2.6递推数列1学生版 张贺果

数学数列递推公式知识点在我学习数学的漫漫长路中，数列递推公式这一知识点就像一座神秘的城堡，充满了未知和挑战。

记得那是一个阳光明媚的上午，教室里弥漫着一股紧张的学习氛围。

数学老师带着神秘的微笑走进教室，在黑板上写下了数列递推公式几个大字。

我当时心里就“咯噔”一下，预感这不是个容易对付的家伙。

老师开始讲解，他说：“数列递推公式啊，就像是数列家族里的密码，通过这个密码，我们能一步步找到数列中的每一个成员。

”说着，他写下了一个简单的例子：a₁＝ 1，aₙ ＝ aₙ₋₁＋ 2 （n ≥ 2）。

我盯着黑板，努力理解着。

这意思不就是从第二项开始，每一项都比前一项大 2 嘛！老师接着说：“那大家算算，a₂是多少呀？”我赶紧在本子上写写画画，心里想着，a₂不就是 a₁＋ 2 嘛，a₁是 1，那a₂就是 3 呗。

老师看着我们算出来，满意地点点头，又出了一个稍微复杂点的：a₁＝ 2，aₙ ＝ 2aₙ₋₁ 1 （n ≥ 2）。

这一下，我有点懵了。

2 乘以前一项再减 1，这可咋算？我咬着笔头，苦思冥想。

旁边的同桌倒是很快有了思路，他小声跟我说：“先算出 a₂啊，a₂不就是 2×a₁ 1 嘛，a₁是 2，那 a₂就是 3 。

”我恍然大悟，赶紧接着往下算。

就这么着，我们在老师的引导下，做了一道又一道的例题。

可我总觉得，这些公式在脑子里乱成了一团麻。

到了做练习题的时候，我看着题目直发愣。

有一道题是这样的：已知数列{aₙ}满足 a₁＝ 3，aₙ ＝ 3aₙ₋₁＋ 2 （n ≥ 2），求 a₃。

我心里那个着急啊，手心里都出汗了。

我先算出 a₂＝ 3×3 ＋ 2 ＝ 11，然后再算 a₃＝ 3×11 ＋ 2 ＝ 35。

当我终于算出答案，心里别提多有成就感了。

可这还只是开始，接下来的日子里，数列递推公式就像个影子，时刻跟着我。

做作业的时候遇到，考试的时候也遇到。

有一次考试，最后一道大题就是关于数列递推公式的。

第2课时数列的递推公式学习目标 1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.2.了解用累加法、累乘法求通项公式.3.会由数列的前n项和S n求数列的通项公式．导语同学们，上节课我们学习了数列的概念以及数列的通项公式，我们知道了数列与现代生活密不可分，其实，当人类祖先需要用一组数据有序地表达一类事物、记录某个变化过程时，数列就应运而生了，因此，数列应用广泛，大家先看本课时上的例1.一、数列通项公式的简单应用例1(教材P5例3改编)已知数列{a n}的通项公式是a n＝2n2－n，n∈N*.(1)写出数列的前3项；(2)判断45是否为数列{a n}中的项，3是否为数列{a n}中的项．解(1)在通项公式中依次取n＝1,2,3，可得{a n}的前3项分别为1,6,15.(2)令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，解得n＝5或n＝－92(舍去)，故45是数列{a n}中的第5项．令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，解得n＝－1或n＝32，故3不是数列{a n}中的项．反思感悟(1)利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项a n与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．(2)判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．跟踪训练1已知数列{a n}的通项公式为a n＝q n，n∈N*，且a4－a2＝72.(1)求实数q的值；(2)判断－81是否为此数列中的项．解(1)由题意知q4－q2＝72，则q2＝9或q2＝－8(舍去)，∴q＝±3.(2)当q＝3时，a n＝3n.显然－81不是此数列中的项；当q＝－3时，a n＝(－3)n.令(－3)n＝－81，无解，∴－81不是此数列中的项．二、数列的递推公式问题1如图所示，有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．(1)每次只能移动一个金属片；(2)在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为a n ，你能发现a n 与a n ＋1之间的关系吗？提示其实把n ＋1个金属片从1号针移到3号针，只需3步即可完成，第一步：把最大金属片上面的n 个金属片移到2号位，需要a n 步；第二步：把最大的金属片移到3号位，需要1步；第三步：把2号位上的n 个金属片移到3号位，需要a n 步，故a n ＋1＝2a n ＋1.知识梳理如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．注意点：(1)通项公式反映的是a n 与n 之间的关系；(2)递推关系是数列任意两个或多个相邻项之间的推导关系，需要知道首项，即可求数列中的每一项．例2若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n ，n ∈N *，求a 2021.解a 2＝1＋a 11－a 1＝1＋21－2＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝1－31＋3＝－12，a 4＝1＋a 31－a 3＝1－121＋12＝13，a 5＝1＋a 41－a 4＝1＋131－13＝2＝a 1，…∴{a n }是周期为4的数列，∴a 2021＝a 4×505＋1＝a 1＝2.反思感悟递推公式反映的是相邻两项(或n 项)之间的关系．对于通项公式，已知n 的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项．若项数很大，则应考虑数列是否具有规律性．跟踪训练2已知数列{a n }的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n，则此数列的第3项是()A ．1 B.12 C.34 D.58答案C解析a 1＝1，a 2＝12a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋12×2＝34.三、由递推公式求通项公式例3(1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a n 等于()A.1nB.2n －1nC.n －1nD.12n答案B解析方法一(归纳法)数列的前5项分别为a 1＝1，a 2＝1＋1－12＝2－12＝32，a 3＝32＋12－13＝2－13＝53，a 4＝53＋13－14＝2－14＝74，a 5＝74＋14－15＝2－15＝95，又a 1＝1，由此可得数列的一个通项公式为a n ＝2n －1n .方法二(迭代法)a 2＝a 1＋1－12，a 3＝a 2＋12－13，…，a n ＝a n －1＋1n －1－1n (n ≥2)，则a n ＝a 1＋1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n＝2－1n ＝2n －1n (n ≥2)．又a 1＝1也适合上式，所以a n ＝2n －1n (n ∈N *)．方法三(累加法)a n ＋1－a n ＝1n －1n ＋1，a 1＝1，a 2－a 1＝1－12，a 3－a 2＝12－13，a 4－a 3＝13－14，…a n －a n －1＝1n －1－1n(n ≥2)，以上各项相加得a n ＝1＋1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n.所以a n ＝2n －1n(n ≥2)．因为a 1＝1也适合上式，所以a n ＝2n －1n(n ∈N *)．(2)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝n n ＋1a n (n ∈N *)，则a n 等于()A ．n ＋1B ．nC.1n ＋1D.1n 答案D解析由题意，因为数列{a n }满足a n ＋1＝n n ＋1a n (n ∈N *)，所以a n ＋1a n ＝n n ＋1，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ×n －2n －1×…×23×12×1＝1n .反思感悟由递推公式求通项公式的常用方法(1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式．(2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类：①a n ＋1－a n ＝常数，或a n ＋1－a n ＝f (n )(f (n )是可以求和的)，使用累加法或迭代法；②a n ＋1＝pa n (p 为非零常数)，或a n ＋1＝f (n )a n (f (n )是可以求积的)，使用累乘法或迭代法；③a n ＋1＝pa n ＋q (p ，q 为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决．跟踪训练3(1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋n ＋1－n (n ≥2)，求a n .解因为a n ＝a n －1＋n ＋1－n (n ≥2)，所以a n －a n －1＝n ＋1－n .所以a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n＋1－n)＋(n－n－1)＋…＋(3－2)＋1＝n＋1－2＋1.又a1＝1也符合上式，所以a n＝n＋1－2＋1，n∈N*.(2)已知数列{a n}满足a1＝1，ln a n－ln a n－1＝1(n≥2)，求a n.解因为ln a n－ln a n－1＝1，所以lna na n－1＝1，即a na n－1＝e(n≥2)．所以a n＝a na n－1·a n－1a n－2·…·a2a1·a1＝e·e·…·e·1(n－1)个＝e n－1(n≥2)，又a1＝1也符合上式，所以a n＝e n－1，n∈N*.四、a n与S n的关系问题2如果已知某数列的前n项和S n＝n2＋n，如何求a4?提示a4＝S4－S3＝(42＋4)－(32＋3)＝8.知识梳理1．把数列{a n}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{a n}的前n项和，记作S n，即S n ＝a1＋a2＋…＋a n.2．a n注意点：(1)注意等式成立的条件；(2)一定要检验n＝1时，S1是否满足首项．例4设S n为数列{a n}的前n项和，S n＝2n2－30n.求a1及a n.解因为S n＝2n2－30n，所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32.验证当n＝1时上式成立，所以a n＝4n－32，n∈N*.延伸探究将本例的条件“S n＝2n2－30n”改为“S n＝2n2－30n＋1”，其他条件不变，求a n.解因为S n ＝2n 2－30n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12－30×1＋1＝－27，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－30n ＋1－[2(n －1)2－30(n －1)＋1]＝4n －32.当n ＝1时不符合上式．所以a n 27，n ＝1，n －32，n ≥2.反思感悟由S n 求通项公式a n 的步骤(1)当n ＝1时，a 1＝S 1.(2)当n ≥2时，根据S n 写出S n －1，化简a n ＝S n －S n －1.(3)如果a 1也满足当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1的通项公式，那么数列{a n }的通项公式为a n ＝S n －S n －1；否则数列{a n }的通项公式要分段表示为a n 1，n ＝1，n －S n －1，n ≥2.跟踪训练4已知S n 是数列{a n }的前n 项和，根据条件求a n .(1)S n ＝2n 2＋3n ＋2；(2)S n ＝3n －1.解(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝7，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n ＋2)－[2(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝4n ＋1，又a 1＝7不适合上式，所以a n ，n ＝1，n ＋1，n ≥2.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －1)－(3n －1－1)＝2×3n －1，显然a 1＝2适合上式，所以a n ＝2×3n －1(n ∈N *)．1．知识清单：(1)数列的递推公式．(2)数列的前n 项和S n 与a n 的关系．2．方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法．3．常见误区：累加法、累乘法中不注意验证首项是否符合通项公式；由S n 求a n 时忽略验证n ＝1时的情况．1．已知在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *)，则a 4的值为()A ．5B ．6C ．7D ．8答案D解析因为a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ，所以a 2＝a 1＋1＝2＋1＝3，a 3＝a 2＋2＝3＋2＝5，a 4＝a 3＋3＝5＋3＝8.2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ，则a 2＋a 18等于()A ．36B ．35C ．34D ．33答案C解析a 2＝S 2－S 1＝22－2×2－(12－2×1)＝1，a 18＝S 18－S 17＝182－2×18－(172－2×17)＝33.∴a 2＋a 18＝34.3．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ·a n ＋2＝a n ＋1(n ∈N *)，则a 2021的值为()A ．2B ．1 C.12 D.14答案C解析a n ·a n ＋2＝a n ＋1(n ∈N *)，由a 1＝1，a 2＝2，得a 3＝2，由a 2＝2，a 3＝2，得a 4＝1，由a 3＝2，a 4＝1，得a 5＝12，由a 4＝1，a 5＝12，得a 6＝12，由a 5＝12，a 6＝12，得a 7＝1，由a 6＝12，a 7＝1，得a 8＝2，由此推理可得数列{a n }是一个周期为6的周期数列，所以a 2021＝a 336×6＋5＝a 5＝12.4．323是数列{n (n ＋2)}的第________项．答案17解析由a n ＝n 2＋2n ＝323，解得n ＝17(负值舍去)．∴323是数列{n (n ＋2)}的第17项．课时对点练1．已知数列{a n }满足a n ＝4a n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)，且a 1＝0，则此数列的第5项是()A ．15B ．255C ．16D ．63答案B 解析由递推公式，得a 2＝3，a 3＝15，a 4＝63，a 5＝255.2．数列12，－14，18，－116，…的第n 项a n 与第n ＋1项a n ＋1的关系是()A ．a n ＋1＝2a nB ．a n ＋1＝－2a nC ．a n ＋1＝12a n D ．a n ＋1＝－12a n 答案D3．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，则a 2021等于()A.12B ．－1C ．2D ．3答案B解析当n ＝1时，a 2＝1－1a 1＝－1；当n ＝2时，a 3＝1－1a 2＝2；当n ＝3时，a 4＝1－1a 3＝12＝a 1；a 5＝1－1a 4＝－1＝a 2；a 6＝2；…所以数列{a n }是一个周期为3的周期数列，故a 2021＝a 3×673＋2＝a 2＝－1.4．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N *)，则此数列的通项公式a n 等于()A ．n 2＋1B ．n ＋1C ．1－nD ．3－n 答案D 解析∵a n ＋1－a n ＝－1.∴当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1)共(n －1)个＝2＋(－1)×(n －1)＝3－n .当n＝1时，a1＝2也符合上式．故数列的通项公式a n＝3－n(n∈N*)．5．下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是()A．a n＋1＝a n＋n，n∈N*B．a n＝a n－1＋n，n∈N*，n≥2C．a n＋1＝a n＋(n＋1)，n∈N*，n≥2D．a n＝a n－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2答案B解析结合图象易知，a1＝1，a2＝3＝a1＋2，a3＝6＝a2＋3，a4＝10＝a3＋4，∴a n＝a n－1＋n，n∈N*，n≥2.6．(多选)已知数列{a n}的前n项和满足S n＝2n＋1－1，则下列说法正确的是()A．a1＝3B．a n＝2n(n≥2)C．a n＝2n D．a n＝2n(n≥2)答案AD解析S n＝2n＋1－1，当n＝1时，a1＝S1＝21＋1－1＝3；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n.当n＝1时，不符合上式，故a n ，n＝1，n，n≥2.7．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝a n＋n(n∈N*)，则a4＝________.答案7解析当n＝1时，a2＝a1＋1＝2，当n＝2时，a3＝a2＋2＝2＋2＝4，当n＝3时，a4＝a3＋3＝4＋3＝7.8．已知在数列{a n}中，a1a2…a n＝n2(n∈N*)，则a9＝______.答案81 64解析a1a2…a8＝82，①a1a2…a9＝92，②②÷①得，a9＝9282＝8164.9．在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝2a n2＋a n(n∈N*)．(1)求a2，a3，a4；(2)猜想a n(不用证明)．解(1)∵a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n，∴a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝12，a 4＝2a 32＋a 3＝25.(2)猜想：a n ＝2n ＋1.10．已知各项均不为0的数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n (n ≥2，n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式．解∵a n a n －1＝a n －1－a n ，且各项均不为0，∴1a n －1a n －1＝1.∴当n ≥2时，1a n ＝1a 1＋…＝2＋1＋1＋…＋1＝n ＋1.(n －1)个1∴1a n ＝n ＋1，∴当n ≥2时，a n ＝1n ＋1.∵a 1＝12也符合上式，∴a n ＝1n ＋1(n ∈N *)．11．已知数列{a n }满足a 1>0，且a n ＋1＝n n ＋1a n ，则数列{a n }的最大项是()A ．a 1B ．a 9C ．a 10D ．不存在答案A 解析因为a 1>0，且a n ＋1＝n n ＋1a n ，所以a n >0，所以a n ＋1a n ＝n n ＋1<1，所以a n ＋1<a n ，所以此数列为递减数列，故最大项为a 1.12．公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，满足a n ＋2＝a n ＋1＋a n (n ≥1)，那么1＋a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2020等于()A ．a 2021B ．a 2022C ．a 2023D ．a 2024答案A 解析由于a n ＋2＝a n ＋1＋a n (n ≥1)，则1＋a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2020＝a 1＋a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2020＝a 3＋a 4＋a 6＋…＋a 2020＝a 5＋a 6＋…＋a 2020＝a 2019＋a 2020＝a 2021.13．已知a n ＝n 2－21n 2，则数列{a n }中相等的连续两项是()A ．第9项，第10项B ．第10项，第11项C ．第11项，第12项D ．第12项，第13项答案B 解析假设a n ＝a n ＋1，则有n 2－21n 2＝(n ＋1)2－21(n ＋1)2，解得n ＝10，所以相等的连续两项是第10项和第11项．14．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝________.答案1n 解析方法一(累乘法)把(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0分解因式，得[(n ＋1)a n ＋1－na n ](a n ＋1＋a n )＝0.∵a n >0，∴a n ＋1＋a n >0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，∴a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝12×23×34×…×n －1n＝1n (n ≥2)，∴a n a 1＝1n.又∵a 1＝1，∴a n ＝1n a 1＝1n.又a 1＝1也适合上式，∴a n ＝1n，n ∈N *.方法二(迭代法)同方法一，得a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a n ＋1＝n n ＋1a n ，∴a n ＝n －1n ·a n －1＝n －1n ·n －2n －1·a n －2＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·a n －3…＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·12a 1＝1n a 1.又∵a 1＝1，∴a n ＝1n.方法三(构造特殊数列法)同方法一，得a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴(n ＋1)a n ＋1＝na n ，∴数列{na n }是常数列，∴na n ＝1·a 1＝1，∴a n ＝1n(n ∈N *)．15．在一个数列中，如果对任意n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.答案28解析依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.16．已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1a n 为偶数，＋1，a n 为奇数.若a 4＝4，求m 所有可能的取值．解若a 3为奇数，则3a 3＋1＝4，a 3＝1.若a 2为奇数，则3a 2＋1＝1，a 2＝0(舍去)，若a 2为偶数，则a 22＝1，a 2＝2.若a 1为奇数，则3a 1＋1＝2，a 1＝13(舍去)，若a 1为偶数，a 12＝2，a 1＝4；若a 3为偶数，则a 32＝4，a 3＝8.若a 2为奇数，则3a 2＋1＝8，a 2＝73(舍去)，若a 2为偶数，则a 22＝8，a 2＝16.若a 1为奇数，则3a 1＋1＝16，a 1＝5，若a 1为偶数，则a 12＝16，a 1＝32.故m 所有可能的取值为4,5,32.。