2017年中考数学讲座

江苏省2017年中考数学第一部分考点研究复习第二章方程（组）与不等式（组）第7课时一元二次方程及其应用真题精选（含解析）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省2017年中考数学第一部分考点研究复习第二章方程（组）与不等式（组）第7课时一元二次方程及其应用真题精选（含解析））的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第二章方程(组）与不等式（组)第7课时一元二次方程及其应用江苏近4年中考真题精选(2013～2016)命题点1 一元二次方程及其解法（2015年3次，2014年4次，2013年5次)1. (2016泰州14题3分)方程2x－4＝0的解也是关于x的方程x2＋mx＋2＝0的一个解，则m 的值为________．2. （2015徐州20（1）题5分)解方程：x2－2x－3＝0。

3。

（2014泰州17(2）题6分)解方程:2x2－4x－1＝0.命题点2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(2016年5次，2015年7次，2014年6次，2013年3次）4。

(2014苏州7题3分）下列关于x的方程有实数根的是( )A。

x2－x＋1＝0 B. x2＋x＋1＝0C. (x－1）(x＋2)＝0 D。

（x－1)2＋1＝05. （2016淮安14题3分)若关于x的一元二次方程x2＋6x＋k＝0有两个相等的实数根，则k＝________．6. (2016宿迁12题3分)若一元二次方程x2－2x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．7。

【中考数学】刘岳：初中数中最值问题之瓜豆原理在辅助圆问题中，我们了解了求关于动点最值问题的方式之一——求出动点轨迹，即可求出关于动点的最值．本文继续讨论另一类动点引发的最值问题，在此类题目中，题目或许先描述的是动点P，但最终问题问的可以是另一点Q，当然P、Q 之间存在某种联系，从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值，为常规思路01动点轨迹之“圆”引例1如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】观察动图：点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．引例2如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】动图先看结果：Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．引例3如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？【分析】动图先看结果：考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．模型总结为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”．【条件】两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．思考1如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边△APQ．考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？【分析】Q点满足（1）∠PAQ=60°；（2）AP=AQ，故Q点轨迹是个圆：考虑∠PAQ=60°，可得Q点轨迹圆圆心M满足∠MAO=60°；考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．【小结】可以理解AQ由AP旋转得来，故圆M亦由圆O旋转得来，旋转角度与缩放比例均等于AP与AQ的位置和数量关系．思考2如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为斜边作等腰直角△APQ．考虑：当点P在圆O上运动时，如何作出Q点轨迹？【分析】Q点满足（1）∠PAQ=45°；（2）AP:AQ=根号2：1，故Q点轨迹是个圆．连接AO，构造∠OAM=45°且AO:AM=根号2：1．M点即为Q 点轨迹圆圆心，此时任意时刻均有△AOP∽△AMQ．即可确定点Q的轨迹圆．真题战场2016余姚模拟如图，点P（3,4），圆P半径为2，A（2.8,0），B（5.6,0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．【分析】M点为主动点，C点为从动点，B点为定点．考虑C是BM中点，可知C点轨迹：取BP中点O，以O为圆心，OC为半径作圆，即为点C轨迹．当A、C、O三点共线且点C在线段OA上时，AC取到最小值，根据B、P坐标求O，利用两点间距离公式求得OA，再减去OC即可．2016武汉中考如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2倍根号2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为________．【分析】考虑C、M、P共线及M是CP中点，可确定M点轨迹：取AB中点O，连接CO取CO中点D，以D为圆心，DM为半径作圆D分别交AC、BC于E、F两点，则弧EF即为M点轨迹．当然，若能理解M点与P点轨迹关系，可直接得到M点的轨迹长为P 点轨迹长一半，即可解决问题．2018南通中考如图，正方形ABCD中，AB=2倍根号5，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．求线段OF长的最小值．【分析】E是主动点，F是从动点，D是定点，E点满足EO=2，故E点轨迹是以O为圆心，2为半径的圆．考虑DE⊥DF且DE=DF，故作DM⊥DO且DM=DO，F点轨迹是以点M为圆心，2为半径的圆．直接连接OM，与圆M交点即为F点，此时OF最小．可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股定理求得OM，减去MF即可得到OF的最小值．一条隐藏的瓜豆△ABC中，AB=4，AC=2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为______．【分析】考虑到AB、AC均为定值，可以固定其中一个，比如固定AB，将AC看成动线段，由此引发正方形BCED的变化，求得线段AO的最大值．根据AC=2，可得C点轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆．接下来题目求AO的最大值，所以确定O点轨迹即可，观察△BOC是等腰直角三角形，锐角顶点C的轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆，所以O点轨迹也是圆，以AB为斜边构造等腰直角三角形，直角顶点M即为点O轨迹圆圆心．连接AM并延长与圆M交点即为所求的点O，此时AO最大，根据AB先求AM，再根据BC与BO的比值可得圆M的半径与圆A半径的比值，得到MO，相加即得AO．此题方法也不止这一种，比如可以如下构造旋转，当A、C、A’共线时，可得AO最大值．或者直接利用托勒密定理可得最大值．02动点轨迹之“直线”引例1如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P 在BC上运动时，Q点轨迹是？【分析】先看动图结果：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N：在运动过程中，因为AP=2AQ，所以AM=2QN，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．引例2如图，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，当点P 在直线BC上运动时，求Q点轨迹？【分析】动图先看结果：当AP 与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置Q1和终点位置Q2，连接即得Q点轨迹线段．模型总结【必要条件】主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ 是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．【结论】P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ（当∠PAQ≤90°时，∠PAQ等于MN与BC夹角）P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）真题战场2017姑苏区二模如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是________．【分析】根据△DPF是等边三角形，所以可知F点运动路径长与P点相同，P从E点运动到A点路径长为8，故此题答案为8．2013湖州中考如图，已知点A是第一象限内横坐标为2倍根号3的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=-x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是________．【分析】根据∠PAB=90°，∠APB=30°可得：AP:AB=根号3:1，故B点轨迹也是线段，且P点轨迹路径长与B点轨迹路径长之比也为根号3:1，P点轨迹长ON为2倍根号6，故B点轨迹长为2倍根号2．坐标系中的最值如图，在平面直角坐标系中，A（-3,0），点B是y轴正半轴上一动点，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．【分析】求OP最小值需先作出P点轨迹，根据△ABP是等边三角形且B点在直线上运动，故可知P点轨迹也是直线．取两特殊时刻：（1）当点B与点O重合时，作出P点位置P1；（2）当点B在x轴上方且AB与x轴夹角为60°时，作出P点位置P2．连接P1P2，即为P点轨迹．根据∠ABP=60°可知：P1P2与y轴夹角为60°，作OP⊥P1P2，所得OP长度即为最小值，OP2=OA=3，所以OP=3/2．2019宿迁中考如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE=1，F 为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为_______．【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG最小值，可以将F点看成是由点B向点A运动，由此作出G点轨迹．考虑到F点轨迹是线段，故G点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G点在G1位置，最终G点在G2位置（G2不一定在CD边），G1G2即为G点运动轨迹．CG最小值即当CG⊥G1G2的时候取到，作CH⊥G1G2于点H，CH即为所求的最小值．根据模型可知：G1G2与AB夹角为60°，故G1G2⊥EG1．过点E作EF⊥CH于点F，则HF=G1E=1，CF=1/2CE=3/2，所以CH=5/2，因此CG的最小值为5/2．03动点轨迹之“其他图形”所谓“瓜豆原理”，就是根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是．2016乐山中考如图，在反比例函数y=-2/x的图像上有一个动点A，连接AO并延长交图像的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数y=k/x的图像上运动，若tan∠CAB=2，则k的值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】依旧动图观察：∠AOC=90°且AO:OC=1:2，显然点C的轨迹也是一条双曲线，分别作AM、CN垂直x轴，垂足分别为M、N，连接OC，易证△AMO∽△ONC，∴CN=2OM，ON=2AM，∴ON·CN=4AM·OM，故k=4×2=8．【思考】若将条件“tan∠CAB=2”改为“△ABC是等边三角形”，k会是多少？动点轨迹三角形如图，A（-1,1），B（-1,4），C（-5,4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角△OPQ，当点P在△ABC边上运动一周时，点Q的轨迹形成的封闭图形面积为________．【分析】根据△OPQ是等腰直角三角形可得：Q点运动轨迹与P点轨迹形状相同，根据OP:OQ=根号2:1，可得P点轨迹图形与Q点轨迹图形相似比为根号2:1，故面积比为2:1，△ABC面积为1/2×3×4=6，故Q点轨迹形成的封闭图形面积为3．【小结】根据瓜豆原理，类似这种求从动点轨迹长或者轨迹图形面积，根据主动点轨迹推导即可，甚至无需作图．【来源】有一点数学（gh_41d61a2081f7）、作者：刘岳。

2017年中考数学专题讲座一：选择题解题方法一、中考专题诠释选择题具有题目小巧，答案简明；适应性强，解法灵活；概念性强、知识覆盖面宽等特征，它有利于考核学生的基础知识，有利于强化分析判断能力和解决实际问题的能力的培养.二、解题策略与解法精讲选择题解题的基本原则是：充分利用选择题的特点，小题小做，小题巧做，切忌小题大做.解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，又不要求写出解题过程. 因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略. 具体求解时，一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件. 事实上，后者在解答选择题时更常用、更有效.下面举例谈谈解数学选择题的几种常用方法，希望能给同学们带来一定的启示和帮助。

常用方法：1、直接法2、排除法3、特殊值法4、验证法5、图解法（数形结合法）6、估算法一．直接法即根据已学过的知识，进行合理的推理及运算，求出正确的结果，然后把此结果和四个备选答案进行比较，最后作出判断。

二、排除法即根据题设和有关知识，排除明显不正确选项，那么剩下唯一的选项，自然就是正确的选项，如果不能立即得到正确的选项，至少可以缩小选择范围，提高解题的准确率。

排除法是解选择题的间接方法，也是选择题的常用方法。

三、特殊值法即根据题目中的条件，选取某个符合条件的特殊值或作出特殊图形进行计算、推理得出答案.用特殊值法解题要注意所选取的值要符合条件，且易于计算.四、验证法即由题目的已知条件，对供选择的答案一一进行验证，找出正确的答案，有时比直接法快捷得多五、图解法（数形结合法）数形结合是初中数学的重要思想，根据已知条件作出图像或画出图形，从而利用图像或图形的性质去直观的分析和判断，进而找到正确的答案。

2017年浙江省杭州市中考数学试卷（满分120分，考试时间100分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（2017浙江杭州，1，3分）9＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B ．【逐步提示】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是能利用a a =2(a ＞0)进行解答，首先应将被开方数9写成32，再利用“a a =2(a ＞0)”即可锁定答案．【详细解答】解：因为9＝23＝3，故选择B ． 【解后反思】本题亦可以理解为求9的算术平方根，根据算术平方根的定义进行切入思考与计算：看什么正数的平方等于9，这个正数就是9的算术平方根．另外，二次根式实质上就是非负数的算术平方根，熟练地掌握二次根式的性质：（1）2)(a ＝a （a ≥0）；（2）2a ＝a ＝⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a ，是进行二次根式化简求值的基础． 【关键词】二次根式；二次根式的求值；算术平方根2．（2017浙江杭州，2，3分）如图，已知a ∥b ∥c ，直线m 分别交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 分别交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ．若BC AB ＝21，则EF DE ＝（ ） A ．31 B ．21 C ．32 D ．1【答案】B ．【逐步提示】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是能利用平分线分线段成比例定理找到对应线段，列出比例式即可．【详细解答】解：∵a ∥b ∥c ，直线m 分别交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 分别交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，∴EF DE ＝BC AB ＝21．故选择B ． 【解后反思】此类问题容易出错的地方是因找不准对应关系而出错．根据平行线分线段成比例定理，可以得出多组成比例线段，解题时要认准对应关系：如下图，已知a ∥b ∥c ，直线F E D CBAn mc b a 第2题图m 分别交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 分别交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，则有DF DE AC AB =，DE EF AB BC =，DE DF AB AC =，EF DF BC AC =，EFBC DE AB =等等． F E D C BAn mcb a【关键词】图形的相似；平行线分线段成比例3．（2017浙江杭州，3，3分）下列选项中，如图所示的圆柱的三视图画法正确的是（ ）【答案】A ．【逐步提示】本题考查了圆柱三视图的识别，解题的关键是掌握三视图的定义：从前向后得到的正投影叫做主视图，从左向右得到的正投影叫做左视图，从上向下得到的正投影叫做俯视图．解题时，先观察第三题图示的圆柱，从前往后看该圆柱，得到的视图为矩形；再从上往下看，得到的该圆柱的视图也是矩形；最后从左往右看，得到的该圆柱的视图是圆，从而锁定答案．【详细解答】解：因为该圆柱的主视图为矩形，俯视图为矩形，左视图为圆，故选择A ．【解后反思】在考查三视图知识时，有时给出几何体实图，判断其三视图的正确性或求几何体的某个视图的面积，无论哪种题型，只要能熟练地掌握三视图的作图方法才是王道．作几何体的三视图时，主视图下面是俯视图，右面是左视图，并且遵循“长对正、宽相等、高平齐”的原则．另外，记住常见的几何体的三种视图的形状是解决问题的关键，在判断时还应注意物体的放置方式．下表给出了几种常见几何体的三视图：第3题图主视图俯视图左视图左视图俯视图主视图 A ． B ．主视图俯视图左视图主视图俯视图左视图【关键词】视图与投影；视图；画三视图4．（2017浙江杭州，4，3分）如图是某市2017年四月份每日的最低气温（℃）的统计图，则在四月份每日的最低气温这组数据中，中位数和众数分别是（）A．14℃，14℃B．15℃，15℃C．14℃，16℃D．15℃，14℃某市2016年四月份第4题图【答案】A．【逐步提示】本题考查了众数、中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．解题时，首先将条形图中的数据用统计表表示出来，然后按照中位数和众数的定义及计算公式进行计算即可：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，可得答案．【详细解答】解法1：将统计图中的数据用统计表表示如下：14出现的次数最多，所以在四月份每日的最低气温这组数据中，中位数和众数分别是14℃，14℃，故选择A ．解法2：看图知：12℃出现5次；13℃出现2次；14℃出现12次；15℃出现3次；17℃出现4次；16℃出现2次；18℃出现2次；这30个数据从小到大排列为：12、12、12、12、12、13、13、14、14、14、14、14、14、14、14、14、14、14、14、15、15、15、16、16、17、17、17、17、18、18，处于数列中间位置的两个数据是14、14，∴中位数=（14+14）÷2=14；众数是在一组数据中,出现次数最多的数据，∵14这个数据出现的次数最多，∴众数是14 ∴中位数、众数依次为：14、14，而只有A 选项符合要求，∴答案选A.【解后反思】此类问题容易出错的地方之一是数据写反了，把天数当作中位数、众数；二是中位数是取中间的数，对中间的数不理解．本题为统计题，这类题要熟记概念，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据（众数答案不唯一）．另外，从图中获取有用信息，也是正确解题的保证．【关键词】三数；众数；条形统计图；中位数5．（2017浙江杭州，5，3分）下列各式的变形中，正确的是（ ）A ．x 2·x 3＝x 6B ．x x =2C ．(x 2－x 1)÷x ＝x －1D ．x 2－x ＋1＝(x －21)2＋41 【答案】B ．【逐步提示】本题考查了代数式的恒等变形，解题的关键是掌握整式的乘除法法则、二次根式的性质、及完全平方公式的特点．解题时，先按同底数幂乘法法则、整式乘除法法则计算A 、C 选项的式子，判断这两个选项的变形的正确性；再根据完全平方式的特点，对D 选项的式子进行变形，从而判断选项D 的正确性；最后根据二次根式性质判断B 选项的正确性，从而轻松解题．【详细解答】解：∵x 2·x 3＝x 2＋3＝x 5，x x =2，(x 2－x 1)÷x ＝(x 2－x 1)·x 1＝x －21x，x 2－x ＋1＝x 2－x ＋41＋43＝(x －21)2＋43，∴只有选项B 正确，故选择B ． 【解后反思】本题是代数式的有关运算，涉及到整式的运算、二次根式的性质，分式的运算．只要熟练地掌握相关的运算法则与性质，对各个选项的变形逐一判断，即可得到正确答案．四个选项的变形，分别考查了代数式的四个领域：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即：a m ×a n =a m +n （m 、n 都是正整数）；整式除法，转化为乘法，然后利用分式乘法法则进行计算；配方法得掌握完全平方公式的结构特征：前平方、后平方、积的2倍在中间，就不难进行代数式的配方变形．【关键词】代数式的恒等变形；同底数的乘除法；二次根式的性质；配方法；整式的除法6．（2017浙江杭州，6，3分）已知甲煤场有煤518吨，乙煤场有煤106吨，为了使甲煤场存煤数是乙煤场的2倍，需要从甲煤场运煤到乙煤场．设从甲煤场运x 吨煤到乙煤场，则可列方程为（ ）A ．518＝2(106＋x )B ．518－x ＝2×106C ．518－x ＝2(106＋x )D ．518＋x ＝2(106－x )【答案】C ．【逐步提示】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找等量关系．读懂题意方可找出等量关系：从甲煤场运煤到乙煤场后，才能使甲煤场存煤数是乙煤场的2倍，这样就得从甲场原有的518吨煤中减去从甲煤场运x 吨煤到乙煤场，而乙场原有的煤加上x 吨为乙场现有的煤，此时甲场的煤吨数为乙场的煤的吨数的2倍，等量关系就一目了然了！【详细解答】解：根据“甲煤场有煤518吨－甲煤场运x 吨煤＝2(乙煤场有煤106吨＋甲煤场运x 吨煤)”，可列方程518－x ＝2(106＋x )，故选择C ．【解后反思】构建方程（或方程组）模型，首先应找到题目中的相等关系，先可用文字把等量关系写出来，再把文字用代数式表示，即可列出满足题意的方程（或方程组）．本题相当于课本中的劳力调配问题，本题中的物资调配后甲场剩余的煤的吨数为乙场调配后的煤的吨数的2倍．只要抓住了这个等量关系，就不难列方程了．【关键词】一元一次方程；一元一次方程的应用；劳力调配问题7．（2017浙江杭州，7，3分）设函数y ＝x k （k ≠0，x ＞0）的图像如图所示．若z ＝y1，则z 关于x 的函数图像可能为（ ）【答案】D ． 【逐步提示】本题考查了一次函数和反比例函数的图像与性质，解题的关键是能够利用反比例函数的图像确定k 的取值范围与两个函数关系式之间的转换．首先由函数y ＝x k （k ≠0，x ＞0）的图像确定k 的符号，然后将y ＝x k 代入z ＝y 1，得到z 与x 的函数关系式z ＝x k ⋅1，最后k1＞0、x ＞0来确定一次函数的图像为第一象限内过原点的一条射线（不包括原点）． 【详细解答】解：由图可知双曲线在第一象限内，故k ＞0． ∵y ＝x k ，z ＝y 1， ∴z ＝y1＝xk 1＝x k ⋅1．第7题图A ．B ．C ．D ．∵k ＞0，x ＞0，∴z=1k x 是正比例函数， 1k＞0，∴图像是过原点在第一象限的一条射线（不包括原点）． 故选择D ． 【解后反思】本题主要考查正、反比例函数的图像与性质，给出的两个反比例函数关系式，代入变形后，恰好得到正比例函数解析式，由反比例函数的图像确定反比例系数的符号，从而再由正比例函数的系数的符号及自变量的取值范围就易确定正比例函数的图像了．一次函数y ＝kx ＋b （k ，b 为常数，k ≠0）的基本性质：当 k ＞0、b ＞0，这时此函数的图像经过一、二、三象限；当 k ＞0、b ＜0， 这时此函数的图像经过一、三、四象限；当 k ＜0、b ＞0，这时此函数的图像经过一、二、四象限；当 k ＜0、b ＜0， 这时此函数的图像经过二、三、四象限．反比例函数k y x=（k 为常数，k ≠0）的基本性质：当k ＞0时，图像分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y 随x 的增大而减小；当k ＜0时，图像分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y 随x 的增大而增大．【关键词】反比例函数的图像与性质；一次函数图像与性质8．（2017浙江杭州，8，3分）如图，已知AC 是⊙O 的直径，点B 在圆周上（不与A 、C重合），点D 在AC 的延长线上，连结BD 交⊙O 于点E ．若∠AOB ＝3∠ADB ，则（ ）A ．DE ＝EB B ．2DE ＝EBC ．3DE ＝DOD ．DE ＝OB【答案】D ． 【逐步提示】本题考查了圆的性质和等腰三角形的性质与判断，解题的关键是充分利用半径相等、等腰三角形的两底角相等及等角对等边等有关性质．由四个选项中都是线段DE 与相关线段的大小比较，且题目中条件为角之间的倍数关系，这样就联想到通过三角形之间的边角关系来探索相关线段的数量关系了：不妨连接OE ，首先由OB ＝OE ，得到∠B ＝∠OEB ；再由三角形的外角性质，得到∠AOB ＝∠B ＋∠D ，∠OEB ＝∠EOD ＋∠D ，加上已知条件∠AOB ＝3∠ADB ，就不难推导出∠DOE ＝∠D ，最后由等角对等边，得到DE ＝EO ＝OB ．【详细解答】解法1：连接OE ，如下图．∵OB ＝OE ，∴∠B ＝∠OEB ．∵∠AOB ＝∠B ＋∠D ，∠OEB ＝∠EOD ＋∠D ，∠AOB ＝3∠ADB ，∴∠B ＝∠OEB ＝2∠D ．第8题图∴∠DOE ＝∠D ．∴DE ＝EO ＝OB ．故选择D ．解法2：设∠ADB=x ，则∠AOB=3x ，连BC 、OE ，∵∠AOB=∠ADB+∠DBO,又∠AOB=3∠ADB, ∴3x=x+∠DBO ，∴∠DBO=2x ， ∵OB=OE ，∴∠OEB=∠DBO=2x ∵∠OEB=∠EOD+∠BDO,∴∠EOD=2x-x=x ，∴∠EOD=∠BDO,∴DE=OE=OB,∴选项【D 】正确；由【D 】知DE=OB ，假设【A 】正确，则DE=EB=OB=OE ，则△OEB 为等边三角形；而题目没有给出任何一个角的度数，∴【A 】不正确；又∵没有给出角的度数，∴无法确定EB 、DO 和DE 之间的数量关系；∴【B 】、【C 】都不正确； 综上所述，选项【D 】正确； 【解后反思】本题是一道探究题，由两个角之间的3倍关系去探索线段DE 与图中相关线段的数量关系．如何充分利用已知条件与图形中隐含的条件，是解题的关键．连接OE 后，就容易利用圆的半径相等，加上等腰三角形的性质与判定定理及三角形的外角性质，得到图中两组相等的角及这两组角的对边也相等的结论，从而就探究出DE 与圆的半径相等的正确结论了．【关键词】圆的性质；等腰三角形的性质和判定；三角形的外角性质9．（2017浙江杭州，9，3分）已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m 和n （m ＜n ），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形．若这两个三角形都是等腰三角形，则（ ）A ．m 2＋2mn ＋n 2＝0B ．m 2－2mn ＋n 2＝0C ．m 2＋2mn －n 2＝0D ．m 2－2mn －n 2＝0【答案】C ．【逐步提示】本题考查了直角三角形从一个顶点出发的一条射线将原三角形分成两个等腰三角形条件下的两条直角边的数量关系，解题的关键是画出符合题意的图形后，利用数形结合思想将两条直角边m 、n 及其代数式表示直角三角形的三边后用勾股定理建立等量关系．在解题时，首先画出符合题意的图形，利用斜边的垂直平分线与较长直角边的交点，得到一个等腰直角三角形后就产生了两个等腰三角形；再将等腰直角三角形的斜边用n －m 表示；最后由勾股定理，得到m 、n 的等量关系，化简后即可选择正确答案．【详细解答】解：如下图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝m ，BC ＝n ，过点A 的射线AD 交BC 于点D ，且将△ABC 分成两个等腰三角形：△ACD 和△ADB ，则AC ＝CD ＝m ，AD ＝DB ＝n －m ．在Rt △ACD 中，由勾股定理，得m 2＋m 2＝(n －m )2，2m 2＝m 2－2mn ＋n 2，从而m 2＋2mn －n 2＝0，故选择C ．C B Am【解后反思】解答本题的关键在于将题意用图形语言表示出来，所以说几何画图是学习好数学的基本功之一．在本题中，两个等三角形一定有一个是等腰直角三角形，另一个等腰三角形也一定是顶角为135°（45°的邻补角）的等腰三角形，此时利用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等来画原三角形斜边的中垂线即可．在解决了画图关后，如何用m 、n 的代数式表示等腰直角三角形的斜边就容易得多了，最后利用勾股定理不难探索出m 、n 的等量关系．综上所述，对于数学的学习，尤其是几何题，将文字语言、符号语言、图形语言三者之间的相互转换，就显得尤为重要了．【关键词】直角三角形；等腰三角形；勾股定理10．（2017浙江杭州，10，3分）设a ，b 是实数，定义关于﹫的一种运算如下：a ﹫b ＝(a＋b )2－(a －b )2，则下列结论：①若a ﹫b ＝0，则a ＝0或b ＝0；②a ﹫(b ＋c )＝a ﹫b ＋a ﹫c ；③不存在实数a ，b ，满足a ﹫b ＝a 2＋5b 2；④设a ，b 是矩形的长和宽，若该矩形的周长固定，则当a ＝b 时，a ﹫b 的值最大．其中正确的是（ ）A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③【答案】C ．【逐步提示】本题考查了定义新运算，解题的关键是读懂题意，按照题目中定义的运算进行计算并利用已学数学知识进行探索相关结论．首先将新定义的运算转化为常规的运算，即利用完全平方公式展开、合并，得到a ﹫b ＝4ab ；然后逐一判断、探索题中给出的四个结论的正确性：首个结论容易判断为对的；次个结论，根据新定义运算，分别计算两边的式子，也可轻松地判断为正确的；第三个结论得利用配方法，将原等式转化为关于a 、b 的二元二次方程，再利用配方法转化为两个完全平方式的和为0，就容易得到a 、b 的值皆为0的情况下，存在“a ﹫b ＝a 2＋5b 2”的结论，从而判断出第三个结论错误；最后一个结论的探索较难，得利用二次函数知识进行解决，设矩形的周长l 为定值，用矩形的一边a 及l 表示矩形的另一边b ，建立关于矩形的面积S 关于a 的二次函数，并将此函数解析式化为顶点式，即可求出矩形面积最大值的情况下a 、b 的相等关系了，从而a ﹫b 的值最大的结论也为正确．【详细解答】解：由a ﹫b ＝(a ＋b )2－(a －b )2，得a ﹫b ＝4ab ．（1）∵a ﹫b ＝0，∴4ab ＝0．∴a ＝0或b ＝0．故①正确．（2）∵a ﹫(b ＋c )＝4a (b ＋c )＝4ab ＋4ac ，a ﹫b ＋a ﹫c ＝4ab ＋4ac ，∴a ﹫(b ＋c )＝a ﹫b ＋a ﹫c ．故②正确．（3）∵a ﹫b ＝a 2＋5b 2，∴a 2＋5b 2＝4ab ．∴(a －2b )2＋b 2＝0．∴a －2b ＝0且b ＝0．∴a ＝b ＝0．故③不正确．（4）设a ，b 是矩形的长和宽，其周长l 为定值，面积S ＝ab ，则l ＝2(a ＋b )，从而b ＝2l －a ． ∵S ＝ab ＝a (2l －a )＝－(a 2－2la ＋162l －162l )＝－16)4(22l l a +-， ∴当a ＝4l ＝422b a +时，S 有最大值162l ，此时a ＝b ． ∴当a ＝b 时，a ﹫b 的值最大．故④正确．综上，正确的有①②④．故选择C ． 【解后反思】本题系新定义运算题，在此背景下设置了四个由易到难的知识点的探索题来让考生做，解题的关键有三：一是要将新定义运算转化为常规运算；二是能利用配方思想探索第三个结论的正确性，三是利用二次函数知识进行探索最后一个结论的正确性．另外，用高中的数学知识极易探索最后一个结论的：对于两个正数a 、b ，我们有ab b a ≥+2，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，也就是说，当两个正数a 、b 相等时，ab ≤2b a +中等号成立，此时ab 的值才最大，从而4ab 的值才最大，也就有a ﹫b 的值最大． 【关键词】新定义运算；探索新定义运算性质；二元二次方程的解；二次函数的最值；二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）11．（2017浙江杭州，11，4分）tan60°＝ ．【答案】3．【逐步提示】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．根据60°的正切值，直接得出答案．【详细解答】解：利用30°的直角三角形三边关系1﹕3﹕2及正切函数的定义可知，tan60°＝的邻边的对边︒︒6060＝13＝3．故填3． 【解后反思】 特殊角的锐角三角函数值表在直角三角形中，由于sin A =斜边的对边A ∠； cos A =斜边的邻边A ∠；tan A =的邻边的对边A A ∠∠，一般只需已知直角三角形三边的长，根据这个关系可求出该直角三角形任意一个锐角的正弦、余弦和正切．这样，我们就可以利用手中一副三角板，轻松地记住特殊角的三角函数值了：30°的直角三角形三边关系1﹕3﹕2，45°的直角三角形三边关系1﹕1﹕2，利用三角函数定义即可求出30°、45°、60°的三角函数值．【关键词】锐角三角函数值12．（2017浙江杭州，12，4分）已知一包糖果共有5种颜色（糖果仅有颜色差别），如图是这包糖果颜色分布百分比的统计图．在这包糖果中任取一粒糖果，则取出的糖果的颜色为绿色或棕色的概率为．【答案】50%． 【逐步提示】本题考查了扇形统计图及概率的求法，解题的关键是法利用扇形图求出棕色糖果所占的百分比，这样再利用样本去估计总体，将绿色、棕色两种糖果的百分比相加，即为所求事件的概率．【详细解答】解：∵棕色的百分比+黄色的百分比+红色的百分比+绿色的百分比+橙色的百分比=100%，∴棕色的百分比=100%-20%-15%-30%-15%=20%，∴绿色的百分比+棕色的百分比=30%+20%=50%，即取出糖果的颜色为绿色或棕色的概率是50%，即12【解后反思】本题系统计与概率的综合题，渗透了用样本估计总体的统计核心思想．扇形统第12题图一包糖果颜色分布计图，一般是两种形式出现：一种形式是以百分比的形式出现，这样，用1减去其他百分比，即可算出该百分比，另外一种形式是度数，则根据圆心角的度数除以360度，可算出该百分比，具体题目，还应灵活应用．本题中的求概率方法，颇像课本中转盘问题的概率的求法，只是赋予了糖果的实际背景罢了！【关键词】扇形统计图；概率；用样本去估计总体；13．（2017浙江杭州，13，4分）若整式x 2＋ky 2（k 为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则k 的值可以是 ．【答案】答案不唯一，如－1或－4或－9等．【逐步提示】本题考查了二项式在有理数范围内因式分解的方法，解题的关键是利用平方差公式进行分解，从而容易思考得到解题的方法：k 的值一定是完全平方数的相反数，即－1，－4，－9，－16，－25，－36，……，－n 2，唯有如此，原式才能转化为两数的平方差的形式，也才能在有理数范围内因式分解．【详细解答】解法1：答案不唯一，如－1或－4或－9等，因为x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )，x 2－4y 2＝(x ＋2y )(x －2y )，x 2－9y 2＝(x ＋3y )(x －3y )，所以填－1或－4或－9等均符合要求，故填－1或－4或－9等．解法2：由整式22x ky 联想到：a 2-b 2=（a+b ）(a-b); 因此k 必须是一个负整数，且k 是一个完全平方数， ∴k=-1，-4，-9，……: 【解后反思】本题系开放性试题，主要考查因式分解法的逆向运用，即二项式能在有理数范围内因式分解下式子中待定系数的确定．只要掌握因式分解的定义及常用方法、平方差公式，本题中k 的值就容易锁定，因此此题出题形式新颖，入手容易，答案开放，是道好题．【关键词】因式分解；运用公式法；平方差公式；开放性试题14．（2017浙江杭州，14，4分）在菱形ABCD 中，∠A ＝30°．在同一平面内，以对角线BD 为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE ，则∠EBC 的度数为 ．【答案】45°或105°．【逐步提示】本题考查了菱形和等腰三角形的性质及分类思想，解题的关键是能够根据题意正确地画出符合题意的图形求出相关的角度．∠A ＝30°的菱形ABCD 是唯一确定的，但顶角为120°的等腰三角形BDE ，点E 可能在△ABD 内，也可能在△CBD 内，所以在解题时构图就得画全了．其次，根据菱形的性质，要求出∠CBD 的度数，根据等腰三角形的性质，求出∠EBD 的度数；最后利用分类思想和两角的和（或差）的定义，就能求得∠EBC 的度数为．【详细解答】解：如下图，在菱形ABCD 中，∠A ＝30°，在△EBD 中，∠BED ＝120°，EB ＝ED ，则∠EBD ＝30°．∵在菱形ABCD 中，∠A ＝30°，∴∠C ＝∠A ＝30°，CB ＝CD ．∴∠CBD ＝∠CDB ＝75°．当点E 在△ABD 内，∠EBC ＝∠EBD ＋∠CBD ＝30°＋75°＝105°；当点E 在△CBD 内，∠EBC ＝∠CBD －∠EBD ＝75°－30°＝45°．故填45°或105°．DCBA【解后反思】本题系几何知识的综合题，综合考查了三角形、四边形的相关知识．利用菱形的对角相等、四边相等的性质求出相关的角度，考查了等腰三角形的两个底角相等的知识，同时渗透了分类思想的考查．解题的关键在于构出符合题意的几何图形，同时也关注了数学的严谨性与分析问题的数学思维的缜密性，所以说，学会画图是学好数学的必备基本功．【关键词】菱形的性质；等腰三角形的性质；分类思想15．（2017浙江杭州，15，4分）在平面直角坐标系中，已知A (2，3)，B (0，1)，C (3，1) ．若线段AC 与BD 互相平分，则点D 关于坐标原点的对称点的坐标为 ．【答案】(－5，－3)．【逐步提示】本题综合考查了线段中点坐标的求法与关于原点对称点坐标的求法，解题的关键是能抓住线段AC 与BD 互相平分时它们的中点坐标的求法，即线段中点坐标公式的应用．解题时应分三步走：首先利用线段中点坐标公式，求出线段AC 的中点M 的坐标，此点也是线段BD 的中点；其次再利用线段中点坐标公式，求出点D 的坐标；最后根据平面直角坐标系内，关于原点对称点坐标的特点，求出点D关于坐标原点的对称点的坐标．【详细解答】解：设线段AC 的中点为M (x 1，y 1)，则⎪⎩⎪⎨⎧=+==+=22132523211y x ，故M (25，2)． 设D (x 2，y 2)，则由线段AC 与BD 互相平分可知点M 也是线段BD 的中点， ∴⎪⎩⎪⎨⎧+=+=212202522y x ，解得⎩⎨⎧==3522y x ． ∴D (5，3)．∴点D 关于坐标原点的对称点的坐标为(－5，－3)．故填(－5，－3)．（3）在平面直角坐标系中，点P (x ，y )关于x 轴、y 轴、原点的对称点坐标分别(x ，－y )、(－x ，y )、(－x ，－y )．以上三个结论，对于初中生必须理解与掌握，因它们在中考时经常用到，同时也是后继学习必备的知识．另外，对于本题的正确解答，尚需要能熟练地解二元一次方程组．【关键词】平面直角坐标系；中心对称；原点对称点的坐标；线段中点的坐标公式；二元一次方程组的解法16．（2017浙江杭州，16，4分）已知关于x 的方程x 2＝m 的解满足⎩⎨⎧=+-=-n y x n y x 523（1＜n ＜3）．若y ＞1，则m 的取值范围是 ．【答案】52＜m ＜32． 【逐步提示】本题考查了方程组、不等式组等知识，解题的关键是熟练地解方程组与不等式组以及利用不等式的性质．在解题时，先用n 的代数式表示x 、y ，即解关于x 、y 的二元一次方程组；然后根据1＜n ＜3及y ＞1，列出关于n 的一元一次不等式组，求出n 的取值范围；再次利用不等式的性质求出x 的取值范围，最后求得x 2的取值范围，即为m 的取值范围是．【详细解答】解法1：由方程组解得⎩⎨⎧-=+=122n y n x ． ∵1＜n ＜3，y ＞1，∴由⎩⎨⎧<<>-31112n n 解得1＜n ＜3． ∴1＋2＜n ＋2＜3＋2，即3＜x ＜5． ∴31151<<x ． ∴32252<<x ． ∵m ＝x 2， ∴m 的取值范围是52＜m ＜32． 故填52＜m ＜32． 解法2：∵2x =m, ∴x=2m1.消x ，找出y 与n 的关系：x-y=3-n ①; x+2y=5n ②;②- ①得：3y=6n-3∴y=2n-1∵y ＞1,∴2n-1＞1,∴n ＞1又0＜n ＜3∴1＜n ＜3消y ，找出x 与n 的关系：①×2得：2x-2y=6-2n ③②+③得：3x=6+3n∴n=x-2∵1＜n ＜3∴1＜x-2＜3∴3＜x ＜5∴3＜2m＜5 ∴25＜m ＜23 【解后反思】本题系方程（组）、不等式（组）及不等式性质与代数式的变形的综合应用：（1）我们可以用代入法或加减法解含有字母系数的二元一次方程组；（2）根据1＜n ＜3及y ＞1，列出关于n 的一元一次不等式组求出n 的取值范围，从而求出x 的取值范围，这是解本题的关键．因为本题涉及到的等式、不等式较多，所以在解题时应认真分析题意，找到适当的解题思路与方法，方可正确解答．若三个正数a 、b 、c ，满足a ＞b ＞c ，则a 1＜b 1＜c1．另外，本题亦可以用反比例函数的性质来解答，即求出x 的取值范围后，对于m 关于x 的反比例函数m ＝x 2，在每一象限内m 都随着x 的增大而减小：当3＜x ＜5时，52＜m ＜32． 【关键词】二元一次方程组的解法；一元一次不等式组的解法；不等式的性质；反比例函数的性质三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2017浙江杭州，17，6分）计算：6÷(－21＋31)． 方方同学的计算过程如下：原式＝6÷(－21)＋6÷31＝－12＋18＝6． 请你判断方方同学的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．【逐步提示】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练地掌握有理数的运算法则和运算顺序．在解题时，应认真审题，判断方方同学的计算过程是否正确，给出明确答复，然后将正确的解题过程书写出来：先算括号里面的加法运算，再按有理数的除法法则进行计算即可．【详细解答】解：不正确，应计算如下：原式＝6÷(－61)＝6×(－6)＝－36．。

抛物线中的定值、最值问题探究以２０１７年遵义市中考数学第２７题为例包胜利(通渭县陇川学校ꎬ甘肃定西７４３３１９)摘㊀要:抛物线中的定值问题和最值问题是个难点ꎬ主要涉及动点及动点的路径问题ꎬ所利用的结论主要是两点之间线段最短以及垂线段最短.文章以２０１７年遵义市的一道中考题为例ꎬ先利用网络画板进行实验探究ꎬ然后给出试题的多种解法.关键词:定值ꎻ最值ꎻ动点ꎻ相似三角形中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０５－０００２－０３收稿日期:２０２３－１１－１５作者简介:包胜利(１９７５.１０－)ꎬ男ꎬ甘肃省通渭人ꎬ本科ꎬ中小学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀初中最值问题大致分为几何最值和代数最值两类.几何最值是指在一定条件下ꎬ求几何图形中某个确定的几何量(如长度㊁角度㊁面积等)的最大值或最小值ꎬ而代数最值是指求一些简单的代数式或与实际问题相关(如用料最省㊁成本最低㊁能耗最少㊁产值最高㊁利润最高等)的问题.１几何最值问题的求解思路在初中阶段ꎬ解决几何最值问题的依据有两个ꎬ一是两点之间ꎬ线段最短ꎻ二是垂线段最短.由这两个依据延伸出以下常用的结论:三角形任意两边之和大于第三边ꎬ任意两边之差小于第三边ꎻ过圆内一点的所有弦中ꎬ垂直于过这点的直径的弦最短ꎻ直径是圆中最长的弦.因此ꎬ几何方法求最值的思路是:将几何图形中的最值转化成基本的几何模型 两点之间ꎬ线段最短 和 垂线段最短 .其关键是抓住运动变化中不变的相关量(长度㊁角度㊁面积)与变化的相关量比较大小.即通过平移㊁旋转㊁轴对称将多条线段首尾相连转化到两定点之间的线段上ꎬ实现 折 转 直 ꎬ利用 两点之间ꎬ线段最短 说明最小.或者将问题转化为一定点到一条定直线的距离ꎬ利用 垂线段最短 即可得出最小值.２几何最值案例分析２.１试题呈现如图１ꎬ抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ－ａ－ｂ(ａ<０ꎬａꎬｂ为常数)与ｘ轴交于ＡꎬＣ两点ꎬ与ｙ轴交于Ｂ点ꎬ直线ＡＢ的函数关系式为ｙ＝８９ｘ＋１６３.(１)求该抛物线的解析式与Ｃ点坐标.(２)已知点Ｍ(ｍꎬ０)是线段ＯＡ上的一个动点ꎬ过点Ｍ作ｘ轴的垂线ｌ分别与直线ＡＢ和抛物线交于ＤꎬＥ两点ꎬ当ｍ为何值时ꎬΔＢＤＥ恰好是以ＤＥ为底边的等腰三角形[１](３)在(２)问条件下ꎬ当ΔＢＤＥ恰好是以ＤＥ为底边的等腰三角形时ꎬ动点Ｍ相应位置记为点Ｍᶄꎬ将ＯＭᶄ绕原点Ｏ顺时针旋转得到ＯＮ(旋转角在０ʎ到９０ʎ之间).①探究:线段ＯＢ上是否存在定点Ｐ(Ｐ不与ＯꎬＢ重合)ꎬ无论ＯＮ如何旋转ꎬＮＰＮＢ始终保持不变?若２存在ꎬ试求出Ｐ点坐标ꎻ若不存在ꎬ请说明理由[２].②试求出此旋转过程中ꎬＮＡ＋３４ＮＢ的最小值[３].图１㊀中考题图２.２探究实验第(２)问:如图２ꎬ拖动点Ｍꎬ观察ＢＥ和ＢＤ测量值的变化ꎬ是否存在相等的情形ꎬ有几种情况?第(３)问:如图３所示ꎬ拖动点Ｎꎬ观察对应测量值ꎬ可以发现:当点Ｐ的坐标为(０ꎬ３)时ꎬＮＰＮＢ＝３４(定值)ꎻ当ΔＮＯＰʐΔＢＯＮ时ꎬＮＡ＋３４ＮＢ存在最小值ꎬ即求ＮＡ＋ＮＰ的最小值.图２㊀探究等腰三角形图３㊀探究最小值问题２.３思路分析(１)根据已知条件求出ＡꎬＢ坐标ꎬ用待定系数法可求出抛物线解析式.(２)作ＢＦʅｌꎬ与ｌ交于Ｆ点ꎬ根据等腰三角形的性质得到ＥＦ＝ＦＤ＝１２ＤＥꎬＦＭ＝ＯＢ＝１６３ꎬ列方程即可得到结论.图４㊀探究定值问题(３)对于问题１ꎬ如图４所示ꎬ探究ＮＰＮＢ的定值是一个比值ꎬ可联想相似三角形或三角函数ꎬ寻找与固定点(点ＭᶄꎬＯꎬＢ)有关的三角形ꎬ即探究以点ＯꎬＰꎬＢꎬＮ为顶点组成的某两个三角形是否相似ꎬ由此猜想ＮＰＮＢ可能的比值.若ΔＮＢＰʐΔＯＢＮ时ꎬＮＢＯＢ＝ＮＰＯＮꎬ可得ＮＰＮＢ＝ＯＮＯＢ＝３４ꎬ根据已知条件无法求出点Ｐ的坐标.若әＮＯＰʐәＢＯＮ时ꎬＯＰＯＮ＝ＮＰＮＢ＝ＯＮＯＢ＝３４ꎬＮＰＮＢ不变ꎬ根据已知条件ＯＮ２＝ＯＰ ＯＢꎬ可以求出点Ｐ坐标是确定的.对于问题２ꎬ求两条线段和的最小值ꎬ首先想到 将军饮马 问题模型ꎬ即 ＰＡ＋ＰＢ 型最短问题ꎬ但两条线段系数不为１.因此将３４ＮＢ的系数转化为系数是１的线段ꎬ由问题１知ＮＰＮＢ＝ＯＰＯＮ＝３４ꎬ得到ＮＰ＝３４ＮＢꎬ将ＮＡ＋３４ＮＢ转化为两个定点ＡꎬＰ间折线段和的最小值问题ꎬ即求ＮＡ＋ＮＰ的最小值.２.４解法探究(１)因为直线ｌ:ｙ＝８９ｘ＋１６３与ｘ轴交于Ａ(－６ꎬ０)ꎬ与ｙ轴交于Ｂ０ꎬ１６３æèçöø÷ꎬ将ＡꎬＢ坐标代人抛物线方程可得３６ａ－６ｂ－ａ－ｂ＝０ꎬ－ａ－ｂ＝１６３ꎬ{解得ａ＝－８９ꎬｂ＝－４０９.ìîíïïïï所以该抛物线的解析式为ｙ＝－８９ｘ２－４０９ｘ＋１６３.由直线ｘ＝－ｂ２ａ＝－５２可知点Ｃ坐标(１ꎬ０).(２)解法１㊀如图５所示ꎬＥＭʅｘ轴ꎬＭ(ｍꎬ０)ꎬ则Ｄｍꎬ８９ｍ＋１６３æèçöø÷ꎬＥｍꎬ－８９ｍ２－４０９ｍ＋１６３æèçöø÷.３ΔＢＤＥ是以ＤＥ为底边的等腰三角形ꎬ作ＢＦʅｌꎬ与ｌ交于Ｆ点ꎬ所以ＤＦ＝１２ＤＥ.因为ＤＥ＝－８９ｍ２－４０９ｍ＋１６３æèçöø÷－８９ｍ＋１６３æèçöø÷＝－８９ｍ２－４８９ｍꎬ由ＤＦ＋ＤＭ＝ＦＭ可得ꎬ１２－８９ｍ２－４８９ｍæèçöø÷＋８９ｍ＋１６３æèçöø÷＝１６３ꎬ整理得ｍ２＋４ｍ＝０ꎬ解得ｍ１＝－４ꎬｍ２＝０(不合题意ꎬ舍去).图５㊀解法１图㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图６㊀解法２图解法２㊀如图６所示ꎬ因为点Ｍ(ｍꎬ０)ꎬ且ｌʅｘ轴ꎬ所以Ｄｍꎬ８９ｍ＋１６３æèçöø÷.当ＤＥ为底时ꎬ作ＢＧʅＤＥ于Ｇꎬ则ＥＧ＝ＧＤ＝１２ＥＤꎬＧＭ＝ＯＢ＝１６３ꎬ所以１２－８９ｍ２－４０９ｍ＋１６３＋８９ｍ＋１６３æèçöø÷＝１６３ꎬ解得ｍ１＝－４ꎬｍ２＝０(不合题意ꎬ舍去).(３)解法１㊀对于问题１ꎬ存在点Ｐꎬ使ＮＰＮＢ始终保持不变.如图７所示ꎬ因为øＮＯＰ＝øＢＯＮꎬ所以当øＯＮＰ＝øＯＢＮ时ꎬәＯＮＰʐәＯＢＮꎬ此时ＮＰＮＢ＝ＯＰＯＮ＝ＯＮＯＢ＝４１６３＝３４ꎬ始终保持不变ꎬ所以ＯＰ＝３４ＯＮ＝３４ˑ４＝３ꎬ存在点Ｐ(０ꎬ３).结论:无论ＯＮ如何旋转ꎬ总存在Ｐ(０ꎬ３)ꎬ使ＮＰＮＢ始终保持不变.对于问题２ꎬ由问题１知ꎬＮＰ＝３４ＢＮꎬ其中Ｐ(０ꎬ３)ꎬ所以ＮＡ＋３４ＮＢ＝ＮＡ＋ＮＰꎬ所以当ＡꎬＮꎬＰ共线ꎬ即图７㊀第(３)问图当Ｎ点旋转到ＡＰ上时ꎬＮＡ＋３４ＮＢ的值最小ꎬ最小值即为ＡＰ＝３２＋６２＝３５.解法２㊀对于问题１ꎬ存在点Ｐꎬ使得ＮＰＮＢ始终保持不变.因为ＯＮ＝４ꎬＯＢ＝１６３ꎬøＮＯＰ＝øＢＯＮꎬ所以当ΔＮＯＰʐΔＢＯＮ时ꎬＯＰＯＮ＝ＮＰＮＢ＝ＯＮＯＢ＝３４ꎬ所以ＮＰＮＢ始终保持不变ꎬ即ＯＰ＝３ꎬ所以Ｐ(０ꎬ３).对于问题２ꎬ由问题１知ꎬＯＰＯＮ＝ＮＰＮＢ＝３４ꎬ所以ＮＰ＝３４ＮＢꎬ所以ＮＡ＋３４ＮＢ＝ＮＡ＋ＮＰꎬ所以此时ＮꎬＡꎬＰ三点共线ꎬ如图７所示ꎬ所以ＮＡ＋３４ＮＢæèçöø÷ｍｉｎ＝３２＋６２＝３５.３结束语探求定值一般是先分清问题的不变量与变量ꎬ而定值往往与这些不变量中的某些量(或它们的代数式)有关ꎬ常将一般问题特殊化ꎬ运用特殊情形(即用特殊值㊁特殊位置㊁特殊图形等)探求定值.参考文献:[１]陆丽丽.巧构造妙转化:另类线段和的最值问题[Ｊ].上海中学数学ꎬ２０１９(１０):１９－２１ꎬ４３.[２]孙玉军ꎬ罗勇ꎬ李圣波.２０１７年中考 图形的变化 专题解题分析[Ｊ].中国数学教育ꎬ２０１８(Ｚ１):１１５－１２３.[３]李玉荣.三类新型最值问题的解法探究:以近年中考试题为例[Ｊ].初中数学教与学ꎬ２０１９(２１):３１－３４.[责任编辑:李㊀璟]４。