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向量高考题（全国卷）1.（2015年.第7）设D 为ABC △所在平面内一点，3BC CD =，则( )（A ）1433AD AB AC =-+ （B ）1433AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ （D ）4133AD AB AC =- 2.(2014年.第15)已知C B A ,,为圆O 上的三点，若()AC AB AO +=21，则AB 与AC 的夹角为_______． 3.(2013年.第13)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t)b ，若b ·c =0，则t =_____.4.（2012年.第6）ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若C B a = ，CA b = ，0a b ⋅= ，||1a = ，||2b = ，则AD = （ ）（A ）1133a b - （B ）2233a b - （C ）3355a b - （D ）4455a b - 平行（共线），垂直题型1．（2011•重庆）已知向量=（1，k ），=（2，2），且+与共线，那么•的值为（ ）2.（2011•广东）向量a=（1，2），b=（1，0），c=（3，4）．若λ为实数，（（a+λb ）∥c ），则λ=（ ）3.（2009•浙江）已知向量=（1，2），=（2，﹣3）．若向量满足（+）∥，⊥（+），则坐标=（ ）4.已知平面向量=（1，﹣3），=（4，﹣2），与垂直，则λ是（ ）5.【2014重庆】向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c === ，且(23)a b c -⊥ ，则k =（ ）三．求数量积，模长，夹角问题1.（2010•重庆）已知向量a ，b 满足a •b=0，|a|=1，|b|=2，，则|2a ﹣b|=（ ）2.（2010•广东）向量=（1，1），=（2，5），=（3，x ）满足（8﹣）•=30，则x=（ ）3.（2010•湖南）若非零向量a ，b 满足|a|=|b|，（2a+b ）•b=0，则a 与b 的夹角为（ ）4.（2006•辽宁）△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c 设向量，，若，则角C 的大小为（ ）5.【2014四川】平面向量(1,2)a = ，(4,2)b = ，c ma b =+ （m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =（ ）6.【2014江苏】如图在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==，3,2CP PD AP BP =⋅= ，则AB AD ⋅ 的值是 .。
![高一数学必修4平面向量测试题(含答案)[1]](https://img.taocdn.com/s1/m/81fa4cd0b90d6c85ed3ac6c9.png)
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黄图盛中学高一数学必修四第二章单元测试卷班级 姓名 座号一.选择题1．以下说法错误的是（ )A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等C ．平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量2．下列四式不能化简为的是（ )A ．＋（B ．（C ．＋D ．；＋－3．已知=（3，4），=(5，12），与 则夹角的余弦为（ ）A ．6563B ．65C ．513D ．134． 已知,均为单位向量，它们的夹角为+=（ ）A ．7B ．10C ．13D ．45．已知ABCDEF 是正六边形，且−→−AB ＝→a ，−→−AE ＝→b ，则−→−BC ＝（ ）A 。
)(21→→-b a B 。
)(21→→-a b C. →a ＋→b 21 D. )(21→→+b a 6．设→a ,→b 为不共线向量，−→−AB ＝→a +2→b ，−→−BC ＝－4→a －→b ，−→−CD ＝－5→a －3→b ,则下列关系式中正确的是 （ ）A −→−AD ＝−→−BCB 。
−→−AD ＝2−→−BC C 。
−→−AD ＝－−→−BC D.−→−AD ＝－2−→−BC7．设→1e 与→2e 是不共线的非零向量，且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k →2e 共线,则k 的值是( ）A. 1 B 。
高中数学向量练习题及答案(2)高中数学向量练习题答案高考数学向量公式归纳向量共线的重要条件若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。
a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
[编辑本段]向量垂直的充要条件a⊥b的充要条件是a•b=0。
a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.设a=(x，y)，b=(x'，y')。
1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ>0时，λa与a同方向;当λ<0时，λa与a反方向;当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣<1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
[A 组 基础演练·能力提升]一、选择题1.(2014年马鞍山期末)如图所示，已知AB →＝2BC →，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则下列等式中成立的是( )A ．c ＝32b －12aB ．c ＝2b －aC ．c ＝2a －bD ．c ＝32a －12b解析：由AB →＝2BC →得 AO →＋OB →＝2(BO →＋OC →)，即2OC →＝－OA →＋3OB →，即c ＝32b －12a .答案：A2．(2014年开封模拟)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A ．－13B ．－23C.13D.23 解析：由题意，如图， CD →＝CB →－DB →＝CB →－12AD →＝CB →－12(CD →－CA →)＝CB →－12CD →＋12CA →，∴32CD →＝12CA →＋CB →. ∴CD →＝13CA →＋23CB →.故λ＝23.答案：D3.(2014年海滨一模)如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么EF →＝( )A.12 AB →＋12AD → B ．－12AB →－12AD →C ．－12AB →＋12AD →D.12AB →－12AD → 解析：在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →，因为E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC 的中点，所以CF →＝12CB →.所以EF →＝EC →＋CF →＝12DC →＋12CB →＝12AB →＋12DA →＝12AB →－12AD →.答案：D4．已知平面内有一点P 及一个△ABC ，若PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则( ) A ．点P 在△ABC 外部 B ．点P 在线段AB 上 C ．点P 在线段BC 上D ．点P 在线段AC 上解析：∵PA →＋PB →＋PC →＝AB →，∴PA →＋PB →＋PC →－AB →＝0，即PA →＋PB →＋BA →＋PC →＝0，∴PA →＋PA →＋PC →＝0， 2PA →＝CP →，∴点P 在线段AC 上．答案：D5．(2014年大连联考)已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且四边形ABCD 为平行四边形，则( )A ．a －b ＋c －d ＝0B ．a －b ＋c ＋d ＝0C ．a ＋b －c －d ＝0D ．a ＋b ＋c ＋d ＝0解析：依题意得，AB →＝DC →，故AB →＋CD →＝0，即OB →－OA →＋OD →－OC →＝0，即有OA →－OB →＋OC →－OD →＝0，则a －b ＋c －d ＝0，故选A.答案：A6．(2014年延边质检)在△ABC 中，N 为边AC 上一点，且AN →＝13NC →，P 是BN 上一点，若AP→＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为( )A.911B.511C.411D.311解析：由AP →＝mAB →＋211AC →，得AP →＝mAB →＋211×4AN →＝mAB →＋811AN →，因为点B ，P ，N 三点共线，所以m ＋811＝1，即m ＝311.答案：D 二、填空题7．下列四个命题：①若|a |＝0，则a 为零向量；②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若a ∥b ，则|a |＝|b |；④若a ＝0，则－a ＝0.其中正确个数有________个．解析：②中两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，并不意味着它们的方向是相同或相反的；③中两个向量平行，只说明这两个向量的方向相同或相反，对向量的模没有要求；故只有①④正确．答案：28．设a ，b 是两个不共线的非零向量，若8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，则实数k ＝________. 解析：因为8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，所以存在实数λ，使8a ＋k b ＝λ(k a ＋2b )，即(8－λk )a ＋(k －2λ)b ＝0.又a ，b 是两个不共线的非零向量，故⎩⎪⎨⎪⎧8－λk ＝0，k －2λ＝0，解得k ＝±4.答案：±49．(2014年淮阴模拟)已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.解析：由题目条件可知，M 为△ABC 的重心，连接AM 并延长交BC 于D ，则AM →＝23AD →，因为AD 为中线，则AB →＋AC →＝2AD →＝3AM →，所以m ＝3.答案：3 三、解答题10．已知P 为△ABC 内一点，且3AP →＋4BP →＋5CP →＝0.延长AP 交BC 于点D ，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示向量AP →、AD →.解析：∵BP →＝AP →－AB →＝AP →－a ， CP →＝AP →－AC →＝AP →－b ， 又3AP →＋4BP →＋5CP →＝0，∴3AP →＋4(AP →－a ) ＋5(AP →－b )＝0. ∴AP →＝13a ＋512b .设AD →＝tAP →(t ∈R )， 则AD →＝13t a ＋512tb ．①又设BD →＝kBC →(k ∈R )，由BC →＝AC →－AB →＝b －a ，得BD →＝k (b －a )． 而AD →＝AB →＋BD →＝a ＋BD →，∴AD →＝a ＋k (b －a )＝(1－k )a ＋k b .② 由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧13t ＝1－k ，512t ＝k .解得t ＝43.代入①，有AD →＝49a ＋59b .∴AP →＝13a ＋512b ，AD →＝49a ＋59b .11.设点O 在△ABC 内部，且有4OA →＋OB →＋OC →＝0，求△ABC 的面积与△OBC 的面积之比．解析：取BC 的中点D ，连接OD ， 则OB →＋OC →＝2OD →，又4OA →＝－(OB →＋OC →)＝－2OD →， 即OA →＝－12OD →，∴O 、A 、D 三点共线，且|OD →|＝2|OA →|， ∴O 是中线AD 上靠近A 点的一个三等分点， ∴S △ABC ∶S △OBC ＝3∶2.12．(能力提升)已知a ，b 不共线，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解析：由题设知，CD →＝d －c ＝2b －3a ，CE →＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE →＝kCD →，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．。
本章达标测评(总分:150分;时间:120分钟)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.以下说法中不正确的是( ) A.零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等 C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量 2.化简AC⃗⃗⃗⃗⃗ -BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 得( ) A.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ B.DA ⃗⃗⃗⃗⃗ C.BC⃗⃗⃗⃗⃗ D.0 3.设a =(1,-2),b =(-3,4),c =(3,2),则(a +2b )·c 等于( ) A.(-15,12) B.0 C.-3 D.-114.若M 是△ABC 的重心,则下列各向量中与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的是( ) A.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ 5.在△ABC 中,(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2,则△ABC 的形状一定是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形6.在△ABC 中,AB=4,∠ABC=30°,D 是边BC 上的一点,且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值等于( )A.-4B.0C.4D.87.已知|a |=1,|b |=√2,且a ⊥(a -b ),则向量a 与向量b 的夹角是( ) A.30° B.45° C.90° D.135°8.已知向量a ,b 满足a =(4,3),2a +b =(3,18),则b 在a 方向上的投影为( ) A.3 B.4 C.-165 D.1659.已知平面上直线l 的方向向量e =-45,35,点O(0,0)和A(1,-2)在l 上的射影分别是O'和A',则O 'A '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λe ,其中λ等于( ) A.115B.-115 C.2 D.-210.已知平面向量a ,b ,c 满足|a |=1,|b |=2,|c |=3,且a ,b ,c 两两所成的角相等,则|a +b +c |等于( )A.6或√3B.6或√2C.√2D.6二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上) 11.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则1a +1b 的值等于 .12.已知OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,|OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,则OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 两两的夹角是 .13.函数y=tan (π4x -π2)的部分图象如图,则(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·OB⃗⃗⃗⃗⃗ = .14.如图,AB 是☉O 的直径,点C,D 是半圆AB 的两个三等分点,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = .15.若向量a =(x,2x),b =(-3x,2),且a ,b 的夹角为钝角,则x 的取值范围是 .三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分12分)如图,在平行四边形OADB 中,设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CD ⃗⃗⃗⃗⃗ .试用a ,b 表示OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 及MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .17.(本小题满分12分)设向量a ,b 满足|a |=|b |=1及|3a -2b |=√7. (1)求向量a 与b 的夹角; (2)求|3a +b |的值.18.(本小题满分12分)已知向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),0<β<α<π. (1)若|a-b|=√2,求证:a ⊥b ;(2)设c =(0,1),若a +b =c ,求α,β的值.19.(本小题满分13分)已知|m |=4,|n |=3,m 与n 的夹角为60°,a =4m -n ,b =m +2n ,c =2m -3n .求: (1)a 2+b 2+c 2;(2)a·b +2b ·c -3c ·a .20.(本小题满分13分)如图,在边长为1的正三角形ABC 中,E,F 分别是边AB,AC 上的点,若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =n AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m,n∈(0,1).设EF 的中点为M,BC 的中点为N. (1)若A,M,N 三点共线,求证:m=n; (2)若m+n=1,求|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值.21.(本小题满分13分)在Rt△ABC 中,已知∠A=90°,BC=a,若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点,问PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角θ取何值时,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值最大?并求出这个最大值.附加题1.(2013湖南,6,5分,★★☆)已知a,b 是单位向量,a·b =0.若向量c 满足|c-a-b |=1,则|c |的取值范围是( ) A.[√2-1,√2+1] B .[√2-1,√2+2] C.[1,√2+1] D.[1,√2+2]2.(2013重庆,10,5分,★★★)在平面上,AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,|OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .若|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |<12,则|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是( )A.(0,√52] B.(√52,√72] C.(√52,√2] D.(√72,√2]一、选择题1.C 只有C 是错误的,平行向量包括方向相同与相反两种情况.2.D 原式=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.3.C ∵a+2b=(-5,6),∴(a+2b)·c=-3.4.C 由题意知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∵0∥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴C 正确,故选C.(注意利用结论:在△ABC 中,对△ABC 的重心M 有AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0) 5.C 由(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2,得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,即AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0, ∴2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴∠A=90°.故选C. 6.C ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0, ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即AD⊥BC, ∴∠ADB=90°,在Rt△ADB 中,∠B=30°, ∴AD=12AB=2,∠BAD=60°,∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos 60°=2×4×12=4.7.B 由a⊥(a -b),得a·(a -b)=0,即a 2-a·b=0,∴a·b=a 2.设向量a 与向量b 的夹角为θ,则cos θ=a ·b|a ||b |=a 2|a ||b |=1×√2=√22.又0°≤θ≤180°,∴θ=45°.8.D b=(2a+b)-2a=(3,18)-(8,6)=(-5,12),b在a 方向上的投影为|b|cos<a,b>=a ·b |a |=(4,3)·(-5,12)5=165.9.D 由题意可知|O 'A '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(π-θ)(θ为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与e 的夹角). ∵O(0,0),A(1,-2),∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2).∵e=-45,35,∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·e=1×-45+(-2)×35=-2=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|e|·cos θ,∴|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cosθ=-2,∴|O 'A '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2.又∵|O 'A '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|λ|·|e|,∴λ=±2.又由已知可得λ<0,∴λ=-2,故选D.10.A ∵a,b,c 两两所成的角相等,∴夹角为0°或120°.当夹角为0°时,|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=1+2+3=6,排除C; 当夹角为120°时,a·b=|a||b|cos 120°=1×2×-12=-1,b·c=|b||c|·cos120°=2×3×-12=-3,c·a=|c||a|cos 120°=3×1×-12=-32,∴|a+b+c|2=a 2+b 2+c 2+2(a·b+b·c+c·a)=12+22+32+2-1-3-32=3, ∴|a+b+c|=√3. ∴|a+b+c|=6或√3. 二、填空题 11.答案 12解析 ∵A(2,2),B(a,0),C(0,b), ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-2,-2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a,b), 又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线, ∴b(a -2)-(-2)(-a)=0, 即b(a-2)-2a=0,∴b=2aa -2,取倒数,得1b =a -22a =12-1a , ∴1a +1b =12. 12.答案 120°解析 由OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-(OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).∴OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=[-(OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )]2.整理得|OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +|OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2. ∵|OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,∴OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12,∴cos<OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=-12,∴<OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=120°.同理,<OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=120°,<OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=120°. 13.答案 4解析 依题意知A(2,0),B(3,1),∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1),OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1),∴(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4. 14.答案 12a+b解析 连接OD,由题意知四边形AODC 为平行四边形,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ =12a+b. 15.答案 (-∞,-13)∪(-13,0) ∪(43,+∞)解析 ∵a,b 的夹角为钝角,∴a·b=x·(-3x)+2x·2=-3x 2+4x<0, 解得x<0或x>43,①由a,b 共线且反向可得x=-13.② 由①②得x 的取值范围是 (-∞,-13)∪(-13,0)∪(43,+∞). 三、解答题16.解析 由题意知,在平行四边形OADB 中,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =16BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =16(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -OB⃗⃗⃗⃗⃗ )=16(a-b)=16a-16b, 则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b+16a-16b=16a+56b.ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23(a+b), 则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(a+b)-16a-56b=12a-16b.17.解析 (1)由题意得(3a-2b)2=7, 即9|a|2-12a·b+4|b|2=7, 把|a|=|b|=1代入上式得a·b=12. 设a 与b 的夹角为θ,∴|a||b|cos θ=12,即cos θ=12,又θ∈[0,π],∴θ=π3. ∴向量a 与b 的夹角为π3. (2)(3a+b)2=9|a|2+6a·b+|b|2 =9+3+1=13, ∴|3a+b|=√13.18.解析 (1)证明:由条件知|a|=|b|=1,由|a-b|=√2,得(a-b)2=|a-b|2=2,即 a 2-2a·b+b 2=2,即|a|2-2a·b+|b|2=2, ∴-2a·b+2=2,a·b=0,从而a⊥b.(2)∵a+b=(cos α+cos β,sin α+sin β), ∴由a+b=c,得cos α+cos β=0,sin α+sin β=1,∵cos 2α+sin 2α=1,∴(-cos β)2+(1-sin β)2=1,整理得sin β=12,同理,sin α=12. ∵0<β<α<π,∴α=5π6,β=π6.19.解析 ∵|m|=4,|n|=3,m 与n 的夹角为60°, ∴m·n=|m||n|cos 60°=4×3×12=6. (1)a 2+b 2+c 2=(4m-n)2+(m+2n)2+(2m-3n)2=16|m|2-8m·n+|n|2+|m|2+4m·n+4|n|2+4|m|2-12m·n+9|n|2 =21|m|2-16m·n+14|n|2=21×16-16×6+14×9=366. (2)a·b+2b·c -3c·a=(4m-n)·(m+2n)+2(m+2n)·(2m -3n)-3(2m-3n)·(4m -n) =-16|m|2+51m·n -23|n|2 =-16×16+51×6-23×9=-157.20.解析 (1)证明:由A,M,N 三点共线,得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 设AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R), 则12(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ), 所以m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ), 所以m=n.(2)因为MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )-12(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(1-m)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(1-n)AC⃗⃗⃗⃗⃗ , 又m+n=1,所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(1-m)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12m AC⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=14(1-m)2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+14m 2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+12(1-m)m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14(1-m)2+14m 2+14(1-m)m=14(m -12)2+316,故当m=12时,|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |min =√34. 21.解析 解法一:如图,∵ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0.∵ AP⃗⃗⃗⃗⃗ =-AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴ BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AP ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ -AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-a 2-AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +0 =-a 2-AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-a 2+12PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =-a 2+a 2cos θ. 故当cos θ=1,即θ=0°(PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同)时,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值最大,其最大值为0. 解法二:以直角顶点A 为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.设|AB|=c,|AC|=b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b),且|PQ|=2a,|BC|=a, 设点P 的坐标为(x,y),则Q(-x,-y),同时易知x 2+y 2=a 2, ∴BP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-c,y),CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x,-y-b), BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-c,b),PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2x,-2y).∴BP⃗⃗⃗⃗⃗ ·CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-c)(-x)+y(-y-b) =-(x 2+y 2)+cx-by.∵cos θ=PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=cx -by a 2,∴cx -by=a 2cos θ,∴BP⃗⃗⃗⃗⃗ ·CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =-a 2+a 2cos θ. 故当cos θ=1,即θ=0°(PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同)时,BP⃗⃗⃗⃗⃗ ·CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值最大,其最大值为0.附加题1.A 由公式||a|-|b||≤|a -b|得||c|-|a+b||≤|c -a-b|=1, ∴-1+|a+b|≤|c|≤1+|a+b|,又∵a,b 是单位向量,a·b=0,∴|a+b|=√2,∴-1+√2≤|c|≤1+√2.2.D 以A 为原点,AB 1所在直线为x 轴建立直角坐标系,如图所示.设B 1(a,0),B 2(0,b),O(m,n),则由已知得P(a,b).由|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 1|=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2|=1,|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |<12,得(m-a)2+n 2=1,m 2+(n-b)2=1,(m-a)2+(n-b)2<14,即-2am+a 2=1-(m 2+n 2),①-2nb+b 2=1-(m 2+n 2),②m 2+n 2-2am-2bn+a 2+b 2<14,③①②代入③中,得m 2+n 2+1-(m 2+n 2)+1-(m 2+n 2)<14,即有m 2+n 2>74,√m 2+n 2>√72.又|OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,相当于以O 为圆心,1为半径的圆与x 轴,y 轴有交点,即有|m|≤1,|n|≤1,即m 2+n 2≤2,√m 2+n 2≤√2,故有|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√m 2+n 2∈(√72,√2].。
2015《向量》高考真题总结1．(2015四川文科2)设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x ＝（）A．2 B．3 C．4 D．6 2．(2015·新课标I卷)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC→＝(－4，－3)，则向量BC→＝()A．(－7，－4) B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4)3．(2015·浙江卷13)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝12.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.4．（2015·新课标Ⅱ卷4）向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a ＝()A．－1 B．0 C．1 D．25．(2015·江苏卷6)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若m a＋n b＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．6．（2015·重庆卷7）已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( )A.π3B.π2C.2π3D.5π67．(2015·湖北卷11)已知向量OA→⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝__________.8．（2015·天津卷13）在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF →的值为________．9．（2015·北京卷6）设a ，b 是非零向量，“a·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．（2015·安徽卷15）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，→＝2a＋b，则下列结论中正确的是________．(写出b满足AB→＝2a，AC所有正确结论的编号)→；⑤(4a＋①a为单位向量；②b为单位向量；③a⊥b；④b∥BC→.b)⊥BC11．(2015·陕西卷17)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a, 3b)与n＝(cos A，sin B)平行．(1)求A；(2)若a＝7，b＝2，求△ABC的面积．2015《向量》高考真题参考答案1.B2.A3.332 4.C 5. －3 6.C 7.9 8.1829 9.A 10.①④⑤ [解析] 由AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，得a ＝12AB →，b ＝AC→－2a ＝BC →，④正确；|a |＝12|AB →|＝1，①正确；|b |＝|BC →|＝2，②错误；且a 与b 的夹角为120°，故a ·b ＝1×2×cos 120°＝－1，③错误；(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋b 2＝－4＋4＝0，⑤正确．11.解：(1)Θm ∥n.∴asin B －3bcos A=0.∴Sin A Sin B －3Sin B cos A=0.又ΘB 为∆ABC 内角,故 SinB ≠0.∴ Sin A=3cos A.∴ tanA=3 (0°< A<180°)∴ A=60°(2）由（1）知A=60°且a ＝7，b ＝2.由正弦定理知：A a sin =B b sin . ∴233=B sin 2. ∴ Sin B= 1. ∴B=90° 又ΘA+B+C=180°. ∴C=30°∴S ∆ABC=21ab sinC=213⨯212⨯⨯=23。
高一数学平面向量试题答案及解析1.在中，，是边上任意一点（与不重合），若，则=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意画出相应的图形，如图所示：过A作AO⊥BC，交BC于点O，以BC所在的直线为x轴，AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，设A（0，a），B（b，0），C（c，0），D（d，0），∵|AB|2=|AD|2+|BD|×|DC|，∴a2+b2=a2+d2+（d-b）（c-d），即d2-b2+（d-b）（c-d）=0，∴（d+b）（d-b）+（d-b）（c-d）=0，即（d-b）（b+c）=0，∵D与B不重合，∴d≠b，即d-b≠0，∴b+c=0，即b=-c，∴B与C关于y轴对称，∴AB=AC，则△ABC为等腰三角形．得到∠B=∠C=75°2.（本小题满分10分）已知向量，，且，（1）求a·b及|a＋b|；（2）若f（x）＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值．【答案】（1），；（2）【解析】（1）首先根据向量积的坐标表示，然后再根据两角和的余弦公式进行化简，求向量的模，根据公式，展开公式，然后按照向量数量积的坐标表示和二倍角公式进行化简；（2），第一步先按二倍角公式展开，转化为关于的二次函数求最值，第二步，进行换元，配方，所以讨论，，三种情况，得到最小值，确定参数的取值．试题解析：（1），（2分）|，因为所以．（2）令因为，．∴原函数可化为①当，，即（不合题意，舍去）．②当时，，即或（不合题意，舍去）．③当时，矛盾．综上所述．【考点】1．向量数量积的坐标表示；2．三角函数的化简；3．二次函数求最值．3.向量，若，则实数的值为．【答案】【解析】【考点】向量的数量积的坐标运算及向量模4.已知为锐角，，且，则为．【答案】或【解析】因为，，故为或．【考点】平行向量的坐标表示5.已知向量，向量，若，则实数的值是（）A．B．C．4D．【答案】C【解析】，所以【考点】1．数量积的坐标表示；2．两向量垂直的充要条件6.已知是所在平面上一点，满足，则点（）A．在与边垂直的直线上B．在的平分线所在直线上C．在边的中线所在直线上D．以上都不对【答案】A【解析】移项得设AB边的中点为D，则所以O在与边垂直的直线上，选A．【考点】向量加减法的几何意义，数量积的性质．7.如图，在四边形中，，且，，记向量则= （）A．B．C．D．【答案】B【解析】作于，与，由题意，且，记向量，，故选B．【考点】（1）向量在几何中的应用（2）向量的加法及其几何意义8.如图，平面内的两条相交直线和将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包括边界），若，且点落在第Ⅲ部分，则实数满足（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，由于点落在第Ⅲ部分，则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知与方向相反，与相反，，故选D．【考点】向量加减呼和运算及其几何意义9.已知向量a＝（1,2），b＝（x＋1，－x），且a⊥b，则x＝（）A．2B．C．1D．0【答案】C【解析】两向量垂直坐标满足【考点】向量垂直的判定10.设R，向量，且，则的值是（）A．B．C．D．10【答案】B【解析】由得：，解得：，所以，，则，所以。
高一向量测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若向量a=(2,3)，向量b=(1,-1)，则向量a+b的坐标为（）。
A. (3, 2)B. (1, 4)C. (1, 2)D. (3, 4)答案：A2. 若向量a=(2,-1)，向量b=(1,3)，则向量a·b的值为（）。
A. 1B. 5C. -1D. 7答案：C3. 若向量a=(3,-2)，向量b=(2,1)，则向量a与向量b的夹角θ满足（）。
A. 0°<θ<90°B. 90°<θ<180°C. 0°<θ<180°D. θ=90°答案：D4. 若向量a=(1,2)，向量b=(2,1)，则向量a与向量b的模长之比为（）。
A. 1:√2B. √2:1C. 1:1D. 2:1答案：A是（）。
A. a=bB. a=-2bC. a=2bD. a=-b答案：C6. 若向量a=(3,4)，向量b=(2,-1)，则向量a与向量b垂直的条件是（）。
A. a·b=0B. a·b=1C. a·b=-1D. a·b=3答案：A别为（）。
A. |a|=√13, |b|=√5B. |a|=√5, |b|=√13C. |a|=√13, |b|=√5D. |a|=√5, |b|=√13答案：A8. 若向量a=(1,0)，向量b=(0,1)，则向量a与向量b的夹角θ为（）。
A. 0°B. 90°C. 180°D. 45°答案：B（）。
A. -1B. 1C. 7D. -7答案：A10. 若向量a=(3,-1)，向量b=(2,1)，则向量a与向量b的叉积为（）。
A. 5B. -5C. 1D. -1答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 若向量a=(1,2)，向量b=(2,1)，则向量a-b的坐标为（）。
高一向量试题及答案详解一、选择题1. 已知向量\( \overrightarrow{a} \)和向量\( \overrightarrow{b} \)不共线，且\( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} =\overrightarrow{c} \)，则下列说法正确的是：A. \( \overrightarrow{c} \)与\( \overrightarrow{a} \)共线B. \( \overrightarrow{c} \)与\( \overrightarrow{b} \)共线C. \( \overrightarrow{c} \)与\( \overrightarrow{a} \)和\( \overrightarrow{b} \)都不共线D. \( \overrightarrow{c} \)与\( \overrightarrow{a} \)和\( \overrightarrow{b} \)都共线答案：C2. 若向量\( \overrightarrow{a} \)和向量\( \overrightarrow{b} \)的夹角为90°，则下列说法正确的是：A. \( \overrightarrow{a} \)和\( \overrightarrow{b} \)共线B. \( \overrightarrow{a} \)和\( \overrightarrow{b} \)垂直C. \( \overrightarrow{a} \)和\( \overrightarrow{b} \)平行D. \( \overrightarrow{a} \)和\( \overrightarrow{b} \)既不共线也不垂直答案：B二、填空题3. 已知向量\( \overrightarrow{a} = (3, 4) \)，向量\( \overrightarrow{b} = (-2, 1) \)，求向量\( \overrightarrow{a} \)与向量\( \overrightarrow{b} \)的数量积。
高中一年级数学向量专题试题一、选择题（每题 5 分，共 40 分）1、下列物理量中，不是向量的是（）A 位移B 速度C 质量D 力2、已知向量\（＼overrightarrow{a}＝（1,2)＼），＼（＼overrightarrow{b}＝（x,1)＼），若\（＼overrightarrow{a}＼perp\overrightarrow{b}＼），则\（x\）的值为（）A ＼（－2\）B ＼（2\）C ＼（＼frac{1}｛2}＼）D ＼（＼frac{1}｛2}＼）3、若向量\（＼overrightarrow{a}＝（2,3)＼），＼（＼overrightarrow{b}＝（－4,7)＼），则\（＼overrightarrow{a}＋＼overrightarrow{b}＼）等于（）A ＼（（－2,10)＼）B ＼（（6,－4)＼）C ＼（（－6,4)＼） D＼（（2,－10)＼）4、已知\（＼overrightarrow{AB}＝（3,－1)＼），＼（A(2,1)＼），则点\（B\）的坐标为（）A ＼（（5,0)＼）B ＼（（1,0)＼）C ＼（（－1,2)＼）D ＼（（5,－2)＼）5、已知向量\（＼overrightarrow{a}＝（1,m)＼），＼（＼overrightarrow{b}＝（m,2)＼），若\（＼overrightarrow{a}＼parallel\overrightarrow{b}＼），则实数\（m\）的值为（）A ＼（＼sqrt{2}＼）B ＼（＼sqrt{2}＼）C ＼（＼pm\sqrt{2}＼）D ＼（0\）6、已知\（＼vert\overrightarrow{a}＼vert ＝ 2\），＼（＼vert\overrightarrow{b}＼vert ＝ 3\），＼（＼overrightarrow{a}＼）与\（＼overrightarrow{b}＼）的夹角为\（60^＼circ\），则\（＼overrightarrow{a}＼cdot\overrightarrow{b}＼）等于（）A ＼（3\）B ＼（3\sqrt{3}＼）C ＼（6\）D ＼（6\sqrt{3}＼）7、已知向量\（＼overrightarrow{a}＝（1,2)＼），＼（＼overrightarrow{b}＝（2,－3)＼），若\（k\overrightarrow{a}＼overrightarrow{b}＼）与\（＼overrightarrow{a}＋2\overrightarrow{b}＼）共线，则\（k\）的值为（）A ＼（＼frac{1}｛2}＼）B ＼（＼frac{1}｛2}＼）C ＼（－2\）D ＼（2\）8、已知\（＼triangle ABC\）的三个顶点\（A(1,2)＼），＼（B(3,4)＼），＼（C(－1,2)＼），＼（BC\）边上的中线\（AD\），则\（＼overrightarrow{AD}＼）的坐标为（）A ＼（（1,2)＼）B ＼（（2,3)＼）C ＼（（＼frac{1}｛2}，1)＼）D ＼（（1,＼frac{3}｛2}）＼）二、填空题（每题 5 分，共 30 分）9、已知向量\（＼overrightarrow{a}＝（3,4)＼），则\（＼vert\overrightarrow{a}＼vert ＝＼）＿____。
向量小测卷一．选择题：1．下列四个命题中正确的是（ ） A ．两个单位向量一定相等B ． 两个相等的向量的起点、方向、长度必须都相同C ．共线的单位向量必相等 D． 若与不共线，则与都是非零向量2．以下给出了4个命题（1）两个长度相等的向量一定相等； （2）相等的向量起点必相同；（3）若•=•，且≠，则→b =→c ； （4）若→a 的模小于→b 的模，则→a ＜→b ． 其中正确命题的个数共有（ ） A ． 3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个3．已知，是两个单位向量，下列命题中错误的是（ ） A．||=||=1 B ． •=1C． 当，反向时，+= D ．当，同向时，=4．设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使+=成立的是（ ）A ．=2B ．∥ C ． =﹣D ．⊥5．已知向量，若与平行，则实数x 的值是（ ）A ． ﹣2B ．0 C ．1 D ． 26．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，=x+y，且=3，则（ ）A． x=，y= B ．x=，y=C ．x=，y= D ．x=，y=7．已知向量，的夹角为，且，||=2，在△ABC 中，，D 为BC边的中点，则=（ ）A ． 2B ．4 C ．6 D ．88．向量、的夹角为60°，且，，则等于（）A ．1 B．C．D．29．已知正方形ABCD的边长为1，则等于（）A ．1 B．3 C．D．10．设P是△ABC所在平面内的一点，，则（）A ．B．C．D．11．已知两点A（4，1），B（7，﹣3），则与向量同向的单位向量是（）A ．±（，﹣）B．（﹣，）C．（，﹣）D．（，﹣12．已知向量，的模分别为1，2，它们的夹角为60°，则向量﹣与﹣4+的夹角为（）A ．60°B．120°C．30°D．150°13．已知点A（0，1），B（﹣2，3）C（﹣1，2），D（1，5），则向量在方向上的投影为（）A ．B．﹣C．D．﹣14．已知P是边长为2的正△ABC的边BC上的动点，则（）A ．最大值为8 B．是定值6 C．最小值为2 D．是定值215．如图，在扇形OAB中，∠AOB=60°，C为弧AB上且与A，B不重合的一个动点，，若u=x+λy，（λ＞0）存在最大值，则λ的取值范围为（）A ．B．（1，3）C．D．二．填空题：16．已知，||=||=2，与的夹角为，则在上的投影为．17．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，且AD=1，则•的值是．18．设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=．19．已知△ABC中，=（2，1），=（3，﹣4），则△ABC的面积S=．20．在边长为3的等边三角形ABC中，=2，则•等于．21．如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则的值是．22．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°．如图所示，点C在以O为圆心，以1半径的圆弧AB上变动．若=x+y，其中x，y∈R，则x+y的最大值是．三．解答题：23．在直角坐标系xoy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2）是平行四边形ABCD中的三顶点．（1）求点D的坐标；（2）求平行四边形ABCD中的较小内角的余弦值．24．已知：（1）求（2）求满足条件的实数m，n．（3）若向量满足，且求．（1）当k为何值时，k﹣与+2共线．（2）若=2+3，=+m，且A、B、C三点共线，求m的值．26．已知单位向量和的夹角为60°，（1）试判断2与的关系并证明；（2）求在方向上的投影．27．已知向量=（1，﹣2），=（4，﹣1），=（m，m+1）．（1）若∥，求实数m的值；（2）若△ABC为直角三角形，求实数m的值．28．如图，平行四边形ABCD 中，AB=2，AD=1，∠A=60°，点M 在AB 边上，且AM=AB ，则的值是多少？29．已知向量，=（1，﹣2），①若向量与向量垂直，求实数k 的值②若向量与向量共线，求实数k 的值③设向量与的夹角为α，与的夹角为β，是否存在实数k 使α+β=π？求实数k 的值，若不存在说明理由？30．已知O 为坐标原点，A （0，2），B （4，6），=t 1+t 2．（1）求证：当t 1=1时，不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线； （2）若t 1=a 2，求当⊥且△ABM 的面积为12时a 的值．参考答案与试题解析一．选择题：1．下列四个命题中正确的是（）A．两个单位向量一定相等B．两个相等的向量的起点、方向、长度必须都相同C．共线的单位向量必相等D．若与不共线，则与都是非零向量考点：向量的物理背景与概念．专题：平面向量及应用．分析：根据平面向量的基本概念，对每一个选项进行判断即可．解答：解：对于A，两个单位向量不一定相等，因为它们的方向不一定相同，∴A错误；对于B，两个相等的向量的方向相同，长度也相等，但是起点不一定相同，∴B错误；对于C，共线的单位向量不一定相等，也可能是相反向量，∴C错误；对于D，当与不共线时，与都是非零向量，∴D正确．故选：D．点评：本题考查了单位向量、相等向量与共线向量的应用问题，是基础题目．2．以下给出了4个命题（1）两个长度相等的向量一定相等；（2）相等的向量起点必相同；（3）若•=•，且≠，则→b=→c；（4）若→a的模小于→b的模，则→a＜→b．其中正确命题的个数共有（）A ．3个B．2个C．1个D．0个考点：向量的物理背景与概念；平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的物理背景与概念、数量积的概念逐个分析．解答：解：（1）长度相等方向相同的两个向量相等，故（1）错；（2）两个向量长度相等方向相同就相等，起点不一定相同；（3）若•=•，则，故得出=不正确；（4）向量不能比较大小，因为向量既有大小又有方向，故不正确．故选：D．点评：本题考查向量的物理背景、概念、数量积的概念，属于基础题．3．已知，是两个单位向量，下列命题中错误的是（）A ．||=||=1 B．•=1C ．当，反向时，+=D．当，同向时，=考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由，是两个单位向量，即模为1的向量，由向量的数量积的定义和相等向量和相反向量的概念，即可判断B错误，A，C，D正确．解答：解：由，是两个单位向量，即模为1的向量，对于A．有||=||=1，则A正确；对于B.•=||•||cos＜，＞=cos＜，＞，则B错误；对于C．当，反向时，则+=，则C正确；对于D．当，同时，则=，则D正确．故选B．点评：本题主要考查单位向量的定义，考查向量的数量积的定义和向量共线的知识，属于基础题和易错题．4．设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使+=成立的是（）A ．=2B．∥C．=﹣D．⊥考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析： 根据向量共线定理，可得若+=成立，则向量，共线且方向相反，对照各个选项并结合数乘向量的含义，可得本题答案． 解答： 解：由+=，得若=﹣≠，即有=﹣，则，共线且方向相反，因此当因此当向量、共线且方向相反时，能使+=成立．对照各个选项，可得A 项中向量、的方向相同， B 项中向量，共线，方向相同或相反， C 项中向量、的方向相反， D 项中向量、的方向互相垂直 故选：C ． 点评： 本题考查了数乘向量的含义与向量共线定理等知识，属于基础题．5．已知向量，若与平行，则实数x 的值是（ ）A ． ﹣2B ．0 C ．1 D ．2 考点： 平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的坐标运算．专题： 计算题．分析： 由题意分别可得向量与的坐标，由向量平行的充要条件可建立关于x 的方程，解之即可．解答：解：由题意可得=（3，x+1），=（﹣1，1﹣x ），因为与平行，所以3×（1﹣x ）﹣（x+1）×（﹣1）=0，解得x=2故选D 点评： 本题为向量平行的问题，熟练应用向量平行的充要条件是解决问题的关键，属基础题．6．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，=x +y ，且=3，则（ ）A． x=，y= B ．x=，y=C ．x=，y= D ．x=，y=考平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：由=3，利用向量三角形法则可得，化为，又=x+y，利用平面向量基本定理即可得出．解答：解：∵=3，∴，化为，又=x+y，∴，y=．故选：D．点评：本题考查了向量三角形法则、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．已知向量，的夹角为，且，||=2，在△ABC中，，D为BC边的中点，则=（）A ．2 B．4 C．6 D．8考点：向量的模．专题：计算题．分析：利用D为BC边的中点，，再利用向量的模的定义求出向量的模．解答：解：=，故选A．点评：本题考查两个向量的加减法的法则，两个向量的数量积的定义，向量的模的定义，求向量的模的方法．8．向量、的夹角为60°，且，，则等于（）A ．1 B．C．D．2考点：向量的模．专题：计算题．分析：欲求，只需自身平方再开方即可，这样就可出现两向量的模与数量积，最后根据数量积公解答：解：∵向量、的夹角为60°，且，，∴•=1×2×cos60°=1 ∴|2﹣|===2故选D．点评：本题主要考查了向量的数量积的概念，以及向量的模的求法，属于向量的综合运算，同时考查了计算能力，属于基础题．9．已知正方形ABCD的边长为1，则等于（）A ．1 B．3 C．D．考点：向量的模．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的运算法则和模的计算公式即可得出．解答：解：如图所示：∵=，，∴==2=2．故选D．点评：熟练掌握向量的运算法则和模的计算公式是解题的关键．10．设P是△ABC所在平面内的一点，，则（）A ．B．C．D．考点：向量的加法及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：以BA，BC为邻边作平行四边形BAMC，利用平行四边形法则可得：，已知，得到，可得点P是对角线的交点．即可得出．解答：解：如图所示，以BA，BC为邻边作平行四边形BAMC，则，∵，∴，可得点P是对角线的交点．∴．点评：本题考查了向量的平行四边形法则、平行四边形的性质，属于基础题．11．已知两点A（4，1），B（7，﹣3），则与向量同向的单位向量是（）A ．±（，﹣）B．（﹣，）C．（，﹣）D．（，﹣考点：单位向量；平行向量与共线向量．专题：计算题．分析：根据两个点的坐标写出向量的坐标表示，进而求出其模并且求出与向量同向的单位向量．解答：解：因为两点A、B的坐标为A（4，1），B（7，﹣3），所以=（3，﹣4）．所以||=5，所以与向量同向的单位向量为（，﹣）．故选C．点评：解决此类问题的关键是正确表达向量与求出向量的模，并且熟悉单位向量的定义．12．已知向量，的模分别为1，2，它们的夹角为60°，则向量﹣与﹣4+的夹角为（）A ．60°B．120°C．30°D．150°考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：利用向量夹角公式cosθ=，本题先求出﹣与﹣4+的模以及它们的数量积，再代入公式计算求解．解答：解：∵（﹣）2=2，﹣2•+2=12﹣2×1×2×cos60°+22=3，∴|﹣|=，同理求得（﹣4+）2=12，|﹣4+|=．又（﹣）•（﹣4+）=﹣42﹣3•+2=﹣3，利用向量夹角公式cosθ=．得向量﹣与﹣4+的夹角为cosθ==，∴θ=120°故选B．点评：本题考查了向量夹角的计算，涉及到向量数量积德计算，模的计算知识比较基础，掌握基本的公式和技巧即可顺利求解13．已知点A（0，1），B（﹣2，3）C（﹣1，2），D（1，5），则向量在方向上的投影为（）A ．B．﹣C．D．﹣考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先求出，，根据投影的定义，在方向的投影为，所以根据两向量夹角的余弦公式表示出，然后根据向量的坐标求向量长度及数量积即可．解答：解：∵；∴在方向上的投影为==．故选D．点评：考查由点的坐标求向量的坐标，一个向量在另一个向量方向上的投影的定义，向量夹角的余弦的计算公式，数量积的坐标运算．14．已知P是边长为2的正△ABC的边BC上的动点，则（）A ．最大值为8 B．是定值6 C．最小值为2 D．是定值2考点：向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：先设=，=，=t ，然后用和表示出，再由=+将=、=t 代入可用和表示出，最后根据向量的线性运算和数量积运算可求得的值，从而可得到答案．解答：解：设===t ，则=﹣=﹣，2=4=2•=2×2×cos60°=2=+=+t﹙﹣﹚=﹙1﹣t﹚+t +=+•﹙+﹚=﹙﹙1﹣t﹚+t ﹚•﹙+﹚=﹙1﹣t﹚2+[﹙1﹣t﹚+t]+t 2=﹙1﹣t﹚×4+2+t×4=6故选B．点评：本题主要考查向量的数量积运算和向量的线性运算．高考对向量的考查一般不会太难，以基础题为主，而且经常和三角函数练习起来考查综合题，平时要多注意这方面的练习．15．如图，在扇形OAB中，∠AOB=60°，C为弧AB上且与A，B不重合的一个动点，，若u=x+λy，（λ＞0）存在最大值，则λ的取值范围为（）A ．B．（1，3）C．D．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：压轴题；平面向量及应用．分析：设射线OB上存在为B'，使，AB'交OC于C'，结合平面向量基本定理得到，设，，由A，B'，C'三点共线可知x'+λy'=1，考虑到在弧AB（不包括端点）上存在与AB'平行的切线，加以观察即可得到λ的取值范围．解答：解：设射线OB上存在为B'，使，AB'交OC于C'，由于，设，，由A，B'，C'三点共线可知x'+λy'=1，所以u=x+λy=tx'+t•λy'=t，则存在最大值，即在弧AB（不包括端点）上存在与AB'平行的切线，所以．故选C．点评：本题着重考查了平面向量基本定理、向量的线性运算法则等知识，属于中档题．二．填空题：16．已知，||=||=2，与的夹角为，则在上的投影为3．考平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：根据两个向量的模长和夹角做出两个向量的和的模长，看出两个向量的和与的夹角，有向量的夹角和模长用向量的投影公式得到结果．解答：解：∵||=||=2，与的夹角为，∴|+|2=4+4+2||||cos=12，∴|+|=2，∵与的夹角为，∴在上的投影为|+|cos=3故答案为：3点评：本题考查向量的投影，在计算投影的时注意看清楚是哪一个向量在哪一个向量上的投影，再用模长乘以夹角的余弦．17．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，且AD=1，则•的值是1．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的数量积的定义，结合解直角三角形的锐角三角函数的定义，计算即可得到结论．解答：解：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，且AD=1，则有ABcos∠BAD=AD=1，即有•=||•||•cos∠BAD=||•（||•cos∠BAD）=||2=1．故答案为：1．点评：本题考查向量的数量积的定义，运用锐角三角函数的定义是解题的关键，属于基础题．18．设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=1．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用数量积的性质即可得出．解答：解：∵|+|==，|﹣|==，平方相减可得：=4，解得=1．故答案为：1．点本题考查了数量积的性质，属于基础题．19．已知△ABC中，=（2，1），=（3，﹣4），则△ABC的面积S=．数量积表示两个向量的夹角；三角形的面积公式．考点：专平面向量及应用．题：分由题意可得向量的模长，进而可得夹角的正弦值，代入面积公式可得．析：解解：∵在△ABC中，=（2，1），=（3，﹣4），答：∴||==，||==5，∴cosA=﹣=﹣，∴sinA==，∴△ABC的面积S=××5×=故答案为：本题考查数量积与向量的夹角，涉及三角形的面积公式，属基础题．点评：20．在边长为3的等边三角形ABC中，=2，则•等于3．向量加减混合运算及其几何意义．考点：专平面向量及应用．题：分由题意可得，||=3，|=2，利用两个向量的数量积的定义求出的值．析：解解：由题意可得，||=3，|=2，答：∴=|=3×2×=3，故选C．点本题主要考查两个向量的数量积的定义，求得，||=3，|=2，是解题的关键，评：属于中档题．21．如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则的值是．考平面向量数量积的运算．点：平面向量及应用．专题：分析：根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于0，得到结果．解答：解：∵，====||=，∴||=1，||=﹣1，∴=（）（）==﹣=﹣2++2=，故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式，本题是一个中档题目．22．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°．如图所示，点C在以O为圆心，以1半径的圆弧AB上变动．若=x+y，其中x，y∈R，则x+y的最大值是2考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：根据题意，建立坐标系，设出A，B点的坐标，并设∠AOC=α，则向量，且=x+y，由向量相等，得x，y的值，从而求得x+y的最值．解答：解：建立如图所示的坐标系，则A（1，0），B（cos120°，sin120°），即B（﹣，）．设∠AOC=α，则=（cosα，sinα）．∵=x+y=（x，0）+（﹣，y）=（cosα，sinα）.∴∴x+y=sinα+cosα=2sin（α+30°）．∵0°≤α≤120°．∴30°≤α+30°≤150°．∴x+y有最大值2，当α=60°时取最大值2．答案：2点评：本题是向量的坐标表示的应用，结合图形，利用三角函数的性质，容易求出结果．三．解答题：23．在直角坐标系xoy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2）是平行四边形ABCD中的三顶点．（1）求点D的坐标；（2）求平行四边形ABCD中的较小内角的余弦值．考点：向量在几何中的应用．专题：平面向量及应用．分析：（1）设D（x，y），由平行四边形的性质定理可得：，利用向量坐标运算即可得出．（2）=（1，2），=（1，﹣1）．可得，，．利用向量夹角公式可得cos∠BAD=，即可得出．解答：解：（1）设D（x，y），由平行四边形的性质定理可得：，∴（1，2）=（3﹣x，2﹣y），∴，解得，∴D（2，0）．（2）=（1，2），=（1，﹣1）．∴=1﹣2=﹣1，=，=．∴cos∠BAD==．∴平行四边形ABCD中的较小内角的余弦值为．点评：本题考查了平行四边形的性质定理、向量坐标运算、向量夹角公式、数量积运算，考查了计算能力，属于中档题．24．已知：（1）求（2）求满足条件的实数m，n．（3）若向量满足，且求．考点：向量的模；平行向量与共线向量；向量的共线定理．专题：计算题．分析：（1）由，我们易求出的坐标，代入向量模的公式，即可得到答案．（2）由及，我们可构造一个关于m，n的方程组，解方程组，即可得到实数m，n的值．（3）若，由向量的共线定理，我们易得，又由，我们可以得到一个关于λ的方程，解方程求出λ的值，进而求以求出向量的坐标．解答：解：（1）=（4，7）（3分）∴（5分）（2）由得（3，2）=m（﹣1，2）+n（4，1）=（﹣m+4n，2m+n）（6分）∴（8分）∴（10分）（3）∴（λ∈R）（11分）∴∴（14分）∴，（15分）．（16分）点评：判断两个向量的关系（平行或垂直）或是已知两个向量的关系求未知参数的值，要熟练掌握向量平行（共线）及垂直的坐标运算法则，即“两个向量若平行，交叉相乘差为0，两个向量若垂直，对应相乘和为0”．25．已知=（1，0），=（2，1），（1）当k为何值时，k﹣与+2共线．（2）若=2+3，=+m，且A、B、C三点共线，求m的值．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：（1）利用向量的运算法则、共线定理即可得出；（2）利用向量共线定理、平面向量基本定理即可得出．解答：解：（1）k﹣=k（1，0）﹣（2，1）=（k﹣2，﹣1）．+2=（1，0）+2（2，1）=（5，2）．∵k﹣与+2共线，∴2（k﹣2）﹣（﹣1）×5=0，即2k﹣4+5=0，得k=﹣．（2）∵A、B、C三点共线，∴．∴存在实数λ，使得=，又与不共线，∴，解得．本题考查了向量的运算法则、共线定理、平面向量基本定理，属于基础题．点评：26．已知单位向量和的夹角为60°，（1）试判断2与的关系并证明；（2）求在方向上的投影．平面向量数量积的含义与物理意义；数量积判断两个平面向量的垂直关系．考点：平面向量及应用．专题：分（1）由（2﹣）与的数量积为0，能证明2﹣与垂直；析：（2）根据向量向量的数量积以及投影的定义，计算在方向上的投影||cosθ即可．解解：（1）2﹣与垂直，证明如下：答：∵和是单位向量，且夹角为60°，∴（2﹣）•=2•﹣=2×1×1×cos60°﹣12=0，∴2﹣与垂直．（2）设与所成的角为θ，则在方向上的投影为||cosθ=||×====．本题考查了平面向量的数量积以及向量在另一向量上的投影问题，是基础题．点评：27．已知向量=（1，﹣2），=（4，﹣1），=（m，m+1）．（1）若∥，求实数m的值；（2）若△ABC为直角三角形，求实数m的值．考平面向量数量积的运算；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积判断两个平面向量的垂直关系．点：专平面向量及应用．题：分（1）通过∥，利用平行的充要条件，列出关系式即可求实数m的值；析：（2）利用三角形的直角的可能性，通过向量的数量积为0，求实数m的值．解解：（1）因为向量，所以．答：因为，且，所以3（m+1）﹣m=0．所以．（2）由（1）可知，，，．因为△ABC为直角三角形，所以，或．当时，有3（m﹣1）+m+3=0，解得m=0；当时，有3（m﹣4）+m+2=0，解得；当时，有（m﹣1）（m﹣4）+（m+3）（m+2）=0，解得m∈∅．所以实数m的值为0或．点本题考查向量的数量积的运算，向量的垂直与平行关系的应用，考查计算能力．评：28．如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠A=60°，点M在AB边上，且AM=AB，则的值是多少？平面向量数量积的运算．考点：专平面向量及应用．题：分由题意可得，=，代入•═（+）•（+），整理即可．析：解解：∵平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠A=60°，且AM=AB，答：∴=，∴•=（+）•（+）=+•+•+•=12+1×2cos120°+1××2cos120°+×2×2cos0°=1﹣1﹣+=1本题考查了平面向量的数量积的基本运算以及向量的加法问题，是向量知识的基本应用．点评：29．已知向量，=（1，﹣2），①若向量与向量垂直，求实数k的值②若向量与向量共线，求实数k的值③设向量与的夹角为α，与的夹角为β，是否存在实数k使α+β=π？求实数k的值，若不存在说明理由？考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：①由向量、的坐标，求出与的坐标，根据向量垂直的坐标表示建立关于k的等式，解之可得满足条件的实数k的值；②根据向量与的坐标，利用向量平行的条件建立关于k的等式，解之可得满足条件的实数k的值；③设向量、、的起点为O，终点分别为A、B、M，则当点M落在∠AOB的补角∠AOC的平分线上时，满足α+β=π．此时点M到直线OA、OB的距离相等，且M在第二或第四象限内，利用点到直线的距离公式建立关于k的方程，解之可得：存在k=﹣，使α+β=π成立．解答：解：∵，=（1，﹣2），∴=（k﹣3，﹣2k+1），=（﹣7，4）①∵向量与向量垂直，∴（k﹣3）×（﹣7）+（﹣2k+1）×4=0，解之得k=；②∵向量与向量共线，∴（k﹣3）×4﹣（﹣7）×（﹣2k+1）=0，解之得k=；③设=，==（1，﹣2），=，此时∠MOA=α，∠MOB=β，α+β=∠MOA+∠MOB，设∠AOC是∠AOB的补角，则当M在∠AOC的平分线上时，α+β=∠MOC+∠MOB=π．直线OA的方程为x+3y=0，直线OB的方程为2x+y=0，点M（k﹣3，﹣2k+1）到直线OA、OB的距离相等．∴，解之得k=．又∵点M（k﹣3，﹣2k+1）是第二或第四象限内的点，∴（k﹣3）（﹣2k+1）＜0，解得k＜或k＞3，由此可得k=不符合题意，舍去．综上所述，存在k=﹣，使α+β=π成立．点评：本题给出向量含有参数k的坐标，探索两个向量平行、垂直的位置关系．着重考查了平面向量的坐标运算、向量平行与垂直的条件、点到直线的距离公式及其应用等知识，属于中档题．30．已知O为坐标原点，A（0，2），B（4，6），=t1+t2．（1）求证：当t1=1时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线；（2）若t1=a2，求当⊥且△ABM的面积为12时a的值．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：（1）当t1=1时，求得=﹣=（4，4），=﹣=t2，可得不论t2为何实数，A、B、M三点共线．（2）当t1=a2时，求得=（4t2，4t2+2a2），=（4，4），再根据⊥求得t2=﹣a2，||=4，点M到直线AB：x﹣y+2=0的距离d=|a2﹣1|．再由S△ABM=12求得a的值．解答：解：（1）证明：当t1=1时，=﹣=（4，4），由题意知=（4t2，4t2+2）．∵=﹣=（4t2，4t2）=t2（4，4）=t2，∴不论t2为何实数，A、B、M三点共线．（2）当t1=a2时，=（4t2，4t2+2a2）．又∵=（4，4），⊥，∴4t2×4+（4t2+2a2）×4=0，∴t2=﹣a2．∴=（﹣a2，a2）．又∵||=4，点M到直线AB：x﹣y+2=0的距离d==|a2﹣1|．∵S△ABM=12，∴||•d=×4×|a2﹣1|=12，解得a=±2，故所求a的值为±2．点评：本题主要考查两个向量坐标形式的运算，三点共线的条件，两个向量垂直的性质，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．。
