第六部分 函数题库及答案

第六章单元测试卷(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分) 1. 下列函数中，y 是x 的反比例函数的是(D )A ．x(y －1)＝1B ．y ＝1x ＋1C ．y ＝1x 2D ．y ＝3x 2. 图象经过点(2，1)的反比例函数是(B )A ．y ＝－2xB ．y ＝2xC ．y ＝－12xD ．y ＝2x3. 在反比例函数y ＝m －7x 的图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是(A )A ．m>7B ．m<7C ．m ＝7D ．m ≠74. 已知电流I(安培)、电压U(伏特)、电阻R(欧姆)之间的关系为I ＝UR ，当电压为定值时，I 关于R 的函数图象是(C )5. 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v 千米/小时与时间t 小时的函数关系式是(B )A ．v ＝320tB ．v ＝320t C ．v ＝20t D ．v ＝20t6. 对于反比例函数y ＝－3x，下列说法不正确的是(D )A ．图象经过点(1，－3)B ．图象分布在第二、四象限C ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大D ．点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)都在反比例函数y ＝－3x的图象上，若x 1＜x 2，则y 1＜y 27. 一次函数y ＝ax ＋b 与反比例函数y ＝a －bx ，其中ab<0，a ，b 为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是(C )8. 如图，菱形OABC 的顶点C 的坐标为(3，4)，顶点A 在x 轴的正半轴上．反比例函数y ＝kx (x>0)的图象经过顶点B ，则k 的值为(D )A ．12B ．20C ．24D ．32,第8题图) ,第9题图),第10题图)9. 一次函数y 1＝kx ＋b 和反比例函数y 2＝mx的图象如图，则使y 1＞y 2的x 范围是(B )A ．x ＜－2或x ＞3B ．－2＜x ＜0或x ＞3C ．x ＜－2或0＜x ＜3D ．－2＜x ＜310. 如图，在直角坐标系中，点A 在函数y ＝4x (x>0)的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，AB 的垂直平分线与y 轴交于点C ，与函数y ＝4x (x>0)的图象交于点D ，连接AC ，CB ，BD ，DA ，则四边形ACBD 的面积等于(C )A ．2B ．23C ．4D ．4 3二、填空题(本大题6小题，每小题4分，共24分)11. 若反例函数y ＝kx 的图象经过点(－1，2)，则k 的值是－2.12. 已知反比例函数y ＝2x，当x<－1时，y 的取值范围为－2<y<0.13. 已知正比例函数y ＝－2x 与反比例函数y ＝kx 的图象的一个交点坐标为(－1，2)，则另一个交点的坐标为(1，－2)．14. 如图，反比例函数y ＝2x 的图象经过矩形OABC 的边AB 的中点D ，则矩形OABC 的面积为4.,第14题图) ,第15题图),第16题图)15. 如图，直线x ＝2与反比例函数y ＝2x ，y ＝－1x的图象分别交于A ，B 两点，若点P是y 轴上任意一点，则△PAB 的面积是32.16. 某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(kPa )是气体体积V(m 3)的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于150 kPa 时，气球会将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于0.4m 3.三、解答题(一)(本大题3小题，每小题6分，共18分)17. 已知反比例函数的图象与直线y ＝2x 相交于点A(1，a)，求这个反比例函数的表达式．解：将点A(1，a)代入直线y ＝2x 得a ＝2×1＝2.点A 的坐标为(1，2)，代入y ＝kx 得k＝2，∴反比例函数的表达式为y ＝2x18. 已知反比例函数的图象过点A(－2，3)． (1)求这个反比例函数的表达式；(2)这个函数的图象分布在哪些象限？y 随x 的增大如何变化？解：(1)y ＝－6x (2)分布在第二、四象限，在每个象限内y 随x 的增大而增大19. 如图，一辆汽车从甲地到乙地的行驶时间t(h )与行驶速度v(km /h )的函数关系如图所示，根据图象提供的信息，求：(1)t 与v 之间的函数关系式；(2)若要在3 h 内到达乙地，则汽车的速度应不低于多少？解：(1)t ＝300v (2)当t ＝3 h 时，v ＝100(km /h )．∵t 随v 地增大而减小，∴v ≥100，即汽车的速度应不低于100 km /h四、解答题(二)(本大题3小题，每小题7分，共21分)20. 如图，一次函数y ＝2x －4的图象与反比例函数y ＝kx 的图象交于A ，B 两点，且点A的横坐标为3.(1)求反比例函数的表达式； (2)求点B 的坐标．解：(1)把x ＝3代入y ＝2x －4得y ＝6－4＝2，则A 的坐标是(3，2)．把(3，2)代入y ＝k x 得k ＝6，则反比例函数的表达式是y ＝6x (2)根据题意得2x －4＝6x ，解得x ＝3或x ＝－1，把x ＝－1代入y ＝2x －4得y ＝－6，则B 的坐标是(－1，－6)21. 已知反比例函数y ＝kx (k≠0)的图象经过点B(3，2)，点B 与点C 关于原点O 对称，BA ⊥x 轴于点A ，CD ⊥x 轴于点D.(1)求这个反比函数的表达式； (2)求△ACD 的面积．解：(1)将B 点坐标代入函数表达式，得k 3＝2，解得k ＝6，反比例函数的表达式为y ＝6x(2)由B(3，2)，点B 与点C 关于原点O 对称，得C(－3，－2)．由BA⊥x 轴于点A ，CD ⊥x 轴于点D ，得A(3，0)，D(－3，0)．S △ACD ＝12AD·CD＝12[3－(－3)]×|－2|＝622. 如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与坐标轴分别交于A ，B 两点，与反比例函数y ＝nx的图象在第一象限的交点为C ，CD ⊥x 轴，垂足为D ，若OB ＝3，OD ＝6，△AOB 的面积为3. (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)直接写出当x>0时，kx ＋b －nx<0的解集．解：(1)∵S AOB ＝3，OB ＝3，∴OA ＝2，∴B(3，0)，A(0，－2)，代入y ＝kx ＋b 得⎩⎪⎨⎪⎧0＝3k ＋b ，－2＝b ，解得k ＝23，b ＝－2，∴一次函数的表达式为y ＝23x －2，∵OD ＝6，∴D(6，0)，CD ⊥x 轴，当x ＝6时，y ＝23×6－2＝2，∴C(6，2)，∴n ＝6×2＝12，∴反比例函数的表达式是y ＝12x(2)当x>0时，kx ＋b －nx<0的解集是0<x<6五、解答题(三)(本大题3小题，每小题9分，共27分) 23. 保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动，某化工厂1月的利润为200万元．设1月为第1个月，第x 个月的利润为y 万元．由于排污超标，该厂决定从1月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y 与x 成反比例，到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元(如图)．(1)分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后，y 与x 之间的函数关系式； (2)治污改造工程顺利完工后经过几个月，该厂月利润才能达到200万元？(3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？解：(1)①当1≤x≤5时，y ＝200x ；②当x>5时，y ＝20x －60 (2)当y ＝200时，20x－60＝200，解得x ＝13，13－5＝8，所以治污改造工程顺利完工后经过8个月后，该厂利润达到200万元 (3)对于y ＝200x ，当y ＝100时，x ＝2；对于y ＝20x －60，当y ＝100时，x ＝8，所以资金紧张的时间为8－2－1＝5(个月)24. 如图，正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点B 在函数y ＝kx (k ＞0，x ＞0)的图象上点P(m ，n)是函数图象上任意一点，过点P 分别作x 轴y 轴的垂线，垂足分别为E ，F.并设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合的部分的面积为S.(1)求k 的值；(2)当S ＝92时，求点P 的坐标；(3)写出S 关于m 的关系式．解：(1)k ＝9 (2)分两种情况：①当点P 在点B 的左侧时，∵P(m ，n)在函数y ＝kx 上，∴mn ＝9，∴S ＝m(n －3)＝mn －3m ＝92，解得m ＝32，∴n ＝6，∴点P 的坐标是P(32，6)；②当点P 在点B 的右侧时，∵P(m ，n)在函数y ＝k x 上，∴mn ＝9，∴S ＝n(m －3)＝mn －3n ＝92，解得n ＝32，∴m ＝6，∴点P 的坐标是P(6，32)，综上所述：P 点坐标为(6，32)或(32，6) (3)当0＜m ＜3时，点P 在点B 的左边，此时S ＝9－3m ，当m≥3时，点P 在点B 的右边，此时S ＝9－3n ＝9－27m25. 如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝mx (x ＞0)的图象交于点P(n ，2)，与x 轴交于点A(－4，0)，与y 轴交于点C ，PB ⊥x 轴于点B ，点A 与点B 关于y 轴对称．(1)求一次函数，反比例函数的表达式； (2)求证：点C 为线段AP 的中点；(3)反比例函数图象上是否存在点D ，使四边形BCPD 为菱形？如果存在，说明理由并求出点D 的坐标；如果不存在，说明理由．解：(1)反比例函数表达式为y ＝8x ，一次函数表达式为y ＝14x ＋1 (2)∵点A 与点B 关于y 轴对称，∴OA ＝OB ，∵PB ⊥x 轴于点B ，∴∠PBA ＝∠COA＝90°，∴PB ∥CO ，∴OA OB ＝ACPC ＝1，即AC ＝PC ，∴点C 为线段AP 的中点 (3)存在点D ，使四边形BCPD 为菱形．理由：∵点C 为线段AP 的中点，∴BC ＝12AP ＝PC ，∴BC 和PC 是菱形的两条边，由y ＝14x ＋1可得C(0，1)，过点C 作CD∥x 轴，交PB 于点E ，交反比例函数图象于点D ，分别连接PD ，BD ，∴D(8，1)，且PB⊥CD，∴PE ＝BE ＝1，CE ＝DE ＝4，∴PB 与CD 互相垂直平分，即四边形BCPD 为菱形，∴存在满足条件的点D ，其坐标为(8，1)。

鲁教版2019七年级数学第六章一次函数单元练习题（附答案）1．下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是( )A.y ＝－2xB.y ＝－5xC.y ＝－12x -D.y ＝21x x- 2．下列变量之间的关系中，是函数关系的是 ( )A.人的体重与年龄B.正方形的周长与边长C.长方形的面积与长D.y 中，y 与x3．下列点在一次函数y ＝2x 的图象上的是( )A ．(2，3)B ．(3，6)C ．(0，3)D ．(3，0)4．当kb ＜0时，一次函数y=kx+b 的图象一定经过（ ）A ．第一、三象限B ．第一、四象限C ．第二、三象限D ．第二、四象限5．如图，经过点B （1，0）的直线y =kx +b 与直线y =4x +4相交于点A （m ，83），则0＜kx +b ＜4x +4的解集为（ ）A ．x ＜-13B ．-13＜x ＜1C ．x ＜1D ．-1＜x ＜1 6．已知反比例函数k y x=的图象如图所示，则y=kx-2的图象大致是（如图所示）（ ）A. B. C. D.7．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min 内只进水不出水，在随后的8min 内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y （单位：L ）与时间x （单位：min ）之间的关系如图所示．则8min 时容器内的水量为（ ）8．已知一次函数2(2)4y k x k =++-的图象经过原点，则（ ）A.k =±2B.k =2C.k = -2D.无法确定9．根据下表：判断y 与x 的关系式正确的是（ ）A.3y x =B.13y x =C.3y x =-D.36y x =-+ 10．甲、乙两同学从A 地出发，骑自行车在同一条路上行驶到距A 地18千米的B 地，他们离开A 地的距离S （千米）和行驶时间t （小时）之间的函数关系图象如图所示，根据题目和图象所提供的信息，下列说法正确的是（ ）A.乙比甲先到达B 地B.乙在行驶过程中没有追上甲C.乙比甲早出发半小时D.甲的行驶速度比乙的行驶速度快11．一次函数的图象如图所示，则其函数关系式为_______．12．在一次自行车越野赛中，出发mh 后，小明骑行了25km ，小刚骑行了18km ，此后两人分别以a km/h ，b km/h 匀速骑行，他们骑行的时间t （单位：h ）与骑行的路程s （单位：km ）之间的函数关系如图所示，观察图象，可得小刚追上小明时离起点__________km ；13．如图，在平面直角坐标系中，为原点，直线与双曲线，分别交于，两点，则_____________.14．火车“动车组”以250千米/时的速度行驶，则行驶的路程s(千米)与行驶时间t(小时)之间的函数关系式是_______________，它是_________________函数．(填“正比例”或“一次”)15．已知一次函数y=kx+2k+3的图象不经过第三象限，则k 的取值范围是________. 16．一次函数y= -3x+9的图象与x 轴交点坐标是__________17．一次函数13y x =-+与2312y x =-+的图象的交点坐标是__________．当x __________时，12y y >．18．对于一次函数，当自变量的取值为时，相应的函数值的范围为，则该函数的解析式为 。

第六章多元函数微分学[单选题]1、设积分域在D由直线所围成，则=（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】实用文档[单选题]2、（）．A、9B、4C、3实用文档D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】?? [单选题]3、设，则=（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】实用文档首先设出，然后求出最后结果中把用次方代换一下就可以得到结果．[单选题]4、实用文档设则（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】本题直接根据偏导数定义得到. [单选题]5、设，=（）．A、B、实用文档C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】实用文档对x求导，将y看做常数，．[单选题]6、设，则= （）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]7、A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】实用文档【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]8、实用文档函数的定义域为（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】，，综上满足：.[单选题]9、（）．A、0B、﹣1C、1D、∞【从题库收藏夹删除】实用文档【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]10、设，则（）．A、实用文档B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]11、函数的确定的隐函数，则=（）．A、B、C、实用文档D 、【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】方程左右两边求导，，实用文档.[单选题]12、设，则在(0,0)处（）．A、取得极大值B、取得极小值C、无极值D、无法判定是否取得极值【从题库收藏夹删除】【正确答案】B【您的答案】您未答题【答案解析】故，故取得极小值[单选题]13、设，则=（）．A、实用文档B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】D【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]实用文档14、设z=x^2/y,x=v-2u,y=u+2v，则（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]15、设函数z=ln(x2+y2)，则=( )A、实用文档B、C、D、实用文档【从题库收藏夹删除】【正确答案】A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]16、设函数，则＝（）．A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】C【您的答案】您未答题【答案解析】参见教材P178～179。

第六节对数与对数函数学习要求:1.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过具体实例,了解对数函数的概念.能画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.3.知道对数函数y=log a x与指数函数y=a x(a>0,且a≠1)互为反函数.1.对数的概念(1)对数的定义一般地,如果①a x=N(a>0,且a≠1) ,那么数x叫做以a为底N的对数,记作②x=log a N ,其中③a叫做对数的底数,④N叫做对数的真数.(2)几种常见的对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a>0且a≠1) ⑤ log a N常用对数底数为10 ⑥ lg N自然对数底数为e ⑦ ln N2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质(i)负数和0无对数.(ii)1的对数等于0,即log a1=0(a>0且a≠1).(iii)log a a=1(a>0且a≠1).▶提醒a log a N=⑧N ;log a a N=⑨N (a>0且a≠1). (2)换底公式及其推论换底公式:⑩ log b N =log a Nlog a b(a,b均大于0且不等于1).推论:log a b=1log b a ,lo g a m bn=nmlog a b(a>0且a≠1,b>0且b≠1,m,n∈R,且m≠0),log a b·log b c·log c d= log a d (a,b,c均大于0且不等于1,d大于0).(3)对数的运算法则如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么log a(MN)= log a M+log a N ,log a MN= log a M-log a N ,log a M n=n log a M (n∈R).3.对数函数的图象与性质a>1 0<a<1图象性质定义域:(0,+∞)值域:R图象恒过点(1,0),即x =1时,y =0当x >1时,y >0; 当0<x <1时,y <0 当x >1时,y <0; 当0<x <1时,y >0 是(0,+∞)上的增函数是(0,+∞)上的减函数▶提醒 当对数函数的底数a 的大小不确定时,需分a >1和0<a <1两种情况进行讨论. 4.反函数指数函数y =a x (a >0,且a ≠1)与对数函数y =loga x (a >0,且a ≠1)互为反函数,它们的图象关于直线 y =x 对称.知识拓展1.在第一象限内,不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.2.对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a ,1),(1a ,-1),函数图象只在第一、四象限.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)log a(MN)=log a M+log a N.()(2)函数y=log a x2与函数y=2log a x相等.()(3)对数函数y=log a x(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上是增函数.()(4)函数y=ln1+x1-x与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.()答案(1)✕(2)✕(3)✕(4)√2.(新教材人教A版必修第一册P127T3改编)log29×log34+2log510+log50.25=()A.0B.2C.4D.6答案 D3.(新教材人教A版必修第一册P133例3改编)已知a=ln 3,b=log3e,c=logπe,则下列关系正确的是()A.c<b<aB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a答案 A4.(新教材人教A版必修第一册P159T1改编)图中曲线是对数函数y=log a x的图象,已知a取√3,43,35,110四个值,则对应于C1,C2,C3,C4的a值依次为()A.√3,43,35,110B.√3,43,110,35C.43,√3,35,110D.43,√3,110,35答案 A5.已知函数f(x)=log a(2x-a)在区间[23,34]上恒有f(x)>0,则实数a的取值范围是.答案(12,1)对数式的化简与求值1.(多选题)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,则()A.ab+bc=2acB.ab+bc=acC.2c =2a+1bD.1c=2b−1a答案AD∵a,b,c都是正数, 故可设4a=6b=9c=M,∴a=log4M,b=log6M,c=log9M,则1a =log M4,1b=log M6,1c=log M9.∵log M4+log M9=2log M6,∴1a +1c=2b,即1c=2b−1a,去分母整理得,ab+bc=2ac.故选AD.2.计算:2log 23+2log 31-3log 77+3ln 1= . 答案 0解析 原式=3+2×0-3×1+3×0=0. 3.计算:(lg 14-lg25)×10012= . 答案 -20解析 原式=(lg 2-2-lg 52)×10012=lg (122×52)×10=lg 10-2×10=-2×10=-20.4.计算:(1-log 63)2+log 62·log 618log 64= .答案 1 解析 原式 =1-2log 63+(log 63)2+log 663·log 6(6×3)log 64=1-2log 63+(log 63)2+1-(log 63)2log 64=2(1-log 63)2log 62=log 66-log 63log 62=log 62log 62=1.名师点评1.在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数,然后逆用对数的运算法则,化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b=N⇔b=log a N(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化.对数函数的图象及应用典例1(1)(2020安徽亳州二模)在同一个平面直角坐标系中,函数f(x)=1a x 与g(x)=lg ax的图象可能是()(2)(2020宁夏银川模拟)已知函数f(x)=|ln x|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则2a+b的取值范围是()A.(2√2,+∞)B.[2√2,+∞)C.(3,+∞)D.[3,+∞)答案(1)A(2)B解析(1)由题意a>0且a≠1,所以函数g(x)=lg ax单调递减,故排除B、D;对于A、C,由函数f(x)=1a x 的图象可知0<a<1,对于函数g(x)=lg ax,g(1)=lg a<0,故A正确,C错误.(2)f(x)=|ln x|的图象如下:因为0<a<b且f(a)=f(b),所以|ln a|=|ln b|且0<a<1,b>1,所以-ln a=ln b,即ab=1,易得2a+b≥2√2ab=2√2,当且仅当2a=b,即a=√22,b=√2时等号成立.故选B.名师点评1.在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.常把一些对数型方程、不等式问题转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.1.(2020广东惠州模拟)当a >1时,在同一坐标系中,函数g (x )=a -x 与f (x )=-log a x 的图象大致是( )答案 D 因为a >1,所以g (x )=a -x=(1a )x为R 上的减函数,且过(0,1);f (x )=-log a x 为(0,+∞)上的减函数,且过(1,0), 故只有D 选项符合.2.(2020陕西榆林三模)设x 1、x 2、x 3均为实数,且e -x 1=ln x 1,e -x 2=ln(x 2+1),e -x 3=lg x 3,则( ) A.x 1<x 2<x 3 B.x 1<x 3<x 2 C.x 2<x 3<x 1 D.x 2<x 1<x 3 答案 D 因为e -x 1=ln x1⇒(1e )x 1=ln x 1,e-x 2=ln(x 2+1)⇒(1e )x 2=ln(x 2+1),e-x 3=lg x3⇒(1e )x 3=lg x 3,所以作出函数y =(1e )x,y 1=ln x ,y 2=ln(x +1),y 3=lg x 的函数图象,如图所示:由图象可知函数y 2,y 1,y 3与y 的交点A ,B ,C 的横坐标依次为x 2,x 1,x 3,即有x 2<x 1<x 3.故选D .对数函数的性质及应用角度一 比较对数值的大小典例2 (2020课标Ⅲ理,12,5分)已知55<84,134<85.设a =log 53,b =log 85,c =log 138,则( )A.a <b <cB.b <a <cC.b <c <aD.c <a <b 答案 A a =log 53∈(0,1),b =log 85∈(0,1),则ab =log 53log 85=log53·log58<(log 53+log 582)2=(log 5242)2<1,∴a <b.又∵134<85,∴135<13×85,两边同取以13为底的对数得log 13135<log 13(13×85),即log 138>45, ∴c >45. 又∵55<84,∴8×55<85,两边同取以8为底的对数得log 8(8×55)<log 885, 即log 85<45,∴b <45.综上所述,c >b >a ,故选A . 角度二 解简单的对数不等式典例3 若log a (a 2+1)<log a 2a <0,则a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,12)C.(12,1)D.(0,1)∪(1,+∞)答案 C 由题意得a >0且a ≠1,故必有a 2+1>2a ,又log a (a 2+1)<log a 2a <0,所以0<a <1,且2a >1,∴a >12.故a 的取值范围是(12,1).角度三 与对数函数有关的复合函数问题典例4 已知函数f (x )=log a (ax 2-x ).(1)若a =12,求f (x )的单调区间; (2)若f (x )在区间[2,4]上是增函数,求实数a 的取值范围.解析 (1)当a =12时,f (x )=lo g 12(12x 2-x),由12x 2-x >0,得x 2-2x >0,解得x <0或x >2,所以函数f (x )的定义域为(-∞,0)∪(2,+∞),利用复合函数单调性可得函数f (x )的增区间为(-∞,0),减区间为(2,+∞).(2)令g (x )=ax 2-x ,则函数g (x )的图象开口向上,对称轴为x =12a 的抛物线,①当0<a<1时,要使函数f(x)在区间[2,4]上是增函数, 则g(x)=ax2-x在[2,4]上单调递减,且g(x)min=ax2-x>0,即{12a≥4,g(4)=116a-14>0,此不等式组无解.②当a>1时,要使函数f(x)在区间[2,4]上是增函数, 则g(x)=ax2-x在[2,4]上单调递增,且g(x)min=ax2-x>0,即{12a≤2,g(2)=4a-2>0,解得a>12,又a>1,∴a>1.综上实数a的取值范围为(1,+∞).名师点评(1)确定函数的定义域,研究或利用函数的性质,都要在其定义域上进行.(2)如果需将函数解析式变形,一定要保证其等价性,否则结论错误.(3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时,要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时,一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响,并且真数必须为正.1.(2020课标Ⅲ文,10,5分)设a=log32,b=log53,c=23,则()A.a <c <bB.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b答案 A 因为a =log 32=log 3√83<log3√93=23=c , b =log 53=log 5√273>log5√253=23=c ,所以a <c <b.故选A .2.若a >b >0,0<c <1,则 ( ) A.log a c <log b c B.log c a <log c bC.a c <b cD.c a >c b答案 B ∵0<c <1,∴当a >b >1时,log a c >log b c ,故A 项错误;∵0<c <1,∴y =log c x 在(0,+∞)上单调递减,又a >b >0,∴log c a <log c b ,故B 项正确;∵0<c <1,∴y =x c 在(0,+∞)上单调递增,又∵a >b >0,∴a c >b c ,故C 项错误;∵0<c <1,∴y =c x 在(0,+∞)上单调递减,又∵a >b >0,∴c a <c b ,故D 项错误.故选B .3.若函数f (x )=log a (x 2+32x)(a >0,a ≠1)在区间(12,+∞)上恒有f (x )>0,则f (x )的单调递增区间为 .答案 (0,+∞)解析 令M =x 2+32x ,当x ∈12,+∞时,M ∈(1,+∞),因为f (x )>0,所以a >1,所以函数y =log a M 为增函数,又M =(x +34)2−916,因此M 的单调递增区间为(-34,+∞).又x 2+32x >0,所以x >0或x <-32,所以函数f (x )的单调递增区间为(0,+∞).A组基础达标1.(2020课标Ⅰ文,8,5分)设a log34=2,则4-a= ()A.116B.19C.18D.16答案 B2.(多选题)设a=log0.20.3,b=log20.3,则()A.1a <1bB.ab<0C.a+b<0D.ab<a+b 答案BCD3.已知a=log2e,b=ln 2,c=lo g1213,则a,b,c的大小关系为()A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b答案 D4.(多选题)已知函数f(x)=lg(x2+ax-a-1),则下列论述中正确的是()A.当a=0时, f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞)B.当a=0时,f(x)一定有最小值C.当a=0时, f(x)的值域为RD.若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是[-4,+∞)答案AC对于A,当a=0时,解x2-1>0,有x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),故A正确;对于B,当a=0时,f(x)=lg(x2-1),x2-1∈(0,+∞),此时f(x)=lg(x2-1)的值域为R,故B错误,C正确;对于D,若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,此时y=x2+ax-a-1的图象的对称轴的方程为直线x=-a 2,则-a2≤2,解得a≥-4.但当a=-4时,f(x)=lg(x2-4x+3)在x=2处无意义,故D错误.故选AC.5.(2020陕西西安高三二模)函数y=log5(x2+2x-3)的单调递增区间是.答案(1,+∞)解析由题意可知x2+2x-3>0,解得x<-3或x>1,即函数y=log5(x2+2x-3)的定义域为(-∞,-3)∪(1,+∞).令g(x)=x2+2x-3,则函数g(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,根据复合函数的单调性,可得函数y=log5(x2+2x-3)的单调递增区间为(1,+∞).6.函数f(x)=e x-e-x+ln1+x1-x+1,若f(a)+f(1+a)>2,则a的取值范围是.答案(-12,0)解析由题意得, f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称设g(x)=f(x)-1=e x-e-x+ln1+x1-x,则g(-x)=e-x-e x+ln1-x1+x,则g(-x)+g(x)=0,所以g(x)是(-1,1)上的奇函数,因为f(a)+f(1+a)>2,所以f(1+a)-1>-f(a)+1,所以f(1+a)-1>-[f(a)-1],即g(1+a)>-g(a)=g(-a),因为y=e x-e-x单调递增,y=ln1+x1-x单调递增,所以g(x)单调递增,则{-1<a<1,-1<1+a<1,1+a>-a,即−12<a<0.故a的取值范围是(-12,0).7.已知函数f(x)=ln(2x2+ax+3).(1)若f(x)是定义在R上的偶函数,求a的值及f(x)的值域;(2)若f(x)在区间[-3,1]上是减函数,求a的取值范围.解析(1)因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(x)=f(-x),所以ln(2x2+ax+3)=ln(2x2-ax+3),故a=0,所以f(x)=ln(2x2+3),定义域为R,符合题意.令t=2x2+3,则t≥3,所以ln t≥ln 3,故f(x)的值域为[ln 3,+∞).(2)设u(x)=2x2+ax+3,f(u)=ln u.因为f(x)在[-3,1]上是减函数,所以u(x)=2x2+ax+3在[-3,1]上是减函数,且u(x)>0在[-3,1]上恒成立,故{-a4≥1,u(x)min=u(1)=5+a>0,解得-5<a≤-4,即a的取值范围是(-5,-4].B组能力拔高8.(2020山西大同三模)在同一平面直角坐标系中,函数f(x)=2-ax,g(x)=log a(x+2)(a>0,且a≠1)的图象大致为()答案A由题意知,函数f(x)=2-ax(a>0,且a≠1)为减函数,当0<a<1时,函数f(x)=2-ax的零点为x=2a>2,且函数g(x)=log a(x+2)在(-2,+∞)上为减函数,故C,D均不正确;当a>1时,函数f(x)=2-ax的零点为x=2a <2,且x=2a>0,且g(x)=log a(x+2)在(-2,+∞)上是增函数,故B不正确,故选A.9.(多选题)(2020山东济南模拟)已知函数f(x)=lg(1|x-2|+1),则下列说法正确的是()A.f(x+2)是偶函数B.f(x+2)是奇函数C.f(x)在区间(-∞,2)上是减函数,在区间(2,+∞)上是增函数D.f(x)没有最小值答案AD因为f(x)=lg(1|x-2|+1),所以f (x +2)=lg (1|x |+1),定义域为{x |x ≠0},关于原点对称,又f (-x +2)=lg (1|-x |+1)=lg (1|x |+1)=f (x +2),所以f (x +2)为偶函数,故A 说法正确,B 说法错误; f (x )=lg (1|x -2|+1)={lg (1x -2+1),x >2,lg (12-x +1),x <2.因为当x ∈(2,+∞)时,y =1x -2为减函数,所以y =1x -2+1为减函数,所以y =lg (1x -2+1)在区间(2,+∞)上为减函数,故C 说法错误;因为当x ∈(2,+∞)时,y =lg (1x -2+1)为减函数,且当x →+∞时,y →0,所以f (x )没有最小值,故D 说法正确.10.(2020辽宁高三三模)设f (x )为定义在R 上的奇函数,当x ≥0时, f (x )=log 3(x +1)+ax 2-a +1(a 为常数),则不等式f (3x +4)>-5的解集为 ( )A.(-∞,-1)B.(-1,+∞)C.(-∞,-2)D.(-2,+∞)答案 D 因为f (x )是定义在R 上的奇函数,所以f (0)=0,解得a =1,所以当x ≥0时,f (x )=log 3(x +1)+x 2.因为函数y =log 3(x +1)和y =x 2在x ∈[0,+∞)上都是增函数,所以f (x )在[0,+∞)上单调递增.由奇函数的性质可知,y =f (x )在R 上单调递增,因为f (2)=5,f (-2)=-5,所以f (3x +4)>-5⇒f (3x +4)>f (-2),即3x+4>-2,解得x>-2.11.(2020课标Ⅰ理,12,5分)若2a+log2a=4b+2log4b,则()A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2答案B2a+log2a=22b+log2b<22b+log2(2b),令f(x)=2x+log2x,则f(a)<f(2b),又易知f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以a<2b,故选B.12.(2020河北邢台模拟)若当x∈(1,2]时,不等式(x-1)2≤log a x恒成立,则实数a的取值范围为.答案(1,2]解析因为当x∈(1,2]时,不等式(x-1)2≤log a x恒成立,所以{a>1,log a2≥1,解得1<a≤2,故实数a的取值范围是(1,2].13.已知函数f(x)=3-2log2x,g(x)=log2x.(1)当x∈[1,4]时,求函数h(x)=[f(x)+1]·g(x)的值域;(2)如果对任意的x∈[1,4],不等式f(x2)·f(√x)>k·g(x)恒成立,求实数k的取值范围.解析(1)易知h(x)=(4-2log2x)·log2x=-2(log2x-1)2+2.因为x∈[1,4],所以log2x∈[0,2],故函数h(x)的值域为[0,2].(2)由f (x 2)·f (√x )>k ·g (x )可得(3-4log 2x )(3-log 2x )>k ·log 2x.令t =log 2x ,因为x ∈[1,4],所以t =log 2x ∈[0,2],即(3-4t )(3-t )>k ·t 对任意t ∈[0,2]恒成立.当t =0时,k ∈R;当t ∈(0,2]时,k <(3-4t )(3-t )t 恒成立, 即k <4t +9t -15恒成立.因为4t +9t ≥12,当且仅当4t =9t ,即t =32时取等号,所以4t +9t -15的最小值为-3,即k <-3.综上,k 的取值范围是(-∞,-3).C 组 思维拓展14.(2020吉林长春高三模拟)若函数f (x )={log 12(3-x )m ,x <1,x 2-6x +m ,x ≥1的值域为R,则m 的取值范围为( )A.(0,8]B.(0,92]C.[92,8] D.(-∞,-1]∪(0,92]答案B①若m>0,则当x<1时, f(x)=lo g12(3-x)m单调递增,当x≥1时, f(x)=x2-6x+m=(x-3)2+m-9在(3,+∞)上单调递增,在[1,3)上单调递减,若函数f(x)的值域为R,则需f(3)=m-9≤m lo g12(3-1)=-m,解得0<m≤92;②若m≤0,则当x<1时,f(x)=lo g12(3-x)m单调递减或为常数函数,当x≥1时,f(x)=x2-6x+m=(x-3)2+m-9在(3,+∞)上单调递增,在[1,3)上单调递减,不满足函数f(x)的值域为R,舍去.综上,m的取值范围为(0,92],故选B.15.(2020山西运城高三模拟)已知函数f(x)=ln2+x2-x,g(x)=m(x-√4-x)+2,若∀x1∈[0,4],∃x2∈[0,1],使得f(x2)<g(x1),则实数m的取值范围是()A.[14ln3-12,1-12ln3]B.(14ln3-12,1-12ln3)C.(-12,1)D.[-12,1]答案C∀x1∈[0,4],∃x2∈[0,1],使得f(x2)<g(x1)等价于f(x)min<g(x)min.函数f(x)=ln2+x2-x=ln(2+x)-ln(2-x),-2<x<2.因为y=ln(2+x)与y=-ln(2-x)在[0,1]上为增函数,所以函数f(x)在[0,1]上为增函数,所以f(x)min=f(0)=0.易知函数y=x-√4-x在[0,4]上为增函数,则-2≤x-√4-x≤4.故当m>0时,-2m+2≤g(x)≤4m+2,因为f(x)min<g(x)min,所以0<-2m+2,解得0<m<1;当m=0时,g(x)min=2>0,满足f(x)min<g(x)min;<m<0.当m<0时,4m+2≤g(x)≤-2m+2,因为f(x)min<g(x)min,所以0<4m+2,解得-12 <m<1.综上可知,-12。

九年级数学上册第六章《反比例函数》测试卷-北师大版（含答案）（满分 120 分）一、选择题（每题3分，共30分） 1.下列函数中，是反比例函数的是（ ）A. y = -2xB. y =-12xC. y =11x- D. y =21x 2.已知点 P （-1，4）在反比例函数y = kx（k =0）的图象上，则K 值是（ ） A. -14B.14 C. 4 D. -4 3.下列各点中，在函数y = -6x图象上的是（ ）A. （-2，-4）B.（2，3）C.（-1，6）D.（-12，3）4.反比例函数y =5m x-的图象在第二、四象限内，那么m 的取值范围是（ ） A. m <0B. m >0C.m >5D. m <55. 函数4y=-x，当x >0时的图象为下图中的（ ）6.已知点（1，y 1），B （2，y 2），C （-3，y 3）都在反比例函数y =6x 的图象上，则y 1，y 2 ，y 3；的大小关系是（ ） A. y 3<y 1 <y 2； B. y 1<y 2<y 3； C. y 2，y 1，y 3； D. y 3<y 2<y 1；7.关于反比例函数y = 4x的图象，下列说法正确的是（ ） A.必经过点（1，1）B.两个分支分布在第二、四象限C.两个分支关于x 轴成轴对称D.两个分支关于原点成中心对称8.三角形的面积为4 c m²，底边上的高y（c m）与底边x（c m）之间的函数关系图象大致应为（）9. 函数y= ax与y=αx-a（a≠0）在同一坐标系中的大致图象是（）10.如图，函数y1=x-1和函数y2=-2x的图象相交于点M（2，m），N（-1，n），若y1<y2，则x的取值范围是（）A.x<-1或0<x<2B.x<-1或x>2C.-1<x<0或0<x<2D．-1<x<0或x>2二、填空题（每题4分，共28分）11.反比例函数y=- 1x的图象在第__________象限，在每个象限内，y随x的增大而________ .12. 反比例函数y= kx过A（-1，4）和B（2，m）两点，则m= ___________________.13．对于函数y= 3x，当x>0时y__________0，这部分图象在第_____________象限.14.完成某项任务可获得500 元报酬，考虑由x人完成这项任务，试写出人均报酬y（元）与人数x（人）之间的函数关系式_________________________________.15.若点P（1，m），P，（2，n）在反比例函数y=kx（k<0）的图象上，则m_____n（填">""<"或"="）.16.如图，已知点A在反比例函数图象上，A M⊥x轴于点M，且⊥AO M的面积为1，则反比例函数的解析式为______________________.17.如图，一次函数y= kx＋b与反比例函数y=mx的图象交于A（2，1），B（-1，n）两点.连接OA，OB，则三角形OAB 的面积为____________.三、解答题（一）（每题6分，共18 分）18.某打印店要完成一批电脑打字任务，如果每天完成100 页，需8天完成任务.（1）每天完成的页数y与所需天数x之间是什么函数关系?（2）要求4天完成，每天应完成几页?19.已知反比例函数y =kx（k为常数，k≠0）的图象经过A（2，3）.（1）求这个函数的解析式；（2）判断点B（-1，6）是否在这个函数的图象上，并说明理由.20.如图，反比例函数y =kx（k为常数，且k≠0）经过点A（1，3）.（1）求反比例函数的解析式；（2）在x轴正半轴上有一点B，若⊥AOB 的面积为6，求直线AB的解析式.四、解答题（二）（每题8 分，共24 分）21.码头工人以每天30 吨的速度往一艘轮船上装载货物，装载完毕恰好用了8 天时间.（1）轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度ν（单位：吨/天）与卸货时间t（单位：天）之间有怎样的函数关系?（2）由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5天内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物?22.如图，已知A （-4，2），B （n ，-4）是一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数y =mx的图象的两个交点. （1）求此反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围.23．如图，已知在平面直角坐标系x O y 中，0是坐标原点，点A （2，5）在反比例函数y =kx的图象上，过点A 的直线y =x +b 交x 轴于点 B. （1）求k 和b 的值； （2）求⊥OAB 的面积；（3）当-3≤x ≤-1时，反比例函数值的范围为_________________.五、解答题（三）（每题10 分，共 20 分） 24.一次函数y =k 1x ＋b 与反比例函数y =2k x（x <0）的图象相交于A ，B 两点，且与坐标轴的交点为（-6，0），（0，6），点B 的横坐标为-4. （1）试确定反比例函数的解析式；（2）求⊥AOB 的面积； （3）直接写出不等式后k 1x +b>2k x的解.25.对教室进行"薰药消毒".已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y （毫克）与燃烧时间x （分钟）之间的关系如图所示（即图中线段 OA 和双曲线在 A 点及其右侧的部分），根据图象所示信息，解答下列问题： （1）写出从药物释放开始，y 与x 之间的函数关系式及自变量的取值范围； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量低于 2 毫克时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在多长时间内，师生不能进入教室?参考答案一、1.B 2.D 3.C 4.D 5.B 6.D 7.D 8.B 9.A 10. A 二、11.二、四 增大 12. -2 13. > 一 14.500y x= 15. <16. y =-2x 17. 32三、18.解：(1)800y x=，反比例函数 (2)当x =4，800y x== 200(页) 19.解：(1) 6y x= (2)不在，理由如下： 当x = -1，61y =-= -6≠6 ⊥点B(-1，6)不在y =6x 的图象上。

专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ第六讲函数的综合及其应用一、选择题1．（2017天津）已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨+>⎪⎩≤设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a +≥在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．47[,2]16-B ．4739[,]1616-C ．[23,2]-D ．39[23,]16- 2．（2015北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 3．（2014北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟4．（2014湖南）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 A ．2p q + B ．(1)(1)12p q ++- CD1 二、填空题5．（2017山东）若函数e ()xf x (e=2．71828L ，是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是 ． ①()2xf x -=②2()f x x=③()3xf x -=④()cos f x x =6．（2017江苏）设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,(),x x Df x x x D⎧∈=⎨∉⎩其中集合1{|,}n D x x n n-==∈*N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ．7．（2017新课标Ⅰ）如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点，DBC ∆，ECA ∆，FAB ∆分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形。

高等数学课后答案习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞), A ⋂B =[-10, -5), A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C . 证明 因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明 (1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ); (2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ). 证明 因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ⇔ y ∈f (A )⋃f (B ), 所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ). (2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ), 所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明: (1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )), 所以 f -1(f (A ))⊃A . (2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A .6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;解 由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-.(2)211xy -=;解 由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞). (3)211x xy --=;解 由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1]. (4)241x y -=; 解 由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2). (5)x y sin =;解 由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞). (6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4]. (8)xx y 1arctan 3+-=;解 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解 由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞). (10)xe y 1=.解 由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞). 7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？ (1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ; (2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g . (4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x . 解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x . (3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同. (4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性: (1)x x y -=1, (-∞, 1);(2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时, 0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数x x y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的.(2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有0l n )()l n ()l n (2121221121<+-=+-+=-x xx x x x x x y y ,所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2. 因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明: (1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数. (2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数. 如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？ (1)y =x 2(1-x 2); (2)y =3x 2-x 3;(3)2211x xy +-=;(4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x aa y -+=.解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数. (2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数. (5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数. (6)因为)(22)()()(x f a a a ax f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数.13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期: (1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2π. (2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l .(3)y =1+sin πx ;解 是周期函数, 周期为l =2. (4)y =x cos x ; 解 不是周期函数. (5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =π. 14. 求下列函数的反函数: (1)31+=x y ;解 由31+=x y 得x =y 3-1, 所以31+=x y 的反函数为y =x 3-1. (2)xx y +-=11;解 由x x y +-=11得y yx +-=11, 所以x x y +-=11的反函数为xx y +-=11.(3)dcx b ax y ++=(ad -bc ≠0);解 由d cx b ax y ++=得a cy bdy x -+-=, 所以d cx b ax y ++=的反函数为acx b dx y -+-=.(4) y =2sin3x ;解 由y =2sin 3x 得2arcsin 31yx =, 所以y =2sin3x 的反函数为2arcsin 31x y =.(5) y =1+ln(x +2);解 由y =1+ln(x +2)得x =e y -1-2, 所以y =1+ln(x +2)的反函数为y =e x -1-2.(6)122+=x xy .解 由122+=x x y 得y y x -=1log 2, 所以122+=x x y 的反函数为xx y -=1log 2. 15. 设函数f (x )在数集X 上有定义, 试证: 函数f (x )在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界.证明 先证必要性. 设函数f (x )在X 上有界, 则存在正数M , 使|f (x )|≤M , 即-M ≤f (x )≤M . 这就证明了f (x )在X 上有下界-M 和上界M .再证充分性. 设函数f (x )在X 上有下界K 1和上界K 2, 即K 1≤f (x )≤ K 2 . 取M =max{|K 1|, |K 2|}, 则 -M ≤ K 1≤f (x )≤ K 2≤M ,即 |f (x )|≤M .这就证明了f (x )在X 上有界.16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值:(1) y =u 2, u =sin x , 61π=x , 32π=x ; 解 y =sin 2x , 41)21(6sin 221===πy ,43)23(3sin 222===πy .(2) y =sin u , u =2x , 81π=x ,42π=x ;解 y =sin2x , 224sin )82sin(1==⋅=ππy ,12sin )42sin(2==⋅=ππy . (3)u y =, u =1+x 2, x 1=1, x 2= 2;解 21x y +=, 21121=+=y , 52122=+=y . (4) y =e u , u =x 2, x 1 =0, x 2=1;解 2x e y =, 1201==e y , e e y ==212.(5) y =u 2 , u =e x , x 1=1, x 2=-1. 解 y =e 2x , y 1=e 2⋅1=e 2, y 2=e 2⋅(-1)=e -2.17. 设f (x )的定义域D =[0, 1], 求下列各函数的定义域: (1) f (x 2);解 由0≤x 2≤1得|x |≤1, 所以函数f (x 2)的定义域为[-1, 1]. (2) f (sin x );解 由0≤sin x ≤1得2n π≤x ≤(2n +1)π (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅), 所以函数f (sin x )的定义域为 [2n π, (2n +1)π] (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅) . (3) f (x +a )(a >0);解 由0≤x +a ≤1得-a ≤x ≤1-a , 所以函数f (x +a )的定义域为[-a , 1-a ]. (4) f (x +a )+f (x -a )(a >0).解 由0≤x +a ≤1且0≤x -a ≤1得: 当210≤<a 时, a ≤x ≤1-a ; 当21>a 时, 无解. 因此当210≤<a 时函数的定义域为[a , 1-a ], 当21>a 时函数无意义.18. 设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1||11||01||1)(x x x x f , g (x )=e x , 求f [g (x )]和g [f (x )], 并作出这两个函数的图形. 解 ⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11|| 01|| 1)]([x x x e e e x g f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0 10 001)]([x x x x g f .⎪⎩⎪⎨⎧>=<==-1|| 1|| e 1|| )]([101)(x e x x e e x f g x f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>=<=-1|| 1|| 11|| )]([1x e x x e x f g . 19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角ϕ=40︒(图1-37). 当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时, 求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式, 并指明其定义域.图1-37解 40sin hDC AB ==, 又从)]40cot 2([21Sh BC BC h =⋅++ 得h hS BC ⋅-=40cot 0, 所以h h S L 40sin 40cos 20-+=. 自变量h 的取值范围应由不等式组h >0,040cot 0>⋅-h hS确定, 定义域为40cot 00S h <<.20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数; (2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数; (3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？ 解 (1)当0≤x ≤100时, p =90.令0.01(x 0-100)=90-75, 得x 0=1600. 因此当x ≥1600时, p =75. 当100<x <1600时,p =90-(x -100)⨯0.01=91-0. 01x . 综合上述结果得到⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=1600 75160010001.091100090x x x x p . (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=1600 15160010001.0311000 30)60(2x x x x x x x x p P . (3) P =31⨯1000-0.01⨯10002=21000(元).习题1-21. 观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势, 写出它们的极限: (1)nn x 21=; 解 当n →∞时, nn x 21=→0, 021lim =∞→n n . (2)nx n n 1)1(-=;解 当n →∞时, n x n n 1)1(-=→0, 01)1(lim =-∞→nn n .(3)212nx n +=; 解 当n →∞时, 212n x n +=→2, 2)12(lim 2=+∞→n n . (4)11+-=n n x n ;解 当n →∞时, 12111+-=+-=n n n x n →0, 111lim =+-∞→n n n .(5) x n =n (-1)n .解 当n →∞时, x n =n (-1)n 没有极限.2. 设数列{x n }的一般项nn x n 2cos π=. 问n n x ∞→lim =? 求出N , 使当n >N 时, x n与其极限之差的绝对值小于正数ε , 当ε =0.001时, 求出数N .解 0lim =∞→n n x .n n n x n 1|2c o s||0|≤=-π. ∀ε >0, 要使|x n -0|<ε , 只要ε<n 1, 也就是ε1>n . 取]1[ε=N , 则∀n >N , 有|x n -0|<ε .当ε =0.001时, ]1[ε=N =1000.3. 根据数列极限的定义证明:(1)01lim 2=∞→n n ;分析 要使ε<=-221|01|n n , 只须ε12>n , 即ε1>n . 证明 因为∀ε>0, ∃]1[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-|01|2n , 所以01lim2=∞→n n .(2)231213lim =++∞→n n n ;分析 要使ε<<+=-++n n n n 41)12(21|231213|, 只须ε<n41, 即ε41>n .证明 因为∀ε>0, ∃]41[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-++|231213|n n , 所以231213lim =++∞→n n n .(3)1lim 22=+∞→na n n ; 分析 要使ε<<++=-+=-+na n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|, 只须ε2a n >. 证明 因为∀ε>0, ∃][2εa N =, 当∀n >N 时, 有ε<-+|1|22n a n , 所以1lim 22=+∞→na n n .(4)19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 分析 要使|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|ε<=-1101n , 只须1101-n <ε , 即ε1lg 1+>n . 证明 因为∀ε>0, ∃]1lg 1[ε+=N , 当∀n >N 时, 有|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|<ε , 所以19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 4. a u n n =∞→lim , 证明||||lim a u n n =∞→. 并举例说明: 如果数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限.证明 因为a u n n =∞→lim , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有ε<-||a u n , 从而||u n |-|a ||≤|u n -a |<ε .这就证明了||||lim a u n n =∞→.数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限. 例如1|)1(|lim =-∞→n n , 但n n )1(lim -∞→不存在.5. 设数列{x n }有界, 又0lim =∞→n n y , 证明: 0lim =∞→n n n y x .证明 因为数列{x n }有界, 所以存在M , 使∀n ∈Z , 有|x n |≤M .又0lim =∞→n n y , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有M y n ε<||. 从而当n >N 时, 有εε=⋅<≤=-M M y M y x y x n n n n n |||||0|,所以0lim =∞→n n n y x .6. 对于数列{x n }, 若x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞),证明: x n →a (n →∞).证明 因为x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞), 所以∀ε>0, ∃K 1, 当2k -1>2K 1-1时, 有| x 2k -1-a |<ε ; ∃K 2, 当2k >2K 2时, 有|x 2k -a |<ε .取N =max{2K 1-1, 2K 2}, 只要n >N , 就有|x n -a |<ε . 因此x n →a (n →∞). 习题1-31. 根据函数极限的定义证明: (1)8)13(lim 3=-→x x ;分析 因为|(3x -1)-8|=|3x -9|=3|x -3|,所以要使|(3x -1)-8|<ε , 只须ε31|3|<-x .证明 因为∀ε>0, ∃εδ31=, 当0<|x -3|<δ时, 有|(3x -1)-8|<ε , 所以8)13(lim 3=-→x x .(2)12)25(lim 2=+→x x ;分析 因为|(5x +2)-12|=|5x -10|=5|x -2|, 所以要使|(5x +2)-12|<ε , 只须ε51|2|<-x .证明 因为∀ε >0, ∃εδ51=, 当0<|x -2|<δ时, 有 |(5x +2)-12|<ε , 所以12)25(lim 2=+→x x .(3)424lim 22-=+--→x x x ; 分析 因为|)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x ,所以要使ε<--+-)4(242x x , 只须ε<--|)2(|x . 证明 因为∀ε >0, ∃εδ=, 当0<|x -(-2)|<δ时, 有ε<--+-)4(242x x , 所以424lim 22-=+--→x x x .(4)21241lim 321=+--→x x x . 分析 因为|)21(|2|221|212413--=--=-+-x x x x ,所以要使ε<-+-212413x x , 只须ε21|)21(|<--x . 证明 因为∀ε >0, ∃εδ21=, 当δ<--<|)21(|0x 时, 有ε<-+-212413x x , 所以21241lim 321=+--→x x x . 2. 根据函数极限的定义证明:(1)2121lim 33=+∞→x xx ; 分析 因为333333||21212121x x x x x x =-+=-+, 所以要使ε<-+212133x x , 只须ε<3||21x , 即321||ε>x . 证明 因为∀ε >0, ∃321ε=X , 当|x |>X 时, 有 ε<-+212133x x , 所以2121lim 33=+∞→x xx . (2)0sin lim =+∞→xx x .分析 因为x xx x x 1|s i n |0s i n≤=-.所以要使ε<-0sin xx , 只须ε<x1, 即21ε>x . 证明 因为∀ε>0, ∃21ε=X , 当x >X 时, 有ε<-0s i n xx , 所以0sin lim =+∞→xx x .3. 当x →2时, y =x 2→4. 问δ等于多少, 使当|x -2|<δ时, |y -4|<0.001？ 解 由于当x →2时, |x -2|→0, 故可设|x -2|<1, 即1<x <3. 要使|x 2-4|=|x +2||x -2|<5|x -2|<0.001, 只要0002.05001.0|2|=<-x .取δ=0.0002, 则当0<|x -2|<δ时, 就有|x 2-4|<0. 001.4. 当x →∞时, 13122→+-=x x y , 问X 等于多少, 使当|x |>X 时, |y -1|<0.01?解 要使01.034131222<+=-+-x x x , 只要397301.04||=->x , 故397=X . 5. 证明函数f (x )=|x |当x →0时极限为零. 证明 因为|f (x )-0|=||x |-0|=|x |=|x -0|, 所以要使|f (x )-0|<ε, 只须|x |<ε.因为对∀ε>0, ∃δ=ε, 使当0<|x -0|<δ, 时有 |f (x )-0|=||x |-0|<ε, 所以0||lim 0=→x x .6. 求,)(x x x f = xx x ||)(=ϕ当x →0时的左﹑右极限, 并说明它们在x →0时的极限是否存在.证明 因为11lim lim )(lim 000===---→→→x x x x x x f , 11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x f ,)(lim )(lim 0x f x f x x +→→=-,所以极限)(lim 0x f x →存在.因为1lim ||lim )(lim 000-=-==---→→→xx x x x x x x ϕ,1lim||lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x x x ϕ, )(lim )(lim 0x x x x ϕϕ+→→≠-,所以极限)(lim 0x x ϕ→不存在.7. 证明: 若x →+∞及x →-∞时, 函数f (x )的极限都存在且都等于A , 则A x f x =∞→)(lim .证明 因为A x f x =-∞→)(lim , A x f x =+∞→)(lim , 所以∀ε>0,∃X 1>0, 使当x <-X 1时, 有|f (x )-A |<ε ; ∃X 2>0, 使当x >X 2时, 有|f (x )-A |<ε .取X =max{X 1, X 2}, 则当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε , 即A x f x =∞→)(lim .8. 根据极限的定义证明: 函数f (x )当x →x 0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明 先证明必要性. 设f (x )→A (x →x 0), 则∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ 时, 有 |f (x )-A |<ε .因此当x 0-δ<x <x 0和x 0<x <x 0+δ 时都有 |f (x )-A |<ε .这说明f (x )当x →x 0时左右极限都存在并且都等于A . 再证明充分性. 设f (x 0-0)=f (x 0+0)=A , 则∀ε>0, ∃δ1>0, 使当x 0-δ1<x <x 0时, 有| f (x )-A <ε ; ∃δ2>0, 使当x 0<x <x 0+δ2时, 有| f (x )-A |<ε .取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ 时, 有x 0-δ1<x <x 0及x 0<x <x 0+δ2 , 从而有 | f (x )-A |<ε , 即f (x )→A (x →x 0).9. 试给出x →∞时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.解 x →∞时函数极限的局部有界性的定理: 如果f (x )当x →∞时的极限存在, 则存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M .证明 设f (x )→A (x →∞), 则对于ε =1, ∃X >0, 当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε =1. 所以 |f (x )|=|f (x )-A +A |≤|f (x )-A |+|A |<1+|A |.这就是说存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M , 其中M =1+|A |. 习题1-41. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之. 解 不一定.例如, 当x →0时, α(x )=2x , β(x )=3x 都是无穷小, 但32)()(lim 0=→x x x βα, )()(x x βα不是无穷小.2. 根据定义证明:(1)392+-=x xy 当x →3时为无穷小;(2)xx y 1sin =当x →0时为无穷小.证明 (1)当x ≠3时|3|39||2-=+-=x x x y . 因为∀ε>0, ∃δ=ε , 当0<|x -3|<δ时, 有εδ=<-=+-=|3|39||2x x x y ,所以当x →3时392+-=x xy 为无穷小.(2)当x ≠0时|0||1sin |||||-≤=x xx y . 因为∀ε>0, ∃δ=ε , 当0<|x -0|<δ时, 有εδ=<-≤=|0||1sin |||||x xx y ,所以当x →0时xx y 1sin =为无穷小.3. 根据定义证明: 函数x x y 21+=为当x →0时的无穷大. 问x 应满足什么条件, 能使|y |>104？证明 分析2||11221||-≥+=+=x x x x y , 要使|y |>M , 只须M x >-2||1, 即21||+<M x .证明 因为∀M >0, ∃21+=M δ, 使当0<|x -0|<δ时, 有M x x >+21,所以当x →0时, 函数xx y 21+=是无穷大.取M =104, 则21014+=δ. 当2101|0|04+<-<x 时, |y |>104. 4. 求下列极限并说明理由:(1)xx x 12lim +∞→;(2)xxx --→11lim 20.解 (1)因为xx x 1212+=+, 而当x →∞ 时x 1是无穷小, 所以212lim =+∞→x x x .(2)因为x x x +=--1112(x ≠1), 而当x →0时x 为无穷小, 所以111lim 20=--→x x x .5. 根据函数极限或无穷大定义, 填写下表:f (x )→Af (x )→∞f (x )→+∞f (x )→-∞x→x 0 ∀ε>0, ∃δ>0, 使 当0<|x -x 0|<δ时,有恒|f (x )-A |<ε.x →x 0+x →x 0-x →∞∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时,有恒|f (x )|>M .x →+∞x →-∞解 f (x )→A f (x )→∞ f (x )→+∞ f (x )→-∞ x →x 0∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ∀M >0, ∃δ>0, 使当∀M >0, ∃δ>0, 使当∀M >0, ∃δ>0, 使当时, 有恒|f (x )-A |<ε.0<|x -x 0|<δ时, 有恒|f (x )|>M .0<|x -x 0|<δ时, 有恒f (x )>M .0<|x -x 0|<δ时, 有恒f (x )<-M .x→x 0+ ∀ε>0, ∃δ>0,使当0<x -x 0<δ时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀M >0,∃δ>0, 使当0<x -x 0<δ时, 有恒|f (x )|>M .∀M >0, ∃δ>0, 使当0<x -x 0<δ时, 有恒f (x )>M .∀M >0, ∃δ>0, 使当0<x -x 0<δ时, 有恒f (x )<-M .x →x 0- ∀ε>0, ∃δ>0,使当0<x 0-x <δ时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀M >0,∃δ>0, 使当0<x 0-x <δ时, 有恒|f (x )|>M .∀M >0, ∃δ>0, 使当0<x 0-x <δ时, 有恒f (x )>M .∀M >0, ∃δ>0, 使当0<x 0-x <δ时, 有恒f (x )<-M .x →∞∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时, 有恒|f (x )|>M .∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时, 有恒f (x )>M .∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时, 有恒f (x )<-M .x →+∞∀ε>0, ∃X >0, 使当x >X 时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀ε>0, ∃X >0, 使当x >X 时, 有恒|f (x )|>M .∀ε>0, ∃X >0, 使当x >X 时, 有恒f (x )>M .∀ε>0, ∃X >0, 使当x >X 时, 有恒f (x )<-M .x →-∞∀ε>0, ∃X >0,使当x <-X 时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀ε>0, ∃X >0,使当x <-X 时, 有恒|f (x )|>M .∀ε>0, ∃X >0,使当x <-X 时, 有恒f (x )>M .∀ε>0, ∃X >0,使当x <-X 时, 有恒f (x )<-M .6. 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内是否有界？这个函数是否为当x →+∞ 时的无穷大？为什么？解 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内无界.这是因为∀M >0, 在(-∞, +∞)内总能找到这样的x , 使得|y (x )|>M . 例如y (2k π)=2k π cos2k π=2k π (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, 就有| y (2k π)|>M .当x →+∞ 时, 函数y =x cos x 不是无穷大.这是因为∀M >0, 找不到这样一个时刻N , 使对一切大于N 的x , 都有|y (x )|>M . 例如0)22cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),对任何大的N , 当k 充分大时, 总有N k x >+=22ππ, 但|y (x )|=0<M .7. 证明: 函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明 函数x x y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为∀M >0, 在(0, 1]中总可以找到点x k , 使y (x k )>M . 例如当221ππ+=k x k (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)时, 有22)(ππ+=k x y k ,当k 充分大时, y (x k )>M .当x →0+ 时, 函数xx y 1sin 1=不是无穷大. 这是因为∀M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点x k , 使0<x k <δ, 但y (x k )<M . 例如可取πk x k 21=(k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, x k <δ, 但y (x k )=2k πsin2k π=0<M . 习题1-51. 计算下列极限:(1)35lim22-+→x x x ;解 9325235lim222-=-+=-+→x x x . (2)13lim 223+-→x x x ; 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x . (3)112lim 221-+-→x x x x ;解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x . (4)xx xx x x 2324lim 2230++-→;解 2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x .(5)hx h x h 220)(lim -+→;解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→. (6))112(lim 2x x x +-∞→;解 21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)121lim 22---∞→x x x x ;解 2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x x x x . (8)13lim 242--+∞→x x xx x ;解 013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数, 极限为零). 或 012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→xx x x x x x x x x . (9)4586lim 224+-+-→x x x x x ; 解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x .(10))12)(11(lim 2x x x -+∞→;解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x . (11))21 41211(lim nn +⋅⋅⋅+++∞→;解 2211)21(1lim )21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n . (12)2)1( 321limn n n -+⋅⋅⋅+++∞→;解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n n n n n n n n .(13)35)3)(2)(1(limnn n n n +++∞→; 解 515)3)(2)(1(lim3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同, 极限为 最高次项系数之比).或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n . (14))1311(lim 31xx x ---→;解 )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112l i m 21-=+++-=→x x x x .2. 计算下列极限:(1)2232)2(2lim -+→x x x x ;解 因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x , 所以∞=-+→2232)2(2lim x x x x . (2)12lim 2+∞→x xx ;解 ∞=+∞→12lim2x x x (因为分子次数高于分母次数). (3))12(lim 3+-∞→x x x .解 ∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).3. 计算下列极限:(1)xx x 1sin lim 20→;解 01sin lim 20=→xx x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x 1sin 是有界变量).(2)xx x arctan lim ∞→.解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x →∞时, x 1是无穷小,而arctan x 是有界变量). 4. 证明本节定理3中的(2).习题1-51. 计算下列极限:(1)35lim22-+→x x x ;解 9325235lim222-=-+=-+→x x x . (2)13lim 223+-→x x x ; 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x . (3)112lim 221-+-→x x x x ;解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x . (4)xx xx x x 2324lim 2230++-→;解 2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x . (5)hx h x h 220)(lim -+→;解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→. (6))112(lim 2xx x +-∞→; 解 21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)121lim 22---∞→x x x x ;解 2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x x x x . (8)13lim 242--+∞→x x xx x ;解 013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数, 极限为零).或 012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→xx x x x x x x x x .(9)4586lim 224+-+-→x x x x x ; 解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x .(10))12)(11(lim 2x x x -+∞→;解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x . (11))21 41211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→; 解 2211)21(1lim )21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n .(12)2)1( 321limn n n -+⋅⋅⋅+++∞→;解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n n n n n n n n . (13)35)3)(2)(1(lim n n n n n +++∞→;解 515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→nn n n n (分子与分母的次数相同, 极限为 最高次项系数之比).或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n .(14))1311(lim 31xx x ---→;解 )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112l i m 21-=+++-=→x x x x . 2. 计算下列极限:(1)2232)2(2lim -+→x x x x ; 解 因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x , 所以∞=-+→2232)2(2limx x x x .(2)12lim 2+∞→x x x ;解 ∞=+∞→12lim2x x x (因为分子次数高于分母次数). (3))12(lim 3+-∞→x x x .解 ∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).3. 计算下列极限:(1)xx x 1sin lim 20→;解 01sin lim 20=→xx x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x 1sin 是有界变量).(2)xx x arctan lim ∞→.解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x →∞时, x 1是无穷小,而arctan x 是有界变量). 4. 证明本节定理3中的(2).习题 1-71. 当x →0时, 2x -x 2 与x 2-x 3相比, 哪一个是高阶无穷小？解 因为02lim 2lim202320=--=--→→xx x x x x x x x , 所以当x →0时, x 2-x 3是高阶无穷小, 即x 2-x 3=o (2x -x 2).2. 当x →1时, 无穷小1-x 和(1)1-x 3, (2))1(212x -是否同阶？是否等价？解 (1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim212131=++=-++-=--→→→x x x x x x x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和1-x 3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小.(2)因为1)1(lim 211)1(21lim 121=+=--→→x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和)1(212x -是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小.3. 证明: 当x →0时, 有: (1) arctan x ~x ;(2)2~1sec 2xx -.证明 (1)因为1tan limarctan lim 00==→→y yxx y x (提示: 令y =arctan x , 则当x →0时, y →0), 所以当x →0时, arctan x ~x .(2)因为1)22sin 2(lim 22sin 2lim cos cos 1lim 2211sec lim 202202020===-=-→→→→x xx x x x x xx x x x x , 所以当x →0时, 2~1s e c2x x -. 4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限: (1)xx x 23tan lim 0→;(2)mn x x x )(sin )sin(lim 0→(n , m 为正整数);(3)x x x x 30sin sin tan lim -→; (4))1sin 1)(11(tan sin lim320-+-+-→x x x x x . 解 (1)2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x x x x mn x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim00. (3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==-=-=-→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x . (4)因为32221)2(2~2s i n t a n 2)1(c o s t a n t a n s i n x x x x x x x x x -=⋅--=-=-(x →0),23232223231~11)1(11x x x x x ++++=-+(x →0), x x x x x ~s i n ~1s i n 1s i n 1s i n1++=-+(x →0),所以 33121l i m )1s i n 1)(11(tan sin lim 230320-=⋅-=-+-+-→→xx x x x x x x x .5. 证明无穷小的等价关系具有下列性质: (1) α ~α (自反性);(2) 若α ~β, 则β~α(对称性); (3)若α ~β, β~γ, 则α~γ(传递性). 证明 (1)1lim =αα, 所以α ~α ;(2) 若α ~β, 则1lim =βα, 从而1lim =αβ. 因此β~α ;(3) 若α ~β, β~γ, 1lim lim lim =⋅=βαγβγα. 因此α~γ.习题1-81. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形:(1)⎩⎨⎧≤<-≤≤=21 210 )(2x x x x x f ;解 已知多项式函数是连续函数, 所以函数f (x )在[0, 1)和(1, 2]内是连续的. 在x =1处, 因为f (1)=1, 并且1lim )(lim 211==--→→x x f x x , 1)2(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x . 所以1)(lim 1=→x f x , 从而函数f (x )在x =1处是连续的.综上所述，函数f (x )在[0, 2]上是连续函数.(2)⎩⎨⎧>≤≤-=1|| 111 )(x x x x f .解 只需考察函数在x =-1和x =1处的连续性. 在x =-1处, 因为f (-1)=-1, 并且)1(11l i m )(l i m 11-≠==---→-→f x f x x , )1(1lim )(lim 11-=-==++-→-→f x x f x x ,所以函数在x =-1处间断, 但右连续.在x =1处, 因为f (1)=1, 并且1l i m )(l i m 11==--→→x x f x x =f (1), 11lim )(lim 11==++→→x x x f =f (1), 所以函数在x =1处连续.综合上述讨论, 函数在(-∞, -1)和(-1, +∞)内连续, 在x =-1处间断, 但右连续. 2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:(1)23122+--=x x xy , x =1, x =2;解 )1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y . 因为函数在x =2和x =1处无定义, 所以x =2和x =1是函数的间断点.因为∞=+--=→→231lim lim 2222x x xy x x , 所以x =2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(limlim 11-=-+=→→x x y x x , 所以x =1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x =1处, 令y =-2, 则函数在x =1处成为连续的.(2)x x y tan =, x =k , 2ππ+=k x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅);解 函数在点x =k π(k ∈Z)和2ππ+=k x (k ∈Z)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点.因∞=→x x k x tan lim π(k ≠0), 故x =k π(k ≠0)是第二类间断点;因为1tan lim 0=→x x x ,0tan lim2=+→x x k x ππ(k ∈Z), 所以x =0和2ππ+=k x (k ∈Z) 是第一类间断点且是可去间断点.令y |x =0=1, 则函数在x =0处成为连续的;令2 ππ+=k x 时, y =0, 则函数在2ππ+=k x 处成为连续的.(3)xy 1cos 2=, x =0;解 因为函数x y 1cos 2=在x =0处无定义, 所以x =0是函数xy 1cos 2=的间断点. 又因为xx 1cos lim 20→不存在, 所以x =0是函数的第二类间断点. (4)⎩⎨⎧>-≤-=1311x x x x y , x =1.解 因为0)1(lim )(lim 11=-=--→→x x f x x 2)3(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x , 所以x =1是函数的第一类不可去间断点.3. 讨论函数x x x x f nnn 2211lim)(+-=∞→的连续性, 若有间断点, 判别其类型. 解 ⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=+-=∞→1|| 1|| 01|| 11lim )(22x x x x x x x x x f nn n . 在分段点x =-1处, 因为1)(lim )(lim 11=-=---→-→x x f x x , 1lim )(lim 11-==++-→-→x x f x x , 所以x =-1为函数的第一类不可去间断点.在分段点x =1处, 因为1lim )(lim 11==--→→x x f x x , 1)(lim )(lim 11-=-=++→→x x f x x , 所以x =1为函数的第一类不可去间断点.4. 证明: 若函数f (x )在点x 0连续且f (x 0)≠0, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0.证明 不妨设f (x 0)>0. 因为f (x )在x 0连续, 所以0)()(lim 00>=→x f x f x x , 由极限的局部保号性定理, 存在x 0的某一去心邻域)(0x U , 使当x ∈)(0x U时f (x )>0, 从而当x ∈U (x 0)时, f (x )>0. 这就是说, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0.5. 试分别举出具有以下性质的函数f (x )的例子:(1)x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n1±, ⋅ ⋅ ⋅是f (x )的所有间断点, 且它们都是无穷间断点; 解 函数x x x f ππcsc )csc()(+=在点x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n 1±, ⋅ ⋅ ⋅处是间断的且这些点是函数的无穷间断点.(2)f (x )在R 上处处不连续, 但|f (x )|在R 上处处连续;解 函数⎩⎨⎧∉∈-=Q Qx x x f 1 1)(在R 上处处不连续, 但|f (x )|=1在R 上处处连续.(3)f (x )在R 上处处有定义, 但仅在一点连续.解 函数⎩⎨⎧∉-∈=Q Q x x x x x f)(在R 上处处有定义, 它只在x =0处连续.习题1-91. 求函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间, 并求极限)(lim 0x f x →, )(lim 3x f x -→及)(lim 2x f x →.解 )2)(3()1)(1)(3(633)(223-++-+=-+--+=x x x x x x x x x x x f , 函数在(-∞, +∞)内除点x =2和x =-3外是连续的, 所以函数f (x )的连续区间为(-∞, -3)、(-3, 2)、(2, +∞).在函数的连续点x =0处, 21)0()(lim 0==→f x f x . 在函数的间断点x =2和x =-3处, ∞=-++-+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim)(lim 22x x x x x x f x x , 582)1)(1(lim)(lim 33-=-+-=-→-→x x x x f x x . 2. 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续, 证明函数 ϕ(x )=max{f (x ), g (x )}, ψ(x )=min{f (x ), g (x )} 在点x 0也连续.证明 已知)()(lim 00x f x f x x =→, )()(lim 00x g x g x x =→.可以验证] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x --+=ψ.因此 ] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x --+=ψ.因为] |)()(|)()([21lim )(lim 00x g x f x g x f x x x x x -++=→→ϕ] |)(lim )(lim |)(lim )(lim [210000x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→-++=] |)()(|)()([210000x g x f x g x f -++==ϕ(x 0),所以ϕ(x )在点x 0也连续.同理可证明ψ(x )在点x 0也连续.3. 求下列极限: (1)52lim 20+-→x x x ;。

第六章 共形映射一、选择题：1．若函数z z w 22+=构成的映射将z 平面上区域G 缩小，那么该区域G 是 ( )（A ）21<z （B ）211<+z （C ）21>z （D ）211>+z 2．映射iz iz w +-=3在i z 20=处的旋转角为( ) （A ）0 （B ）2π（C ）π （D ）2π-3．映射2iz ew =在点i z =0处的伸缩率为( )（A ）1 （B ）2 (C)1-e （D ）e4．在映射ieiz w 4π+=下，区域0)Im(<z 的像为( )(A)22)Re(>w （B ）22)Re(->w （C ）22)Im(>z （D ）22)Im(->w 5．下列命题中，正确的是( )（A ）nz w =在复平面上处处保角（此处n 为自然数）（B ）映射z z w 43+=在0=z 处的伸缩率为零（C ） 若)(1z f w =与)(2z f w =是同时把单位圆1<z 映射到上半平面0)Im(>w 的分式线性变换，那么)()(21z f z f =（D ）函数z w =构成的映射属于第二类保角映射 6．i +1关于圆周4)1()2(22=-+-y x 的对称点是( )（A ）i +6 （B ）i +4 （C ）i +-2 （D ）i7．函数iz iz w +-=33将角形域3arg 0π<<z 映射为 ( )(A)1<w （B ）1>w （C ） 0)Im(>w （D ）0)Im(<w 8．将点1,,1-=i z 分别映射为点0,1,-∞=w 的分式线性变换为（ ）（A ） 11-+=z z w （B ）zz w -+=11（C ）z z e w i-+=112π(D) 112-+=z z e w i π9．分式线性变换zz w --=212把圆周1=z 映射为( ) （A ） 1=w (B) 2=w （B ） 11=-w (D) 21=-w10．分式线性变换zz w -+=11将区域:1<z 且0)Im(>z 映射为( ) （A ）ππ<<-w arg 2（B ） 0arg 2<<-w π（C ）ππ<<w arg 2（D ）2arg 0π<<w11．设,,,,d c b a 为实数且0<-bc ad ，那么分式线性变换dcz baz w ++=把上半平面映射为w 平面的( )（A ）单位圆内部 （B ）单位圆外部 （C ）上半平面 （D ）下半平面12．把上半平面0)Im(>z 映射成圆域2<w 且满足1)(,0)(='=i w i w 的分式线性变换)(z w 为( )（A ）z i z i i+-2 （B ）i z i z i +-2 （C ）z i z i +-2 （D ）iz iz +-2 13．把单位圆1<z 映射成单位圆1<w 且满足0)0(,0)2(>'=w iw 的分式线性变换)(z w 为( )(A)iz i z --22 （B ）iz z i --22 （C ）iz i z +-22 （D ）izzi +-22 14．把带形域2)Im(0π<<z 映射成上半平面0)Im(>w 的一个映射可写为( )（A ）z e w 2= （B ）z e w 2= （C ）z ie w = （D ）ize w =15．函数ie ie w z z +---=11将带形域π<<)Im(0z 映射为( )（A ）0)Re(>w （B ）0)Re(>w （C ）1<w （D ）1>w 二、填空题1．若函数)(z f 在点0z 解析且0)(0≠'z f ，那么映射)(z f w =在0z 处具有 ． 2．将点2,,2-=i z 分别映射为点1,,1i w -=的分式线性变换为 ．3．把单位圆1<z 映射为圆域11<-w 且满足0)0(,1)0(>'=w w 的分式线性变换=)(z w 4．将单位圆1<z 映射为圆域R w <的分式线性变换的一般形式为 ．5．把上半平面0)Im(>z 映射成单位圆1)(<z w 且满足31)21(,0)1(=+=+i w i w 的分式线性变换的)(z w = ．6．把角形域4arg 0π<<z 映射成圆域4<w 的一个映射可写为 ．7．映射z e w =将带形域43)Im(0π<<z 映射为 ． 8．映射3z w =将扇形域：3arg 0π<<z 且2<z 映射为 ．9．映射z w ln =将上半z 平面映射为 ． 10．映射)1(21zz w +=将上半单位圆：2<z 且0)Im(>z 映射为 ． 三、设2222211111)(,)(d z c b z a z w d z c b z a z w ++=++=是两个分式线性变换，如果记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-δγβα11111d c b a ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a d c b a d c b a 22221111 试证1．)(1z w 的逆变换为δγβα++=-z z z w )(11；2．)(1z w 与)(2z w 的复合变换为dcz baz z w w ++=)]([21．四、设1z 与2z 是关于圆周R a z =-Γ:的一对对称点，试证明圆周Γ可以写成如下形式λ=--21z z z z 其中Ra z a z R-=-=12λ． 五、求分式线性变换)(z w ，使1=z 映射为1=w ，且使i z +=1,1映射为∞=,1w ． 六、求把扩充复平面上具有割痕：0)Im(=z 且0)Re(≤<∞-z 的带形域ππ<<-)Im(z 映射成带形域ππ<<-)Im(w 的一个映射．七、设0>>a b ，试求区域a a z D >-:且b b z <-到上半平面0)Im(>w 的一个映射)(z w ．八、求把具有割痕：0)Im(=w 且1)Re (21<≤z 的单位圆1<z 映射成上半平面的一个映射． 九、求一分式线性变换，它把偏心圆域⎭⎬⎫⎩⎨⎧<->2511:z z z 且映射为同心圆环域R w <<1，并求R 的值．十、利用儒可夫斯基函数，求把椭圆1452222=+y x 的外部映射成单位圆外部1>w 的一个映射．答案第六章 共形映射一、1．（B ） 2．（D ） 3．（B ） 4．（A ） ５．（D ）６．（C ） ７．（A ） ８．（C ） ９．（A ） 10．（D ） 11．（D ） 12．（B ） 13．（C ） 14．（B ） 15．（C ） 二、1．保角性与伸缩率的不变性 2． 236--=iz iz w 3．z +14．az a z w i --=θ1Re （θ为实数，1<a ） 5．iz iz +---11 6．λ-λ-=ϕ444z z ew i （ϕ为实数，0)Im(>λ） 7．角形域43arg 0π<<w 8．扇形域π<<w arg 0且8<w 9．带形域π<<)Im(0w 10．下半平面0)Im(<w 五、)1(1)1(i z z i w ++-+-=. 六、)1l n (-=z e w .七、⎭⎬⎫⎩⎨⎧--π=z a z a b i b w 2exp . 八、221212121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----+=z z z z w . 九、θ++=i e z z w 414（θ为实数），2=R . 十、)9(912-+=z z w .。

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章第六章 微分中值定理及其应用一、 填空题1．若0,0>>b a 均为常数，则=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+→xx x x b a 32lim ________。

2．若21sin cos 1lim 0=-+→x x b x a x ，则=a ______，=b ______。

3．曲线x e y =在0=x 点处的曲率半径=R _________。

4．设2442-+=x x y ，则曲线在拐点处的切线方程为___________。

5．=-+→xex xx 10)1(lim___________。

6．设)4)(1()(2--=x xx x f ，则0)(='x f 有_________个根，它们分别位于________区间；7．函数x x x f ln )(=在[]2,1上满足拉格朗日定理条件的__________=ξ；8．函数3)(x x f =与21)(x x g +=在区间[]2,0上满足柯西定理条件的_____=ξ；9．函数x y sin =在[]2,0上满足拉格朗日中值定理条件的____=ξ； 10．函数2)(xe xf x=的单调减区间是__________；11．函数x x y 33-=的极大值点是______，极大值是A.没有实根B.有两个实根C.有无穷多个实根D.有且仅有一个实根5．已知)(x f 在0=x 处某邻域内连续，2cos 1)(lim 0=-→xx f x ，则在0=x 处)(x f ( )。

A.不可导B.可导且2)0('=fC.取得极大值D.取得极小值6．设函数)(x f 在区间[)+∞,1内二阶可导，且满足条件0)1()1(='=f f ，1>x 时0)(<''x f ，则xx f x g )()(=在[)+∞,1内( )A ．必存在一点ε，使0)(=εfB ．必存在一点ε，使0)(='εfC ．单调减少 D. 单调增加7．设)(x f 有二阶连续导数，且0)0(='f ，1)(lim 0=''→xx f x ，则( )A ．)0(f 是)(x f 的极大值 B.)0(f 是)(x f 的极小值 C ．())0(,0f 是曲线)(x f y =的拐点D ．)0(f 不是)(x f 的极值，())0(,0f 也不是曲线)(x f y =的拐点8．若)(x f 和)(x g 在0x x =处都取得极小值，则函数)()()(x g x f x F +=在0x x =处( )A ．必取得极小值 B.必取得极大值 C.不可能取得极值 D.是否取得极值不确定 9．设)(x y y =由方程03223=+-by y ax x 确定，且1)1(=y ，1=x 是驻点，则( )A.3==b aB.25,23==b aC.21,23==b a D.3,2-=-=b a 10．曲线22)3()1(--=x x y 的拐点的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 11．)(),(x g x f 是大于0的可导函数，且0)(')()()('<-x g x f x g x f ，则当b x a <<时有( )A ．)()()()(x g b f b g x f > B.)()()()(x g a f a g x f > C.)()()()(b g b f x g x f > D.)()()()(a g a f x g x f > 12．曲线()()211arctan212+-++=x x x x e y x的渐近线有( )A ．1条 B.2条 C.3条 D.4条 13．q x x x f ++=2)(3的O 点的个数为( ) A ．1 B.2 C.3 D.个数与q 有关 14．曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==111t b t x 则曲线( )A ．只有垂直渐近线 B.只有水平渐近线 C ．无渐近线 D.有一条水平渐近线和一条垂直渐近线15．设)(x f y =为0sin =-'+''x e y y 的解，且0)(0='x f ，则)(x f 有( )A ．0x 的某个邻域内单调增加B ．0x 的某个邻域内单调减少C ．0x 处取得极小值D ．0x 处取得极大值 16. 罗尔定理中的三个条件;)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,且)()(b f a f =是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ,使得0)(='ξf 成立的( ).)(A 必要条件)(B 充分条件)(C 充要条件 )(D 既非充分也非必要17. 下列函数在],1[e 上满足拉格朗日中值定理条件的是( ). )(A );ln(ln x)(Bxln ;)(Cxln 1;)(D)2ln(x -;18. 若)(x f 在开区间),(b a 内可导,且21,x x 是),(b a 内任意两点,则至少存在一点ξ使得下式成立( ). )(A )()()()(2112ξf x x x f x f '-=- ),(b a ∈ξ; )(B)()()()(2121ξf x x x f x f '-=- 21x x <<ξ)(C )()()()(1221ξf x x x f x f '-=- 21x x <<ξ )(D)()()()(1212ξf x x x f x f '-=-21x x <<ξ19. 设)(x f y =是),(b a 内的可导函数,x x x ∆+,是),(b a 内的任意两点,则( ) . )(A x x f y ∆'=∆)()(B 在x x x ∆+,之间恰有一个ξ,使得x f y ∆'=∆)(ξ )(C 在x x x ∆+,之间至少存在一点ξ,使得x f y ∆'=∆)(ξ )(D 对于x 与x x ∆+之间的任一点ξ,均有x f y ∆'=∆)(ξ20.若)(x f 在开区间),(b a 内可导,且对),(b a 内任意两点21,x x 恒有21212)()()(x x x f x f -≤-,则必有( ). )(A 0)(≠'x f )(Bxx f =')( )(Cxx f =)()(Dcx f =)((常数)21. 已知函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ,则方程)(x f '0=有( ).)(A 分别位于区间)4,3(),3,2(),2,1(内的三个根; )(B 四个根,它们分别为4,3,2,14321====x x x x;)(C 四个根,分别位于);4,3(),3,2(),2,1(),1,0( )(D 分别位于区间)4,1(),3,1(),2,1(内的三个根;22. 若)(x f 为可导函数,ξ为开区间),(b a 内一定点,而且有)()(,0)(≥'->x f x f ξξ,则在闭区间],[b a 上必总有( ).)(A 0)(<x f)(B)(≤x f)(C)(≥x f)(D)(>x f23. 若032<-b a,则方程0)(23=+++=c bx ax xx f ( ).)(A 无实根)(B 有唯一实根)(C 有三个实根 )(D 有重实根24. 若)(x f 在区间],[+∞a 上二次可微,且,0)(,0)(<'>=a f A a f 0)(≤''a f (a x >),则方程0)(=x f 在],[+∞a 上( ).)(A 没有实根)(B 有重实根)(C 有无穷多实根)(D 有且仅有一个实根25. 设)()(lim 0x g x f x x →为未定型, 则)()(lim 0x g x f x x ''→存在是)()(lim 0x g x f x x →也存在的( ).)(A 必要条件)(B 充分条件)(C 充要条件)(D 既非充分也非必要条件26. 指出曲线23x x y -=的渐近线( ).)(A 没有水平渐近线,也没有斜渐近线; )(B3=x 为垂直渐近线,无水平渐近线;)(C 既有垂直渐近线,又有水平渐近线; )(D 只有水平渐近线.27 曲线)2)(1(1arctan212+-++=x x x x ey x的渐近线有( ).)(A 1条 ; )(B 2条 ; )(C 3条 ;)(D 4条 ;28． 函数x x a x f 2cos 21cos )(-=在3π=x 取得极值，则=a（ ）。