福建师范大学2008年实变函数与泛函分析考博试题

2008年《实变函数与泛函分析》考博题

本试卷共五大题，每题20分，要求在指定答卷纸中答题.

一、设0f ≠是Banach 空间X 上的一个连续线性泛函，对给定的一个数c ，相应定义了一个超平面():{:()}H c x X f x c =∈=.

（1） 证明空间任一点x X ∈到()H c 的距离

()(,())f x c

d x H x f −=.

（2） 就三维欧氏空间3X R =的情况，说明上述结论的几

何意义.

二、（1）叙述赋范线性空间X 上的线性泛函保范延拓的Hahn Banach −定理.

（2）写出你所熟悉的上述Hahn Banach −定理的两个推论.

（3）Hahn Banach −定理有这样一个几何形式的表现：设M 是X 的一个线性子空间，0x X ∈，0:g x M =+=

0{:}x x x M +∈是X 中的一个线性族，如果g 与单位开球:{:1}B x X x =∈<不相交，则有超平面H 包含g 而且与B 不相交.请证明之.

三、设X 和Y 是Banach 空间，

:T X Y →是有界线性算子，

且T 的值域()R T 是Y 中的第二类型（也称第二纲）集.证明存在一个正数0c >，使对每个y Y ∈，有x X ∈，使 ,Tx y x c y =≤.

四、1{}n n x ∞=是Banach 空间X 中的点列，如果对任何连续

线性泛函*f X ∈，都有1

()n n f x ∞

=<∞∑，证明存在0c >，使对每个*

f X ∈都成立1

()n n f x c f ∞=≤∑. 五、给定一个有界数列1{}n n A a ∞==，对每一复数列

12{}n n x x l ∞==∈，按1{}n n n Tx a x ∞==定义了一个2l 到自身的线性

映射.（1）证明T 是有界线性算子，并求出T ；（2）求出T 的谱()T σ（要求尽可能地细分出()T σ的成份）；（3）说明T 是否可能为紧算子；（4）如果X 是一个有Schauder 基1

{}n n e ∞=的复Banach 空间，对每个1

n n n x x e ∞

==∑，仍然按1

n n n n Tx a x e ∞==∑定义算子:T X X →，情况又如何？讨论之.