考研数学高数习题—极限

第一篇高等数学第一章函数、极限与连续强化训练（一）一、选择题1.2.提示：参照“例1.1.5”求解。

3.4.解因选项(D)中的 不能保证任意小，故选(D)5.6.7.8.9.10.二、填空题11.提示：由2cos 12sin 2xx =-可得。

12.13.提示：由1 未定式结果可得。

14.提示：分子有理化，再同除以n即可。

15.提示：分子、分母利用等价无穷小代换处理即可。

16.17.提示：先指数对数化，再利用洛必达法则。

18.19.解因()2000122(1cos )22cos 2lim lim lim lim lim 1x x x x x x x xx f x x xxx -----→→→→→⋅---=====- ()0lim lim xx x f x ae a --→→==， 而()0f a =，故由()f x 在 0x =处连续可知，1a =-。

20.提示：先求极限（1∞型）得到()f x 的表达式，再求函数的连续区间。

三、 解答题 21.(1)(2)提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式处理12sin ,sin x x。

(3)(4)(5)提示：先指数对数化，再用洛必达法则。

(6)提示：请参照“例1.2.14（3）”求解。

22.23.解 由题设极限等式条件得21()ln(cos )201()lim ,limln(cos )1f x x xxx x f x e e x x x+→→=+=， 即 2201()1()limln(cos )lim ln(1cos 1)1x x f x f x x x x x x x→→+=+-+=， 利用等价无穷小代换，得201()lim(cos 1)1x f x x x x →-+=，即230cos 1()lim()1x x f x x x→-+=， 故 30()3lim 2x f x x →=。

24.提示：先指数对数化，再由导数定义可得。

25.26.28.提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式求解。

考研高数极限试题及答案模拟试题：一、选择题（每题3分，共15分）1. 极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\) 的值是多少？A. 0B. 1C. -1D. \(\frac{1}{2}\)2. 函数 \(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}\) 在 \(x = 1\) 处的极限是多少？A. 2B. 1C. 0D. 不存在3. 极限 \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x}\) 存在吗？A. 是B. 否4. 函数 \(g(x) = \begin{cases}x^2 & \text{if } x \neq 0 \\0 & \text{if } x = 0\end{cases}\) 在 \(x = 0\) 处的右极限是多少？A. 0B. 1C. \(\frac{1}{2}\)D. 不存在5. 极限 \(\lim_{x \to 1} (x^2 - 1)\) 等于多少？A. 0B. 1C. 2D. 3二、计算题（每题10分，共40分）6. 计算极限 \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}\)。

7. 计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x}\)。

8. 计算极限 \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{x}\)。

9. 计算极限 \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} +\frac{1}{n^3}\)。

三、解答题（每题20分，共40分）10. 证明 \(\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0\)。

11. 已知 \(\lim_{x \to 2} f(x) = 3\)，证明 \(\lim_{x \to 2} [f(x)]^2 = 9\)。

有关极限考研试题及答案1. 计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。

答案：根据洛必达法则，当分子分母同时趋向于0时，可以求导数来计算极限。

对于本题，我们有：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{1} = 1\]2. 求函数 \(f(x) = x^3 - 3x\) 在 \(x = 1\) 处的左极限和右极限。

答案：- 左极限 \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1^3 - 3 \times 1 = -2\) - 右极限 \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1^3 - 3 \times 1 = -2\)由于左极限等于右极限，所以函数在 \(x = 1\) 处的极限存在，且为 \(-2\)。

3. 判断函数 \(g(x) = \frac{1}{x^2 + 1}\) 是否在 \(x = 0\) 处连续。

答案：函数 \(g(x)\) 在 \(x = 0\) 处的左极限和右极限都等于1，即：\[\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^+} g(x) = 1\]同时，\(g(0) = 1\)，因此函数在 \(x = 0\) 处连续。

4. 计算不定积分 \(\int \frac{1}{1 + x^2} \, dx\)。

答案：这是一个标准积分形式，其积分结果为：\[\int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctan(x) + C\]其中 \(C\) 为积分常数。

5. 求函数 \(h(x) = \ln(x)\) 在 \(x = e\) 处的导数。

答案：函数 \(h(x)\) 的导数为 \(h'(x) = \frac{1}{x}\)，因此在 \(x = e\) 处的导数为：\[h'(e) = \frac{1}{e}\]6. 判断级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) 是否收敛。

“考研数学”——做到更好，追求最好南工程考研数学辅导材料之一高等数学主编：杨降龙杨帆刘建新翁连贵吴业军序近几年来，随着高等教育的大众化、普及化，相当多的大学本科毕业生由于就业的压力，要想找到自己理想的工作比较困难，这从客观上促使越来越多的大学毕业生选择考研继续深造，希望能学到专业的知识，取得更高的学历，以增强自己的竞争能力；同时还有相当多的往届大学毕业生由于种种的原因希望通过读研来更好地实现自我。

这些年的统计数据表明：应届与往届的考生基本各占一半。

自 1989 年起，研究生入学数学考试实行全国统一命题，其命题的范围与内容严格按照国家考试中心制定的“数学考试大纲” ，该考试大纲除了在1996 年实施了一次重大的修补以外，从1997 年起一直沿用至今，但期间也进行了几次小规模的增补。

因此要求考生能及时了解掌握当年数学考试大纲的变化，并能按大纲指明的“了解” ，“理解”，“掌握”的不同考试要求系统有重点的复习。

通常研究生入学数学考试与在校大学生的期末考试相比，考试的深度与难度都将大大的增加，命题者往往将考试成绩的期望值设定在80（按总分150 分）左右命题，试题涉及的范围大，基础性强，除了需要掌握基本的计算能力、运算技巧外，还需掌握一些综合分析技能（包括各学科之间的综合）。

这使得研究生数学入学考试的竞争力强，淘汰率很高。

为了我院学生的考研需要，我们编写了这本辅导讲义。

该讲义共分三个部分，编写时严格按照考试大纲，含盖面广、量大，在突出重点的同时，注重于基本概念的理解及基本运算能力的培养，力求给同学们做出有效的指导。

第一章函数极限与连续考试内容函数的概念及其表示，函数的有界性、单调性、奇偶性及周期性，复合函数、反函数、分段函数、隐函数，基本初等函数的图形与性质，初等函数的建立，数列极限与函数极限的性质，函数的左右极限，无穷小与无穷大的关系，无穷小的性质及无穷小的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则，两个重要极限，函数连续的概念，函数间断点的类型，闭区间上连续函数的性质。

考研高数中求极限的几种特殊方法在数学分析中，极限是研究函数的重要工具。

通过极限，我们可以研究函数的性质，进行函数的计算，以及解决与函数相关的问题。

求函数极限的方法有很多种，以下是几种常见的方法。

对于一些简单的初等函数，我们可以直接根据函数的定义代入特定的x值来求得极限。

例如，求lim (x→2) (x-2)，我们可以直接代入x=2，得到极限为0。

当函数在某一点处的极限存在时，如果从该点趋近的数列是无穷小量，则此函数在该点处的极限就等于该数列的极限。

例如，求lim (x→0) (1/x)，我们可以令x=1/t，当t→∞时，x→0，而t=1/x趋近于无穷小量，所以lim (x→0) (1/x) = lim (t→∞) (t) = ∞。

洛必达法则是求未定式极限的重要方法。

如果一个极限的形式是0/0或者∞/∞，那么我们可以通过对函数同时取微分的方式来找到极限的值。

例如，求lim (x→+∞) (x^2+3)/(2x^2+1)，分子分母同时求导，得到lim (x→+∞) (2x/4x) = lim (x→+∞) (1/2) = 1/2。

对于一些复杂的函数，我们可以通过泰勒展开的方式将其表示为无限多项多项式之和的形式。

通过选取适当的x值，我们可以使得多项式的和尽可能接近真实的函数值。

例如，求lim (x→0) ((1+x)^m-1)/x，我们可以使用泰勒展开得到lim (x→0) ((1+x)^m-1)/x = lim (x→0) m(1+x)^(m-1) = m。

夹逼定理是一种通过构造两个有界序列来找到一个数列的极限的方法。

如果一个数列的项可以划分为三部分，而每一部分都分别被两个有界序列所夹逼，那么这个数列的极限就等于这两个有界序列的极限的平均值。

例如，求lim (n→∞) (n!/(n^n))^(1/n)，令a_n=(n!/(n^n))^(1/n)，则a_n ≤ a_{n+1}且a_n ≥ a_{n-1}，因此由夹逼定理可知lim a_n=lim a_{n+1}=lim a_{n-1}=1。

f ( x )dx < 0 ，即 an 单调减少
3 n 2 n −1
an = f (1) − ∫ f ( x )dx + f (2 ) − ∫ f ( x)dx + " + f (n − 1) − ∫
1
f ( x )dx + f (n )
= ∑ ⎡ f (k ) − ∫ ⎢ k k =1 ⎣
n −1
1
2． lim (a n + b n + c n ) n ( a, b, c非负) ；
解：因为 f ( x ) 在 [0,+∞ ) 上单调减少、非负、连续， 故 f (k ) =
∫
k
k −1
f (k )dx < ∫
k
k −1
f (x )dx < ∫
k
k −1
f (k − 1)dx = f (k − 1) ， k ≥ 1
则 an +1 − an = f (n + 1) −
2
∫
n +1
n
xn − xn −1 1 − xn + 1 − xn −1
且 x2 = 0 < x1 ，故 x2 < x1 , x3 < x2 " xn < xn −1 ，即 xn 单调减少； x1 ≥ −2 ,不妨假设 xn ≥ −2 则 xn +1 ≥ − 1 + 2 ，即 xn 有下届，单调有界数列必在极限，故极限存在。 不妨假设 lim xn = A ，则 A + 1 + A = 0 ，解得 A =
( )
sin x sin 2 x sin 3 x x x 2 x3 3 同理 1 + sin x = 1 + − + + o sin x = 1 + − − + o x3 2 2 16 2 2 48

(11) 正确。考点：函数无穷小的考察， lim
x a
(12) 错误。考点：夹逼准则的考察。 lim ( x) 可以为其它常数，也可能不存在。如：
x 0
f ( x)
1 x2 ， 2 x
2
( x)
1 1 此时 lim ( x ) ； 2 x 2 ，g ( x ) 2 3x 2 ， 2 x 0 x x
（ 3 ）
x
lim x ne x
xn n! lim x 0 x x e x e lim
（ 4 ）
x 1/ t lim
lim x ln x
x 0
ln t 1 lim 0 t t t t ；
lim
x
ln x （5） lim p ( p 0) x x 1 （7）lim arctan x 0 x 2
2
又如： f ( x) 1 x ， ( x ) 1 2 x ， (13)错误。反例： f ( x )
g ( x ) 1 3x 2 ，此时 lim ( x ) 1 。
x0
1 1 ， g ( x ) ，当 x 0 时 lim[ f ( x) g ( x)] 0 。 x x0 x x
1 , bn n ， n2
1 n
1 , bn n 2 ，则 {an bn } {n} 发散。 n
(2) 错误。考点：极限基本性质的考察。收敛数列必有界，反之不然。如： {( 1) n } 有界但 不收敛。 (3) 正确。考点：数列极限基本性质的考察。去掉数列的有限项，不改变数列的收敛值。 (4) 错误 。考点： 函数连续 性的四则 运算。 f ( x) g ( x) 一定 不连续， 证明如下 ：若

第一讲：极限与函数数列极限：数列极限的严格定义不需要掌握，但需要理解如下定理：lim {}n n n x a x a →∞=⇔-是无穷小量数列极限的四则运算：设lim n n x x →∞=，lim n n y y →∞=，则：lim()n n n x y x y →∞±=±、lim()n n n x y xy →∞=、lim()(0)n n n x xy y y→∞=≠ 推论：若lim 0n n x →∞=，数列{}n y 有界，则lim 0n n n x y →∞=例：计算下列极限n n n n n 323)1(lim ++-∞→ )12(lim --+∞→n n n n数列极限的性质唯一性：如果数列{}n x 收敛，则其期限必唯一 有界性：如果数列{}n x 收敛，则该数列必定有界保序性：设数列{}n x 、{}n y 均收敛，且当n 足够大时，有n n x y >，则必有lim lim n n n n x y →∞→∞≥保序性的推论（保号性）：设数列{}n x 收敛，且当n 足够大时，有0n x >，则必有lim 0n n x →∞≥注意：1、后面的不等式并不是严格的不等号；2、保序性的逆命题不一定成立思考：求如下几个数列的极限：1111{sin }{sin }{sin }n n n n n n、、数列极限的三个常用定理：数列与其子列的关系：如果数列{}n x 收敛，则其任意子列均收敛，且收敛于同一极限lim n n x →∞；如果数列{}n x 中存在两个子列收敛于不同的极限，或是一个收敛一个发散到无穷大，则{}n x必发散。

例：计算(1)1lim[]nn n n-→∞+夹逼准则：如果当n 足够大时，数列{}n x 、{}n y 、{}n z 满足不等式n n n x y z ≤≤，且{}n x 、{}n z 收敛于同一极限，则{}n y 必收敛于该极限例：计算下列极限1、设0>>>c b a ，nn n n n c b a x ++=，求222111lim (1)(2)nn n n →∞⎡⎤+++⎢⎥+⎣⎦2、2lim n n →∞⎛⎫+++ 3、222111lim (1)(2)n n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥+⎣⎦4、（思考）⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→22222212111lim n n n n n （需要用定积分来求）单调有界数列必收敛定理：如果数列{}n x 单调递增且有上界，或是单调递减且有下界，则{}n x 必收敛。

无穷小是函数极限的必要条件，即如果函数在某点的极限存在，那么函数在该点的值必定是无穷小。
无穷小与函数极限的关系是相互依存的，无穷小是函数极限的一种表现形式，而函数极限又是无穷小的 一种表现形式。
无穷小在求极限中的应用
利用无穷小的性质，可以将复杂的函数极限转化为简单的无穷小量，从而 简化计算过程。
在求函数极限时，可以利用等价无穷小替换，将复杂的函数表达式替换为 简单的无穷小量，从而得到更易处理的极限表达式。
利用极限的四则运算法则，消去零因子，化 简函数形式，再求极限。
利用两个重要极限求解
利用重要极限$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$求解：当函数 形式为$frac{sin x}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
利用重要极限$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$求解：当函数 形式为$frac{1}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
考研高数总复习函数的极限(讲义 )ppt课件
contents
目录
• 函数极限的基本概念 • 函数极限的求解方法 • 函数极限的应用 • 函数极限的深入理解 • 总结与展望
01 函数极限的基本概念
函数极限的定义
1 2
函数极限的定义
当自变量趋近某一特定值时，函数值的变化趋势。
函数极限的表示方法
lim f(x) = A，表示当x趋近于某个值时，f(x)趋 近于A。
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感谢您的观看
在物理学中，函数极限被用来描述物体运动的速度、加速度等概念；在 工程中，函数极限被用来描述信号的变化趋势；在经济中，函数极限被
用来描述市场的变化趋势。
通过对函数极限的学习，我们可以更好地理解和应用这些概念，为未来 的学习和工作打下坚实的基础。

版权所有翻印必究1 2020考研数学：极限计算方法之定义证明法极限是高数整个学科的基石，是高数处理问题的基本思想；在考试中每年分值在10分左右，主要考查计算，而极限的计算方法较为灵活，定义证明法虽然在考试中并未直接涉及，但是了解定义证明法求极限对于理解极限的定义非常有帮助。

利用极限定义证明极限存在一直以来都是考研数学关于讨论极限存在方法中的难点，也是大家必须掌握的内容，同时本考点会结合着其他知识点进行考查。

相对来说，利用极限的定义证明极限存在是讨论极限存在的基本方法，接下来讲解一下利用定义证明极限存在的知识点。

1、函数极限定义（1）设函数()f x 在0x 的某去心邻域内有定义，如果存在实数A ，使得0ε∀>，∃0δ>，当0000(,)(,)x x x x x δδ∈-+ 时，有()|f x A ε-<|，则称()f x 在0x 点处的极限值为A ，记作0lim ()x x f x A →=。

设函数()f x 在0x 的某左邻域内有定义，如果存在实数A ，使得0ε∀>， 0δ∃>当00(,)x x x δ∈-时，有()|f x A ε-<|，则称()f x 在0x 点处的左极限为A ，记作0lim ()x x f x A -→=。

或0()f x -，或0(0)f x -。

类似地，可以定义右极限，记作0lim ()x x f x A +→=，或0()f x +，或0(0)f x +。

左极限和右极限统称为单侧极限。

（2）设函数()f x 在()(),,X X -∞-+∞ 上有定义（X 为某正数），如果存在实数A ，使得0ε∀>， 0M ∃>，当x M >时，有()|f x A ε-<|，则称当x →∞时()f x 的极限值为A ，记作lim ()x f x A →∞=。

类似地，可以分别定义x →-∞和x →+∞时()f x 的极限lim ()x f x →-∞和lim ()x f x →+∞。

考研高数考点解析：极值之第二充分条件
2017考研高数考点解析：极值之第二充分条件
以下是小编带来的2017考研高数考点解析：极值之第二充分条件，欢迎阅读。

求函数的极值点，我们可以借助极值点的'必要条件确定求解极值点的方向，即驻点和不可导点，然后再借助极值的第一充分条件判断该点是否为极值点。

但是，极值的第一充分条件在使用的过程中，需要判断导函数在某个区间的符号，有些题目中不容易判断出导函数符号，因此给大家再介绍另外一个求极值点的充分条件。

本题体现了考研数学的特点：综合性!一道4分的选择题，考查了极值的必要条件，第二充分条件以及复合函数求导法则!因此，提示大家在平时复习过程中，注意各个知识点之间的联系，观察哪些知识点经常会在一起考查等。

依靠学习过程中点点滴滴的积累，提高我们做数学题的综合性和熟练度!。

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凯程考研小编为大家整理分享考研高数复习典型题型之利用重要极限求极限的命题，希望对大家有所帮助。

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如何选择考研辅导班：在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。

师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。

判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。

考研高数基础练习题及答案解析一、选择题：1、首先讨论间断点：1°当分母2?e?0时，x?2x2，且limf??，此为无穷间断点；2ln2x?ln2x?0?2°当x?0时，limf?0?1?1，limf?2?1?1，此为可去间断点。

x?0?再讨论渐近线：1°如上面所讨论的，limf??，则x?x?2ln22为垂直渐近线； ln22°limf?limf?5，则y?5为水平渐近线。

xx当正负无穷大两端的水平渐近线重合时，计一条渐近线，切勿上当。

2、f?|x4?x|sgn?|x|sgn?|x|。

可见x??1为可导点，x?0和x?3为不可导点。

2011智轩高等数学基础导学讲义——第2章第4页原文：f|??|，当xi?yj时为可导点，否则为不可导点。

注意不可导点只与绝对值内的点有关。

?x,x?0?设f??ln2|x|，使得f不存在的最小正整数n是? ,x?0?0x?0123limf?f?0，故f在x?0处连续。

f’?limx?0f?f?0，故f在x?0处一阶可导。

x?0当x?0时，f’????x12x’‘223?ln?lnlnxsgnx?12，则limf’?f’?0，故f’在x?0处连续。

?23x?0ln|x|ln|x|f’’?limx?0f’?f’??，故f在x?0处不二阶可导。

x?0abx?0对?a,b?0，limxln|x|?0。

这是我们反复强调的重要结论。

3、对，该函数连续，故既存在原函数，又在[?1,1]内可积；1???sin,x?0对，首先假设该函数存在原函数F??，但对任意常数C，都无x?,x?0? C法满足F’?limx?011F?F1?0，故该函数不存在原函数。

另一方面，?2cosdx?1xx?0x111?2?2cosdx??2sin，该结果无意义，故该函数在[?1,1]内不可积。

0xxx011对，x?0为第一类间断点，故该函数不存在原函数。

另一方面，?1arctan1dx和x??1arctan1dx都有意义，故该函数在[?1,1]内可积。

高数考研历年真题及答案解析高数是考研数学一科目中的重要内容，也是考生们普遍认为比较难以掌握的一门学科。

为了帮助考生顺利备考，我将对高数考研历年真题及答案进行解析，希望能为考生提供一些参考。

第一年的高数考研真题是关于极限和连续的部分。

对于初次接触高数的考生来说，极限和连续是一个相对较难掌握的概念。

题目中给出了一个函数的极限等式，要求考生求解x的值。

解题思路是首先将x 带入函数中，并通过运用极限的定义进行推导，最终得到解答。

这道题考察的是考生解题的思辨能力和计算能力。

第二年的高数考研真题是关于微分和积分的部分。

微分和积分是高数考研中需要重点掌握的知识点。

这道题目要求考生计算一个函数的微分，然后通过微分求出函数的最小值。

解题思路是首先计算函数的导数，然后通过求导得到的导数为0来求出函数的最小值。

这道题考察的是考生运用微分求解实际问题的能力。

第三年的高数考研真题是关于级数和级数准则的部分。

级数是高数考研中的又一难点，对于考生来说需要通过大量的练习才能熟练掌握。

这道题目要求考生判断一个级数的敛散性，并给出理由。

解题思路是通过比较判别法或者根值判别法来判断级数的敛散性，并通过证明给出相应的理由。

高数考研历年真题及答案解析给出了考生备考高数的重要参考资料。

通过解析这些历年真题，考生可以了解到高数考研的难点和重点，提前掌握备考的重要知识点。

同时，也能够从解题思路和过程中学习到解题的技巧和方法。

在备考阶段，考生应该注重对高数知识点的理解和掌握。

首先要通过学习教材，系统地学习高数的基础知识，掌握基本的解题方法和技巧。

其次要进行大量的习题练习，通过不断实践和巩固，提高自己的解题能力和计算能力。

最后要结合历年真题的解析，加深对考点的理解，熟悉解题思路和方法，提高解题的准确性和速度。

总之，高数考研历年真题及答案解析为考生提供了宝贵的备考资源。

通过认真学习解析历年真题，考生可以了解考研高数的难点和重点，掌握解题的方法和技巧。

高数极限基础练习题一、数列极限1. 计算下列数列的极限：(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}$(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n+3}$(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 1}{n^2 + 1}$(4) $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2 + n}}{n + 1}$ 2. 判断下列数列极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{n \to \infty} (1)^n$(2) $\lim_{n \to \infty} \sin(n\pi)$(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n}$二、函数极限1. 计算下列函数的极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 1}{x 1}$(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$(4) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x 1}{x}$2. 判断下列函数极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$(3) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x$三、无穷小与无穷大1. 判断下列表达式是否为无穷小：(1) $\frac{1}{x^2}$ 当 $x \to \infty$(2) $\sin \frac{1}{x}$ 当 $x \to \infty$(3) $e^{x}$ 当 $x \to \infty$2. 判断下列表达式是否为无穷大：(1) $x^3$ 当 $x \to \infty$(2) $\ln x$ 当 $x \to \infty$(3) $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 当 $x \to 0^+$四、极限运算法则1. 利用极限运算法则计算下列极限：(1) $\lim_{x \to 0} (3x^2 + 2x 1)$(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 3x^2 + 2x}{x^2 2x + 1}$(3) $\lim_{x \to \infty} (x^3 2x^2 + 3)$2. 利用极限的性质，计算下列极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot\frac{1}{\cos x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x + 1}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x e^{x}}{2x}$五、复合函数极限1. 计算下列复合函数的极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sqrt{x^2 + 1})}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^2 + 1)}{x}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} 1}{x^2}$2. 判断下列复合函数极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\tan x)}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(e^x + 1)}{x}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{1 \cos(\sqrt{x})}{x}$六、极限的应用1. 计算下列极限问题：(1) 设 $f(x)2. 已知函数 $f(x) = \frac{x^2 1}{x 1}$，求 $\lim_{x \to 1} f(x)$。

考研数学高数第一章常考题型五：极限中参数的确定59.【00—2 3分】设函数()bxx f x a e =+在(,)-∞+∞内连续，且lim ()0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（ ） ()A 0,0a b << ()B 0,0a b >>()C 0,0a b ≤> ()D 0,0a b ≥< 60.【10—3 4分】 若 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→x x e a x x )1(1lim 0=1， 则a 等于（ ） ()A 0. ()B 1. ()C 2. ()D 3.61.【08—2 4分】已知函数()f x 连续，且201cos[()]lim 1(1)()x x xf x e f x →-=-，则(0)____f =62.【98—2 5分】确定常数,,a b c 的值，使30sin lim (0)ln(1)x x b ax x c c t dtt →-=≠+⎰ 63.【01—3 8分】已知()f x 在(),-∞+∞内可导，()()()lim ',lim lim 1xx x x x c f x e f x f x x c →∞→∞→∞+⎛⎫==--⎡⎤ ⎪⎣⎦-⎝⎭， 求c 的值。

64.【13—1 4分】已知极限0arctan lim k x x x c x →-=，其中,c k 为常数，且0c ≠，则（ ） （A ）12,2k c ==-（B ）12,2k c == （C ）13,3k c ==- （D ）13,3k c == 【小结】：极限中参数的求法1）常用结论：()lim ()x x αβ存在且lim ()0x β=，则lim ()0x α=；()lim 0()x c x αβ=≠且lim ()0x α=，则lim ()0x β=.2）当极限式中有两个或两个以上的未知参数时，则一般先保证极限存在，从而确定一部分参数值，再求出极限值，进而确定剩余的参数.参考答案59.【00—2 3分】()B60.【10—3 4分】()C61.【08—2 4分】262.【98—2 5分】1a =，10,2b c ==63.【01—3 8分】1264.【13—1 4分】()D。

0 2.做变量替换转化为 型 0
3.其他方法。罗比达法则。
4.“0·∞”型未定式 转化为
0 型或 型 0
5.“∞- ∞”型未定式 通过通分、分子有理化或倒数替换将其转化
0 为 型或型 0
5.幂指数函数极限的求法 幂指函数: 形如 u(x)v(x) (u(x)>0, u(x)1)的函数 （1）利用两个重要极限的第二个。 （2）若 lim u( x ) a 0, lim v( x ) b, 则
lim u( x )
v( x )
a .
b
6.n项求和及乘积的极限 求和时
1.分子和分母同乘一个因子，然后拆项求和。
2.夹逼准则。
乘积时
1.夹逼准则 例 求极限 lim n 1n 2n 3n .
n
lim 3 x 9 x 例 求极限 x
1 x
例. 求 lim (1 2
证明数列{xn}的极限存在, 并求其极限.
7.确定极限中的参数
0 由于极限为常数，故常为 型 或 型 ，利用 消去零因子来求出常数。 0
2 n 1
例 设 f ( x ) lim
x
n
ax b 为连续函数, 求a, b. 2n x 1
例. 确定常数 a , b , 使 解: 原式 lim x ( 3 13 1 a b ) 0 x
x
x
3x ) x .
x x x 3 )
1
1
解: 令 f ( x) (1 2
3
1 x
(1) x 3
( 2) x 3
1
1 x
3 f (x) 3 3 利用夹逼准则可知 lim f ( x) 3 .