一种基于鱼眼镜头的非均匀性校正方法

基于双线性插值的鱼眼图像校正方法吴桂萍;吴巍;王成;毕昆【摘要】鱼眼镜头具有大视场、短焦距等优点,近年来被广泛应用到不同的领域.由于鱼眼镜头成像存在较大的畸变,目前主要用来目标监测,在目标物体的识别方面应用得很少.为此,提出一种基于球面透视投影约束的鱼眼图像校正方法,并用双线性插值法对校正后的图像进行填充,为鱼眼镜头在目标物体识别跟踪方面的应用做了准备工作.实验结果表明采用上述方法能够很好地对鱼眼图像畸变进行校正,且校正后的鱼眼图像符合人的直观感觉,真实感较强,图像边缘清晰.%Because of its wide angle and short focus virtues, in recent years the fisheye lens is widely used in different fields. Since there is fairly large distortion in fisheye lens image generation, it is now mainly used in target monitoring rather than target object distinguishing. Therefore the paper proposes a fisheye image correction method based on spherical perspective projection constraint and fills the corrected image with bilinear interpolation so as to do preparation work for the application of the fisheye lens to target object distinguishing and pursuing. Experiment results show that the above mentioned method can well correct the fisheye image distortion. The corrected fisheye images are in line with people's intuitive sense, highly realistic and smooth along the boundary.【期刊名称】《计算机应用与软件》【年(卷),期】2012(029)002【总页数】4页(P122-124,168)【关键词】鱼眼镜头;球面投影;标定;校正;双线性插值【作者】吴桂萍;吴巍;王成;毕昆【作者单位】武汉理工大学信息工程学院湖北武汉430070;北京农业智能装备技术研究中心北京100097;武汉理工大学信息工程学院湖北武汉430070;北京农业智能装备技术研究中心北京100097;北京农业智能装备技术研究中心北京100097【正文语种】中文【中图分类】TP391.410 引言鱼眼镜头的视场角很大，大概在180度到270度之间，且以凝视方式工作，不需要旋转和扫描，体积小、成本低、光能损失低等优点。

第55卷 第1期吉林大学学报(理学版)V o l .55 N o .1 2017年1月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )J a n 2017d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2017.01.18鱼眼视频图像畸变的实时校正方法吕耀文,安 喆,徐熙平(长春理工大学光电工程学院,长春130022)摘要:采用鱼眼图像的球面投影模型,提出一种基于鱼眼透镜球面投影的实时校正方法.该方法将鱼眼图像映射在5个图像平面上,解决了鱼眼视频图像畸变严重,观测视觉体验效果较差的问题;根据图像在计算机中的内存布局,对校正算法中的空间映射计算和内存存储空间进行了优化,提高了算法的执行效率,减少了算法的内存消耗.实验结果表明,该方法能显著改善鱼眼图像的显示效果,对单帧图像的处理时间仅为18.37m s,能满足鱼眼视频图像实时校正的需要.关键词:图像校正;鱼眼图像;实时处理;球面投影中图分类号:T P 391 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2017)01-0103-06R e a l -T i m eC o r r e c t i o n M e t h o d f o rF i s h e y eV i d e o I m a ge sD i s t o r t i o n L ÜY a o w e n ,A NZ h e ,X U X i p i n g(S c h o o l o f O p t i c a lE n g i n e e r i n g ,C h a n g c h u nU n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n dT e c h n o l o g y ,C h a n g c h u n 130022,C h i n a )A b s t r a c t :U s i n g s p h e r i c a l p r o j e c t i o n m o d e lo ff i s h e y ei m a g e ,w e p r o p o s e dar e a l -t i m ec o r r e c t i o n m e t h o db a s e do n s p h e r i c a l p r o j e c t i o n .T h em e t h o dm a d e t h e f i s h e y e i m a g em a p i n5i m a g e p l a n e ,s o a s t o s o l v e t h e p r o b l e mo f s e r i o u s d i s t o r t i o n a n d p o o r v i s u a l e f f e c t s f o r f i s h e y e v i d e o .A c c o r d i n g t o t h e l a y o u to f 2D i m a g e d a t a a l l o c a t i o n si n m e m o r y ,t h e s p a c e m a p p i n g c a l c u l a t i o n a n d m e m o r y m a n a g e m e n tw e r e o p t i m i z e d i n t h e c o r r e c t i o n a l g o r i t h m.T h e e f f i c i e n c y o f t h e a l g o r i t h m w a s i m p r o v e d a n d t h em e m o r y c o n s u m p t i o no f t h e a l g o r i t h m w a s r e d u c e d .T h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s s h o wt h a t t h e m e t h o d c a n s i g n i f i c a n t l y i m p r o v e t h e v i s u a l e f f e c t so f f i s h e y e i m a g e s ,a n d t h e r u n n i n g t i m eo f s i n g l e f r a m e i m a g e i s o n l y 18.37m s ,w h i c h c a n s a t i s f y t h e n e e d o f r e a l -t i m e f i s h e y e v i d e o i m a g e c o r r e c t i o n .K e y w o r d s :i m a g e c o r r e c t i o n ;f i s h e y e i m a g e ;r e a l -t i m e p r o c e s s i n g ;s p h e r i c a l p r o j e c t i o n 收稿日期:2016-06-13.作者简介:吕耀文(1987 ),男,汉族,博士,讲师,从事数字图像处理和机器学习的研究,E -m a i l :l u o h o n g j u a n 05@163.c o m.基金项目:国家自然科学基金(批准号:11474041)和吉林省科技发展计划项目青年基金(批准号:20160520018J H ).鱼眼摄像机具有视场广㊁信息量丰富及制造成本低等优点,在安全监控㊁机器人导航㊁智能交通和全景展示等领域应用广泛[1-3].但由于鱼眼镜头在光学设计结构上将180ʎ的场景映射到单个成像平面探测器上,导致鱼眼图像畸变严重,观测视觉体验效果较差.因此通过后期软件处理技术校正鱼眼畸变图像,提高人眼观测视觉舒适度,已成为鱼眼摄像机应用的关键技术.目前,鱼眼图像的畸变校正方法主要分为两类:基于标定的校正方法[4-5]和基于投影变换模型的校正方法[1-2,6-7].基于标定的校正算法主要通过借助外部设备对鱼眼图像的畸变多项式系数进行标定,以获得畸变源图像到校正目标图像的点到点映射关系,从而实现鱼眼图像的畸变校正功能.主要包括基于射影几何中的对极几何[4,8]和消隐点[5]约束的标定方法㊁采用交叉衍射光学元件(C D O F )的标定法[9]㊁直线投影不变约束的圆拟合[10]和高斯拟合法[11-12]以及平面棋盘点位置坐标的标定方法[8].这些方法对鱼眼镜头的投影过程建立了复杂的数学模型,校正精度较高,但需要专用的标定设备和复杂的软件算法实现,且校正目的是为了获得数学模型上的对应,对于人眼视觉的观察并没有较大提升.基于投影模型的校正方法主要包括经纬映射投影法[1]㊁球面模型投影法[2]㊁柱面投影法[6]㊁数字畸变模型投影法[7]和椭球面模型投影法[13].模型投影法以一种简化的投影模型近似鱼眼镜头的复杂光学成像原理,虽然校正精度不如标定法,但具有校正原理简单㊁实现方便和视觉效果改善显著等优点.目前的校正方法多数只考虑最后的校正结果,未考虑校正算法的复杂性和实时性.因此,本文以鱼眼透镜的球面投影模型为基础,结合图像的内存布局方式,采用映射查找的方法,实现一种针对鱼眼视频图像畸变的实时校正方法.1鱼眼图像校正算法1.1图像的几何变换鱼眼图像的校正归属于图像的几何变换应用.几何变换包含两个基本操作:1)目标图像与源图像的空间映射关系,即目标图像的某个像素点在源图像中的空间位置,但这个映射的空间位置可能不一定为整数;2)灰度插值,典型的灰度插值按计算复杂度从低到高依次为最近邻插值㊁双线性插值和二次插值.图1为图像几何变换的示意图.1.2鱼眼图像的球面投影模型鱼眼图像的投影模型定义了校正图像与鱼眼图像的空间映射关系.图2为鱼眼图像的球面投影模型,其中:点s为校正目标图像上点p到鱼眼图像上的映射点,是球面点p1到鱼眼图像平面的垂直映射;p1是鱼眼图像中心点o和点p的连线o p与映射球的交点.映射关系确定后,要实现图像的校正,还需要解决两个问题:1)校正图像平面的空间位置;2)校正图像的大小.图1图像几何变换示意图F i g.1S c h e m a t i c d i a g r a mo f i m a g eg e o m e t r i c t r a n s f o r m a t i o n图2鱼眼图像的球面投影模型F i g.2S p h e r i c a l p r o j e c t i o nm o d e lo f f i s h e y e i m a g e校正图像中心c与鱼眼图像中心o的距离变化等效于图像的放大与缩小,不影响最终校正图像的视觉效果;直线o c的角度变化产生了不同视角下的校正图像.如果校正图像太小会导致校正图像中包含的鱼眼图像信息过少,需要很多张校正图像才能覆盖鱼眼图像中的所有信息,导致校正算法复杂㊁计算量大且不便于观察者观看.图3为球面投影映射的切面图,鱼眼图像中的等距线段s1和s2在校正目标图像中产生了明显的大小差异,所以若校正图像过大,将导致校正图像的非线性畸变.因此,为了充分展现鱼眼图像的视觉信息,并减少校正图像由于球面映射导致的图像畸变,本文以包围半球最小长方体的5个面为校正平面,分别命名为顶视图㊁左视图㊁右视图㊁前视图和后视图,如图4所示.1.3校正方法下面从校正平面中的任一像素点p(j j,k k)开始,计算点p在鱼眼图像中对应点s的图像坐标(x,y).1)点p在o-x y z三维坐标系中坐标(u,v,w)的计算.顶视图为u=j j-R,v=k k-R,w=R;(1) 401吉林大学学报(理学版)第55卷图3 球面投影映射的切面图F i g .3 S e c t i o n c u t o f s p h e r i c a l p r o j e c t i o nm a p p i ng 图4 鱼眼图像校正平面F i g .4 C o r r e c t i o n p l a n e s o f f i s h e y e i m a ge 前视图为u =j j -R , v =-R , w =R -k k ;(2)后视图为u =j j -R , v =R , w =R -k k ;(3)左视图为u =-R , v =j j -R , w =R -k k ;(4)右视图为u =-R , v =j j -R , w =R -k k .(5)其中R 为鱼眼透镜圆形图像的半径.2)映射点s 在x o y 平面中坐标(x 1,y 1)的计算.(x 1,y1)等效于映射球上点p 1的x 坐标分量和y 坐标分量,因此由几何关系可得x 1=R u /(u 2+v 2+w 2)1/2, y 1=R v /(u 2+v 2+w 2)1/2.(6) 3)点s 的图像坐标(x ,y )为x =x 1+c x , y =y 1+c y ,(7)其中(c x ,c y )为坐标中心点o 在鱼眼图像中的图像坐标,即为鱼眼图像圆心的图像坐标.本文中鱼眼图像的中心和半径采用文献[13]的方法确定.校正图像到鱼眼图像的映射关系确定后,即可采用灰度插值算法实现鱼眼图像的校正.基于实时性的考虑,本文选择最近邻插值法.2 图像的内存布局及算法优化计算机只能处理存储在计算机内存中的数据.C P U 以寻址的方式读取计算机内存中的待处理数据,处理完毕后,又以寻址的方式写入到计算机内存中.该过程表现在编程语言上,对应为指针地址的赋值㊁指针所指内存空间的取值和赋值.计算机的寻址是一个一维过程,即计算机对内存的操作并未区分行和列,只以一个统一的32b i t (或64b i t )地址映射内存.二维图像以某种数据结构连续存储在计算机内存中,因此采用一维的寻址方式扫描二维图像的像素可提高算法的效率.以一维的方式正确扫描二维图像数据需要确定图像在计算机中的内存布局.二维图像变成一维排列有两种方式:1)列优先方式,即扫描以列为方向,MA T L A B 软件就是采用这种扫描方式;2)行优先方式,即扫描以行为方向,计算机视觉图像处理库O p e n c v 采用行优先方式.本文采用V i s u a l S t u d i o 2010和O p e n c v 2.3工具开发鱼眼图像校正算法,因此重点说明行优先方式.对于图像中的第i 行第j 列位置的一维寻优地址a d 为a d =i ˑC O L S +j ,(8)其中C O L S 为二维图像的列数.2.1 映射计算优化成像模型与鱼眼摄像机获得的图像内容无关,因此对鱼眼视频的每张图像采用的校正方法均一501 第1期 吕耀文,等:鱼眼视频图像畸变的实时校正方法601吉林大学学报(理学版)第55卷致.为了避免重复映射关系计算,本文采用数组存储映射关系,在程序启动时,初始化该一维数组,一维数组的序号为校正目标图像内存布局的一维地址偏移量,其对应的存储值为映射鱼眼图像像素点的一维地址偏移量.在视频图像校正过程中采用数组读取的方式查找映射.2.2内存存储空间优化将计算变为映射查找可提高程序的执行效率,但映射查找表的存储需要消耗计算机的内存.本文需要校正5个视图,以1Kˑ1K分辨率图像计算,需要提前开销12M B的内存(顶视图需要1Kˑ1K 的索引,4个侧视图分别需要1Kˑ0.5K的索引,每个索引对应4B y t e的整数),因此存储映射表的内存消耗是图像大小的12倍.为了降低程序对系统内存的损耗,通过分析图4发现4个侧视映射平面是对称的,并且鱼眼图像的成像区域是一个圆,具有旋转对称性,因此4个侧视图只需要1个映射表就能完成鱼眼图像的侧视图校正.本文存储前视图的映射表,对于另外3个侧视图的校正,采用绕图像中心旋转的方式完成.例如,对于右视图的校正,将鱼眼图像旋转90ʎ即可变右视图为前视图.同理后视图和左视图的旋转角度分别为180ʎ和-90ʎ.图像90ʎ的旋转等效为二维图像矩阵的转置,180ʎ的图像旋转对应二维图像矩阵的上下翻转.矩阵的转置和翻转在计算机处理中只是二维数据的重新排列,其计算时间较少.因此,可通过矩阵的转置和翻转,将4个侧视映射表变为1个侧视映射表,在不降低算法运行效率的前提下,映射表的存储空间由12倍的图像大小降为6倍,显著提高了计算机内存的利用效率.优化后的程序流程如图5所示.图5优化后的程序流程F i g.5F l o wc h a r t o f o p t i m i z e d p r o g r a m3实验为验证本文算法的效果和性能,使用鱼眼摄像机分别采集了会议室和办公室两个不同场景的鱼眼视频图像,截取视频中的某一帧原始图像如图6(A)和图7(A)所示.实验平台采用W i n d o w s10专业版32位操作系统,I n t e l i33.3G H z双核C P U,4G B内存,开发环境为V i s u a l S t u d i o2010和O p e n c v2.3库.3.1校正效果实验对鱼眼图像进行校正,其校正结果分别如图6和图7所示.由图6和图7可见,原始图像中畸变直线,如图6(A)中的会议桌㊁长方形投影幕布的黑边框㊁遮挡玻璃门的连接线,图7(A)中的灯管㊁窗框和办公隔断等都已经校正成了直线.此外,由于校正映射平面改变引起视角变化而产生的4个视图相对于原图更符合人的观察习惯,如图6前视图中的矿泉水和花,图7左视图中的人,相对于原始图像,它们在校正图像中更容易被人眼观察和识别.3.2算法优化结果用本文优化方法对校正算法进行优化实验,算法优化前和优化后的运行时间列于表1.图6 会议室鱼眼图像校正结果F i g .6 C o r r e c t i o n r e s u l t s o f f i s h e y e i m a ge s i n c o nf e r e n c e r o om 图7 办公室鱼眼图像校正结果F i g .7 C o r r e c t i o n r e s u l t s o f f i s h e y e i m a ge s i nof f i c e r o o m 表1 算法运行时间(m s )T a b l e 1 R u n n i ng t i m e (m s )o f a l go r i t h m s 算法会议室办公室优化前102.69102.69映射优化12.6212.47内存优化18.3718.64 程序的计时采用O p e n c v 中提供的两个高精度计时函数g e t T i c k C o u n t ()和g e t T i c k F r e q u e n c y()701 第1期 吕耀文,等:鱼眼视频图像畸变的实时校正方法801吉林大学学报(理学版)第55卷完成.表1中的运行时间为程序运行1000次的平均值.由表1可见:1)运行时间与场景无关,这是因为校正算法并不需要图像像素的灰度值;2)算法映射优化后,运行时间由原来的102m s降为12m s;3)采用矩阵的转置和翻转优化程序内存后,运行时间只增加了6m s,却节约了50%的内存空间.在实际应用中,可根据实际情况在程序运行效率和计算机内存占用间进行平衡.实验结果表明,经过优化后的算法完全可满足针对30帧/s鱼眼视频图像的实时校正.综上所述,本文针对鱼眼图像畸变严重㊁视觉效果差的问题,在深入分析鱼眼透镜球面投影模型的基础上,实现了一种采用映射查找法的实时校正方法.该方法选择包围半球最小长方体的5个面为校正平面,既充分展现了鱼眼图像的视觉信息,又减少了校正图像由于球面映射引起的图像畸变.本文从图像在计算机的内存布局出发,通过映射查找表和矩阵的转置与翻转,对算法从时间和空间上进行了优化.本文优化方法可以推广到其他有关图像几何校正(包括基于其他数学模型的鱼眼透镜图像校正)的算法实现中,优化方法具有一般性.实验结果表明,本文方法能显著改善鱼眼图像的显示效果,并满足鱼眼视频图像实时校正的要求.参考文献[1]魏利胜,周圣文,张平改,等.基于双经度模型的鱼眼图像畸变矫正方法[J].仪器仪表学报,2015,36(2):377-385.(W E IL i s h e n g,Z HO 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c t r o nD e v i c e s,2007,30(3):1003-1005.)[12] HU A N GF u y u,WA N G Y o n g z h o n g,S H E N X u e j u,e t a l.M e t h o df o rC a l i b r a t i n g t h eF i s h e y eD i s t o r t i o nC e n t e r[J].A p p l i e dO p t i c s,2012,51(34):8169-8177.[13]杨中伟,杨鸣.基于椭球面模型的鱼眼图像校正方法[J].光学仪器,2014,37(2):127-131.(Y A N GZ h o n g w e i,Y A N G M i n g.A F i s h e y eI m a g eC o r r e c t i o n M e t h o dB a s e do nE l l i p s o i d M o d e l[J].O p t i c a l I n s t r u m e n t s,2014, 37(2):127-131.)(责任编辑:韩啸)。

红外鱼眼成像系统非均匀性校正方法严世华;何永强;李计添【摘要】分析了时域高通滤波校正算法中容易出现目标退化及“伪像”的问题,指出滤波方程的截止频率与信号频域分布的变化不匹配是产生问题的原因.结合红外鱼眼系统成像的特点,通过目标检测的方法分辨需要调整滤波截止频率的像元,对其采用不同的时域高通滤波方式,即改变滤波器的截止频率,有效地减少了目标退化和伪像的影响.采用主观和客观评价指标对试验的红外序列图像进行评价,结果表明改进的时域高通滤波校正方法效果明显.%The cause of the target fade-out and the ghosting artifact in temporal high pass filtering nonuniformity correction (THPF-NUC) for infrared imaging system is studied. It is found that the mismatching of the filter cut-off frequency with the target spectral distribution change is the cause of the problem. Based on the characteristic of infrared fish-eye imaging system,the pixels of object are separated and applied to different filters with different cut-off frequency. By this way the target fade-out and the ghosting artifact are reduced effectively. By subjective or objective appraisal of the infrared images acquired in experiments,the results proves that THPF-NUC is better than other methods.【期刊名称】《激光与红外》【年(卷),期】2011(041)010【总页数】5页(P1112-1116)【关键词】红外鱼眼;非均匀性校正;时域高通滤波【作者】严世华;何永强;李计添【作者单位】军械工程学院,河北石家庄050003;军械工程学院,河北石家庄050003;96166部队,广东韶关512158【正文语种】中文【中图分类】TN2151 引言红外成像系统非均匀性是包括光学系统、探测器组件(包括杜瓦瓶、冷屏、探测器、读出电路、制冷机等)、模拟信号调理电路以及A/D转换电路在内的各部分非均匀性的叠加。

鱼眼图像畸变校正算法司 磊 朱学玲（安徽新华学院 信息工程学院 安徽 合肥 230088）摘 要： 根据鱼眼镜头成像的特点，选择合适的图像畸变校正算法，标定鱼眼图像的中心和半径，用标定得到的参数进行校正，推出校正模型，方法简单，易于实现，并对鱼眼图的畸变矫正问题提出意见与看法。

关键词： 鱼眼图像；畸变矫正；图像预处理；图像增强中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1671－7597（2012）1110166－02鱼眼图像的畸变矫正是以某种独特的变换方式将一副鱼眼 2 有关鱼眼图片的粗略校正图像转换为理想图像的操作，这种操作在全方位视觉导航中具1）求取鱼眼图像行和列的比值有重要的作用，是系统自动识别、跟踪和定位目标所必须的基将投射生成标准圆变换为鱼眼图片并求取图片中心点的方础操作。

法与普通相机照相原理不同，对于提取出来的鱼眼图片的轮1 畸变图像的校正原理廓，我们先假定一个阈值，比如设一个灰度值30，用软件勾勒描绘出校正鱼眼图片大概的轮廓，然后先求出该轮廓的中心点根据畸变图像特点标定坐标图，求取标定点像素的理想值坐标，根据轮廓的图形和鱼眼图像的中心点的坐标，可计算出和实际值，同时生成坐标映射表，再把坐标映射表用于畸变图畸变图像的圆半径，从而求取鱼眼图像的中心点坐标和鱼眼图像的校正程序后，即可得到无畸变图像，具体处理过程如下：像的粗略轮廓的图像的半径相对比，以便于将鱼眼图像的大概1）标定坐标轮廓重新调整处理，变的更为精确和直观。

假定畸变校正的鱼镜头中心的畸变可以忽略为零，以镜头为中心，离镜头越眼图片的半径中的行坐标曲线和列坐标曲线不相等，则我们需远的地方畸变越大。

以镜头为中心标定坐标图，对图像进行坐要将畸变校正的鱼眼图像中的园的半径的曲线与下面的公式相标的标定，按正方形均匀排列圆点，如图1所示。

乘，然后就可以变换为普通的标准圆的图像。

下面公式中（u，v）是畸变校正的鱼眼图片的中心点，β为畸变校正的鱼眼图像行和列的比值。

鱼眼镜头自标定和畸变校正的实现郑亮;陶乾【摘要】鱼眼镜头视角大,但由鱼眼镜头组成的鱼眼摄像机拍摄的图片具有严重的畸变,不利于人眼观察和机器识别.为此,基于已有的九点非迭代优化算法,提出一种改进算法以完成鱼眼自标定和自动校正,包括将最稳定极限区域与尺度不变特征变换算法结合以自动获取一对鱼眼图像的特征匹配点.利用核密度估计方法代替随机抽样一致性算法,实现鱼眼自标定,选择最优参数代入畸变模型中进行鱼眼图像畸变校正.在事先不知道场景信息和摄像机镜头参数的前提下,通过输入两幅有重合区域的图片自动匹配其特征点,从而获取鱼眼图像的校正.标定及校正结果表明,与原算法需要人为选择匹配点不同,提出的算法可自动获取特征匹配点,校正结果精确,为自动匹配并获取鱼眼图像的校正提供了可能.【期刊名称】《计算机工程》【年(卷),期】2016(042)009【总页数】5页(P252-256)【关键词】鱼眼镜头;鱼眼图像;核密度估计;自标定;畸变校正【作者】郑亮;陶乾【作者单位】中山大学信息科学与技术学院,广州510006;中国电信综合平台开发运营中心,广州510000;中山大学信息科学与技术学院,广州510006;中国科学院深圳先进技术研究院,广东深圳518055;广东第二师范学院计算机科学系,广州510303【正文语种】中文【中图分类】TP391.41中文引用格式：郑亮,陶乾.鱼眼镜头自标定和畸变校正的实现[J].计算机工程,2016,42(9):252-256.英文引用格式： Zheng Liang,Tao Qian.Implementation of Self-calibration and Distortion Correction for Fish Eye Lens[J].ComputerEngineering,2016,42(9):252-256.鱼眼镜头是一种超广角镜头,其前镜片呈抛物状向前凸出,形似鱼眼,故称之为鱼眼镜头[1]。