原料不能超过现有原科”这一隐含的不等关系建立不等式，求岀未知量的取值范围. 得到可行方案.好题妙解】佳题好题品味例：某校组织师生春游，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可少租一俩，且余30个座位.（1）求该校参加春游的人数：（2）已知45座客车的租金为每辆250元，60座客车的租金为每俩300元，这次春游同时租用这两种客车，其中60座客车比45座客车多租一辆，所用租金比单独租用一种客车要节省，按照这种方案需租金多少元？解析：设参加春游的有X人.依题意得丄=出2+1・45 60解得x=270 （人）・（2）单独粗用45座客车时需车6俩，所需租金为1500元：单独租用60座客车时需车5辆，所需租金也为1500元.设租用45座客车y俩，则租用60座客车y+1辆，依题意得250y + 3OO（y + l）<15OO ・解之得y<晋，（y是正整数），•: y = 1 ♦或y = 2 ・当y = l 时，45xl+60x2=165<270 （不合题意,舍去）;当y = 2时，45 x 2 + 60 x 3 = 270符合题意.选择这种方案需要租金：2 x 250 + 3 x 300 = 1400 （元）.点评：利用“所用租金比单独租用一种客车要巧省”这一隐含的限制条件来构建不等式，求出未知量的取值范围，得到符合题意的方案.中考真题欣赏例：（2003年哈尔滨市中考题）建网校就等于建一所学校，哈尔滨市慧明中学为了加强现代信息技术课教学，拟投资建一个初级讣算机机房和一个髙级计算机机房，每个计算机房只配一台教师用机，若T•台学生用机，其中初级机房教师用机每台8000元，学生用机每台3500元：高级机房教师用机每台11500元, 学生用机每台7000元•已知两机房购买计算机的总钱数相同，且每个机房购买汁算机的总钱数不少于20 万，也不超过21万，则该学校拟建的初级机房、高级机房各有多少台计算机？解析：设初级机房有X台计算机，髙级机房有y台讣算机.8000 + 35OO（x-1） = 11500+ 7000（y-1）,①根据题意有200000^8000 + 35OO（A- 1）^210000, ⑥200000W11500 + 7000（$-1）0210000. ③由①得x = 2y,由②得55-^A<58-,7 71 Q 气由③得27 —W）W29—,14 - 14•••八y是正整数，•: y = 28 > 人‘ =56 ； y = 29 ♦x = 58 ・答：初级机房有56台计算机,高级机房有28台计算机;或初级机房有58台计算机,髙级机房有29 台计算机.点评：先将两个机房所需的总钱数用代数式表示出来，再利用不等关系“不少于20万，也不超过21 万”建立不等式，利用相等关系“两机房购买计算机的总钱数相同”建立方程.竞赛样题展示例：（江苏省竞赛试题）货轮上卸下若干只箱子，其总重量为10（,每只箱子的重量不超过山为保证能把这些箱子一次运走，问至少需要多少俩载重3t的汽车？解析：设共需"辆汽车，它们运走的重量依次为…，©•则2WqW3 （ / = 1 ♦ 2, •••♦“），q+G+••• + ©= 10,/. 2 + 2 +・・・+ 2念］+ ① + … + “S3 + 3t…+ 3，”个IT个即解得—^n^：5 ・3•・•车子数”应为整数，•“ 4或5,但4辆车子不够.例如有13只箱子，每只重量为挣，而3X寻V3, 4X 吕>3,即每辆车子只能运走3只箱子，4辆车子只能运走12只箱子，还剩一只箱子，故需5辆汽车.点评：每只箱子不超过M意味着每辆车的载重虽大于或等于2/且小于等于引.利用“总重量等于各车的实际载重量之和”，建立关于车辆数”的I不等式，使问题得以解决.过关检测】A级1.（2001年河北省中考题）在一次“人与自然“知识竞赛中，竞赛试题共有25道，每道题都给岀4个答案，苴中只有一个正确答案，要求学生把正确答案写出来，每逍题选对得4分，不选或选错倒扣2分.如果某学生在本次竞赛中的得分不低于60分，那么他至少选对了________________ 道题.2.一种含药率为15%的火虫药粉30怨，现要用含药率较髙的同种火虫药粉50炖和它混合，使混合后的含药率大于20%,而小于35%,则所用药粉的含药率x的范围是（）A. 15%<x<25%B. 15%<JT<35%C. 23%<x<47%D. 23%<x<50%3.（南京市中考题）一个长方形足球场的长为宽为70,如果它的周长大于350m而积小于7560胪, 求x的取值范伟I,并判断这个球场是否可以用作国际足球比赛.（注：国际足球比赛的足球场的长在100加到110加之间,宽在64/w到75加之间）4.在双休日，某公司决泄组织48名员工到附近一水上公园坐船游玩，船只租赁情况如下表:怎样设汁租船方案才能使所支岀的租金最少？（严禁超载）5.（浙江宁波市中考题）为了能有效地使用电力资源，宁波市电业局从2001年1月起进行居民“峰谷“ 用电试点，每天8 ： 00到22 : 00用电的电价为0.56元/千瓦时（“峰电"价），22 ： 00至次日8 ： 00用电的价为0.28元/千瓦时（“谷电"价），而目前不使用“峰谷“电的居民用电的电价为0.53元/千瓦时.（D-居民家庭在某月使用“峰谷“电后，付电费95.2元,经测算比不使用“峰谷“电节约10.8元.问该家庭当月使用峰电和谷电各多少千瓦时？（2）“邮电"用量不超过每月总电疑的百分之几时，使用“il金谷"电合算？（精确到1%）6.现在计划把甲种货物1240r和乙种货物880/用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车车厢共40节,使用A型车厢每节费用6000元，使用B型车厢每节费用为8000元.（1）设运送货物的总运费为y万元，这列货车挂A型车厢x肖，试写出y与x的函数关系式（即用含x 的代数式表示y）:（2）如果每节A型车厢最多可以装甲种货物35r和乙种货物15/,每节B型车厢最多可以装甲种货物25/ 和乙种货物35/,装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有几种安排方案？（3）在上述方案中哪个方案运费最少？最少运费为多少？B级1.（第14届江苏省赛题）小林拟将1, 2,…，"这“个数输入电脑求平均数，当他认为输入完毕时，电脑显示只输入了 "一1个数，平均数为35专，假设这“一1个数输入无误，则漏输入的一个数为（）A. 10B. 53C. 56D. 672.（1999年全国初中赛题）江堤边一洼地发生管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40加“可抽完：如果用4台抽水机抽水，16”曲可以抽完.如果要在10加“内抽完水，那么至少需要抽水机______________ 台.3.（北京市赛题）今有浓度为5%、8%、9%的甲、乙、丙三种盐水分别为60g、60g、47g,现要配制7%的盐水100g,问甲种盐水最多可用多少克？最少可用多少克？4.有一片牧场，草每天都在均匀生长（即每天草增长的量都相等），如果每天放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天可以吃完牧草.设每头牛每天的吃草量相等，问：（1）如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？（2）要使牧草永远都吃不完，至多放牧多少头牛？5.据有关部门统汁：20世纪初全世界共有哺乳类和鸟类动物约13000种，由于环境等因素影响，到20世纪末这两类动物种数共灭绝1.9%,其中哺乳类火绝约3.0%,鸟类灭绝约1.5%.（1）问20世纪初期哺乳类和鸟类动物各有多少种？（2）现在人们越来越意识到保护动物就是保护自己，到本世纪末，如果要把哺乳类和鸟类动物的火绝种数控制在0.9%以内，英中哺乳类动物的火绝种数与乌类动物的火绝种数之比约为6：7,为实现这个目标, 鸟类灭绝不能超过多少种？6.六人共订六种报纸，其中每人至少订一种报纸.已知前五人分別订了2、2、4. 3. 5种报纸，而前五种报纸分别有1、4、2、2、2人订，问第六个人订几种报纸？第六种报纸有几人订?第十一讲不等式（组）的应用A级亠•二1.19.2. C.3.105<x<108,可以4-租大船9只，小船1只时支付租金址少,租金为29元5-（1）该家庭当月使用峰电HO千瓦时，谷电60千瓦时;⑵不超过89%6.厂-0.加十32；（2）24WK26,故有三种方案（略）；（3）最佳方案是A型车厢26节』型车厢14节最少运费是26 8万元B级1. c.提示;设漏输的一> 数为匕则有♦ qq丄一L+2十…十n -k一1+2十•・・+•□・1 n +27n n -1 2 '35 y = —冬中十……"=27n・l n-1 2 f3 3解得69〒•又71 （n “ 1）,则n =71 •于是代人原式解得k = 56.2. 6 台.3.提示:设甲、乙、丙三种盐水分别取xg.yg.zg,则|x +y + 7 = 100,l5%z+8%y+9%x= 100 x7%ffy =200 -4x t^V=3x-100.（0W60.又有lo<y^6O,lowv47.可解得35 Cx ^49.4. （1） 18天可以吃完$（2）至多放牧12头牛・5•⑴哺乳类和鸟类动物各有3470种和9530种；（2）鸟类灭绝不能超过62种.6.提示:从整体考虑•六个人订报的总效等于六种报纸的总订数・o设第六个人廿了皿种报纸，第六种报纸有，人订，叫％为正整数，并且则有2*2+4+3 + 5 5 = 1 +4+2+2 +2卄，解得"25.由JH+5W6得mWl,但m多1.所以心1声"・。

第二十一讲 数形结合趣题引路】你曾听说过蚂蚁回家的故事吗?事情是这样的：图21－1，D 是三角形ABC 的边AB 上一点，其上有一只小蚂蚁，它首先从D 点沿平行于BC 的方向爬行到AC 边上的E 点；再从E 点沿平行于AB 方向爬到BC 边上的F 点；再从F 点沿平行于AC 的方向爬行到AB 边上的G 点……，这样每从一边爬到另一边算爬一次，那么这只蚂蚁是否可经有限次回到原出发点D ? 如果可经最少n 次回到D 点，那么n 的值等于多少?加上什么条件就可以求得蚂蚁回家的总路线的长?AB CDE F GH K (M)图21－1解析（1）若D 是AB 中点，则n ＝3；（2）若D 不是AB 中点，可证明6次后蚂蚁回到出发点D ，如图21－1；因蚂蚁行走路线都是与△ABC 各边平行的，所以AD AE BF BG CH CK AM BD EC FC GA AH BK BM ======，∴AD AM BD BM =．∴AD BD AM BM BD BM ++=．即AB AB BD BM =． ∴BD ＝BM ，即M 与D 重合，n ＝6．当第（1）种情况时，蚂蚁回家的总路线长是△ABC 各边和的一半，只要知道△ABC 各边长即可求解； 当第（2）种情况时，只要知道△ABC 各边长和AD 、DG 或AE 、EH 等即可求解．请读者计算一下． 点评：数与形是一个不可分割的整体，数体现形的大小，形状，而形又是抽象的数量关系形象化．数形结合能使我们容易把握问题的实质．知识延伸】例求函数y =的最小值．解析 构造如图21－2所示的两个直角三角形，即 Rt △P AC ，Rt △PBD ，使AC ＝1， BD ＝2，PC ＝x ，PD ＝4-x ，求最小值可转化为：在L 上求一点P ，使P A ＋PB 最小．取点A 关于L 的对称点A'，连结A'B ，则A'B 与L 的交点即为所求P 点，故P A ＋PB 的最小值即是线段A'B 在Rt △A'EB中，A'B ＝5，故函数y 的最小值为5．点评x 、1为直4-x ），2为直角边的斜边，此题可归纳为求两个直角三角形斜边的和的最小值，于是可构造图形来解决．A'PLABCD E图21－2好题妙解】佳题新题品味例1 在直径为AB 的半圆内，划出一块三角形区域，使三角形的一边为AB ，顶点C 在半圆周上，其他两边分别为6和8．现在建造一个内接于△ABC 的矩形水池DEFN ，其中，DE 在AB 上，如图21－3的设计方案是使AC ＝8，BC ＝6．（1）求△ABC 中AB 边上的高h ；（2）设DN ＝x ，当x 取何值时，水池DEFN 的面积最大?（3）实际施工时，发现AB 上距B 点1.85m 处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上? 如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树?NFE D CBA图21－3解析（1）运用勾股定理和面积公式可求得h ＝4.8；（2）∵△CNP ∽△CAB ，∴h DN NF h AB -=．∴()104.84.8x NF -=． 则()()210104.8 4.84.8 4.8DEFN S x x x x -=⋅⋅-=-．故当x ＝2.4时，DEFN S 最大； （3）当DEFN S 最大，x ＝2.4时，F 为BC 中点．在Rt △FEB 中，EF ＝2.4，BF ＝3．∴ 1.8EB ===．∵BM ＝1.85，∴BM >EB ．故大树位于欲修建的水池边上，应重新设计方案．∵x ＝2.4时，DE ＝5，∴AD ＝3.2．由圆的对称性知，满足题设条件的另外设计方案是将最大面积的水池建在使AC ＝6，BC ＝8，且C 点在半圆周上的△ABC 中．点评：本例应用二次函数的性质求解，并综合了相似三角形，圆等几何知识．题目设计新颖，有较强的创新特色．例2 正数x ，y ，z 满足22222225,39,316.y x xy y z z xz x ⎧++=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪++=⎪⎩试求xy ＋2yz ＋3xz 的值．R Q图21－4解析 如图21－4，构造一直角三角形PQR ，由条件可知：△PQR 内有一点，使OQ ＝z ，OP，OR ＝x ，则PQR OPR OPQ OQR S S S S =++△△△△．即111134=+sin12022223xz z x ⨯⨯⨯⋅+⋅⋅⋅，∴+ ∴xy ＋2yx ＋3xz ＝点评：此题条件复杂，若想通过代数方法求解，势必十分困难，通过观察，利用余弦定理构造图形却使问题变得较容易．例3 已知方程1x ax =+有一负根而没有正根，求实数a 的取值范围．解析：如图21－5，方程1x ax =+的根就是函数1y x =和21y ax =+的图象交点的横坐标．方程只有负根而没有正根，就是过点（0，1）的直线11y x =+只与直线()0y x x =-≤相交而不与直线()0y x x =≥相交．在同一坐标系中作出1y x =与21y ax =+的图象，观察图象知，110a-≤-<，∴1a ≥．图21－5过关检测】A 级1．函数()210y a ax bx c =>++，无论x 取任何实数，函数总有意义的条件是________．2．已知边长为a 的正方形，内接一个边长为b 的正方形，求证：b a <．3．已知a 、b 、x 、y 都是正数，且22221a b x y ax by +=+=+=，求证：22221a y b x +=+=，且ab ＝xy ．B 级1．已知正数a 、b 、c 、A 、B 、C 满足：a ＋A ＝b ＋B ＝c ＋C ＝10．求证：a·B ＋b·C ＋c·A <100．2．已知正数a 、b ，且a ＋b ＝1，求证：()()2225222a b +++≥．。

2020-2021学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题2.1列代数式(人教版)姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019秋•新宾县期末)全校学生总数为a，其中女生占总数的48%，则男生人数是() A．48a B．0.48a C．0.52a D．a﹣48【分析】用学生总数乘以男生人数所占的百分比，即可得出答案．【解析】由于学生总数是a人，其中女生人数占总数的48%，则男生人数是(1﹣48%)＝0.52a；故选：C．2．(2020•溧阳市一模)已知刚上市的水蜜桃每千克12元，则m千克水蜜桃共多少元？()A．m﹣12B．m+12C．m12D．12m【分析】根据总价＝单价×数量，列出算式即可求解．【解析】m千克水蜜桃共12m元．故选：D．3．(2019秋•任丘市期末)已知a是两位数，b是一位数，把a接写在b的后面，就成为一个三位数．这个三位数可表示成()A．10b+a B．ba C．100b+a D．b+10a【分析】b原来的最高位是个位，现在的最高位是百位，扩大了100倍；a不变．【解析】两位数的表示方法：十位数字×10+个位数字；三位数字的表示方法：百位数字×100+十位数字×10+个位数字．a是两位数，b是一位数，依据题意可得b扩大了100倍，所以这个三位数可表示成100b+a．故选：C．4．(2020•海门市校级模拟)一个两位数，个位上的数字是a，十位上的数字比个位的数字小1，则这个两位数可以表示为()A．a(a﹣1)B．(a+1)a C．10(a﹣1)+a D．10a+(a﹣1)【分析】两位数＝10×十位数字+个位数字，把相关数值代入化简即可．【解析】∵个位上的数字是a，十位上的数字比个位的数字小1，∴十位上的数字为a﹣1，∴这个两位数可表示为10(a﹣1)+a，故选：C．5．(2019秋•孝南区期末)某商品标价x元，进价为400元，在商场开展的促销活动中，该商品按8折销售获利()A．(8x﹣400)元B．(400×8﹣x)元C．(0.8x﹣400)元D．(400×0.8﹣x)元【分析】根据题意，可以用代数式表示出该商品按8折销售所获利润，本题得以解决．【解析】由题意可得，该商品按8折销售获利为：(0.8x﹣400)元，故选：C．6．(2019秋•惠来县期末)买一个足球需要m元，买一个篮球需要n元，则买4个足球、7个篮球共需要() A．(7m+4n)元B．28mn元C．(4m+7n)元D．11mn元【分析】总价格＝足球数×足球单价+篮球数×篮球单价，把相关数值代入即可．【解析】∵4个足球需要4m元，7个篮球需要7n元，∴买4个足球、7个篮球共需要(4m+7n)元，故选：C．7．(2019秋•乐亭县期末)某公司在销售一种智能机器人时发现，每月可售出300个，当每个降价1元时，可多售出5个，如果每个降价x元，那么每月可售出机器人的个数是()A．5x B．305+x C．300+5x D．300+1 5x【分析】根据题意，可以列出相应的代数式，本题得以解决．【解析】由题意可得，如果每个降价x元，那么每月可售出机器人的个数是：300+5x，故选：C．8．(2020•重庆)把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为()A ．10B ．15C ．18D ．21【分析】根据前三个图案中黑色三角形的个数得出第n 个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n ，据此可得第⑤个图案中黑色三角形的个数．【解析】∵第①个图案中黑色三角形的个数为1，第②个图案中黑色三角形的个数3＝1+2，第③个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3，……∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15，故选：B ．9．(2019秋•武进区期中)一块地有a 公顷，平均每公顷产粮食m 千克；另一块地有b 公顷，平均每公顷产粮食n 千克，则这两块地平均每公顷的粮食产量为( )A ．m+n 2B ．a+b2 C ．am+bna+b D ．am+bmm+n【分析】用两块地的总产量除以总的公顷数，列式即可．【解析】两块地的总产量为ma +nb ，所以，这两块地平均每公顷的粮食产量为：am+bn a+b ．故选：C ．10．(2019秋•汨罗市期中)观察并找出图形变化的规律，则第2019个图形中黑色正方形的数量是( )A ．3204B ．3020C ．3029D ．2018【分析】仔细观察图形可知：当n 为偶数时第n 个图形中黑色正方形的数量为n +n 2个；当n 为奇数时第n 个图形中黑色正方形的数量为n +n+12个，然后利用找到的规律即可得到答案．【解析】∵当n 为偶数时第n 个图形中黑色正方形的数量为n +n 2个；当n 为奇数时第n 个图形中黑色正方形的数量为n +n+12个，∴当n＝2019时，黑色正方形的个数为2019+1010＝3029(个)．故选：C．二、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)请把答案直接填写在横线上11．(2020•长春)长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m 张成人票和n张儿童票，则共需花费(30m+15n)元．【分析】根据单价×数量＝总价，用代数式表示结果即可．【解析】根据单价×数量＝总价得，(30m+15n)元，故答案为：(30m+15n)．12．(2019秋•襄汾县期末)某种衣服售价为m元时，每天的销量为n件，经调研发现：每降价1元可多卖5件，那么降价x元后，一天的销售额是(m﹣x)(n+5x)元．【分析】先得出降价后每件的售价及每天的销售量，根据销售额＝售价×销量，可得答案．【解析】由题意可知，每件衣服降价x元后，售价为(m﹣x)元，每天的销量为(n+5x)件，根据销售额＝售价×销量，可得销售额为：(m﹣x)(n+5x)元．故答案为：(m﹣x)(n+5x)．13．(2020春•道里区期末)某轮船顺水航行4h，逆水航行2h，已知轮船在静水中的速度是xkm/h，水流速度是ykm/h，则轮船共航行(6x+2y)km．【分析】分别表示出顺水和逆水的速度，然后求出总路程．【解析】顺水的速度为(x+y)km/h，逆水的速度为(x﹣y)km/h，则总航行路程＝4(x+y)+2(x﹣y)＝(6x+2y)km．故答案为：(6x+2y)．14．(2019秋•门头沟区期末)如图，长方形纸片上画有两个完全相同的阴影长方形，那么剩余的非阴影长方形的周长为4b﹣2a(用含a，b的代数式表示)．【分析】直接利用已知图形边长进而表示出各边长，即可得出答案．【解析】由题意可得，非阴影长方形的周长为：2(b﹣a)+2b＝4b﹣2a．故答案为：4b﹣2a．15．(2019秋•睢宁县期中)某商品降价20%以后的价格是m 元，此商品降价前的价格是 54m 元．【分析】根据某商品降价20%以后的价格是m 元，可以用含m 的代数式表示此商品降价前的价格．【解析】由题意可得，此商品降价前的价格是：m ÷(1﹣20%)=54m (元)，故答案为：54m ． 16．(2019秋•秦淮区期中)某品牌电视机搞促销，优惠方案如图．若该电视机原价每台为a 元，则售价为 (0.9a ﹣90) 元．(用含a 的代数式表示，答案需化简)【分析】根据题目中的优惠方案，可以用含a 的代数式表示电视机的售价．【解析】由题意可得，每台电视的售价是：(a ﹣100)×(1﹣10%)＝(0.9a ﹣90)(元)，故答案为：(0.9a ﹣90)．17．(2020•公主岭市一模)为了帮助一名白血病儿童治疗疾病，某班全体师生积极捐款，捐款金额共2800元，已知该班共有5名教师，每名教师捐款a 元，则该班学生共捐款 (2800﹣5a ) 元(用含a 的代数式表示)．【分析】根据某班全体师生积极捐款，捐款金额共2800元，该班共有5名教师，每名教师捐款a 元，从而可以用含a 的代数式表示出该班学生共捐款多少元，本题得以解决．【解析】由题意可得，该班学生共捐款(2800﹣5a )元，故答案为：(2800﹣5a )．18．(2020春•丹徒区期中)如图，图(1)的正方形的周长与图(2)的长方形的周长相等，且长方形的长比宽多acm ，则正方形的面积与长方形的面积的差为 a 24 (用含有字母a 的代数式表示)．【分析】设长方形的宽为xcm ，根据“图(1)的正方形的周长与图(2)的长方形的周长相等”求得正方形的边长，最后由长方形与正方形的面积公式计算正方形的面积与长方形的面积的差．【解析】设长方形的宽为xcm ，则长方形的长为(x +a )cm ，∵图(1)的正方形的周长与图(2)的长方形的周长相等， ∴正方形的边长为：2(x+a+x)4=2x+a 2， ∴正方形的面积与长方形的面积的差为：(2x+a 2)2−x(x +a)=4x 2+4ax+a 24−x 2−ax =a 24． 故答案为：a 24．19．(2019秋•连云港期中)如图是一块长为a ，宽为b (a ＞b )的长方形空地，空白处是两个半圆，要将阴影部分绿化，则绿化面积是 ab −14πb 2 (答案保留π)．【分析】直接利用矩形面积减去圆的面积进而得出答案．【解析】由题意可得，绿化面积是：ab ﹣π(12b )2＝ab −14πb 2． 故答案为：ab −14πb 2．20．(2019秋•延边州期末)如图(图中长度单位：cm )，用式子表示三角尺中的阴影部分面积是 (12ab −πr 2) cm 2．【分析】根据题意和图形，可以用含a 、b 、r 的代数式表示出阴影部分的面积．【解析】由图可得，三角尺中的阴影部分面积是：(12ab −πr 2)cm 2， 故答案为：(12ab −πr 2)．。

七年级数学尖子生培优训练第一讲 绝对值 典型例题：例1．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ） A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ． b例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号例3．（分类讨论思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？例4．（整体思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值．()()()()()()1111112220072007ab a b a b a b ++++++++++例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___ . （2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离可以表示为 ________________.（3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 ，取得最小值时x 的取值围为 ___.（4） 满足341>+++x x 的x 的取值围为 ______ .例7．（带入求值问题）设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0，ba，b 的形式，求20062007a b +。

巩固提高： 1、若||||||0,a b ab aba b ab+-则的值等于 ______ . 2、 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2， 求220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。

第二十讲点共线与线共点 趣题引路】 例1证明梅涅劳斯定理：如图20-b 在AABC 中，一直线截AABC 的三边AB 、AC 及BC 的延长线于ZX E 、F 三点。

解析:左边是比值的积.而右边是1,转化比值使其能约简.想到平行线分线段成比例作平行线即可.证明过点C 作CG///EF 交AB 于G如图20-2,在厶ABC 内任取一点P,直线BP 、CP 分别与BC 、CA. AB 相交于D 、E 、F,求证:1 •证明三点共线和三线共点的问题，是几何中常遇到的困难而有趣的问题，解这类问题一左要掌握好 证三点共线和三线共点的基本方法。

2 •证明三点共线的方法是：（1） 利用平角的概念，证明相邻两角互补、（2） 当AB±BC=AC 时，A. B 、C 三点共线。

（3） 用同一方法证明A 、B 、C 中一点必在另两点的连线上。

（4） 当AB 、BC 平行于同一直线时，A 、B 、C 三点共线。

（5） 若B 在PQ 上,A. C 在P. 0两侧，ZABP 二ZCBQ 时，A 、B 、C •三点共线.（6） 利用梅涅劳斯定理的逆定理.3.证明三线共点的基本方法是：（1） 证明其中两条直线的交点在第三条直线上（2） 证明三条直线都经过某一个特泄的点.（3） 利用已知泄理，例如任意三角形三边的中垂线交于一点，三条内角平分线交于一点，三条中线 交于一点以及三条高所在直线交于一点等。

（4） 利用塞瓦泄理的逆立理。

在证题过程中要根据题意灵活选用方法。

求证: BF CE AD FC EA DBBF . BD EC DGCF~ ~DG •J -- JAD'• BF CE AD _ BD DG AD> • FC EA BD ' DG AD BD 例2证明塞瓦左理:BD CE AFDC E4 7^证明 BD = S 、\Bp CE _ S*p AF _ DCS“C p弘 S*P FB S 磁p • BD CE AF = S MRH S ^CP DC EA FB Sx'p S WBP S 、\CP_]S 乂 cp知识拓展】 图20-2例1 如图20-3,已知BD二CE,求证：AC • EF二AB • DF.解析 等积转化为等比，由比例式可看岀直线BCF 截AADE 的三边, 即可用梅氏定理加以证明.证明直线BF 交ZMDE 三边所在直线于B 、C 、F. V BD = CE :. AB • DF 二EF • AC . 例2（1995年河北省初中竞赛题）如图20-4,在正△ABC 的边BC 、CA. AB 上分别有内分点D 、E 、 5-2）（其中Q4）,线段AD BE, CF 相交所成的△〃/?的面积是8BC 面积的芥 则• c _ "("一2)c _ n(n - 2) 2 c _ 2(/i - 2) c…WP =血一 2)+ 4 — 2)+ 4 7 A4fiC = n(n-2)+4同理 Sg=s“ =』Uswcn(n-2) + 46(/?-2) c 讹-2) + 4 ""由已知_ 6耳)=< ,解得尸6.n(n-2) + 4 7故选B.例3如图20-5, AABC 的乙4的外角平分线与边BC 的延长线交于P, ZB 的平分线交AC 于0 Z Q 的平分线交AB 于乩求证：P 、Q 、R 三点共线.由梅氏定理得: AB DF EC BD ACF,将边分成2： n 的值是（ A:5 )B:6 C:7解析 BD CE AF :，由梅氏世理有 n-2门-2 /?（/?-2） DC EA FB DB CE _ AP 2PD BC E4 = PD H.AP (畀一2) . APPD 4• AD "zi(n -2) + 4' AP A W2O-3D:8 C解析：••• AP 为ZB AC的外角平分线，AC PC• BQ为角平分线，二兰=些同理得：竺=竺BC QC AC RA..AR BP CQ AC AB BC・.P、Q、R三点共线.例4求证：三角形的三条角平分线交于一点已知：如图20-6, AD. BE、CF分别为角平分线，求证：AD. BE、CF交于一点解析：••• AD为ZBAC的平分线,・ BD _AB DC"ACCE BC AF _ AC同理得:E4 = AB= BCBD CE AF _ AB BC AC DC E4 FB = AC AB BC=1・••由塞瓦泄理得AD. BE、CF交于一点。

第一讲有理数之基础过关无理数：无限不循环小数有理数：1．除了无限不循环小数以外其他所有的数。

2．能够表示成分数m n(0n ≠，m 、n 均为整数且互质)形式的数。

有理数——整数和分数统称为有理数⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数自然数整数零负整数有理数正分数分数有限小数和无限循环小数负分数 数轴、相反数、绝对值、倒数、负倒数数轴: 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

相反数：只有符号不同的两个数，互称为相反数。

注意：求一个数或式子的相反数，只要在数和式子的前面加负号。

绝对值：点到原点距离。

注意：正数的绝对值是本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。

倒数： 乘积为1的两个数互为倒数。

负倒数：乘积为-1的两个数互为负倒数。

【例1】某公车原先有 22人，经过 4个站点时上下车情况如下(上车为正，下车为负)：(+4，-8)，(-5，+6)，(-3，+2)，(+1，-7)，则①“+4”、“-5”分别表示什么意义？②这4个站点总共新上了多少人？③经过 4个站点后，车上还有多少人？【例2】-a 的相反数为 5，b 的倒数是c ，c 的负倒数是2，d 在数轴的左边且与原点的距离为3，求32()a b d c ---的值。

【例3】已知a ，b 互为相反数，x 的绝对值为2，c 、d 互为倒数，试求219971998()()()x a b cd x a b cd ++++++-的值。

【例4】若有 x ，y 满足22002(1)1210x x y -+-+=，则22x y +的值为多少？【例5】式子212x ++的最小值是 ，这时x = 。

【例6】已知()22560x y y +++-=，则22315y xy x x -++= 。

【例7】改革开放以来，我国国内生产总值由1978年的3645亿元增长到2008年的300670亿元。

将300670亿元用科学记数法表示应为元，保留两个有效数字结果为元，精确到万亿元结果为元。

思维特训(二十一)角的运动问题方法点津·角的运动主要包括角的旋转、折叠以及三角尺的旋转．解决策略：在某一时刻，利用角的位置(大小)，建立方程求解，或借助整体思想、分类讨论思想、数形结合思想进行探究与求解．典题精练·类型一角的折叠1．(1)如图21－S－1①，OC是∠AOB内的一条射线．将OB，OA向∠AOB内部翻折，使射线OA，OB都与射线OC重合，折痕分别为OE，OF，∠EOF＝25°，求∠AOB的度数；(2)如图②，∠MON＝20°，OC是∠MON内部的一条射线，第一次操作分为两个步骤：第一步：将OC沿OM向∠MON外部翻折，得到OM1，第二步：将OC沿ON向∠MON 外部翻折，得到ON1；第二次操作也分为两个步骤：第一步：将OC沿OM1向∠MON外部翻折，得到OM2；第二步：将OC沿ON1向∠MON外部翻折，得到ON2；…依此类推，在第________次操作的第________步恰好第一次形成一个周角，并求∠MOC的度数．图21－S－1类型二射线的旋转2．如图21－S－2，已知∠AOB＝90°，射线OC绕点O从OA位置开始，以每秒4°的速度按顺时针方向旋转；同时，射线OD绕点O从OB位置开始，以每秒1°的速度按逆时针方向旋转．当OC与OA成180°角时，OC与OD同时停止旋转．(1)当OC旋转10秒时，∠COD＝________°；(2)当OC与OD的夹角是30°时，求旋转的时间；(3)当OB平分∠COD时，求旋转的时间．图21－S－23．如图21－S－3，已知∠AOB＝20°，∠AOE＝100°，OB平分∠AOC，OD平分∠AOE.(1)求∠COD的度数；(2)若以O为观察中心，OA为正东方向，则射线OD的方向角是____________；(3)若∠AOE的两边OA，OE分别以每秒5°、每秒3°的速度，同时绕点O逆时针方向旋转，当OA回到原处时，OA，OE停止运动，则经过几秒，∠AOE＝42°？图21－S－3类型三角的旋转4．如图21－S－4①，射线OC，OD在∠AOB的内部，且∠AOB＝150°，∠COD＝30°，射线OM，ON分别平分∠AOD，∠BOC.(1)求∠MON的度数；(2)如图②，若∠AOC＝15°，将∠COD绕点O以每秒x°的速度逆时针旋转10秒，此时∠AOM＝711∠BON，如图③所示，求x的值．图21－S－4类型四三角尺的旋转5．将一副三角尺如图21－S－5①所示摆放在直线AD上(三角尺OBC和三角尺MON，∠OBC＝90°，∠BOC＝45°，∠MON＝90°，∠MNO＝30°)，保持三角尺OBC不动，将三角尺MON绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒．(1)当t＝________时，OM平分∠AOC，如图②，此时∠NOC－∠AOM＝________；(2)继续旋转三角尺MON，如图③，使得OM，ON同时在直线OC的右侧，猜想∠NOC 与∠AOM有怎样的数量关系，并说明理由；(3)若在三角尺MON开始旋转的同时，另一个三角尺OBC也绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当OM旋转至射线OD上时同时停止(自行画图分析)．①当t＝________时，OM平分∠AOC?②请直接写出在旋转过程中，∠NOC与∠AOM的数量关系．图21－S－56．O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝65°，将一块三角尺的直角顶点放在点O处．(1)如图21－S－6①，将三角尺MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC＝________；(2)如图②，将三角尺MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的平分线，求∠BON和∠CON的度数；(3)将三角尺MON绕点O逆时针旋转至图③的位置时，∠NOC＝∠AOM，求∠NOB 的度数．图21－S－6详解详析1．解：(1)因为将OB，OA向∠AOB内部翻折，使射线OA，OB都与射线OC重合，折痕分别为OE，OF，∠EOF＝25°，所以∠AOB＝2∠COE＋2∠COF＝2(∠EOC＋∠COF)＝50°.(2)在第五次操作的第一步恰好第一次形成一个周角．设∠MOC＝x°，则16×20°＋16x°＝360°，解得x＝2.5，所以∠MOC＝2.5°.2．解：(1)因为射线OC绕点O从OA位置开始，以每秒4°的速度按顺时针方向旋转，射线OD绕点O从OB位置开始，以每秒1°的速度按逆时针方向旋转，所以当OC旋转10秒时，∠COD＝90°－4°×10－1°×10＝40°，故答案为：40.(2)设旋转t秒时，OC与OD的夹角是30°.如图①，则4t＋t＝90－30，解得t＝12；如图②，则4t＋t＝90＋30，解得t＝24.综上所述，旋转的时间是12秒或24秒．(3)如图③，设旋转m秒时，OB平分∠COD，则4m－90＝m，解得m＝30，故旋转的时间是30秒．3．解：(1)因为∠AOB＝20°，∠AOE＝100°，所以∠EOB＝∠AOE－∠AOB＝80°.又因为OB平分∠AOC，OD平分∠AOE，所以∠AOC ＝2∠AOB ＝40°，∠AOD ＝12∠AOE ＝50°， 所以∠COD ＝∠AOD －∠AOC ＝50°－40°＝10°.(2)由(1)知∠AOD ＝50°，所以射线OD 的方向角为北偏东40°.(3)设经过x 秒，∠AOE ＝42°，则3x －5x ＋100＝42或5x －(3x ＋100)＝42，解得x ＝29或x ＝71.即经过29秒或71秒，∠AOE ＝42°.4．解：(1)因为∠AOB ＝150°，∠COD ＝30°，OM ，ON 分别平分∠AOD ，∠BOC ，所以∠MON ＝∠MOD ＋∠NOC －∠COD ＝12(∠AOD ＋∠BOC)－∠COD ＝ 12(∠AOB ＋∠COD)－∠COD ＝60°. (2)由题意，得∠BOD ＝105°－10x°，∠AOC ＝15°＋10x°，所以∠BOC ＝135°－10x°，∠AOD ＝45°＋10x°.又因为∠AOM ＝711∠BON ，且OM ，ON 分别平分∠AOD ，∠BOC ， 所以∠AOD ＝711∠BOC ， 即45°＋10x°＝711(135°－10x°)，解得x ＝2.5.5．解：(1)因为∠AOC ＝45°，OM 平分∠AOC ，所以∠AOM ＝12∠AOC ＝22.5°， 所以t ＝2.25.因为∠MON ＝90°，∠MOC ＝22.5°，所以∠NOC －∠AOM ＝∠MON －∠MOC －∠AOM ＝45°.故答案为2.25，45°.(2)∠NOC －∠AOM ＝45°.理由：因为∠AON ＝90°＋(10t)°，所以∠NOC ＝90°＋(10t)°－45°＝45°＋(10t)°.因为∠AOM ＝(10t)°，所以∠NOC －∠AOM ＝45°.(3)①如图，因为∠AOB ＝(5t)°，所以∠AOC ＝45°＋(5t)°.因为OM 平分∠AOC ，所以∠AOM ＝12∠AOC ， 而∠AOM ＝(10t)°，所以10t ＝12(45＋5t)，解得t ＝3.②∠NOC －12∠AOM ＝45°. 理由：因为∠AOB ＝(5t)°，∠AOM ＝(10t)°，∠MON ＝90°，∠BOC ＝45°，所以∠AON ＝90°＋∠AOM ＝90°＋(10t)°，∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC ＝45°＋(5t)°，所以∠NOC ＝∠AON －∠AOC ＝90°＋(10t)°－45°－(5t)°＝(5t)°＋45°， 所以∠NOC －错误!∠AOM ＝45°.6．解：(1)因为∠MON ＝90°，∠BOC ＝65°，所以∠MOC ＝∠MON －∠BOC ＝90°－65°＝25°.(2)因为∠BOC ＝65°，OC 是∠MOB 的平分线，所以∠MOB ＝2∠BOC ＝130°.所以∠BON ＝∠MOB －∠MON ＝130°－90°＝40°.所以∠CON ＝∠BOC －∠BON ＝65°－40°＝25°.(3)因为∠BOC ＝65°，所以∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝180°－65°＝115°.因为∠MON＝90°，所以∠AOM＋∠NOC＝∠AOC－∠MON＝115°－90°＝25°. 又因为∠NOC＝∠AOM，所以2∠NOC＝25°.所以∠NOC＝12.5°.所以∠NOB＝∠NOC＋∠BOC＝77.5°.。

七年级数学尖子生培优训练第一讲 绝对值 典型例题：例1．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ） A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ． b例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号例3．（分类讨论思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢例4．（整体思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值．()()()()()()1111112220072007ab a b a b a b ++++++++++例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗答：___ . （2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离可以表示为 ________________.（3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 ___.（4） 满足341>+++x x 的x 的取值范围为 ______ .例7．（带入求值问题）设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0，ba，b 的形式，求20062007a b +。

巩固提高： 1、若||||||0,a b ab aba b ab+-则的值等于 ______ . 2、 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2， 求220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。

第1讲与有理数有关的概念欧阳光明（2021.03.07）考点·方法·破译1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量.2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（）A．－18% B．－8% C．＋2% D．＋8%02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )A ． －5吨B ． ＋5吨C ． －3吨D ． ＋3吨03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l5：00，纽约时问是____【例２】在－227，π，0.033.3这四个数中有理数的个数（ )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数分类，有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．【变式题组】01．在7，0．1 5，－12，－301.31.25，－18，100.l ，－3 001中，负分数为，整数为，正整数 .02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－19，215，－138，0.1．－5.32，123, 2.333【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14．－15，16，…，找规律到第2007个数是.【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．击归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－12007.【变式题组】01．（湖北宜宾）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四十数是17＝9＋8…观察并精想第六个数是.02．（毕节）毕选哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____.03．（茂名）有一组数l，2，5，10，17，26…请观察规律，则第8个数为____.【例４】（2008年河北张家口）若l＋m2的相反数是－3，则m的相反数是____.【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反数，本题m 2＝－4,m＝－8【变式题组】01．（四川宜宾）－5的相反数是( )A．5 B．15C．－5 D．－1502．已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，则a＋b ＋cd＝______03．如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A、B、C内分别填人适当的数，使得它们折成正方体.若相对的面上的两个数互为相反数，则填人正方形A、B、C内的三个数依次为( )A．－ 1 ,2，0 B． 0，－2，1 C．－2，0，1 D． 2，1，0【例５】（湖北）a、b为有理数，且a＞0，b＜0，|b|＞a，则a,b、－a,－b的大小顺序是( )A．b＜－a＜a＜－bB．–a＜b＜a＜－bC．–b＜a＜－a＜bD．–a＜a＜－b＜b【解法指导】理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a的点到原点的距离,即|a|,用式子表示为|a|＝0)0(0)(0)a aaa a>⎧⎪=⎨⎪-<⎩(.本题注意数形结合思想，画一条数轴标出a、b,依相反数的意义标出－b,－a,故选A．【变式题组】01．推理①若a ＝b ，则|a|＝|b|；②若|a|＝|b|，则a ＝b ；③若a≠b ，则|a|≠|b|；④若|a|≠|b|，则a≠b ，其中正确的个数为（ ）A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个02．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c ＝.03．a 、b 、c 为不等于O 的有理散，则a |a|＋b |b|＋c |c|的值可能是____.【例６】（江西课改）已知|a －4|＋|b －8|＝0，则a+b ab 的值.【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数a 的绝对值都是非负数，即|a|≥0．所以|a －4|≥0，|b －8|≥0.而两个非负数之和为0，则两数均为0.解：因为|a －4|≥0，|b －8|≥0，又|a －4|＋|b －8|＝0，∴|a －4|＝0，|b －8|＝0即a －4＝0，b －8＝0，a ＝4，b ＝8.故a+b ab ＝1232＝38【变式题组】01．已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a ＞b ＞c ，求a ＋b ＋C ． 02．（毕节）若|m －3|＋|n ＋2|＝0，则m ＋2n 的值为( )A ． －4B ． －1C ． 0D ． 403．已知|a|＝8，|b|＝2，且|a －b|＝b －a ，求a 和b 的值【例７】（第l8届迎春杯）已知(m ＋n)2＋|m|＝m ，且|2m －n －2|＝0．求mn 的值．【解法指导】本例关键是通过分析(m ＋n)2＋|m|的符号，挖掘出m 的符号特征,从而把问题转化为(m ＋n)2＝0，|2m －n －2|＝0，找到解题途径.解：∵(m ＋n)2≥0，|m|≥O∴(m ＋n)2＋|m|≥0，而(m ＋n)2＋|m|＝m∴ m≥0,∴(m ＋n)2＋m ＝m ，即(m ＋n)2＝0∴m ＋n ＝O ①又∵|2m －n －2|＝0∴2m －n －2＝0 ②由①②得m ＝23，n ＝－23，∴ mn ＝－49【变式题组】01．已知(a ＋b)2＋|b ＋5|＝b ＋5且|2a －b –l|＝0，求a －B ．02．（第16届迎春杯）已知y ＝|x －a|＋|x ＋19|＋|x －a －96|，如果19＜a ＜96．a≤x≤96,求y 的最大值.演练巩固·反馈提高01．观察下列有规律的数12,16,112,120,130,142…根据其规律可知第9个数是( )A ．156B ．172C ．190D ．111002．（芜湖）－6的绝对值是( )A ． 6B ． －6C ．16D ． －1603．在－227,π,8..0.3四个数中，有理数的个数为( )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个04．若一个数的相反数为a ＋b ，则这个数是( )A ．a －bB ．b －aC ． –a ＋bD ． –a －b05．数轴上表示互为相反数的两点之间距离是6，这两个数是( )A ． 0和6B ．0和－6C ． 3和－3D ． 0和306．若－a 不是负数，则a( )A ． 是正数B ． 不是负数C ． 是负数D ． 不是正数 07．下列结论中，正确的是( )①若a ＝b,则|a|＝|b| ②若a ＝－b,则|a|＝|b|③若|a|＝|b|，则a ＝－b ④若|a|＝|b|,则a ＝bA ． ①②B ． ③④C ． ①④D ． ②③08．有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示,则a 、b ，－a ，|b|的大小关系正确的是( )A ． |b|＞a ＞－a ＞bB ． |b| ＞b ＞a ＞－a C ．a ＞|b|＞b ＞－aD ．a ＞|b|＞－a ＞b09．一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个数是____.10．已知|x ＋2|＋|y ＋2|＝0，则xy ＝____.11．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，求|a|a ＋|b|b ＋|abc|abc ＋|c|c12．若三个不相等的有理数可以表示为1、a 、a ＋b 也可以表示成0、b、ba的形式，试求a、b的值.13．已知|a|＝4，|b|＝5，|c|＝6，且a＞b＞c，求a＋b－C．14．|a|具有非负性，也有最小值为0，试讨论：当x为有理数时，|x －l|＋|x－3|有没有最小值，如果有，求出最小值；如果没有，说明理由.15．点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a－b| 当A、B两点都不在原点时有以下三种情况:①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－(－a)＝|a－b|；③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|；综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a－b|．回答下列问题:⑴数轴上表示2和5的两点之间的距离是,数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是, 3，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是4；⑵数轴上表示x和－1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是|x+1|，如果|AB|＝2，那么x＝1或3；⑶当代数式|x＋1|＋|x－2|取最小值时，相应的x的取值范围是7．培优升级·奥赛检测01．（重庆市竞赛题）在数轴上任取一条长度为199919的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是( )A． 1998 B． 1999 C． 2000 D． 200102．（第l8届希望杯邀请赛试题）在数轴上和有理数a、b、c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①abc＜0;②|a－b|＋|b －c|＝|a－c|；③（a－b）(b－c)(c－a)＞0；④|a|＜1－bc．其中正确的结论有( )A． 4个 B．3个C．2个 D． 1个03．如果a、b、c是非零有理数，且a＋b＋c＝0．那么a|a|＋b|b|＋c|c|＋abc|abc|的所有可能的值为（）A．－1 B． 1或－1 C． 2或－2 D． 0或－204．已知|m|＝－m，化简|m－l|－|m－2|所得结果( )A．－1 B．1 C．2m －3 D．3－ 2m05．如果0＜p＜15，那么代数式|x－p|＋|x－15|＋|x－p－15|在p≤x≤15的最小值( )A．30 B．0C． 15 D．一个与p有关的代数式06．|x＋1|＋|x－2|＋|x－3|的最小值为.07．若a＞0，b＜0，使|x－a|＋|x－b|＝a－b成立的x取值范围. 08．（武汉市选拔赛试题）非零整数m、n满足|m|＋|n|－5＝0所有这样的整数组(m ，n)共有组09．若非零有理数m 、n 、p 满足|m|m ＋|n|n ＋|p|p ＝1．则2mnp |3mnp|＝.10．（19届希望杯试题）试求|x －1|＋|x －2|＋|x －3|＋…＋|x －1997|的最小值.11．已知(|x ＋l|＋|x －2|)（|y －2|＋|y ＋1|）（|z －3|＋|z ＋l|）＝36，求x ＋2y ＋3的最大值和最小值.12．电子跳蚤落在数轴上的某点k0，第一步从k0向左跳1个单位得k1，第二步由k1向右跳2个单位到k2，第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位到k4…按以上规律跳100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100新表示的数恰好19.94，试求k0所表示的数.13．某城镇，沿环形路上依次排列有五所小学，它们顺扶有电脑15台、7台、1l 台、3台，14台，为使各学校里电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑，问怎样调配才能使调出的电脑总台数最小？并求出调出电脑的最少总台数.*欧阳光明*创编 2021.03.07第2讲有理数的加减法考点·方法·破译1．理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义.2．准确运用有理数加法法则进行运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算.3．理解有理数减法与加法的转换关系，会用有理数减法解决生活中的实际问题.4．会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和.经典·考题·赏析【例１】（河北唐山）某天股票A开盘价18元，上午11:30跌了1.5元，下午收盘时又涨了0.3元，则股票A这天的收盘价为（）A．0.3元B．16.2元C．16.8元D．18元【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时，首先将具有相反意义的量确定一个为正，另一个为负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加，取相同符号并用绝对值相加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值.解：18＋（－1.5）＋（0.3）＝16.8，故选C．【变式题组】01．今年陕西省元月份某一天的天气预报中，延安市最低气温为－6℃，西安市最低气温2℃，这一天延安市的最低气温比西安低（）A．8℃B．－8℃C．6℃D．2℃02．（河南）飞机的高度为2400米，上升250米，又下降了327米，这是飞机的高度为__________03．（浙江）珠穆朗玛峰海拔8848m，吐鲁番海拔高度为－155 m，则它们的平均海拔高度为__________【例２】计算（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）【解法指导】应用加法运算简化运算，－83与－17相加可得整百的数，＋26与－26互为相反数，相加为0，有理数加法常见技巧有：⑴互为相反数结合一起；⑵相加得整数结合一起；⑶同分母的分数或容易通分的分数结合一起；⑷相同符号的数结合一起.解：（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）＝[（－83）＋（－17）]＋[（＋26）＋（－26）]＋15＝（－100）＋15＝－85【变式题组】01．（－2.5）＋（－312）＋（－134）＋（－114）02．（－13.6）＋0.26＋（－2.7）＋（－1.06）03．0.125＋314＋（－318）＋1123＋（－0.25）【例３】计算1111 12233420082009 ++++⨯⨯⨯⨯【解法指导】依111(1)1n n n n=-++进行裂项，然后邻项相消进行化简求和.解：原式＝1111111 (1)()()()2233420082009 -+-+-++-＝1111111 12233420082009 -+-+-++-＝112009-＝20082009【变式题组】01．计算1＋（－2）＋3＋（－4）＋ … ＋99＋（－100） 02．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的正方形，再把面积为14的正方形等分成两个面积为18的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算11111111248163264128256+++++++＝__________. 【例４】如果a ＜0，b ＞0，a ＋b ＜0A ．a ＞b ＞－b ＞－aB ．a ＞－a ＞b ＞－b C ．b ＞a ＞－b ＞－aD ．－a ＞b ＞－b ＞a【解法指导】紧扣有理数加法法则，由两加数及其和的符号，确定两加数的绝对值的大小，然后根据相反数的关系将它们在同一数轴上表示出来，即可得出结论.解：∵a ＜0，b ＞0，∴a ＋b 是异号两数之和又a ＋b ＜0，∴a 、b 中负数的绝对值较大，∴| a |＞| b |将a 、b 、－a 、－b 表示在同一数轴上，如图，则它们的大小关系是－a ＞b ＞－b ＞a 【变式题组】01．若m ＞0，n ＜0，且|m |＞|n ，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜号）02．若m ＜0，n ＞0，且|m |＞|n |，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜号）03．已知a ＜0，b ＞0，c ＜0，且|c |＞|b |＞|a |，试比较a 、b 、c 、a ＋b 、a ＋c 的大小【例５】425－（－33311）－（－1.6）－（－21811） 【解法指导】有理数减法的运算步骤：⑴依有理数的减法法则，把减号变为加号，并把减数变为它的相反数；⑵利用有理数的加法法则进行运算.解：425－（－33311）－（－1.6）－（－21811）＝425＋33311＋1.6＋21811＝4.4＋1.6＋（33311＋21811）＝6＋55＝61【变式题组】01．21511()()()()(1)32632--+---+-+02．434－（＋3.85）－（－314）＋（－3.15）03．178－87.21－（－43221）＋1531921－12.79【例６】试看下面一列数：25、23、21、19…⑴观察这列数，猜想第10个数是多少？第n 个数是多少？ ⑵这列数中有多少个数是正数？从第几个数开始是负数？ ⑶求这列数中所有正数的和.【解法指导】寻找一系列数的规律，应该从特殊到一般，找到前面几个数的规律，通过观察推理、猜想出第n 个数的规律，再用其它的数来验证.解：⑴第10个数为7，第n 个数为25－2(n －1)⑵∵n ＝13时，25－2(13－1)＝1，n ＝14时，25－2(14－1)＝－1故这列数有13个数为正数，从第14个数开始就是负数.⑶这列数中的正数为25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1，其和＝（25＋1）＋（23＋3）＋…＋（15＋11）＋13＝26×6＋13＝169【变式题组】01．(杭州)观察下列等式1－12＝12，2－25＝85，3－310＝2710，4－417＝6417…依你发现的规律，解答下列问题.⑴写出第5个等式；⑵第10个等式右边的分数的分子与分母的和是多少？02．观察下列等式的规律9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20⑴用关于n（n≥1的自然数）的等式表示这个规律；⑵当这个等式的右边等于2008时求n.【例７】（第十届希望杯竞赛试题）求12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋（15＋25＋35＋45）＋… ＋（150＋250＋…＋4850＋4950）【解法指导】观察式中数的特点发现：若括号内在加上相同的数均可合并成1，由此我们采取将原式倒序后与原式相加，这样极大简化计算了.解：设S＝12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋… ＋（150＋250＋…＋4850＋4950）则有S＝12＋（23＋13）＋（34＋24＋14）＋… ＋（4950＋4850＋…＋250＋150）将原式和倒序再相加得2S＝12＋12＋（13＋23＋23＋13）＋（14＋24＋34＋34＋24＋14）＋… ＋（150＋2 50＋…＋4850＋4950＋4950＋4850＋…＋250＋150）即2S＝1＋2＋3＋4＋ (49)49(491)2⨯+＝1225∴S＝12252【变式题组】01．计算2－22－23－24－25－26－27－28－29＋21002．（第8届希望杯试题）计算（1－12－13－…－12003）（12＋13＋14＋…＋12003＋1 2004）－（1－12－13－…－12004）（12＋13＋14＋…＋12003）演练巩固·反馈提高01．m是有理数，则m＋|m|（）A．可能是负数B．不可能是负数C．比是正数D．可能是正数，也可能是负数02．如果|a|＝3，|b|＝2，那么|a＋b|为（）A．5B．1C．1或5D．±1或±503．在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（）A ．1B ．0C ．－1D ．－304．两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（ ）A ．两数一定都是正数B ．两数都不为0C ．至少有一个为负数D ．至少有一个为正数 05．下列等式一定成立的是（ ）A ．|x|－ x ＝0B ．－x －x ＝0C ．|x|＋|－x| ＝0D ．|x|－|x|＝006．一天早晨的气温是－6℃，中午又上升了10℃，午间又下降了8℃，则午夜气温是（ ）A ．－4℃B ．4℃C ．－3℃D ．－5℃ 07．若a ＜0，则|a －(－a)|等于（ ）A ．－aB ．0C ．2aD ．－2a 08．设x 是不等于0的有理数，则||||2x x x-值为（ ） A ．0或1B ．0或2C ．0或－1D ．0或－2 09．（济南）2＋(－2)的值为__________ 10．用含绝对值的式子表示下列各式：⑴若a ＜0，b ＞0,则b －a ＝__________，a －b ＝__________ ⑵若a ＞b ＞0，则|a －b|＝__________ ⑶若a ＜b ＜0，则a －b ＝__________ 11．计算下列各题：⑴23＋（－27）＋9＋5⑵－5.4＋0.2－0.6＋0.35－0.25⑶－0.5－314＋2.75－712⑷33.1－10.7－（－22.9）－|－2310| 12．计算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－9913．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天从A 地出发到收工时所走的路线（单位：千米）为：＋10，－3，＋4，－2，－8，＋13，－7，＋12，＋7，＋5 ⑴问收工时距离A 地多远？⑵若每千米耗油0.2千克，问从A 地出发到收工时共耗油多少千克？ 14．将1997减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，再减去余下的15……以此类推，直到最后减去余下的11997，最后的得数是多少？15．独特的埃及分数：埃及同中国一样，也是世界著名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如13＋115来表示25，用14＋17＋128表示37等等.现有90个埃及分数：12，13，14，15，…190，191，你能从中挑出10个，加上正、负号，使它们的和等于－1吗？ 培优升级·奥赛检测 01．（第16届希望杯邀请赛试题）1234141524682830-+-+-+-+-+-+-等于（ ）A ．14B ．14-C ．12D ．12- 02．自然数a 、b 、c 、d 满足21a ＋21b ＋21c ＋21d ＝1，则31a ＋41b ＋51c ＋61d等于（ ）5343332313A ．18B ．316C ．732D ．156403．（第17届希望杯邀请赛试题）a 、b 、c 、d 是互不相等的正整数，且abcd ＝441，则a ＋b ＋c ＋d 值是（ ）A ．30B ．32C ．34D ．36 04．（第7届希望杯试题）若a ＝1995199519961996，b ＝1996199619971997，c ＝1997199719981998，则a 、b 、c大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b 05．11111(1)(1)(1)(1)(1)1324351998200019992001+++++⨯⨯⨯⨯⨯的值得整数部分为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 06．(－2)2004＋3×(－2)2003的值为（ ）A ．－22003B ．22003C ．－22004D ．2200407．（希望杯邀请赛试题）若|m|＝m ＋1，则(4m ＋1)2004＝__________08．12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋ … ＋（160＋260＋…＋5960）＝__________ 09．19191976767676761919-＝__________10．1＋2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210＝__________ 11．求32001×72002×132003所得数的末位数字为__________ 12．已知(a ＋b)2＋|b ＋5|＝b ＋5，且|2a －b －1|＝0，求aB ． 13．计算(11998－1)(11997－1) (11996－1) … (11001－1) (11000－1) 14．请你从下表归纳出13＋23＋33＋43＋…＋n3的公式并计算出13＋23＋33＋43＋…＋1003的值.第3讲 有理数的乘除、乘方考点·方法·破译1．理解有理数的乘法法则以及运算律，能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算，会利用运算律简化乘法运算.2．掌握倒数的概念，会运用倒数的性质简化运算.3．了解有理数除法的意义，掌握有理数的除法法则，熟练进行有理数的除法运算.4．掌握有理数乘除法混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算.5．理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方运算的符号法则，进一步掌握有理数的混合运算.经典·考题·赏析 【例１】计算⑴11()24⨯-⑵1124⨯⑶11()()24-⨯-⑷25000⨯⑸3713()()(1)()5697-⨯-⨯⨯-【解法指导】掌握有理数乘法法则，正确运用法则，一是要体会并掌握乘法的符号规律，二是细心、稳妥、层次清楚，即先确定积的符号，后计算绝对值的积.解：⑴11111()()24248⨯-=-⨯=-⑵11111()24248⨯=⨯= ⑶11111()()()24248-⨯-=+⨯=⑷250000⨯=⑸3713371031()()(1)()()569756973-⨯-⨯⨯-=-⨯⨯⨯=-【变式题组】01．⑴(5)(6)-⨯-⑵11()124-⨯⑶(8)(3.76)(0.125)-⨯⨯- ⑷(3)(1)2(6)0(2)-⨯-⨯⨯-⨯⨯-⑸111112(2111)42612-⨯-+-02．24(9)5025-⨯ 3．1111(2345)()2345⨯⨯⨯⨯---04．111(5)323(6)3333-⨯+⨯+-⨯【例２】已知两个有理数a 、b ，如果ab ＜0，且a ＋b ＜0，那么（ ）A ．a ＞0，b ＜0B ．a ＜0，b ＞0C ．a 、b 异号D ．a 、b 异号且负数的绝对值较大【解法指导】依有理数乘法法则，异号为负，故a 、b 异号，又依加法法则，异号相加取绝对值较大数的符号，可得出判断.解：由ab ＜0知a 、b 异号，又由a ＋b ＜0，可知异号两数之和为负，依加法法则得负数的绝对值较大，选D ．【变式题组】01．若a ＋b ＋c ＝0，且b ＜c ＜0，则下列各式中，错误的是（ ）A ．a ＋b ＞0B ．b ＋c ＜0C ．ab ＋ac ＞0D ．a ＋bc ＞002．已知a ＋b ＞0，a －b ＜0，ab ＜0，则a___________0，b___________0，|a|___________|b|. 03．(山东烟台)如果a ＋b ＜0，0ba>，则下列结论成立的是（ ） A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＜0，b ＜0 C ．a ＞0，b ＜0 D ．a ＜0，b ＞0 04．(广州)下列命题正确的是（ ）A ．若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0B ．若ab ＜0，则a ＜0，b ＜0C ．若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0D ．若ab ＝0，则a ＝0且b ＝0 【例３】计算⑴(72)(18)-÷-⑵11(2)3÷-⑶13()()1025-÷⑷0(7)÷- 【解法指导】进行有理数除法运算时，若不能整除，应用法则1，先把除法转化成乘法，再确定符号，然后把绝对值相乘，要注意除法与乘法互为逆运算.若能整除，应用法则2，可直接确定符号，再把绝对值相除.解：⑴(72)(18)72184-÷-=÷= ⑵17331(2)1()1()3377÷-=÷-=⨯-=-⑶131255()()()()10251036-÷=-⨯=-⑷0(7)0÷-= 【变式题组】01．⑴(32)(8)-÷-⑵112(1)36÷-⑶10(2)3÷-⑷13()(1)78÷-02．⑴12933÷⨯⑵311()(3)(1)3524-⨯-÷-÷⑶530()35÷-⨯03．113()(10.2)(3)245÷-+-÷⨯-【例４】（茂名）若实数a 、b 满足0a ba b+=，则ab ab ＝___________. 【解法指导】依绝对值意义进行分类讨论，得出a 、b 的取值范围，进一步代入结论得出结果.解：当ab ＞0，2(0,0)2(0,0)a b a b a b a b >>⎧+=⎨-<<⎩； 当ab ＜0，0a ba b+=，∴ab ＜0，从而ab ab ＝－1. 【变式题组】01．若k 是有理数，则(|k|＋k)÷k 的结果是（ ）A ．正数B ．0C ．负数D ．非负数02．若A ．b 都是非零有理数，那么aba b a b ab++的值是多少？03．如果x yx y+=，试比较x y -与xy 的大小. 【例５】已知223(2),1x y =-=- ⑴求2008xy的值； ⑵求32008x y的值.【解法指导】n a 表示n 个a 相乘，根据乘方的符号法则，如果a 为正数，正数的任何次幂都是正数，如果a 是负数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.解：∵223(2),1x y =-=- ⑴当2,1x y ==-时，200820082(1)2xy =-=当2,1x y =-=-时，20082008(2)(1)2xy=-⨯-=-⑵当2,1x y ==-时，332008200828(1)x y ==-当2,1x y =-=-时，3320082008(2)8(1)x y -==-- 【变式题组】01．（北京）若2(2)0m n m -+-=，则nm 的值是___________.02．已知x 、y 互为倒数，且绝对值相等，求()n nx y --的值，这里n 是正整数.【例６】（安徽）2007年我省为135万名农村中小学生免费提供教科书，减轻了农民的负担，135万用科学记数法表示为（ ）A ．0.135×106B ．1.35×106C ．0.135×107D ．1.35×107 【解法指导】将一个数表示为科学记数法的a×10n 的形式，其中a 的整数位数是1位.故答案选B ．【变式题组】01．（武汉）武汉市今年约有103000名学生参加中考，103000用科学记数法表示为（ ）A ．1.03×105B ．0.103×105C ．10.3×104D ．103×10302．（沈阳）沈阳市计划从2008年到2012年新增林地面积253万亩，253万亩用科学记数法表示正确的是（ ） A ．25.3×105亩 B ．2.53×106亩 C ．253×104亩 D ．2.53×107亩 【例７】（上海竞赛）222222221299110050002200500010050009999005000k k k ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-+-+-+【解法指导】找出21005000k k -+的通项公式＝22(50)50k -+原式＝2222222222221299(150)50(250)50(50)50(9950)50k k ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ ＝222222222222199298[][](150)50(9950)50(250)50(9850)50++++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ 222222222495150[](4950)50(5150)50(5050)50++-+-+-+ ＝49222+1++⋅⋅⋅+个＝99【变式题组】3333+++=( )2+4+6++10042+4+6++10062+4+6++10082+4+6++2006⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅A ．31003B ．31004C ．1334D ．1100002．（第10届希望杯试题）已知111111111.2581120411101640+++++++=求111111112581120411101640---+--++的值. 演练巩固·反馈提高01．三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．1个或3个 02．两个有理数的和是负数，积也是负数，那么这两个数（ ）A ．互为相反数B ．其中绝对值大的数是正数，另一个是负数C ．都是负数D ．其中绝对值大的数是负数，另一个是正数 03．已知abc ＞0，a ＞0，ac ＜0，则下列结论正确的是（ ）A ．b ＜0，c ＞0B ．b ＞0，c ＜0C ．b ＜0，c ＜0D ．b ＞0，c ＞0 04．若|ab|＝ab ，则（ ）A ．ab ＞0B ．ab≥0C ．a ＜0，b ＜0D ．ab ＜005．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，则代数式a bm cd m+-+的值为（ ）A ．－3B ．1C ．±3D ．－3或1 06．若a ＞1a，则a 的取值范围（ ） A ．a ＞1 B ．0＜a ＜1 C ．a ＞－1 D ．－1＜a ＜0或a ＞107．已知a 、b 为有理数，给出下列条件：①a ＋b ＝0；②a －b ＝0；③ab ＜0；④1ab=-，其中能判断a 、b 互为相反数的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 08．若ab≠0，则a ba b+的取值不可能为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．－2 09．1110(2)(2)-+-的值为（ ）A ．－2B ．(－2)21C ．0D ．－21010．(安徽)2010年一季度，全国城镇新增就业人数289万人，用科学记数法表示289万正确的是（ ） A ．2.89×107B ．2.89×106C ．2.89×105D ．2.89×10411．已知4个不相等的整数a 、b 、c 、d ，它们的积abcd ＝9，则a ＋b ＋c ＋d ＝___________. 12．21221(1)(1)(1)n n n +--+-+-（n 为自然数）＝___________.13．如果2x yx y +=，试比较x y-与xy 的大小. 14．若a 、b 、c 为有理数且1a b ca b c ++=-，求abc abc的值.15．若a 、b 、c 均为整数，且321a b c a -+-=.求a c c b b a -+-+-的值.培优升级·奥赛检测01．已知有理数x 、y 、z 两两不相等，则,,x y y z z xy z z x x y------中负数的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个或2个02．计算12345211,213,217,2115,2131-=-=-=-=-=⋅⋅⋅归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测201021-的个位数字是（ ）A ．1B ．3C ．7D ．5 03．已知23450ab c d e ＜，下列判断正确的是（ ）A ．abcde ＜0B ．ab2cd4e ＜0C ．ab2cde ＜0D ．abcd4e ＜0 04．若有理数x 、y 使得,,,xx y x y xy y+-这四个数中的三个数相等，则|y|－|x|的值是（ ） A ．12-B ．0C ．12D ．3205．若A ＝248163264(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)+++++++，则A －1996的末位数字是（ ）A ．0B ．1C ．7D ．9 06．如果20012002()1,()1a b a b +=--=，则20032003a b +的值是（ ）A ．2B ．1C ．0D ．－107．已知5544332222,33,55,66a b c d ====，则a 、b 、c 、d 大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞c ＞dB ．a ＞b ＞d ＞cC ．b ＞a ＞c ＞dD ．a ＞d ＞b ＞c 08．已知a 、b 、c 都不等于0，且a b c abca b c abc+++的最大值为m ，最小值为n ，则2005()m n +＝___________.09．（第13届“华杯赛”试题）从下面每组数中各取一个数将它们相乘，那么所有这样的乘积的总和是___________.第一组：15,3,4.25,5.753- 第二组：112,315-第三组：52.25,,412-10．一本书的页码从1记到n ，把所有这些页码加起来，其中有一页码被错加了两次，结果得出了不正确的和2002，这个被加错了两次的页码是多少？11．（湖北省竞赛试题）观察按下列规律排成一列数：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，15，24，23，42，51，16，…(＊)，在(＊)中左起第m 个数记为F(m)，当F(m)＝12001时，求m 的值和这m 个数的积.12．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：11,,1,2,4,8,16,32,6442填入方格中，使得所有行列及对角线上各数相乘的积相等，求x 的值.32 x6413．(第12届“华杯赛”试题)已知m 、n 都是正整数，并且111111(1)(1)(1)(1)(1)(1);2233A m m =-+-+⋅⋅⋅-+ 111111(1)(1)(1)(1)(1)(1).2233B n n=-+-+⋅⋅⋅-+证明：⑴11,;22m n A B m n ++== ⑵126A B -=，求m 、n 的值.第4讲 整式考点·方法·破译1．掌握单项式及单项式的系数、次数的概念.2．掌握多项式及多项式的项、常数项及次数等概念. 3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式.4．了解整式读、写的约定俗成的一般方法，会根据给出的字母的值求多项式的值. 经典·考题·赏析【例1】判断下列各代数式是否是单项式，如果不是请简要说明理由，如果是请指出它的系数与次数.【解法指导】 理解单项式的概念:由数与字母的积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式，数字的次数为0，是常数，单项式中所有字母指数和叫单项式次数.解：⑴不是，因为代数式中出现了加法运算；⑵不是，因为代数式是与x 的商； ⑶是，它的系数为π，次数为2；⑷是，它的系数为32-，次数为3. 【变式题组】01．判断下列代数式是否是单项式02．说出下列单项式的系数与次数【例２】如果与都是关于x、y的六次单项式，且系数相等，求m、n的值.【解法指导】单项式的次数要弄清针对什么字母而言，是针对x或y或x、y等是有区别的，该题是针对x与y而言的，因此单项式的次数指x、y的指数之和，与字母m无关，此时将m看成一个要求的已知数.解：由题意得【变式题组】01．一个含有x、y的五次单项式，x的指数为3.且当x＝2,y＝－1时，这个单项式的值为32，求这个单项式.02．（毕节）写出含有字母x、y的五次单项式______________________.【例３】已知多项式⑴这个多项式是几次几项式？⑵这个多项式最高次项是多少？二次项系数是什么？常数项是什么？【解法指导】n个单项式的和叫多项式，每个单项式叫多项式的项，多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数.解：⑴这个多项式是七次四项式；(2)最高次项是,二次项系数为－1，常数项是1.【变式题组】01．指出下列多项式的项和次数⑴ (2)02．指出下列多项式的二次项、二次项系数和常数项⑴ (2)【例４】多项式是关于x的三次三项式，并且一次项系数为－7.求m+n－k的值【解法指导】多项式的次数是单项式中次数最高的次数，单项式的系数是数字与字母乘积中的数字因数.解：因为是关于x的三次三项式，依三次知m＝3，而一次项系数为－7，即－（3n+1）＝－7，故n＝2.已有三次项为,一次项为－7x，常数项为5，又原多项式为三次三项式，故二次项的系数k＝0，故m+n－k＝3+2－0＝5.【变式题组】01．多项式是四次三项式，则m的值为（）A．2 B．－2 C．±2 D．±102．已知关于x、y的多项式不含二次项，求5a－8b的值. 03．已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求n的值.【例５】已知代数式的值是8,求的值.【解法指导】由，现阶段还不能求出x的具体值，所以联想到整体代入法.解：由得由（3【变式题组】01．(贵州)如果代数式－2a+3b+8的值为18，那么代数式9b－6a+2的值等于（）A．28 B．－28 C．32 D．－3202．（同山）若,则的值为_______________.03．（潍坊）代数式的值为9,则的值为______________.【例６】证明代数式的值与m的取值无关.【解法指导】欲证代数式的值与m的取值无关，只需证明代数式的化简结果不出现字母即可.证明：原式＝∴无论m的值为何，原式值都为4.∴原式的值与m的取值无关.【变式题组】01．已知,且的值与x无关，求a的值. 02．若代数式的值与字母x的取值无关，求a、b 的值.【例７】（北京市选拔赛）同时都含有a、b、c，且系数为1的七次单项式共有（）个A．4 B．12 C．15 D．25【解法指导】首先写出符合题意的单项式,x、y、z都是正整数，再依x+y+z＝7来确定x、y、z的值.解：为所求的单项式，则x、y、z都是正整数，且x+y+z＝7.当x＝1时，y＝1,2,3,4,5,z＝5,4,3,2,1.当x＝2时，y＝1,2,3,4,z＝4,3,2,1. 当x＝3时，y＝1,2,3,z＝3,2,1.当x＝4时，y＝1,2,z＝2,1.当x＝5时，y＝z＝1.所以所求的单项式的个数为5+4+3+2+1＝15，故选C．【变式题组】01．已知m、n是自然数，是八次三项式，求m、n值.02．整数n＝___________时，多项式是三次三项式.演练巩固·反馈提高01．下列说法正确的是（）A．是单项式 B．的次数为5C．单项式系数为0D．是四次二项式02．a表示一个两位数，b表示一个一位数，如果把b放在a的右边组成一个三位数.则这个三位数是（）A．100b+a B．10a+b C．a+bD．100a+b03．若多项式的值为1，则多项式的值是（）A．2 B．17 C．－7 D．704．随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑原售价为n元，降低m元后，又降低20%，那么该电脑的现售价为（）A．B．C．D．05．若多项式是关于x的一次多项式，则k的值是（）A．0 B．1 C．0或1 D．不能确定06．若是关于x、y的五次单项式，则它的系数是____________.07．电影院里第1排有a个座位，后面每排都比前排多3个座位，则第10排有_______个座位.08．若,则代数式xy+mn值为________.09．一项工作，甲单独做需a天完成，乙单独做需b天完成，如果甲、乙合做7天完成工作量是____________.10．(河北)有一串单项式(1)请你写出第100个单项式；⑵请你写出第n个单项式.11．（安徽）一个含有x、y的五次单项式，x的指数为3,且当x＝2，y＝－1时，这个单项式值为32，求这个单项式.12．（天津）已知x＝3时多项式的值为－1，则当x＝－3时这个多项式的值为多少？13．若关于x、y的多项式与多项式的系数相同，并且最高次项的系数也相同，求a－b的值.14．某地电话拨号入网有两种方式，用户可任取其一.A：计时制：0.05元/分B：包月制：50元/月（只限一部宅电上网）.此外，每种上网方式都得加收通行费0.02元/分.⑴某用户某月上网时间为x小时，请你写出两种收费方式下该用户应该支付的费用；(2)若某用户估计一个月内上网时间为20小时，你认为采用哪种方式更合算.培优升级·奥赛检测01．（扬州）有一列数,从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差.若,则为（）A．2007 B．2 C．D．－102．（华师一附高招生）设记号*表示求a、b算术平均数的运算，即,则下列等式中对于任意实数a、b、c都成立的是（）①②③④A．①②③B．①②④C．①③④D．②④03．已知,那么在代数式中，对任意的a、b，对应的代数式的值最大的是（）A．B．C．D．04．在一个地球仪的赤道上用铁丝箍半径增大1米，需增加m米长的铁丝，假设地球的赤道上一个铁丝箍，同样半径增大1米，需增加n米长的铁丝，则m与n大小关系（）A．m＞nB．m＜nC．m＝n D．不能确定05．（广安）已知_____________.06．某书店出售图书的同时，推出一项租书业务，每租看一本书，租期不超过3天，每天租。