分组分解进行因式分解

因式分解——分组分解法一、分组分解法分解因式的意义我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。

这种分解因式的方法叫做分组分解法。

二、学习指导：如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。

分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多项式。

分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。

通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的三、例题分析例1、分解因式：（1）2x2+2xy-3x-3y (2)a2-b2+4a-4b (3)4x2-9y2-24yz-16z2(4)x3-x2-x+1 分析：首先注意前两项的公因式2x和后两项的公因式-3，此题也可以考虑含有y的项分在一组。

解法1：解法2：说明：解法1和解法2虽然是不同的分组方式，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应项系数成比例，分别为1：1和2：（-3）。

这也是分组中必须遵循的规律之一。

(2)分析：若将此题按上题中法2分组将含有a的项分在一组即a2+4a=a(a+4)，含有b的项一组，即-b2-4b=-b(b+4)，那a(a+4)与-b(b+4)再没有公因式可提，不可再分解下去。

可先将a2-b2一组应用平方差公式，再提出因式。

解：(3)若将此题应用（2）题方法分组将4x2-9y2一组应用平方差公式，或者将4x2-16z2一组应用平方差公式后再没有公因式可提，分组失败。

观察题中特点，后三项符合完全平方公式，将此题二、三、四项分组先用完全平方公式，再用平方差公式完成分解。

解：(4)分析：此题按照系数比为1或者为-1，可以有不同的分组方法。

解法1：解法2：原式=例2、分解因式：（1）m2+n2-2mn+n-m分析：此题还是一个五项式，其中m2-2mn +n2是完全平方公式，且与-m+n=-(m-n)之间有公因式可提取，因而可采用三项、二项分组。

分组分解法进行因式分解【知识精读】分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。

使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。

能预见到下一步能继续分解。

而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。

应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。

下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。

【分类解析】1. 在数学计算、化简、证明题中的应用例1. 把多项式分解因式，所得的结果为（）分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。

例2. 分解因式分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把，分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。

2. 在几何学中的应用例：已知三条线段长分别为a、b、c，且满足证明：以a、b、c为三边能构成三角形分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”证明：3. 在方程中的应用例：求方程的整数解分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有x与y，故可考虑借助因式分解求解4、中考点拨例1.分解因式：_____________。

说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。

例2．分解因式：____________说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。

例3. 分解因式：____________说明：分组的目的是能够继续分解。

5、题型展示：例1. 分解因式：说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把4mn分成2mn和2mn，配成完全平方和平方差公式。

因式分解的四种方法因式分解是代数中的基本技巧，它在解方程、化简表达式等方面都有着重要的应用。

在代数学习过程中，我们经常会遇到各种各样的多项式，而对多项式进行因式分解是解决问题的重要一步。

因此，掌握因式分解的方法是十分必要的。

接下来，我们将介绍因式分解的四种方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一技巧。

首先，我们来介绍因式分解的首项公因式提取法。

首项公因式提取法是指在多项式中找出各项的公因式，然后提取出来，将公因式提取出的部分与原多项式进行除法运算，得到另一个因式。

这个过程可以简化原多项式，使得因式分解更加简单明了。

举个例子，对于多项式2x^2+4x，我们可以提取出公因式2x，得到2x(x+2)，这样就完成了因式分解。

其次，我们要介绍因式分解的分组法。

分组法是指将多项式中的项进行分组，然后对每组进行因式分解，最后再进行整体的因式分解。

这种方法在处理四项以上的多项式时特别有效。

举个例子，对于多项式x^3+3x^2+2x+6，我们可以将前两项x^3+3x^2和后两项2x+6进行分组，然后分别进行因式分解，最后得到整体的因式分解结果。

第三种方法是因式分解的公式法。

公式法是指利用一些特定的公式进行因式分解，例如二次三项式的因式分解公式、完全平方公式等。

这些公式可以帮助我们快速准确地进行因式分解，尤其是对于一些特殊形式的多项式，使用公式法可以事半功倍。

比如，对于多项式x^2+4x+4，我们可以直接利用完全平方公式进行因式分解，得到(x+2)^2。

最后，我们要介绍因式分解的特殊方法。

有些多项式可能不适合上述提到的方法，但是它们可能具有一些特殊的性质，可以通过一些特殊的方法进行因式分解。

比如，对于多项式x^3-8，我们可以利用立方差公式进行因式分解，得到(x-2)(x^2+2x+4)。

总的来说，因式分解的四种方法各有其适用范围和特点，我们需要根据具体的多项式形式来选择合适的方法进行因式分解。

掌握这些方法不仅可以帮助我们更好地理解代数知识，还可以在解决实际问题时起到重要的作用。

因式分解的14种方法因式分解是数学中的一种重要运算方法。

它可以将一个数或一个多项式分解成若干个乘积的形式，从而可以更好地理解和研究数与代数表达式的性质。

根据因式分解的对象和方法的不同，可以总结出以下14种因式分解的方法。

1.因数法：当一个数或一个多项式可以被一个常数因式整除时，可以使用因数法进行分解。

例如，对于多项式3x^2+6x，可以因式分解为3x（x+2）。

2.公因式法：当一个多项式中的每一项都有一个共同的因式时，可以使用公因式法进行分解。

例如，对于多项式6x^3+9x^2+15x，可以因式分解为3x（2x^2+3x+5）。

3.完全平方式：对于一个完全平方数，可以使用完全平方式进行分解。

例如，对于数16，可以因式分解为4^24.平方差公式：根据平方差公式，可以将两个平方差形式分解为两个因式的乘积。

例如，a^2-b^2可以分解为(a+b)(a-b)。

5. 二次三项式因式分解：对于一个二次三项式（ax^2 + bx + c），可以使用二次三项式因式分解法进行分解。

例如，对于多项式 x^2 + 4x+ 4，可以因式分解为（x + 2）^26.分组因式法：当多项式中存在多个项，但无法直接应用其他因式分解法时，可以使用分组因式法进行分解。

例如，对于多项式x^3+x^2+2x+2，可以因式分解为（x^3+x^2）+（2x+2），然后再进行进一步的分解。

7.因式分解与除法结合：当一个多项式无法直接因式分解时，可以先进行除法运算，将其分解为两个因式相乘的形式。

例如，对于多项式x^4-1，可以使用除法运算将其分解为（x^2+1）（x^2-1）。

8.差两个平方公式：根据差两个平方公式，可以将两个平方和形式分解为两个因式相乘的形式。

例如，a^2+b^2可以分解为(a+b)(a-b)。

9. 三次和三项式因式分解：对于一个三次和三项式（ax^3 + bx^2 + cx + d），可以使用三次和三项式因式分解法进行分解。

分组分解法因式分解经典例题《分组分解法因式分解经典例题》一、引言在代数学中，因式分解是一个非常重要的概念，它在解方程、化简分式等问题中有着广泛的应用。

而分组分解法是因式分解中的一种常见方法，它通过合理地分组，将原式中的各项进行适当的组合，从而达到因式分解的目的。

本文将通过经典的例题来介绍分组分解法的应用和技巧，希望能帮助读者更好地理解和掌握这一方法。

二、基本概念分组分解法是指在进行因式分解时，通过巧妙地对原式中的各项进行分组，并进行适当的变形，最终达到可以进行公因式提取的目的。

其基本思想是将原式中的各项进行合理的组合，使得每一组的相加或相乘具有公因式或特定形式。

这样一来，就可以利用公因式提取的方法，将原式进行因式分解。

下面通过具体的例题来说明分组分解法的应用。

三、分组分解法例题例题：将二次三项式$x^2+5x+6$进行因式分解。

解析：首先我们根据分组分解的思想，对原式中的$x^2+5x+6$进行分组，即进行合理的拆分和组合。

我们可以将5x拆分为2x+3x，于是原式可以重写为$x^2+2x+3x+6$。

然后我们对前两项进行因式分解，将$x^2+2x$可以提取出公因式$x(x+2)$，对后两项进行因式分解，将$3x+6$可以提取出公因式$3(x+2)$。

这样一来，我们可以得到原式的因式分解形式为$(x+2)(x+3)$。

通过这个例题，我们可以看到分组分解法对于因式分解的应用是非常有效的。

四、总结回顾通过上面的例题，我们可以总结出分组分解法的基本步骤和技巧：1. 将原式中的各项进行合理的拆分和组合，使得每一组的相加或相乘具有公因式或特定形式。

2. 进行适当的变形，将原式化简并提取公因式。

3. 最终将原式进行因式分解，得到最终的结果。

对于分组分解法的掌握，需要多做练习，熟练掌握基本的技巧和方法。

通过不断的练习和思考，我们可以更好地理解和掌握这一方法，从而在代数学的学习和解题中能够灵活应用。

五、个人观点在学习因式分解的过程中，我发现分组分解法是一种非常实用和灵活的方法。

用分组分解法进行因式分解(含答案)知识精读】分组分解法是一种因式分解的方法，其原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。

分组分解法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性，能预见到下一步能继续分解。

因此，细致的观察和分析多项式的特点是非常重要的。

分组分解法不仅可以用于因式分解，还可以在代数式的化简、求值以及一元二次方程和函数的研究中发挥重要作用。

分类解析】1.在数学计算、化简、证明题中的应用例 1.将多项式2a(a2+a+1)+a4+a2+1分解因式。

先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。

解：原式=2a((a2+a+1)+a4+a2+1)=a4+2a3+3a2+2a+1=(a4+2a3+a2)+(2a2+2a)+1=(a+a)2+2(a+a)+1=(a2+a+1)2，因此选择C。

例2.分解因式x5-x4+x3-x2+x-1.此题可将x5-x4+x3和-x2+x-1分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；或者将x5-x4、x3-x2和x-1分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。

解法1：原式=(x5-x4+x3)-(x2-x+1)=(x3-1)(x2-x+1)=(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)解法2：原式=x4(x-1)+x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x4+x2+1)=(x-1)[(x4+2x2+1)-x2]=(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)2.在几何学中的应用例：已知三条线段长分别为a、b、c，且满足a>b，a2+c2<b2+2ac。

证明：以a、b、c为三边能构成三角形。

构成三角形的条件是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”。

证明：a2+c2-b2-2aca-c-b，因此a-c-b<0，即a<b+c，因此以a、b、c为三边能构成三角形。

1.分解因式：$a^2-3a-b^2+3b=$解：原式$=(a^2-3a)+(3b-b^2)=(a-3)(a+b-3)$。

因式分解的十二种方法:把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)x -2x -x=x(x -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)解：a +4ab+4b =（a+2b）3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m +5n-mn-5m解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x -19x-6分析：1 _37 _22-21=-19解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

例5、分解因式x +3x-40解x² +3x-40=x² +3x+( 3/2)² -(9/4 ) -40=(x+ 3/2) ²-(169/3 )=(x+3/2+13/2)(x+3/2-13/2)=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。