计算方法 数值积分 插值型积分
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计算方法数值积分_插值型积分
一.概述
插值型积分是数值积分的一项重要方法,它是将要计算的曲面上的积分点根据插值函数或其中一种样条函数,插值成一条直线之后再求解。
插值型积分主要有牛顿-拉夫逊插值内插法、Chebyshev插值内插法、余弦和正弦插值内插法和Hermite插值内插法等,主要用来解决二元函数、多项式、函数的积分。
同时,插值型积分可以用来求解非常复杂的不可积函数,也可以用于求解紧密的积分,可以节省一定的计算时间。
二、牛顿-拉夫逊插值内插法
牛顿-拉夫逊插值内插法是插值型积分中最常用的方法,它通过在给定的多项式基函数上拟合曲线,计算曲线上积分点的函数值,然后把它们拟合到牛顿-拉夫逊插值函数中,最后将插值函数作为定积分的函数,通过求解插值函数的积分来解决问题。
牛顿-拉夫逊插值内插法一般采用牛顿-拉夫逊插值函数,它是基于多项式的函数,由节点上的函数值和其导数值建立插值函数,其积分也可以由插值函数和它的导数求解。
牛顿-拉夫逊插值函数具有以下特点:
1.多项式阶数不受限;
2.插值函数结果是一条曲线;
3.可以非常精确地表示复杂的函数;。
计算方法课程总结心得体会一、课程简介:本课程是信息与计算科学、数学与应用数学本科专业必修的一门专业基础课.我们需在掌握数学分析、高等代数和常微分方程的基础知识之上,学习本课程•在实际中,数学与科学技术一向有着密切关系并相互影响,科学技术各领域的问题通过建立数学模型与数学产生密切的联系,并以各种形式应用于科学和工程领域.而所建立的这些数学模型,在许多情况下,要获得精确解是十分困难的,甚至是不可能的,这就使得研究各种数学问题的近似解变得非常重要了,“数值计算方法”就是专门研究各种数学问题的近似解的一门课程•通过这门课程的教学,使学生掌握用数值分析方法解决实际问题的算法原理及理论分析,提高我们应用数学知识解决实际问题的能力.二、本课程主要内容包括:误差分析,插值法与拟合,数值积分,数值微分,线性方程组的直接解法和迭代解法,非线性方程求根,矩阵特征值问题计算、常微分方程初值问题数值解法.三、本课程重点难点:1、绝对误差限、相对误差限、有效数字2、基函数、拉格朗日插值多项式、差商、牛顿插值多项式、截断误差3、曲线拟合的最小二乘法(最小二乘法则、法方程组)4、插值型数值积分(公式、积分系数)a) N-C求积公式(梯形公式、Simpson公式、Cotes公式-系数、代数精度、截断误差)b)复合N-C公式(复合梯形公式、复合Simpson公式、收敛阶、截断误差)c)龙贝格算法的计算公式5、非线性方程求根的迭代法收敛性定理牛顿切线法、下山法、正割法(迭代公式、收敛阶)6 高斯消去法、列主元素高斯消去法、LU分解法解线性方程组Jacobi迭代法、S-R迭代法(迭代公式、迭代矩阵、收敛的充要条件、充分条件)矩阵的范数、谱半径、条件数、病态方程组7、欧拉方法(欧拉公式、向后欧拉公式、改进的欧拉公式)四、实际应用我们本学期的计算方法这门学科中,主要介绍了两种数值计算方法即:数值逼近与数值代数。
前面几章讲的关于插值和拟合是属于数值逼近,而后面几章则介绍了非线性方程、解线性方程组、以及最后一章的常微分方程则属于数值代数的部分。
数值分析简述及求解应用摘要:数值分析是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科,本文主要介绍了数值分析的一些求解方法的原理和过程,并应用在电流回路和单晶硅提拉过程中的,进一步体现数值分析的实际应用。
关键字:解方程组插值法牛顿法一、引言随着科学技术的发展,提出了大量复杂的数值计算问题,在建立电子计算机成为数值计算的主要工具以后,它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。
有可靠的理论分析,要有数值实验,并对计算的结果进行误差分析。
数值分析的主要内容包括插值法,函数逼近,曲线拟和,数值积分,数值微分,解线性方程组的直接方法,解线性方程组的迭代法,非线性方程求根,常微分方程的数值解法。
运用数值分析解决问题的过程包括:实际问题→数学建模→数值计算方法→程序设计→上机计算求出结果。
在自然科学研究和工程技术中有许多问题可归结为求解方程组的问题,方程组求解是科学计算中最常遇到的问题。
如在应力分析、电路分析、分子结构、测量学中都会遇到解方程组问题。
在很多广泛应用的数学问题的数值方法中,如三次样条、最小二乘法、微分方程边值问题的差分法与有限元法也都涉及到求解方程组。
在工程中常会遇到求解线性方程组的问题,解线性方程组的方法有直接法和迭代法,直接法就是经过有限步算术运算,可求的线性方程组精确解的方法(若计算过程没有舍入误差),但实际犹如舍入误差的存在和影响,这种方法也只能求得近似解,这类方法是解低阶稠密矩阵方程组级某些大型稀疏矩阵方程组的有效方法。
直接法包括高斯消元法,矩阵三角分解法、追赶法、平方根法。
迭代法就是利用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法。
将方程组的解看作是某极限过程的极限值,且计算这一极限值的每一步是利用前一步所得结果施行相同的演算步骤而进行。
迭代法具有需要计算机的存储单元少,程序设计简单,原始系数矩阵在计算过程始终不变等优点,但存在收敛性级收敛速度问题。
迭代法是解大型稀疏矩阵方程组(尤其是微分方程离散后得到的大型方程组)的重要方法。
河北联合大学第2012-2013-1学期《数值计算方法》教学大纲依据我校章程,特制定了适合我校理工科各专业本科生的《数值计算方法》教学大纲。
一、课程计划课程名称:数值计算方法Numerical Calculation Methods开课单位:理学院课程类型:专业必修课开设学期:第五学期讲授学时:共15周,每周4学时,共60学时学时安排:课堂教学44学时+实验教学16学时适用专业:信科、数学、统计理科专业本科生教学方式:讲授(多媒体为主)+上机考核方式:闭卷40% +上机实验20%+课程报告20% +平时成绩10%学分:4学分与其它课程的联系预修课程:数学分析、高等代数、常微分方程、计算机高级语言等。
后继课程:偏微分方程数值解及其它专业课程。
二、课程介绍数值计算方法也称为数值分析,是研究用计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论的一门学科。
随着计算科学与技术的进步和发展,科学计算已经与理论研究、科学实验并列成为进行科学活动的三大基本手段,作为一门综合性的新科学,科学计算已经成为了人们进行科学活动必不可少的科学方法和工具。
数值计算方法是科学计算的核心内容,它既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点,又有应用的广泛性与实际实验的高度技术性的特点,是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程。
主要介绍数值计算的误差、插值法、函数逼近与曲线拟合、线性方程组迭代解法、数值积分与数值微分、非线性方程组解法、矩阵特征值与特征向量数值计算以及常微分方程数值解,并特别加强实验环节的训练以提高学生动手能力。
通过本课程的学习,不仅能使学生初步掌握数值计算方法的基本理论知识,了解算法设计及数学建模思想,而且能使学生具备一定的科学计算能力和分析与解决问题的能力,不仅为学习后继课程打下良好的理论基础,也为将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。
教学与实验教学课堂教学实验教学论文报告机动课内学时课外学时学时数44 16 8 2 60 10三、重点难点课程重点:理解各种常用数值计算方法的数学原理和理论分析过程,掌握各种数值计算方法的示范性上机程序,学会设计数值算法的基本思路、一般原理和各种数值算法的程序实现。
第一章 绪论误差来源:模型误差、观测误差、截断误差(方法误差)、舍入误差ε(x )=|x −x ∗|是x ∗的绝对误差,e =x ∗−x 是x ∗的误差,ε(x )=|x −x ∗|≤ε,ε为x ∗的绝对误差限(或误差限) e r =ex =x ∗−x x为x ∗ 的相对误差,当|e r |较小时,令 e r =ex ∗=x ∗−x x ∗相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为:εr 即:|e r |=|x ∗−x||x ∗|≤ε|x ∗|=εr绝对误差有量纲,而相对误差无量纲若近似值x ∗的绝对误差限为某一位上的半个单位,且该位直到x ∗的第一位非零数字共有n 位,则称近似值 x ∗有n 位有效数字,或说 x ∗精确到该位。
例:设x=π=3.1415926…那么x ∗=3,ε1(x )=0.1415926…≤0.5×100,则x ∗有效数字为1位,即个位上的3,或说 x ∗精确到个位。
科学计数法:记x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m (其中a 1≠0),若|x −x ∗|≤0.5×10m−n ,则x ∗有n 位有效数字,精确到10m−n 。
由有效数字求相对误差限:设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m (a 1≠0)有n 位有效数字,则其相对误差限为12a 1×101−n由相对误差限求有效数字:设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m (a 1≠0)的相对误差限为为12(a 1+1)×101−n 则它有n 位有效数字令x ∗、y ∗是x 、y 的近似值,且|x ∗−x|≤η(x )、|y ∗−y|≤η(y)1. x+y 近似值为x ∗+y ∗,且η(x +y )=η(x )+η(y )和的误差(限)等于误差(限)的和2. x-y 近似值为x ∗−y ∗,且η(x +y )=η(x )+η(y )3. xy 近似值为x ∗y ∗,η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)4. η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)|y ∗|21.避免两相近数相减2.避免用绝对值很小的数作除数 3.避免大数吃小数 4.尽量减少计算工作量 第二章 非线性方程求根1.逐步搜索法设f (a ) <0, f (b )> 0,有根区间为 (a , b ),从x 0=a 出发, 按某个预定步长(例如h =(b -a )/N )一步一步向右跨,每跨一步进行一次根的搜索,即判别f (x k )=f (a +kh )的符号,若f (x k )>0(而f (x k -1)<0),则有根区间缩小为[x k -1,x k ] (若f (x k )=0,x k 即为所求根), 然后从x k -1出发,把搜索步长再缩小,重复上面步骤,直到满足精度:|x k -x k -1|< 为止,此时取x *≈(x k +x k -1)/2作为近似根。
数值计算方法教案第一章:数值计算概述1.1 数值计算的定义与意义介绍数值计算的概念解释数值计算在科学研究与工程应用中的重要性1.2 数值计算方法分类介绍数值逼近、数值积分、数值微分、数值解方程等基本方法分析各种方法的适用范围和特点1.3 误差与稳定性解释误差的概念及来源讨论数值计算中误差的控制与减小方法介绍稳定性的概念及判断方法第二章:插值与逼近2.1 插值法的基本概念介绍插值的概念及意义解释插值函数的性质和条件2.2 常用的插值方法介绍线性插值、二次插值、三次插值等方法分析各种插值方法的优缺点及适用范围2.3 逼近方法介绍切比雪夫逼近、傅里叶逼近等方法解释逼近的基本原理及应用场景第三章:数值积分与数值微分3.1 数值积分的基本概念介绍数值积分的概念及意义解释数值积分的原理和方法3.2 常用的数值积分方法介绍梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式等方法分析各种数值积分方法的适用范围和精度3.3 数值微分的基本概念与方法介绍数值微分的概念及意义解释数值微分的原理和方法第四章:线性方程组的数值解法4.1 线性方程组数值解法的基本概念介绍线性方程组数值解法的概念及意义解释线性方程组数值解法的原理和方法4.2 常用的线性方程组数值解法介绍高斯消元法、LU分解法、迭代法等方法分析各种线性方程组数值解法的优缺点及适用范围4.3 稀疏矩阵技术解释稀疏矩阵的概念及意义介绍稀疏矩阵的存储和运算方法第五章:非线性方程和方程组的数值解法5.1 非线性方程数值解法的基本概念介绍非线性方程数值解法的概念及意义解释非线性方程数值解法的原理和方法5.2 常用的非线性方程数值解法介绍迭代法、牛顿法、弦截法等方法分析各种非线性方程数值解法的优缺点及适用范围5.3 非线性方程组数值解法介绍消元法、迭代法等方法讨论非线性方程组数值解法的特点和挑战第六章:常微分方程的数值解法6.1 常微分方程数值解法的基本概念介绍常微分方程数值解法的概念及意义解释常微分方程数值解法的原理和方法6.2 初值问题的数值解法介绍欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等方法分析各种初值问题数值解法的适用范围和精度6.3 边界值问题的数值解法介绍有限差分法、有限元法、谱方法等方法讨论边界值问题数值解法的特点和挑战第七章:偏微分方程的数值解法7.1 偏微分方程数值解法的基本概念介绍偏微分方程数值解法的概念及意义解释偏微分方程数值解法的原理和方法7.2 偏微分方程的有限差分法介绍显式差分法、隐式差分法、交错差分法等方法分析各种有限差分法的适用范围和精度7.3 偏微分方程的有限元法介绍有限元法的原理和步骤讨论有限元法的适用范围和优势第八章:数值模拟与计算可视化8.1 数值模拟的基本概念介绍数值模拟的概念及意义解释数值模拟的原理和方法8.2 计算可视化技术介绍计算可视化的概念及意义解释计算可视化的原理和方法8.3 数值模拟与计算可视化的应用讨论数值模拟与计算可视化在科学研究与工程应用中的重要作用第九章:数值计算软件与应用9.1 数值计算软件的基本概念介绍数值计算软件的概念及意义解释数值计算软件的原理和方法9.2 常用的数值计算软件介绍MATLAB、Mathematica、Python等软件的特点和应用领域9.3 数值计算软件的应用案例分析数值计算软件在科学研究与工程应用中的典型应用案例第十章:数值计算方法的改进与新发展10.1 数值计算方法的改进讨论现有数值计算方法的局限性介绍改进数值计算方法的研究现状和发展趋势10.2 新的数值计算方法介绍近年来发展起来的新型数值计算方法分析新型数值计算方法的优势和应用前景10.3 数值计算方法的未来发展探讨数值计算方法在未来可能的发展方向和挑战重点和难点解析一、数值计算概述难点解析:对数值计算概念的理解,误差来源及控制方法的掌握。
01,,n1,,n1,,)n x及数值分析各算法流程图一、插值1、 拉格朗日插值流程图:( 相应程序:lagrintp(x,y,xx))2,,n ,,j n 1,2,,n 1,,)n 2、 牛顿插值流程图(1)产生差商表的算法流程图(相应程序:divdiff(x,y))注:1、另一程序divdiff1(x,y),输出的矩阵包含了节点向量。
而divdiff(x,y)不含节点向量。
2、另一程序tableofdd(x,y,m),输出的是表格形式,添加了表头。
1,,),,n m 及1,,m (2)非等距节点的牛顿插值流程图(相应程序:newtint11(x,y,xx,m)) 、注:1、虽然程序newtint11(x,y,xx,m)考虑了多种情形,看上去很复杂,但基本流程结构还是如上图所示。
2、程序中调用的子程序是divdiff 。
若调用的子程序是divdiff1的话,流程图中的第三,第四,第五步要相应的改一下数字。
2,3,,1m +1,,j1,2,,n=1,2,,)n m 及(3)求差分表的流程图(相应程序:difference(y,m))注:1、difference 输出的是矩阵D 。
而另一程序tableofd(y,m),输出的是带有表头的差分表。
n x m1,,),,1,,m注:1、程序newtforward1(x,y,xx,m))的结构与上述流程图一致,xx可以是数组。
2、另一程序newtforward(x,y,xx,m))先求出插值多项式,再求插值多项式在插值点的函数值。
基本结构还是和上面的流程图一样。
n x m1,,),,-x x1,,m注:1、程序newtbackward1(x,y,xx,m))的结构与上述流程图一致,xx可以是数组。
2、另一程序newtbackward(x,y,xx,m))先求出插值多项式,再求插值多项式在插值点的函数值。
基本结构还是和上面的流程图一样。
1,2,,n1,2,,n ,2,,)n x及3、Hermite 插值流程图(1) 已知条件中一阶导数的个数与插值节点的个数相等时的Hermite 插值流程图。
《数值分析》课程教学大纲课程编号:07054352课程名称:数值分析英文名称:Numerical Analysis课程类型:学科基础课程要求:必修学时/学分:48/3 (讲课学时:40 上机学时:8)适用专业:计算机科学与技术;软件工程一、课程性质与任务“数值分析”是计算机科学与技术、软件工程等相关专业学生的学科基础课,也是其它理、工科专业本科生及研究生的必修或选修课。
数值分析是研究各种数学问题在计算机上通过数值运算,得到数值解答的方法和理论。
随着计算机系统能力的提高和新型数值软件的不断开发,无论在高科技领域还是在传统学科领域,数值分析的理论和方法的作用和影响巨大,是科学工作者和工程技术人员必备的基础知识和工具。
课程的任务是使学生能了解数值分析的基本概念,熟悉常用数值方法的构造原理,了解数值算法复杂性、误差与收敛性分析的基本方法,了解重要数值算法的软件实现过程,使学生系统掌握数值分析的基本概念和分析问题、解决问题的基本方法,为掌握更复杂的现代计算方法打好基础。
内容包括数值计算的基本方法、线性和非线性方程组解法、插值法、数值积分法及微分方程的数值解法。
二、课程与其他课程的联系先修课程:高等数学,线性代数,C语言程序设计,计算基础。
后续课程:人工智能,数字图像处理技术,大数据分析及应用。
三、课程教学目标1.学习使用计算机进行数值计算的基础知识和基本理论知识,能够分辨、选用合适的数值方法解决工程问题。
(支撑毕业能力要求1和2)2. 能掌握常用数值计算方法的构造原理,根据问题设计和综合运用算法设计问题解决方案。
(支撑毕业能力要求1和2)3. 能运用数值算法复杂性、误差与收敛性分析的基本方法初步进行算法分析。
4. 能用计算机语言实现典型的数值计算算法,得到实验技能的基本训练,并具有利用计算机解决常见数学问题的能力;(支撑毕业能力要求4)5.能通过查询阅读文献资料,了解数值分析的前沿和新发展动向,了解数值分析算法原理应用的典型工程领域。
数值分析知识点大全总结一、数值计算方法数值计算方法是数值分析的基础,它涵盖了数值逼近、数值积分、插值与拟合、数值微分与数值积分、解线性方程组、求解非线性方程与方程组、解常微分方程等内容。
下面我们将逐一介绍这些方面的知识点。
1. 数值逼近数值逼近是研究如何用简单的函数来近似一个复杂的函数的方法。
常见的数值逼近方法包括多项式逼近、三角函数逼近、曲线拟合等。
其中,最为重要的是多项式逼近,它可以用来近似任意函数,并且具有较好的数学性质。
2. 数值积分数值积分是研究如何用离散的数据来估计连续函数的积分值的方法。
常见的数值积分方法包括梯形公式、辛普森公式、龙贝格公式等。
其中,辛普森公式是一种较为精确的数值积分方法,它可以用来估计任意函数的积分值,并且具有较好的数值稳定性。
3. 插值与拟合插值与拟合是研究如何用离散的数据来构造连续函数的方法。
常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值等。
而拟合方法则是研究如何用简单的函数来拟合复杂的数据,常见的拟合方法包括最小二乘法、最小二乘多项式拟合等。
4. 数值微分与数值积分数值微分与数值积分是研究如何用差分方法来估计导数与积分的值的方法。
常见的数值微分方法包括向前差分、向后差分、中心差分等。
而数值积分方法则可以直接用差分方法来估计积分的值。
5. 解线性方程组解线性方程组是研究如何用迭代法或直接法来求解线性方程组的方法。
常见的迭代法包括雅各比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。
而直接法则是指用消元法来求解线性方程组的方法。
6. 求解非线性方程与方程组求解非线性方程与方程组是研究如何用迭代法来求解非线性方程与方程组的方法。
常见的迭代法包括牛顿法、割线法等。
其中,牛顿法是一种非常高效的求解非线性方程与方程组的方法,它具有收敛速度快的特点。
7. 解常微分方程值积分方法包括龙格-库塔法、变步长欧拉法、变步长龙格-库塔法等。
其中,龙格-库塔法是一种较为精确的数值积分方法,它可以用来求解各种类型的常微分方程。