北京师大附中2017-2018学年高二数学下学期期中试题理(含答案)

北京市师大附中2017-2018学年下学期高二年级期中考试物理试卷本试卷共2卷，满分100分，另选做题20分，考试时间为100分钟。

第一卷一、不定项选择题（2分×23=46分）1. 一矩形线圈，绕垂直于匀强磁场并位于线圈平面内的固定轴转动。

线圈中的感应电动势e 随时间t 的变化如图所示。

下面说法中正确的是A.1t 时刻通过线圈的磁通量为零B. 2t 时刻通过线圈的磁通量的绝对值最大C. 3t 时刻通过线圈的磁通量变化率的绝对值最大D. 每当e 变换方向时，通过线圈的磁通量绝对值都为最大2. 一台小型发电机产生的电动势随时间变化的正弦规律图象如图甲所示。

已知发电机线圈内阻为5.0Ω，则外接一只电阻为95.0Ω的灯泡，如图乙所示，则 A. 电压表的示数为220VB. 电路中的电流方向每秒钟改变50次C. 灯泡实际消耗的功率为484WD. 发电机线圈内阻每秒钟产生的焦耳热为24.2J3. 如图所示，当交流电源的电压为220V ，频率为50Hz 时，三只灯泡1L 、2L 、3L 亮度相同。

若保持交流电源的电压不变，只将其频率改变为100Hz ，则A. 1L 、2L 、3L 亮度都比原来亮B. 只有1L 的亮度比原来亮C. 只有2L 的亮度比原来亮D. 只有3L 的亮度比原来亮4. 理想变压器副线圈通过输电线接两个相同的灯泡1L 和2L ，输电线的等效电阻为R ，开始时，开关S 是断开的，如下图所示，在S 接通后，以下说法正确的是A. 灯泡1L 两端的电压减小B. 通过灯泡1L 的电流增大C. 原线圈中的电流增大D. 变压器的输入功率增大5. 如下图所示为加在电灯上的电压图象，即在正弦交流电的每二分之一周期中，前面四分之一周期被截去，那么现在电灯上的电压有效值为A. 2/0UB. 4/0UC. 6/0UD. 8/0U6. 如图为理想变压器原线圈所接交流电压的波形图。

原、副线圈匝数比1:10:21 n n ，串联在原线圈电路中电流表的示数为1A ，下列说法正确的是A. 变压器输出端所接电压表的示数为220VB. 变压器的输出功率为200WC. 变压器输出端的交流电的频率为50HzD. 穿过变压器铁芯的磁通量变化率的最大值为2220n Wb/s 7. “二分频”音箱内有高频、低频两个扬声器。

绝密★启用前北京师范大学附属中学2017-2018学年下学期高二年级期中考试数学（理科）试题第I卷（选择题）一、单选题1．已知i为虚数单位，复数在复平面上对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】分析：根据除法运算将复数化为代数形式，得到复数对应的点后可得结论．详解：，所以复数对应的点为，位于第一象限．故选A．点睛：由复数的几何意义可得，复数、复平面内的点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可根据向量的知识来理解复数运算的几何意义．2．若直线（t为参数）的倾斜角为α，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由直线的参数方程中参数的系数的意义可得，进而可得的值．详解：∵直线的参数方程为（t为参数）∴，∴．故选C ．点睛：本题考查直线的参数方程中参数系数的意义，主要考查学生的理解能力，属于容易题．3．已知双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的虚轴长为2，焦距为近线方程为（ ）A. y =B. 2y x =±C. 2y x =± D. 12y x =±【答案】C【解析】由题意知∴2=c 2-b 2∴渐近线方程为y=±ba 2x.故选C.视频 4．计算定积分()12xex dx +=⎰ ( )A. 1B. e-1C. eD. e+1【答案】C【解析】试题分析： ()()121002|11xx ex dx e x e e +=+=+-=⎰，故选：C ．考点：定积分． 5．下面为函数的递增区间的是 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：求出导函数，根据导函数的符号判断即可． 详解：∵， ∴，∴当时，单调递增，∴函数的递增区间的是．故选B ．点睛：解题时注意单调性与导函数符号间的关系，即当时，函数在相应区间上单调递增（减），但反之不成立．同时解题时还要注意三角函数值的符号，可借助三角函数的图象来判定．6．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩，（t 为参数），圆C 的极坐标方程是θρcos 4=则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）A ．142 C ．2 D ．22 【答案】D【解析】试题分析：直线的普通方程为40x y --=，圆的直角坐标方程为()2224x y -+=，圆心到直线的距离d ==2222l d r l ⎛⎫+=∴= ⎪⎝⎭考点：1．参数方程化普通方程；2．极坐标与直角坐标的转化；3．直线与圆相交的弦长问题7．如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA 1=2，点G 与E 分别是A 1B 1和CC 1的中点，点D 与F 分别是AC 和AB 上的动点．若GD ⊥EF ，则线段DF 长度的最小值为 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：建立空间直角坐标系，设出点F,D 的坐标，求出向量,，利用GD ⊥EF求得关系式，然后可得到DF 长度的表达式，最后利用二次函数求最值．详解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0),E (0,2,1),G (1,0,2),F (x ,0,0),D (0,y ,0)，则,，由于GD⊥EF，所以，所以，故，所以当时，线段DF长度取得最小值，且最小值为．故选A．点睛：建立空间直角坐标系后，可将立体几何问题转化为数的运算的问题来处理，解题时要注意建立的坐标系要合理，尽量多地把已知点放在坐标轴上，同时求点的坐标时要准确．8．已知函数的图象关于点(-1，0)对称，且当x∈(-∞，0)时，成立，(其中f′(x)是f(x)的导数）；若, ，，则a，b，c的大小关系是（）A. a>b>cB. b>a>cC. c>a>bD. c>b>a【答案】B【解析】分析：令，则，可得在(∞，0)上单调递增．由函数的图象关于点(1，0)对称，可得函数的图象关于点(，0)对称，故函数为奇函数，所以函数为偶函数，且在(∞，0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减．由于，可得．详解：令，则，∴当x∈(∞，0)时，函数单调递增．∵函数的图象关于点(1，0)对称，∴函数的图象关于点(，0)对称，∴函数为奇函数，∴函数为偶函数，且在(∞，0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减．又，，∴．故选B．点睛：（1）本题考查函数性质的综合运用，解题时要认真分析题意，从中得到函数的相关性质．（2）解题时注意偶函数性质的运用，即若函数为偶函数，则，运用这一性质可将问题转化到同一单调区间上研究．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题9．若复数z满足，其中i为虚数单位，则|z|=____________．【答案】【解析】分析：先求得复数z，再求|z|．详解：∵，∴，∴．点睛：本题考查复数的乘法运算和复数的模，解题的关键是正确得到复数，然后再根据模的定义求解．10．在极坐标系中，极点到直线的距离是________．【答案】【解析】分析：将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据点到直线的距离公式求解．详解：由题意得，整理得，把代入上式可得，故直线的直角坐标方程为，所以所求距离为．故极点到直线的距离是．点睛：解题的关键是把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，其中要注意转化公式的合理利用．11．如图，圆222:O x y π+=内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是______________．【答案】π34【解析】3003y sinx x M S 2sinxdx 2cosx |4O A A M P 4/B ππππ==⎰=-==解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为正弦曲线与轴围成的区域记为，根据图形的对称性得：面积为，由几何概率的计算公式可得，随机往圆内投一个点，则点落在区域内的概率故选．12．设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为_____．【答案】【解析】试题分析：对y ＝e x 求导得y ′＝e x ，令x ＝0，得曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线y ＝(x >0)上点P 处的切线斜率为－1，由y ′＝－＝－1，得x ＝1，则y ＝1，所以P 的坐标为(1，1)． 考点：导数的几何意义．视频 13．已知函数在x=-2处取得极值，并且它的图象与直线在点(1，0)处相切，则函数f(x)的表达式为________________。

北京师大附中高二数学试卷（理）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分为110分，考试时间为1。

第Ⅰ卷一、选择题（每小题4分，共32分。

）1. 下列求导数运算正确的是（）A. B.C. D.2. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则（）A. 2B.C.D.3. 极坐标方程化为直角坐标方程是（）A. B.C. D.4. 已知函数，其导函数的图像大致为（）5. 定积分的值为（）A. B. C. D.6. 设，则集合中元素的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 无数个7. 要做一个圆锥形漏斗，母线长为，要使其体积最大，则其高应为（）A. B. C. D.8. 从如图所示的正方形区域内任取一个点，则点取自阴影部分的概率为（）A. B. C. D.二、填空题（每小题4分，共24分）9. 复数，，则等于_________________。

10. 函数的单调增区间为_____________，单调减区间为_____________。

11. 极坐标系中，直线的方程是，则点到直线的距离为________。

12. 记等差数列的前项和，利用倒序求和的方法得：；类似的，记等比数列的前项的积为，且，试类比等差数列求和的方法，可将表示成首项，末项与项数的一个关系式，即公式_______________。

13. 如图，在圆内接四边形中，对角线，相交于点。

已知，，，则_____________，的长是______________。

14. 已知数列，，1，－，－，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前项之和等于____________。

第Ⅱ卷三、解答题（共5个小题，共44分）15. 已知，求证：16. 求证：17. 已知函数，其中实数。

（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极值，试讨论的单调性。

18. 图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相遇，若竖直线段有一条的为第一层，有两条的为第二层，以此类推，竖直线段有条的为第层，每一层的竖直通道从左到右分别称为第1通道、第2通道，……，现在有一个小球从入口向下（只能向下，不能向上）运动，小球在每个交点处向左到达下一层或者向右到达下一层的可能性是相同的。

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在各小题列出的四个选项中，有且只有一项是正确的，请选出符合要求的选项。

1.函数2y x =在区间[0x ，0x +∆x ]上的平均变化率为 A. 0x x +∆ B. 1+x ∆C. 2x +∆D. 2【答案】D 【解析】 【分析】由平均变化率的运算公式00()()f x x f x x+∆-∆，即可求解，得到答案．【详解】由题意，可得平均变化率0000()()2()22f x x f x x x x x x+∆-+∆-==∆∆，故选D ． 【点睛】本题主要考查了平均变化率的求得，其中解答熟记平均变化率的计算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2.一个物体的位移s 关于时间t 的运动方程为s=1－t+t 2，其中s 的单位是：m ，t 的单位是：s ，那么物体在t=3 s 时的瞬时速度是 A. 5 m ／s B. 6 m ／s C. 7 m ／s D. 8 m ／s【答案】A 【解析】 【分析】由位移s 关于时间t 的运动方程为21s t t =-+，则12s t '=-+，代入3t =，即可求解． 【详解】由题意，位移s 关于时间t 的运动方程为21s t t =-+，则12s t '=-+， 当3t =时，1235s '=-+⨯=/m s ，故选A ．【点睛】本题主要考查了瞬时变化率的计算，其中解答中熟记瞬时变化率的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3.下列函数中，是奇函数且在定义域内为单调函数的是 A. 2y x =B. y =ln xC. y =x +sin xD. y =3x【解析】 【分析】根据函数的奇偶性的定义，以及函数的单调性的判定方法，逐项判定，即可求解． 【详解】由题意，对于函数2y x =在定义域内为偶函数，且先减后增，不符合题意； 对于函数ln y x =在定义域上是非奇非偶函数，且是单调递增函数，不符合题意； 对于函数3y x=在定义域(,0)(0,)-∞+∞U 为奇函数，且在(,0),(0,)-∞+∞单调递减，不符合在定义域内单调递减，不符合题意； 对于函数()sin f x x x =+，定义域为R ，则()sin()(sin )()f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以函数()f x 为奇函数，且()1cos 0f x x '=+≥，所以函数()f x 单调递增函数，符合题意，故选C ．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及利用导数研究函数的单调性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的判定方法，以及导数与函数的单调性的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.函数()y f x =的导函数'()y f x =的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是A. B.C. D.【解析】 【分析】根据导函数的图象，可得当(,0)(2,)x ∈-∞⋃+∞时，()0f x '>，当(0,2)x ∈时，()0f x '<，进而可得原函数的图象，得到答案．【详解】由题意，根据导函数的图象，可得当(,0)(2,)x ∈-∞⋃+∞时，()0f x '>，则函数()f x 单调递增，当(0,2)x ∈时，()0f x '<；函数()f x 单调递减，故选C ． 【点睛】本题主要考查了导函数图象与原函数的图象之间的关系，其中解答中熟记导函数的函数值的符号与原函数的单调性之间的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．5.已知集合M={－2，3}，N={－4,5,6}，依次从集合M ，N 中各取出一个数分别作为点P 的横坐标和纵坐标，则在平面直角坐标系中位于第一、二象限内的点P 的个数是 A. 4 B. 5C. 6D. 7【答案】A 【解析】 【分析】由对于集合M 中的元素作为点的横坐标，N 中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有2个，在第二象限的点共有2个，由分类计数原理，即可求解．【详解】由题意，要使得点P 在平面直角坐标系中位于第一、二象限内， 对于集合M 中的元素作为点的横坐标，N 中的元素作点的纵坐标， 在第一象限的点共有122⨯=个； 在第二象限的点共有122⨯=个；由分类计数原理可得点个数为224+=个， 故选A ．【点睛】本题主要考查了分类计数原理的应用，其中解答中解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．6.若曲线2y x ax b =++在点（0，b ）处的切线方程是x +y －1=0，则 A. a=1，b=1 B. a=－l ，b=l C. a=l ，b=－1 D. a=－1，b=－16 【答案】B 【解析】 【分析】求得函数的导数求得()0f a '=，由切线的方程为10x y +-=，求得1a =-，把点(0,)b 代入切线方程10x y +-=，求得b 的值，即可求解．【详解】由题意，函数()2f x x ax b =++，则()2f x x a '=+，所以()0f a '=，又由切线的方程为10x y +-=，所以1a =-，把点(0,)b 代入切线方程10x y +-=，即010b +-=，解得1b =， 故选B ．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，合理利用切线的方程和切点的坐标适合切线，列出方程是解答的关键，着重考查了推基础题理与运算能力，属于．7.“0a ≥”是“函数()2ln f x x a x =+在[1,)+∞上单调递增”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】求得函数的导数()221,,[)x a xf x x '=+∈+∞，由函数()f x 在[1,)+∞上单调递增，转化为()0f x '≥在[1,)x ∈+∞恒成立，求得2a ≥-，再根据充要条件的判定，即可求解．【详解】由题意，函数()2ln f x x a x =+，则()22,12a x ax x x f x x++'=≥=，因为函数()f x 在[1,)+∞上单调递增，则()0f x '≥在[1,)x ∈+∞恒成立，即220x ax+≥在[1,)x ∈+∞恒成立，即22a x ≥-在[1,)x ∈+∞恒成立，解得2a ≥-，所以“0a ≥”是“()2ln f x x a x =+在[1,)+∞上单调递增”的充分不必要条件，故选A ．【点睛】本题主要考查了导数的应用问题，其中解答中熟记函数的导数与原函数的关系，求得实数a 的取值范围，再根充要条件的判定方法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．8.某电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，平均耗电量=累计耗电量累计里程，剩余续航里程=剩余电量平均耗电量，下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是 A. 等于12.5 B. 12.5到12.6之间 C. 等于12.6 D. 大于12.6【答案】D 【解析】 【分析】根据累计耗电量的计算公式，即可求解．【详解】由题意，可得41000.12640000.125516.650016.6⨯-⨯=-=，所以对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是：大于12.6， 故选D ．【点睛】本题主要考查了函数模型的应用，其中解答中正确理解题意，根据累计耗电量的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．二、多项选择题，本大题共2小题，共8分。

2017-2018学年北京师大二附中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题1．若复数2﹣bi（b∈R）的实部与虚部之和为零，则b的值为（）A．2B．C．﹣D．﹣22．用数学归纳法证明1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）时，第一步应验证不等式（）A．B．C．D．3．已知＝2﹣i，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．按数列的排列规律猜想数列，﹣，，﹣，…的第10项是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣5．由曲线f（x）＝与y轴及直线y＝m（m＞0）围成的图形面积为，则m ＝（）A．2B．3C．1D．86．我们知道：在平面内，点（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离公式为d＝，通过类比的方法，可求得：在空间中，点（2，4，1）到平面x+2y+2z+3＝0的距离为（）A．3B．5C．D．7．函数f（x）＝x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f （x2）|≤t，则实数t的最小值是（）A．20B．18C．3D．08．5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个二、填空题9．若函数f（x）＝e x﹣ax（x＞0）有极值，则实数a的取值范围是．10．如图所示，在正△ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I分别为DE、FC、EF的中点，将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，BG与IH 所成的角的余弦值为．11．设函数f1（x）＝x4+ae x（其中a是非零常数，e是自然对数的底数），记f n（x）＝f n﹣1′（x）（n≥2，n∈N*），则满足对任意的实数x，都有f n（x）＝f n﹣1（x）的最小整数n的值（n≥2，n∈N*）为．12．用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为cm．13．每年的三月十二号是植树节，某学校组织高中65个学生及其父母以家庭为单位参加“种一棵小树，绿一方净土”的义务植树活动．活动将65个家庭分成A，B两组，A组负责种植150棵银杏树苗，B组负责种植160棵紫薇树苗．根据往年的统计，每个家庭种植一棵银杏树苗用时，种植一棵紫薇树苗用时．假定A，B两组同时开始种植，若使植树活动持续时间最短，则A组的家庭数为，此时活动持续的时间为h．14．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，过点M的直线l′与抛物线C的交点为P，Q，延长PF交抛物线C于点A，延长QF交抛物线C于点B，若+＝22，则直线l′的方程为．三、解答题15．已知函数f（x）＝x3﹣12x．（1）求这个函数在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求这个函数的极值．16．已知函数，其中a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．17．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB＝∠DBF＝60°，且F A＝FC，AC、BD交于点O．（I）求证：FC∥平面EAD；（II）求证：AC⊥平面BDEF．（III）求二面角F﹣AB﹣C（锐角）的余弦值．18．已知函数f（x）＝﹣ax+b在点（e，f（e））处的切线方程为y＝﹣ax+2e．（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）若存在x∈[e，e2]，满足f（x）≤+e，求实数a的取值范围．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+＝1的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P在x轴上方）．（1）若QF＝2FP，求直线l的方程；（2）设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，是否存在常数λ，使得k1＝λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．20．已知常数a＞0，函数f（x）＝ln（1+ax）﹣．（1）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．2017-2018学年北京师大二附中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．若复数2﹣bi（b∈R）的实部与虚部之和为零，则b的值为（）A．2B．C．﹣D．﹣2【解答】解：由复数2﹣bi（b∈R）的实部与虚部之和为零，得2﹣b＝0，即b＝2．故选：A．2．用数学归纳法证明1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）时，第一步应验证不等式（）A．B．C．D．【解答】解：用数学归纳法证明（n∈N+，n＞1）时，第一步应验证不等式为：；故选：B．3．已知＝2﹣i，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：＝2﹣i，∴＝（1﹣i）（2﹣i）＝1﹣3i∴z＝1+3i∴复数z对应点（1，3）在第一象限．故选：A．4．按数列的排列规律猜想数列，﹣，，﹣，…的第10项是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【解答】解：由数列，﹣，，﹣，…．可知：奇数项的符号为正号，偶数项的符号为负号；而分子为偶数2n（n为项数），分母为奇数2n+1或分母比分子大1．故可得通项公式．∴＝﹣．故选：C．5．由曲线f（x）＝与y轴及直线y＝m（m＞0）围成的图形面积为，则m ＝（）A．2B．3C．1D．8【解答】解：由题意，由曲线f（x）＝与y轴及直线y＝m（m＞0）围成的图形面积为，即，整理得m3＝8，解得m＝2；故选：A．6．我们知道：在平面内，点（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离公式为d＝，通过类比的方法，可求得：在空间中，点（2，4，1）到平面x+2y+2z+3＝0的距离为（）A．3B．5C．D．【解答】解：类比点P（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离d＝，可知在空间中，点P（x0，y0，z0）到直线Ax+By+Cz+D＝0的距离d＝点（2，4，1）到平面x+2y+2z+3＝0的距离d＝＝5．故选：B．7．函数f（x）＝x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f （x2）|≤t，则实数t的最小值是（）A．20B．18C．3D．0【解答】解：对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，等价于对于区间[﹣3，2]上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤t，∵f（x）＝x3﹣3x﹣1，∴f′（x）＝3x2﹣3＝3（x﹣1）（x+1），∵x∈[﹣3，2]，∴函数在[﹣3，﹣1]、[1，2]上单调递增，在[﹣1，1]上单调递减∴f（x）max＝f（2）＝f（﹣1）＝1，f（x）min＝f（﹣3）＝﹣19∴f（x）max﹣f（x）min＝20，∴t≥20∴实数t的最小值是20，故选：A．8．5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个【解答】解：5为奇数，4为偶数，故总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多，故选：A．二、填空题9．若函数f（x）＝e x﹣ax（x＞0）有极值，则实数a的取值范围是（1，+∞）．【解答】解：∵y＝e x﹣ax，∴y'＝e x﹣a．由题意知e x﹣a＝0有大于0的实根，由e x＝a，得a＝e x，∵x＞0，∴e x＞1．∴a＞1．故答案为：（1，+∞）．10．如图所示，在正△ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I分别为DE、FC、EF的中点，将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，BG与IH所成的角的余弦值为．【解答】解：如图，△ABC折成三棱锥后，A，B，C重合与B，∵BE∥IH，∴∠GBE为BG与IH所成角，为，其余弦值为．故答案为：．11．设函数f1（x）＝x4+ae x（其中a是非零常数，e是自然对数的底数），记f n（x）＝f n﹣1′（x）（n≥2，n∈N*），则满足对任意的实数x，都有f n（x）＝f n﹣1（x）的最小整数n的值（n≥2，n∈N*）为7．【解答】解：f1（x）＝x4+ae x（其中a是非零常数，e是自然对数的底数），记f n（x）＝f n′（x）（n≥2，n∈N*），﹣1则f2（x）＝+ae x，f3（x）＝x2+ae x，f4（x）＝2x+ae x，f5（x）＝2+ae x，f6（x）＝ae x，∴n≥6时，f n（x）＝ae x，∴满足对任意的实数x，都有f n（x）＝f n（x）的最小整数n的值为7．﹣1故答案为：7．12．用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为8cm．【解答】解：设小正方形边长为x，铁盒体积为y．y＝（48﹣2x）2•x＝4x3﹣192x2+2304x．y′＝12x2﹣384x+2304＝12（x﹣8）（x﹣24）．∵48﹣2x＞0，∴0＜x＜24．∴x＝8时，y max＝8192．故答案为：8．13．每年的三月十二号是植树节，某学校组织高中65个学生及其父母以家庭为单位参加“种一棵小树，绿一方净土”的义务植树活动．活动将65个家庭分成A，B两组，A组负责种植150棵银杏树苗，B组负责种植160棵紫薇树苗．根据往年的统计，每个家庭种植一棵银杏树苗用时，种植一棵紫薇树苗用时．假定A，B两组同时开始种植，若使植树活动持续时间最短，则A组的家庭数为25，此时活动持续的时间为h．【解答】解：若使植树活动持续时间最短，则两种树苗种植的时间和人数应该对应成比例，150棵银杏树，一个家庭种植完需要的时间为150×＝60h，160棵紫薇树苗，一个家庭种植完需要的时间为160×＝96h，对应的时间比为60：96＝5：8，则65个家庭分成这个比例进行分配，则A组的家庭数为＝25，活动持续的时间为＝h，故答案为：25，14．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M，过点M的直线l′与抛物线C的交点为P，Q，延长PF交抛物线C于点A，延长QF交抛物线C于点B，若+＝22，则直线l′的方程为y＝±（x+2）．【解答】解：抛物线C：y2＝8x的焦点为F（2，0），设直线l′的方程x＝my﹣2，则，整理得：y2﹣8my+16＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则△＝64m2﹣64＞0，即m2＞1，∴y1+y2＝8m，y1y2＝16，由抛物线的对称性可知：+＝+＝4m2﹣2＝22，解得：m2＝6，故m＝±，∴直线l′的方程为y＝±（x+2），故答案为：y＝±（x+2）．三、解答题15．已知函数f（x）＝x3﹣12x．（1）求这个函数在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求这个函数的极值．【解答】解：（1）∵f（x）＝x3﹣12x，∴f（1）＝﹣11，f′（x）＝3x2﹣12，f′（1）＝﹣9，故函数f（x）在（1，﹣11）处的切线方程是：y+11＝﹣9（x﹣1），即9x+y+2＝0；（2）∵f（x）＝x3﹣12x，∴f′（x）＝3x2﹣12，令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜﹣2，令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜2，∴f（x）在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）递增，在（﹣2，2）递减，∴f（x）极大值＝f（﹣2）＝16，f（x）极小值＝f（2）＝﹣16．16．已知函数，其中a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）解：因为是奇函数．所以f（﹣x）＝﹣f（x），其中x∈R且x≠0．…（2分）即，其中x∈R且x≠0．所以a＝0．…（6分）（Ⅱ）解：．…（8分）因为f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，所以在[2，+∞）上恒成立，…（9分）即在[2，+∞）上恒成立，因为在[2，+∞）上的最小值y min＝4，所以a≤4，验证知当a≤4时，f（x）在区间[2，+∞）上单调递增．…（13分）17．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB＝∠DBF＝60°，且F A＝FC，AC、BD交于点O．（I）求证：FC∥平面EAD；（II）求证：AC⊥平面BDEF．（III）求二面角F﹣AB﹣C（锐角）的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD与BDEF均为菱形，所以AD∥BC，DE∥BF．因为AD⊄平面FBC，DE⊄平面FBC，所以AD∥平面FBC，DE∥平面FBC又AD∩DE＝D，AD⊂平面EAD，DE⊂平面EAD，所以平面FBC∥平面EAD又FC⊂平面FBC，所以FC∥平面EAD（Ⅱ）证明：连接FO，因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，又O为AC中点，且F A＝FC，所以AC⊥FO，因为FO∩BD＝O，所以AC⊥平面BDEF．（Ⅲ）连接FO、FD，则因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF＝60°，所以△DBF为等边三角形，因为O为BD中点．所以FO⊥BD，又因为O为AC中点，且F A＝FC，所以AC ⊥FO又AC∩BD＝O，所以FO⊥平面ABCD．过O作OH垂直AB于H，连结FH，则∠FHO就是二面角F﹣AB﹣C（锐角）的平面角．设AB＝2，因为四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，则BD＝2，OB＝1，FO ＝，OH＝，tan∠FHO＝，∴，二面角F﹣AB﹣C（锐角）的余弦值为．18．已知函数f（x）＝﹣ax+b在点（e，f（e））处的切线方程为y＝﹣ax+2e．（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）若存在x∈[e，e2]，满足f（x）≤+e，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝﹣ax+b，x∈（0，1）∪（1，+∞），求导，f′（x）＝﹣a，则函数f（x）在点（e，f（e））处切线方程y﹣（e﹣ex+b）＝﹣a（x﹣e），即y＝﹣ax+e+b，由函数f（x）在（e，f（e））处的切线方程为y＝﹣ax+2e，比较可得b＝e，实数b的值e；（Ⅱ）由f（x）≤+e，即﹣ax+e≤+e，则a≥﹣在[e，e2]，上有解，设h（x）＝﹣，x∈[e，e2]，求导h′（x）＝﹣＝＝，令p（x）＝lnx﹣2，∴x在[e，e2]时，p′（x）＝﹣＝＜0，则函数p（x）在[e，e2]上单调递减，∴p（x）＜p（e）＝lne﹣2＜0，则h′（x）＜0，及h（x）在区间[e，e2]单调递减，h（x）≥h（e2）＝﹣＝﹣，∴实数a的取值范围[﹣，+∞）．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+＝1的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P在x轴上方）．（1）若QF＝2FP，求直线l的方程；（2）设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，是否存在常数λ，使得k1＝λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为a2＝4，b2＝3，所以c＝＝1，所以F的坐标为（1，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为x＝my+1，代入椭圆方程+＝1，得（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，则y1＝，y2＝．若QF＝2FP，即＝2，则+2•＝0，解得m＝，故直线l的方程为x﹣2y﹣＝0．（2）由（1）知，y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，所以my1y2＝﹣＝（y1+y2），由A（﹣2，0），B（2，0），P（x1，y1），Q（x2，y2），x1＝my1+1，x2＝my2+1，所以＝•＝＝＝，故存在常数λ＝，使得k1＝k2．20．已知常数a＞0，函数f（x）＝ln（1+ax）﹣．（1）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）＝ln（1+ax）﹣，x∈（0，+∞），∴f′（x）＝﹣＝，∵（1+ax）（x+2）2＞0，∴当1﹣a≤0时，即a≥1时，f′（x）≥0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）单调递增，当0＜a≤1时，由f′（x）＝0得x＝±，则函数f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．（2）由（1）知，当a≥1时，f′（x）≥0，此时f（x）不存在极值点．因此要使f（x）存在两个极值点x1，x2，则必有0＜a＜1，又f（x）的极值点值可能是x1＝，x2＝﹣，且由f（x）的定义域可知x＞﹣且x≠﹣2，∴﹣＞﹣且﹣≠﹣2，解得a≠，则x1，x2分别为函数f（x）的极小值点和极大值点，∴f（x1）+f（x2）＝ln[1+ax1]﹣+ln（1+ax2）﹣＝ln[1+a（x1+x2）+a2x1x2]﹣＝ln（2a﹣1）2﹣＝ln（2a﹣1）2+﹣2．令2a﹣1＝x，由0＜a＜1且a≠得，当0＜a＜时，﹣1＜x＜0；当＜a＜1时，0＜x＜1．令g（x）＝lnx2+﹣2．（i）当﹣1＜x＜0时，g（x）＝2ln（﹣x）+﹣2，∴g′（x）＝﹣＝＜0，故g（x）在（﹣1，0）上单调递减，g（x）＜g（﹣1）＝﹣4＜0，∴当0＜a＜时，f（x1）+f（x2）＜0；（ii）当0＜x＜1．g（x）＝2lnx+﹣2，g′（x）＝﹣＝＜0，故g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）＞g（1）＝0，∴当＜a＜1时，f（x1）+f（x2）＞0；综上所述，a的取值范围是（，1）．。

2017-2018学年北京师大实验中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．（5分）xdx＝（）A．0B．C．1D．﹣2．（5分）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）函数f（x）＝lnx与函数g（x）＝ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，则实数a的值为（）A．1B．﹣C．D．或﹣4．（5分）若a，b，c均为正实数，则三个数a+，b+，c+这三个数中不小于2的数（）A．可以不存在B．至少有1个C．至少有2个D．至多有2个5．（5分）函数y＝2x•e x的大致图象是（）A．B．C．D．6．（5分）函数f（x）的图象如图所示，下列结果正确的是（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数有极大值且有极小值，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，1）8．（5分）定义在R上的函数f（x）和g（x），其各自导函数f′（x）和g′（x）的图象如图所示，则函数F（x）＝f（x）﹣g（x）极值点的情况是（）A．只有两个极大值点，无极小值点B ．无极大值点，只有两个极小值点C ．有一个极大值点，无极小值点D ．有一个极大值点，一个极小值点二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分，将正确答案填在答题纸上） 9．（4分）已知函数f （x ）＝x 2，则＝ ．10．（4分）已知复数z 满足|z |≤2，则复数z 在复平面内对应的点Z 的集合构成的图形的面积是 ． 11．（4分）观察下列等式： 1﹣＝1﹣+﹣＝+1﹣+﹣+﹣＝++ …据此规律，第n 个等式可为 ． 12．（4分）若函数在区间（0，1）内为增函数，则实数a的取值范围是 ．13．（4分）如图是函数y ＝f （x ）的导函数y ＝f ′（x ）的图象，给出下列命题： ①﹣2是函数y ＝f （x ）的极值点； ②1是函数y ＝f （x ）的最小值点； ③y ＝f （x ）在x ＝0处切线的斜率小于零； ④y ＝f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递增． 则正确命题的序号是 ．14．（4分）对于函数y ＝f （x ），若在其定义域内存在x 0，使得x 0f （x 0）＝1成立，则称函数f （x ）具有性质P ．（1）下列函数中具有性质P 的有 ． ①f （x ）＝﹣2x +2；②f（x）＝sin x（x∈[0，2π]）；③f（x）＝x+，（x∈（0，+∞））；④f（x）＝ln（x+1）．（2）若函数f（x）＝alnx具有性质P，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共3小题，共36分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上）15．（12分）已知数列{a n}满足，且（n∈N*）．（Ⅰ）求a2，a3，a4，并猜想数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想．16．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣+6x﹣3．（Ⅰ）在所给的坐标系中画出函数f（x）在区间[0，3]的图象；（Ⅱ）若直线y＝6x+b是函数f（x）的一条切线，求b的值．17．（12分）已知函数．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值．四、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸横线上）18．（5分）若对任意，不等式ln（2x﹣1）≤x2+a恒成立，则a的取值范围是．19．（5分）在极坐标系中，直线ρsinθ﹣ρcosθ＝1被曲线ρ＝1截得的线段长为．20．（5分）已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+1在区间上恰有两个零点，则a 的取值范围是．21．（5分）已知集合{a，b，c}＝{1，2，3}，且下列三个关系：①a≠3，②b ＝3，③c≠1，有且只有一个正确，则100a+10b+c＝．五、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程）22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），⊙C的参数方程是为参数）．（I）写出⊙C的直角坐标方程（即普通方程）；（II）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求点P的直角坐标．23．（10分）已知函数f（x）＝alnx+x2﹣（a+1）x（a∈R）．（I）若x＝2为函数f（x）的极值点，求a的值．（II）讨论函数f（x）在区间（0，2）内的单调性．24．（10分）已知函数f（x）＝x•e2﹣x，g（x）＝f（2﹣x）．（Ⅰ）求函数g（x）的极大值点；（Ⅱ）设函数F（x）＝f（x）﹣g（x），求证：函数F（x）无极值；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）为函数f（x）图象上的两点，且满足x1≠x2，y1＝y2．若M（x0，y0）为线段AB的中点，求x0的取值范围．2017-2018学年北京师大实验中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．（5分）xdx＝（）A．0B．C．1D．﹣【解答】解：xdx＝x2|＝，故选：B．2．（5分）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵＝＝﹣i∴复数在复平面对应的点的坐标是（，﹣）∴它对应的点在第四象限，故选：D．3．（5分）函数f（x）＝lnx与函数g（x）＝ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，则实数a的值为（）A．1B．﹣C．D．或﹣【解答】解：由题意，f′（x）＝，g′（x）＝2ax，∵函数f（x）＝lnx与函数g（x）＝ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，∴1＝2a，∴a＝，故选：C．4．（5分）若a，b，c均为正实数，则三个数a+，b+，c+这三个数中不小于2的数（）A．可以不存在B．至少有1个C．至少有2个D．至多有2个【解答】解：假设a+，b+，c+这三个数都小于2，∴a++b++c+＜6∵a++b++c+＝（a+）+（b+）+（c+）≥2+2+2＝6，这与假设矛盾，故至少有一个不小于2故选：B．5．（5分）函数y＝2x•e x的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：对函数f（x）求导得f′（x）＝2（x+1）e x，令f′（x）＝0，得x ＝﹣1，当x＜﹣1时，f′（x）＜0，此时，函数f（x）单调递减；当x＞﹣1时，f′（x）＞0，此时，函数f（x）单调递增．故选：A．6．（5分）函数f（x）的图象如图所示，下列结果正确的是（）A．B．C．D．【解答】由图可知，所给的函数是上凸函数，其上的任意一点的切线的斜率从左到右是由大到小变化的，其中f'（x1）是函数在点（x1，f（x1））处的切线的斜率，f'（x2）是函数在点（x2，f（x2））处的切线的斜率，是两点（x1，f（x1））和（x2，f（x2））连线的斜率，故由图能直观的看出来，，故选：B．7．（5分）已知函数有极大值且有极小值，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，1）【解答】解：函数，在（﹣∞，+∞）上连续，x＞0时，f（x）＝x3﹣ax2+1，可得f′（x）＝3x2﹣2ax，函数的极值点为x＝0和x＝，函数有极大值且有极小值，可得，所以a∈（0，+∞）函数有极大值f（0），极小值f（）．综上所述实数a的取值范围是（0，+∞）．故选：A．8．（5分）定义在R上的函数f（x）和g（x），其各自导函数f′（x）和g′（x）的图象如图所示，则函数F（x）＝f（x）﹣g（x）极值点的情况是（）A．只有两个极大值点，无极小值点B．无极大值点，只有两个极小值点C．有一个极大值点，无极小值点D．有一个极大值点，一个极小值点【解答】解：F′（x）＝f′（x）﹣g′（x），由图象得f′（x）和g′（x）有2个交点，从左到右分分别令为a，b，故x∈（﹣∞，a）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（a，b）时，F′（x）＞0，F（x）递增，x∈（b，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递减，故函数F（x）有一个极大值点，一个极小值点，故选：D．二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分，将正确答案填在答题纸上）9．（4分）已知函数f（x）＝x2，则＝2．【解答】解：∵f′（x）＝2x，∴＝f′（1），∴f′（1）＝2，故答案为：210．（4分）已知复数z满足|z|≤2，则复数z在复平面内对应的点Z的集合构成的图形的面积是4π．【解答】解：设z＝x+yi（x，y∈R），由|z|≤2，得，即x2+y2≤4．∴复数z在复平面内对应的点Z的集合构成的图形是半径为2的圆．其面积为4π．故答案为：4π．11．（4分）观察下列等式：1﹣＝1﹣+﹣＝+1﹣+﹣+﹣＝++…据此规律，第n个等式可为+…+＝+…+．【解答】解：由已知可得：第n个等式含有2n项，其中奇数项为，偶数项为﹣．其等式右边为后n项的绝对值之和．∴第n个等式为：+…+＝+…+．12．（4分）若函数在区间（0，1）内为增函数，则实数a 的取值范围是（﹣∞，2]．【解答】解：由于函数f（x）在区间（0，1）内为增函数，则导函数f'（x）≥0在区间（0，1）内恒成立，即f'（x）＝x2﹣ax+1≥0在区间（0，1）内恒成立，分离参数得到，令，在x∈（0，1）恒成立，故函数g（x）在区间x∈（0，1）上单调递减，即g（x）＞g（1）＝2，故a≤2，即实数a的取值范围是（﹣∞，2]．13．（4分）如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象，给出下列命题：①﹣2是函数y＝f（x）的极值点；②1是函数y＝f（x）的最小值点；③y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零；④y＝f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增．则正确命题的序号是①④．【解答】解：根据导函数图象可知当x∈（﹣∞，﹣2）时，f'（x）＜0，在x∈（﹣2，+∞）时，f'（x）≥0则函数y＝f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增，故y＝f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增正确，即④正确而在x＝﹣2处左侧单调递减，右侧单调递增，则﹣2是函数y＝f（x）的极小值点，故①正确∵函数y＝f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增∴当x＝﹣2处函数取最小值，1不是函数y＝f（x）的最小值点，故②不正确；∵函数y＝f（x）在x＝0处的导数大于0∴y＝f（x）在x＝0处切线的斜率大于零，故③不正确故答案为：①④14．（4分）对于函数y＝f（x），若在其定义域内存在x0，使得x0f（x0）＝1成立，则称函数f（x）具有性质P．（1）下列函数中具有性质P的有①②④．①f（x）＝﹣2x+2；②f（x）＝sin x（x∈[0，2π]）；③f（x）＝x+，（x∈（0，+∞））；④f（x）＝ln（x+1）．（2）若函数f（x）＝alnx具有性质P，则实数a的取值范围是a＞0或a≤﹣e．【解答】解：（1）在x≠0时，f（x）＝有解，即函数具有性质P，①令﹣2x+2＝，即﹣2x2+2x﹣1＝0，∵△＝8﹣8＝0，故方程有一个非0实根，故f（x）＝﹣2x+2具有性质P；②f（x）＝sin x（x∈[0，2π]）的图象与y＝有交点，故sin x＝有解，故f（x）＝sin x（x∈[0，2π]）具有性质P；③令x+＝，此方程无解，故f（x）＝x+，（x∈（0，+∞））不具有性质P；④f（x）＝ln（x+1）的图象与y＝有交点，故ln（x+1）＝有解，故f（x）＝ln（x+1）具有性质P；综上所述，具有性质P的函数有：①②④，（2）f（x）＝alnx具有性质P，显然a≠0，方程xlnx＝有根，∵g（x）＝xlnx的值域为[﹣，+∞），∴≥﹣，解之可得：a＞0或a≤﹣e．故答案为：①②④；（2）a＞0或a≤﹣e三、解答题（本大题共3小题，共36分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上）15．（12分）已知数列{a n}满足，且（n∈N*）．（Ⅰ）求a2，a3，a4，并猜想数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想．【解答】（本小题满分12分）（Ⅰ）解：，，，猜想（n∈N*）．…………（5分）（Ⅱ）证明：（1）当n＝1时，左边＝，右边＝，左边＝右边，猜想成立．（2）假设n＝k（k∈N*）时，猜想成立，即．则当n＝k+1时，a k+1＝＝＝＝．所以当n＝k+1时，猜想仍然成立．由（1）（2）可知，对于任意n∈N*猜想都成立．……（12分）16．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣+6x﹣3．（Ⅰ）在所给的坐标系中画出函数f（x）在区间[0，3]的图象；（Ⅱ）若直线y＝6x+b是函数f（x）的一条切线，求b的值．【解答】解：（I）函数f（x）＝x3﹣+6x﹣3，f'（x）＝3（x2﹣3x+2），令f'（x）＝3（x2﹣3x+2）＝0，解可得x＝1或2，f（x）的图象如图所示：（II）函数f（x）＝x3﹣+6x﹣3，则f'（x）＝3（x2﹣3x+2），直线y＝6x+b是f（x）的切线，设切点为（x0，f（x0）），则解得x0＝0或x0＝3当x0＝0时，f（x0）＝﹣3，代入直线方程得到b＝﹣3当x0＝3时，，代入直线方程得到．17．（12分）已知函数．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为，所以f'（0）＝0，且f（0）＝0，所以切线为y＝0…………（5分）（Ⅱ）因为，x∈[0，π]．当x∈（0，π）时，cos x＜1，e x＞1，所以cos x﹣e x＜0，且﹣sin x＜0，于是f'（x）＜0，所以f（x）在（0，π）上单调递减，f（x）max＝f（0）＝0，f（x）min＝f（π）＝﹣π．…………（12分）四、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸横线上）18．（5分）若对任意，不等式ln（2x﹣1）≤x2+a恒成立，则a的取值范围是[﹣1，+∞）．【解答】解：对任意，不等式ln（2x﹣1）≤x2+a恒成立，可得a≥ln（2x﹣1）﹣x2的最大值，设f（x）＝ln（2x﹣1）﹣x2，导数为f′（x）＝﹣2x＝，可得x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减；＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增．即有f（x）在x＝1处取得极大值，且为最大值﹣1，则a≥﹣1，故答案为：[﹣1，+∞）．19．（5分）在极坐标系中，直线ρsinθ﹣ρcosθ＝1被曲线ρ＝1截得的线段长为．【解答】解：∵直线ρsinθ﹣ρcosθ＝1，∴直线的直角坐标坐标方程为x﹣y+1＝0，∵曲线ρ＝1，∴ρ2＝1，∴曲线的方程为x2+y2＝1，圆心（0，0）到直线x﹣y+1＝0的距离：d＝＝，∴直线ρsinθ﹣ρcosθ＝1被曲线ρ＝1截得的线段长为：|AB|＝＝2＝．故答案为：．20．（5分）已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+1在区间上恰有两个零点，则a 的取值范围是（，]．【解答】解：∵函数f（x）＝2x3﹣ax2+1，∴f′（x）＝6x2﹣2ax，由f′（x）＝6x2﹣2ax＝0，得x＝0或x＝，当a≤0时，f′（x）＞0，函数在区间上是增函数，不合题意；当a＞0时，由f′（x）＜0得0＜x＜，由f′（x）＞0，得x＜0或x＞，∴f（x）的增区间为（﹣∞，0），（，+∞），减区间为（0，），∵函数f（x）＝2x3﹣ax2+1在区间上恰有两个零点，∴，解得．∴a的取值范围是（，]．故答案为：（，]．21．（5分）已知集合{a，b，c}＝{1，2，3}，且下列三个关系：①a≠3，②b ＝3，③c≠1，有且只有一个正确，则100a+10b+c＝312．【解答】解：已知集合{a，b，c}＝{1，2，3}，且下列三个关系：①a≠3；②b ＝3；③c≠1有且只有一个正确，若①正确，则c＝1，a＝2，b＝2不成立，若②正确，则b＝3，c＝1，a＝3不成立，若③正确，则a＝3，b＝1，c＝2，即有100a+10b+c＝312．故答案为：312．五、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程）22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），⊙C的参数方程是为参数）．（I）写出⊙C的直角坐标方程（即普通方程）；（II）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求点P的直角坐标．【解答】解：（I）∵⊙C的参数方程是为参数）．∴圆C的直角坐标方程为x2+（y﹣）2＝3．（II）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴直线l参数方程消去θ，可得……………………（4分）∵P为直线l上一动点，∴设，，∴，故当t＝0时，|PC|取最小值，此时P点的直角坐标为（3，0）．……………………（10分）23．（10分）已知函数f（x）＝alnx+x2﹣（a+1）x（a∈R）．（I）若x＝2为函数f（x）的极值点，求a的值．（II）讨论函数f（x）在区间（0，2）内的单调性．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝alnx+x2﹣（a+1）x，∴f′（x）＝，又x＝2为函数f（x）的极值点，∴，解得a＝2；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f′（x）＝＝（0＜x＜2）．令g（x）＝x2﹣（a+1）x+a＝（x﹣1）（x﹣a）．当a＝1时，g（x）≥0，即f′（x）≥0，函数f（x）在区间（0，2）内单调递增；当a≤0时，g（x）在（0，1）内小于0，在（1，2）内大于0，即f′（x）在（0，1）内小于0，在（1，2）内大于0，∴f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，2）内单调递增；当0＜a＜1时，g（x）在（0，a）∪（1，2）上大于0，在（a，1）上小于0，即f′（x）在（0，a）∪（1，2）上大于0，在（a，1）上小于0，∴f（x）在（0，a），（1，2）上单调递增，在（a，1）上单调递减；当1＜a＜2时，g（x）在（0，1）∪（a，2）上大于0，在（1，a）上小于0，即f′（x）在（0，1）∪（a，2）上大于0，在（1，a）上小于0，∴f（x）在（0，1），（a，2）上单调递增，在（1，a）上单调递减；当a≥2时，g（x）在（0，1）内大于0，在（1，2）内小于0，即f′（x）在（0，1）内大于0，在（1，2）内小于0，∴f（x）在（0，1）内单调递增，在（1，2）内单调递减．24．（10分）已知函数f（x）＝x•e2﹣x，g（x）＝f（2﹣x）．（Ⅰ）求函数g（x）的极大值点；（Ⅱ）设函数F（x）＝f（x）﹣g（x），求证：函数F（x）无极值；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）为函数f（x）图象上的两点，且满足x1≠x2，y1＝y2．若M（x0，y0）为线段AB的中点，求x0的取值范围．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）g（x）＝f（2﹣x）＝（2﹣x）e x因为g'（x）＝e x（1﹣x），所以g'（x）及g（x）符号变化如下，所以函数g（x）的极大值点为x＝1．……………………（3分）证明：（Ⅱ）F（x）＝x•e2﹣x﹣（2﹣x）•e x，F'（x）＝（x﹣1）（e x﹣e2﹣x）＝（x ﹣1）e2﹣x（e2x﹣2﹣1）．当x＞1时，x﹣1＞0，e2x﹣2﹣1＞0，此时F'（x）＞0；当x＜1时，x﹣1＜0，e2x﹣2﹣1＜0，此时F'（x）＞0，即F'（x）≥0在R上恒成立，所以F（x）在R上单调递增，所以函数F（x）无极值．…………………（6分）解：（Ⅲ）（1）若x1，x2有一个数为1，由函数f（x）的单调性和x1≠x2，显然不合题意．（2）若x1，x2∈（﹣∞，1）或x1，x2∈（1，+∞），由函数f（x）的单调性和x1≠x2，也不合题意．（3）当x1，x2一个在区间（﹣∞，1），另一个在区间（1，+∞）时，不妨设x1＜1，x2＞1．由（Ⅱ）可得，F（x）＝f（x）﹣g（x）在R上单调递增，而F（1）＝0，则当x＞1时，F（x）＞0，即当x2＞1时，f（x2）＞g（x2）．因为f（x1）＝f（x2），则f（x1）＞g（x2）．由g（x2）＝f（2﹣x2），得f（x1）＞f（2﹣x2）．而2﹣x2∈（﹣∞，1），由f'（x）＝e2﹣x﹣x•e2﹣x可知，函数f（x）在（﹣∞，1）上为增函数，所以x1＞2﹣x2，所以x1+x2＞2，即x0∈（1，+∞）．……………………（10分）。

高二数学（理）试卷第Ⅰ卷（模块卷）本试卷分第Ⅰ卷（模块卷，100分）和第Ⅱ卷（综合卷，50分）两部分，共150分，考试时间120分钟。

一、选择题（4′×10＝40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 复数i +11＋2i等于 A. 21i + B. 21i - C. －21 D. 212. 已知命题p ：∀x∈Ｒ，2x>0，那么命题⌝p 为A. ∃x∈Ｒ，2x<0B. ∀x∈Ｒ，2x<0C. ∃x∈Ｒ，2x≤0D. ∀x∈Ｒ，2x≤03. 将4名同学录取到3所大学，每所大学至少要录取一名，则不同的录取方法共有A. 12B. 24C. 36D. 724. 若复数z 满足iz+1＝2i ，则z 对应的点位于 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 设p ，q 是简单命题，则“p ∧q”为假是“p ∨q”为假的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 6. 已知复数z ＝2)31(3i i-+，则|z|＝A. 21B. 41C. 1D. 27. 已知函数f （x ）＝ 31x 3＋x ，则不等式f （2－x 2）＋f （2x ＋1）>0的解集是A. （－∞，－2－1）⋃（2－1，＋∞）B. （－2－1，2－1）C. （－∞，－1）⋃（3，＋∞）D. （－1，3）8. 凸n 边形有f （n ）条对角线，则凸n ＋1边形有对角线条数f （n ＋1）为A. f （n ）＋n ＋1B. f （n ）＋nC. f （n ）＋n －1D. f （n ）＋n －29. 已知f （n ）＝（2n ＋7）·3n＋9，存在自然数m ，使得对任意n∈N，都能使m 整除f （n ），则最大的m 的值为A. 6B. 26C. 30D. 3610. 已知函数f （x ）的导函数f′（x ）的图象如图所示，那么函数f （x ）的图象最有可能的是二、填空题（4′×5＝20分。

中山市高二级2017-2018学年度第二学期期末统一考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.用反证法证明：若整系数一元二次方程有有理数根，那么、、中至少有一个偶数.用反证法证明时，下列假设正确的是（）A. 假设、、都是偶数B. 假设、、都不是偶数C. 假设、、至多有一个偶数D. 假设、、至多有两个偶数【答案】B【解析】根据反证法证明的步骤，假设是对原命题结论的否定，因为“至少有一个”的否定是“都不是”，所以假设正确的是：假设都不是偶数，故选A.2.的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：直接利用微积分基本定理求解即可.详解：，故选C.点睛：本题主要考查微积分基本定理的应用，特殊角的三角函数，意在考查对基础知识的掌握情况，考查计算能力，属于简单题.3.已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，从而可得结果.详解：：由于复数，，在复平面的对应点坐标为，在第一象限，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.4.通过随机询问名性别不同的小学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：由算得参照附表，得到的正确结论（）A. 我们有以上的把握，认为“是否爱吃零食与性别有关”B. 我们有以上的把握，认为“是否爱吃零食与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”【答案】A【解析】分析：对照临界值表，由，从而可得结果.详解：根据所给的数据，，而，有以上的把握，认为“是否爱吃零食与性别有关”，故选A.点睛：本题主要考查独立性检验的应用，属于中档题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.5.已知随机变量满足，，则下列说法正确的是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】分析：利用期望与方差的性质与公式求解即可.详解：随机变量满足，所以，解得，故选D.点睛：已知随机变量的均值、方差，求的线性函数的均值、方差和标准差，可直接用的均值、方差的性质求解.若随机变量的均值、方差、标准差，则数的均值、方差、标准差.6.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：记“系统发生故障、系统发生故障”分别为事件、，“任意时刻恰有一个系统不发生故障”为事件，则，解得，故选B．考点：对立事件与独立事件的概率．7.已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为，两个路口连续遇到红灯的概率为，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意可知，利用条件概率公式可求得的值.详解：设第一个路口遇到红灯的事件为，第二个路口遇到红灯的事件为，则，则，故选C.点睛：本题考查条件概率公式，属于基础题.计算条件概率时一定要注意区分条件概率与独立事件同时发生的概率的区别与联系.8.以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程，则（）A. 0.3B.C. 4D.【答案】D【解析】分析：两边取对数，可化为，结合线性回归方程，即可得出结论.详解：由两边取对数，可得，令，可得，，，故选D.点睛：本题主要考查的知识点是线性回归方程，其中理解回归方程的求解过程与熟练掌握对数的运算性质，是解答此类问题的关键.9.已知随机变量的概率分布如下表，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由分布列的性质可得：，故选C.10.若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先确定函数的定义域然后求出导函数，在函数的定义域内解方程，使方程的解在定义域内的一个子区间内，建立不等关系，从而可得结果.详解：定义域为，又，又，得，当时，；当时，，因为函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，所以，解得，实数的取值范围是，故选B.点睛：本题主要考查对数函数的导数，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，意在考查考查计算能力、转化与划归思想的应用，属于基础题.11.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意根据二项式展开式的通项公式可得，再分别求得的值，从而可得结果. 详解：由常数项为零，根据二项式展开式的通项公式可得，且，，，故选C.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.12.为自然对数的底数，已知函数，则函数有唯一零点的充要条件是（）A. 或或B. 或C. 或D. 或【答案】A【解析】作出函数的图像如图所示，其中，则，设直线与曲线相切，则，即，设，则，当时，，分析可知，当时，函数有极大值也是最大值，，所以当时，有唯一解，此时直线与曲线相切．分析图形可知，当或或时，函数的图像与函数的图像只有一个交点，即函数有唯一零点．故选.【点睛】本小题主要考查分段函数的图象与性质，考查函数零点问题的处理方法，考查利用导数求相切时斜率的方法，考查数形结合的数学思想方法.首先画出函数的图象，分段函数的图象注意分界点的位置是实心的函数空心的.然后将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点来解决.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.给出下列演绎推理：“自然数是整数，，所以是整数”，如果这是推理是正确的，则其中横线部分应填写___________．【答案】是自然数.【解析】分析：直接利用演绎推理的三段论写出小前提即可.详解：由演绎推理的三段论可知：“自然数是整数，是自然数，是整数”，故答案为是自然数.点睛：本题考查演绎推理的三段论的应用，考查对基本知识的掌握情况.14.，，，，……则根据以上四个等式，猜想第个等式是__________．【答案】.【解析】分析：根据已知的四个等式知；等式左边自然对数的指数都是从开始，连续个正整数的和，右边都是．详解：，，，，……由上边的式子，我们可以发现：等式左边自然对数的指数都是从开始，连续个正整数的和，右边都是，可猜想，.故答案为.点睛：本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.15.已知曲线在点处的切线为，则点的坐标为__________．【答案】.【解析】分析：设切点坐标为，求得，利用且可得结果.详解：设切点坐标为，由得，，，即，故答案为.点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.16.江湖传说，蜀中唐门配置的天下第一奇毒“含笑半步癫”是由种藏红花，种南海毒蛇和种西域毒草顺次添加炼制而成，其中藏红花添加顺序不能相邻，同时南海毒蛇的添加顺序也不能相邻，现要研究所有不同添加顺序对药效的影响，则总共要进行__________此实验．【答案】.【解析】分析：先不考虑蛇共有种排法，再减去蛇相邻的情况，即可得出结论．详解：先不考虑蛇，先排蛇与毒草有种，再排藏红花有种，共有种，其中蛇相邻的排法共有种，，故答案为.点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.以下是某地搜集到的新房源的销售价格（万元）和房屋的面积的数据：房屋面积销售价格（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；（2）请根据（1）中的线性回归方程，预测该地当房屋面积为时的销售价格。