矩阵,试题,答案

高三数学矩阵试题1.已知矩阵A＝(k≠0)的一个特征向量为α＝，A的逆矩阵A－1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a，k的值．【答案】．【解析】根据矩阵特征值，特征向量的意义：可设特征向量为对应的特征值为，则，即;再由逆矩阵的有关运算：，转化为，即，得到一组方程即可求出：．试题解析：设特征向量为对应的特征值为，则，即因为，所以． 5分因为，所以，即，所以，解得．综上，． 10分【考点】1.特征值和特征向量的意义;2.逆矩阵的运用2.求矩阵N＝的特征值及相应的特征向量．【答案】特征值为λ1＝－3，λ2＝8，【解析】矩阵N的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－8)·(λ＋3)＝0，令f(λ)＝0，得N的特征值为λ1＝－3，λ2＝8，当λ1＝－3时一个解为故特征值λ1＝－3的一个特征向量为；当λ2＝8时一个解为故特征值λ2＝8的一个特征向量为.3.已知矩阵M＝有特征向量＝，＝，相应的特征值为λ1，λ2.(1)求矩阵M的逆矩阵M－1及λ1，λ2；(2)对任意向量＝，求M100.【答案】（1）λ1＝2，λ2＝－1.（2）【解析】(1)由矩阵M＝变换的意义知M－1＝，又M＝λ1，即＝λ1，故λ1＝2，同理M＝λ2，即＝λ2，故λ2＝－1.(2)因为＝＝x＋y，所以M100＝M100(x＋y·)＝xM100＋yM100＝x＋yλ2100＝.4.已知变换T是将平面内图形投影到直线y＝2x上的变换，求它所对应的矩阵．【答案】【解析】将平面内图形投影到直线y＝2x上，即是将图形上任意一点(x，y)通过矩阵M作用变换为(x，2x)，则有＝，解得∴T＝.5.已知矩阵M=,其中a∈R,若点P(1,-2)在矩阵M的变换下得到点P'(-4,0),(1)求实数a的值.(2)求矩阵M的特征值及其对应的特征向量.【答案】(1)3 (2) 矩阵M的属于特征值4的特征向量为(t≠0)【解析】(1)由=,得2-2a=-4⇒a=3.(2)由(1)知M=,则矩阵M的特征多项式为(λ-2)(λ-1)-6=λ2-3λ-4.令λ2-3λ-4=0,得矩阵M的特征值为-1或4.当λ=-1时,⇒x+y=0,∴(x,y)="(t,-" t),当t≠0时,矩阵M的属于特征值-1的特征向量为(t≠0);当λ=4时,⇒2x-3y=0,∴矩阵M的属于特征值4的特征向量为(t≠0).6.设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍,纵坐标伸长到3倍的伸缩变换.(1)求矩阵M的特征值及相应的特征向量.(2)求逆矩阵M-1以及椭圆+=1在M-1的作用下的新曲线的方程.【答案】(1) 特征值为2和3,对应的特征向量分别为及(2) M-1= x2+y2=1【解析】(1)由条件得矩阵M=,它的特征值为2和3,对应的特征向量分别为及.(2)M-1=,椭圆+=1在M-1的作用下的新曲线的方程为x2+y2=1.7.已知2×2矩阵M=有特征值λ=-1及对应的一个特征向量e=.1(1)求矩阵M.(2)设曲线C在矩阵M的作用下得到的方程为x2+2y2=1,求曲线C的方程.【答案】(1) (2) 22x2+4xy+y2=1【解析】(1)依题意得,=(-1),即解得所以M=.(2)设曲线C上一点P(x,y)在矩阵M的作用下得到曲线x2+2y2=1上一点P'(x',y'), 则=,即又因为(x')2+2(y')2=1,所以(2x+y)2+2(3x)2=1,整理得曲线C的方程为22x2+4xy+y2=1.8.已知M=.(1)求逆矩阵M-1.(2)若向量X满足MX=,试求向量X.【答案】(1) (2)【解析】(1)设M-1=,依题意有=,即=,故∴∴M-1=.(2)∵向量X满足MX=,∴向量X=M-1==9.若=,求α的值.【答案】α=2kπ,k∈Z【解析】==,所以,则α=2kπ,k∈Z.10.已知在一个2×2矩阵M的变换作用下,点A(1,2)变成了点A'(4,5),点B(3,-1)变成了点B'(5,1).(1)求2×2矩阵M.(2)若在2×2矩阵M的变换作用下,点C(x,0)变成了点C'(4,y),求x,y.【答案】(1) M= (2) x=2,y=2【解析】(1)设该2×2矩阵为M=,由题意得=,=,所以解得a=2,b=1,c=1,d=2,故M=.(2)因为==,解得x=2,y=2.11.如果曲线x2+4xy+3y2=1在2×2矩阵的作用下变换为曲线x2-y2=1,试求a+b的值.【答案】2【解析】设(x,y)是x2+4xy+3y2=1上任意一点,在矩阵变换作用下的对应点为(x',y'),有=得因点(x',y')在曲线x2-y2=1上,故(x+ay)2-(bx+y)2=1,即(1-b2)x2+(2a-2b)xy+(a2-1)y2=1,此方程与x2+4xy+3y2=1相同,从而解得从而a+b=2.12.已知曲线C1:x2+y2=1,对它先作矩阵A=对应的变换,再作矩阵B=对应的变换得到曲线C2:+y2=1,求实数b的值.【答案】b=±1【解析】从曲线C1变到曲线C2的变换对应的矩阵BA==,在曲线C1上任意选一点P(x,y),设它在矩阵BA对应的变换作用下变为P'(x',y'),则有=,故解得代入曲线C1方程得,y'2+(x')2=1,即曲线C2方程为:(x)2+y2=1,与已知的曲线C2的方程:+y2=1比较得(2b)2=4,所以b=±1.13.已知矩阵，若矩阵属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量.（1）求矩阵的逆矩阵；（2）计算【答案】（1）;（2）【解析】（1）因为已知矩阵，若矩阵属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量.通过特征向量与特征值的关系，可求矩阵A中的相应参数的值，再通过逆矩阵的含义可求出矩阵A的逆矩阵.同样可以从通过特征根的方程方面入手，求的结论. （2）因为向量可由向量及向量表示，所以即可转化为矩阵A的特征向量来表示.即可求得结论.同样也可以先求出A3，再运算即可.试题解析：(1)法一:依题意,..所以法二:的两个根为6和1,故d=4,c=2. 所以-(2)法一:=2－A3=2×63－13=法二:A3=【考点】1.矩阵的性质.2.矩阵的运算.14.已知矩阵A＝，B＝，求矩阵A－1B.【答案】【解析】解设矩阵A的逆矩阵为，则＝，即＝故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝，从而A的逆矩阵为A－1＝，所以A－1B＝＝15.已知矩阵A＝，向量β＝.求向量α，使得A2α＝β.【答案】【解析】A2＝＝，设α＝，由A2α＝β得，＝，从而，解得所以α＝16.已知矩阵M＝.(1)求矩阵M的逆矩阵；(2)求矩阵M的特征值及特征向量．【答案】（1）（2）【解析】(1)设M－1＝.则＝＝，∴解得∴M－1＝.(2)矩阵A的特征多项式为f(x)＝＝(λ－2)·(λ－4)－3＝λ2－6λ＋5，令f(λ)＝0，得矩阵M的特征值为1或5，当λ＝1时，由二元一次方程得x＋y＝0，令x＝1，则y＝－1，所以特征值λ＝1对应的特征向量为α1＝；当λ＝5时，由二元一次方程得3x－y＝0，令x＝1，则y＝3，所以特征值λ＝5对应的特征向量为α2＝17.．已知矩阵A＝，A的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝.设向量β＝，试计算A5β的值．【答案】【解析】由题设条件可得，＝2，即解得得矩阵A＝.矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－5λ＋6，令f(λ)＝0，解得λ1＝2，λ2＝3.当λ1＝2时，得α1＝；当λ2＝3时，得α2＝，由β＝mα1＋nα2，得得m＝3，n＝1，∴A5β＝A5(3α1＋α2)＝3(A5α1)＋A5α2＝3(α1)＋α2＝3×25＋35＝18.若点A(1,1)在矩阵M＝对应变换的作用下得到的点为B(－1,1)，求矩阵M的逆矩阵．【答案】【解析】M＝，即＝，所以得所以M＝.由M－1M＝，得M－1＝.19.设矩阵M＝ (其中a>0，b>0)．(1)若a＝2，b＝3，求矩阵M的逆矩阵M－1；(2)若曲线C：x2＋y2＝1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：＋y2＝1，求a，b的值．【答案】（1）（2）【解析】(1)设矩阵M的逆矩阵M－1＝，且M＝.则MM－1＝.所以＝.所以2x1＝1,2y1＝0,3x2＝0,3y2＝1，即x1＝，y1＝0，x2＝0，y2＝，故所求的逆矩阵M－1＝.(2)设曲线C上任意一点P(x，y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P′(x′，y′)，则＝，即又点P′(x′，y′)在曲线C′上，所以＋y′2＝1，则＋b2y2＝1为曲线C的方程．又已知曲线C 的方程为x2＋y2＝1，故又a>0，b>0，所以20.各项都为正数的无穷等比数列，满足且是增广矩阵的线性方程组的解，则无穷等比数列各项和的数值是 _________.【答案】32【解析】本题增广矩阵的线性方程组为，其解为，即，因此，，故无穷递缩等比数列的和为．【考点】无穷递缩等比数列的和．21.各项都为正数的无穷等比数列，满足且是增广矩阵的线性方程组的解，则无穷等比数列各项和的数值是 _________.【答案】32【解析】本题增广矩阵的线性方程组为，其解为，即，因此，，故无穷递缩等比数列的和为．【考点】无穷递缩等比数列的和．22.已知二阶矩阵M有特征值λ1=4及属于特征值4的一个特征向量并有特征值λ2=-1及属于特征值-1的一个特征向量(1)求矩阵M.(2)求M5α.【答案】(1)(2)【解析】(1)根据特征值λ1=4即特征向量列出关于的方程组.同样根据特征值λ2=-1即特征向量列出列出关于的方程组.通过解四元一次方程组可得.从而求出矩阵M.（2）由矩阵可表示为特征向量即所以.即填.试题解析：(1)设M=则∴①又∴②由①②可得a=1,b=2,c=3,d=2，∴M= 4分(2)易知∴ 7分【考点】1.矩阵的特征向量的表示.2.矩阵的乘法运算.23.已知矩阵，，求矩阵.【答案】【解析】设矩阵的逆矩阵为，则，即，∴，，，，从而，的逆矩阵为，∴.【考点】本小题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法，考查运算求解能力.24.已知，则cos2α=．【答案】﹣【解析】∵cos（）=cos[2π﹣（﹣）]=cos（）=sin=﹣∴cosα=1﹣2sin2=1﹣2×（﹣）2=cos2α=2cos2α﹣1=2×（）2﹣1=﹣故答案为：﹣【考点】二倍角的余弦；诱导公式的作用点评：此题考查了二倍角公式和诱导公式，熟记公式是解题的关键，属于中档题．25.求使等式成立的矩阵．【答案】【解析】解：设，则由（5分）则，即. （10分）【考点】矩阵点评：主要是考查了矩阵的求解的运用，属于基础题。

1．方程组的增广矩阵是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】试题分析：先将方程组化成，即可写出对应的增广矩阵．解：∵方程组，∴方程组可化为，∴其增广矩阵为．故选D．点评：本题主要考查了二元一次方程组的矩阵形式，以及方程组的增广矩阵，属于基础题．2．（2010•卢湾区二模）关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D=0是该方程组有解的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分且必要条件D.既非充分也非必要条件【答案】D【解析】试题分析：将原方程组写成矩阵形式为Ax=b，其中A为2×2方阵，x为2个变量构成列向量，b为2个常数项构成列向量．而当它的系数矩阵可逆，或者说对应的行列式D 不等于0的时候，它有唯一解．并不是说有解．解：系数矩阵D非奇异时，或者说行列式D≠0时，方程组有唯一的解；系数矩阵D奇异时，或者说行列式D=0时，方程组有无数个解或无解．∴系数行列式D=0，方程可能有无数个解，也有可能无解，反之，若方程组有解，可能有唯一解，也可能有无数解，则行列式D可能不为0，也可能为0．总之，两者之间互相推出的问题．故选D．点评：本题主要考查克莱姆法则，克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立．3．（2012•闵行区一模）已知关于x，y的二元一次线性方程组的增广矩阵为，记，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是（）A. B.两两平行C. D.方向都相同【答案】B【解析】试题分析：二元一次线性方程组有无穷多组解等价于方程组中未知数的系数与常数项对应成比例，由此即可得到结论．解：由题意，二元一次线性方程组有无穷多组解等价于方程组中未知数的系数与常数项对应成比例∵，∴两两平行故选B．点评：本题考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，考查向量知识，属于基础题．4．下列四个算式：①；②；③a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2﹣a1b3c2﹣a2b1c3﹣a3b2c1；④其中运算结果与行列式的运算结果相同的算式有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C试题分析：根据余子式的定义可知，在行列式中按照第一列展开后所余下的元素的代数余子式的和，即知①正确；同理，在行列式中按照第一行展开后所余下的元素的代数余子式的和，即得②正确；对于③，按照行列式展开的运算法则即得a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2﹣a1b3c2﹣a2b1c3﹣a3b2c1；对于④，按照行列式展开的运算法则后与原行列式不相同．解：根据余子式的定义可知，在行列式中按照第一列展开后所余下的元素的代数余子式的和，即为．故①正确；同理，在行列式中按照第一行展开后所余下的元素的代数余子式的和，即为．故②正确；对于③，按照行列式展开的运算法则即得a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2﹣a1b3c2﹣a2b1c3﹣a3b2c1；故正确；对于④故选C．点评：本题主要考查了二阶行列式的实际应用以及根据二阶行列式的定义，属于基础题．5．若规定=ad﹣bc则不等式≤0的解集（）A.{x|x≤﹣2或x≥1}B.{x|﹣2＜x＜1}C.{x|﹣2≤x≤1}D.∅【答案】C【解析】试题分析：按照新的运算=ad﹣bc，则不等式≤0，可化为：2x•x+2（x﹣2）≤0，解此二次不等式即可得出答案．解：由题意可知：不等式的解集≤0可化为2x•x+2（x﹣2）≤0即x2+x﹣2≤0，求得x的解集﹣2≤x≤1．点评：本题考查其他不等式的解法，解答关键是理解行列式的计算方法，是基础题．6．若，都是非零向量，且与垂直，则下列行列式的值为零的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：利用向量数量积的运算，可得x1x2+y1y2=0．根据二阶行列式的定义可知行列式的值为零的行列式．解：∵，都是非零向量，且与垂直∴x1x2+y1y2=0根据二阶行列式的定义可知，∴故选D．点评：本题的考点是二阶行列式的定义，考查向量垂直的充要条件，考查行列式的定义，属于基础题．7．将函数的图象向右平移a（a＞0）个单位，所得图象的函数为偶函数，则a的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：先利用行列式的定义，化简函数，再利用两角和公式对函数解析式化简整理然后根据图象平移法则，得到平移后函数的解析式，利用诱导公式把正弦函数转化成余弦函数，然后根据偶函数关于y轴对称的性质求得a的最小值．解：由题意，函数==2（ cosx﹣sinx）=2sin（﹣x）=﹣2sin（x﹣）图象向左平移a个单位，所得函数图象是y1=﹣2sin（x+a﹣）=﹣2cos[﹣（x+a﹣）]=﹣2cos（﹣x﹣a+）=2cos（x+a﹣）是偶函数则关于y轴对称，则a的最小值为a=故选D点评：本题以行列式为载体，考查行列式的定义，考查了函数奇偶性的性质．解题的关键是利用偶函数关于y轴对称的性质．8．定义运算，则满足的复数z为（）A.1﹣2iB.﹣1﹣iC.﹣1+iD.1﹣i【答案】D【解析】试题分析：直接利用新定义，求出z的表达式，通过复数的基本运算，求出复数z即可．解：因为，所以=zi+z=2．所以z===1﹣i．故选D．点评：本题考查复数的基本运算，行列式的应用，考查计算能力．9．若规定则不等式log的解集是（）A.（1，2）B.（2，+∞）C.（﹣∞，2）D.（﹣∞，3）【答案】A【解析】试题分析：由二阶行列式的定义知log等价于lg（x﹣1）＜0，所以0＜x﹣1＜1，由此能求出不等式log的解集．解：∵，∴log等价于lg（x﹣1）＜0，∴0＜x﹣1＜1，解得1＜x＜2，故选A．点评：本题考查二阶行列式的定义，是基础题．解题时要认真审题，注意对数函数的性质的灵活运用．10．（2005•朝阳区一模）定义运算，则符合条件的复数z为（）A.3﹣iB.1+3iC.3+iD.1﹣3i【答案】A【解析】试题分析：根据定义，将已知转化，可以得出z（1+i）=4+2i，再利用复数的除法运算法则求出复数z即可．解：根据定义，可知1×zi﹣（﹣1）×z=4+2i，即z（1+i）=4+2i，∴z===3﹣i．故选A．点评：本题考查了复数的代数运算，利用所给的定义将已知转化为z（1+i）=4+2i是关键．11．（2008•静安区一模）下列以行列式表达的结果中，与sin（α﹣β）相等的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：根据行列式的运算法则对四个选项一一进行化简运算得结果．解：∵sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ，对于A：=sinαcosβ+cosαsinβ；故错；对于B：=cosαcosβ﹣sinαsinβ，故错；对于C：=sinαcosβ﹣cosαsinβ，正确；对于D：=cosαcosβ﹣sinαsinβ，故错．故选C．点评：本题考查行列式的运算，三角函数的变换公式、和角及二倍角的公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．12．（2010•宜春模拟）定义行列式运算：，将函数的图象向左平移m个单位（m＞0），若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：先用行列式展开法则求出f（x），再由函数的平移公式能够得到f（x+m），然后由偶函数的性质求出m的最小值．解：f（x）==sinx﹣cosx=2sin（x﹣），图象向左平移m（m＞0）个单位，得f（x+m）=2sin（x+m﹣），由m﹣=+kπ，k∈Z，则当m取得最小值时，函数为偶函数．故选A．点评：本题考查二阶行列式的展开法则、函数的图象与图象变化，解题时要注意函数的平移和偶函数的合理运用．13．（2012•广州一模）∀a，b，c，d∈R，定义行列式运算．将函数的图象向右平移ϕ（ϕ＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则ϕ的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：先利用新定义，将函数化简，再得到图象向右平移ϕ（ϕ＞0）个单位的函数的解析式，结合函数的对称轴，我们可求ϕ的最小值解：，图象向右平移ϕ（ϕ＞0）个单位可得对称轴为：∵所得图象对应的函数为偶函数∴x=0是函数的对称轴∴∴∴ϕ的最小值为故选B．点评：新定义问题，解题的关键是对新定义的理解，图象变换要把握变换的规律，属于基础题．14．（2012•闸北区一模）设直线l1与l2的方程分别为a1x+b1y+c1=0与a2x+b2y+c2=0，则“”是“l1∥l2”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：若，则a1b2﹣a2b1=0，若a1c2﹣a2c1=0，则l1不平行于l2；若“l1∥l2”，则a1b2﹣a2b1=0，所以，故可得结论解：若，则a1b2﹣a2b1=0，若a1c2﹣a2c1=0，则l1不平行于l2，故“”是“l1∥l2”的不充分条件；若“l1∥l2”，则a1b2﹣a2b1=0，∴，故“”是“l1∥l2”的必要条件所以“”是“l1∥l2”的必要而不充分条件故选B．点评：本题重点考查四种条件的判定，解题的关键是理解行列式的定义，掌握两条直线平行的条件．15．（2013•上海）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，再根据所给的式子即可得出答案．解：根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，由题意得，=ad﹣bc．故选B．点评：本题考查的是二阶行列式与逆矩阵，根据题意二阶行列式的意义得出所求代数式是解答此题的关键．16．矩阵可逆的一个充分不必要条件是（）A.ad﹣bc≠0B.ab﹣cd≠0C.D.【答案】C【解析】试题分析：根据矩阵可逆的充要条件是所对应的行列式|A|≠0即ab﹣cd≠0，再根据充分不必要条件的性质可得结论．解：∵∴ab﹣cd≠0即|A|≠0，则矩阵可逆当矩阵可逆，则|A|≠0即ab﹣cd≠0，但不一定成立所以是矩阵可逆的一个充分不必要条件故选C．点评：本题主要考查了矩阵存在逆矩阵的充要条件，同时考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．17．矩阵的逆矩阵是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：本题可以直接根据逆矩阵的定义求出逆矩阵．解：设矩阵的逆矩阵为，则，∴，∴，∴矩阵的逆矩阵为．故选A．点评：本题考查的是逆矩阵的定义，还可用逆矩阵的公式求解，本题属于基础题．18．已知A=，B=，则（AB）﹣1=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：直接根据二阶矩阵与平面向量的乘法的定义求出AB，进而利用逆矩阵公式即可求出其逆矩阵．解：∵A=，B=，∴AB==∴矩阵AB的行列式为：0﹣1=﹣1≠0∴（AB）﹣1=故选：A．点评：本题以矩阵为载体，考查矩阵的逆矩阵，矩阵的乘法，难度不大，属于基础题．19．已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=，则矩阵A的特征值为（）A.﹣1B.4C.﹣1，4D.﹣1，3【答案】C【解析】试题分析：利用AA﹣1=E，建立方程组，即可求矩阵A；先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值．解：设A=，则由AA﹣1=E得•=，即有解得，即A=，则矩阵A的特征多项式为f（λ）==（λ﹣2）（λ﹣1）﹣6=λ2﹣3λ﹣4，令f（λ）=0，则λ=﹣1或4．故矩阵A的特征值为﹣1，4．故选C．点评：本题考查矩阵的逆矩阵，考查矩阵特征值的计算等基础知识，属于基础题．20．矩阵的逆矩阵是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：先求ad﹣bc=1，再利用逆矩阵公式求解即可．解：由题意，ad﹣bc=1∴矩阵的逆矩阵是故选A．点评：本题以矩阵为依托，考查矩阵的逆矩阵，关键是利用公式正确求解．21．矩阵A=的逆矩阵为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：根据所给的矩阵求这个矩阵的逆矩阵，可以首先求出ad﹣bc的值，再代入逆矩阵的公式，求出结果．解：∵矩阵A=∴A﹣1==故选A．点评：本题考查逆变换与逆矩阵，本题是一个基础题，解题的关键是记住求你矩阵的公式，代入数据时，不要出错．22．若矩阵是表示我校2011届学生高二上学期的期中成绩矩阵，A中元素a ij（i=1，2，3，4；j=1，2，3，4，5，6）的含义如下：i=1表示语文成绩，i=2表示数学成绩，i=3表示英语成绩，i=4表示语数外三门总分成绩j=k，k∈N*表示第50k名分数．若经过一定量的努力，各科能前进的名次是一样的．现小明的各科排名均在250左右，他想尽量提高三门总分分数，那么他应把努力方向主要放在哪一门学科上（）A.语文B.数学C.外语D.都一样【答案】B【解析】试题分析：先根据题意找出小明的大致成绩，然后根据经过一定量的努力，各科能前进的名次是一样的，就需要看哪课发展的空间大，从而得到所求．解：∵j=k，k∈N*表示第50k名分数，小明的各科排名均在250左右∴小明的各科的分数为语文62，数学59，外69，三门总分约为195数学成绩59在三门中最低，而第50名的成绩为81分，分差较大，有很大的空间提升而经过一定量的努力，各科能前进的名次是一样的，则他应把努力方向主要放在数学学科上．故选B．点评：本题主要考查了矩阵的表示，解题的关键就是弄清题意，属于基础题．23．定义运算.=，如.=．已知α+β=π，，则.=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：根据题中的定义可把二阶矩阵的解析式化简，再利用和角或差角的三角函数公式化简后，即可得到正确答案．解：由题中的定义可知，则•===，故选A点评：考查学生利用和与差的正弦、余弦函数公式化简求值的能力，以及掌握题中的矩阵乘方法则来求值的能力．24．点通过矩阵M1=和M2=的变换效果相当于另一变换是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由矩阵的乘法运算法则，计算M1•M2即可得到．解：由于M1•M2=•=．则点通过矩阵M1=和M2=的变换效果相当于另一变换是．故选D．点评：本题考查矩阵的乘法运算，考查运算能力，属于基础题．25．若一个变换所对应的矩阵是，则抛物线y2=﹣4x在这个变换下所得到的曲线的方程是（）A.y2=4xB.y2=xC.y2=﹣16xD.y2=16x【答案】D【解析】试题分析：确定变换前后点的坐标之间的关系，利用变换前的点在抛物线上，即可得到变换后曲线的方程．解：设抛物线y2=﹣4x上的点（a，b）在变换下变为（x，y），则∴，∴∵（a，b）满足抛物线y2=﹣4x∴b2=﹣4a∴∴y2=16x故选D．点评：本题考查矩阵变换，考查求曲线方程，解题的关键是确定变换前后点的坐标之间的关系．26．在直角坐标系下，若矩阵对应的变换将点P（2，﹣1）变到点p′（1，﹣2），则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：根据矩阵对应的变换将点P（2，﹣1）变到点p′（1，﹣2），建立关系式，解之即可．解：=则解得故选C．点评：本题主要考查了矩阵的乘法，以及二元一次方程组的求解，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．27．把矩阵变为后，与对应的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：先把矩阵第一行乘﹣3加上第二行作为第二行得到，再把第一列乘2加上第二列作为第二列得到，最后第二行乘以即可得出符合要求的矩阵．解：把矩阵第一行乘﹣3加上第二行作为第二行→第一列乘2加上第二列作为第二列→第二行乘以→，对照得故选C．点评：本题主要考查了矩阵变换的性质，属于基础题．28．函数y=x2在矩阵M=变换作用下的结果为．【答案】y=x2【解析】试题分析：先设P（x，y）是函数y=x2图象上的任一点，P1（x′，y′）是P（x，y）在矩阵M对应变换作用下新曲线上的对应点，根据矩阵变换求出P与P1的关系，代入已知曲线求出所求曲线即可．解：设P（x，y）是函数y=x2图象上的任一点，P1（x′，y′）是P（x，y）在矩阵M=变换作用下新曲线上的对应点，则==即，所以，将代入y=x2得4y=x2，即y=x2（8分）故答案为：y=x2点评：本题主要考查了几种特殊的矩阵变换，以及轨迹方程等有关知识，属于基础题．29．已知一个关于x，y的二元线性方程组的增广矩阵是，则x+y= ．【答案】2【解析】试题分析：先根据增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组，解方程，最后求x+y．解：由一个关于x，y的二元线性方程组的增广矩阵是，可得到二元线性方程组，解得，则x+y=2，故答案为2．点评：此题主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义、二元一次方程组的矩阵形式，计算量小，属于容易题．30．已知方程组，则其增广矩阵为．【答案】【解析】试题分析：先将方程组整理为，根据增广矩阵的定义即可得答案．解：由题意，方程组可化为∴其增广矩阵为故答案为点评：本题以方程组为载体，考查增广矩阵，属于基础题．31．线性方程组的增广矩阵是．【答案】【解析】试题分析：首先应理解方程增广矩阵的涵义，由原二元线性方程组写出增广矩阵即可．解：由二元线性方程组，可得到其增广矩阵为：．故答案为：．点评：本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．32．已知二元一次方程组的增广矩阵为，则此方程组的解集为．【答案】{（3，2）}．【解析】试题分析：首先根据二元一次方程组的增广矩阵为，写出二元线性方程组的表达式，然后根据方程求解x，y即可．解：由二元线性方程组的增广矩阵为，可得二元线性方程组的表达式，解得：x=3，y=2，则此方程组的解集为：{（3，2）}．故答案为：{（3，2）}．点评：此题主要考查了二元一次方程组的矩阵形式，计算量小，属于基础题，解答的关键是理解二元线性方程组的增广矩阵的含义，并由此写出二元线性方程组的表达式．33．方程组的增广矩阵是．【答案】【解析】试题分析：理解方程增广矩阵的涵义，即可由二元线性方程组，写出增广矩阵．解：由题意，方程组的增广矩阵为其系数及常数项构成的矩阵故方程组的增广矩阵是故答案为：点评：本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．34．一个方程组的增广矩阵为A=，则该方程组的解为．【答案】【解析】试题分析：由题意，可得方程组，解方程组，即可得出结论．解：由题意，可得方程组，∴．故答案为：．点评：本题考查二元一次方程组的矩阵形式，考查学生的计算能力，比较基础．35．方程组所对应的增广矩阵为．【答案】【解析】试题分析：先把方程组方程组改写为，再由增广矩阵的概念进行求解．解：∵方程组，∴，∴该方程组所对应的增广矩阵=．故答案为：．点评：本题考查二元一次方程组的矩阵形式，是基础题，解题时要认真审题，注意熟练掌握增广矩阵的概念．36．（2012•嘉定区三模）系数矩阵为，解为的一个线性方程组是．【答案】【解析】试题分析：先根据系数矩阵，写出线性方程组，再利用方程组的解，求出待定系数，从而可得线性方程组．解：可设线性方程组为=，由于方程组的解是，∴=，∴所求方程组为，故答案为：．点评：本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查待定系数法求线性方程组，应注意理解方程组解的含义．37．（2012•杨浦区二模）若线性方程组的增广矩阵为，则其对应的线性方程组【答案】【解析】试题分析：首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组即可解：由二元线性方程组的增广矩阵为，可得到线性方程组的表达式：．故答案为：．点评：本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．38．（2013•杨浦区一模）若线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是．【答案】【解析】试题分析：首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组，根据方程解出x，y，即可解：由二元线性方程组的增广矩阵为可得到二元线性方程组的表达式解得：故答案为：．点评：本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的含义，计算量小，属于较容易的题型．39．（2014•杨浦区三模）已知一个关于x，y的二元线性方程组的增广矩阵是，则x+y= ．【答案】6【解析】试题分析：首先应理解方程增广矩阵的涵义，由增广矩阵写出原二元线性方程组，再根据方程求解xy，最后求x+y．解由二元线性方程组的增广矩阵，可得到二元线性方程组的表达式，解得，所以x+y=6点评：此题主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．40．（2014•黄浦区一模）各项都为正数的无穷等比数列{a n}，满足a2=m，a4=t，且是增广矩阵的线性方程组的解，则无穷等比数列{a n}各项和的数值是．【答案】32【解析】试题分析：利用是增广矩阵的线性方程组的解，可得m=8，t=2，从而可求公比与首项，利用无穷等比数列的求和公式，即可得出结论．解：由题意，，∴m=8，t=2，∴a2=8，a4=2，∵q＞0，∴，∴a1=16，∴无穷等比数列{a n}各项和是=32．故答案为：32．点评：本题考查增广矩阵，考查无穷等比数列{a n}各项和，求出数列的公比与首项是关键．41．行列式的值为．【答案】3【解析】试题分析：考查行列式运算法则，按照行列式的运算法则，直接展开化简计算即可．解：=1×3﹣0×2=3．故答案为：3点评：本题考查二阶行列式的定义，运算法则，是基础题．42．若规定，则不等式的解集是．【答案】【解析】试题分析：根据二阶行列式的定义原不等式可化为：log2（x﹣1）＜﹣1，再利用对数函数的单调性去掉对数符号得出关于x的整式不等式，即可求解．解：原不等式可化为：log2（x﹣1）＜﹣1，即：⇒0＜x﹣1＜，⇒1＜x＜，故答案为：．点评：本小题主要考查函数单调性的应用、二阶行列式的定义、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．43．定义运算=ad﹣bc，若复数z符合条件=3+2i则z= ．【答案】【解析】试题分析：由=ad﹣bc，复数z符合条件=3+2i，知2zi﹣z=3+2i，设z=a+bi，则2i（a+bi）﹣a﹣bi=3+2i，所以（﹣2b﹣a）+（2a﹣b）i=3+2i，由复数相等的含义能求出z．解：∵=ad﹣bc，复数z符合条件=3+2i，∴2zi﹣z=3+2i，设z=a+bi，则2i（a+bi）﹣a﹣bi=3+2i，∴2ai﹣2b﹣a﹣bi=3+2i，整理，得（﹣2b﹣a）+（2a﹣b）i=3+2i，∴由复数相等的含义，得，解得，∴z=．故答案为：．点评：本题考查二阶行列式的定义，是基础题．解题时要认真审题，注意复数的代数形式的乘除运算和复数相等的性质的灵活运用．44．定义，则函数（x∈R）的值域为．【答案】[﹣4，4]【解析】试题分析：利用新定义，展开f（x）利用同角三角函数化为一个角的一个三角函数的二次函数的形式，根据余弦函数的值域求解即可．解：由题意=sin2x+4cosx=﹣cos2x+4cosx+1=﹣（cosx﹣2）2+5∈[﹣4，4]．故答案为：[﹣4，4]．点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，新定义的应用，考查计算能力．45．不等式的解集为．【答案】[0，1]【解析】试题分析：利用，将不等式等价转化为一元二次不等式，可解．解：由题意，x2﹣x≤0，∴0≤x≤1，故答案为[0，1]点评：本题主要考查二阶行列式的定义，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．46．定义运算，如果：，并且f（x）＜m对任意实数x恒成立，则实数m的范围是．【答案】m＞【解析】试题分析：由=sinx+cosx=∈[﹣]，且f（x）＜m对任意实数x恒成立，能得到实数m的范围．解：∵，=sinx+cosx=∈[﹣]，∵f（x）＜m对任意实数x恒成立，∴m＞．故答案为：m＞．点评：本题考查二阶行列式的定义和三角函数的知识，解题时要认真审题，注意不等式性质的灵活运用．47．将式子b2﹣4ac表示成行列式．【答案】【解析】试题分析：根据行列式的定义，可写出满足题意的行列式．解：根据行列式的定义得，故答案为．点评：本题以代数式为载体，考查行列式的定义，属于基础题．48．在三阶行列式中，5的余子式的值为．【答案】﹣21【解析】试题分析：去掉5所在行与列，即得5的余子式，从而求值．解：由题意，去掉5所在行与列得：故答案为﹣21．点评：本题以三阶行列式为载体，考查余子式，关键是理解余子式的定义．49．（2011•上海）行列式（a，b，c，d∈{﹣1，1，2}）所有可能的值中，最大的是．【答案】6【解析】试题分析：先按照行列式的运算法则，直接展开化简得ad﹣bc，再根据条件a，b，c，d∈{﹣1，1，2}进行分析计算，比较可得其最大值．解：，∵a，b，c，d∈{﹣1，1，2}∴ad的最大值是：2×2=4，bc的最小值是：﹣1×2=﹣2，∴ad﹣bc的最大值是：6．故答案为：6．点评：本题考查二阶行列式的定义、行列式运算法则，是基础题．50．（2012•闵行区三模）若不等式＜6的解集为（﹣1，1），则实数a等于．【答案】4【解析】试题分析：先根据二阶行列式，将原不等式等价转化为一元二次不等式，再对a分类讨论，求出a的值即可．解：原不等式可化为：ax2+2＜6，即ax2＜4．当a≤0时，得x∈R，不符合题意；当a＞0时，得x2＜，﹣＜x＜，由已知不等式＜6的解集为（﹣1，1），得=1，∴a=4．故答案为：4．点评：本小题主要考查二次不等式的解法、二阶行列式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．51．（2012•闵行区三模）若不等式＜6的解集为（﹣1，+∞），则实数a等于．【答案】﹣4【解析】试题分析：利用行列式的定义，求出行列式的值，得到不等式，然后求解即可．解：不等式＜6化为：ax+2＜6，即ax＜4，因为不等式的解集为（﹣1，+∞），所以a=﹣4．故答案为：﹣4．点评：本题考查行列式的解法，不等式的解法，考查计算能力．52．（2012•徐汇区一模）不等式≥0的解为．【答案】[0，+∞）【解析】试题分析：先根据行列式的运算法则进行化简变形，转化成一元二次不等式，然后解之即可求出所求．解：∵不等式≥0∴（2x+1）2x﹣2≥0，即22x+2x﹣2≥0解得2x≤﹣2舍去，2x≥1，解得x≥0．故答案为：[0，+∞）点评：本题主要考查了二阶行列式，同时考查了一元二次不等式的解法，属于中档题．53．（2012•德州一模）定义运算，函数图象的顶点是（m，n），且k、m、n、r成等差数列，则k+r= ．【答案】﹣9【解析】试题分析：利用新定义的运算得出二次函数，利用配方法可求函数图象的顶点，利用k、m、n、r成等差数列，可求k+r的值．解：=（x﹣1）（x+3）﹣2（﹣x）=x2+4x﹣3=（x+2）2﹣7∵函数图象的顶点是（m，n），∴m=﹣2，n=﹣7，∵k、m、n、r成等差数列，∴k+r=m+n=﹣9．故答案为：﹣9点评：本题以新定义运算为素材，考查新定义的运用，考查二次函数，考查等差数列，解题的关键是对新定义的理解．54．（2013•宝山区二模）函数的最小正周期T= ．【答案】π【解析】试题分析：利用行列式的计算方法化简f（x）解析式，再利用二倍角的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，找出ω的值，即可求出最小正周期．解：f（x）=cos2x﹣sin2x=cos2x，∵ω=2，∴T=π．故答案为：π点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及二阶行列式与逆矩阵，化简函数解析式是解本题的关键．55．（2013•徐汇区一模）方程组的增广矩阵是．【答案】【解析】试题分析：理解方程增广矩阵的涵义，即可由二元线性方程组，写出增广矩阵．解：由题意，方程组的增广矩阵为其系数及常数项构成的矩阵。

矩阵引论试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 矩阵的元素全部为0的矩阵称为：A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 对角矩阵D. 标量矩阵答案：A2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中线性无关的行（列）的最大数目D. 矩阵的元素个数答案：C3. 矩阵的转置是指：A. 矩阵的行列互换B. 矩阵的行数变为列数C. 矩阵的列数变为行数D. 矩阵的元素不变答案：A4. 两个矩阵相乘的结果称为：A. 矩阵的和B. 矩阵的差C. 矩阵的积D. 矩阵的逆答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果矩阵A的行列式为0，则称矩阵A为________。

答案：奇异矩阵2. 矩阵A的逆矩阵记作________。

答案：A^(-1)3. 矩阵A与矩阵B相乘，记作________。

答案：AB4. 对于任意矩阵A，矩阵A与单位矩阵相乘的结果仍然是________。

答案：A三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述矩阵的行列式是什么？答案：矩阵的行列式是一个标量值，它提供了关于矩阵的一些重要信息，如矩阵是否可逆（行列式非零则可逆）、线性方程组是否有解等。

2. 矩阵的逆矩阵有什么性质？答案：矩阵的逆矩阵具有以下性质：(A^(-1))^(-1) = A，(AB)^(-1) = B^(-1)A^(-1)，以及单位矩阵I的逆矩阵仍然是I。

3. 矩阵的转置矩阵有什么特点？答案：矩阵的转置矩阵具有以下特点：(A^T)^T = A，(AB)^T =B^TA^T，以及矩阵A的转置矩阵的行列式等于矩阵A的行列式。

四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定矩阵A = \[\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，计算A的行列式。

答案：\[ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2 \]2. 给定矩阵B = \[\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5\end{bmatrix}\]，计算B的逆矩阵。

一．（10分）已知n n C ⨯中的两种范数a ⋅和b ⋅，对于n n C A ⨯∈，证明b a A A A +=是n n C ⨯中的范数. 解：⑴非负性：由于b a ⋅⋅,是两种范数，故当A=0时，0,0==b a A A ，所以000=+=+=b a A A A ； 当A ≠0时，0,0>>b a A A ，所以0>+=b a A A A⑵齐性：()A A A A A A A A b a b a b a ααααααα=+=+=+= ⑶三角不等式：B A B A B A B A B A B A b b a a b a +=+++≤+++=+二．(每小题10分,共20分)已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=101121103A ,()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=002t e t b , 1. 求At e2. 用矩阵函数方法求微分方程()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=+=T x t b t Ax t x dt d1,0,10的解.解：1. ()1112113det ----=-λλλλA I ()()3211132-=----=λλλλ显然, )det(A I -λ的一阶子式的公因子为1, 容易知道)det(A I -λ 的二阶子式的公因子为2-λ,所以A的最小多项式为()()()23222-=--=λλλλm ,即()()022=-=I A A m ,设()()()b a g m e f t ++==λλλλλ,则()a te f t =='λλ 对于特征值2=λ有()()⎩⎨⎧=='+==a te f b a e f t t 22222,()⎩⎨⎧+-==ttet b te a 2212 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+=+=t t t t t t e bI aA e t At1010122. ()()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰--ds e s s s ss s e e ds s b e x e t x s t s At t As At 001010110102020 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=t t e t e t At 1001012三．(15分)用Givens 变换求⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2100421132403100A 的QR 分解. 解：()T01001=β,构造()s c T ,13=,1101sin ,0100cos 22232132223211=+=+===+=+==xx x s x x x c θθ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=210031002340421121421132403100100000010010010013A T⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=21312A , 构造),(12s c T , ()21sin ,21111cos 222122222211=+==-=+--=+==x x x s x x x c θθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=1052212131111121212A T⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2/1002/12/1002/10010010013122T T I T ,⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==2/12/100000100102/12/100TT Q ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2/12/522344211R四．(10分)用Gerschgorin 定理证明⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=8110260110410100A 至少有两个实特征值. 解：A 的4个盖尔圆为:{}1|1≤=z z G ,{}2114|2=+≤-=z z G , {}3216|3=+≤-=z z G , {}2118|4=+≤-=z z G ,它们构成的两个连通部分为11G S =,4322G G G S =.易见,1S ,2S 都关于实轴对称且各含有1个和3个特征值,因为实矩阵的复特征值必成对出现, 故1S ,2S 必各含有一个实特征值,从而A 至少含有2个实特征值.五．(20分)已知⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=221221*********A ,⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=44111b 1. 求A 的满秩分解.2. 求+A3. 用广义逆矩阵的方法判别方程组b Ax =是否相容.4. 求方程组b Ax =的极小范数解或极小范数最小二乘解并指出所求解的类型.解 1。

测试题二（矩阵）一．单项选择题1. 设A 为n 阶矩阵，且O A =3，则（ C ）（A ）A E A E +-,均不可逆; （B ）A E -不可逆，但A E +可逆（C ）A E -,E A A +-2均可逆;（D ）A E -可逆,但E A A +-2不可逆2．设B A ,都是n 阶非零矩阵，且O AB =，则B A ,的秩（ B ）（A ）必有一个等于零 （B ）都小于n（C ）一个小于n ，一个等于n （D ）都等于n3．若A 为n 阶可逆矩阵，则下列结论不正确的是（ D ）．（A ）11)()(--=k k A A ； （B ）T k k T A A )()(=； （C ）k k A A )()(**=； （D ）**=kA kA )(．4． 设B A ,为n 阶矩阵，下列结论正确的是（ D ）（A ）||||||B A B A +=+ （B ）||||||B A B A -=-（C ）若B AB =，则BA AB = （D ）若E B AB +=，则BA AB = 5．B A ,均为三阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ A ）．（A ）111)(---=B A AB ； （B ）A A =-； （C ）B A B A B A +-=-22； （D ）A A 22=．6．设()353=⨯A R ，那么53⨯A 必满足 （ D ）．（A ）三阶子式全为零； （B ）至少有一个四阶子式不为零；（C ）二阶子式全为零； （D ）至少有一个二阶子式不为零．7．⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a A 212122122111，02121≠n n b b b a a a ，秩=A （B ）． （A ）0； （B ）1 ； （C ）2； （D ）n ．8．设B A ,为n 阶矩阵，**,B A 是伴随矩阵，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B O O A C ，则=*C （ C ）． （A ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**B B O O A A ； （B ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**A A O O B B ； （C ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**B A O O A B ； （D ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**A B O O B A ．9．设B A ,均为n 阶矩阵，A 与B 等价，下列结论不正确的是（ A ）．（A ）若0||>A ，则0||>B（B ）若0||≠A ，则存在可逆矩阵P 使得E PB =（C ）若A 与E 等价，则B 是可逆矩阵（D ）存在可逆矩阵Q P ,，使得B PAQ =10．设)3(≥n n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a b a b a b a a A ，其中0≠ab ，若1)(-=n A r ，则b a , 应满足（ B ） （A ）0=+b a （B ）a n b )1(-= （C ）0=-b a （D ）a n b )1(-=11．设B A ,均为n m ⨯矩阵，1)(r A r =，2)(r B r =,若方程组α=Ax 有解，β=Bx 无解，且r B A r =),,,(βα，则（ D ）（A ）21r r r += （B ）21r r r +≤ （C ）121++=r r r （D ）121++≤r r r二．填空题1．若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110P ，那么=20042003AP P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2143． 2．B A ,为三阶矩阵，1-=A ，2=B ，则()='-212B A 2 ． 3．已知53)(2+-=x x x f ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a A 00，则=)(A f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-53005322b b a a ． 4．若C B A ,,均为n 阶矩阵，且E CA BC AB ===，则=++222C B A 3E ． 5．α是三维列向量，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----='111111111αα，则='αα 3 ．6．若A 为)2(≥n n 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵,则**)(A = A A n 2||-．三．判断题（正确打V ，错误打×）1．*A A =的充分必要条件是1-=A A A ．（ × ）2．3223⨯⨯B A 不可逆．（ V ）3．如果E AB =，则1-=A B ．（ V ）4．B A ,为n 阶非零矩阵，若,O AB =则0==B A ．（ V ）5．()ij a A =为n 阶可逆矩阵，若A 的每行元素之和全为a ，则1-A 的每行元素之和全为1-a ．（ V ）6．若A 为)2(≥n n 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵,则**)(A A -=-（ × ）四．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110011001A ，求n A ． 五．讨论参数a 的取值，求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=68963642321a A 的秩．六．设122101221,021425000A B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，是否存在可逆阵P 使PA B =,若存在，求出P 。

矩阵期末试题及答案一、选择题1. 矩阵的主对角线元素是指：A. 矩阵的第一行元素B. 矩阵的第一列元素C. 矩阵的第一行和第一列元素D. 矩阵从左上角到右下角的元素答案：D2. 已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，则矩阵A的转置矩阵为：A. [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]B. [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]C. [1 2 3; 7 8 9; 4 5 6]D. [9 8 7; 6 5 4; 3 2 1]答案：B3. 若矩阵A是m×n矩阵，矩阵B是n×p矩阵，则矩阵A乘以矩阵B得到的矩阵维度为：A. m×pB. n×pD. n×n答案：A4. 若矩阵A = [2 4; 6 8; 10 12]，则矩阵A的行数和列数分别为：A. 3，2B. 2，3C. 3，3D. 2，2答案：A5. 矩阵的逆矩阵存在的条件是：A. 矩阵可逆B. 矩阵为零矩阵C. 矩阵是方阵D. 矩阵不存在逆矩阵答案：C二、填空题1. 一个3×4矩阵由36个元素构成，其中每个元素都是实数。

则该矩阵共有________个元素。

2. 若矩阵A = [1 0; 0 -1]，则矩阵A的特征值为________。

答案：1，-13. 以矩阵A = [1 2; 3 4; 5 6]为被乘矩阵，矩阵B = [7 8; 9 10]为乘矩阵，两矩阵相乘的结果为矩阵C = ________。

答案：[25 28; 57 64; 89 100]4. 若矩阵A = [1 2; 3 4]，则矩阵A的转置矩阵为矩阵______。

答案：[1 3; 2 4]5. 设矩阵A = [2 4; 6 8]，矩阵B = [1 2; 3 4]，则矩阵A与矩阵B的乘积为矩阵______。

答案：[14 20; 30 44]三、计算题1. 计算矩阵A = [2 1; -3 4; 5 6]的转置矩阵。

高三数学矩阵行列式试题1.设矩阵M=（其中a＞0，b＞0）．（1）若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M－1；（2）若曲线C：x2+y2=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C’：，求a，b 的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）设矩阵M的逆矩阵，则又M=，所以=，所以,即,故所求的逆矩阵（2）设曲线C上任意一点P(x,y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点，则=,即又点在曲线C′上，所以,则为曲线C的方程，又已知曲线C的方程为,故又a＞0，b＞0，所以2.已知直线l：ax＋y＝1在矩阵A＝对应的变换作用下变为直线l′x＋by＝1.(1)求实数a，b的值；(2)若点P(x0，y)在直线l上，且A＝，求点P的坐标．【答案】（1）（2）(1,0)【解析】(1)设直线l：ax＋y＝1上任意点M(x，y)在矩阵A对应的变换作用下像是M′(x′，y′)．由＝＝，得.又点M′(x′，y′)在l′上，所以x′＋by′＝1即x＋(b＋2)y＝1.依题意，得解得(2)由A＝，得解得y＝0.，又点P(x0，y)在直线l上，所以x＝1.故点P的坐标为(1,0)．3.已知矩阵M＝，N＝．（1）求矩阵MN；（2）若点P在矩阵MN对应的变换作用下得到Q(0，1)，求点P的坐标．【答案】（1）MN＝＝；（2）P(， 1).【解析】（1）利用矩阵乘法公式计算即可；（2）两种方法：法一，利用＝，转化为关于的二元一次方程，解出，即点P的坐标；法二，求出MN的逆矩阵，直接计算. 试题解析：（1）MN＝＝； 5分（2）设P(x，y)，则解法一：＝，即解得即P(， 1)． 10分解法二：因为＝．所以＝＝．即P(， 1)． 10分【考点】矩阵与变换、逆矩阵的求法、矩阵的计算.4.选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）若点A（２，２）在矩阵对应变换的作用下得到的点为B（－２，２），求矩阵M的逆矩阵【答案】由题意知，，即，所以解得所以．………………5分由，解得. …………………………………10分另解：矩阵的行列式，所以.【解析】略5.定义运算，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是【答案】.【解析】由定义，得，则在上单调递减，又因为在上单调递减，所以.【考点】新定义题目，二次函数的单调性.6.定义式子运算为，将函数（其中）的图象向左平移个单位，得到函数y="g" （x）的图象．若y=g（x）在[]上为增函数，则的最大值（）A．6B．4C．3D．2【答案】C【解析】由定义式子运算为，可得函数（其中）的图象向左平移个单位，得到函数y="g" （x）的图像，y="g" （x）在上递增，又因为y=g（x）在[]上为增函数，所以，解得，所以的最大值为3.【考点】三角函数图像平移及单调性.7.（本小题满分14分）已知线性变换是按逆时针方向旋转的旋转变换，其对应的矩阵为，线性变换：对应的矩阵为．（Ⅰ）写出矩阵、；（Ⅱ）若直线在矩阵对应的变换作用下得到方程为的直线，求直线的方程．【答案】（1）（Ⅰ），．（Ⅱ）．【解析】（1）（Ⅰ），．（Ⅱ）由于, 进一步由得, 根据即得．试题解析：（1）（Ⅰ）， 2分． 3分（Ⅱ）, 4分由得, 5分由题意得得，所以直线的方程为． 7分【考点】矩阵与变换．8.（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换已知矩阵，其中．若点在矩阵的变换下得到点．（1）求实数的值；（2）若，求【答案】（1）；（2）．【解析】（1）矩阵，是线性代数中的基本概念之一,一个的矩阵就是个数排成行列的一个数阵．由于它把许多数据紧凑的集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型．矩阵乘法看起来很奇怪，但实际上非常有用，应用也十分广泛，，掌握相乘，列方程组求得；（2）先根据特征值的定义列出特征多项式，令解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．试题解析：（1）由，得所以（2）．令，得，．属于的一个特征向量，属于的一个特征向量，所以．．【考点】矩阵的应用．9.已知矩阵，求矩阵【答案】【解析】由逆矩阵公式得，再利用矩阵运算得试题解析：解：，【考点】逆矩阵10.变换T1是逆时针旋转角的旋转变换，对应的变换矩阵是M1；变换T2对应的变换矩阵是M2＝．（1）点P(2，1)经过变换T1得到点P'，求P'的坐标；（2）求曲线y＝x2先经过变换T1，再经过变换T2所得曲线的方程.【答案】（1）P'(-1,2).（2）y－x＝y2.【解析】（1）先写出旋转矩阵M1＝，再利用矩阵运算得到点P'的坐标是P'(-1,2).（2）先按序确定矩阵变换M＝M2M1＝，再根据相关点法求曲线方程：即先求出对应点之间关系，再代入已知曲线方程，化简得y－x＝y2. 试题解析：解：(1)M1＝，M1＝．所以点P(2,1)在T1作用下的点P'的坐标是P'(-1,2).(2)M＝M2M1＝，设是变换后图象上任一点,与之对应的变换前的点是,则M＝,也就是即所以,所求曲线的方程是y－x＝y2.【考点】旋转矩阵，矩阵变换11. [选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵矩阵B的逆矩阵，求矩阵AB.【答案】【解析】先求逆矩阵的逆：，再根据矩阵运算求矩阵AB.试题解析：解：设，则，即，故，解得，所以.因此，.【考点】逆矩阵，矩阵乘法【名师】矩阵乘法及逆矩阵需明确运算法则，实质是考查一种运算法则：，类似求矩阵特征值及特征向量也是如此.12.矩阵与变换求椭圆在矩阵对应的变换作用下所得的曲线的方程．【答案】【解析】实质为相关点法求轨迹：先根据矩阵运算得相关点之间关系代入，得所求曲线的方程试题解析：设椭圆上的点在矩阵对应的变换作用下得到点，则，………………………………………………5分则代入椭圆方程，得，所以所求曲线的方程为．……………………………………………10分【考点】矩阵运算13.设矩阵，求矩阵的逆矩阵的特征值及对应的特征向量．【答案】特征值对应的一个特征向量为，特征值对应的一个特征向量为【解析】先根据逆矩阵公式得，再根据特征多项式得，解得，最后根据对应向量关系求对应特征向量试题解析：矩阵的逆矩阵为，则特征多项式为令，解得，设特征向量为，则，易算得特征值对应的一个特征向量为，同理可得特征值对应的一个特征向量为【考点】特征值及特征向量14.（选修４－２：矩阵与变换）已知a、b∈R，若M＝所对应的变换T把直线2x－y＝3变换成自身，试求实数a、b.【答案】a＝1，b＝－4.【解析】实际上利用转移法求动点轨迹：先根据矩阵运算得到对应动点之间关系，设，则，再代入得（－2－b）x＋（2a－3）y＝3.最后根据两直线重合得－2－b＝2，2a－3＝－1.则a＝1，b＝－4.试题解析：设，则∵，∴ 2（－x＋ay）－（bx＋3y）＝3.即（－2－b）x＋（2a－3）y＝3.此直线即为2x－y＝3，∴－2－b＝2，2a－3＝－1.则a＝1，b＝－4.【考点】矩阵运算15.已知二阶矩阵有特征值及对应的一个特征向量，并且矩阵对应的变换将点变换成.（1）求矩阵；（2）求矩阵的另一个特征值.【答案】(1)M=.（2）矩阵M的另一个特征值为.【解析】（1）先设矩阵M=，由二阶矩阵有特征值及对应的一个特征向量及矩阵对应的变换将点换成，得到关于的方程组，即可求得矩阵；（2）由（1）知，矩阵的特征多项式为，从而求得另一个特征值为2.试题解析：设M=，M，M，解得即M=.（2）则令特征多项式，解得.矩阵M的另一个特征值为.16.运用旋转矩阵,求直线2x+y-1=0绕原点逆时针旋转45°后所得的直线方程.【答案】x+y-1=0【解析】旋转矩阵=.直线2x+y-1=0上任意一点(x0,y)旋转变换后为(x',y'),得=,∴即直线2x+y-1=0绕原点逆时针旋转45°后所得的直线方程是x+y-x+y-1=0,即x+y-1=0.17.2×2矩阵M对应的变换将点(1,-1)与(-2,1)分别变换成点(-1,-1)与(0,-2).(1)求矩阵M.(2)设直线l在矩阵M对应的变换作用下得到了直线m:x-y=4.求直线l的方程.【答案】(1) (2) x+y+2=0【解析】(1)设M=,则有=,=,所以且解得所以M=.(2)设直线l上一点为(x,y)在矩阵M对应的变换作用下变为(x',y'),因为==且直线m:x'-y'=4,所以(x+2y)-(3x+4y)=4,即x+y+2=0为直线l的方程.18.已知2×2矩阵M=,矩阵M对应的变换将点(2,1)变换成点(4,-1),求矩阵M将圆x2+y2=1变换后的曲线方程.【答案】2x2-2xy+5y2=9【解析】由已知得M=,即=,∴解得∴M=.设点P(x,y)是圆x2+y2=1上的任意一点,变换后的点为P'(x',y'),则M=,所以从而又点(x,y)在圆x2+y2=1上,则(x'-2y')2+(x'+y')2=9,即2x'2-2x'y'+5y'2=9,∴圆x2+y2=1变换后的曲线方程为2x2-2xy+5y2=9.19.曲线x2-4y2=16在y轴方向上进行伸缩变换,伸缩系数k=2,求变换后的曲线方程.【答案】x2-y2=16【解析】设变换后的曲线上任意一点为(x,y),其在x2-4y2=16上的对应点为(x0,y),由题意已知变换对应的矩阵A=,则=,∴,∴,∴x2-4()2=16,即x2-y2=16.20.[选修4-2：矩阵与变换]已知：点在变换：作用后，再绕原点逆时针转90°，得到点，若点的坐标为（-3,4），求点的坐标.【答案】.【解析】在变换作用后，再绕原点逆时针旋转90°后对应的矩阵为：，设，求A点在此矩阵的作用下变换后的点，代入已知条件即可求得所求点A的坐标．试题解析：根据题意知，在变换作用后，再绕原点逆时针旋转90°后对应的矩阵为：，设，则由，得，∴，即.。

矩阵论试题一、选择题1.设A是n阶方阵，若|A|=0，则A（）。

A. 一定是可逆矩阵B. 一定是不可逆矩阵C. 可能是可逆矩阵，也可能是不可逆矩阵D. 以上说法均不正确答案：B2.若矩阵A与B相似，则A与B具有（）。

A. 相同的特征值B. 相同的特征向量C. 相同的秩D. 相同的行列式答案：A、D（相似矩阵具有相同的特征值和行列式，但特征向量不一定相同，秩也一定相同，但此题只问具有什么，故A、D为正确答案）3.下列矩阵中，属于正交矩阵的是（）。

A. 单位矩阵B. 对角矩阵C. 上三角矩阵D. 任意方阵答案：A（单位矩阵是正交矩阵的一种特殊情况）二、填空题1.设矩阵A=(1324)，则A的行列式|A|=______。

答案：-2（根据行列式的定义和计算方法，有|A|=1×4-2×3=-2）2.若矩阵A与B满足AB=BA，则称A与B为______。

答案：可交换矩阵（或称为可交换的）3.设n阶方阵A的伴随矩阵为A，则|A|=______。

答案：|A|(n-1)）三、计算题1.设矩阵A=(2113)，求A的逆矩阵A^(-1)。

解答：首先求|A|，有|A|=2×3-1×1=5≠0，所以A可逆。

然后利用逆矩阵的公式A^(-1)=(1/|A|)×A*，其中A*是A的伴随矩阵。

A的伴随矩阵A=(3−1−12)（伴随矩阵的元素是A的每个元素的代数余子式构成的矩阵的转置）。

所以A^(-1)=(1/5)×A=(3/5−1/5−1/52/5)。

2.设矩阵A=147258369，求A的秩R(A)。

解答：对矩阵A进行初等行变换，将其化为行最简形。

通过初等行变换，可以得到A的行最简形为1002−303−60。

所以R(A)=2（非零行的个数）。

四、证明题1.证明：若矩阵A为n阶方阵，且|A|=0，则A不可逆。

证明：根据可逆矩阵的定义，若矩阵A可逆，则存在n阶方阵B，使得AB=BA=E（E为单位矩阵）。

矩阵试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零元素的个数B. 矩阵中最大的线性无关行（列）向量组的个数C. 矩阵的行数D. 矩阵的列数答案：B2. 若矩阵A与矩阵B相等，则下列说法正确的是：A. A和B的行列式相等B. A和B的迹相等C. A和B的行列式和迹都相等D. A和B的行列式和迹都不相等答案：C3. 矩阵的转置是指：A. 将矩阵的行变成列B. 将矩阵的列变成行C. 将矩阵的行和列互换D. 将矩阵的元素取相反数答案：C4. 对于任意矩阵A，下列说法正确的是：A. A的行列式等于A的转置的行列式B. A的行列式等于A的逆矩阵的行列式C. A的行列式等于A的逆矩阵的转置的行列式D. 以上说法都不正确答案：A5. 若矩阵A是可逆矩阵，则下列说法正确的是：A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式可以是任意非零值答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若矩阵A的行列式为-2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为____。

答案：1/22. 设矩阵A为2x2矩阵，且A的行列式为3，则矩阵A的转置的行列式为____。

答案：33. 若矩阵A的秩为2，则矩阵A的行向量组的____。

答案：线性无关4. 设矩阵A为3x3矩阵，且A的行列式为0，则矩阵A是____。

答案：奇异矩阵三、解答题（每题10分，共30分）1. 已知矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}\]，求矩阵A的行列式。

答案：\(\begin{vmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{vmatrix} = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2\)2. 设矩阵B=\[\begin{bmatrix}2 & 0\\0 & 2\end{bmatrix}\]，求矩阵B的逆矩阵。