2016海淀高三期中数学(理)试卷讲评

2016-2017学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知向量 a =（﹣1，2）， b →=（2，﹣4）．若 a →与 b →（ ） A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向2.函数y=2x + 22x 的最小值为（ ）A.1B.2C.2 √2D.43.已知命题p ：∃c ＞0，方程x 2﹣x+c=0 有解，则￢p 为（ ） A.∀c ＞0，方程x 2﹣x+c=0无解 B.∀c≤0，方程x 2﹣x+c=0有解C.∃c ＞0，方程x 2﹣x+c=0无解 D.∃c ＜0，方程x 2﹣x+c=0有解4.已知函数y=a x ， y=x b ， y=log c x 的图象如图所示，则（ ）A.a ＞b ＞cB.a ＞c ＞bC.c ＞a ＞bD.c ＞b ＞a5.设 a →， b →是两个向量，则“| a →+ b →|＞| a →﹣ b →|”是“ a →• b →＞0”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数f （x ）=cos 4x+sin 2x ，下列结论中错误的是（ ） A.f （x ）是偶函数 B.函f （x ）最小值为 34 C.π2 是函f （x ）的一个周期D.函f （x ）在（0， π2 ）内是减函数7.如图所示，A 是函数f （x ）=2x 的图象上的动点，过点A 作直线平行于x 轴，交函数g （x ）=2x+2的图象于点B ，若函数f （x ）=2x 的图象上存在点C 使得△ABC 为等边三角形，则称A 为函数f （x ）=2x 上的好位置点．函数f （x ）=2x 上的好位置点的个数为（ ）A.0B.1C.2D.大于2第II 卷（非选择题）二、解答题n 2的等差数列，数列{b n 满足b n+1﹣b n =a n ， 且b 2=﹣18，b 3=﹣24．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）求b n 取得最小值时n 的值． 9.已知函数f （x ）=e x （x 2+ax+a ）． （1）求f （x ）的单调区间；（2）求证：当a≥4时，函数f （x ）存在最小值．10.已知数列{a n }是无穷数列，满足lga n+1=|lga n ﹣lga n ﹣1|（n=2，3，4，…）． （1）若a 1=2，a 2=3，求a 3 ， a 4 ， a 5的值；（2）求证：“数列{a n }中存在a k （k∈N *）使得lga k =0”是“数列{a n }中有无数多项是1”的充要条件；n }中∃a k （k∈N *），使得1≤a k ＜2．三、填空题n n 项和S n =3n +1，则a 2+a 3= ．12.若角θ的终边过点P （3，﹣4），则sin （θ﹣π）= ．13.已知正方形ABCD 边长为1，E 是线段CD 的中点，则 AE →⋅BD →= ．14.去年某地的月平均气温y （℃）与月份x （月）近似地满足函数y=a+bsin （ π6 x+ π6 ）（a ，b 为常数）．若6月份的月平均气温约为22℃，12月份的月平均气温约为4℃，则该地8月份的月平均气温约为 ℃．15.设函数f （x ）= {2x −a,x ≤1log a x,x ＞1（a ＞0，且a≠1）．①若a= 32 ，则函数f （x ）的值域为 ；②若f （x ）在R 上是增函数，则a 的取值范围是 ．16.已知函数f （x ）的定义域为R ．∀a ，b∈R，若此函数同时满足： ①当a+b=0时，有f （a ）+f （b ）=0； ②当a+b ＞0时，有f （a ）+f （b ）＞0， 则称函数f （x ）为Ω函数． 在下列函数中： ①y=x+sinx； ②y=3x ﹣（ 13 ）x ；③y= {0,x =0−1x,x ≠0是Ω函数的为 ． （填出所有符合要求的函数序号）参考答案1.D【解析】1.解：向量 a →=（﹣1，2）， b → =（2，﹣4）． b →=﹣2 a →，所以两个向量共线，反向． 故选：D ．【考点精析】关于本题考查的数量积判断两个平面向量的垂直关系，需要了解若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证;即：两平面垂直两平面的法向量垂直才能得出正确答案．2.C【解析】2.解：函数y=2x + 22x ≥2 √2x ⋅22x =2 √2 ，当且仅当x= 12 时，等号成立． 故选：C ．【考点精析】根据题目的已知条件，利用基本不等式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握基本不等式：,（当且仅当时取到等号）；变形公式： ． 3.A【解析】3.解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p ：∃c ＞0，方程x 2﹣x+c=0 有解，则￢p 为∀c ＞0，方程x 2﹣x+c=0无解． 故选：A ． 4.C【解析】4.解：根据函数的图象知，函数y=a x 是指数函数，且x=1时，y=a∈（1，2）；函数y=x b 是幂函数，且x=2时，y=2b ∈（1，2），∴b∈（0，1）； 函数y=log c x 是对数函数，且x=2时，y=log c 2∈（0，1），∴c＞2； 综上，a 、b 、c 的大小是c ＞a ＞b ． 故选：C ．【考点精析】通过灵活运用指数函数的单调性与特殊点，掌握0<a<1时:在定义域上是单调减函数;a>1时:在定义域上是单调增函数即可以解答此题． 5.C【解析】5.解：若| a →+ b →|＞| a →﹣ b →|，则等价为| a →+ b →|2＞| a →﹣ b →|2 ，即| a →|2+| b →|2+2 a →• b →＞| a →|2+| b →|2﹣2 a →• b →， 即4 a →• b →＞0，则 a →• b →＞0成立，反之，也成立，即“| a →+ b →|＞| a →﹣ b →|”是“ a →• b →＞0”的充要条件， 故选：C ． 6.D【解析】6.解：对于A ，函数f （x ）=cos 4x+sin 2x ，其定义域为R ，对任意的x∈R，有f （﹣x ）=cos 4（﹣x ）+sin 2（﹣x ）=cos 4x+sin 2x=f （x ）， 所以f （x ）是偶函数，故A 正确；对于B ，f （x ）=cos 4x ﹣cos 2x+1= (cos 2x −12)2 + 34 ，当cosx= √22 时f （x ）取得最小值 34 ，故B 正确；对于C ，f （x ）= (cos 2x −12)2 + 34= (1+cos2x 2−12)2 + 34 = cos 22x 4 + 34 = 1+cos4x 8 + 34 = 1+cos4x 8 + 78 ，它的最小正周期为T= 2π4 = π2 ，故C 正确；对于D ，f （x ）= 78 cos4x+ 78 ，当x∈（0， π2 ）时，4x∈（0，2π），f （x ）先单调递减后单调递增，故D 错误． 故选：D ．【考点精析】本题主要考查了三角函数的最值的相关知识点，需要掌握函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，才能正确解答此题． 7.B【解析】7.解：根据题意，设A ，B 的纵坐标为m ， 则A （log 2m ，m ），B （log 2m ﹣2，m ）， ∴AB=log 2m ﹣log 2m+2=2， 设C （x ，2x ），∵△ABC 是等边三角形，∴点C 到直线AB 的距离为 √3 ， ∴m﹣2x = √3 ，∴x=log 2（m ﹣ √3 ），∴x= 12 （log 2m+log 2m ﹣2）=log 2m ﹣1， ∴log 2（m ﹣ √3 ）=log 2m ﹣1=log 2 m2 ， ∴m﹣ √3 = m2 ， 解得m=2 √3 ，∴x=log2（m﹣√3）=log2√3，函数f（x）=2x上的好位置点的个数为1个，故选：B．8.（1）解：由题意知d=2，再由bn+1﹣bn=an，且b2=﹣18，b3=﹣24，得a2=b3﹣b2=﹣6，则a1=a2﹣d=﹣6﹣2=﹣8，∴an=﹣8+2（n﹣1）=2n﹣10；（2）解：bn+1﹣bn=2n﹣10，∴b2﹣b1=2×1﹣10，b 3﹣b2=2×2﹣10，…b n ﹣bn﹣1=2（n﹣1）﹣10（n≥2），累加得：bn =b1+2[1+2+…+（n﹣1）]﹣10（n﹣1）=b2﹣a1+2[1+2+…+（n﹣1）]﹣10（n﹣1），=﹣10+ 2×n(n−1)2−10(n−1) = n2−11n=(n−112)2−1214．∴当n=5或6时，bn 取得最小值为b5=b6=﹣30【解析】8.（1）由已知求得a2，结合公差求得首项，则数列{an}的通项公式可求；（2）把数列{an }的通项公式代入bn+1﹣bn=an，利用累加法求得bn，结合二次函数求得bn取得最小值时n的值．【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．9.（1）解：f′（x）=e x（x+2）（x+a），由f′（x）=0，解得：x=﹣2或x=﹣a，①﹣a=﹣2即a=2时，f′（x）=e x（x+2）2≥0恒成立，∴函数f（x）在R递增；2），（﹣a，+∞）递增，在（﹣2，﹣a）递减，a＞2时，f（x）在（﹣∞，﹣a），（﹣2，+∞）递增，在（﹣a，﹣2）递减；（2）解：法一：由（1）得：a≥4时，函数f（x）在x∈[﹣a，+∞）上f（x）≥f（﹣2），且f（﹣2）=e﹣2（4﹣a）≤0，∵a≥4，∴x∈（﹣∞，﹣a）时，x（x+a）≥0，e x＞0，x∈（﹣∞，﹣a）时，f（x）=e x[x（x+a）+a]＞0，∴a≥4时，函数f（x）存在最小值f（﹣2）；法二：由（Ⅰ）得：a≥4时，函数f（x）在x∈[﹣a，+∞）上f（x）≥f（﹣2），且f（﹣2）=e﹣2（4﹣a）≤0，x→﹣∞时，x2+ax+a→+∞，∴f（x）＞0，由（Ⅰ）可知，函数f（x）在（﹣∞，﹣a）递增，∴x∈（﹣∞，﹣a）时，f（x）＞0，∴a≥4时，函数f（x）的最小值是f（﹣2）【解析】9.（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）结合（1）得到函数f（x）在x∈[﹣a，+∞）上f（x）≥f（﹣2），而x∈（﹣∞，﹣a）时，f（x）=e x[x（x+a）+a]＞0，从而求出f（x）的最小值是f（﹣2）；法二：根据函数的单调性求出f（x）的最小值是f（﹣2）即可．【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能得出正确答案．10.（1）解：∵a1=2，a2=3，lgan+1=|lgan﹣lgan﹣1|（n=2，3，4，…），∴lga3=|lg3﹣lg2|= lg32，即a3=32；lga4=|lg32−lg3|=lg2，即a4=2；lga5=|lg2−lg32|=lg43，即a5=43；（2）证明：必要性、已知数列{an }中有无数多项是1，则数列{an}中存在ak（k∈N*）使得lgak=0．∵数列{an }中有无数多项是1，∴数列{an}中存在ak（k∈N*）使得ak=1，即数列{an }中存在ak（k∈N*）使得lgak=0．充分性：已知数列{an }中存在ak（k∈N*）使得lgak=0，则数列{an}中有无数多项是1．假设数列{an}中没有无数多项是1，不妨设a m=1(m∈N∗)是数列{a n}中为1的最后一项，则am+1≠1，若am+1＞1，则由lgan+1=|lgan﹣lgan﹣1|（n=2，3，4，…），可得lgam+2=lgam+1，∴lgam+3=|lgam+2﹣lgam+1|=0，则lgam+3=1，与假设矛盾；若0＜am+1＜0，则由lgan+1=|lgan﹣lgan﹣1|（n=2，3，4，…），可得lgam+2=﹣lgam+1，∴lgam+3=|lgam+2﹣lgam+1|=﹣2lgam+1，lgam+4=|lgam+3﹣lgam+2|=|﹣2lgam+1+lgam+1|=﹣lgam+1，lgam+5=|lgam+4﹣lgam+3|=|﹣lgam+1+2lgam+1|=﹣lgam+1，∴lgam+6=|lgam+5﹣lgam+4|=0，得lgam+6=1，与假设矛盾．综上，假设不成立，原命题正确；（3）证明：假设数列{an }中不存在ak（k∈N*），使得1≤ak＜2，则0＜ak ＜1或ak≥2（k=1，2，3，…）．由lgan+1=|lgan﹣lgan﹣1|（n=2，3，4，…），可得a n+1={a na n−1,a n≥a n−1a n−1a n,a n＜a n−1（n=1，2，3，…）*，且an＞0（n=1，2，3，…），∴当n≥2时，an ≥1，an≥2（n=3，4，5，…）．若a4=a3≥2，则a5=1，与a5≥2矛盾；若a4≠a3≥2，设bm =max{a2m+1，a2m+2}（m=1，2，3，…），则bm≥2．由（*）可得，a2m+3≤max{a2m+1,a2m+2}2=12b n，a2m+4≤12max{a2m+2,a2m+3}，∴ max{a2m+3,a2m+4}≤12b m，即b m+1≤12b m（m=1，2，3，…），∴ b m≤b12m+1，对于b1，显然存在l使得21−1≤b1<21．∴ b1+1≤b121＜1，这与b m≥2矛盾．∴假设不成立，原命题正确【解析】10.（1）由a1=2，a2=3，结合lgan+1=|lgan﹣lgan﹣1|（n=2，3，4，…）可得a3， a4， a5的值；（2）分必要性和充分性证明，充分性利用反证法证明；（3）利用反证法，假设数列{an }中不存在ak（k∈N*），使得1≤ak＜2，则0＜ak ＜1或ak≥2（k=1，2，3，…）．然后分类推出矛盾得答案．【考点精析】关于本题考查的数列的通项公式，需要了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能得出正确答案．11.24【解析】11.解：数列{an }的前n项和Sn=3n+1，S 1=31+1=4，S3=33+1=28，a 2+a3=28﹣4=24．所以答案是：24．【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{a n }的前n 项和s n 与通项a n 的关系，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列a n 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式． 12.45【解析】12.解：∵角θ的终边过点P （3，﹣4），∴x=3，y=﹣4，r=|OP|=5，∴sinθ=﹣ 45 ， 则sin （θ﹣π）=﹣sinθ= 45 ，所以答案是： 45 ． 13.12【解析】13.解：由题意可得 AD →⋅AB → =0，AD=AB=1，∴ AE →⋅BD → =（ AD →+AB→2）•（ AD → ﹣ AB →）= AD →2﹣ 12AB →⋅AD →﹣AB →22=1﹣0﹣ 12 = 12 ，所以答案是： 12 ．14.31【解析】14.解：函数y=a+bsin （ π6 x+ π6 ）（a ，b 为常数）， 当x=6时y=22；当x=12时y=4； 即 {a +bsin(π+π6)=22a +bsin(2π+π6)=4，化简得 {a −12b =22a +12b =4，解得a=13，b=﹣18；∴y=13﹣18sin （ π6 x+ π6 ），当x=8时，y=13﹣18sin （ π6 ×8+ π6 ）=31． 所以答案是：31．15.（﹣ 32 ，﹣ 12 ]∪（0，+∞）；[2，+∞）【解析】15.解：（1）当a= 32 时，若x≤1，则f （x ）=2x ﹣ 32 ，则其值域为（﹣ 32 ，﹣ 12 ]，若x ＞1，f （x ）= log 32x ，则其值域为（0，+∞），综上所述函数f （x ）的值域为（﹣ 32 ，﹣ 12 ]∪（0，+∞）， ·（2）∵f（x ）在R 上是增函数， ∴a＞1，此时f （x ）=2x ﹣a 的最大值为2﹣a ，f （x ）=log a x ＞0，∴2﹣a≤0，解得a≥2，故a的取值范围为[2，+∞），所以答案是：（1）：（﹣32，﹣12]∪（0，+∞），（2）：[2，+∞）16.①②【解析】16.解：容易判断①②③都是奇函数；y′=1﹣cosx≥0，y′=ln3（3x+3﹣x）＞0；∴①②都在定义域R上单调递增；③在定义域R上没有单调性；设y=f（x），从而对于函数①②：a+b=0时，a=﹣b，f（a）=f（﹣b）=﹣f （b）；∴f（a）+f（b）=0；a+b＞0时，a＞﹣b；∴f（a）＞f（﹣b）=﹣f（b）；∴f（a）+f（b）＞0；∴①②是Ω函数；对于函数③，a+b＞0时，得到a＞﹣b；∵f（x）不是增函数；∴得不到f（a）＞f（﹣b），即得不出f（a）+f（b）＞0．所以答案是：①②．【考点精析】本题主要考查了命题的真假判断与应用的相关知识点，需要掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系才能正确解答此题．。

海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习数学试卷（理科） 2016.4本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项．1．函数()f x = A ．［0，＋∞）B ．［1，＋∞）C ．（－∞，0］D ．（－∞，1］2．某程序的框图如图所示，若输入的z ＝i （其中i 为虚数单位），则输出的S 值为 A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i3．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为A ．52 B ．3 C ．72D ．44．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为 ABCD5．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，则“ {}n a 为常数列”是“*,n n n N S na ∀∈=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在极坐标系中，圆C 1 :2cos ρθ=与圆C 2:2sin ρθ=相交于 A ，B 两点，则｜AB ｜＝ A ．1 BCD ． 27．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是A ．,44a b ππ==-B ．2,36a b ππ==C ．,36a b ππ==D ．52,63a b ππ==8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则 下列叙述正确的是A ．甲只能承担第四项工作B ．乙不能承担第二项工作C ．丙可以不承担第三项工作D ．丁可以承担第三项工作二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．已知向量(1,),(,9)a t b t ==，若a b ，则t ＝ _______． 10．在等比数列{}n a 中，a 2＝2，且131154a a +=，则13a a +的值为_______． 11．在三个数1231,2.log 22-中，最小的数是_______．12．已知双曲线C ：22221x y a b-=的一条渐近线l 的倾斜角为3π，且C 的一个焦点到l 的距离C 的方程为_______．13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个．（ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有_______种； （ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．14．已知函数()f x ，对于实数t ，若存在a ＞0，b ＞0 ，满足：[,]x t a t b ∀∈-+，使得|()()|f x f t -≤2，则记a ＋b 的最大值为H （t ）．（ⅰ）当 ()f x ＝2x 时，H （0）＝ _______．（ⅱ）当()f x 2x =且t [1,2]∈时，函数H （t ）的值域为_______．三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13 分）如图，在△ABC 中，点D 在边 AB 上，且13AD DB =．记∠ACD ＝α ，∠BCD ＝β． （Ⅰ）求证：sin 3sin AC BC βα= ；（Ⅱ）若,,62AB ππαβ===BC 的长．16．（本小题满分13 分）2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推 广．2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法 上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中 分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4 株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；（Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为21s ，22s ，根据样本数据， 试估计21s 与22s 的大小关系（只需写出结论）；（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这2 株的产量总和为ξ，求 随机变量ξ的分布列和数学期望．17．（本小题满分14 分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M ，N 分别为线段PB ，PC 上的点，MN ⊥PB ． （Ⅰ）求证： BC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M ，N ，D ， A 四个点在同一个平面内； （Ⅲ）当PA ＝AB ＝2，二面角C －AN －D 的大小为3π时，求PN 的长．18．（本小题满分13 分） 已知函数f (x ) ＝ln x ＋1x －1，1()ln x g x x-= （Ⅰ）求函数 f (x )的最小值；（Ⅱ）求函数g (x )的单调区间；（Ⅲ）求证：直线 y ＝x 不是曲线 y ＝g (x )的切线。

北京市海淀区2016届高三下学期期中练习数学（理）试题本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．函数()f x=A．［0，＋∞）．［1，＋∞）．（－∞，0］．（－∞，1］【知识点】函数的定义域与值域【试题解析】要使函数有意义，需满足：即所以函数的定义域为：．故答案为：A【答案】A2．某程序的框图如图所示，若输入的z＝i（其中i为虚数单位），则输出的S 值为A．－1B．1C．－iD．i【知识点】算法和程序框图【试题解析】由题知：n=9时，否，是，则输出的值为。

故答案为：D【答案】D3．若x，y 满足2040x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y=+的最大值为A．52B．3C．72D．4【知识点】线性规划【试题解析】作可行域：由图知：当目标函数线过点C （1，3）时，目标函数值最大，为故答案为：C 【答案】C4．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为A BC D【知识点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图【试题解析】该三棱锥的底面是以2为底，以为高的三角形，高为1， 所以故答案为：A 【答案】A5．已知数列{}n a 的前n 项和为Sn ，则“ {}n a 为常数列”是“*,n n n N S na ∀∈=”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【知识点】充分条件与必要条件 【试题解析】若为常数列，则； 反过来，若，则，即为常数列。

所以“为常数列”是“，”的充分必要条件。

故答案为：C 【答案】C6．在极坐标系中，圆C 1 :2cos ρθ=与圆C 2:2sin ρθ=相交于 A ，B 两点，则｜AB ｜＝A ．1BCD ． 2 【知识点】圆与圆的位置关系 【试题解析】化圆为标准方程，两圆方程作差，得相交弦AB 所在直线方程为：圆的圆心为（1，0），半径为1．所以圆心到直线AB 的距离为：所以弦长的一半为：即弦长为：。

北京市海淀区2016届高三上学期期中考试试卷（理）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.1.命题“若a b >，则11a b ->-”的否命题是（ ）A ．若a b >，则11a b -≤-B ．若a b ≥，则11a b -<-C ．若a b ≤，则11a b -≤-D ．若a b <，则11a b -<-2.下列说法错误的是（ ）A ．对于命题P ：2000,10x R x x ∃∈++<，则P ⌝为2,10x R x x ∀∈++≥3.若直线34120x y -+=与两坐标轴交点为A ，B ，则过A 、B 及原点O 三点的圆的方程是（ ）A ．22430x y x y ++-=B ．22430x y x y +--=C ．224340x y x y ++--=D ．224380x y x y +--+=4.矩形ABCD 中，||4,||3AB BC ==，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的短轴的长为（ ）A ．B ．C ．D ．5.直线20x -=被圆22(1)1x y -+=所截得的线段的长为（ ）A ．1BCD ．2 6.P 是椭圆22195x y +=上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线，垂足为M ，则线段PM 中点的轨迹方程为（ ）A ．224195x y +=B ．224195x y +=C ．221920x y +=D ．221365x y +=7.设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足212||||PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）A ．53B ．54C ．43D ．328.已知椭圆2214x y m+=的离心率12e =，则m 的值为（ ） A ．3 B ．1 C ．16或1 D ．163或3 9.过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中心的直线与椭圆交于A 、B 两点，右焦点为2(,0)F c ，则2ABF ∆的最大面积是（ ）A ．abB ．acC ．bcD ．2b10.(2)3k x =-+有两个不等实根，则k 的取值范围是（ ）A ．5(0,)12B ．13[,]34C ．5(,)12+∞D ．53(,]124二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）11.命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>”是假命题，则实数a 的取值范围是 .12.若圆224x y +=与圆222290x y ax a +++-=（0a >）有公共点，则a 的取值范围 为 .13.椭圆2214924x y +=上一点P 与椭圆的两个焦点12,F F 的连线互相垂直，则12PF F ∆的面积为 .14.若直线30mx ny +-=与圆223x y +=没有公共点，则以(,)m n 为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆22173x y +=的公共点个数为 . 三、解答题 （本大题共6小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（10分）设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >，命题q ：实数x 满足227180280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩. （1）若1a =，且p q ∨为真，求实数x 的取值范围；（2）若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.16.（10分）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点(2,0)M ，AB 边所在直线的方程为 360x y --=，点(1,1)T -在AD 边所在直线上.（1）求AD 边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD 外接圆的方程.17.（12分）在直角坐标平面内，已知点(2,0),(2,0)A B -，P 是平面内一动点，直线P A 、PB 斜率之积为34-. （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点(1,0)Q 作直线l 与轨迹C 交于M 、N 两点，O 为坐标原点，求OMN ∆面积取最大值时，直线l 的方程.18.（12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，点在C 上. （1）求C 的标准方程；（2）设直线l 过点P （0,1），当l 绕点P 旋转的过程中，与椭圆C 有两个交点A 、B ，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.参考答案一、选择题1-5：CBADC 6-10：BADCD二、填空题11. [1,5] 12. (,0)[3,)-∞+∞U 13.24 14.2三、解答题15.解：（1）化简p ：(,3)x a a ∈化简q ：[2,9]((,4)(2,))(2,9]x ∈--∞-+∞=I U ，∵1a =，∴p ：(1,3)x ∈，依题意有p q ∨为真，∴(1,3)(2,9](1,9]x ∈=U .16.解：（1）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直， 所以直线AD 的斜率为-3，又因为点(1,1)T -在直线AD 上，所以AD 边所在的直线的方程为13(1)y x -=-+，即320x y ++=.（2）由360320x y x y --=⎧⎨++=⎩，解得点A 的坐标为(0,2)-，因为矩形ABCD 两条对角线的交点为(2,0)M ，所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心，又||AM ==，从而矩形ABCD 外接圆的方程为22(2)8x y -+=.17.（1）设点P 坐标（x ,y ），依题意，有3(2)224y yx x x ∙=-≠±-+ 化简并整理，得221(2)43x y x +=≠±所以动点P 的轨迹C 的方程是221(2)43x y x +=≠±.（2）依题意，直线l 过点(1,0)Q 且斜率不为零，故可设其方程为1x my =+. 联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩并整理得到22(34)690m y my ++-=，显然0∆>，设两交点坐标1122(,),(,)M x y N x y ，根据韦达定理，122634m y y m +=-+，122934y y m -=+，∴11||||||22OMN M N M N S OQ y y y y ∆=∙-=-=，,(1)t t ≥，则2226661343(1)4313OMN t t S m t t t t∆====+-+++，∵1t ≥，函数1()3f t t t =+在此区间内为增函数，613OMN S t t∆=+为减函数， ∴66313123OMN S t t∆=≤=++，此时，1,0t m ==，所以直线l 的方程为1x =.18.解：（1，所以::a b c =， 不妨设椭圆的标准方程为2221x y λ+=，代入点，得到4λ= 所以椭圆的标准方程为22184x y +=.（2）设线段AB 的中点00(,)M x y ，若直线l 斜率不存在，即为0x =，易得线段AB 中点为(0,0). 若直线l 斜率存在，设直线方程为1y kx =+，两交点坐标1122(,),(,)A x y B x y ， 易得22112222184184x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，减得048x k y =-， 又因为001y k x -=，化简得22000220x y y +-=，（0,0）代入满足方程，所以线段AB 的中点M 的轨迹方程为22220x y y +-=.。

2015-2016学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合P={x|x2﹣x﹣2≤0}，M={﹣1，0，3，4}，则集合P∩M中元素的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．42．下列函数中为偶函数的是( )A．y=B．y=lg|x| C．y=（x﹣1）2D．y=2x3．在△ABC中，∠A=60°，||=2，||=1，则•的值为( )A．1 B．﹣1 C．D．﹣4．数列{a n}的前n项和为S n，若S n﹣S n﹣1=2n﹣1（n≥2），且S2=3，则a1+a3的值为( ) A．1 B．3 C．5 D．65．已知函数f（x）=cos4x﹣sin4x，下列结论错误的是( )A．f（x）=cos2xB．函数f（x）的图象关于直线x=0对称C．f（x）的最小正周期为πD．f（x）的值域为[﹣，]6．“x＞0”是“x+sinx＞0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．如图，点O为坐标原点，点A（1，1），若函数y=a x（a＞0，且a≠1）及log b x（b＞0，且b≠1）的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足( )A．a＜b＜1 B．b＜a＜1 C．b＞a＞1 D．a＞b＞18．已知函数f（x）=，函数g（x）=ax2﹣x+1，若函数y=f（x）﹣g（x）恰好有2个不同零点，则实数a的取值范围是( )A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，1）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．2xdx=__________．10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=4，sinC=2sinA，sinB=，则a=__________，S△ABC=__________．11．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a3+a9=a10﹣a8．若a n=0，则n=__________．12．已知向量=（1，1），点A（3，0），点B为直线y=2x上的一个动点．若∥，则点B的坐标为__________．13．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），若f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象向右平移个单位所得的图象重合，则ω的最小值为__________．14．对于数列{a n}，若∀m，n∈N*（m≠n），都有≥t（t为常数）成立，则称数列{a n}具有性质P（t）．（1）若数列{a n}的通项公式为a n=2n，且具有性质P（t），则t的最大值为__________；（2）若数列{a n}的通项公式为a n=n2﹣，且具有性质P（10），则实数a的取值范围是__________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等比数列{a n}的公比q＞0，其n前项和为S n，若a1=1，4a3=a2a4．（Ⅰ）求公比q和a5的值；（Ⅱ）求证：＜2．16．（13分）已知函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．17．（13分）如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=3，CD=5，∠A=，cos∠ADB=．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求证：∠ABC+∠ADC=π18．（13分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+1，曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线为l （Ⅰ）若直线l的斜率为﹣3，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数是f（x）区间[﹣2，a]上的单调函数，求a的取值范围．19．（14分）已知由整数组成的数列{a n}各项均不为0，其前n项和为S n，且a1=a，2S n=a n a n+1．（1）求a2的值；（2）求{a n}的通项公式；（3）若n=15时，S n取得最小值，求a的值．20．（14分）已知x为实数，用表示不超过x的最大整数，例如[1，2]=1，[﹣1.2]=﹣2，[1]=1，对于函数f（x），若存在m∈R且m∉Z，使得f（m）=f（[m]），则称函数f（x）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f（x）=x2﹣x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）设函数f（x）是定义R在上的周期函数，其最小正周期为T，若f（x）不是Ω函数，求T的最小值．（Ⅲ）若函数f（x）=x+是Ω函数，求a的取值范围．2015-2016学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合P={x|x2﹣x﹣2≤0}，M={﹣1，0，3，4}，则集合P∩M中元素的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】求出P中不等式的解集确定出P，找出P与M的交集，即可确定出交集中元素的个数．【解答】解：由P中不等式变形得：（x﹣2）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤2，即P={x|﹣1≤x≤2}，∵M={﹣1，0，3，4}，∴P∩M={﹣1，0}，则集合P∩M中元素的个数为2，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．下列函数中为偶函数的是( )A．y=B．y=lg|x| C．y=（x﹣1）2D．y=2x【考点】函数奇偶性的判断．【专题】证明题；对应思想；函数的性质及应用．【分析】根据奇偶函数的定义，可得结论．【解答】解：根据奇偶函数的定义，可得A是奇函数，B是偶函数，C，D非奇非偶．故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性，考查学生的计算能力，比较基础．3．在△ABC中，∠A=60°，||=2，||=1，则•的值为( )A．1 B．﹣1 C．D．﹣【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用．【分析】运用数量积公式则•=||•||COS60°求解即可．【解答】解：∠A=60°，||=2，||=1，则•=||•||COS60°=2×1×=1故选：A【点评】本题考察了向量的数量积的运算，属于简单计算题，关键记住公式即可．4．数列{a n}的前n项和为S n，若S n﹣S n﹣1=2n﹣1（n≥2），且S2=3，则a1+a3的值为( ) A．1 B．3 C．5 D．6【考点】数列递推式．【专题】计算题；转化思想；分析法；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】直接代入计算即得结论．【解答】解：依题意，S2﹣S1=3，∴a1=S1=S2﹣3=3﹣3=0，又∵a3=S3﹣S2=5，∴a1+a3=0+5=5，故选：C．【点评】本题考查数列的通项，涉及通项与数列和之间的关系，注意解题方法的积累，属于基础题．5．已知函数f（x）=cos4x﹣sin4x，下列结论错误的是( )A．f（x）=cos2xB．函数f（x）的图象关于直线x=0对称C．f（x）的最小正周期为πD．f（x）的值域为[﹣，]【考点】二倍角的余弦．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】由平方差公式及二倍角的余弦函数公式化简函数解析式可得f（x）=cos2x，利用余弦函数的图象和性质及余弦函数的周期公式即可得解．【解答】解：由f（x）=cos4x﹣sin4x=（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）=cos2x，故A正确；由利用余弦函数的图象可知f（x）=cos2x为偶函数，故B正确；由周期公式可得f（x）的最小正周期为：T=，故C正确；由余弦函数的性质可得f（x）=cos2x的值域为[﹣1，1]，故D错误；故选：D．【点评】本题主要考查了平方差公式及二倍角的余弦函数公式，考查了余弦函数的图象和性质，属于基础题．6．“x＞0”是“x+sinx＞0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】问题转化为y=﹣x和y=sinx的图象的位置，画出函数的图象，读图即可得到答案．【解答】解：若x+sinx＞0，只需y=﹣x的图象在y=sinx的下方即可，画出函数y=﹣x和y=sinx的图象，如图示：，由图象得：x＞0是x+sinx＞0的充要条件，故选：C．【点评】本题考查了充分必要条件，考查数形结合思想，是一道基础题．7．如图，点O为坐标原点，点A（1，1），若函数y=a x（a＞0，且a≠1）及log b x（b＞0，且b≠1）的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足( )A．a＜b＜1 B．b＜a＜1 C．b＞a＞1 D．a＞b＞1【考点】指数函数的图像与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】先由图象得到0＜a＜1，0＜b＜1，再根据反函数的定义可以得出y=a x经过点M，则它的反函数y=log a x也经过点M，根据对数函数的图象即可得到a＜b．【解答】解：由图象可知，函数均为减函数，所以0＜a＜1，0＜b＜1，因为点O为坐标原点，点A（1，1），所以直线OA为y=x，因为y=a x经过点M，则它的反函数y=log a x也经过点M，又因为log b x（b＞0，且b≠1）的图象经过点N，根据对数函数的图象和性质，∴a＜b，∴a＜b＜1故选：A．【点评】本题考查了对数函数和指数函数的图象及性质，以及反函数的概念和性质，属于基础题．8．已知函数f（x）=，函数g（x）=ax2﹣x+1，若函数y=f（x）﹣g（x）恰好有2个不同零点，则实数a的取值范围是( )A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，1）【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】化函数y=f（x）﹣g（x）恰好有2个不同零点为函数f（x）+x﹣1与函数y=ax2的图象有两个不同的交点，从而解得．【解答】解：∵f（x）﹣（ax2﹣x+1）=0，∴f（x）+x﹣1=ax2，而f（x）+x﹣1=，作函数y=f（x）+x﹣1与函数y=ax2的图象如下，，结合选项可知，实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，1），故选：D．【点评】本题考查了数形结合的思想应用及函数的零点与函数的图象的关系应用．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．2xdx=3．【考点】定积分．【专题】函数思想；导数的概念及应用．【分析】由题意可得2xdx=x2，代值计算可得．【解答】解：由定积分的计算可得：2xdx=x2=22﹣12=3故答案为：3【点评】本题考查定积分的计算，属基础题．10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=4，sinC=2sinA，sinB=，则a=2，S△ABC=．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】由正弦定理化简可得：c=2a，利用已知即可解得a的值，根据三角形面积公式即可得解．【解答】解：∵sinC=2sinA，由正弦定理可得：c=2a，∴c=4，解得：a=2，∴S△ABC=acsinB==．故答案为：2，．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．11．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a3+a9=a10﹣a8．若a n=0，则n=5．【考点】等差数列的通项公式．【专题】方程思想；待定系数法；等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a1=﹣4d，可得a n=（n﹣5）d，令（n﹣5）d=0解方程可得．【解答】解：∵a3+a9=a10﹣a8，∴a1+2d+a1+8d=a1+9d﹣（a1+7d），解得a1=﹣4d∴a n=﹣4d+（n﹣1）d=（n﹣5）d，令（n﹣5）d=0可解得n=5（d≠0）故答案为：5【点评】本题考查等差数列的通项公式，求出数列的首项和公差的关系是解决问题的关键，属基础题．12．已知向量=（1，1），点A（3，0），点B为直线y=2x上的一个动点．若∥，则点B的坐标为（﹣3，﹣6）．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】方程思想；向量法；平面向量及应用．【分析】利用向量共线定理的坐标运算性质即可得出．【解答】解：设B（x，2x），=（x﹣3，2x）．∵∥，∴x﹣3﹣2x=0，解得x=﹣3，∴B（﹣3，﹣6），故答案为：（﹣3，﹣6）．【点评】本题考查了向量共线定理的坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），若f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象向右平移个单位所得的图象重合，则ω的最小值为4．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，终边相同的角的特征，求得ω的最小值．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），把f（x）的图象向左平移个单位所得的图象为y=sin[ω（x+）+φ]=sin（ωx++φ），把f（x）的图象向右平移个单位所得的图象为y=sin[ω（x﹣）+φ]=sin（ωx﹣+φ），根据题意可得，y=sin（ωx++φ）和y=sin（ωx﹣+φ）的图象重合，故+φ=2kπ﹣+φ，求得ω=4k，故ω的最小值为4，故答案为：4．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，终边相同的角，属于基础题．14．对于数列{a n}，若∀m，n∈N*（m≠n），都有≥t（t为常数）成立，则称数列{a n}具有性质P（t）．（1）若数列{a n}的通项公式为a n=2n，且具有性质P（t），则t的最大值为2；（2）若数列{a n}的通项公式为a n=n2﹣，且具有性质P（10），则实数a的取值范围是[36，+∞）．【考点】数列与函数的综合．【专题】新定义；函数的性质及应用．【分析】（1）由题意可得≥0，即数列{2n﹣nt}单调递增，运用单调性的定义，计算即可得到t的最大值；（2）由题意可得≥10，即有≥0，即为数列{n2﹣10n﹣}为单调递增，由单调性即可得到所求范围．【解答】解：（1）由题意可得≥t恒成立，即有≥0，即数列{2n﹣nt}单调递增，即有2n+1﹣（n+1）t﹣（2n﹣nt）≥0，即t≤2n，由于2n的最小值为2，则t≤2．故t的最大值为2；（2）由题意可得≥10，即有≥0，即为数列{n2﹣10n﹣}为单调递增，即有（n+1）2﹣10（n+1）﹣﹣（n2﹣10n﹣）≥0，即为﹣a≤n（n+1）（2n﹣9），由f（n）=n（n+1）（2n﹣9，n=3时，取得最小值﹣36，则﹣a≤﹣36，即有a≥36．故答案为：2，[36，+∞）．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查数列的单调性的判断和运用，考查运算能力，属于中档题．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等比数列{a n}的公比q＞0，其n前项和为S n，若a1=1，4a3=a2a4．（Ⅰ）求公比q和a5的值；（Ⅱ）求证：＜2．【考点】等比数列的通项公式．【专题】综合题；方程思想；作差法；等差数列与等比数列．【分析】（I）数列{a n}为等比数列且q＞0，且a1=1，4a3=a2a4．可得4q2=q4，解出即可得出．（II）a n=2n﹣1，S n==2n﹣1，作差﹣2化简即可得出．【解答】（I）解：∵数列{a n}为等比数列且q＞0，且a1=1，4a3=a2a4．∴4q2=q4，解得q=2．∴a5=q4=16．（II）证明：a n=2n﹣1，S n==2n﹣1，∴﹣2=﹣2=2﹣﹣2＜0，∴＜2．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式的性质及其前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（13分）已知函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（I）利用和差角（辅助角）公式，将函数化为正弦型函数的形式，再由诱导公式可得f（x）=2cos2x，将x=代入可得答案；（Ⅱ）由（I）得：f（x）=2cos2x，结合余弦函数的图象和性质，可得函数的最小正周期和单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）=2sin[（2x+）+]=2sin （2x+）=2cos2x．∴f（）=2cos（2×）=2cos=1；（Ⅱ）由（I）得：f（x）=2cos2x，∵ω=2，∴周期T=π，由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z得：kπ﹣≤x≤kπ，k∈Z∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ]，k∈Z【点评】本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用，三角函数求值，余弦型函数的图象和性质，难度中档．17．（13分）如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=3，CD=5，∠A=，cos∠ADB=．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求证：∠ABC+∠ADC=π【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；解三角形．【分析】（Ⅰ）由已知可求sin∠ADB的值，根据正弦定理即可解得BD的值．（Ⅱ）根据已知及余弦定理可求cos∠C=﹣，结合范围∠C∈（0，π）可求∠C，可得∠A+∠C=π，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）在△ABD中，因为cos∠ADB=，∠ADB∈（0，π），所以sin∠ADB=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣根据正弦定理，有，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣代入AB=8，∠A=．解得BD=7．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）在△BCD中，根据余弦定理cos∠C=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣代入BC=3，CD=5，得cos∠C=﹣，∠C∈（0，π）所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以∠A+∠C=π，而在四边形ABCD中∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=2π，所以∠ABC+∠ADC=π．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，考查了余弦函数的图象和性质，同角的三角函数关系式的应用，属于中档题．18．（13分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+1，曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线为l （Ⅰ）若直线l的斜率为﹣3，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数是f（x）区间[﹣2，a]上的单调函数，求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】转化思想；分类法；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由条件可得a=﹣3，由导数大于0，可得增区间，由导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）由题意可得当函数在[﹣2，a]递增（或递减），即有f′（x）≥0（或≤0）对x∈[﹣2，a]成立，只要f′（x）=x2+2x+a在[﹣2，a]上的最小值（或最大值）大于等于0即可．求出二次函数的对称轴，讨论区间[﹣2，a]和对称轴的关系，求得最小值（或最大值），解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）因为f（0）=1，所以曲线y=f（x）经过点（0，1），又f′（x）=x2+2x+a，曲线y=f（x）在点（0，1）处切线的斜率为﹣3，所以f′（0）=a=﹣3，所以f′（x）=x2+2x﹣3．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，﹣3）﹣3 （﹣3，1） 1 （1，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）增极大值减极小值减所以函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣3），（1，+∞），单调递减区间为（﹣3，1）；（Ⅱ）因为函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调，①当函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调递减时，f′（x）≤0对x∈[﹣2，a]成立，即f′（x）=x2+2x+a≤0对x∈[﹣2，a]成立，根据二次函数的性质，只需要，解得﹣3≤a≤0．又a＞﹣2，所以﹣2＜a≤0；②当函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调递增，所以f′（x）≥0对x∈[﹣2，a]成立，只要f′（x）=x2+2x+a在[﹣2，a]上的最小值大于等于0即可．因为函数f′（x）=x2+2x+a的对称轴为x=﹣1，当﹣2≤a≤﹣1时，f′（x）在[﹣2，a]上的最小值为f′（a），解f′（a）=a2+3a≥0，得a≥0或a≤﹣3，所以此种情形不成立；当a＞﹣1时，f′（x）在[﹣2，a]上的最小值为f′（﹣1），解f′（﹣1）=1﹣2+a≥0得a≥1，所以a≥1，综上，实数a的取值范围是﹣2＜a≤0或a≥1．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．19．（14分）已知由整数组成的数列{a n}各项均不为0，其前n项和为S n，且a1=a，2S n=a n a n+1．（1）求a2的值；（2）求{a n}的通项公式；（3）若n=15时，S n取得最小值，求a的值．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由已知得2a1=a1a2，由此能求出a2=2．（2）由2S n=a n a n+1，得2S n﹣1=a n﹣1a n，n≥2，从而a n+1﹣a n﹣1=2，由此能利用等差数列的通项公式求出{a n}的通项公式．（3）由（2）得S n=，从而S15为最小值等价于S13≥S15，S15≤S17，由此结合已知条件能求出a的值．【解答】解：（1）∵2S n=a n a n+1，∴2S1=a1a2，即2a1=a1a2，∵a1=a≠0，∴a2=2．（2）∵2S n=a n a n+1，∴2S n﹣1=a n﹣1a n，n≥2，两式相减，得：2a n=a n（a n+1﹣a n﹣1），∵a n≠0，∴a n+1﹣a n﹣1=2，∴{a2k﹣1}，{a2k}都是公差为2的等差数列，当n=2k﹣1，k∈N*时，a n=a1+（k﹣1）×2=a+n﹣1，当n=2k，k∈N*时，a n=2+（k﹣1）×2=2k=n．∴．（3）∵2S n=a n a n+1，，∴S n=，∵所有奇数项构成的数列是一个单调递增数列，所有的偶数项构成的是一个单调递增数列，∴当n为偶数时，a n＞0，∴此时S n＞S n﹣1，∴S15为最小值等价于S13≥S15，S15≤S17，∴a14+a15≤0，a16+a17≥0，∴14+15+a﹣1≤0，16+17+a﹣1≥0，解得﹣32≤a≤﹣28，∵数列{a n}是由整数组成的，∴a∈{﹣32，﹣31，﹣30，﹣29，﹣28}，∵a≠0，∴对所有的奇数n，a n=n+a﹣1≠0，∴a不能取偶数，∴a=﹣31，或a=﹣29．【点评】本题考查数列的第二项的值的求法，考查数列的通项公式的求法，考查使得数列的前15项和取得最小值的实数值的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．20．（14分）已知x为实数，用表示不超过x的最大整数，例如[1，2]=1，[﹣1.2]=﹣2，[1]=1，对于函数f（x），若存在m∈R且m∉Z，使得f（m）=f（[m]），则称函数f（x）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f（x）=x2﹣x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）设函数f（x）是定义R在上的周期函数，其最小正周期为T，若f（x）不是Ω函数，求T的最小值．（Ⅲ）若函数f（x）=x+是Ω函数，求a的取值范围．【考点】抽象函数及其应用．【专题】新定义；分类讨论；演绎法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）根据Ω函数的定义直接判断函数f（x）=x2﹣x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（Ⅱ）根据周期函数的定义，结合Ω函数的条件，进行判断和证明即可．（Ⅲ）根据Ω函数的定义，分别讨论a=0，a＜0和a＞0时，满足的条件即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=x2﹣x是Ω函数，g（x）=sinπx不是Ω函数；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）T的最小值为1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为f（x）是以T为最小正周期的周期函数，所以f（T）=f（0）．假设T＜1，则[T]=0，所以f（[T]）=f（0），矛盾．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6）所以必有T≥1，而函数l（x）=x﹣[x]的周期为1，且显然不是Ω函数，综上，T的最小值为1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）当函数f（x）=x+是Ω函数时，若a=0，则f（x）=x显然不是Ω函数，矛盾．﹣﹣﹣﹣﹣﹣若a＜0，则f′（x）=1﹣＞0，所以f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递增，此时不存在m＜0，使得 f（m）=f（[m]），同理不存在m＞0，使得 f（m）=f（[m]），又注意到m[m]≥0，即不会出现[m]＜0＜m的情形，所以此时f（x）=x+不是Ω函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当a＞0时，设f（m）=f（[m]），所以m+=[m]+[]，所以有a=m[m]，其中[m]≠0，当m＞0时，因为[m]＜m＜[m]+1，所以[m]2＜m[m]＜（[m]+1）[m]，所以[m]2＜a＜（[m]+1）[m]，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当m＜0时，[m]＜0，因为[m]＜m＜[m]+1，所以[m]2＞m[m]＞（[m]+1）[m]，所以[m]2＞a＞（[m]+1）[m]，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）记k=[m]，综上，我们可以得到“a＞0且∀x∈N•，a≠k2且a≠k（k+1）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【点评】本题主要考查与周期函数有关的新定义试题，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，有一定的难度．。

海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习数学试卷（理科） 2016.4本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．函数()f x =A ．［0，＋∞）B ．［1，＋∞）C ．（－∞，0］ D ．（－∞，1］ 2．某程序的框图如图所示，若输入的z ＝i （其中i 为虚数单位），则输出的S 值为 A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i3．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为A ．52 B ．3 C ．72D ．44．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为A．3 B．2 C．3 D．35．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，则“ {}n a 为常数列”是“*,n n n N S na ∀∈=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在极坐标系中，圆C 1 :2cos ρθ=与圆C 2:2sin ρθ=相交于 A ，B 两点，则｜AB ｜＝ A ．1 BCD ． 27．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是A ．,44a b ππ==-B ．2,36a b ππ== C ．,36a b ππ== D ．52,63a b ππ==8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则 下列叙述正确的是A ．甲只能承担第四项工作B ．乙不能承担第二项工作C ．丙可以不承担第三项工作D ．丁可以承担第三项工作二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．已知矢量(1,),(,9)a t b t ==，若a b ，则t ＝ _______． 10．在等比数列{}n a 中，a 2＝2，且131154a a +=，则13a a +的值为_______． 11．在三个数1231,2.log 22-中，最小的数是_______．12．已知双曲线C ：22221x y a b -=的一条渐近线l 的倾斜角为3π，且C 的一个焦点到l 的距离，则C 的方程为_______．13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个． （ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有_______种； （ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．14．已知函数()f x ，对于实数t ，若存在a ＞0，b ＞0 ，满足：[,]x t a t b ∀∈-+，使得|()()|f x f t -≤2，则记a ＋b 的最大值为H （t ）． （ⅰ）当 ()f x ＝2x 时，H （0）＝ _______．（ⅱ）当()f x 2x =且t [1,2]∈时，函数H （t ）的值域为_______．三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13 分） 如图，在△ABC 中，点D 在边 AB 上，且13AD DB =．记∠ACD ＝α ，∠BCD ＝β．（Ⅰ）求证：sin 3sin AC BC βα=；（Ⅱ）若,,62AB ππαβ===BC 的长．16．（本小题满分13 分）2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推 广．2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法 上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中 分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4 株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；（Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为21s ，22s ，根据样本数据， 试估计21s 与22s 的大小关系（只需写出结论）；（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这2 株的产量总和为ξ，求 随机变量ξ的分布列和数学期望．17．（本小题满分14 分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M ，N 分别为线段PB ，PC 上的点，MN ⊥PB ． （Ⅰ）求证： BC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M ，N ，D ， A 四个点在同一个平面内； （Ⅲ）当PA ＝AB ＝2，二面角C －AN －D 的大小为3π时，求PN 的长．18．（本小题满分13 分）已知函数f (x ) ＝ln x ＋1x－1，1()ln x g x x -=（Ⅰ）求函数 f (x )的最小值；（Ⅱ）求函数g (x )的单调区间；（Ⅲ）求证：直线 y ＝x 不是曲线 y ＝g (x )的切线。

海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习数学试卷（理科） 2016.4本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项．1．函数()f x =A ．［0，＋∞）B ．［1，＋∞）C ．（－∞，0］ D ．（－∞，1］ 2．某程序的框图如图所示，若输入的z ＝i （其中i 为虚数单位），则输出的S 值为 A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i3．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为A ．52 B ．3 C ．72D ．44．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为 A．3 B．2CD5．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，则“ {}n a 为常数列”是“*,n n n N S na ∀∈=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在极坐标系中，圆C 1 :2cos ρθ=与圆C 2:2sin ρθ=相交于 A ，B 两点，则｜AB ｜＝ A ．1 BCD ． 27．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是A ．,44a b ππ==-B ．2,36a b ππ== C ．,36a b ππ== D ．52,63a b ππ==8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是A ．甲只能承担第四项工作B ．乙不能承担第二项工作C ．丙可以不承担第三项工作D ．丁可以承担第三项工作二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．已知向量(1,),(,9)a t b t ==，若a b ，则t ＝ _______． 10．在等比数列{}n a 中，a 2＝2，且131154a a +=，则13a a +的值为_______． 11．在三个数1231,2.log 22-中，最小的数是_______．12．已知双曲线C ：22221x y a b -=的一条渐近线l 的倾斜角为3π，且C 的一个焦点到l 的距离C 的方程为_______．13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个． （ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有_______种； （ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．14．已知函数()f x ，对于实数t ，若存在a ＞0，b ＞0 ，满足：[,]x t a t b ∀∈-+，使得|()()|f x f t -≤2，则记a ＋b 的最大值为H （t ）． （ⅰ）当 ()f x ＝2x 时，H （0）＝ _______．（ⅱ）当()f x 2x =且t [1,2]∈时，函数H （t ）的值域为_______．三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13 分） 如图，在△ABC 中，点D 在边 AB 上，且13AD DB =．记∠ACD ＝α ，∠BCD ＝β． （Ⅰ）求证：sin 3sin AC BC βα= ；（Ⅱ）若,,62AB ππαβ===BC 的长．16．（本小题满分13 分）2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推 广．2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法 上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中 分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4 株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；（Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为21s ，22s ，根据样本数据， 试估计21s 与22s 的大小关系（只需写出结论）；（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这2 株的产量总和为ξ，求 随机变量ξ的分布列和数学期望．17．（本小题满分14 分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M ，N 分别为线段PB ，PC 上的点，MN ⊥PB ． （Ⅰ）求证： BC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M ，N ，D ， A 四个点在同一个平面内； （Ⅲ）当PA ＝AB ＝2，二面角C －AN －D 的大小为3π时，求PN 的长．18．（本小题满分13 分）已知函数f (x ) ＝ln x ＋1x －1，1()ln x g x x-= （Ⅰ）求函数 f (x )的最小值；（Ⅱ）求函数g (x )的单调区间；（Ⅲ）求证：直线 y ＝x 不是曲线 y ＝g (x )的切线。

2016年海淀区高三数学期中试卷及试卷分析,后附复习方案(超级实用) （优选.)2016年海淀区高三数学期中试卷及试卷分析，后附复习方案（超级实用）2015年11月4日上午，北京市海淀区高三年级第一学期数学期中考试结束，这是高三开学以来第一次全区的统一测验，也是考生自高三总复习以来的第一次大考，是对以往复习成果的一次很好的检验；同时，试卷的命制也体现出了高考改革的最新思路，对考生今后的备考有一定的参考价值。

所以，一次认真的试卷分析和考评是至关重要的。

海淀区期中考试数学（理）试卷分析【试卷整体内容分析】纵观整篇试卷，结构稳定、难度略有提升、考点全面、主次分明，既体现了对核心数学思想和知识方法的考查，也兼顾了很多细节问题的考核；有基础的内容检测，也有数学能力和思维方法的检验。

一、知识点内容覆盖全面，分值分配合理本次考试中，以三个重点模块即“集合与函数”、“数列”及“三角与向量”为主，其具分值分布如下：本次考核中，正如王老师在鼎级班课程中提到的一样，函数部分分值较高，体现出了函数部分知识在高考中的重要地位，同时，三角部分问题也有很多和函数图象变化相关。

从具体的知识点出发，试卷覆盖了不同模块几乎所有的知识内容，如函数模块，覆盖了集合、函数定义、基本初等函数、函数图象变化、函数与方程、函数与不等式、定积分、利用导数分析函数性态多个核心知识内容，是对考生这段时期复习全面的考核。

另外，一些细小的知识也结合主干知识进行了考核，如试卷第6题，结合“函数图象与不等式”考核了简易逻辑中的充分必要条件的知识。

二、难度分配趋近于高考，总体难度略有提升本次考试的难度分配合理，类似于近几年的高考难度分配。

中档题目比例有所提升，且灵活度更高，考察考生对于知识的掌握而非单纯对于固定题目的处理能力，这样在中难题目上提高了对考生的区分度。

这也是导致这次考试难度略有提升的原因，很多考生会有“看着熟悉做着难”的感叹。

这也是顺应新的高考变化的，以变化求难度。