离散数学试题及答案

离散数学试题第一部分选择题一、单项选择题1．下列是两个命题变元p，q的小项是（ C ）A．p∧┐p∧q B．┐p∨qC．┐p∧q D．┐p∨p∨q2．令p：今天下雪了，q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（ D ）A．p→┐q B．p∨┐qC．p∧q D．p∧┐q3．下列语句中是命题的只有（ A ）A．1+1=10 B．x+y=10C．sinx+siny<0 D．x mod 3=24．下列等值式不正确的是（ C ）A．┐(∀x)A⇔(∃x)┐AB．(∀x)(B→A(x))⇔B→(∀x)A(x)C．(∃x)(A(x)∧B(x))⇔(∃x)A(x)∧(∃x)B(x)D．(∀x)(∀y)(A(x)→B(y))⇔(∃x)A(x)→(∀y)B(y)5．谓词公式(∃x)P(x,y)∧(∀x)(Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)中量词∀x的辖域是（ C ）A．(∀x)Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z))B．Q(x,z)→(∀y)R(x,y,z)C．Q(x,z)→(∃x)(∀y)R(x,y,z)D．Q(x,z)6．设A={a,b,c,d}，A上的等价关系R={<a,b>,<b,a>,<c,d>,<d,c>}∪I A，则对应于R的A的划分是（ D ）A．{{a},{b,c},{d}} B．{{a,b},{c},{d}}C．{{a},{b},{c},{d}} D．{{a,b},{c,d}}7．设A={Ø}，B=P(P(A))，以下正确的式子是（ A ）A．{Ø,{Ø}}∈B B．{{Ø,Ø}}∈BC．{{Ø},{{Ø}}}∈B D．{Ø,{{Ø}}}∈B8．设X，Y，Z是集合，一是集合相对补运算，下列等式不正确的是（ A ）A．(X-Y)-Z=X-(Y∩Z)B．(X-Y)-Z=(X-Z)-YC．(X-Y)-Z=(X-Z)-(Y-Z)D．(X-Y)-Z=X-(Y∪Z)9．在自然数集N上，下列定义的运算中不可结合的只有（ D ）A．a*b=min(a,b)B．a*b=a+bC．a*b=GCD(a,b)(a,b的最大公约数)02324# 离散数学试题第1 页共4页02324# 离散数学试题 第 2 页 共4页D ．a*b=a(mod b)10.设R 和S 是集合A 上的关系,R ∩S 必为反对称关系的是( A ) A ．当R 是偏序关系,S 是等价关系; B ．当R 和S 都是自反关系; C ．当R 和S 都是等价关系; D ．当R 和S 都是传递关系11.设R 是A 上的二元关系,且R ·R ⊆R,可以肯定R 应是( D ) A ．对称关系; B ．全序关系; C ．自反关系; D ．传递关系第二部分 非选择题二、填空题1．设论域是{a,b,c}，则(∀x)S(x)等价于命题公式 S(a)∧S(b)∧S(c) ；(x ∃)S(x)等价于命题公式 S(a)∨S(b) ∨S(c) 。

离散数学试题及答案一、选择题1. 设A、B、C为三个集合，下列哪个式子是成立的？A) \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\)B) \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\)C) \(A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup (A \cup C)\)答案：B2. 对于一个有n个元素的集合S，S的幂集中包含多少个元素？A) \(n\)B) \(2^n\)C) \(2 \times n\)答案：B二、判断题1. 对于两个关系R和S，若S是自反的，则R ∩ S也是自反的。

答案：错误2. 若一个关系R是反对称的，则R一定是反自反的。

答案：正确三、填空题1. 有一个集合A，其中包含元素1、2、3、4和5，求集合A的幂集的大小。

答案：322. 设a和b是实数，若a \(\neq\) b，则a和b之间的关系是\(\__\_\)关系。

答案：不等四、解答题1. 证明：如果关系R是自反且传递的，则R一定是反自反的。

解答：假设关系R是自反的且传递的，即对于集合A中的任意元素x，都有(x, x) ∈ R，并且当(x, y) ∈ R和(y, z) ∈ R时，(x, z) ∈ R。

反证法：假设R不是反自反的，即存在一个元素a∈A，使得(a, a) ∉ R。

由于R是自反的，所以(a, a) ∈ R，与假设矛盾。

因此，R一定是反自反的。

答案完整证明了该结论。

2. 已知集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，求集合A和B的笛卡尔积。

解答：集合A和B的笛卡尔积定义为{(a, b) | a∈A，b∈B}。

所以，集合A和B的笛卡尔积为{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4)}。

离散数学2^m*n一、选择题（2*10）1．令P：今天下雨了，Q：我没带伞，则命题“虽然今天下雨了，但是我没带伞”可符号化为（）。

（A）P→⌝Q （B）P∨⌝Q（C）P∧Q （D）P∧⌝Q2．下列命题公式为永真蕴含式的是（）。

（A）Q→（P∧Q）（B）P→（P∧Q）（C）（P∧Q）→P （D）（P∨Q）→Q3、命题“存在一些人是大学生”的否定是(A)，而命题“所有的人都是要死的”的否定是（）。

（A）所有人都不是大学生，有些人不会死（B）所有人不都是大学生，所有人都不会死（C）存在一些人不是大学生，有些人不会死（D）所有人都不是大学生，所有人都不会死4、永真式的否定是（）。

（A）永真式（B）永假式（C）可满足式（D）以上均有可能5、以下选项中正确的是（）。

（A）0= Ø（B）0 ⊆Ø（C）0∈Ø（D）0∉Ø6、以下哪个不是集合A上的等价关系的性质？（）（A）自反性（B）有限性（C）对称性（D）传递性7、集合A={1,2,…,10}上的关系R={<x,y>|x+y=10,x,y∈A}，则R的性质为（）。

（A）自反的（B）对称的（C）传递的，对称的（D）传递的8．设D=<V, E>为有向图，V={a, b, c, d, e, f}, E={<a, b>, <b, c>, <a, d>, <d, e>, <f, e>}是（）。

（A）强连通图（B）单向连通图（C）弱连通图（D）不连通图9、具有6个顶点，12条边的连通简单平面图中，每个面都是由（）条边围成？（A）2（B）4 （C）3（D）510．连通图G是一棵树，当且仅当G中（）。

（A）有些边不是割边（B）每条边都是割边（C）无割边集（D）每条边都不是割边二、填空题（2*10）1、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是________。

离散数学试题与答案试卷一一、填空 20% （每小题2分）1．设 }7|{)},5()(|{<∈=<∈=+x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶数） 则 =⋃B A 。

2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 。

3．设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则 )()))(((S R P R Q P ⌝∨→⌝∧→∨⌝的真值= 。

4．公式P R S R P ⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为。

5．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ∀→∃ 在I 下真值为。

6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为则 R 2 = 。

7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为则 R= 。

8．图的补图为 。

9．设A={a ，b ，c ，d} ，A 上二元运算如下：* a b c dA BCa b cda b c db c d ac d a bd a b c那么代数系统<A，*>的幺元是，有逆元的元素为，它们的逆元分别为。

10．下图所示的偏序集中，是格的为。

二、选择20% （每小题2分）1、下列是真命题的有（）A．}}{{}{aa⊆；B．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ；C．}},{{ΦΦ∈Φ；D．}}{{}{Φ∈Φ。

2、下列集合中相等的有（）A．{4，3}Φ⋃；B．{Φ，3，4}；C．{4，Φ，3，3}；D．{3，4}。

3、设A={1，2，3}，则A上的二元关系有（）个。

A．23 ；B．32 ；C．332⨯；D．223⨯。

4、设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（）A．若R，S 是自反的，则SR 是自反的；B．若R，S 是反自反的，则SR 是反自反的；C．若R，S 是对称的，则SR 是对称的；D．若R，S 是传递的，则SR 是传递的。

5、设A={1，2，3，4}，P（A）（A的幂集）上规定二元系如下|}||(|)(,|,{tsApt st sR=∧∈><=则P（A）/ R=（）A．A ；B．P(A) ；C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；D．{{Φ}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}}6、设A={Φ，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“⊆”的哈斯图为（）7、下列函数是双射的为（）A．f : I→E , f (x) = 2x ；B．f : N→N⨯N, f (n) = <n , n+1> ；C．f : R→I , f (x) = [x] ；D．f :I→N, f (x) = | x | 。

自考离散数学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，下列哪个符号表示“属于”关系？A. ∈B. ∉C. ⊆D. ⊂答案：A2. 命题逻辑中，下列哪个表达式表示“非”操作？A. ∧B. ∨C. ¬D. →答案：C3. 在下列哪个图论的术语中，表示图中任意两个顶点都相连？A. 无向图B. 有向图C. 完全图D. 二分图答案：C4. 布尔代数中，下列哪个操作是“或”？A. ∧C. ¬D. →答案：B5. 以下哪个是等价关系的属性？A. 自反性B. 对称性C. 反对称性D. 传递性答案：A6. 有限自动机中，状态可以被分为哪两种类型？A. 初始状态和终止状态B. 接受状态和拒绝状态C. 确定状态和非确定状态D. 静态状态和动态状态答案：B7. 在关系数据库中，下列哪个操作用于删除表中的行？A. INSERTB. DELETEC. UPDATED. SELECT答案：B8. 以下哪个是谓词逻辑中的量词？B. ∃C. ∧D. ∨答案：A9. 在命题逻辑中，德摩根定律描述了哪些逻辑运算的对偶性？A. ∧ 和∨B. ¬和→C. ¬和↔D. → 和↔答案：A10. 树的深度优先搜索（DFS）算法通常使用哪种数据结构来实现？A. 队列B. 栈C. 链表D. 哈希表答案：B二、填空题（每题3分，共30分）11. 在集合{1, 2, 3, 4, 5}中，子集的总数是_________。

答案：3212. 如果命题P为真，则命题P → Q的真值表中，Q的值必须为_________。

答案：真13. 在有向图中，一个顶点的入度是指_________。

答案：指向该顶点的边的数量14. 一个关系R(A, B, C)中，如果对于任意两个元组，当它们在属性A上的值相等时，它们在属性B和C上的值也相等，则称R具有_________。

答案：候选键15. 在布尔代数中，表达式(A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬B)的结果是_________。

离散数学试题总汇及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在集合{1,2,3}和{3,4,5}的笛卡尔积中，元素(2,4)是否存在？A. 存在B. 不存在C. 无法确定D. 以上都不对2. 函数f: A→B是单射的，当且仅当对于任意的a1, a2∈A，若f(a1)=f(a2)，则a1=a2。

A. 正确B. 错误C. 无法确定D. 以上都不对3. 以下哪个命题是真命题？A. 所有的狗都会游泳。

B. 有些狗不会游泳。

C. 所有的狗都不会游泳。

D. 以上都不是真命题。

4. 如果p蕴含q为假，那么p和q的真值可以是？A. p为真，q为假B. p为假，q为真C. p为真，q为真D. p为假，q为假5. 以下哪个图是连通图？A. 一个孤立点B. 两个不相连的点C. 一个包含三个点且每对点都相连的图D. 以上都不是连通图6. 在有向图中，如果存在从顶点u到顶点v的路径，那么称v是u的后继顶点。

A. 正确B. 错误C. 无法确定D. 以上都不对7. 以下哪个等价关系是集合{1,2,3}上的？A. {(1,1), (2,2), (3,3)}B. {(1,2), (2,1), (2,2), (3,3)}C. {(1,1), (2,3), (3,2), (3,3)}D. {(1,1), (2,2), (3,3), (1,3)}8. 以下哪个命题是假命题？A. 所有的鸟都有羽毛。

B. 有些鸟不会飞。

C. 所有的哺乳动物都是温血动物。

D. 以上都不是假命题。

9. 在图论中，一个图的生成树是包含图中所有顶点的最小连通子图。

A. 正确B. 错误C. 无法确定D. 以上都不对10. 如果命题p和q互为逆否命题，那么它们具有相同的真值。

A. 正确B. 错误C. 无法确定D. 以上都不对二、填空题（每题2分，共20分）1. 集合{1,2,3}和{3,4,5}的并集是________。

2. 函数f: A→B是满射的，当且仅当对于任意的b∈B，存在a∈A，使得f(a)=________。

离散数学试题及答案解析一、选择题1. 在集合{1,2,3,4}中，含有3个元素的子集有多少个？A. 4B. 8C. 16D. 32答案：B解析：含有3个元素的子集可以通过组合数公式C(n, k) = n! / [k!(n-k)!]来计算，其中n为集合的元素个数，k为子集中的元素个数。

在本题中，n=4，k=3，所以C(4, 3) = 4! / [3!(4-3)!] = 4。

2. 下列哪个命题是真命题？A. 所有偶数都是整数。

B. 所有整数都是偶数。

C. 所有整数都是奇数。

D. 所有奇数都是整数。

答案：A解析：偶数是指能被2整除的整数，因此所有偶数都是整数，选项A是真命题。

选项B、C和D都是错误的，因为并非所有整数都是偶数或奇数。

二、填空题1. 逻辑运算符“非”（NOT）的真值表是：当输入为真时，输出为______；当输入为假时，输出为真。

答案：假解析：逻辑运算符“非”（NOT）是一元运算符，它将输入的真值取反。

如果输入为真，则输出为假；如果输入为假，则输出为真。

2. 命题逻辑中，合取词“与”（AND）的真值表是：当两个命题都为真时，输出为真；否则输出为______。

答案：假解析：合取词“与”（AND）是二元运算符，只有当两个命题都为真时，输出才为真；如果其中一个或两个命题为假，则输出为假。

三、简答题1. 解释什么是等价关系，并给出一个例子。

答案：等价关系是定义在集合上的一个二元关系，它满足自反性、对称性和传递性。

例如，考虑整数集合上的“同余”关系。

对于任意整数a，b，如果a和b除以同一个正整数n后余数相同，则称a和b模n同余。

这个关系是自反的（a同余a），对称的（如果a同余b，则b同余a），并且是传递的（如果a同余b且b同余c，则a同余c）。

2. 什么是图的连通性？一个图是连通的需要满足什么条件？答案：图的连通性是指在无向图中，任意两个顶点之间都存在一条路径。

一个图是连通的需要满足以下条件：图中的任意两个顶点v和w，都可以通过图中的边相互到达。

《离散数学》复习题及答案《离散数学》试题及答案⼀、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪⼏个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式?x((A(x)→B(y，x))∧?z C(y，z))→D(x)中，⾃由变元是( )，约束变元是( )。

答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。

若是，给出命题的真值。

( )(1)北京是中华⼈民共和国的⾸都。

(2) 陕西师⼤是⼀座⼯⼚。

(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三⾓形有4条边。

(5) 前进！ (6) 给我⼀杯⽔吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是6、命题“存在⼀些⼈是⼤学⽣”的否定是( )，⽽命题“所有的⼈都是要死的”的否定是( )。

答：所有⼈都不是⼤学⽣，有些⼈不会死7、设P：我⽣病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。

(1) 只有在⽣病时，我才不去学校 (2) 若我⽣病，则我不去学校(3) 当且仅当我⽣病时，我才不去学校(4) 若我不⽣病，则我⼀定去学校答：（1）PP?P→（4）QQ→→（3）Q8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。

(1) ?x?y(x+y=0) (2) ?y?x(x+y=0)答：（1）对任⼀整数x存在整数 y满⾜x+y=0（2）存在整数y对任⼀整数x满⾜x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ?x?y (xy=y) ( ) (2) ?x?y(x+y=y) ( )(3) ?x?y(x+y=x) ( ) (4) ?x?y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式?x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( )(1) ⾃然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成⽴答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。

试题与答案一、填空10%（每小题2分）。

1、若P，Q，为二命题，P→Q真值为0当且仅当2、命题“对于任意给定的正实数，都存在比它大的实数”令F(x)：x为实数，L(x,y):x>y为3、谓为词合式则命题的逻辑。

谓词公式公式∀xP(x)→∃xQ(x)。

的前束范式4、将量词辖域中出现的的部分不变，这种方法称为换名规则。

和指导变元交换为另一变元符号，公式其余5、设x是谓词合式公式A的一个客体变元，A的论域为D，A(x)关于y是自由的，则被称为存在量词消去规则，记为ES。

二、选择25%（每小题2.5分））。

B、x+y>0；1、下列语句是命题的有（A、明年中秋节的晚上是晴天；C、xy>0当且仅当x和y都大于0；D、我正在说谎。

2、下列各命题中真值为真的命题有（）。

A、2+2=4当且仅当3是奇数；B、2+2=4当且仅当3不是奇数；C、2+2≠4当且仅当3是奇数；D、2+2≠4当且仅当3不是奇数；3、下列符号串是合式公式的有（）A、P⇔Q；B、P⇒P∨Q；C、(¬P∨Q)∧(P∨¬Q)；D、¬(P↔Q)。

4、下列等价式成立的有（）。

A、P→Q⇔¬Q→¬P；B、P∨(P∧R)⇔R；C、P∧(P→Q)⇔Q；5、若D、P→(Q→R)⇔(P∧Q)→R。

）。

A1,A2"An和B为wff，且A1∧A2∧"∧An⇒B则（A1∧A2∧"∧An为B的前件；B、称B为A、称A1,A2"An的有效结论C、当且仅当A1∧A2∧"∧An∧B⇔F；D、当且仅当A1∧A2∧"∧An∧¬B⇔F。

6、A，B为二合式公式，且A⇔B，则（A、A→B为重言式；C、A⇒B；B、A⇒B；D、A⇔B；****）。

E、A↔B为重言式。

）。

7、“人总是要死的”谓词公式表示为（（论域为全总个体域）M(x)：x是人；Mortal(x)：x是要死的。

一、填空题1设集合A，B，其中A＝{1,2,3}, B= {1，2｝, 则A — B＝｛3} ；ρ(A）—ρ(B)＝{3｝,{1,3}，｛2,3}，｛1，2,3｝｝.2n。

2。

设有限集合A，｜A｜= n，则｜ρ(A×A)｜= 23。

设集合A = {a, b}，B = ｛1, 2｝，则从A到B的所有映射是α1= ｛(a，1），（b,1)}，α2= ｛（a,2)，(b，2)},α3= {(a，1), （b,2)｝，α4= {(a，2），(b，1)｝，其中双射的是α3, α4 。

4. 已知命题公式G＝⌝（P→Q)∧R，则G的主析取范式是（P∧⌝Q∧R)5。

设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为12，分枝点数为3。

6设A、B为两个集合，A= {1,2,4}, B = {3，4｝, 则从A⋂B＝｛4} ; A⋃B＝｛1，2，3,4};A－B＝{1,2} .7.设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是自反性，对称性传递性。

8. 设命题公式G＝⌝(P→（Q∧R））,则使公式G为真的解释有（1, 0, 0), （1, 0，1），（1，1，0)9。

设集合A＝｛1,2，3，4｝，A上的关系R1 = ｛（1,4）,（2，3),(3,2）}, R2 = {（2，1）,（3,2），(4,3）｝，则R1•R2 ={(1,3)，（2，2)，(3,1)} ，R2•R1 = ｛（2，4)，（3,3)，（4，2）｝_R12 =｛（2，2),(3,3).10。

设有限集A, B,|A| = m，｜B｜= n，则｜|ρ（A⨯B)| = .11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x ｜-1≤x≤1, x∈R}, B = ｛x ｜0≤x 〈2，x∈R}，则A—B = -1〈=x〈0 , B-A = {x ｜ 1 〈x < 2，x∈R｝,A∩B =｛x ｜0≤x≤1, x∈R｝, 。

离散数学考试试题及答案离散数学考试试题及答案离散数学是计算机科学和数学中的一门重要学科，它研究的是离散的结构和对象。

离散数学的理论和方法在计算机科学、信息科学、通信工程等领域具有广泛的应用。

下面将为大家提供一些离散数学考试试题及答案，希望对大家的学习和复习有所帮助。

1. 集合论题目(1) 设A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，求A∪B的结果。

答案：A∪B={1,2,3,4,5,6,7}(2) 设A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，求A∩B的结果。

答案：A∩B={3,4,5}(3) 设A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，求A-B的结果。

答案：A-B={1,2}2. 图论题目(1) 给定一个无向图G，顶点集为V={A,B,C,D,E}，边集为E={(A,B),(A,C),(B,D),(C,D),(D,E)}，求该图的邻接矩阵。

答案：邻接矩阵为：A B C D EA 0 1 1 0 0B 1 0 0 1 0C 1 0 0 1 0D 0 1 1 0 1E 0 0 0 1 0(2) 给定一个有向图G，顶点集为V={A,B,C,D,E}，边集为E={(A,B),(B,C),(C,D),(D,E),(E,A)}，求该图的邻接表。

答案：邻接表为：A ->B ->C ->D ->E -> AB -> CC -> DD -> EE -> A3. 命题逻辑题目(1) 判断以下命题是否为永真式：(p∨q)∧(¬p∨r)∧(¬q∨¬r)。

答案：是永真式。

(2) 给定命题p：如果天晴，那么我去游泳；命题q：我没有去游泳。

请判断以下命题的真假：(¬p∨q)∧(p∨¬q)。

答案：是真命题。

4. 关系代数题目(1) 给定关系R(A,B,C)和S(B,C,D)，求R⋈S的结果。

《离散数学》考试题库及答案一、填空 20% （每小题2分）1．设 }7|{)},5()(|{<∈=<∈=+x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶数） 则 =⋃B A 。

2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 。

3．设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则)()))(((S R P R Q P ⌝∨→⌝∧→∨⌝的真值= 。

4．公式P R S R P ⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为 。

5．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ∀→∃ 在I 下真值为 。

6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为则 R 2 = 。

7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为则 R= 。

8．图的补图为 。

9．设A={a ，b ，c ，d} ，A 上二元运算如下：A BC* a b c d a b c da b c d b c d a c d a b d a b c那么代数系统<A ，*>的幺元是 ，有逆元的元素为 ，它们的逆元分别为 。

10．下图所示的偏序集中，是格的为 。

二、选择 20% （每小题 2分）1、下列是真命题的有（ ） A ． }}{{}{a a ⊆；B ．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ；C ． }},{{ΦΦ∈Φ；D ． }}{{}{Φ∈Φ。

2、下列集合中相等的有（ ）A ．{4，3}Φ⋃；B ．{Φ，3，4}；C ．{4，Φ，3，3}；D ． {3，4}。

3、设A={1，2，3}，则A 上的二元关系有（ ）个。

A ． 23 ； B ． 32 ； C ． 332⨯； D ． 223⨯。

4、设R ，S 是集合A 上的关系，则下列说法正确的是（ ） A ．若R ，S 是自反的， 则S R 是自反的； B ．若R ，S 是反自反的， 则S R 是反自反的； C ．若R ，S 是对称的， 则S R 是对称的； D ．若R ，S 是传递的， 则S R 是传递的。

离散数学考试试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 在离散数学中，以下哪个概念不是布尔代数的基本元素？A. 逻辑与B. 逻辑或C. 逻辑非D. 逻辑异或答案：D2. 下列哪个命题不是命题逻辑中的命题？A. 所有学生都是勤奋的B. 有些学生是勤奋的C. 学生是勤奋的D. 勤奋的学生答案：D3. 在集合论中，以下哪个符号表示集合的并集？A. ∩B. ∪C. ⊆D. ⊂答案：B4. 以下哪个图不是无向图？A. 简单图B. 完全图C. 有向图D. 多重图答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果一个命题的逆否命题为真，则原命题的________为真。

答案：逆命题2. 在图论中，如果一个图的任意两个顶点都由一条边连接，则称这个图为________图。

答案：完全3. 一个集合的幂集是指包含该集合的所有________的集合。

答案：子集4. 如果一个函数的定义域和值域都是有限集合，那么这个函数被称为________函数。

答案：有限三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述什么是图的欧拉路径。

答案：欧拉路径是一条通过图中每条边恰好一次的路径。

2. 解释什么是二元关系，并给出一个例子。

答案：二元关系是指定义在两个集合之间的关系，它将第一个集合中的元素与第二个集合中的元素联系起来。

例如，小于关系就是一个二元关系。

3. 请说明什么是递归函数，并给出一个简单的例子。

答案：递归函数是一种通过自身定义来计算函数值的函数。

例如，阶乘函数就是一个递归函数，定义为：n! = n * (n-1)!，其中n! = 1当n=0时。

四、计算题（每题10分，共30分）1. 计算以下逻辑表达式：(P ∧ Q) ∨ ¬R答案：首先计算P ∧ Q，然后计算¬R，最后计算两者的逻辑或。

2. 给定集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A ∪ B。

答案：A ∪ B = {1, 2, 3, 4}3. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(5)。

离散数学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 集合A={x|x<5}，集合B={x|x>2}，则A∩B为：A. {x|x>2}B. {x|x<2}C. {x|2<x<5}D. {x|x≥5}2. 命题p："x>0"是命题q："x^2>0"的：A. 必要条件B. 充分条件C. 充分必要条件D. 无关条件3. 函数f(x)=x^2+3x-2的值域是：A. (-∞, -1]B. [1, +∞)C. (-∞, 4]D. (-∞, 2]4. 逻辑表达式((P∨Q)∧(¬P))的真值表中，当P为真时，表达式的值为：A. 真B. 假C. 不确定D. 无法判断5. 已知二元关系R定义在集合A上，若对于任意a,b,c∈A，若aRb且bRc，则aRc，那么R是：A. 自反的B. 对称的C. 传递的D. 完全的6. 有限状态自动机（DFA）与确定有限状态自动机（DFA）的区别在于：A. DFA可以识别非正则语言B. DFA可以有多个起始状态C. DFA可以有多个接受状态D. DFA可以有多个状态7. 命题逻辑中，若命题P的否定为P'，则P和P'的关系是：A. 互为对立B. 互为矛盾C. 互为等价D. 互为同一律8. 集合{1,2,3}的子集个数是：A. 3B. 4C. 7D. 89. 一个命题逻辑公式的真值表中，若存在一行结果为假，则该公式：A. 总是假B. 有时真，有时假C. 总是真D. 无法判断10. 布尔代数中，逻辑与（AND）操作的特点是：A. 有0则0B. 有1则1C. 非0即1D. 非1即0二、简答题（每题5分，共10分）1. 简述集合论中的幂集概念。

2. 描述图的邻接矩阵表示方法。

三、计算题（每题10分，共30分）1. 证明函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1在R上是单调递增的。

离散数学试题带答案一、选择题1、G 是一棵根树，则（ ）。

A 、G 一定是连通的B 、G 一定是强连通的C 、G 只有一个顶点的出度为0D 、G 只有一个顶点的入度为12、下面哪个语句不是命题（ ）。

A 、中国将成功举办2008年奥运会B 、一亿年前地球发生了大灾难C 、我说的不是真话D 、哈密顿图是连通的3、设R 是实数集合，在上定义二元运算*：a ，b ∈R ，a*b=a+b-ab ，则下面的论断中正确的是（ ）。

A 、0是*的零元B 、1是*的幺元C 、0是*的幺元D 、*没有等幂元4、下面说法中正确的是（ ）。

A 、所有可数集合都是等势的B 、任何集合都有与其等势的真子集C 、有些无限集合没有可数子集D 、有理数集合是不可数集合5、无向完全图K 3的不同构的生成子图有（ ）个。

A. 6B.5C. 4D. 36、下面哪一种图不一定是无向树?A 、无回路的连通图B 、有n 个顶点n-1条边的连通图C 、每对顶点间都有通路的图D 、连通但删去一条边则不连通的图7、设集合A ＝{{1,2,3},{4,5},{6,7,8}}，则下列各式为真的是( )。

A.1∈AB.{{4,5}}⊂AC. {1,2,3}⊆AD.∅∈A8、在有界格中，若一个元素有补元，则补元( )。

A 、必惟一B 、不惟一C 、不一定惟一D 、可能惟一9、设集合A={1,2,3,…,10}，下面定义的哪种运算关于集合A 是不封闭的？（ ）A 、 x*y=max{x,y}B 、 x*y=min{x,y}C 、 x*y=GCD(x,y)，即x,y 的最大公约数D 、 x*y=LCM(x,y)，即x,y 的最小公倍数10、集合X 中的关系R ，其矩阵是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111011101M ，则关于R 的论述中正确的是（ ）。

A 、R 是对称的B 、R 是反对称的C 、R 是反自反的D 、R 中有7个元素11. 下列各组数中，哪个可以构成无向图的度数列（ ）。

离散数学试题及答案解析一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则A∩B等于：A. {1,2,3}B. {2,3}C. {1,4}D. {3,4}答案：B2. 以下哪个命题是真命题？A. 所有天鹅都是白色的。

B. 有些天鹅不是白色的。

C. 所有天鹅都不是白色的。

D. 没有天鹅是白色的。

答案：B3. 函数f: A→B的定义域是A，值域是B，那么f是：A. 单射B. 满射C. 双射D. 既不是单射也不是满射答案：D4. 逻辑表达式(p∧q)→r的逆否命题是：A. ¬r→¬(p∧q)B. ¬r→¬p∨¬qC. r→(p∧q)D. ¬r∧¬p∨¬q答案：B5. 有限集合A={a, b, c}的子集个数为：A. 3B. 4C. 7D. 8答案：D二、填空题（每题3分，共15分）1. 如果一个关系R在集合A上是自反的，那么对于A中的每一个元素a，都有___________。

答案：(a, a)∈R2. 命题逻辑中，合取（AND）的逻辑运算符用___________表示。

答案：∧3. 在图论中，一个连通图是指图中任意两个顶点之间都存在___________。

答案：路径4. 集合{1, 2, 3}的幂集包含___________个元素。

答案：85. 如果一个函数f是单射，那么对于任意的x1, x2∈A，如果f(x1)=f(x2)，则x1___________x2。

答案：=三、解答题（每题10分，共20分）1. 证明：若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的充分条件。

证明：假设p成立，由于p是q的充分条件，所以q成立。

又因为q是r的充分条件，所以r成立。

因此，p成立可以推出r成立，即p是r的充分条件。

2. 给定一个有向图，其中包含顶点A、B、C、D，边为(A, B)，(B, C)，(C, D)，(D, A)，(A, C)。

离散数学经典测试题及答案第一题: 命题逻辑与真值表根据下列命题符号表示的逻辑表达式，填写真值表。

1. \(p \land q\)2. \((\lnot p \lor q) \land (p \implies q)\)答案1. \(p \land q\)2. \((\lnot p \lor q) \land (p \implies q)\)第二题: 数学归纳法证明使用数学归纳法证明下列等式对于所有\(n \geq 1\)成立。

\(\sum_{i=1}^{n}(2i-1) = n^2\)证明1. 基础步骤：当\(n=1\)时，左边等式为\(1\), 右边等式为\(1^2 = 1\), 成立。

2. 归纳假设：假设当\(n=k\)时等式成立，即\(\sum_{i=1}^{k}(2i-1) = k^2\)。

3. 归纳步骤：考虑\(n=k+1\)的情况，- 左边等式为\(\sum_{i=1}^{k+1}(2i-1) = \sum_{i=1}^{k}(2i-1) + (2(k+1)-1)\)- 右边等式为\((k+1)^2 = k^2 + 2k + 1\)现在我们可以利用归纳假设，将左边等式展开：\(\sum_{i=1}^{k}(2i-1) + (2(k+1)-1) = k^2 + 2k + 1\)然后，化简左边的部分可以得到：\(k^2 + (2k - 1) + (2(k+1) - 1) = k^2 + 2k + 1\)这个等式成立，证明完毕。

第三题: 集合论给定两个集合A和B，证明下列恒等式成立：\(A \cup (B - A) = A \cup B\)证明我们可以使用集合论的定义来证明这个恒等式。

1. 证明\(A \cup (B - A) \subseteq A \cup B\)- 对于任意\(x \in A \cup (B - A)\)，有两种情况：- 如果\(x \in A\)，则\(x \in A \cup B\)，因为\(A \subseteq A \cupB\)。

离散数学考试试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，以下哪个选项表示“属于”关系？A. ⊆B. ⊂C. ∈D. ⊇答案：C2. 以下哪个命题是真命题？A. p ∧ ¬pB. p ∨ ¬pC. p → ¬pD. ¬(p → q) → p答案：B3. 以下哪个选项是命题逻辑中的德摩根定律？A. ¬(p ∨ q) = ¬p ∧ ¬qB. ¬(p ∧ q) = ¬p ∨ ¬qC. ¬(p → q) = p ∧ ¬qD. ¬(p ∨ q) = ¬p ∨ ¬q答案：A4. 以下哪个选项是命题逻辑中的蕴含等价？A. p → q ≡ ¬p ∨ qB. p → q ≡ ¬q → ¬pC. p → q ≡ p ∨ ¬qD. p → q ≡ ¬p ∧ q答案：A5. 以下哪个选项是关系的性质？A. 反身性B. 对称性C. 传递性D. 所有选项都是答案：D6. 以下哪个选项是图论中的有向图？A. 无向图中的边没有方向B. 有向图中的边有方向C. 混合图中的边既有方向也有无方向D. 所有选项都是答案：B7. 在图论中，以下哪个选项是树的性质？A. 树是无环的B. 树是连通的C. 树是无向图D. 所有选项都是答案：D8. 以下哪个选项是布尔代数的基本运算？A. 与（AND）B. 或（OR）C. 非（NOT）D. 所有选项都是答案：D9. 以下哪个选项是组合数学中的排列？A. 从n个不同元素中取出m个元素的组合B. 从n个不同元素中取出m个元素的排列C. 从n个相同元素中取出m个元素的组合D. 从n个相同元素中取出m个元素的排列答案：B10. 以下哪个选项是集合论中的幂集？A. 一个集合的所有子集的集合B. 一个集合的所有真子集的集合C. 一个集合的所有超集的集合D. 一个集合的所有子集的个数答案：A二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述命题逻辑中的等价命题是什么？答案：等价命题是指两个命题在所有可能的真值赋值下都具有相同真值的命题。

一、填空题1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) -ρ(B)＝__________________________ .2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________.3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是_______________________________________, 其中双射的是__________________________.4. 已知命题公式G＝⌝(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________.6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A⋂B＝_________________________; A⋃B＝_________________________;A－B＝_____________________ .7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________.8. 设命题公式G＝⌝(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________.9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R2 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则R1•R2 = ________________________,R2•R1 =____________________________,R12 =________________________.10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A⨯B)| = _____________________________.11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ ,A∩B = __________________________ , .13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________.14. 设一阶逻辑公式G = ∀xP(x)→∃xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____.16. 设谓词的定义域为{a, b},将表达式∀xR(x)→∃xS(x)中量词消除，写成与之对应的命题公式是__________________________________________________________________________.17. 设集合A＝{1, 2, 3, 4}，A上的二元关系R＝{(1,1),(1,2),(2,3)}, S＝{(1,3),(2,3),(3,2)}。