例谈含二次根式的函数值域的常用求法

8种常用二次根式化简计算技巧，8道考试真题详细讲解，抛砖引玉二次根式的化简计算题，很多同学觉得很难，考试的时候，总是容易发生计算错误。

只要掌握二次根式的性质和基本运算法则，这类考试题就是送分题。

下面，通过8道例题，来一起分享，二次根式化简计算题，在考试中常用的8种解题方法和技巧，希望可以起到一个抛砖引玉的作用。

方法技巧一、乘法公式法，一般都是运用到平方差公式，这个过程中，可以化二次根式为整数。

关键，是通过观察数字特征，找出可以套用乘法公式的部分，简化计算步骤和难度。

方法技巧二、拆项因式分解法。

也就是分子或者分母，通过拆项的方法，因式分解，方便分子分母约分。

那么二次根式的因式分解方法，类似于整式的因式分解。

方法技巧三、倒数法。

也就是先算二次根式的倒数，解除结果后，再倒回来的一个计算方法。

这个方法，应用特别广发。

一般特征是，原式的分子可以化成单项式的形式，分母是一个多项式，若先算倒数而且方便约分，就适用这个方法。

方法技巧四、分子分母约分法。

就是分子和分母先因式分解，然后约分的方法。

方法技巧五、配方法。

就是，二次根式里，被开方数先配方成完全平方的形式，然后再开方化简计算的一种方法。

一般，这类题目会是一个二重二次更是，甚至多重二次根式。

先配方法被开方数，就是主要化简方法。

方法技巧六、先平方，再开方法。

就是，二次根式先算出它的平方，再开方，得出原式的值的过程。

这类题型的一般特征，就是两个二次根式的被开方数恰好符合，平方差公式。

方法技巧七、换元法。

就是根据题意，数字特征，把数字设代成字母，方便书写和计算的一种方法。

换元法，又叫设代法，在很多的计算题中，都非常实用，相信大家也不陌生。

方法技巧八、整体思想法。

就是把原式，或者原式的某一部分看做一个整体，求出整体的值的解题方法。

整体思想，是数学里的一个非常重要的解题思想。

二次根式的解法二次根式是数学中的一个重要概念，尤其在代数和方程求解中发挥着重要作用。

本文将详细介绍二次根式的解法，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

一、二次根式的定义首先，我们要了解什么是二次根式。

二次根式是指形如√(ax^2 + bx + c)的表达式，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

这类根式中的被开方部分是一个二次多项式。

二、二次根式的解法步骤1.判别式判断在求解二次根式之前，我们需要先计算判别式Δ = b^2 - 4ac。

根据判别式的值，我们可以判断二次根式的性质。

•当Δ > 0时，二次根式有两个实数解；•当Δ = 0时，二次根式有一个实数解（重根）；•当Δ < 0时，二次根式在实数范围内无解，但在复数范围内有解。

2.完全平方公式如果二次根式的被开方部分是一个完全平方公式，即可以写成(mx + n)^2的形式，那么我们可以直接开方求解。

例如，对于√(x^2 - 2x + 1)，我们可以将其化为√((x - 1)^2)，从而得到解x = 1。

3.配方法当二次根式的被开方部分不是完全平方公式时，我们可以尝试通过配方法将其转化为完全平方公式。

配方法的基本思想是在二次多项式中添加和减去一个常数，使其变为完全平方形式。

例如，对于√(x^2 - 4x + 3)，我们可以将其化为√(x^2 - 4x + 4 - 1)，即√((x - 2)^2 - 1)。

然后，我们可以分别求解x - 2 = 1和x - 2 = -1，得到两个解x = 3和x = 1。

4.公式法对于一般的二次根式，我们可以使用求根公式来求解。

求根公式为：x = [-b ±√(b^2 - 4ac)] / (2a)其中，a、b、c为二次多项式ax^2 + bx + c的系数。

将a、b、c代入求根公式，即可得到二次根式的解。

例如，对于√(2x^2 - 5x + 3)，我们可以将其化为√[2(x^2 - (5/2)x) + 3]，即√[2(x^2 - (5/2)x + 25/16 - 25/16) + 3]，即√[2((x - 5/4)^2 - 1/8)]。

二次根式的性质与计算在数学的世界里，二次根式是一个重要的概念，它不仅在代数运算中频繁出现，也在解决实际问题中发挥着关键作用。

接下来，让我们一起深入探究二次根式的性质与计算。

二次根式，简单来说，就是形如√a（a≥0）的式子。

其中，“√”称为二次根号，a 称为被开方数。

先来说说二次根式的性质。

性质一：双重非负性。

即二次根式的被开方数a 是非负的（a≥0），同时二次根式的值也是非负的（√a≥0）。

这就好比一个房子，里面住的人数（被开方数）不能是负数，而且从这个房子走出来的人（二次根式的值）也不能是负数。

性质二：（√a）²＝ a（a≥0）。

这个性质可以理解为，一个数先开平方再平方，就等于它本身。

就像一个人先出门再回家，还是原来那个人。

性质三：√（a²）＝｜a|。

当a≥0 时，√（a²）＝ a；当 a＜0 时，√（a²）＝ a。

这就好像一个人的正面和背面，虽然看起来不一样，但都是这个人。

性质四：√ab ＝√a×√b（a≥0，b≥0）。

这个性质告诉我们，两个非负实数的乘积的算术平方根，等于这两个数的算术平方根的乘积。

比如说，计算√12，我们可以把 12 分解为 4×3，那么√12 ＝√4×√3 ＝2√3。

性质五：√a÷√b ＝√（a÷b）（a≥0，b＞0）。

这就像是把一个大蛋糕（a）按照一定比例（b）切开，得到的每一份的大小（√（a÷b）），和先分别计算每一份蛋糕的大小（√a 和√b）再相除是一样的。

了解了这些性质，我们再来看看二次根式的计算。

二次根式的加减法，首先要把二次根式化为最简二次根式。

最简二次根式需要满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

比如√8，就不是最简二次根式，因为 8 可以分解为 4×2，所以√8 ＝2√2，2√2 就是最简二次根式。

在进行二次根式的加减运算时，只有同类二次根式才能合并。

1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域例1. 求函数的值域。

解：∵∴显然函数的值域是：2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例2. 求函数的值域。

解：将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1时，，当x=-1时，故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法例3. 求函数的值域。

解：两边平方整理得：（1）∵∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵∴∴代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例4. 求函数值域。

解：由原函数式可得：则其反函数为：，其定义域为：故所求函数的值域为：5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

例5. 求函数的值域。

解：由原函数式可得：，可化为：即∵∴即解得：故函数的值域为6. 函数单调性法例6. 求函数的值域。

解：令则在[2，10]上都是增函数所以在[2，10]上是增函数当x=2时，当x=10时，故所求函数的值域为：例7. 求函数的值域。

解：原函数可化为：令，显然在上为无上界的增函数所以，在上也为无上界的增函数所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值显然y>0，故原函数的值域为7. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作例8. 求函数的值域。

例谈含二次根式的函数值域的常用求法含二次根式的函数值域的求法可以通过以下几种常用方法来进行。

首先，我们需要明确值域的定义：对于函数$y=f(x)$，值域是指$y$的所有可能值的集合。

1.图像法：对于二次根式函数，可以先绘制函数的图像，通过观察图像来判断值域。

例如，对于函数$y=\sqrt{x}$，当$x$取非负的实数时，$y$有意义，所以值域为非负的实数集合，即$[0,+\infty)$。

类似地，对于函数$y=\sqrt{a-x}$，可以通过绘制图像，观察$x$的取值范围，以及函数图像的上下界来确定值域的范围。

2.代数法：通过代数方法来求解函数的值域，主要利用一些基本的代数性质和不等式。

a) 对于含有单个二次根式的函数，可以利用平方的性质，将根号去掉，然后再进行值域的判断。

例如，对于函数$y=\sqrt{ax+b}$，可以通过平方等式$x=ky^2+m$来求解。

首先令$y=kx+m$，然后进行平方运算得到$x=k(y-m)^2$。

通过观察得到，当$k>0$时，函数的值域为$(m,+\infty)$；当$k<0$时，函数的值域为$(-\infty,m)$。

b) 对于含有多个二次根式的复合函数，可以通过合并根号，并运用不等式来求解值域。

例如，对于函数$y=\sqrt{x^2-4}+\sqrt{9-x}$，可以合并根号并利用不等式$x^2-4\geq 0$以及$9-x\geq 0$。

然后再利用不等式来求解函数的值域。

3.求解不等式：对于含有二次根式的函数，可以通过求解不等式来确定函数的值域。

例如，对于函数$y=\sqrt{x^2-4}$，可令$y\geq 0$，然后通过求解$x^2-4\geq 0$来确定$x$的范围。

根据不等式的求解，可以得到$x\leq -2$或$x\geq 2$。

所以该函数的值域为$(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$。

综上所述，含二次根式的函数值域的常用求法有图像法、代数法和求解不等式。

识得庐山真面目——带根号的函数的值域的几种求法读写算2011年第46期擞学教育研究【关键词数根号值域真面目识得庐山真面目一带根号的函数的值域的几种求法亏风彦(珠海三中广东珠海519000)函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.也是考试的热点和难点之一.函数的值域的求法有很多种,但是对于这种带有根号的函数的值域问题,对学生是难题,所以我们剥茧抽丝的把这类函数的值域的求法一一解出来,供大家参考.例l:求函数Y=√一++2的值域解:?.?一X+X+20,可得函数的定义域为I一1,2I,又'?.一x'+T0+2=_&lt;x一言)+{,利用二次函数的图像可得一1≤x2时,一(x一):+0,;o≤丽≤.'叶LJ二一r110P函数Y=√一++2的值域是Io,吾JL'J(真面目):根号下的式子的值域其实就是求二次函数有范围的值域范围.例2:求函数v:√+4x+5+√一4x+8的值域.方法一:(构造法)将原函数变形l【x√(x+2)2+l+√一2)+2,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域.解:原函数变形.作一个长为4,宽为3的矩形ABCD,再切割成l2个单位长度的正方形.设HK=,~JJEK=2一X,KF=2+x,AK=,KC=丽?DcE^X/一一一'//////BF由三角形三边关系知,AK+KC≥AC=5.当A,K,C三点共线时取等号....原函数的值域为{yly≥5}.方法二:(数形结合)原函数变形x1=4(x+21+(o一1)+,/(一2)+(0—2),上式可看成X轴上的点p(x,0)到两定点A(-2, 1)B(2,2)的距离之和,如图所示:由图可知A(-2,1)关于x轴的对称点是C(一2,一1),点B和点C连线与x轴的交点就是P点, f()仃m=ICBl=√(一2—2+(一l一21=√5.'.原函数Y=+√(2一)的值域为{yly≥5}.(真面目):值域其实就是求距离问题.例3:求函数的值域解:两边平方整理得:2x一2(y+l+y=0,因为函数的定义域是0≤2,所以关于x的二次方程一定有实根,并且实根在区间【0,2】..A=4(y+1)一8y0且Y0,解得0≤Yl+√2.原函数的值域为:10,1+√I(真面目):判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除. 例4:求函数厢一√的值域.解:(函数单调法)原函数可化为:=亍,令Y=厢,Y:=√显然,Y在D,伸)上为无上界的增函数,所2以也为无上界的增函数.因为原函数的定义域为[_l,1】,所以当x=l时,Y.+:有最小值所以原函数有最大值√,显然Y&gt;0,故原函数的值域为【0,j牟/./1..(真面目)把不具有单调性的函数转化成具有单调性的函数例5:求函数_y=+4+√5一的值域.解:由5一X2≥0,可得,t~n-I+x=~COSfl,卢[o,/t"】Y=√5cosfl+4+√sin卢=4msin(+÷)+4...0≤..≤卢+'444'当时,ym觚=4+√l0,当=zr~t,Ymm=4-,故所求函数的值域为:I4一√5,4+√5I(真面目):利用三角换元,然后利用三角求最值.下面利用一道题目来体验一下例6:求函数y=+√l—的值域观察可得,这个函数的定义域是0≤x1,并且√;_和√『二这两项平方和是常数,而平方之积是二次三项式.对于这种函数的值域有下列几种方法:解:第一种方法(配方法):?.?Y=√(+dV~-x):41+2√一+厂—_了=:===::,]J+J—一1)+'?_0x&lt;J—+的值域是[0j.?.y=√+ √i啊的值域是『1,1.._√一x+的值域是[0,1I,,第二种方,法:(均值不等式):Y=(√+√l—)=1+2,gx4~一l+(—十1)=2.又.0≤x≤1矢口x..?.x√且l—x√=...x+(1一)s√+√当且仅当:1或者:o时等号成立.综上所述Y:+√i_的值域是[1,√I第三种方法:(换元法):设√=tJ~_tE[0,1]~,lJy=t+√l—f.移项两边平方得2t一2yt+y一1 =0关于t的二次方程有非负实数根,所以一定满足下列三个条,,21件:4y一8(一1)≥0①且Y0②且o③.解得1Y√.当且仅当x=O时y=l,=√2时y:√2,所以两等号皆成立..'.函数y=√+√l一珀q值域是ll,√2I第四种方法:(三角换元法):.0√1且(√):+(√i_二)z:l;(转下页)数学教育研究2011年第46期读写算数学教学应给学生创新的时间和空间张广顺(宝应县安宜镇老鸦庄小学江苏宝应225800)江泽民总书记指出:"创新是民族进步的灵魂,是一个国家兴旺发达的不竭动力."因此,在实施素质教育的今天,创新教育要体现在观念上,渗透在所有的教育活动之中,培养学生的创新能力将成为所有教育活动的一种基本指向.数学课程标准要求培养学生的创新能力和创造能力,既体现了当代数学教学的特点,又体现了当代社会的人才标准.因而要求我们教师必须具有创新精神,教学过程要有活力,教学设计要有灵性.课程改革为我们带来了新的教学理念,为学生发展提供了更广阔的空间.数学教学应给学生创新的时间和空间.我认为, 凡是学生能够探索出来的,教师不替代,凡是学生能够独立发现的,教师不暗示;凡是学生能自己说出来的,教师不说,凡是学生能自己学会的,教师不讲,凡是学生能自己做到的,教师不教.一句话尽可能地提供多种机会让学生自己去理解,去感悟,去体验,让学生从生活,活动,思索,合作中学习,尽可能多给一点思考的时间,多给一点活动的空间,多给学生一点表现自我的机会,让学生多一点创造的信心,多一点成功的体验,从而提高学生对数学的认识,激发学生对数学的兴趣,促进学生创新能力的发展.创新需要时间,无时间怎么创新.创新不是自我封闭,自我孤立的活动,不应当局限于课堂上,束缚在教材的范围内垛板教学,标准答案只能培育出循规蹈矩的学生.人只有在自由的创新中才能换发创新的活力.所以,给学生创新的时间是培养学生创新能力的关键."创造的儿童教育首先要为儿童争取时间的解放".解放时间,即向课内4O分钟要质量.苏霍姆林斯基指出:"学生需要自由活动的时间,就像健康需要空气一样."把每节课的大部分时间留给学生,让学生在充足的时间中放手学习.在课堂上提问时,要给学生思考的时间,教师既要留给学生思考问题是的时间,也要留给学生思考如何回答的时间.我们教师在教学的过程中还应该给学生足够的时间去探索,去验证.比如,我们可以采用"摆一摆,"想一想","说一说"等方式.学习新的数学知识,一开始就要放手,把时间留给学生.让学生自己多读教材,查阅资料,把每句话都读通顺,准确理解数学语言,遇到不理解的数学概念通过充分地读,请教同学或老师,加以理解,能把有些数学问题转化为生活问题,有些甚至能像讲故事一样讲出来;学生小组合作探究学习时,需要多长时间就给多长时间,教师尽可能精讲少讲,少问.学生有了充裕的学习时间,他们的学习和发展才有基本保障.设想,如果课堂每一分钟老师都是窃为已有, 如果将教学环节,成为教师的展示,不留给学生自主学习的时间话,学生只能睁大眼睛看,这种填鸭式的教学模式,虽然从表面上看.节约了时间,但是久而久之,学生除了被动的接受,就不能主动的学习数学知识,不利于学生的发展t不留给学生自主学习的时间话,那学生创新能力的培养哪只是一句空话,更不要说创造能力的培养了.创新需要时间.创新更需要空间.陶行知说过:"行动是老子,知识是儿子,创造是孙子."这句话强调了学习知识的目的是为了创造.我们教师要善于给学生创新的学习空间,引导学生开展丰富多彩的数学课外活动,提供尽可能多的创新机遇,让学生的创新思维和操作能力得到锻炼和提高.学生只有在活动的过程中才能感悟出数学的真谛,才能逐渐养成创新的习惯,才能培养创新的意识和能力.离开了时间,离开了空间,离开了学生的活动,创新能力的培养就成了无根之木,无源之水.所以我们要留给学生创设一个良好的活动空间,让学生在这个空间中去遨游.有人曾说过:听了,一会儿就忘了;看了,就记住了,动手做了,就理解了.手是脑的老师,眼过百遍,不如手做一遍.所以,在教学中能让学生动手的我就尽量让学生自己动手.动手操作也是儿童最感兴趣的事,能提高学生学习的积极性.教学中我留给学生足够的实践活动空间,让每一个学生都有参与活动的机会, 使学生在动手中学习,在动手中思维,在思维中动手,在动手,思维的过程中探究,创新.在空间上"放,就是教师不能以各种形式挤占学生的学习空间,要把学习数学的空间还给学生.要把提问题的权力还给学生,在学生质疑的基础上,师生经过"整合,把每堂课中的数学问题归纳为一两个中心问题,引导学生在小组中合作探究创新. 有了思维的广度,才能有思维的深度.有了广阔的空间,必然有利于学生的发展.放手让学生去展示,放手让学生去说,使他们在没有心理压力的愉快气氛中进行活动,充分发挥了学生的主动性,创造性,真正成了学习的主人.在空间上"放",就是把学习数学的时间和空间交给学生,作为我们教师只要留给学生一点创新的时空,只要我们从每一堂课,每一个练习设计,甚至每一个提问扎扎实实地做起,让学生通过观察,操作,独立思考及群体讨论,去获得数学知识t只要我们教师放开你呵护的双手,你就会发现,孩子也是一个发现者,研究者,探索者和创造者,培养的学生创新能力也就不只是挂在嘴上的一句空话了.有人曾经说过:"留给学生空间,学生才可能有想象力,学生才可以进行创造."数学需要学生去猜测,去想象,去探索,去验证.学生创造力的培养十分重要,在课程改革的今天,广大的数学教师都在为之付出艰辛的劳动.然而在课堂教学中最好的办法就是留给学生一个足够的时间和空间,提出适当的问题后,让学生说出自己的见解,自己的想法以及解决问题的方法;留给学生一个足够的时间和空间,满足学生的表现欲,让学生展露自己的才华,体验成功与创造的快乐t留给学生一个足够的时间和空间,学生就会有十万个为什么,学生就可以开动脑筋,认真思索. 数学教师要在课堂上提供这样一个平台,让学生擦出的火花更加绚丽,给学生一个思考的时间和空间,他们就会展示美丽动人的舞姿,舞台多大,舞姿就有多美.总之,教师要在数学课堂教学中,重视解题思想方法的教学,精选习题并把握好练习的"度".更多的信任学生,给学生更多的主动权,还学生本属于他们的时间和空间,就能达到在自主探索的目的.参考文献[1】《数学课程标准》北京师范大学出版社[2】《数学课程标准解读》北京师范大学出版社(接上页).?.设√=sin0,0&lt;6&lt;2,则√:COS6,??.原式=sjn口+c0s ;+/l")'..三≤4,...鱼2(+4sl44,..1s4~sin(e+)≤.??值域为【I,21-ll2?在教材中仅有少量求定义域的例题,习题,而求值域或最值的例题,习题则是少得屈指可数.原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容,技巧性强,有很高的难度,因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化.。

高中数学求值域的方法高中数学求值域有时候对学生来说十分的困难，这也是一个考试的难点重点，那么有什么方法吗？下面小编就来和大家说说高中数学求值域的方法吧！高中数学求值域的方法一.观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2-3x)的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2-3x)的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2-3x)≥0，故3+√(2-3x)≥3。

∴函数的值域为{y∣y≥3｝.点评：算术平方根具有双重非负性，即：(1)被开方数的非负性，(2)值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。

(答案：值域为：{0，1，2，3，4，5｝)二.反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。

(答案：函数的值域为{y∣y1｝)三.配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(-x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1，2]。

此时-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

求函数值域（最值）的方法大全函数是中学数学的一个重点,而函数值域(最值)的求解方法更是一个常考点, 对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，因此能熟练掌握其值域(最值)求法就显得十分的重要，求解过程中若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。

本文旨在通过对典型例题的讲解来归纳函数值域(最值)的求法，希望对大家有所帮助。

一、值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 常见函数的值域：一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦.，反比例函数()0ky k x=≠的值域为{}0y R y ∈≠. 指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R. 二、求函数值域（最值）的常用方法 1. 直接观察法适用类型：根据函数图象.性质能较容易得出值域(最值)的简单函数例1、求函数y =211x +的值域 解： 22111,011x x +≥∴<≤+ 显然函数的值域是：(]0,1例2、求函数y =2－x 的值域。

解： x ≥0 ∴－x ≤0 2－x ≤2故函数的值域是：[-∞，2 ] 2 、配方法适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

对于形如()20y ax bx c a =++≠或()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦类的函数的值域问题，均可用配方法求解.例3、求函数y=2x -2*+5，*∈[-1，2]的值域。

求函数值域的解题方法总结（16种）在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

一、观察法：通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例:求函数()x 323y -+=的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出()x 3-2的值域。

解：由算术平方根的性质知()0x 3-2≥，故()3x 3-23≥+。

点评:算术平方根具有双重非负性，即：（1）、被开方数的非负性，（2）、值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧发。

练习：求函数()5x 0x y ≤≤=的值域。

（答案：{}5,4,3,2,1,0）二、反函数法：当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例：求函数2x 1x y ++=的值域。

点拨:先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数2x 1x y ++=的反函数为：y y --=112x ，其定义域为1y ≠的实数，故函数y 的值域为{}R y 1,y |y ∈≠。

点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习:求函数x-x -xx 10101010y ++=的值域。

（答案：{}1y 1-y |y 或）。

三、配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求函数的值域。

例：求函数()2x x-y 2++=的值域。

点拨:将被开方数配方成平方数，利用二次函数的值求。

解：由02x x -2≥++可知函数的定义域为{}2x 1-|x ≤≤。

此时2x x -2++=4921-x -2+⎪⎭⎫ ⎝⎛ ()232x x-02≤++≤∴，即原函数的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤23y 0|y点评：求函数的值域的不但要重视对应关系的应用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域例1. 求函数的值域。

解：∵∴显然函数的值域是：2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例2. 求函数的值域。

解：将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1时，，当x=-1时，故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法例3. 求函数的值域。

解：两边平方整理得：（1）∵∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵∴∴代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例4. 求函数值域。

解：由原函数式可得：则其反函数为：，其定义域为：故所求函数的值域为：5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

例5. 求函数的值域。

解：由原函数式可得：，可化为：即∵∴即解得：故函数的值域为6. 函数单调性法例6. 求函数的值域。

解：令则在[2，10]上都是增函数所以在[2，10]上是增函数当x=2时，当x=10时，故所求函数的值域为：例7. 求函数的值域。

解：原函数可化为：令，显然在上为无上界的增函数所以，在上也为无上界的增函数所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值显然y>0，故原函数的值域为7. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作例8. 求函数的值域。

高考数学函数求值域的十二种方法出国留学为大家供给高考数学函数求值域的十二种方法，更多高考资讯请关注我们网站的更新 !高考数学函数求值域的十二种方法一. 察看法经过对函数定义域、性质的察看，联合函数的分析式，求得函数的值域。

例 1 求函数 y=3+√(2 -3x) 的值域。

点拨：依据算术平方根的性质，先求出√ (2 -3x) 的值域。

解：由算术平方根的性质，知√ (2 - 3x) ≥0，故 3+√(2 - 3x) ≥3。

∴函数的值域为 {y ∣y≥3｝ .评论：算术平方根拥有两重非负性，即：(1) 被开方数的非负性，(2)值的非负性。

此题经过直接察看算术平方根的性质而获解，这类方法对于一类函数的值域的求法，简捷了然，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0 ≤x≤5) 的值域。

( 答案：值域为： {0 ，1，2，3，4，5｝)二.反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例 2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

其定解：明显函数y=(x+1)/(x+2) 的反函数为:x=(1-2y)/(y-1),义域为 y≠1的实数 , 故函数 y 的值域为 {y ∣y≠1,y ∈R｝。

评论：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这类方法表现逆向思想的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数 y=(10x+10-x)/(10x-10-x) 的值域。

( 答案：函数的值域为{y ∣y1｝ )三. 配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时 , 能够利用配方法求函数值域例 3：求函数 y=√(-x2+x+2) 的值域。

点拨：将被开方数配方成完整平方数，利用二次函数的最值求。

解：由 - x2+x+2≥0, 可知函数的定义域为x∈[-1 ，2] 。

此时 -x2+x+2=-(x- 1/2)2+9/4 ∈[0 ，9/4] ∴0≤√ - x2+x+2≤3/2, 函数的值域是 [0,3/2]评论：求函数的值域不只要重视对应关系的应用 , 并且要特别注意定义域对值域的限制作用。

例谈含二次根式的函数值域的常用求法
郑蔚文
【期刊名称】《数学教学通讯：中学生版高三卷》
【年(卷),期】2005(000)002
【摘要】求合有二次根式的函数值域问题是高中数学中常见的题型，它的形式多种多样，求法也灵活多变，几乎涵盖了所有的函数值域的求法，正因它含有二次根式，因而求有关此类值域时，也就有它独特的一面，现介绍几类此题的方法，以飧读者．
【总页数】2页(P87-88)
【作者】郑蔚文
【作者单位】江西省金溪县第一中学,344800
【正文语种】中文
【中图分类】G633.603
【相关文献】
1.含二次根式的函数化简和求值域问题的研究 [J], 李光发
2.利用点到直线的距离求含二次根式函数的值域 [J], 唐红全;李光发
3.例谈函数值域的常用求法 [J], 贾俊霞
4.例谈含根式函数值域的求解方法 [J], 葛云云
5.例谈含根式函数值域的求解方法 [J], 葛云云
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

二次根式的化简与运算详细解析二次根式是数学中重要的一个概念，它在代数中的运算和化简是我们必须掌握的基本技能。

本文将详细解析二次根式的化简与运算，帮助读者更好地理解和应用这一概念。

一、二次根式的化简化简二次根式是将含有根号的表达式变得更简单，通常有以下几种方法：1. 分解因式法当二次根式中的根号下为完全平方数时，可使用分解因式法进行化简。

例如，对于√36，因为36是6的平方，我们可以得到√36=√(6×6)=6。

2. 求平方法当二次根式中的根号下含有两项且其中一项为平方时，可以使用求平方法进行化简。

例如，对于√(x+2)(x+2)，我们可以将其展开为(x+2)，即√(x+2)(x+2)=x+2。

3. 合并同类项法当二次根式中存在相同的根号下的项时，可以使用合并同类项法进行化简。

例如，对于√12+√12，我们可以将其合并为2√12。

二、二次根式的运算二次根式的运算包括加减乘除四种基本运算，下面将详细介绍每一种运算的步骤和方法。

1. 加法与减法运算对于二次根式的加法与减法运算，要求根号下的项相同，即它们的根号下含有相同的因式。

例如，对于√5+√3-√5，我们可以合并相同的根号项，得到√5-√5+√3，进而化简为√3。

2. 乘法运算二次根式的乘法运算需要使用分配律，即将一个二次根式乘以另一个二次根式，并化简结果。

例如，对于√2 × √3，我们可以运用分配律，得到√(2 × 3)，即√6。

3. 除法运算二次根式的除法运算可以通过有理化的方法进行。

有理化是指将含有根号的表达式乘以一个合适的有理数，使得分子或分母中的根号项消去。

例如，对于√10/√2，我们可以将分子和分母都乘以√2，得到(√10 ×√2)/(√2 × √2)，即√20/2。

进一步化简为√20/2=√4/1=2。

三、应用举例为了更好地理解和应用二次根式的化简与运算，下面通过一些具体例子进行说明。

二次根式的取值范围和化简二次根式是数学中一个重要的概念，它可以用来表示平方根的形式。

在代数学中，我们经常需要对二次根式进行取值范围的确定和化简。

本文将讨论二次根式的取值范围以及如何化简二次根式。

一、二次根式的取值范围对于二次根式√x，其中x为一个实数，它的取值范围可以通过以下几个步骤来确定：1. 如果x为非负数（x ≥ 0），则√x的取值范围为[0, +∞)。

这是因为对于非负数x，其平方根为一个非负数。

2. 如果x为负数（x < 0），则√x的取值范围为虚数集合。

这是因为负数的平方根是一个虚数，无法用实数表示。

二次根式的取值范围可以分为两种情况：当x为非负数时，取值范围为[0, +∞)；当x为负数时，取值范围为虚数集合。

二、二次根式的化简化简二次根式是将其写成最简形式的过程。

下面我们将介绍几种常见的化简方法：1. 化简含有完全平方数的二次根式。

完全平方数是指其平方根为一个整数的数。

当二次根式中的被开方数含有完全平方因子时，可以将其化简。

例如，√16可以化简为4，因为16是一个完全平方数，其平方根为4。

2. 化简含有分数的二次根式。

当二次根式中的被开方数为一个分数时，可以将其化简。

例如，√(1/4)可以化简为1/2，因为1/4可以化简为1/2的平方。

3. 化简含有变量的二次根式。

当二次根式中的被开方数为一个变量时，可以使用平方公式将其化简。

例如，√(x^2)可以化简为|x|，因为x^2可以化简为|x|^2。

需要注意的是，在化简二次根式时，要根据实际情况选择合适的化简方法，以得到最简形式的结果。

化简二次根式的方法主要包括化简含有完全平方数的二次根式、化简含有分数的二次根式和化简含有变量的二次根式等。

二次根式的取值范围和化简是数学中的基础知识，对于解决实际问题和理解抽象概念具有重要意义。

希望通过本文的介绍，读者能够对二次根式的取值范围和化简有更深入的理解和掌握。

二次分式函数值域的求法第一篇：二次分式函数值域的求法二次甘肃王新宏一定义域为R的二次分式函数用“判别式”法解题步骤：1把函数转化为关于x的二次方程方程有实根，△≥0求的函数值域2x2-x+21：求y =2的值域 x+x+2解：∵x+x+2>0恒成立 22x2-x+2由y =2得，x+x+2（y-2）x+(y+1)x+y-2=0①当y-2=0时，即y=2时，方程为x=0∈R②当y-2≠0时，即y≠2时,∵x∈R∴方程（y-2）x+(y+1)x+y-2=0有实根∴△=(y+1)-(y-2)×(y-2)≥0∴3y-18y+15≤0∴1≤y≤5∴函数值域为[1,5] 2222练习1：求y =3x的值域 x2+4⎡33⎤⎢-4,4⎥⎣⎦二分母最高次幂为一次的二次分式函数值域常转化为“√”函数或用“均值不等式”来做。

先来学习“√”函数。

形如y =x+图像k(x>0 ,k>0)的函数，叫“√”函数 x[]值域：[2k,+∞]单调性：在x∈0,时，单调递减。

在x∈k,+∞]时，单调递减。

解题步骤：①令分母为t,求出t的范围②把原函数化为关于t的函数③利用“√”函数的单调性或均值不等式来求值域2x2-x+11例2求y =（<x≤3）的值域 22x-1解令2x-1=t,得t+1 2t111∴y=++≥2+ 2t22t1当且仅当=时，即t=2时，取“=”。

2t1∴y≥2+ 20∴值域为：⎢2+⎡⎣1⎤,+∞⎥2⎦⎡7⎤⎢1,3⎥⎣⎦(sinx)2+3cosx-4练习2求y=的值域cosx-2三分子为一次因式的二次分式函数，即形如：y=ax+b(ac≠0)cx2+dx+e解题步骤：①令分子为t,求出t的范围，把原函数化为关于t的函数②分子分母同除以t，把分母化为关于t的“√”函数③根据复和函数的单调性得出原函数值域例3y =x+1x∈(-1,+∞) 2x+3x+3解令x+1=t,得t∈(0,+∞)且x=t-1∴y=t=t2+t+1111+t+t1≥3(t=1时取“=”)t1∴y≤且y>0 3∵1+t+∴值域为 0,⎥ 3练习3:求y =⎛1⎤⎝⎦x的值域？x2+1⎡1⎤⎢0,2⎥⎣⎦四分子分母均为二次的二次分式函数可化为“三“求之。

探究含有根式的函数值域问题含根式的函数的值域或者最值问题在高中数学的学习过程中时常遇到，因其解法灵活，又缺乏统一的规律，给我们造成了很大的困难，导致有些学生遇到根式就害怕。

为此，本文系统总结此类函数值域的求解方法，供学生参考学习。

1.平方法例1：求31++-=x x y 的值域 解：由题意知函数定义域为[]1,3-，两边同时平方得：322422+--+=x x y =4+()4212+-+x 利用图像可得[]8,42∈y ，又知〉y 0[]22,2∈∴y所以函数值域为[]22,2析：平方法求值域适用于平方之后可以消去根式外面未知量的题型。

把解析式转化为()x b a y ϕ+=2的形式，先求y 2的范围，再得出y 的范围即值域。

2.换元法例2：求值域1)12--=x x y2)x x y 24-+=解：（1）首先定义域为[)+∞,1，令()01≥-=t x t ，将原函数转化为 [)+∞∈,0t ，⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈∴,815y 析：当函数解析式由未知量的整数幂与根式构成，并且根式内外的未知量的次幂保持一致。

可以考虑用代数换元的方法把原函数转化成二次函数，再进行值域求解。

（2）首先，函数定义域为[]2,2-∈x ，不妨设αsin 2=x ，令⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππα 则原函数转化为：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=4sin 22cos 2sin 2παααy ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππα，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+43,44πππα 析：形如题目中的解析式，考虑用三角换元的方法，在定义域的前提下，巧妙地规定角的取值范围，避免绝对值的出现。

不管是代数换元还是三角换元，它的目的都是为了去根式，故需要根据题目灵活选择新元，并注意新元的范围。

3.数形结合法例3：1）求()()8222+-+=x x y 的值域。

2）求1362222+-++-=x x y x x 的最小值。

解：（1）()()8222+-+=x x y 82++-=x x其解析式的几何意义为数轴上的一动点x ，到两定点2与-8的距离之和，结合数轴不难得到[]+∞∈,10y（2）解析式可转化为()()413122+++=--x x y ， 定义域为R ，进行适当的变形()()=+++--413122x x ()()()()2031012222----+++x x ， 由它的形式联想两点间的距离公式，分别表示点到点的距离与点的距离之和。