弹性力学复习提纲
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弹性力学期末复习提纲_854903739
《弹性力学》期末复习提纲第七章、平面问题1. 会正确区分是否是平面问题，如果是，具体属于哪类平面问题（平面应力、平面应变、广义平面应力、广义平面应变）？2. 明确各类平面问题中的各种非零变量，能够正确写出平面问题的平衡方程、几何方程、本构方程（注意平面应力和平面应变问题的区别，应力→应变、应变→应力）和边界条件。
极坐标下的方程不用专门记忆。
3. 知道根据应变协调条件，严格的平面应力问题必须满足线性条件：ax by c =++Θ或z Ax By C ε=++。
4. 知道根据几何方程，严格的平面应力问题必须满足变形后是平截面的条件：()w Ax By C z =++。
5. 会用位移法求解简单的平面问题，特别是轴对称问题和轴反对称问题（比如7-19题）。
6. 会用Airy 应力函数求解平面问题（直角坐标系、极坐标系，轴对称、非轴对称）。
要求能根据Airy 应力函数的基本性质来构造应力函数，并进一步通过双调和方程得到应力函数的通解，最后由边界条件确定其中的待定常数。
附录B 、泛函极值与变分法（不会专门考，但要求会用）1. 知道泛函和容许自变函数的概念。
2. 会正确计算给定泛函的变分。
3. 会求泛函的无条件极值问题。
4. 会求泛函的条件极值问题。
第十章、能量原理1. 明确“真实状态”、“变形可能状态”和“静力可能状态”的相关概念。
2. 理解“可能功”、“变形功”和“虚功”的概念。
对具体问题能正确写出其广义力和广义位移。
3.明确系统的总势能（应变能+外力势）和总余能（应变余能+余势）的物理意义、相互关系和具体的表达式。
对于具体问题，能够正确写出系统的总势能和总余能。
（注意：总势能中的基本未知量为位移或应变，总余能中的基本未知量为力或应力）4.明确“可能功原理”、“功的互等定理”、“虚功原理”、“极小势能原理”、“最小势能原理”、“余虚功原理”、“极小余能原理”和“最小余能原理”的：(1)表达式(2)物理意义（比如正定理、逆定理）(3)适用范围(4)各种能量原理的相互关系5.会使用“功的互等定理”解题（关键在于通过易求的状态得到难解的状态）6.会根据“虚功原理”、“极小势能原理”和“最小势能原理”，由变分法求得具体问题的欧拉方程和自然边界条件。
弹性力学复习第一～四章
平面应力物理方程也可表示为：
E x ( x y ) 2 1
E y ( y x ) 2 1
xy
E xy 2(1 )
二、平面应变问题的基本方程
平面应变与平面应力问题的平衡微分方程和几何 方程完全相同 。 作代换
E E , 2 1 1
fx
在x＝±l 的次要边界上，列出三个主矢量和主 矩对等的积分边界条件：
圣维南原理推广
如果物体一小部分边界上的面力是一个 平衡力系，（主矢量为0，对于同一点的主 矩也为0），那么，这个面力就只会使近处 产生显著的应力，而远处的应力可以不计。
例题 写出图所示悬臂梁的应力边界条件（用直角坐标形式）
( y )
连续性,小变形,均匀性
x
u v u v ; y ; xy x y y x
运用基本假定: 物理方程
连续性,小变形,均匀性
1 x x y E
1 y y x E
xy
1 xy G
运用基本假定: 连续性,均匀性,完全弹性,各向同性,小变形
三 弹性力学的基本假定
（1）连续性假设 （2）线弹性假设 （3）均匀性假设 （4）各向同性假设 符合以上四个假定的物体称为理想弹性体。 （5）小变形假设 本课程所讨论的问题，都是理想弹性体的小变 形问题。
第二章 平面问题的基本理论
§2-1 平面应力问题与平面应变问题 平面应力问题，就是只有平面应力分量 （σx ,σy ,τxy）存在，且仅为x、y的函 数的弹性力学问题。 平面应变问题，就是只有平面应变分量 （εx ，εy ，γxy）存在，且仅为x、y的 函数的弹性力学问题。 总结：平面应力和平面应变问题是性质不 同的两类问题，但其共同特点是应力分量 和应变分量都只是x 、y的函数，与z坐标无 关，故统称为平面问题。
弹性力学复习提纲课件
复杂的问题需要进行特殊处理。
边界元法
边界元法是一种只对问题 的边界进行离散化处理的 方法。
边界元法的优点在于其计 算量较小，适用于处理复 杂形状和边界条件的问题。
ABCD
边界元法通过将偏微分方 程转化为边界上的积分方 程，然后利用数值方法进 行求解。
边界元法的缺点在于其对 于内部应力分布的计算精 度较低。
多尺度弹性力学研究还关注多场耦合效应，即在温度、磁场、电场等多
种外部场的作用下，材料的弹性行为和力学性能的变化规律。
非线性弹性力学研究
非线性行为
非线性弹性力学研究关注材料在 受力作用下的非线性响应和失稳 现象，如屈曲、断裂、塑性变形等。
高强度材料
非线性弹性力学研究对于高强度 材料的性能评估和设计优化具有 重要意义，如复合装甲、航空航 天材料等。
02
应变张量
描述应变在三维空间中的分布，包括正应变和剪应变。
03
应变协调方程
确保物体在变形过程中保持连续性和协调性。
弹性力学的基本方程
平衡方程
描述物体在力的作用下保持平衡的方程。
几何方程
描述物体在变形过程中形状变化的方程。
物理方程
描述材料在受力时应力与应变关系的方程。
02
本构方程
描述材料在受力时应力与应变之间关系的方 程，通常由实验确定。
03
基于弹性力学原理，开发新型材料并优化现有材料的性能，以
满足各种工程需求。
谢谢聆听
数值模拟与实验验
证
非线性弹性力学研究需要结合数 值模拟和实验验证，以深入理解 材料的非线性行为和失稳机制， 为工程应用提供理论支持和实践 指导。
弹性力学与其他学科的交叉研 究
05
弹性力学与流体力学的交叉研究
边界元法
边界元法是一种只对问题 的边界进行离散化处理的 方法。
边界元法的优点在于其计 算量较小，适用于处理复 杂形状和边界条件的问题。
ABCD
边界元法通过将偏微分方 程转化为边界上的积分方 程，然后利用数值方法进 行求解。
边界元法的缺点在于其对 于内部应力分布的计算精 度较低。
多尺度弹性力学研究还关注多场耦合效应，即在温度、磁场、电场等多
种外部场的作用下，材料的弹性行为和力学性能的变化规律。
非线性弹性力学研究
非线性行为
非线性弹性力学研究关注材料在 受力作用下的非线性响应和失稳 现象，如屈曲、断裂、塑性变形等。
高强度材料
非线性弹性力学研究对于高强度 材料的性能评估和设计优化具有 重要意义，如复合装甲、航空航 天材料等。
02
应变张量
描述应变在三维空间中的分布，包括正应变和剪应变。
03
应变协调方程
确保物体在变形过程中保持连续性和协调性。
弹性力学的基本方程
平衡方程
描述物体在力的作用下保持平衡的方程。
几何方程
描述物体在变形过程中形状变化的方程。
物理方程
描述材料在受力时应力与应变关系的方程。
02
本构方程
描述材料在受力时应力与应变之间关系的方 程，通常由实验确定。
03
基于弹性力学原理，开发新型材料并优化现有材料的性能，以
满足各种工程需求。
谢谢聆听
数值模拟与实验验
证
非线性弹性力学研究需要结合数 值模拟和实验验证，以深入理解 材料的非线性行为和失稳机制， 为工程应用提供理论支持和实践 指导。
弹性力学与其他学科的交叉研 究
05
弹性力学与流体力学的交叉研究
有限元复习提纲
复习提纲1.弹性力学问题的基本假设；a.连续性假设根据这一假设，物体的所有物理量，例如位移、应变和应力等均成为物体所占空间的连续函数。
b.均匀性假设假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的，物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变。
在处理问题时，可以取出物体的任意一个小部分讨论。
c.各向同性假设假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，物体的弹性常数不随坐标方向变化。
像木材、竹子以及纤维增强材料等，属于各向异性材料，它们是复合材料力学研究的对象。
d.完全弹性假设应力和应变之间存在一一对应关系，与时间及变形历史无关。
满足胡克定理。
e.小变形假设在弹性体的平衡等问题讨论时，不考虑因变形所引起的几何尺寸变化，使用物体变形前的几何尺寸来替代变形后的尺寸。
采用这一假设，在基本方程中，略去位移、应变和应力分量的高阶小量，使基本方程成为线性的偏微分方程组。
2.有限元法的基本思想；有限元法的基本思想是：把连续的几何结构离散成有限个单元，并在每一个单元中设定有限个节点，从而将连续体看作仅在节点处相连接的一组单元的集合体，同时选定场函数的节点值作为基本未知量，并在每一单元中假设一个近似插值函数以表示单元中场函数的分布规律，再建立用于求解节点未知量的有限元方程组，从而将一个连续域中的无限自由度问题转化为离散域中的有限自由度问题，求解得到节点值后就可以通过设定的插值函数确定单元上以至整个集合体上的场函数。
3.有限元分析的基本步骤；一般完整的有限元程序包含前置处理、解题程序和后置处理。
前置处理：（1）建立有限元素模型；（2）材料特性；（3）元素切割的产生；（4）边界条件；（5）负载条件。
解题程序:（1）元素刚度矩阵计算；（2）系统外力向量的组合；（3）线性代数方程的求解；（4）通过资料反算法求应力、应变、反作用等。
后置处理：将解题部分所得的解答如变位、应力、反力等资料，通过图形接口以各种不同表示方式把等位移图、等应力图等显示出来。
弹性力学期中复习提纲_552107552
《弹性力学》期中复习提纲一、张量分析（不专门出题考，但要求会基本的运算） 1. 张量的基本记法、求和约定、自由指标、亚指标、换标 2. Kronecker ij δ符号的换标作用，3=ii δ3. 置换符号ijk e 的定义（下标是两两反对称的，指标轮流换位等）、矢量叉积运算的分量表示、δe -恒等式：ks jt kt js ist ijk e e δδδδ-=4. 正交单位基矢量的坐标转换关系i j i j e e '='β、坐标转换系数的互逆关系ij k j k i δββ=''5. 张量的坐标转换运算：j j i i a a '='β、m n n j m i ij T T ''='ββ（写成矩阵形式时要注意坐标转换矩阵中sin 的符号问题） 6. 张量的代数运算和商判则7. 特殊张量及其基本性质（比如加法分解、球偏分解、对称张量和反对称张量的双点积为零张量）8. 会求实对称二阶张量的主分量和主方向，知道三个不变量的概念（不用死记） 9. 掌握笛卡尔坐标系中的张量场运算和性质（梯度、散度、旋度、Laplace 算子、高斯定理）10. 了解一般正交曲线坐标系中张量分析的基本概念（拉梅系数、对基矢量的导数、场论），但不要求做具体计算。
二、绪论1. 什么是弹性固体？2. 弹性力学中的载荷分类3. 弹性力学的基本假设：主要：连续性假设（知道这是统计平均意义上的抽象，要求弹性力学中的点是宏观充分小、微观充分大的）、弹性假设辅助性：均匀性、各向同性、小变形、无初应力（无后两项，解的唯一性定律就不成立）三、应力理论1. 知道应力的定义、真实（柯西）应力和工程（名义）应力的区别2. 理解“一点的应力状态”：对“点”的要求应力分量正方向的规定（笛卡尔坐标系和圆柱坐标系）3. 熟练掌握斜截面应力公式()ν=⋅σνσ，能正确写出应力边界条件j i ij p νσ=，会计算斜面的应力矢量、斜面正应力矢量和斜面剪应力矢量的大小（()ννσ==σ=n ij i j σσνν、τ=） 4. 会对应力分量进行坐标转换（注意坐标转换矩阵的表达式） 5. 会计算应力主方向和主应力6. 了解八面体正应力、剪应力。
弹性力学复习总结提纲
2011土木工程专业《弹性力学》复习提纲一、选择题1、弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，还必须结合（）求解这些微分方程，以求得具体问题的应力、应变、位移。
A．相容方程B．近似方法C．边界条件D．附加假定2、根据圣维南原理，作用在物体一小部分边界上的力系可以用下列（）的力系代替，则仅在近处应力分布有改变，而在远处所受的影响可以不计。
A．静力上等效B．几何上等效C．平衡D．任意3、弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程具有下列关系（）。
A．平衡方程、几何方程相同，物理方程不同B．平衡方程、几何方程、物理方程完全相同C．平衡方程、物理方程相同，几何方程不同4、不计体力，在极坐标中按应力求解平面问题时，应力函数必须满足（）①区域内的相容方程；②边界上的应力边界条件；③满足变分方程；④如果为多连体，考虑多连体中的位移单值条件。
A. ①②④B. ②③④C. ①②③D. ①②③④5、如下图所示三角形薄板，按三结点三角形单元划分后，对于与局部编码ijm对应的整体编码，以下叙述正确的是（）。
①I单元的整体编码为162 ②II单元的整体编码为426③II单元的整体编码为246 ④III单元的整体编码为243⑤IV单元的整体编码为564A. ①③B. ②④C. ①④D. ③⑤二、判断题（正确的打√，错误的打×）1、满足平衡微分方程又满足应力边界条件的一组应力分量必为正确解（设该问题的边界条件全部为应力边界条件）。
( )2、本构方程直接给出了位移和应力之间的关系。
（）3、理想弹性体中主应力方向和主应变方向相重合。
（）4、应力张量的三个主应力与坐标系无关。
（）5、弹性力学规定，当微分面的外法向与坐标轴正方向一致时，其上的应力分量指向坐标轴的正方向为正。
（）6、瑞利-李兹法一般用于求解弹性力学问题的近似解。
（）三、填空题1、在弹性力学变分解法中，位移变分方程等价于（方程和边界条件），而应力变分方程等价于（方程和边界条件）2、弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：____________，____________。
弹性力学复习资料
弹性力学复习资料一． 简答题（24分）1. （8分)弹性力学中引用了哪五个基本假定？五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途?答:弹性力学中主要引用的五个基本假定及各假定用途为：（答出标注的内容即可给满分)1）连续性假定:引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可看成是连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
2）完全弹性假定：这一假定包含应力与应变成正比的含义，亦即二者呈线性关系,复合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。
3)均匀性假定：在该假定下,所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的.因此，反应这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E 和泊松比μ等）就不随位置坐标而变化.4)各向同性假定：各向同性是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的，也就是说，物体的弹性常数也不随方向变化。
5）小变形假定：研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变,而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。
同时，在研究物体的变形和位移时，可以将它们的二次幂或乘积略去不计,使得弹性力学的微分方程都简化为线性微分方程.2. （8分）弹性力学平面问题包括哪两类问题？分别对应哪类弹性体？两类平面问题各有哪些特征？答：弹性力学平面问题包括平面应力问题和平面应变问题两类，两类问题分别对应的弹性体和特征分别为：平面应力问题:所对应的弹性体主要为等厚薄板，其特征是:面力、体力的作用面平行于xy 平面,外力沿板厚均匀分布，只有平面应力分量x σ,y σ，xy τ存在，且仅为x ，y 的函数。
平面应变问题:所对应的弹性体主要为长截面柱体，其特征为：面力、体力的作用面平行于xy 平面，外力沿z 轴无变化,只有平面应变分量x ε,y ε，xy γ存在，且仅为x ，y 的函数。
3. （8分)常体力情况下，按应力求解平面问题可进一步简化为按应力函数Φ求解，应力函数Φ必须满足哪些条件？答：（1)相容方程：04=Φ∇（2）应力边界条件（假定全部为应力边界条件，σs s =)：()()()上在στστσs s f l m f m l y s xy y x s yx x =⎪⎩⎪⎨⎧=+=+（3）若为多连体，还须满足位移单值条件.一、简答题1．试写出弹性力学平面问题的基本方程,它们揭示的是那些物理量之间的相互关系？在应用这些方程时，应注意些什么问题？答:平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。
弹性力学期末考试复习
千里之行，始于足下。
弹性力学期末考试复习弹性力学是争辩物体在受力作用下的形变和应力的学科。
它在工程力学中有着重要的地位，对于理解材料的力学性能和结构的稳定性有着重要的意义。
弹性力学期末考试复习主要包括以下内容：1. 应力和应变弹性力学的基本概念是应力和应变。
应力是单位面积上的力，可以分为正应力和剪应力。
应变是物体在受力作用下的形变程度，可以分为线性应变和剪应变。
弹性力学通过应力和应变的关系来争辩材料的力学性能。
2. 弹性力学的假设弹性力学的争辩基于一些假设，如线弹性假设、小变形假设和均匀介质假设。
线弹性假设指材料的力学性能在肯定范围内是线性的，即应力和应变之间的关系是线性的。
小变形假设是指应变小到可以忽视不计。
均匀介质假设是指材料的性质在整个物体内是均匀的。
3. 单轴拉伸和挤压单轴拉伸和挤压是弹性力学的基本问题。
在单轴拉伸和挤压的问题中，通过应力和应变的关系来争辩材料的刚度和延展性。
其中，杨氏模量是衡量材料刚度的重要参数，可以通过材料的应力和应变来计算。
4. 弯曲弯曲是弹性力学中的一个重要问题。
在弯曲的问题中，争辩物体在受弯力作用下的形变和应力分布。
弹性力学的基本方程是弯曲方程，通过求解弯曲方程可以得到物体的外形和应力分布。
5. 圆柱壳的弹性力学第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
圆柱壳是弹性力学争辩的另一个重要问题。
圆柱壳是指直径较大、壁厚较薄的圆柱体，如水箱、气管等。
圆柱壳在受压力作用下的变形和应力分布是争辩的重要内容。
通过求解圆柱壳的弹性力学方程可以得到其外形和应力分布。
6. 稳定性分析稳定性分析是弹性力学争辩的另一个重要问题。
在稳定性分析中，争辩物体在受压力作用下的稳定性和失稳现象。
稳定性分析可以通过求解物体的特征值问题来争辩。
以上是弹性力学期末考试复习的基本内容，重点是把握应力和应变的关系、弹性力学的假设、单轴拉伸和挤压、弯曲、圆柱壳的弹性力学和稳定性分析等。
通过对这些内容的复习和理解，可以挂念我们更好地理解和应用弹性力学的学问。
弹性力学复习提纲
h
γy
h
y
6、下列应变或应力分量是否可能成为弹性力学问题中的应变、应力分量？ （1） x ay 2
y bx 2
xy a b）xy （
2 2 （2） x A( x y )
y B( x 2 y 2 )
xy Cxy
（3） x Ax By
2、考察应力函数 ay 3 在图示矩形板和坐标系中能解决什么问题。（体力
不计）
第四章
平面问题的极坐标解答
一、极坐标中的平衡微分方程
极坐标轴的正方向规定；极坐标下正面与负面规定；极坐标下体力、面力、 应力、变形、位移的正负规定。
二、极坐标中的几何方程和物理方程 三、极坐标中的应力函数与相容方程 1、掌握直角坐标轴与极坐标轴的对应关系；直角坐标与极坐标的关系。 2、当不计体力，在极坐标中按应力求解平面问题，归结为求解一个应
七、圆孔的孔口应力集中
了解应力集中的基本概念、孔口应力集中问题的解题思路和解题步骤、 了解应力集中对工程构件的影响及在工程上的应用。 八、半平面问题 熟悉半平面问题中的边界和圣维南原理的特殊处理。
例 题
1、写出下列问题的边界条件
2、作用，试导出其应力解答。
验证该公式是否满足平衡方程和边界条件，并据此导出 y 的表达式。
8、检验下列应力分量是否是图示问题的解答。
y2 x 2 q b
y xy 0
9、考察应力函数： Ax 2 y 3 By 5 Cy 3 Dx 2 y
为使 成为重调和函数，试确定系数A、B、C、D之间的关系。
六、边界条件 1、位移边界条件、应力边界条件、混合边界条件；
2、当边界面为坐标面时，边界条件的简化；
弹性力学复习资料
弹性力学复习资料
弹性力学是研究物体在受到外力作用后发生形变和产生应力的力学学科。
以下是一些重要的知识点，供参考复习：
一、应力和应变
1.应力
应力是指物体在受到外力作用时所产生的内部反抗力。
根据力的方向和受力面积的大小，应力可以分为拉应力、压应力、剪应力等。
2.应变
应变是物体在受到外力作用后所发生的形变程度。
同样根据形变的不同方向，应变也可以分为拉应变、压应变、剪应变等。
3.杨氏模量
杨氏模量是衡量固体材料抵抗拉伸变形能力的物理量，是指单位面积受力时所产生的相对应变。
二、胡克定律
胡克定律是描述弹性形变的经验定律，它表明固体的形变量与受到的外力成正比，形变方向与受力方向一致。
其公式为F=kx，其中F是外力，x是形变量，k是所谓的弹性系数，也称为“胡克系数”。
三、弹性势能
弹性势能是指物体在受到外力形变后所具有的弹性能量。
当物体恢复到原来的形态时，这个弹性能量就被释放出来，称为弹性势能。
四、弹性波
弹性波是指弹性体中的某一点在受到外力时所产生的振动。
根据振动方向和速度的不同，可以分为纵波和横波等。
以上是弹性力学中的一些重要知识点，需要在复习中细心理解和掌握。
弹性力学总复习
x
2c
y
3、三次式应力函数 面梁纯弯曲。
Φ=ay
3
，求解矩形截
o
M
h/2 h/2
M
x
y
l
( l >>h)
4、轴对称应力一般性解答 轴对称应力一般性解答 轴对称应力一般性
σρ =
1）轴对称应力 轴对称应力 轴对称
A
ρ
2
+ B(1 + 2 ln ρ ) + 2C ;
2
σϕ = −
A
τ ρϕ = 0
2力相应
应力函数Φ解法 五、常体力时引入Airy应力函数 解法 体力时引入 应力函数
∂4 ∂4 ∂4 1、 4 + 2 2 2 + 4 Φ = 0 、 ∂x ∂y ∂y ∂x
1 ∂ 1 ∂2 2 ∂2 ( 2+ ) Φ = 0; + ∂ρ ρ ∂ρ ρ 2 ∂ϕ 2
∂2 ∂2 2 + 2 σx +σ y = 0 ∂x ∂y
(σ ρ ) s = f ρ ( s ) (τ ρϕ ) s = f ϕ ( s ) (σ ϕ ) s = f ϕ ( s )
3) 近似边界条件（圣维南原理）： (τ ) = f ( s ) 近似边界条件（圣维南原理）： 边界条件 ϕρ s ρ
∫−h / 2 −h / 2 h/ 2 h/ 2 ∫−h / 2 (σ x ) x=±l d y ⋅1⋅ y = ±∫−h / 2 f x ( y) d y ⋅1⋅ y(= M ), h/ 2 h/ 2 ∫−h / 2 (σ x ) x=±l d y ⋅1 = ±∫−h / 2 f y ( y) d y ⋅1(= FS ).
弹性力学复习资料
弹性力学复习资料1．弹性力学有哪些基本假设？他们有何物理意义？.基本假定有五项1.物体内部无空隙，因此物体中每点处的应力、应变、位移等量是连续的，可以用坐标的连续函数表示2.物体是均匀的和各向同性的（物体内部各点及个方向上的介质相同，他们是物理、力学特性相同）3.物体是完全弹性的（物体在外部因素（荷载、温度、约束条件的改变等）的作用下产生变形，当外部因素去掉后，物体恢复原来的形状而没有任何残余变形）4.物体内无初应力（物体在外部因素作用之前，物体处于一种无应力的自然状态）5.物体的变形是很小的2.何谓逆解法、半逆解法？根据边界面力的的分布，从已知函数中构造出应力函数，是使之满足双调和方程和应力边界条件称为逆解法。
借助于边界面力的分布规律或其他分析方法，得出整个或某个应力分量的分布规律，由此找到应力函数的表达式，使之满足应力边界条件，寻求弹性力学解答，这种分析方法叫半逆解法。
原因：按应力求解平面问题时，常把应力用应力函数表示，但是这个偏微分方程的通解是很难找到的，而满足方程的解很多，这些解还必须符合一定结构形态的应力边界条件。
3.什么是小孔应力集中现象？受力弹性体在具有小孔时，孔边应力将远远大于无孔时的应力，这种现象叫…4.什么是圣维南原理？在弹性体的一小部分边界上，将所作用的面力作静力等效变换，只对力作用处附近的应力有影响，对离力作用处较远的应力几乎无影响。
必须指出：对于薄壁构件或壳体，应用应该谨慎5.什么是轴对称问题？应力的分布对称于通过坐标远点0并垂直于xoy平面的z轴，这样的问题称为轴对称平面问题。
其特点是应力分量和应变分量于幅角无关，仅仅是r的函数。
如果作用在物体上的荷载是轴对称的，而物体的几何形态也是轴对称的，则应力状态是轴对称的；如果这是的约束条件也是轴对称的，则位移也是轴对称的。
6.举例说明什么是平面应力和平面应变问题？平面应力问题是指应力分量只是两个坐标的函数，而与第三个坐标无关的问题。
河海大学弹性力学复习提纲
➢ 常体力情况下的简化---引入应力函数：
➢ 应力函数与应力分量的关系---由平衡方程推出； ➢ 应力函数应满足重调和方程；
平面问题的直角坐标解答
➢ 逆解法---没有针对性，但可以积累基本解答 思路与步骤
➢ 假定应力函数的形式；
➢ 检验相容方程；
➢ 求解应力分量；外载荷是否已知
精确满足
➢ 校核边界条件（反推边界载荷）：先主边界、后次边界；
➢ 简支梁受均布载荷：
➢ 半逆解法---分析应力与载荷的关系，假定应力分量； ➢ 应用对称性条件简化求解过程；
➢ 楔形体受重力和液体压力：
➢ 半逆解法---量纲分析法，假定应力分量；
平面问题的极坐标解答
➢ 直角坐标与极坐标的异同比较；
➢ 平衡方程的建立：
➢ 取微分体进行平衡分析； ➢ 与直角坐标平衡方程相比，特有的项及其产生原因；
➢ 一点应力状态分析：
➢ 三角形微元体的平衡分析； ➢ 应力主面、主应力； ➢ 最大、最小应力；
➢ 边界条件：
➢ 位移边界条件---位移保持连续性的条件； ➢ 应力边界条件---边界上微元体的平衡条件；每边两个；应力 与面力等大小、同方向；三步骤：大小、方向、符号； ➢ 混合边界条件；
平面问题基本理论
理想弹性体的小变形问题
平面问题基本理论
➢ 平面应力和平面应变问题：
➢ 形状、外力、约束； ➢ 两类问题的基本方程的异同---物理方程形式上的转换；
➢ 平衡微分方程：
➢ 微元体平衡分析； ➢ 连续性假定、小变形假定---各自的作用是什么； ➢ 坐标增量带来位移增量---极坐标下方程的建立；
➢ 几何方程：
➢ 必须包含常数项元内、单元交界处；（充分） ➢ 单元剖分的注意事项、位移及应力的误差量级分析；
➢ 应力函数与应力分量的关系---由平衡方程推出； ➢ 应力函数应满足重调和方程；
平面问题的直角坐标解答
➢ 逆解法---没有针对性，但可以积累基本解答 思路与步骤
➢ 假定应力函数的形式；
➢ 检验相容方程；
➢ 求解应力分量；外载荷是否已知
精确满足
➢ 校核边界条件（反推边界载荷）：先主边界、后次边界；
➢ 简支梁受均布载荷：
➢ 半逆解法---分析应力与载荷的关系，假定应力分量； ➢ 应用对称性条件简化求解过程；
➢ 楔形体受重力和液体压力：
➢ 半逆解法---量纲分析法，假定应力分量；
平面问题的极坐标解答
➢ 直角坐标与极坐标的异同比较；
➢ 平衡方程的建立：
➢ 取微分体进行平衡分析； ➢ 与直角坐标平衡方程相比，特有的项及其产生原因；
➢ 一点应力状态分析：
➢ 三角形微元体的平衡分析； ➢ 应力主面、主应力； ➢ 最大、最小应力；
➢ 边界条件：
➢ 位移边界条件---位移保持连续性的条件； ➢ 应力边界条件---边界上微元体的平衡条件；每边两个；应力 与面力等大小、同方向；三步骤：大小、方向、符号； ➢ 混合边界条件；
平面问题基本理论
理想弹性体的小变形问题
平面问题基本理论
➢ 平面应力和平面应变问题：
➢ 形状、外力、约束； ➢ 两类问题的基本方程的异同---物理方程形式上的转换；
➢ 平衡微分方程：
➢ 微元体平衡分析； ➢ 连续性假定、小变形假定---各自的作用是什么； ➢ 坐标增量带来位移增量---极坐标下方程的建立；
➢ 几何方程：
➢ 必须包含常数项元内、单元交界处；（充分） ➢ 单元剖分的注意事项、位移及应力的误差量级分析；
弹性力学及有限单元法则复习提纲备考复习
弹性力学及有限单元法复习提纲采矿09级1.材料力学和弹性力学在所研究的内容上有哪些共同点和哪些不同点？求解问题的方法上有何主要区别？研究对象的不同：材料力学，基本上只研究杆状构件，也就是长度远远大于高度和宽度的构件。
非杆状结构则在弹性力学里研究研究方法的不同：材料力学大都引用一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，得到的解答往往是近似的，弹性力学研究杆状结构一般不必引用那些假定，得到的结果比较精确。
2.什么是弹性，什么是塑性？弹性力学有哪几条基本假设？弹性：指物体在外力作用下发生变形，当外力撤出后变形能够恢复的性质。
塑性：指物体在外力作用下发生变形，当外力撤出后变形不能够完全恢复的性质。
基本假设：（1）连续性，（2）完全弹性，（3）均匀性，(4)各向同性，(5)假定位移和形变是微小的3.弹性力学的平衡微分方程是根据什么条件推导出来的？其物理意义是什么？由材料连续性和各向同性的假定，根据平衡条件可导出；表示区域内任一点的微分体的平衡条件。
4.为什么要引入弹性力学的几何方程？几何方程是如何推导出来的？其物理意义是什么？因为平衡微分方程有两个方程，三个未知量，这就确定了应力分量问题是超静定的，要考虑几何学和物理学的条件（边界条件）来解答；它是假定弹性体受力后，弹性体的点发生移动而推导出来的；表示弹性体受力后的线应变和切应变。
5.什么是物理方程？其表达式如何？物理意义是什么？平面应力问题的物理方程：（ (在平面应力问题中的物理方程中（将E换为，换为就得到平面应变问题的物理方程)表示理想弹性体中形变分量与应力，应变分量之间的关系6.什么是平面应力？平面应变？平面应力和平面应变的差别在哪些地方？所需要求解的问题，差别又在何处？如何推导出相应的物理方程？平面应力问题：设所研究的物体为等厚度的薄板，在z方向不受力，外力沿z方向无变化，可以认为在整个薄板里任何一点都有：σ=0 ,=0,=0,注意到剪应力互等关系，可知=0,=0,这样只剩下平行于xy面的三个应力分量，即σ，σ，，它们是x和y的函数，不随z而变化平面应变问题：设有很长的柱形体，以任一横截面为xy面，任一纵线为z轴，所受的荷载都垂直于z轴且沿z方向没有变化，则所有一切应力分量，变形分量和位移分量都不沿z方向变化，而只是x和y的函数，如果近似的认为柱形体的两端受到平面的约束，使之在z方向无位移，则任何一个横截面在z方向都没有位移，所有变形都发生在xy面里。
弹性力学总复习汇总
iji j
1111 22 2 2 33 3 3 2121 2 223 2 3 231 31
两正交线元之间的直角减小量为工程剪应变 t
t 2t 2 t 2ijit j 若 , t 为坐标轴方向的单位矢量，例如 i 1, t j 1(i j) 其余的
方向余弦均为零，则由上式得 ij 2ij (i j)
3 12 2 3 0
1 ii 1 2 3
2
1 2
ii jj ijij
12 23 31
3 eijk1i2 j3k 123
分别称为第一，第二和第三应变不变量。
第三章 应变理论
dV ' dV
dV
由于
1 1 dx1 1 2 dx2 1 3 dx3 dx1dx2dx3
弹性力学与材料力学的区别
第二章 应力理论
1 应力和内力的概念 ，应力张量 2 斜面应力公式（柯西公式）：实质是四面体微元的平衡条件。
或 v v v j viij
即：
v1 v1 11v2 21v3 31
v2 v1 12 v2 22 v3 32
v3 v1 13 v2 23 v3 33
ij
2Gij
kkij
ij
1
E
ij
E
kk ij
x
1 E
[ x
y z
1
ExE源自x 2G x ;y
1 E
[ y
z
x
1 E
y
E
即
z
1 E
[ z
x y
1
E
z
E
xy
1 G
xy
yz
1 G
yz
zx
1 G
zx
y 2G y ;
1111 22 2 2 33 3 3 2121 2 223 2 3 231 31
两正交线元之间的直角减小量为工程剪应变 t
t 2t 2 t 2ijit j 若 , t 为坐标轴方向的单位矢量，例如 i 1, t j 1(i j) 其余的
方向余弦均为零，则由上式得 ij 2ij (i j)
3 12 2 3 0
1 ii 1 2 3
2
1 2
ii jj ijij
12 23 31
3 eijk1i2 j3k 123
分别称为第一，第二和第三应变不变量。
第三章 应变理论
dV ' dV
dV
由于
1 1 dx1 1 2 dx2 1 3 dx3 dx1dx2dx3
弹性力学与材料力学的区别
第二章 应力理论
1 应力和内力的概念 ，应力张量 2 斜面应力公式（柯西公式）：实质是四面体微元的平衡条件。
或 v v v j viij
即：
v1 v1 11v2 21v3 31
v2 v1 12 v2 22 v3 32
v3 v1 13 v2 23 v3 33
ij
2Gij
kkij
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1
E
ij
E
kk ij
x
1 E
[ x
y z
1
ExE源自x 2G x ;y
1 E
[ y
z
x
1 E
y
E
即
z
1 E
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x y
1
E
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E
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1 G
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1 G
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1 G
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y 2G y ;
《连续介质力学》期末复习提纲--弹性力学部分.docx
《连续介质力学》期末复习提纲--弹性力学部分.docx〈连续介质力学〉期末复习提纲一弹性力学部分1、自由指标与哑指标判别（★）2、自由指标与哑指标的取值范围约定3、自由指标与哑指标规则4> Einstein 求和约定（★）5、Kronecker-delta 符号（★）、、, f 0, i j定乂：廿性质:(1) §ij= Eji(2)e f -e)= %(3)戈=久+爲2+爲3=3(6) S ik5kj=S ij6、Ricci符号（置换符号或排列符号）（★）1,北为1,2,3的偶排列定义:e..k = -1, ■从为1,2,3的奇排列0, 门，舛任两个相等性质：(1) e ijk = e jki = e kij = -e Jik = -e ikj = -e kji(2)弓23 =幺23] =?】2 =1(3)弓32=?2I =勺口=_1⑷e^ej=e ijk e k(5) (axb)k = egbj, a、b为向量7、％与爲的关系（★）魯i詁0 § ZQ8、坐标变换（★）向量情形：旧坐标系： ox [兀込尹丘，仔，￡新坐标系：州兀姿戸心乙列变换系数： e[?e 尸（3 坐标变换关系：X ，i - 0ijXj x t = 0jXj0厂（角）T矩阵形式为：011 012 013011 0】2013X * = 021 022 023兀2或[耳,兀;,堪]=[西，兀2,兀021 022 023A.几 2 A.3__^3_.031 032 033.011 012 013 A011 012 013 兀2 — 021022 023%；或[西，吃，兀3] =[X ，%；，兀；]021 022 023_031 032033 _.031032033.张量情形入芋与A“?是两个二阶张量，角是坐标变换系数矩阵，则有気=炕0“九矩阵形式为[匍=[0]|? ]|> ]，其中[A J=[A ]T （★）9、张量的基本代数运算（1）张量的相等（2）张量的加减法（3）张量的乘积（4）张量的缩并（5）张量的内积（★）（6）张量的商法则 10、几中特殊形式的张量（1）零张量（2）单位张量（3）转置张量（4）逆张量（5）正交张量（6）二阶对称张量与二阶反对称张量（★）=*（每+心）+*（州一％）对称部分反对称部分若％?为对称二阶张量，则勺辺=0（7）球张量与偏张量Ay = | Akk Sij +（4/_| A3j ）球张虽偏怅虽（8）各向同性张量a. 零阶各向同性张量形式：标量b. 一阶各向同性张量形式：零向量c. 二阶各向同性张量形式：傀=呱,o 为任意标量d. 三阶各向同性张量形式：B ijk =/3e ijk . 0为任意标量e. 四阶各向同性张量形式：C 购=2第爲+“@易+爲务）, 11、二阶对称张量的特征值与特征向量（★）特征值久与特征向量"所满足的方程组：（★）（片一 A ）/2] + T ]2n 2 + 7j 3n 3 = 0（场-鸥）? = 0 O ?q + （乓 _ 小2 + T23n3 = ° ?7^]M| 4- 7^2^2 + （可3 —几）斤3 = °计算特征值2的方程：（★）计算特征向量"的方程：（★）（T f - A ）2 -f-T 耳 2十丁 nO （（￡?厂久5莎=■ 卩十7（ -2A n ）+T n 巧宅=1J 芯卩 t T 如+2/ -么"=P第I 、II 与III 不变量的直接计算公式：（★）2、“为常数（★）7]厂几忆?一鸥 | = 0o T 2l1 =T U =T XX +T 22 +T 33 II⑺血-7；再)胡禺2 + T 22T 33 +石/厂莖一泾一兀III = det(7? )=人［石2召3 +久2呂3石I +刁3石禺2 - ”禺3巧2 -久2厶石3 -刁3石2石1利用三个特征向量计算三个不变量的公式：(★)I =厶=入+入+入III = det?)=人人入12、张量分析简介(1) Hamilton 微分算子V (★)笛卡尔坐标系屮，V 的定义为若比为标量函数，则梯度:若“为矢量函数，则散度:若比为矢量函数，则旋度:设U 为标量函数，43为矢量函数，C 为常矢量，则有① V-(wC) = VwC ② N x(wC) = VwxC③ ▽?G4xB) = B ?(VxA) —A(VxB) ④ V-(Vw) = V 2w ⑤ (V-V)A = V 2A@Vx(Vw) = 0⑦ V-(VxA) = 0V 2a 2 a 2⑧ V X(V X A)=V(V-A)-V2A(2)Laplace微分算子与Hamilton微分算子的关系在笛卡尔坐标系屮，Laplace微分算子定义为：△ = 2 +厶+ 2_ox2 ox^ Laplace微分算子与Hamilton微分算子的关系:v 2=v-v =d 2 d d d —e x H H = —7 H r 讥' dx 2 2 dx 3 3a?九2a 2 a 2 7 H -- = A dx^ dx ； dx 3（3）三矢量的混合积及其几何意义（★）对于如下的三个矢量A = A 】弓 + A 2e 2 + A 3e 3B — + ^2^2 + B3EC = C|^| + G 匕 +4?(BxC) = A B\ c, cA 2B2上述混合积的几何意义是: 三矢量的混合积A （BxC ）表示以|A |> \B \. |c|为棱的平行六面体的体积。
弹性力学及有限单元法则复习提纲
弹性力学及有限单元法复习提纲采矿09级1.材料力学和弹性力学在所研究的内容上有哪些共同点和哪些不同点？求解问题的方法上有何主要区别？研丸对象的不同：材料力学•呈木卜.只研究杆状构件，也就於长度远远大于高度和宽度的构件。
非杆状结构则在弹性力学里研兗研究方法的不同：材料力学大都引用一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，得到的解答往往是近似的，弹性力学研究杆状结构一般不必引用那些假定，得到的结來比较梢确.2.什么是弹性，什么是20性？弹性力学有哪几条基本假设？弹性：指物体在外力作用卜•发生变形.当外力撤岀后变形能够恢复的性质.塑性：指物体在外力作用卜•发生变形，当外力撤出后变形不能够完全恢毀的性质。
基本假设：（1）连续性，＜2）完全弹性，（3）均匀性.⑷*向同性，⑸假定位移和形变足微小的3.弹性力学的平術微分方程是根据什么条件推导出来的？其物理意义是什么？由材料连续性和各向同性的假定.根据平衡条件可导出：表示区域内任一点的微分体的平衛条件。
4.为什么要引入弹性力学的几何方程？几何方程是如何推导出来的？其物理意义是什么？闵为平衡微分方程有两个方程，三个木知虽，这就确定了应力分虽问题足超静定的，耍考虑几何学和物理7的条件（边界条件）来解答：它圧假定弹性体受力后，弹性体的点发生移动而推导出来的：表示弹性体受力后的线应变和切应变。
5.什么是物理方程？其表达式如何？物理意义是什么？平面应力问题的物理方程：匕=£（耳-口~）（在平而应力间题中的物理方程中Ey =g ）将£换为冷，U换为亡就得到丫刊=警工缈平面应变问題的物理方程）表示理想弹性体中形变分戢与应力，应变分戢之间的关系6.什么是平面应力？平面应变？平面应力和平面应变的差别在哪些地方？所需要求解的问题，差别又在何处？如何推导出相应的物理方程？平面应力问题；设所研丸的物体为等厚度的薄板，在z方向不受力，外力沿z方向无变化，可以认为在整个薄板里任何一点都有：0产0 ,乞=0,乞=0,注盘到剪应力互等关系，可知坯=0,这样只剩F平行于xy |ft|的三个应力分品即（7才0y，Txy=Tyx・它们肚X和y的函敷，不随z而变化平面应变问题：设有很长的柱形体，以任一横截面为xy面，任一纵线为z轴，所受的荷载都垂r［于z轴且沿z方向没有变化，则所有一切应力分戢，变形分戢和位移分量都不沿z方向变化，而只是x和y的函数，如果近似的认为柱形体的两端受到平面的约束. 使Z在z方向无位移，则任何一个懂裁卿在z方向都没有位移，所有变形都发生在xy而里。
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程、相容方程，及其推导； 7、基本方程的各种表示：指标表示、张量不变性表示、
在极坐标和圆柱坐标系的分量表示及推演； 8、空间问题按位移求解有关方程的推演； 9、空间问题按应力求解有关方程的推演； 10、平面应力问题、平面应变问题；
13
11、常体力情况的解法，应力函数； 12、能用给定应力函数或自行假定应力函数求解具体弹
性力学问题； 13、掌握典型解答并能灵活运用，如简支梁纯弯曲、简
支梁受匀布荷载、楔形体受各种荷载、半无限体表 面受各种荷载、圆孔应力集中解答； 14、扭转问题的位移解法、应力解法； 15、位移函数解法。位移势函数、伽辽金位移函数、拉 甫位移，他们所要满足的方程及其应用； 16、应变能的概念及计算； 17、虚位移原理、最小势能原理，等价于什么方程及证明； 18、基于最小势能原理近似计算，用瑞兹法和伽辽金求解 具体问题。
物理方程（6个）：
ij
1 E
(1 ) ij kk ij
边界条件 （6个）
应力边界条件（3个）： ijn j X i
位移边界条件（3个） ： ui ui
求解方法
—— 数学上构成偏微分方程的定解问题
求解方法
函数解 精确解； 近似解；（如：基于能量原理的解）
数值解（如：有限差分法、有限单元法等）
x y
yx y Y 0
x y
（2）相容方程（形变协调方程）
（1）对应力边界问题，且为单连 通问题，满足上述方程的解 是唯一正确解。
（2）对多连通问题，满足上述方 程外，还需满足位移单值条 件，才是唯一正确解。
2 y 2
2 x2
(
x
y)
0
（常体力情形）
（3）边界条件：
l( x )s m( xy )s X m( y )s l( xy )s Y
ur , u 为边界上已知位移， kr , k 为边界上已知的面力分量。
4. 平面问题Airy应力函数 的选取： 直角坐标下
y 0
O
b
x
l
y
y 0
y f ( y)
O
y xf ( y)
x
g
x
(x, y)
gy
ax3 bx2 y cxy2 dy3
g
y
极坐标下 （1） 轴对称问题
应力函数 Aln r Br 2 ln r Cr2 D
5. 最小势能原理解题步骤：
（1）假设位移函数，使其位移边界条件；
（2） 计算系统的总势能 ； （3） 由最小势能原理： =0 ，确定待定系数；
（4）回代求解位移、应力等。
四 柱形杆的扭转
• 扭转问题的位移解法(圣维南扭转函数） • 扭转问题的应力解法(普朗特应力函数） • 扭转问题的薄膜比拟法 • 应用
实验方法
二、弹性力学平面问题的求解
1. 平面问题的求解方法 （1）按未知量的性质分：
按位移求解； 按应力求解；
（2）按采用的坐标系分： 直角坐标解答； 极坐标解答；
初等函数解； （3）按采用的函数类型分： 级数解；
复变函数解；
逆解法； 半逆解法；
2. 平面问题求解的基本方程
说明：
（1）平衡方程
x xy X 0
（1）
位移变分方程； 虚功方程；
最小势能原理；
伽辽金变分方程；
3. 求解弹性力学问题的变分法 （1）Ritz 法； （2）最小势能原理； （3）伽辽金法；
4. Ritz 法解题步骤： （1）假设位移函数，使其位移边界条件； （2） 计算形变势能 U ； （3）代入Ritz 法方程求解待定系数； （4）回代求解位移、应力等。
应力分量 位移分量
r
rA2rA2BB(1(3
2
ln r 2 ln
) r)
2C 2C
r r 0
ur
1 E
(1 )
A r
2(1 )Br (ln
r
1) (1 3)Br
2(1 )Cr I cos K sin
u
4Br
E
Hr
I
sin
K
cos
式中：A、B、C、H、I、K 由应力和位移边界条件确定。
(6-14)
（3） 再让 x , y , xy满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。
l( x )s m( xy )s X m( y )s l( xy )s Y
us u vs v
极坐标下
（1） 由问题的条件求出满足式（7－6）的应力函数 (r, )
4
2 r 2
1 r
r
1 r2
14
感谢下 载
（2） 楔形体问题 —— 由因次法确定 应力函数的分离变量形式
（1） 楔顶受集中力偶
y
( )
MO
2
2
（2） 楔顶受集中力
y
P
rf ( )
O
2
2
x x
（3） 楔形体一侧受分布力
r2 f ( )
r3 f ( )
（3） 曲梁问题
M ( ) f1(r) q( ) f2 (r) r Q( ) f3(r)
3. 常体力下平面问题求解的基本方程与步骤： 直角坐标下
（1） 先由方程（６-15）求出应力函
数4：
x4
2
4
x 2y 2
4
y 4
0
(x, y)
4 0
(6-15)
（2） 然后将 (x, y) 代入式（6-14）求出应力分量： x , y , xy
x
2
y 2
Xx
y
2
x2
Yy
xy
2
xy
一、弹性力学问题研究的基本框架：
基本假设与基本量
６个基本假设；
15个基本量： ui , ij, ij
基本原理 平衡原理 （单元体） 能量原理 （整体）
弹 性 力
控制方程（15 个）
平衡微分方程（3个）： ij, j X i 0
几何方程（6个）：
ij
1 2
(ui, j
u
j ,i
)
学 基本方程
问 题
– 椭圆截面杆件的扭转 – 带半圆形槽的圆轴的扭转 – 厚壁圆筒的扭转 – 矩形截面杆的扭转
复习提纲
1、应力、应变、位移等概念； 2、弹性力学的基本假定，在那些地方用到； 3、张量的代数运算和分析运算； 4、应力状态、应力矢量、主应力等的计算； 5、应变状态、应变转轴变换、主应变等的计算； 6、弹性力学基本方程，平衡方程、几何方程、物理方
其中： q 为曲梁圆周边界上的分布载荷。 M，
Q分别为梁截面上弯矩与剪力。
结合应力分量与应力函数的关系确定 应力函数：
2
r 2
f (r) f (r)sin f (r) cos
三、弹性力学问题求解的能量法
1. 基本概念与基本量 （1）形变势能U、比能U 1；
（2）总势能；
2. 变分方程与变分原理
2
2
2
0
（2） 由式（7－7）求出相应的应力分量： r , , r
（7－6）
r
1 r
r
1 r2
2 2
2
r 2
r
r
1 r
（7－7）
（3） 将上述应力分量 r , , r 满足问题的边界条件：
位移边界条件： ur s ur , u s u 应力边界条件： l r s m r s kr （位移单值条件） l r s m s k
在极坐标和圆柱坐标系的分量表示及推演； 8、空间问题按位移求解有关方程的推演； 9、空间问题按应力求解有关方程的推演； 10、平面应力问题、平面应变问题；
13
11、常体力情况的解法，应力函数； 12、能用给定应力函数或自行假定应力函数求解具体弹
性力学问题； 13、掌握典型解答并能灵活运用，如简支梁纯弯曲、简
支梁受匀布荷载、楔形体受各种荷载、半无限体表 面受各种荷载、圆孔应力集中解答； 14、扭转问题的位移解法、应力解法； 15、位移函数解法。位移势函数、伽辽金位移函数、拉 甫位移，他们所要满足的方程及其应用； 16、应变能的概念及计算； 17、虚位移原理、最小势能原理，等价于什么方程及证明； 18、基于最小势能原理近似计算，用瑞兹法和伽辽金求解 具体问题。
物理方程（6个）：
ij
1 E
(1 ) ij kk ij
边界条件 （6个）
应力边界条件（3个）： ijn j X i
位移边界条件（3个） ： ui ui
求解方法
—— 数学上构成偏微分方程的定解问题
求解方法
函数解 精确解； 近似解；（如：基于能量原理的解）
数值解（如：有限差分法、有限单元法等）
x y
yx y Y 0
x y
（2）相容方程（形变协调方程）
（1）对应力边界问题，且为单连 通问题，满足上述方程的解 是唯一正确解。
（2）对多连通问题，满足上述方 程外，还需满足位移单值条 件，才是唯一正确解。
2 y 2
2 x2
(
x
y)
0
（常体力情形）
（3）边界条件：
l( x )s m( xy )s X m( y )s l( xy )s Y
ur , u 为边界上已知位移， kr , k 为边界上已知的面力分量。
4. 平面问题Airy应力函数 的选取： 直角坐标下
y 0
O
b
x
l
y
y 0
y f ( y)
O
y xf ( y)
x
g
x
(x, y)
gy
ax3 bx2 y cxy2 dy3
g
y
极坐标下 （1） 轴对称问题
应力函数 Aln r Br 2 ln r Cr2 D
5. 最小势能原理解题步骤：
（1）假设位移函数，使其位移边界条件；
（2） 计算系统的总势能 ； （3） 由最小势能原理： =0 ，确定待定系数；
（4）回代求解位移、应力等。
四 柱形杆的扭转
• 扭转问题的位移解法(圣维南扭转函数） • 扭转问题的应力解法(普朗特应力函数） • 扭转问题的薄膜比拟法 • 应用
实验方法
二、弹性力学平面问题的求解
1. 平面问题的求解方法 （1）按未知量的性质分：
按位移求解； 按应力求解；
（2）按采用的坐标系分： 直角坐标解答； 极坐标解答；
初等函数解； （3）按采用的函数类型分： 级数解；
复变函数解；
逆解法； 半逆解法；
2. 平面问题求解的基本方程
说明：
（1）平衡方程
x xy X 0
（1）
位移变分方程； 虚功方程；
最小势能原理；
伽辽金变分方程；
3. 求解弹性力学问题的变分法 （1）Ritz 法； （2）最小势能原理； （3）伽辽金法；
4. Ritz 法解题步骤： （1）假设位移函数，使其位移边界条件； （2） 计算形变势能 U ； （3）代入Ritz 法方程求解待定系数； （4）回代求解位移、应力等。
应力分量 位移分量
r
rA2rA2BB(1(3
2
ln r 2 ln
) r)
2C 2C
r r 0
ur
1 E
(1 )
A r
2(1 )Br (ln
r
1) (1 3)Br
2(1 )Cr I cos K sin
u
4Br
E
Hr
I
sin
K
cos
式中：A、B、C、H、I、K 由应力和位移边界条件确定。
(6-14)
（3） 再让 x , y , xy满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。
l( x )s m( xy )s X m( y )s l( xy )s Y
us u vs v
极坐标下
（1） 由问题的条件求出满足式（7－6）的应力函数 (r, )
4
2 r 2
1 r
r
1 r2
14
感谢下 载
（2） 楔形体问题 —— 由因次法确定 应力函数的分离变量形式
（1） 楔顶受集中力偶
y
( )
MO
2
2
（2） 楔顶受集中力
y
P
rf ( )
O
2
2
x x
（3） 楔形体一侧受分布力
r2 f ( )
r3 f ( )
（3） 曲梁问题
M ( ) f1(r) q( ) f2 (r) r Q( ) f3(r)
3. 常体力下平面问题求解的基本方程与步骤： 直角坐标下
（1） 先由方程（６-15）求出应力函
数4：
x4
2
4
x 2y 2
4
y 4
0
(x, y)
4 0
(6-15)
（2） 然后将 (x, y) 代入式（6-14）求出应力分量： x , y , xy
x
2
y 2
Xx
y
2
x2
Yy
xy
2
xy
一、弹性力学问题研究的基本框架：
基本假设与基本量
６个基本假设；
15个基本量： ui , ij, ij
基本原理 平衡原理 （单元体） 能量原理 （整体）
弹 性 力
控制方程（15 个）
平衡微分方程（3个）： ij, j X i 0
几何方程（6个）：
ij
1 2
(ui, j
u
j ,i
)
学 基本方程
问 题
– 椭圆截面杆件的扭转 – 带半圆形槽的圆轴的扭转 – 厚壁圆筒的扭转 – 矩形截面杆的扭转
复习提纲
1、应力、应变、位移等概念； 2、弹性力学的基本假定，在那些地方用到； 3、张量的代数运算和分析运算； 4、应力状态、应力矢量、主应力等的计算； 5、应变状态、应变转轴变换、主应变等的计算； 6、弹性力学基本方程，平衡方程、几何方程、物理方
其中： q 为曲梁圆周边界上的分布载荷。 M，
Q分别为梁截面上弯矩与剪力。
结合应力分量与应力函数的关系确定 应力函数：
2
r 2
f (r) f (r)sin f (r) cos
三、弹性力学问题求解的能量法
1. 基本概念与基本量 （1）形变势能U、比能U 1；
（2）总势能；
2. 变分方程与变分原理
2
2
2
0
（2） 由式（7－7）求出相应的应力分量： r , , r
（7－6）
r
1 r
r
1 r2
2 2
2
r 2
r
r
1 r
（7－7）
（3） 将上述应力分量 r , , r 满足问题的边界条件：
位移边界条件： ur s ur , u s u 应力边界条件： l r s m r s kr （位移单值条件） l r s m s k