全国普通高等学校招生统一考试上海卷考试手册(数学科)

2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．（4分）已知集合，2，3，4，，，5，，则 ．2．（4分）计算 ． 3．（4分）不等式的解集为 ．4．（4分）函数的反函数为 ．5．（4分）设为虚数单位，，则的值为 6．（4分）已知，当方程有无穷多解时，的值为 ． 7．（5分）在的展开式中，常数项等于 ．8．（5分）在中，，，且，则 ． 9．（5分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示）10．（5分）如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为 ．11．（5分）在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为 ．{1A =5}{3B =6}AB =22231lim 41n n n n n →∞-+=-+|1|5x +<2()(0)f x x x =>i 365z i i -=+||z 22214x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩a 61()x x+ABC ∆3AC =3sin 2sin A B =1cos 4C =AB =OABC (1)OA a a =>23y x =BC P 12y x-=AB Q ||||AQ CP +a 22142x y +=P Q P x 121F P F P 1F P 2F Q12．（5分）已知集合，，，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是 ．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）下列函数中，值域为，的是 A ．B ．C ．D ．14．（5分）已知、，则“”是“”的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．（5分）已知平面、、两两垂直，直线、、满足：，，，则直线、、不可能满足以下哪种关系 A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面16．（5分）以，，，为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，，，，且满足，则点的轨迹是 A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，在正三棱锥中，． （1）若的中点为，的中点为，求与的夹角； （2）求的体积．18．（14分）已知数列，，前项和为． （1）若为等差数列，且，求；（2）若为等比数列，且，求公比的取值范围．[A t =1][4t t ++9]t +0A ∉λa A ∈A aλ∈t [0)+∞()2xy =12y x =tan y x =cos y x =a b R ∈22a b >||||a b >()αβγa b c a α⊆b β⊆c γ⊆a b c ()1(a 0)2(a 0)(1,0)y 1(y 0)2(y 0)120lny lny +=1211(,)a a ()P ABC -2,3PA PB PC AB BC AC ======PB M BC N AC MN P ABC -{}n a 13a =n n S {}n a 415a =n S {}n a lim 12n n S →∞<q19．（14分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设表示1978年，第年卫生总费用与年份之间拟合函数研究函数的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．2015-1t =n t 6.44200.1136357876.6053()1tf t e -=+()f t20．（16分）已知抛物线方程，为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：． （1）当时，求；（2）证明：存在常数，使得；（3），，为抛物线准线上三点，且，判断与的关系．21．（18分）已知等差数列的公差，，数列满足，集合．（1）若，求集合； （2）若，求使得集合恰好有两个元素；（3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值．24y x =F P Q PF ||()||PF d P FQ =8(1,)3P --()d P a 2()||d P PF a =+1P 2P 3P 1223||||PP P P =13()()d P d P +22()d P {}n a (0d ∈]π{}n b sin()n n b a ={}*|,n S x x b n N ==∈120,3a d π==S 12a π=d S S n T n b b +=T T2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数 学 答 案一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．（4分）已知集合，2，3，4，，，5，，则 ， ．【解答】解：集合，2，3，4，，，5，， ，．故答案为：，．2．（4分）计算 2 ． 【解答】解：． 故答案为：2．3．（4分）不等式的解集为 ． 【解答】解：由得，即 故答案为：，．4．（4分）函数的反函数为 ．【解答】解：由解得，故答案为5．（4分）设为虚数单位，，则的值为【解答】解：由，得，即，故答案为：．{1A =5}{3B =6}A B ={35}{1A =5}{3B =6}{3AB ∴=5}{35}22231lim 41n n n n n →∞-+=-+2222312231lim lim 241411n n n n n n n n n n→∞→∞-+-+==-+-+|1|5x +<(6,4)-|1|5x +<515x -<+<64x -<<{6-4)2()(0)f x x x =>1()0)f x x -=>2(0)y x x =>x =1()0)f x x -∴=>1f -()0)x x =>i 365z i i -=+||z 365z i i -=+366z i =+22z i =+||||z z ∴===6．（4分）已知，当方程有无穷多解时，的值为 ． 【解答】解：由题意，可知： 方程有无穷多解，可对①，得：．再与②式比较，可得：． 故答案为：． 7．（5分）在的展开式中，常数项等于 15 ．【解答】解：展开式的通项为令得， 故展开式的常数项为第3项：．故答案为：15．8．（5分）在中，，，且，则【解答】解：，由正弦定理可得：， 由，可得：，， 由余弦定理可得：，解得：．9．（5分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 24 种（结果用数值表示）【解答】解：在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有种，故答案为：24．10．（5分）如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数22214x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩a 2-∴2⨯442x y +=-2a =-2-6(x 6(x 36216r r r T C x-+=3902r -=2r =2615C =ABC ∆3AC =3sin 2sin A B =1cos 4C =AB 3sin 2sin A B =∴32BC AC =∴3AC =2BC =1cos 4C =∴2221324232AB +--=⨯⨯∴AB =33424A =OABC (1)OA a a =>23y x =BC P交于点，当最小时，则．【解答】解：由题意得：点坐标为，，点坐标为，，当且仅当．11．（5分）在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为 ， ．【解答】解：设，则点，椭圆的焦点坐标为，，，， ，，结合 可得：，故与的夹角满足：，故，故答案为：，12y x-=AB Q||||AQ CP +aP )a Q (a 11||||23AQ CP a+=a 22142x y +=P Q P x 121F P F P 1F P 2F Q 1[arccos 3π-]π(,)P x y Q (,)x y -22142x y +=(0)0)121F P F P 2221x y ∴-+22142x y +=2[1y ∈2]1F P 2F Q θ222122212238cos 3[122(F P F Qy y y F P F Q x θ-====-+∈-++1]3-1[arccos 3θπ∈-]π1[arccos 3π-]π12．（5分）已知集合，，，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是 1或 ．【解答】解：当时，当，时，则，，当，时，则，，即当时，；当时，，即； 当时，，当时，，即，，解得．当时，当，时，则，．当，，则，，即当时，，当时，，即，即当时，，当时，，即，，解得．[A t =1][4t t ++9]t +0A ∉λa A ∈A aλ∈t 3-0t >[a t ∈1]t +[4t aλ∈+9]t +[4a t ∈+9]t +[t aλ∈1]t +a t =9t aλ+9a t =+t aλ(9)t t λ=+1a t =+4t aλ+4a t =+1t aλ+(1)(4)t t λ=++(9)(1)(4)t t t t ∴+=++1t=104t t +<<+[a t ∈1]t +[t aλ∈1]t +[4a t ∈+9]t +[4t aλ∈+9]t +a t =1t aλ+1a t =+t aλ(1)t t λ=+4a t =+9t aλ+9a t =+4t aλ+(4)(9)t t λ=++(1)(4)(9)t t t t ∴+=++3t =-当时，同理可得无解． 综上，的值为1或． 故答案为：1或．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）下列函数中，值域为，的是 A ．B ．C ．D ．【解答】解：，的值域为，故错，的定义域为，，值域也是，，故正确．，的值域为，故错 ，的值域为，，故错． 故选：．14．（5分）已知、，则“”是“”的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解答】解：等价，，得“”，“”是“”的充要条件，故选：．15．（5分）已知平面、、两两垂直，直线、、满足：，，，则直线、、不可能满足以下哪种关系90t +<t 3-3-[0)+∞()2xy =12y x =tan y x =cos y x =A 2xy =(0,)+∞AB y [0)+∞[0)+∞BC tan y x =(,)-∞+∞CD cos y x =[1-1]+D B a b R ∈22a b >||||a b >()22a b >22||||a b >||||a b >∴22a b >||||a b >C αβγa b c a α⊆b β⊆c γ⊆a b c ()A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面【解答】解：如图1，可得、、可能两两垂直； 如图2，可得、、可能两两相交； 如图3，可得、、可能两两异面；故选：．16．（5分）以，，，为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，，，，且满足，则点的轨迹是 A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线【解答】解：因为，则，同理可得，又因为， 所以， 则， 即， 则， 设，则为直线，故选：．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）a b c a b c a bc B 1(a 0)2(a 0)(1,0)y 1(y 0)2(y 0)120lny lny +=1211(,)a a ()11|1|r a =-21112y a =-22212y a =-120lny lny +=121y y =12(12)(12)1a a --=12122a a a a =+12112a a +=1211x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2x y +=A17．（14分）如图，在正三棱锥中，． （1）若的中点为，的中点为，求与的夹角； （2）求的体积．【解答】解：（1），分别为，的中点，， 则为与所成角，在中，由，，可得，与的夹角为； （2）过作底面垂线，垂直为，则为底面三角形的中心， 连接并延长，交于，则，． ．．18．（14分）已知数列，，前项和为． （1）若为等差数列，且，求；（2）若为等比数列，且，求公比的取值范围．【解答】解：（1），，P ABC-2,PA PB PC AB BC AC ======PB M BC N AC MN P ABC-M N PB BC //MN PC ∴PCA ∠AC MN PAC ∆2PA PC ==AC=222cos 2PC AC PA PCA PC AC +-∠===AC ∴MN P O O AO BC N 32AN=213AO AN ==PO ∴∴11333224P ABC V -=⨯={}n a 13a =n n S {}n a 415a =n S {}n a lim 12n n S →∞<q 4133315a a d d =+=+=4d ∴=； （2），存在，，存在，且，，，，或，公比的取值范围为，，．19．（14分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设表示1978年，第年卫生总费用与年份之间拟合函数研究函数的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．【解答】解：（1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多． （2）是减函数，且， 在上单调递增，2(1)3422n n n S n n n -∴=+⨯=+3(1)1n n q S q-=-lim n n S →∞11q ∴-<<∴lim n n S →∞11q ∴-<<0q ≠∴3(1)3lim lim 11n n n n q S q q→∞→∞-==--∴3121q<-34q ∴<10q ∴-<<304q <<∴q (1-0)(0⋃3)42015-1t =n t 6.44200.1136357876.6053()1tf t e -=+()f t 6.44200.1136t y e -= 6.44200.11360t y e -=>6.44200.1136357876.6053()1tf t e -∴=+N令，解得，当时，我国卫生总费用超过12万亿，预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿．20．（16分）已知抛物线方程，为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：． （1）当时，求；（2）证明：存在常数，使得；（3），，为抛物线准线上三点，且，判断与的关系． 【解答】解：（1）抛物线方程的焦点，，，的方程为，代入抛物线的方程，解得， 抛物线的准线方程为，可得， ，； （2）证明：当时，， 设，，，则，联立和，可得，， ，则存在常数，使得； （3）设，，，则， 6.44200.1136357876.60531200001te ->+50.68t >∴51t ∴24y x =F P Q PF ||()||PF d P FQ =8(1,)3P --()d P a 2()||d P PF a =+1P 2P 3P 1223||||PP P P =13()()d P d P +22()d P 24y x =(1,0)F 8(1,)3P --84323PFk ==PF 4(1)3y x =-14Q x =1x =-10||3PF =15||144QF =+=||8()||3PF d P QF ==(1,0)P -2()||2222a d P PF =-=⨯-=(1,)P P y -0P y >:1PF x my =+2P my =-1x my =+24y x =2440y my --=2Q y m ==+22()||22(22P P Q y d P PF y m m --==+2122m m +-=-=a 2()||d P PF a=+11(1,)P y -22(1,)P y -33(1,)P y -1321322[()()]4()||||2||d P d pd P PF P FP F+-=+-由，，则．21．（18分）已知等差数列的公差，，数列满足，集合．（1）若，求集合； （2）若，求使得集合恰好有两个元素；（3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值． 【解答】解：（1）等差数列的公差，，数列满足，集合．当， 集合，0． （2），数列满足，集合恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列的终边落在轴的正负半轴上时，集合恰好有两个元素，此时，②终边落在上，要使得集合恰好有两个元素，可以使，的终边关于轴对称，如图，，此时， 综上，或者．（3）①当时，，集合，，，符合题意．②当时，，，，或者，221313[()16]28y y y y -++=-2222221313131313(4)(4(4)4()84()0y y y y y y y y y y ++-+=+-=->132()()2()d P d P d P +>{}n a (0d ∈]π{}n b sin()n n b a ={}*|,n S x x b n N ==∈120,3a d π==S 12a π=d S S n T n b b +=T T {}n a (0d ∈]π{}n b sin()n n b a ={}*|,n S x x b n N ==∈∴120,3a d π=={S =12a π={}n b sin()n n b a ={}*|,n S x x b n N ==∈{}n a y S d π=1a OA S 2a 3a y OB OC 23d π=23d π=d π=3T =3n n b b +=1{S b =2b 3}b 4T =4n n b b +=sin(4)sin n n a d a +=42n n a d a k π+=+42n n a d k a π+=-等差数列的公差，，故，，又，2 当时满足条件，此时，1，．③当时，，，，或者，因为，，故，2． 当时，，1，满足题意． ④当时，，，所以或者，，，故，2，3． 当时，，满足题意． ⑤当时，，，所以，或者，，，故，2，3当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有，，，，不符合条件． 当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有，，不是整数，不符合条件． 当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有或者，，或者，此时，均不是整数，不符合题意．综上，，4，5，6．{}n a (0d ∈]π42n n a d a k π+=+2k d π=1k ∴=1k ={S =-1}-5T =5n n b b +=sin(5)sin n n a d a +=52n n a d a k π+=+52n n a d k a π+=-(0d ∈]π1k =1k ={sin10S π=sin}10π-6T =6n n b b +=sin(6)sin n n a d a +=62n n a d a k π+=+62n n a d k a π+=-(0d ∈]π1k =1k=S =7T =7n n b b +=sin(7)sin sin n n n a d a a +==72n n a d a k π+=+72n n a d k a π+=-(0d ∈]π1k =1k =17~b b 2m n a a π-=227d m n ππ==-7m n -=7m >2k =17~b b 2m n a a π-=247d m n ππ==-m n -3k =17~b b 2m n a a π-=4π267d m n ππ==-467d m n ππ==-m n -3T =。

2019年一般高等学校招生全国一致考试（上海卷）数学（文史类）本卷共22道，分150分考120分第Ⅰ卷（共110分）一、填空（本大分48分）本大共有12，只需求直接填写果，每个空格填得分，否一律得零分1．函数y sinxcos(x ) cosxsin(x )的最小正周期T= .4 42．若x 是方程2cos(x ) 1的解,此中(0,2),则33．在等差数列{a n}中，a5=3,a6=－2, a4+a5+⋯+a10=4．已知定点A（0，1），点B在直x+y=0上运，当段 AB最短，点B的坐是5．在正四棱P—ABCD中，若面与底面所成二面角的大小60°，异面直PA与BC所成角的大小等于.（果用反三角函数表示）6．会合A={x||x|<4},B={x|x2－4x+3>0}, 会合{x|x∈A且x A B}= .7．在△ABC中，sinA;sinB:sinC=2:3:4,∠ABC=（.果用反三角函数表示）8．若首a1，公比q的等比数列{a n}的前n和小于个数列的各和，首a1，公比q的一取能够是（a1，q）= .9．某国科研合作目成由11个美国人、4个法国人和5此中国人成.从中随机出两位作成就布人，此两人不属于同一个国家的概率 .（果用分数表示）10．方程x3+lgx=18的根x≈.（果精准到）111．已知点A(0,2),B(0,2),C(42,0),此中n为正整数.设Sn表示△ABC外接圆的面积，n n n则limS n=.nx2y212．给出问题：F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距1620离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答以下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17.该学生的解答能否正确？若正确，请将他的解题依照填在下边空格内，若不正确，将正确的结果填在下边空格内..二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为 A、B、C、D的四个结论，此中有且只有一个结论是正确的，一定把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或许选出的代号超出一个（无论能否都写在圆括号内），一律得零分.13．以下函数中，既为偶函数又在（0，π）上单一递加的是（）A．y=tg|x|. B．y=cos(－x).C．y sin(x ). D．y |ctg x|.2 214．在以下条件中，可判断平面α与β平行的是（）A．α、β都垂直于平面r.B．α内存在不共线的三点到β的距离相等.C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β.D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β.15．在P（1，1）、Q（1，2）、M（2，3）和N(1,1)四点中，函数y a x的图象与其反函24数的图象的公共点只可能是点（）A．P．B．Q. C．M. D．N.16．f(x)是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象以下图：令 g（x）=af（x）+b，则下列对于函数g（x）的表达正确的选项是（）A．若a<0,则函数g（x）的图象对于原点对称.B．若a=1，0<b<2,则方程g（x）=0有大于2的实根.C．若a=－2,b=0,则函数g(x)的图象对于y轴对称D．若a≠0,b=2,则方程g（x）=0有三个实根.2三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答以下各题一定写出必需的步骤.17．（此题满分12分）－1·z212已知复数z=cosθi，z=sinθ+i，求|z|的最大值和最小值.318．（此题满分12分）已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AB=4，AD=2.若B1D⊥BC，直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，求平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积.419．（此题满分14分）已知函数f(x)11x，求函数f(x)的定义域，并议论它的奇偶性和单一性. x log21x58分.如图，某地道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高米，地道全长千米，地道的拱线近似地当作半个椭圆形状.（1）若最大拱高h为6米，则地道设计的拱宽l是多少？（2）若最大拱高h不小于6米，则应怎样设计拱高h和拱宽 l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为S lh，柱体体积为：底面积乘以高.本4题结果精准到米）65分，第3小题满分7分.在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△OAB的直角极点.已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零.（1）求向量AB的坐标；（2）求圆x26x y22y 0对于直线OB对称的圆的方程；（3）能否存在实数a，使抛物线y ax21上总有对于直线OB对称的两个点？若不存在，说明原因：若存在，求a的取值范围.722．（此题满分18分）此题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分.已知数列{a n}（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列.（1）乞降：a1C20a2C21a3C22,a1C30a2C31a3C32a4C33;（2）由（1）的结果归纳归纳出对于正整数n的一个结论，并加以证明.（3）设q≠1，Sn是等比数列{a n}的前n项和，求：S1C n0S2C n1S3C n2S4C n3(1)n S n1C n n82003年一般高等学校招生全国一致考试（上海卷）数学（文史类）答案一、（第1题至第12题）1．π.2．4.3．－49.4．(1,1).5．arctg2.6．[1,3].3227．arccos11.8．(1,1)(a10,0q1的一组数）.9．11962190 10．.11．4π12．|PF2|=17.二、（第13题至第16题）题号13141516代号C D D B 三、（第17题至第22题）17．[解]|z1z2||1sin cos(cos sin)i|(1sin cos)2(cos sin)22sin2cos221sin22.4故|z1z2|的最大值为3,最小值为2.218．[解]连接BD，因为B1B⊥平面ABCD，B1D⊥BC，所以BC⊥BD.在△BCD中，BC=2，CD=4，所以BD=2 3.又因为直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，所以1∠B1DB=30°，于是BB1= BD=2.39故平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积为SABCD·BB1=8 3.x0,x 01x1,19．[解]x须知足1x由1得1x1x所以函数f(x)的定义域为（－1，0）∪（0，1）.因为函数f(x)的定义域对于原点对称，且对定义域内的随意x，有f(x)1log21x(1log21x)f(x)，所以f(x)是奇函数.x1x x1x研究f(x)在（0，1）内的单一性，任取x1、x2∈（0，1），且设x1<x2，则f(x1)f(x2)1log2 x1 (11)由1x1x2 10,log2(2x1x21x21x111x21x1x2log21x2[log2(21)log2(21)],1x21x11)log2(21)0,1x1得f(x1)f(x2)>0，即f(x)在（0，1）内单一递减，因为f(x)是奇函数，所以f(x)在（－1，0）内单一递减.20．[解]（1）如图成立直角坐标系，则点P（11，），椭圆方程为x2y21.a2b2将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得a447,此时l2a887.所以隧77道的拱宽约为米.（2）由椭圆方程x2y21，得1122 1.a2b2a2b210因为1122211即ab99,且l2a,h b,a2b2ab所以S lh ab99.422当S取最小值时,有112211192 a2b2,得a2,b22此时l2a22231.1,h b故当拱高约为米、拱宽约为米时，土方工程量最小.[解二]由椭圆方程x2y21，得11221.281a2, 22a22于是b4a2a b b121a2b281(a21211212242)81(21212242)81121, 4a21214即ab99,当取最小值时,有a21211212 Sa2,121得a112,b92.以下同解一.2|AB|2|OA|2221．[解]（1）设AB{u,v},则由|AB|,即u v100得|OA|04u3v0,u6或u6因为OB OA AB{u4,v3},v ,v. 88所以v－3>0,得v=8,故AB={6，8}.（2）由OB={10，5}，得B（10，5），于是直线OB方程：y1x.2由条件可知圆的标准方程为：(x－3)2+y(y+1)2=10,得圆心（3，－1），半径为10.设圆心（3，－1）对于直线OB的对称点为（x,y）则x32y1212,得x1,故所求圆的方程为(x－1)2+(y－3)2=10y2y3 x311（3）设P(x1,y1),Q(x2,y2)为抛物线上对于直线OB 对称两点，则x 1x 2y 1y 20 x 1x 22222,得a ,y 1 y 252x 1x 22ax 1 x 22a 2即x 1,x 2为方程x 22x 5 2a0的两个相异实根,a2a 2于是由4 45 2a0,得a3.a 22a 22故当a 3时，抛物线y=ax 2－1上总有对于直线OB 对称的两点.212。

2024年普通高等学校招生全国统一考试数学(上海卷)一、 填空题本题共12小题，满分54分。

1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分。

1、 设全集{}U 1,2,3,4,5=，集合{}A 24=，，求A =_________________。

2、 已知()01, 0x f x x >=≤ ，()f x =______________。

3、 不等式2230x x −−<的解集为_________________。

4、 已知()3f x x a =+，且()f x 是奇函数，则a =___________________。

5、 已知()2,5a =，()6b k =，，//a b ，则k 的值为________________。

6、 在()1nx +的展开式中，若各项系数和为32，则展开式中2x 的系数为__________。

7、 已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为_______。

8、 某校举办科学竞技比赛，有A,B,C,3种题库，A 题库有5000道题，B 题库有4000道题，C 题库有3000道题，小申已完成所有题，他A 题库的正确率是0.92，B 题库的正确率是0.86，C 题库的正确率是0.72，现他从所有的题中随机选一题，正确率是______。

9、 已知虚数z ，其实部为1，且()2z m m R z+=∈，则实数m 为____________。

10、设集合A 中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，则集合中元素个数的最大值为____________。

11、海上有灯塔O,A,B,货船T,如图，已知A 在O 的正东方向，B 在O 的正北方向，O 到A,B的距离相等，165BTO ∠=°，37ATO ∠=°，则BOT ∠=____________。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数 学&参考答案一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．（4分）已知集合，2，3，4，，，5，，则A B = ．2．（4分）计算 ． 3．（4分）不等式的解集为 ． 4．（4分）函数的反函数为 ．5．（4分）设为虚数单位，，则的值为 . 6．（4分）已知，当方程有无穷多解时，的值为 ． 7．（5分）在的展开式中，常数项等于 ．8．（5分）在中，，，且，则 ．9．（5分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示） 10．（5分）如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为 ．11．（5分）在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为 ．12．（5分）已知集合，，，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是 ．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）下列函数中，值域为，的是（ ）{1A =5}{3B =6}22231lim41n n n n n →∞-+=-+|1|5x +<2()(0)f x x x =>i 365z i i -=+||z 22214x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩a 6(x +ABC ∆3AC =3sin 2sin A B =1cos 4C =AB =OABC (1)OA a a =>23y x =BC P 12y x -=AB Q ||||AQ CP +a 22142x y +=P Q P x 121F P F P …1F P 2F Q[A t =1][4t t ++9]t +0A ∉λa A ∈A aλ∈t [0)+∞A ．B ．C ．D ． 14．（5分）已知、，则“”是“”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．（5分）已知平面、、两两垂直，直线、、满足：，，，则直线、、不可能满足以下哪种关系（ ）A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面16．（5分）以，，，为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，，，，且满足，则点的轨迹是（ ） A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，在正三棱锥中，． （1）若的中点为，的中点为，求与的夹角； （2）求的体积．18．（14分）已知数列，，前项和为． （1）若为等差数列，且，求；（2）若为等比数列，且，求公比的取值范围． 19．（14分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．2xy =12y x =tan y x =cos y x =a b R ∈22a b >||||a b >αβγa b ca α⊆b β⊆c γ⊆a b c 1(a 0)2(a 0)(1,0)y 1(y 0)2(y 0)120lny lny +=1211(,)a a P ABC -2,PA PB PC AB BC AC ======PB M BC N AC MN P ABC -{}n a 13a =n n S {}n a 415a =n S {}n a lim12n n S →∞<q 2015-（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设表示1978年，第年卫生总费用与年份之间拟合函数研究函数的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．20．（16分）已知抛物线方程，为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：． （1）当时，求；（2）证明：存在常数，使得；（3），，为抛物线准线上三点，且，判断与的关系． 21．（18分）已知等差数列的公差，，数列满足，集合．（1）若，求集合； （2）若，求使得集合恰好有两个元素；（3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值．2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数 学 答 案一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．【解答】解：集合，2，3，4，，，5，，，． 故答案为：，．1t =n t 6.44200.1136357876.6053()1tf t e -=+()f t 24y x =F P Q PF ||()||PF d P FQ =8(1,)3P --()d P a 2()||d P PF a =+1P 2P 3P 1223||||PP P P =13()()d P d P +22()d P {}n a (0d ∈]π{}n b sin()n n b a ={}*|,n S x x b n N ==∈120,3a d π==S 12a π=d S S n T n b b +=T T {1A =5}{3B =6}{3A B ∴=5}{35}2．【解答】解：．故答案为：2． 3．【解答】解：由得，即，故答案为：，． 4．【解答】解：由解得，， 故答案为 .5．【解答】解：由，得，即，．6．【解答】解：由题意，可知：方程有无穷多解，可对①，得：． 再与②式比较，可得：．故答案为：． 7．【解答】解：展开式的通项为令得， 故展开式的常数项为第3项：．故答案为：15．8．【解答】解：，由正弦定理可得：，由，可得：，，由余弦定理可得：，解得：9．【解答】解：在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有种，故答案为：24．10．【解答】解：由题意得：点坐标为，，点坐标为，，当且仅当11．【解答】解：设，则点，椭圆的焦点坐标为，，，，，，结合，可得：，， 故与的夹角满足：，，故，，故答案为：，.12．【解答】解：当时，当，时，则，，2222312231lim lim 241411n n n n n n n n n n→∞→∞-+-+==-+-+|1|5x +<515x -<+<64x -<<{6-4)2(0)y x x =>x =1()0)f x x -∴=>1f -()0)x x =>365z i i -=+366z i =+22z i =+||||z z ∴==∴2⨯442x y +=-2a =-2-6(x 36216r rr T C x-+=3902r -=2r =2615C =3sin 2sin A B =∴32BC AC =∴3AC =2BC =1cos 4C =∴2221324232AB +--=⨯⨯∴AB 33424A =P )a Q (a ||||AQ CP +=a (,)P x y Q (,)x y -22142x y +=(0)0)121F P F P (2)221x y ∴-+ (22)142x y +=2[1y ∈2]1F P 2F Q θ222122212238cos 3[122(F P F Qy y y F P F Q x θ-====-+∈-++1]3-1[arccos 3θπ∈-]π1[arccos 3π-]π0t >[a t ∈1]t +[4t aλ∈+9]t +当，时，则，，即当时，；当时，，即； 当时，，当时，，即， ，解得．当时，当，时，则，．当，，则，，即当时，，当时，，即， 即当时，，当时，，即， ，解得．当时，同理可得无解．综上，的值为1或．故答案为：1或． 二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．【解答】解：，的值域为，故错，，的定义域为，，值域也是，，故正确，[4a t ∈+9]t +[t aλ∈1]t +a t =9t aλ+…9a t =+t aλ…(9)t t λ=+1a t =+4t aλ+…4a t =+1t aλ+…(1)(4)t t λ=++(9)(1)(4)t t t t ∴+=++1t=104t t +<<+[a t ∈1]t +[t aλ∈1]t +[4a t ∈+9]t +[4t aλ∈+9]t +a t =1t aλ+…1a t =+t aλ…(1)t t λ=+4a t =+9t aλ+…9a t =+4t aλ+…(4)(9)t t λ=++(1)(4)(9)t t t t ∴+=++3t =-90t +<t 3-3-A 2x y =(0,)+∞AB y =[0)+∞[0)+∞B，的值域为，故错，，的值域为，，故错．故选：． 14．【解答】解：等价，，得“”，“”是“”的充要条件，故选：．15．【解答】解：如图1，可得、、可能两两垂直；如图2，可得、、可能两两相交；如图3，可得、、可能两两异面；故选：．16．【解答】解：因为，则，同理可得，又因为，所以，则， 即，则，设，则为直线，故选：．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．【解答】解：（1），分别为，的中点，， 则为与所成角，在中，由，可得，与的夹角为；（2）过作底面垂线，垂直为，则为底面三角形的中心，连接并延长，交于，则，．．． C tan y x =(,)-∞+∞C D cos y x =[1-1]+D B 22ab >22||||a b >||||a b >∴22a b >||||a b >C a b c a b c a b c B11|1|r a =-21112y a =-22212y a =-120lny lny +=121y y =12(12)(12)1a a --=12122a a a a =+12112a a +=1211x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2x y +=A M N PB BC //MN PC ∴PCA ∠AC MN PAC ∆2PA PC ==AC 222cos 2PC AC PA PCA PC AC +-∠==AC ∴MN P O O AO BC N 32AN =213AO AN ==PO ∴=∴11333224P ABC V -=⨯18．【解答】解：（1），，； （2），存在，，存在，且，， ，，或，公比的取值范围为，，．19．【解答】解：（1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多． （2）是减函数，且，在上单调递增，令，解得，当时，我国卫生总费用超过12万亿，预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿．20．【解答】解：（1）抛物线方程的焦点，，，的方程为，代入抛物线的方程，解得， 抛物线的准线方程为，可得， ，； （2）证明：当时，， 设，，，则，4133315a a d d =+=+=4d ∴=2(1)3422n n n S n n n -∴=+⨯=+3(1)1n n q S q-=-lim n n S →∞11q ∴-<<∴lim n n S →∞11q ∴-<<0q ≠∴3(1)3lim lim 11n n n n q S q q→∞→∞-==--∴3121q<-34q ∴<10q ∴-<<304q <<∴q (1-0)(0⋃3)46.44200.1136t y e -= 6.44200.11360t y e -=>6.44200.1136357876.6053()1tf t e -∴=+N 6.44200.1136357876.60531200001te ->+50.68t >∴51t …∴24y x =(1,0)F 8(1,)3P --84323PFk ==PF 4(1)3y x =-14Q x =1x =-10||3PF ==15||144QF =+=||8()||3PF d P QF ==(1,0)P -2()||2222a d P PF =-=⨯-=(1,)P P y -0P y >:1PF x my =+2P my =-联立和，可得，，则存在常数，使得；（3）设，，，则， 由，，则． 21．【解答】解：（1）等差数列的公差，，数列满足，集合．当，集合，0． （2），数列满足，集合恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列的终边落在轴的正负半轴上时，集合恰好有两个元素，此时.②终边落在上，要使得集合恰好有两个元素，可以使，的终边关于轴对称，如图，，此时. 综上，或者．（3）①当时，，集合，，，符合题意．②当时，，，，或者，1x my =+24y x =2440y my --=2Q y m =+2()||22(22P P Q y d P PF y m m -==+2122m +-=-=a 2()||d P PF a =+11(1,)P y -22(1,)P y -33(1,)P y -1321322[()()]4()||||2||d P d p d P PF P F P F +-=+-==221313[()16]28y y y y -++=-2222221313131313(4)(4(4)4()84()0y y y y y y y y y y ++-+=+-=->132()()2()d P d P d P +>{}n a (0d ∈]π{}n b sin()n n b a ={}*|,n S x x b n N ==∈∴120,3a d π=={S =12a π={}n b sin()n n b a ={}*|,n S x x b n N ==∈{}n a y S d π=1a OA S 2a 3a y OB OC 23d π=23d π=d π=3T =3n n b b +=1{S b =2b 3}b 4T =4n n b b +=sin(4)sin n n a d a +=42n n a d a k π+=+42n n a d k a π+=-等差数列的公差，，故，，又，2 当时满足条件，此时，1，．③当时，，，，或者，因为，，故，2．当时，，1，满足题意．④当时，，，所以或者，，，故，2，3． 当时，，满足题意． ⑤当时，，，所以，或者，，，故，2，3当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有，，，，不符合条件． 当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有，，不是整数，不符合条件． 当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有或者，，或者，此时，均不是整数，不符合题意． 综上，，4，5，6．{}n a (0d ∈]π42n n a d a k π+=+2k d π=1k ∴=1k ={S =-1}-5T =5n n b b +=sin(5)sin n n a d a +=52n n a d a k π+=+52n n a d k a π+=-(0d ∈]π1k =1k ={sin10S π=sin }10π-6T =6n n b b +=sin(6)sin n n a d a +=62n n a d a k π+=+62n n a d k a π+=-(0d ∈]π1k =1k=S =7T =7n n b b +=sin(7)sin sin n n n a d a a +==72n n a d a k π+=+72n n a d k a π+=-(0d ∈]π1k =1k =17~b b 2m n a a π-=227d m n ππ==-7m n -=7m >2k =17~b b 2m n a a π-=247d m n ππ==-m n -3k =17~b b 2m n a a π-=4π267d m n ππ==-467d m n ππ==-m n -3T=。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（上海卷）一、填空题（本题共12小题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1. 已知集合{}1,2,4A =，{}2,3,4B =，求A B =_______【分值】4分 【答案】{}2,42. 1lim31n n n →∞+=-________【分值】4分【答案】133. 已知复数z 满足12z i =-（i 为虚数单位），则z =_______【分值】4分4. 已知行列式126300a cd b =，则行列式a cd b=_______【分值】4分 【答案】25. 已知()3f x x =，则()1f x -=_______【分值】4分 【答案】()13xx R ∈6.已知a 、b 、1、2的中位数为3，平均数为4，则ab= 【分值】4分 【答案】367.已知20230x y y x y +≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则2z y x =-的最大值为【分值】5分 【答案】-18.已知{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则12910a a a a ++⋅⋅⋅=【分值】5分 【答案】2789.从6人中挑选4人去值班，每人值班1天，第一天需要1人，第二天需要1人，第三天需要2人，则有种排法。

【分值】5分 【答案】18010.椭圆22143x y +=，过右焦点F 作直线l 交椭圆于P 、Q 两点，P 在第二象限已知()(),,'','Q Q Q Q Q x y Q x y 都在椭圆上，且y'0Q Q y +=，'FQ PQ ⊥，则直线l 的方程为【分值】5分【答案】10x y +-=11、设a R ∈，若存在定义域R 的函数()f x 既满足“对于任意0x R ∈，()0f x 的值为20x 或0x ”又满足“关于x 的方程()f x a =无实数解”，则α的取值范围为【分值】5分【答案】()()(),00,11,-∞⋃⋃+∞【解析】题目转换为是否为实数a ,使得存在函数()f x满足“对于任意0x R ∈，()0f x 的值为20x 或0x ”，又满足“关于的方程()f x a =无实数解”构造函数；()2,,x x af x x x a≠⎧=⎨=⎩，则方程()f x a =只有0,1两个实数解。

2019年上海市高考数学理科试卷与答案一、填空题1、函数f x lg4xx3的定义域为_____2、已知l1:2x my10与l2:y3x1，若两直线平行，则m的值为_____3、函数f x x的反函数f1x_____x14、方程9x63x70的解是_____5、函数f x sin x sin x2的最小正周期是T_____36、已知x,y R，且x4y1，则x y的最大值为_____7、有数字1、2、3、4、5，若从中任取三个数字，剩下两个数字为奇数的概率为_____8、已知双曲线x2y21，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为极点的抛物线方45程为_____9、若a,b为非零实数，则以下四个命题都成立：①a10②ab2a22ab b2③若a b，则a ba④若a2ab，则a b则关于随意非零复数a,b，上述命题仍旧成立的序号是_____。

10、平面内两直线有三种地点关系：订交，平行与重合。

已知两个订交平面,与两直线l1,l2，又知l1,l2在内的射影为s1,s2，在内的射影为t1,t2。

试写出s1,s2与t1,t2知足的条件，使之必定能成为l1,l2是异面直线的充足条件11、已知圆的方程x2y12。

直线OP的倾斜1，P为圆上随意一点（不包含原点）角为弧度，OP d，则d f的图象大概为_____二、选择题12、已知2ai,b i是实系数一元二次方程x2px q0的两根，则p,q的值为A、p4,q 5B、p4,q 5C、p4,q5D、p4,q513、已知a,b为非零实数，且ab，则以下命题成立的是A、a2b2B、a2bab2C、11D、ba ab2a2b a b14xOy中，i,j分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，、在直角坐标系AB2i j，AC3i kj，则k的可能值有A、1个B、2个C、3个D、4个15、已知f x是定义域为正整数集的函数，关于定义域内随意的k，若fk k2成立，则fk1k2成立，以下命题成立的是1A、若f39成立，则关于随意k1，均有f k k2成立B、若f416成立，则关于随意的k4，均有f k k2成立C、若f749成立，则关于随意的k7，均有f k k2成立D、若f425成立，则关于随意的k4，均有f k k2成立三、解答题16、体积为1的直三棱柱ABC A1B1C1中，ACB 90，AC BC1，求直线AB1与平面BCC1B1所成角。

2019 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学一、填空题1. 已知集合，则________.2. 若(为虚数单位)，则________.3. 点，则与的夹角为________.4. 二项式展开式中，的系数是________.5. 已知，则的最小值为________.6. 已知函数的周期为.当时，，则的值为__________.7. 已知，且满足，求的最大值________.8. 已知，则_________.9. 抛物线上的弦垂直于轴并过焦点，为抛物线上一点，且满足，则________.10. 有一个三位数密码锁，每个位置为中的某数，则恰有两位数字相同的概率是________.11. 已知数列满足在双曲线上，则__________.12. 已知，若与轴交点为，记的图像为曲线；在上任意一点，总存在一点(异于)，使得且，则________.二、选择题13. 直线的一个方向向量为（）A. B. C. D.14. 在中，，将三角形绕旋转一周，得到圆锥，即其体积为；将三角形绕旋转一周，得到圆锥，记其体积为，则（）A. B. C. D.15. 已知，且是偶函数，则实数可能的值为（）A. B. C. D.16.已知，则关于和的命题：存在一个角在第一象限，另一个角在第三象限；存在一个角在第二象限，另一个角在第四象限.下面说法正确的是A.均正确B.均错误C.对，错D.错，对三、解答题17. 如图，在长方体中，为上一点，已知，.求直线与平面的夹角；求点到平面的距离.18. 已知.当时，求不等式的解集；当时，有零点，求的取值范围.19. 如图，为海岸线，为线段，为四分之一圆弧，，.求的长度；若，求到海岸线的最短距离.（精确到）20. 已知椭圆为其左、右焦点，直线过点且交椭圆于两点.垂直于轴时，求;若，且在轴上方，求两点的坐标；直线交轴于，直线交轴于，问：是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.21. 已知数列有项，，对任意整数，存在，若与其之前的某一项相同，称具有性质.若求可能的值；若不为等差数列，求证：中存在满足性质的项；若中恰有三项具有性质，且这三项和为，试用表示.参考答案与试题解析2019 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学一、填空题1.【答案】【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：利用数轴关系，计算出与的交集为.故答案为：.2.【答案】【考点】复数的运算【解析】此题暂无解析【解答】解：，故答案为：.3.【答案】【考点】两个向量的夹角【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意，，故.故答案为：. 4.【答案】【考点】二项式定理的应用二项式系数的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：，故其系数为.故答案为：.5.【答案】【考点】简单线性规划【解析】此题暂无解析【解答】解：做出已知条件对应的线性规划区域如下图.显然对于函数，当其经过点时，取得最大值，即. 故答案为：.6.【答案】【考点】函数的周期性【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可知.故答案为：.7.【答案】【考点】基本不等式【解析】此题暂无解析【解答】解：设，则，求的最大值.根据基本不等式.故答案为：.8.【答案】【考点】数列递推式等比数列的前n项和【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意，易知；且即为首项为，公比为的等比数列，故.故答案为： .9.【答案】【考点】抛物线的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意，抛物线焦点，故，代入抛物线方程解得(假设在上方)，故；所以；即,代入抛物线方程：.故答案为：.10.【答案】【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】此题暂无解析【解答】解：总情况数，恰有两位数学相同的事件数. 故事件概率.故答案为：.11.【答案】【考点】双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】解：当时，可把看做是双曲线渐近线上的点；双曲线渐近线方程，取，记则(若，结果为；若，结果为)故答案为：.12.【答案】【考点】曲线与方程【解析】此题暂无解析【解答】解：设点，则或.设根据函数特征(在上递减，在上递增，故必各在一个区间内)，不失一般性.假设；对应的；则设满足，而根据题意，，满足，其中；故恒成立. 即或(舍).故答案为：.二、选择题13.【答案】D【考点】直线的方向向量【解析】此题暂无解析【解答】解：直线法向量，故其方向向量或任意与之共线的向量，故选.14.【答案】B【考点】圆锥的计算柱体、锥体、台体的体积【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意；故，故选.15.【答案】C【考点】正弦函数的奇偶性【解析】此题暂无解析【解答】解：显然当时，即如果为偶函数即可；此时只需为偶函数，故即可，故当时，，故选.16.【答案】D【考点】两角和与差的正切公式利用导数研究函数的单调性正切函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：设，则；以为主元则可写成：，其判别式；设函数，并设,则，即单调递减；而，故的零点在上，设为；则当时，,当时，，故存在使得；而对方程，根据韦达定理，存在时，而使得对应的存在，而此时故此时必为负数，即在或象限；也同样存在，使得对应的存在，此时故此时必存在一个值为负数，另一个值为正，即在，象限或、象限均可，故选.三、解答题17.【答案】解：连结，因为长方体中平面，故即为与平面所成夹角的平面角；故在中，，而在中，,故，所以；即求直线与平面的夹角为；向量法：以为原点，方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系；则，设平面的方程为，代入方程求得故平面的方程为，故其法向量；而；故到平面的距离.【考点】点、线、面间的距离计算直线与平面所成的角【解析】此题暂无解析【解答】解：连结，因为长方体中平面，故即为与平面所成夹角的平面角；故在中，，而在中，,故，所以；即求直线与平面的夹角为；向量法：以为原点，方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系；则，设平面的方程为，代入方程求得故平面的方程为，故其法向量；而；故到平面的距离.18.【答案】解：当时，，故不等式为为：;所以设的零点为，则取函数，若满足题意，只需让在的值域范围即可；当时，为单调递增函数，故，故时符合题意.【考点】由函数零点求参数的取值范围其他不等式的解法【解析】此题暂无解析【解答】解：当时，，故不等式为为：;所以设的零点为，则取函数，若满足题意，只需让在的值域范围即可；当时，为单调递增函数，故，故时符合题意.19.【答案】解：根据正弦定理，，，.而为四分之一圆弧，故到的距离为，故圆的半径为；而圆心角为，故.设到的距离为，由题意，代入条件解得，或（舍）；根据面积公式：，，而中，，；故; 即不存在点到的距离小于；故到海岸线的最短距离为（近似）.【考点】圆心角、弧、弦的关系三角形的面积公式余弦定理正弦定理弧长公式【解析】此题暂无解析【解答】解：根据正弦定理，，，.而为四分之一圆弧，故到的距离为，故圆的半径为；而圆心角为，故.设到的距离为，由题意，代入条件解得，或（舍）；根据面积公式：，，而中，，；故;即不存在点到的距离小于；故到海岸线的最短距离为（近似）.20.【答案】解：由题意，椭圆长半轴，短半轴，故焦距满足：，则；所以.若，则，代入椭圆方程求得,取在上方，则，故.设，则.则；而，解得，即；故直线方程;联立；故.设，直线方程为，因可构成，故必然存在；点在直线上，故满足方程.令，解得；同理.；而，因为，故.而坐标满足：，消元整理得：.所以而故.即，代入韦达定理，解得.故存在直线满足题意.【考点】与椭圆有关的中点弦及弦长问题椭圆中的平面几何问题平面向量在解析几何中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意，椭圆长半轴，短半轴，故焦距满足：，则；所以.若，则，代入椭圆方程求得,取在上方，则，故.设，则.则；而，解得，即；故直线方程;联立；故.设，直线方程为，因可构成，故必然存在；点在直线上，故满足方程.令，解得；同理.；而，因为，故.而坐标满足：，消元整理得：.所以而故.即，代入韦达定理，解得.故存在直线满足题意.21.【答案】解：由题意，若同时具有性质，则；若具有性质而不具有性质，则，即；若不具有性质，则必有，即；此时若具有性质，则；若不具有性质，则；综上所述，可能的值为；假设中不存在满足性质的项，即对任意，均有；下面数学归纳法证明，是等差数列；当时，成立；设当，且时，；则当时，因为不具有性质，故. 而又存在，故，即；综上所述，当中不存在满足性质的项时，是等差数列成立；故其逆否命题：当不是等差数列时，中存在满足性质的项成立.由题意，不妨设这三项为，其中;且.故数列为等差数列；为等差数列；为等差数列，为等差数列；（若存在或或的情况，则去掉相应的，每组等差数列的公差均为；且；故当数列去掉这三项后，构成首项为，公差为，项数项的等差数列；故这项的和；故这个数的和.【考点】数列递推式数学归纳法等差数列的前n项和等差数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意，若同时具有性质，则；若具有性质而不具有性质，则，即；若不具有性质，则必有，即；此时若具有性质，则；若不具有性质，则；综上所述，可能的值为；假设中不存在满足性质的项，即对任意，均有；下面数学归纳法证明，是等差数列；当时，成立；设当，且时，；则当时，因为不具有性质，故. 而又存在，故，即；综上所述，当中不存在满足性质的项时，是等差数列成立；故其逆否命题：当不是等差数列时，中存在满足性质的项成立.由题意，不妨设这三项为，其中;且.故数列为等差数列；为等差数列；为等差数列，为等差数列；（若存在或或的情况，则去掉相应的，每组等差数列的公差均为；且；故当数列去掉这三项后，构成首项为，公差为，项数项的等差数列；故这项的和；故这个数的和.。

普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.行列式的值为2.双曲线的渐近线方程为______3.的二项展开式中的系数为(结果用数值表示)4.设常数,函数,若的反函数的图像经过点,则=5.已知复数满足,(是虚数单位),则6.记等差数列的前项和为,若,则7.已知.若函数为奇函数,且在上递减,则8.在平面直角坐标系中,已知点是轴上的两个动点,且,则最小值为9.有编号互不相同的五个砝码,期中5克,3克,1克砝码各两个,从中随机挑选三个,则这三个砝码的总质量为9克的概率为___________(结果用最简分数表示)10.设等比数列的通项公式为,前项和为,若,则___________11.已知常数,函数的图像经过点,若,则=12.已知实数1212,,,x x y y 满足:22221122121211,1,2x y x y x x y y +=+=+=,则+的最大值为_____二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设p 是椭圆22153x y +=上的动点,则p 到该椭圆的两个焦点的距离之和为()A. B. C. D.14.已知a R ∈,则“1a >”是“11a<”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件15.《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马。

2015学年全国普通高等学校招生统一考试上海卷考试手册（数学科）一、考试性质全国普通高等学校招生统一考试数学科（上海卷）考试是为全国普通高等学校招生而进行的选拔性考试。

选拔性考试是高利害考试，考试结果需要具有高信度，考试结果的解释和使用应该具有高效度。

考试命题的指导思想是有利于促进学生健康发展，有利于科学选拔人才，有利于维护社会公平、公正。

考试对象为2015年符合上海市高考报名要求的考生。

二、考试目标数学科高考旨在考查学生的数学基本知识和基本技能、逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力、分析问题与解决问题的能力、数学探究与创新能力。

具体考查目标为：I.数学基本知识和基本技能I.1理解或掌握初等数学中有关数与运算、方程与代数、函数与分析、数据整理与概率统计、图形与几何的基本知识。

I.2领会集合、对应、函数、算法、数学建模、概率、统计、化归、数形结合、分类讨论、分解与组合等基本数学思想，掌握坐标法、参数法、逻辑划分和等价转换等基本数学方法。

I.3能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理；掌握数学阅读、表达以及文字语言、图形语言、符号语言之间进行转换的基本技能；会使用函数型计算器进行有关计算。

II.逻辑思维能力II.4能从数学的角度有条理地思考问题。

II.5具有对数学问题或资料进行观察、分析、综合、比较、抽象、概括、判断和论证的能力。

II.6会进行演绎、归纳和类比推理，能合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点。

II.7会正确而简明的表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性。

III.运算能力III.8理解数和式的有关算理。

III.9能根据法则准确地进行运算、变形。

III.10能够根据条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径。

III.11能通过运算，对问题进行推理和探求。

IV.空间想象能力IV.12能根据条件画出正确的图形。

IV.13能根据图形想象出直观形象。

IV.14能正确地分析图形中的基本元素和相互关系。

普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）1. 行列式4125的值为． 【解析】18．2.双曲线2214x y -=的渐近线方程为． 【解析】12y x =±．3.在()71x +的二项展开式中，2x 项的系数为． 【解析】21．4.设常数a ∈R ，函数()()2log f x x a =+．若()f x 的反函数的图像经过点()3,1，则a =．【解析】7．5. 已知复数z 满足()()117i z i i +=-是虚数单位，则z =．【解析】5．6.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若30a =，6714a a +=，则7S =． 【解析】14．7.已知112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭．若幂函数()f x x α=为奇函数，且在()0,+∞上递减，则α=．【解析】1-．8. 在平面直角坐标系中，已知点()1,0A -、()2,0B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =，则AE BF ⋅的最小值为． 【解析】3-．9. 有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个．从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是． 【解析】15．10.设等比数列{}n a 的通项公式为()1*1n n a a q n -=∈N ，前n 项和为n S ．若11lim 2n n n S a →∞+=，则q =．【解析】3q =．11. 已知常数0a >，函数()22xxf x ax =+的图像经过点61,,55P p Q q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、．若236p qpq +=，则a =． 【解析】6a =．12.22111x y +=，22221x y +=，12120.5x x y y +=的最大值为．【解析】利用两向量乘积、单位圆、点到直线:10l x y +-=二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13. 设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）．（A）B）C）D）【解析】（C ）14. 已知a ∈R ，则“1a >”是“11a<”的（）． （A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件 【解析】（A ）15. 《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设1AA 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以1AA 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）． （A ）4 （B ）8 （C ）12 （D ）16 【解析】（D ）16. 设D 是含数1的有限实数集，()f x 是定义在D 上的函数．若()f x 的图像绕原点逆时针旋转6π后与原图像重合，则在以下各项中，()1f 的可能取值只能是（）． （AB（C）（D ）0 【解析】（B ）三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2， （1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设4PO =，OA OB 、是底面半径，且90AOB ∠=，M 为线段AB 的中点，如图，求异面直线PM 与OB 所成的角的大小．【解析】（1）V =；（2）O MPBA18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设常数a ∈R ，函数()2sin 22cos f x a x x =+． （1）若()f x 为偶函数，求a 的值；（2）若14f π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求方程()1f x =-在区间[],ππ-上的解．【解析】（1）0a =；（2）115131924242424x ππππ=--、、、． 19. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中()%0100x x <<的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为：()()30,0301800290,30100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩单位：分钟， 而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟．试根据上述分析结果回答下列问题： （1）当x 在什么范围时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义．【解析】（1）45100x <<；（2）()240,0301011358,301005010x x g x x x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩，()g x 在(]0,32.5x ∈时单调递减，在[)32.5,100x ∈时单调递增．实际意义为：当S 中32.5%的成员自驾时，该地上班族S 的人均通勤时间达到最小值36.875分钟．20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意n ∈*N ，都有1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”．（1）设{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，11n n b a +=+，n ∈*N ，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由； （2）设数列{}n a 的前四项为：11a =，22a =，34a =，48a =，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合{}|,1,2,3,4i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ；（3）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在21b b -，32b b -，…，201200b b -中至少有100个为正数，求d 的取值范围． 【解析】（1）1112n n n b a -=-≤，所以{}n b 与{}n a “接近”；（2）[]10,2b ∈，[]21,3b ∈，[]33,5b ∈，[]47,9b ∈， {}|,1,2,3,4i M x x b i ===元素个数34m =或；（3）2d =-时，10,1,2,,200k k b b k +-≤=，即21b b -，32b b -，…，201200b b -中没有正数；当2d >-时，存在12201,,,b b b 使得210b b ->，320b b -<，430b b ->，540b b -<…，2001990b b ->，2012000b b -<，即有100个正数，故2d >-．21.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设常数2t >，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0F ，直线l ：x t =，曲线Γ：28y x =()0,0x t y ≤≤≥，l与x 轴交于点A、与Γ交于点B ，P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t 表示点B 到点F 的距离；（2）设3t =，2FQ =，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积；（3）设8t =，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．【解析】（1）2BF t =+；（2）AQP S =△；（3）25P ⎛ ⎝⎭．高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。