2019中考数学知识点-圆周角定理及其推论

九年级下册数学圆周角定理一、圆周角定理的定义圆周角定理指的是，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

用数学表达式表示为：在同圆或等圆中，若弧AB与弧CD相等，则AB所对的圆周角∠ACB = CD所对的圆周角∠ADC，且∠ACB = ∠ADC = ∠AOB / 2（其中O为圆心，A、B、C、D为各点）。

二、圆周角定理的证明证明圆周角定理可以采用以下步骤：1. 根据题目给出的条件，作直径上的圆周角。

2. 连接圆心和圆周角的顶点，并将直径平分该角。

3. 由于直径平分该角，所以该角是直角的一半。

4. 由于直角的一半是45度，所以该圆周角等于45度。

5. 根据等腰三角形的性质，我们可以证明圆周角所对的弧等于半圆的弧。

6. 由此可以得出结论，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

三、圆周角定理的应用圆周角定理是解决几何问题的重要工具之一，它可以应用于以下方面：1. 确定圆的中心：通过测量同弧所对的圆周角的大小，可以确定圆的中心。

2. 计算角度：通过圆周角定理，可以计算出圆中任意角度的大小。

3. 证明等腰三角形：利用圆周角定理可以证明等腰三角形的一些性质和判定方法。

4. 解决几何问题：利用圆周角定理可以解决一些与圆有关的几何问题。

四、圆周角定理的推论1. 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，同弧或等弧所对的圆周角相等。

2. 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；反之，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等。

3. 在同圆或等圆中，如果两个圆周角分别是α和β，那么它们所对的弧也满足|α - β| = |⊙o中相等的弧间的比例差|。

这些推论也可以应用于多个等圆的公共点处的情况。

圆周角定理及其运用1、如图，抛物线过点A（2，0）、B（6，0）、C（1，3），平行于x轴的直线CD交抛物线于C、D，以AB为直径的圆交直线CD于点E、F，则CE＋FD的值是。

2、如图，AB为⊙O的直径，点C为半圆上一点，AD平分∠CAB交⊙O于点D。

（1）求证：OD∥AC；（2）若AC＝8，AB＝10，求AD。

知识点一圆周角定理及其推论【知识梳理】1、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

（1）定理有三个方面的意义：A、圆心角和圆周角在同圆或等圆中；B、它们对着同一条弧或所对的弧是等弧；C、具备A、B两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半。

（2）因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

（3）定理中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立。

因为一条弦所对的弧有两段。

2、圆周角定理的推论：推论①：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧。

推论②：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角（90°的圆周角）所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

推论③：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

【例题精讲一】 例1.1、如图，已知A （32，0）、B （0，2），点P 为△AOB 外接圆上的一点，且∠AOP ＝45°，则P 点坐标为 。

（第1题）（第2题）2、如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠A ＝36°，∠C ＝28°，则∠B ＝（ ） A ．46°B ．72°C ．64°D ．36°3、如图，A 、B 、C 、D 四个点均在⊙O 上，∠AOD ＝70°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为 。

（第3 题）（第4 题）4、如图，∠A 是⊙O 的圆周角，则∠A ＋∠OCB ＝ 。

圆周角定理的推论2及圆
圆周角定理是几何学中的重要定理，它指的是：在任意三角形中，其三个内角的和为180°；而在任意园形内，相应的三角形所有内角的和为园周角，即360°，这就是圆周角定理。

圆周角定理是根据三角形和圆形的基础知识来说明的，其中三角形在几何学中是一种重要的几何体，其有三个角度。

任意三角形中，其三个角度的和是180°，而圆则是一个完整的圆形，因而其一个圈中包含了好多条边缘，所有的角度的和就是360°，这也正好等于园周角。

圆周角定理的推论2是：如果三点不在一条直线上，则这三点可以构成一个三角形，而在三角形内，其三个内角的和为180°；另一方面，一个圆中包含了很多条边缘，而它们如果组成三角形，那么它们的和是360°，因此，三角形内角的和等于园周角的和，就是圆周角定理。

因此，圆周角定理的推论2的意义在于，它使得对于所有的园形，可以很容易构绘出来，也可以更方便地计算出其内部的角度数。

圆周角定理的推论2也可以用来帮助解决许多几何问题，比如求椭圆的长短轴长度等。

总而言之，圆周角定理是一个重要的定理，它反映了三角形和圆形之间的关系，并由此推论出了圆周角定理的推论2，使得求解复杂几何问题更加容易，不仅提高了几何的计算应用，而且也成为了几何学的一大宝贵知识。

九年级圆周角定理知识点圆周角是在数学几何中的一个重要概念，它与圆形的内角和外角有着密切的关系。

在九年级的几何学学习中，圆周角定理是一个不可或缺的内容。

在本文中，将详细介绍九年级圆周角定理的知识点。

1. 圆周角的定义在一个圆上，连接圆心和圆上两点，所对的角被称为圆周角。

圆周角的尺寸是以弧度为单位进行度量的。

一个完整的圆周角等于360°或2π弧度。

这意味着一个圆周角的度数恰好等于所对弧的弧度数。

2. 圆周角定理圆周角定理是指，在同一个圆中，对应于相同弧的圆周角相等。

换句话说，如果两个圆周角对应于同一个圆上的相同弧，那么这两个角的大小是相等的。

圆周角定理可以用数学表达式来表示：∠AOC = ∠ABC其中∠AOC和∠ABC分别表示对应于相同弧AC的两个圆周角的度数。

3. 圆周角的相关性质除了圆周角定理，还有一些与圆周角相关的性质需要了解。

（1）圆周角定理的逆定理：如果两个角对应于同一个圆上的不同弧，那么这两个角的度数是不等的。

（2）圆周角等于直径角：一个圆上的直径所对应的圆周角恰好等于180°或π弧度。

（3）圆周角的其他性质：圆周角与圆上的弧长有关，根据圆周角的度数可以计算对应的弧长。

4. 圆周角定理的应用圆周角定理是解决各种几何问题的重要工具。

通过应用圆周角定理，我们可以求解关于弧长、角度和半径之间的问题。

例如，可以通过已知弧长计算对应的圆周角，或者通过已知角度计算对应的弧长。

在现实生活中，圆周角定理也有一些实际应用。

例如，在建筑工程中，可以利用圆周角定理来测量圆形表面的角度和长度。

在天文学中，圆周角定理也被广泛用于计算天体的运动轨迹和距离。

总结：本文详细介绍了九年级圆周角定理的知识点。

圆周角的定义和圆周角定理是理解和应用圆周角的基础。

此外，我们还学习了圆周角的其他性质和一些实际应用。

通过掌握这些知识，我们能够更好地理解和解决与圆周角相关的几何问题。

圆周角的定理及推论的应用圆周角是数学中的一个重要概念，掌握圆周角的定理及其推论，对于解决许多几何问题非常有帮助。

本文将围绕圆周角的定理及推论的应用展开阐述。

一、圆周角的定义圆周角是指落在圆周上的两条弧所对的角，即两个弧之间的角度量。

一般用大写字母表示圆周角，如∠ABC。

二、圆周角的定理1、相等圆周角定理：在同一个圆周上，所对的圆周角相等。

证明：作弦AB、CD相交于点E，则∠AEB=∠CED。

由于AE、BE、CE、DE均是从一个圆心O引出的弦，故∠AEB=∠CEB，∠CED=∠BED，又因为OE=OE，故OEB≌OED，由此可得∠OEB=∠OED，即∠AEB=∠CED。

2、圆心角的定理：在同一个圆中，所对的圆心角相等。

证明：连接圆心O到AB的中垂线OH，H为AB的中点。

则OH垂直于AB，因此∠AOH、∠BOH均为直角，所以∠AOB=2∠AOH=2∠BOH。

3、正弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R证明：如下图所示，以AB、BC、CA为边作三角形ABC的外接圆，设圆心为O。

连接AO、BO、CO，过O点作弦AD、BE、CF，则OD=OE=OF=R，所以AOD、BOE、COF都是等边三角形。

因此，∠OAB=∠CFO、∠OBA=∠CEO、∠OBC=∠AEO、∠OCB=∠AFO。

设∠BAC=x，∠ABC=y，∠ACB=z，由三角形内角和公式得：x+y+z=180又由圆周角定理得：∠BOC=2y，∠AOC=2z，∠AOB=2x于是：∠AOB+∠BOC+∠AOC=3602x+2y+2z=360，即x+y+z=180。

将sinA、sinB、sinC带入上述公式中，可得：sinA/BC=sinB/CA=sinC/AB=1/2R即sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R。

4、余弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：cosA=(b²+c²-a²)/2bc，cosB=(a²+c²-b²)/2ac，cosC=(a²+b²-c²)/2ab证明：将ABC的外接圆的半径延长到BC、AC和AB上分别交于点D、E、F。

初中圆周角定理圆周角定理是中学数学中非常有重要的定理之一，它是由欧拉和塔利·布拉斯发现的，被广泛应用于日常生活中和许多学科中，特别是在数学和物理中。

下面我们来详细了解一下圆周角定理。

一、圆周角的定义在一个圆形中，圆心与圆上任意两个点所构成的角称为圆周角。

圆周角的大小是按照它所对应的圆弧长来计算的。

当圆周角的度数等于360°时，它就成为了一个完整的圆周。

1.圆周角等于半圆角：一个圆的直径所对应的半圆角是90 °。

因此，圆周角的度数显然是180°。

2.圆周角的大小只取决于圆弧的长度：在一个圆中，对于任意给定的圆弧，其所对应的圆周角的大小都是唯一确定的。

这就意味着，一旦我们知道了圆周角所对应的圆弧的长度，我们就能够准确地计算出圆周角的大小。

3.在同一条弦上的圆周角相等：当只考虑圆弧时，同一条弦上的圆周角大小是相等的。

4.在相等的圆弧所对应的圆周角也是相等的：如果两个圆弧的长度相等，那么所对应的圆周角大小也是相等的。

三、如何计算圆周角的大小在许多情况下需要计算圆周角的大小，下面我们来介绍一些实用的方法：1.使用弧度制：我们可以把圆周角大小表达成弧度制，其中1弧度对应的是圆弧的长度等于半径的弧长。

因此，我们可以利用圆弧长度和半径的关系简单地计算出弧度数。

2.使用角度制：如果需要在角度制下计算圆周角的大小，我们可以利用公式：圆周角的大小 = 圆弧的长度× 180°/πr。

其中，π是圆周率，r是圆的半径。

3.用正弦、余弦和正切函数来计算：如果我们知道圆周角的一个角度和半径的大小，我们可以使用三角函数来计算圆周角的大小。

我们可以使用下列公式来计算正弦、余弦和正切函数值：sinθ= a/r，cosθ=b/r，tanθ=a/b，其中，a和b是圆周角的两条边的长度，而r是圆的半径。

四、应用圆周角定理在许多应用中都有很大的作用，以下是一些典型的应用：1.在工程学中，圆周角定理有助于计算圆形结构中的挠曲和变形。

圆周角定理及其推论的证明和应用《圆周角定理及其推论的证明和应用》
圆周角定理又被称为“角定律”，是不论圆弧大小都成立的一个数学公理，它指出圆形中任意大小的圆弧所对应的圆心角之和，都是 360 度。

这一定理被著名数学家费马正式地证明。

圆周角定理表明，圆心角累加360度，任意两个圆心角之间的圆弧相连，形成一个封闭的面。

根据其特点，学者们推导出了以下几个推论：全角相等推论、全边相等推论、定点外接圆内接圆推论、正多边形五边形内角之和推论、外角等于内角和推论、立体角之和推论等。

圆周角定理及其推论的证明和应用，主要是在几何中，这些定理及其推论也被广泛应用到绘图，比如构造一个正多角形及相关图形，解决正多角形有关问题，画出平行线，学习平面三角函数等。

例如利用圆周角定理及其推论，可以将人们自然认定的几何图形（如梯形、多边形等），实际转化为一组有效的数学公式，以绘制直观的几何图形，从而解决数学问题。

总之，圆周角定理与其相关的推论，是构成数学的一项重要基础，在几何中有着广泛的应用，在数学中起到至关重要的作用，是值得大家及早去学习和掌握的重要内容。

第二十四章 圆24.1.1 圆知识点一 圆的定义圆的定义：第一种：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫作圆。

固定的端点O 叫作圆心，线段OA 叫作半径。

第二种：圆心为O ，半径为r 的圆是所有到定点O 的距离等于定长r 的点的集合。

比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。

知识点二 圆的相关概念（1） 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。

（2） 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（3） 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。

（4） 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。

24.1.2 垂直于弦的直径知识点一 圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。

知识点二 垂径定理（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

如图所示，直径为MD ，AB 是弦， 且CD ⊥AB ，垂径定理的直径垂直弧如上图所示，直径MD 与非直径弦AB 相交于点C ， CD ⊥ABAC=BC AM=BMAD=BD 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。

24.1.3 弧、弦、圆心角知识点 弦、弧、圆心角的关系（1） 弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

（2） 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。

（3） 注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、C ⌒⌒ ⌒ ⌒弦不一定相等。