高中数学选修不等式选讲测试题

数学选修4-5 不等式选讲[基础训练A 组]一、选择题1．下列各式中，最小值等于2的是（ ）A ．x y y x +B ．4522++x x C ．1tan tan θθ+ D ．22x x -+2．若,x y R ∈且满足32x y +=,则3271x y ++的最小值是（ )A ．B ．1+C ．6D ．7 3．设0,0,1x y x y A x y +>>=++， 11x y B x y=+++，则,A B 的大小关系是( ）A ．AB = B ．A B <C ．A B ≤D ．A B >4．若,,x y a R +∈,且y x a y x +≤+恒成立，则a 的最小值是（ )A ．2B ．1 D ．125．函数46y x x =-+-的最小值为（ )A ．2B ．4 D ．6 6．不等式3529x ≤-<的解集为（ )A ．[2,1)[4,7)-B ．(2,1](4,7]-C ．(2,1][4,7)--D ．(2,1][4,7)-二、填空题1．若0a b >>，则1()a b a b +-的最小值是_____________。

2．若0,0,0a b m n >>>>,则b a , a b , m a m b ++， nb n a ++按由小到大的顺序排列为 3．已知,0x y >，且221x y +=，则x y +的最大值等于_____________.4．设1010101111112212221A =++++++-,则A 与1的大小关系是_____________。

5．函数212()3(0)f x x x x =+>的最小值为_____________.三、解答题1．已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥2．解不等式7340x x +--+>3．求证:221a b ab a b +≥++-4．证明：1)1...<+<数学选修4—5 不等式选讲[综合训练B 组]一、选择题1．设,a b c n N >>∈，且ca n cb b a -≥-+-11恒成立,则n 的最大值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 2． 若(,1)x ∈-∞,则函数22222x x y x -+=-有（ ）A ．最小值1B ．最大值1C ．最大值1-D ．最小值1-3．设P =，Q =R =，则,,P Q R 的大小顺序是（ )A ．P Q R >>B ．P R Q >>C ．Q P R >>D ．Q R P >>4．设不等的两个正数,a b 满足3322a b a b -=-，则a b +的取值范围是（ ）A ．(1,)+∞B ．4(1,)3C ．4[1,]3D ．(0,1)5．设,,a b c R +∈，且1a b c ++=，若111(1)(1)(1)M a b c=---，则必有( )A ．108M ≤<B ．118M ≤< C ．18M ≤< D ．8M ≥6．若,a b R +∈，且,a b M≠=, N =，则M 与N 的大小关系是 A ．M N > B ．M N < C ．M N ≥ D ．M N ≤二、填空题1．设0x >，则函数133y x x =--的最大值是__________。

高三数学不等式选讲试题答案及解析1.不等式的解集是．【答案】【解析】由绝对值的几何意义，数轴上之间的距离为，结合图形，当落在数轴上外时.满足不等式，故答案为.【考点】不等式选讲.2.不等式的解集是【答案】【解析】原不等式可化为，解得.考点:绝对值不等式解法3.已知函数（Ⅰ）证明:；（Ⅱ）求不等式:的解集．【答案】（Ⅰ）祥见解析；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）通过对x的范围分类讨论将函数f（x）=|x-2|-|x-5|中的绝对值符号去掉，转化为分段函数，即可解决；（Ⅱ）结合（1）对x分x≤2，2＜x＜5与x≥5三种情况讨论解决即可．试题解析：（Ⅰ）当所以（Ⅱ）由（1）可知，当的解集为空集；当时，的解集为：；当时，的解集为：；综上，不等式的解集为：；【考点】绝对值不等式的解法．4.设函数=（1）证明：2；（2）若，求的取值范围.【答案】（2）【解析】本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出，从而得出结论；对第（2）问，由去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出的取值范围.试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：，当且仅当时，取等号，所以.（2）因为，所以，解得：.【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.【考点】本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键.5.（5分）（2011•陕西）（请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）若不等式|x+1|+|x﹣2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是．B．（几何证明选做题）如图，∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°，且AB=6，AC=4，AD=12，则AE= ．C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：（θ为参数）和曲线C2：p=1上，则|AB|的最小值为．【答案】（﹣∞，3] 2 1【解析】A．首先分析题目已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，求a的取值范围，即需要a小于等于|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．对于求|x+1|+|x﹣2|的最小值，可以分析它几何意义：在数轴上点x 到点﹣1的距离加上点x到点2的距离．分析得当x在﹣1和2之间的时候，取最小值，即可得到答案；B．先证明Rt△ABE∽Rt△ADC，然后根据相似建立等式关系，求出所求即可；C．先根据ρ2=x2+y2，sin2+cos2θ=1将极坐标方程和参数方程化成直角坐标方程，根据当两点连线经过两圆心时|AB|的最小，从而最小值为两圆心距离减去两半径．解：A．已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，即需要a小于等于|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．故设函数y=|x+1|+|x﹣2|．设﹣1、2、x在数轴上所对应的点分别是A、B、P．则函数y=|x+1|+|x﹣2|的含义是P到A的距离与P到B的距离的和．可以分析到当P在A和B的中间的时候，距离和为线段AB的长度，此时最小．即：y=|x+1|+|x﹣2|=|PA|+|PB|≥|AB|=3．即|x+1|+|x﹣2|的最小值为3．即：k≤3．故答案为：（﹣∞，3]．B．∵∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°∴Rt△ABE∽Rt△ADC而AB=6，AC=4，AD=12，根据AD•AE=AB•AC解得：AE=2，故答案为：2C．消去参数θ得，（x﹣3）2+y2=1而p=1，则直角坐标方程为x2+y2=1，点A在圆（x﹣3）2+y2=1上，点B在圆x2+y2=1上则|AB|的最小值为1．故答案为：1点评：A题主要考查不等式恒成立的问题，其中涉及到绝对值不等式求最值的问题，对于y=|x﹣a|+|x﹣b|类型的函数可以用分析几何意义的方法求最值．本题还考查了三角形相似和圆的参数方程等有关知识，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．6.（2012•广东）不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为_________．【答案】【解析】∵|x+2|﹣|x|=∴x≥0时，不等式|x+2|﹣|x|≤1无解；当﹣2＜x＜0时，由2x+2≤1解得x≤，即有﹣2＜x≤；当x≤﹣2，不等式|x+2|﹣|x|≤1恒成立，综上知不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为故答案为7.设函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由的图象，可知在处取得最小值，∵, ,即,或．∴实数的取值范围为，选C.8.已知不等式的解集与不等式的解集相同，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解不等式得或，所以的两个根为和，由根与系数的关系知.故选.【考点】绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法.9.设函数,其中。

高三数学不等式选讲试题1.设a、b、c为正数，a+b+9c2=1，则的最大值是，此时a+b+c= .【答案】【解析】由柯西不等式得，所以，当且仅当且，即，所以的最大值是，此时.【考点】柯西不等式.2.已知函数.（1）解不等式：；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由函数，及解不等式，通过将x的区间分为3类可解得结论.（2）由当时，不等式恒成立，令函数.所以原题等价于，由.通过绝对值不等式的公式即可得到函数的最大值，再通过解绝对值不等式可得结论.（1）原不等式等价于：当时，，即.当时，，即当时，，即.综上所述，原不等式的解集为. 4分（2）当时，=所以 7分【考点】1.绝对值不等式.2.恒成立问题.3.分类的数学思想.3.若对任意正实数，不等式恒成立，则实数的最小值为．【答案】【解析】因为对任意正实数，不等式恒成立，所以，因此【考点】不等式恒成立4.设,则的最小值为。

【答案】9【解析】由柯西不等式可知。

5.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:(1)ab+bc+ca≤(2).【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】(1)由得.由题设得,即.所以3(ab+bc+ca)≤1,即.(2)因为+b≥2a,+c≥2b，+a≥2c,故+(a+b+c)≥2(a+b+c),即≥a+b+c，所以.6.已知函数f(x)=|x－a|,其中a>1.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值.【答案】(1){x|x≤1或x≥5}.(2)3【解析】(1)当a=2时, f(x)+|x－4|=当x≤2时,由f(x)≥4－|x－4|得－2x+6≥4,解得x≤1;当2<x<4时, f(x)≥4－|x－4|无解;当x≥4时,由f(x)≥4－|x－4|得2x－6≥4,解得x≥5;所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}.(2)记h(x)=f(2x+a)－2f(x),则h(x)=由|h(x)|≤2,解得≤x≤又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}.所以=1且=2于是a=3.7.满足不等式的的取值范围是________.【答案】{或}【解析】不等式等价于，即，故的取值范围是．【考点】解不等式．8.不等式2x2﹣x﹣1＞0的解集是（）A．B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．∪（1，+∞）【答案】D【解析】原不等式同解于（2x+1）（x﹣1）＞0∴x＞1或x＜故选：D9.如图，有一块锐角三角形的玻璃余料，欲加工成一个面积不小于cm2的内接矩形玻璃（阴影部分），则其边长（单位：cm）的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设矩形的另一边长为，由图，三角形相似可知，，解得，则矩形面积，解得，故选D.【考点】1.一元二次不等式的求解.10.下列不等式成立的是()A．log32<log25<log23B．log32<log23<log25C．log23<log32<log25D．log23<log25<log32【答案】B【解析】选B.因为log32<log33=1,log23>log22=1,所以log32<log23,又因为log23<log25,所以log32<log23<log25.11.设a,b∈R,若a-|b|>0,则下列不等式正确的是()A．b-a>0B．a3+b3<0C．a2-b2<0D．b+a>0【答案】D【解析】选D.因为a-|b|>0,所以a>|b|≥0.所以不论b正或b负均有a+b>0.12.已知a,b,c为三角形的三边长,则a2与ab+ac的大小关系是.【答案】a2<ab+ac【解析】因为a,b,c为三角形的三边长,所以a<b+c,又因为a>0,所以a2<a(b+c),即a2<ab+ac.13.实数x,y,z满足x2-2x+y=z-1且x+y2+1=0,试比较x,y,z的大小.【答案】z≥y>x【解析】x2-2x+y=z-1⇒z-y=(x-1)2≥0⇒z≥y;x+y2+1=0⇒y-x=y2+y+1=+>0⇒y>x,故z≥y>x.14.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是.【答案】[9,+∞)【解析】令=t(t>0),由ab=a+b+3≥2+3,则t2≥2t+3,所以t≥3或t≤-1(舍去),所以≥3,ab≥9,当a=b=3时取等号.15.若a,b,c为正数,且a+b+c=1,则++的最小值为()A．9B．8C．3D．【答案】A【解析】选A.因为a,b,c为正数,且a+b+c=1,所以a+b+c≥3,所以0<abc≤,≥27,所以++≥3≥3=9.当且仅当a=b=c=时等号成立.16.已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为()A．3B．2C．12D．12【答案】C【解析】选C.因为2x>0,4y>0,8z>0,所以2x+4y+8z=2x+22y+23z≥3=3=3×4=12.当且仅当2x=22y=23z,即x=2y=3z,即x=2,y=1,z=时取等号.17.若记号“*”表示求两个实数a与b的算术平均的运算,即a*b=,则两边均含有运算“*”和“+”,且对任意3个实数a,b,c都能成立的一个等式可以是.【答案】a+(b*c)=(a+b)*(a+c)【解析】由题意知a+(b*c)=a+=,(a+b)*(a+c)==,所以a+(b*c)=(a+b)*(a+c).18.已知x,y均为正数,且x>y,求证:2x+≥2y+3.【答案】见解析【解析】【证明】因为x>0,y>0,x-y>0,2x+-2y=2(x-y)+=(x-y)+(x-y)+≥3=3,所以2x+≥2y+3.19.已知函数f(x)=|x-3|-2,g(x)=-|x+1|+4.若函数f(x)-g(x)≥m+1的解集为R,求m的取值范围.【答案】(-∞,-3]【解析】【解题指南】本题关键是转化题中的条件为求f(x)-g(x)的最小值,求解时结合绝对值三角不等式.f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6,解：因为x∈R,由绝对值三角不等式得f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6=|3-x|+|x+1|-6≥|(3-x)+(x+1)|-6=4-6=-2,于是有m+1≤-2,得m≤-3,即m的取值范围是(-∞,-3].20.已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）a＝2（2）{m|m≤5}【解析】(1)由f(x)≤3得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，所以解得a＝2.(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)，于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3|≥|(2－x)＋(x＋3)|＝5，当且仅当(2－x)(x＋3)≥0即当－3≤x≤2时等号成立．所以实数m的取值范围是{m|m≤5}．21.设a、b∈R＋，试比较与的大小．【答案】≥【解析】∵()2－＝≥0，∴≥22.若a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求＋＋的最大值．【答案】【解析】(1·＋1·＋1·)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3，即＋＋的最大值为23.若a、b∈R＋，且a≠b，M＝＋，N＝＋，求M与N的大小关系．【答案】M>N【解析】∵a≠b，∴＋>2，＋>2，∴＋＋＋>2＋2，即＋>＋，即M>N.24.已知a>0，求证：－≥a＋－2.【答案】见解析【解析】要证－≥a＋－2，只需证＋2≥a＋＋，只需证a2＋＋4＋4≥a2＋＋2＋2＋2，即证2≥，只需证4≥2，即证a2＋≥2，此式显然成立．∴原不等式成立．25.已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c∈R，且＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.【答案】（1）m＝1（2）见解析【解析】(1)∵f(x＋2)＝m－|x|≥0，∴|x|≤m，∴m≥0，－m≤x≤m，∴f(x＋2)≥0的解集是[－1，1]，故m＝1.(2)由(1)知＝1，a、b、c∈R，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)≥(·＋·＋·)2＝9.26.已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1(1)若2x2＋3y2＋6z2＝1，求x，y，z的值．(2)若2x2＋3y2＋tz2≥1恒成立，求正数t的取值范围．【答案】（1）x＝，y＝，z＝（2）t≥6【解析】(1)∵(2x2＋3y2＋6z2)()≥(x＋y＋z)2＝1，当且仅当时取“＝”．∴2x＝3y＝6z，又∵x＋y＋z＝1，∴x＝，y＝，z＝.(2)∵(2x2＋3y2＋tz2)≥(x＋y＋z)2＝1，∴(2x2＋3y2＋tz2)min＝.∵2x2＋3y2＋tz2≥1恒成立，∴≥1.∴t≥6.27.设a,b,c均为正数,证明:++≥a+b+c.【答案】见解析【解析】证明：方法一:+++a+b+c=(+b)+(+c)+(+a)≥2a+2b+2c,当且仅当a=b=c时等号成立.即得++≥a+b+c.方法二:利用柯西不等式的一般形式得|a1b1+a2b2+a3b3|≤.取a1=,a2=,a3=,b1=,b2=,b3=代入即证.28.已知a,b,c∈(1,2),求证:++≥6.【答案】见解析【解析】证明：∵≥=,≥=,≥=.∴y=++≥++.又由柯西不等式可得[(a-b+1)+(b-c+1)+(c-a+1)](++)≥18,即++≥=6.∴y=6,当且仅当a=b=c=时取到最小值,min原不等式得证.29.“a<4”是“对任意的实数x，|2x－1|＋|2x＋3|≥a成立”的()A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】因为|2x－1|＋|2x＋3|≥a，所以，根据不等式的几何意义可知，在数轴上点x到点和－的距离之和≥2，所以当a<4时，有<2，所以不等式成立，此时为充分条件要使|2x－1|＋|2x＋3|≥a恒成立，即恒成立，则有≤2，即a≤4综上，“a<4”是“|2x－1|＋|2x＋3|≥a成立”的充分不必要条件，故选B.30.已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.若不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，则实数a的值为________．【答案】a＝1【解析】由|2x－a|＋a≤6得，|2x－a|≤6－a，∴a－6≤2x－a≤6－a，即a－3≤x≤3，∴a－3＝－2，∴a＝1.31.已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)·(bm＋an)的最小值为________．【答案】2.【解析】∵a，b，m，n∈R＋，且a＋b＝1，mn＝2，∴(am＋bn)( bm＋an)＝abm2＋a2mn＋b2mn＋abn2＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)≥2ab·mn＋2(a2＋b2) ＝4ab＋2(a2＋b2)＝2(a2＋b2＋2ab)＝2(a＋b)2＝2，当且仅当m＝n＝时，取“＝”．∴所求最小值为2.32.设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.(1)画出函数y＝f(x)的图象；(2)若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)( a≠0，a，b∈R)恒成立，求实数x的取值范围．【答案】（1）（2）≤x≤【解析】(1)f(x)＝图象如图．(2)由|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)得≥f(x)．又因为≥＝2.则有2≥f(x)．解不等式2≥|x－1|＋|x－2|得≤x≤. 即x的取值范围为≤x≤33. (1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋≤＋＋xy；(2)1＜a≤b≤c，证明loga b＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)由于x≥1，y≥1，要证x＋y＋≤＋＋xy，只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.因为[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．由条件x≥1，y≥1，得(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设loga b＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy.于是，所要证明的不等式即为x＋y＋≤＋＋xy.其中x＝loga b≥1，y＝logbc≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立．34.若对任意的a∈R，不等式|x|＋|x－1|≥|1＋a|－|1－a|恒成立，则实数x的取值范围是________．【答案】x≤－或x≥【解析】由|1＋a|－|1－a|≤2得|x|＋|x－1|≥2，当x<0时，－x＋1－x≥2，x≤－；当0≤x≤1时，x＋1－x≥2，无解；当x>1时，x＋x－1≥2，x≥.综上，x≤－或x≥35.在R上定义运算，若关于的不等式的解集是的子集，则实数a的取值范围是（）A．B．C．或D．【答案】D【解析】，设A为关于的不等式的解集，当A为时，则即；当即时，，则即，所以；当即时，，则即，所以；综上可知.【考点】新定义、含参数不等式的解法.36.设实数均不小于1，且，则的最小值是．（是指四个数中最大的一个）【答案】9【解析】设，则，当时上式两等号都能取到，所以的最小值为9.【考点】多元函数最值的求法.37.[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）设，实数满足，求证：．【答案】．【解析】，，又． 10分【考点】本题主要考查绝对值不等式的证明，绝对值不等式的性质。

选修2-3、不等式选讲测试题一、选择题 1、不等式32->x 的解集是()A.)32,(--∞ B. )32,(--∞),0(+∞ C. )0,32(-),0(+∞ D. )0,32(-2、甲、乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率是0.8，乙击中目标的概率是0.6，则两人都击中目标的概率是（ ）Ａ．1.4Ｂ．0.9Ｃ．0.6Ｄ．0.483、随机变量X 的概率分布如下：则c 等于（ ）A. 0．1 B ．0．2 C ．0．3 D ．0．44、设P =，Q =-R =,,P Q R 的大小顺序是（ ） A ．P Q R >> B ．P R Q >> C ．Q P R >> D ．Q R P >>5、若2~(1,6)N ξ-且(31)P ξ--≤≤=0.4，则(1)P ξ≥等于（ ）Ａ．0.4 Ｂ．0.3 Ｃ．0.2 Ｄ．0.16、袋中有3个红球、2个白球,从中任取2个，用X 表示取到白球的个数，EX=( ) A.23 B.56 C.52 D.547、不等式3529x ≤-<的解集为（ ）A ．[2,1)[4,7)-B ．(2,1][4,7)-C ．(2,1][4,7)--D ．(2,1](4,7]- 8、如果0>a ,且),1(log ),1(log,123+=+=≠a N a M a aa那么（ ） A. N M = B.N M < C. N M > D.N M ,的大小无法确定9、已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为 ( ) A.310 B. 79 C.78 D. 2910、已知随机变量X 服从二项分布)216(~，B X ,则P （X=2）等于（ ）A.1664B.1516C.1564D.3511、在射击练习中，一位射击运动员连续射击10次，根据以往的成绩知他击中目标的概率为32，设随机变量X 为他击中目标的次数，DX EX ,分别表示随机变量的期望与方差，则22)()(EX DX 等于（ ）Ａ．94 Ｂ．91 Ｃ．320 Ｄ．27412、设μμ则且,10)(4,4,0,022++-⋅==+≥≥y x y x y x y x 的最值情况是（ ）A ．有最大值2，最小值2)22(2- B ．有最大值2，最小值0C ．有最大值10，最小值2)22(2- D ．最值不存在二、填空题13、不等式7|32|≥-x 的解集为________________. 14、已知x ，y 之间的一组数据：则y 与x 的回归方程必经过15、若不等式012<--mx mx 对一切x R ∈都成立，则m 的取值范围是 16、已知ξ的分布列如下：并且23ηξ=+，则方差D η= 三、解答题17、解不等式4|5||3|≥-+-x x18、已知bc ad ≠，求证：22222)())((bd ac d c b a +>++19、对服用某种维生素对成年人头发稀疏或稠密的影响调查如下：服用维生素的成年人有60人，其中头发稀疏的有5人．不服用维生素的成年人有60人，其中头发稀疏的有46人．请作出列联表，并判断服用维生素与头发稀疏是否相关．22()()()()()()n ad bc Kn a b c d a b c d a c b d -==+++++++20、袋中装有4只红球，3只黑球，现从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，记X 表示所得分数 （1）求)5(=X P（2）求随机变量X 的分布列及数学期望。

不等式选讲综合测试海南 李传牛一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若||||a c b -<，则下列不等式中正确的是（ ）．A ．a b c <+B ．a c b >-C ．||||||a b c >-D ．||||||a b c <+1．D ||||||||c b a c b c b -<<+≤+．2．设0,0,1x y x y A x y +>>=++, 11x y B x y=+++，则,A B 的大小关系是（ ）． A ．A B = B ．A B < C ．A B ≤ D ．A B >2．B 11111x y x y x y B A x y x y y x x y+=+>+==++++++++，即A B <． 通过放大分母使得分母一样，整个分式值变小3．设命题甲：|1|2x ->，命题乙：3x >，则甲是乙的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3． A 命题甲：3x >，或1x <-，甲可推出乙．4．已知,,a b c 为非零实数，则222222111()()a b c a b c++++最小值为( ) ． A ．7 B ．9 C ．12 D ．184．B 22222222111111()()()(111)9a b c a b c a b c a b c ++++≥⋅+⋅+⋅=++=， ∴所求最小值为9．5．正数,,,a b c d 满足a d b c +=+，||||a d b c -<-，则有（ ）．A ．ad bc =B ．ad bc <C ．ad bc >D ．ad 与bc 大小不定5．C 特殊值：正数2,1,4,3a b c d ====，满足||||a d b c -<-，得ad bc >．或由a d b c +=+得222222a ad d b bc c ++=++，∴2222()()22a d b c bc ad +-+=-，（1）由||||a d b c -<-得222222a ad d b bc c -+<-+，（2）将（1）代入（2）得2222bc ad bc ad -<-+，即44bc ad <，∴ad bc >．6．如果关于x 的不等式250x a -≤的非负整数解是0,1,2,3，那么实数a 的取值范围是（ ）．A ．4580a ≤<B ．5080a <<C ．80a <D ．45a >6．A 250x a -≤，得≤1,2,3，则34≤<． 7．设,,1a b c >，则log 2log 4log a b c b c a ++的最小值为（ ）．A ．2B ．4C ．6D ．87．C log ,log ,log 0a b c b c a >，log 2log 4log 6a b c b c a ++≥==． 8．已知|23|2x -≤的解集与2{|0}x x ax b ++≤的解集相同，则（ ）．A ．53,4a b ==-B ．53,4a b =-=C ．53,4a b ==D ．174a b += 8．Ｂ 由|23|2x -≤解得1522x ≤≤，因为|23|2x -≤的解集与2{|0}x x ax b ++≤ 的解集相同，那么12x =或52x =为方程20x ax b ++=的解，则分别代入该方程，得11304252550442a ab b a b ⎧=-++=⎧⎪⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪++=⎩⎪⎩． 9．已知不等式1()()9a x y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ）． A ．2 B ．4 C ．6 D ．89．B∵21()()11)a y ax x y a xy x y ++=+++≥，∴21)9≥，∴4a ≥． 10．设222,,0,3a b c a b c ≥++=，则ab bc ca ++的最大值为（ ）．A ．0B ．1C ．3 D．3 10．C 由排序不等式222a b c ab bc ac ++≥++，所以3ab bc ca ++≤．11．已知2()3(1)32x x f x k =-+⋅+，当x R ∈时，()f x 恒为正，则k 的取值范围是（ ）．A ．(,1)-∞- B．(,1)-∞ C．(1,1)- D．(1,1)-11．B 23(1)320x x k -+⋅+>，232(1)3x xk +>+⋅，即23213x x k +>+，得2313xx k +≥>+，即1k <． 12．用数学归纳法证明不等式111113123224n n n n +++⋅⋅⋅+>+++(2,)n n N *≥∈的过程中，由n k =逆推到1n k =+时的不等式左边（ ）． A ． 增加了1项)1(21+k B ．增加了“)1(21121+++k k ”，又减少了“11+k ” C ．增加了2项)1(21121+++k k D ．增加了)1(21+k ，减少了11+k 12．B 注意分母是连续正整数．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．不等式2||1x x+<的解集为 ． 13．{|1}x x <- ∵0x ≠，∴|2|||x x +<，即22(2)x x +<，∴10x +<，1x <-，∴原不等式的解集为{|1}x x <-．14．已知函数2()1f x x ax =-+，且|(1)|1f <，那么a 的取值范围是 ．14．13a << 2()1f x x ax =-+，(1)2f a =-，而|(1)|1f <，即|2|1a -<．15．函数212()3(0)f x x x x =+>的最小值为_____________．15．9 22123312()3922x x f x x x x =+=++≥=． 16．若,,a b c R +∈，且1a b c ++=，则c b a ++的最大值是 ．16 2222(111(111)()3a b c ≤++++=．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）3a b c ++≥． 17．证明：∵2222222(111)()()a b c a b c ++++≥++， ∴2222()39a b c a b c ++++≥，3a b c ++≥． 18．（本小题满分10分）无论,x y 取任何非零实数，试证明等式111x y x y+=+总不成立． 18．证明：设存在非零实数11,x y ，使得等式1111111x y x y +=+成立， 则11111111()()y x y x x y x y +++=，∴2211110x y x y ++=，即221113()024y x y ++=， 但是10y ≠，即221113()024y x y ++>，从而得出矛盾． 故原命题成立．19．（本小题满分12分）已知a ，b ，c 为ABC 的三边，求证：2222()a b c ab bc ca ++<++．19．证明：由余弦定理得2222cos bc A b c a =+-，2222cos ac B a c b =+-，2222cos ab C a b c =+-，三式相加得2222cos 2cos 2cos bc A ac B ab C a b c ++=++，而cos 1,cos 1,cos 1A B C ≤≤≤，且三者至多一个可等于1，即2cos 2cos 2cos 222bc A ac B ab C bc ac ab ++<++，所以2222()a b c ab bc ca ++<++．20．（本小题满分12分） 已知,,a b c都是正数，求证：2(3(23a b a b c +++≤． 20．证明：要证2(3(23a b a b c +++≤，只需证a b a b c +-≤++-，即c -≤-移项得c +≥∵,,a b c 都是正数，∴c c +=≥=，∴原不等式成立．21．（本小题满分12分）某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，顶部每平方米造价20元，试问：（1）仓库面积S 的最大允许值是多少（2）为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长21．解：如图，设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，则有S xy =，由题意得40245203200x y xy +⨯+=，应用二元均值不等式， 得32002409020x y xy ≥⋅+∴6160S S +≤，即(16)(10)0S S +-≤，∵160S +>，∴100S -≤，∴100S ≤．因此，S 的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是4090x y =，而100xy =，求得15x =，即铁栅的长应是15米．22．（本小题满分12分）已知()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数，对于任意的,0m n >满足()()()f m f n f mn +=，且a ，b (0)a b <<满足|()||()|2|()|2a b f a f b f +==． （1）求(1)f ；（2）若(2)1f =，解不等式()2f x <；（3）求证：322b <<+．22．解：（1）因为任意的,0m n >满足()()()f m f n f mn +=，令1m n ==，则(1)(1)(1)f f f +=，得(1)0f =；（2）()211(2)(2)f x f f <=+=+，而(2)(2)(4)f f f +=， 得()(4)f x f <，而()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数，04x <<，得不等式()2f x <的解集为(0,4)；（3）∵(1)0f =，()f x 在(0,)+∞上的单调递增，∴(0,1)x ∈时，()(1)0f x f <=，(1,)x ∈+∞时，()(1)0f x f >=．又|()||()|f a f b =，()()f a f b =或()()f a f b =-，∵0a b <<，则()(),()()f a f b f a f b ≠<，∴()()f a f b =-，∴()()()0(1)f a f b f ab f +===，∴1ab =，得01a b <<<．∵|()|2|()|2a b f b f +=，且1b >，12a b +>=，()0,()02a b f b f +>>， ∴()2()2a b f b f +=，∴2()()()[()]222a b a b a b f b f f f +++=+=， 得2()2a b b +=，∴2242b a ab b =++， 即2242b b a --=，而01a <<，∴20421b b <--<，又1b >，∴32b <<答案与解析：备用题：1．已知a b >，c d >，则下列命题中正确的是（ ）．A ．a c b d ->-B ．a b d c> C ．ac bd > D ．c b d a ->- 1．D 令1,0,1,2a b c d ===-=-，可验证知D 成立，事实上我们有a b b a >⇒->-①，c d >②，①﹢②可得c b d a ->-．2．已知,a b R ∈，0h >．设命题甲：,a b 满足||2a b h -<；命题乙：|1|a h -<且|1|b h -<，那么甲是乙的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分条件也不必要条件2．B |1|a h -<，|1|b h -<，则|1||1|2a b h -+-<，而|1||1|||a b a b -+-≥-， 即||2a b h -<；命题甲：||2a b h -<不能推出命题乙：|1|a h -<且|1|b h -<．3．证明11111234212n n ++++⋅⋅⋅+>- ()n N *∈ ，假设n k =时成立，当1n k =+时，左端增加的项数是（ ）． A ．1项B ．1k -项C ．k 项D ．2k 项3．D 从12121k k +-→-增加的项数是2k ．4．如果|2||5|x x a -++>恒成立，则a 的取值范围是 ．4．7a < |2||5|7x x -++≥，而|2||5|x x a -++>恒成立，则7a >，即7a <．5．已知函数()log ()m f x m x =-在区间[3,5]上的最大值比最小值大1，则实数m = ．5．36+ 显然0m x ->，而[3,5]x ∈，则5m >，得[3,5]是函数()log ()m f x m x =-的递减区间，max ()log (3)m f x m =-，min ()log (5)m f x m =-，即log (3)log (5)1m m m m ---=，得2630m m -+=， 36m =±，而1m >，则36m =+．6．要制作如图所示的铝合金窗架，当窗户采光面积为一常数S 时（中间横梁面积忽略不计），要使所用的铝合金材料最省，窗户的宽AB 与高AD 的比应为 ．6．2:3 设宽AB 为x ，高AD 为y ，则xy S =，所用的铝合金材料为32x y +，322626x y xy S +≥=，此时32x y =，:2:3x y =．7．若01a b <<<，试比较1m a a =+与1n b b=+的大小． 7．解：1111()()()()b a m n a b a b a b a b a b ab--=+-+=-+-=-+， 即1()(1)m n a b ab -=--，而01a b <<<，则101,1ab ab<<>， 得10,10a b ab -<-<，即0m n ->，所以m n >． 8．已知0c >，设P ：函数x y c =在R 上单调递减，Q ：不等式|2|1x x c +->的解集 为R ．如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围．8．解：∵x y c =在R 上单调递减，∴01c <<，又∵22(2)|2|2(2)x c x c x x c cx c -≥⎧+-=⎨<⎩的最小值是2c ，∴21c >，即12c >， 由题设，当P 为真Q 为假时，有01c <<，且102c <≤， ∴102c <≤；当P 为假Q 为真时，有1c ≥且12c >，∴1c ≥．故c 的取值范围是1(0,][1,)2+∞．作 者 李传牛 工作单位 海南省海口市第十四中学 邮政编码 570311 联系手机 QQ 交流。

盘县第五中学高二数学选修4—5不等式选讲测试题（命题教师：晏波 时间90分钟 总分120分）一、选择题 （每题4分 共48分）1．若b a >，c 为实数，下列不等式成立是（ ）．A bc ac >B bc ac <C 22bc ac > D 22bc ac ≥2．若a ，b 是实数，且b a >，则下列结论成立的是（ ）.A. b a )21()21(<B. 1<abC. 0)lg(>-b aD. 22b a >3．若0<a ，01<<-b ，则（ ）.A. 2ab ab a >> B. a ab ab >>2C. 2ab b ab >> D. a ab ab >>24．不等式│3-x │＜2的解集是（ ）．A {x │x ＞5或x ＜1}B {x │1＜x ＜5}C {x │-5＜x ＜-1}D {x │x ＞1} 5. 不等式21x -<的解集为（ ）.A {|13}x x <<B {|02}x x <<C {|12}x x <<D {|23}x x << 6．不等式1≤│2x -7│＜3的解集是（ ）．A {x │4≤x ＜5}B {x │x ≥4或x ≤5}C {x │2＜x ≤3或4≤x ＜5}D {x │x ≤3或x ＞2}7．如果（a +1）x ＞a +1的解集是x ＜1，则a 必须满足（ ）．A a ＜0B a ≤-1C a ＞-1D a ＜-1 8．函数344)(23+++=ax ax x x f 的定义域是（),∞+∞-，则实数a 的取值范围是（ ）. A. )43,0(B. )43,0[C. ),41(+∞ D. ),(+∞-∞9．不等式（x +5）（3－2x ）≥6的解集是（ ）. A. ]1,(--∞),29[+∞ B. ]29,1[-C. ),1[]29,(+∞--∞D. ]1,29[-10．设二次不等式），的解集是（31102->++c bx ax ，则a b =（ ）. A. －6B. －5C. 6D. 511.设,a b R ∈，若||0a b ->，则下列不等式中正确的是（ ）. A 、0b a -> B 、330a b +> C 、220a b -< D 、0b a +> 12.不等式22x x -<的解集为( ).Ａ ()1,2- Ｂ ()1,1- Ｃ ()2,1- Ｄ ()2,2-二． 填空题（每题4分 共40分）1．当0＜x ＜1时，x 2，x ，x1的大小关系是 . 2．│x +3│＞4的解集是 .3．若│x -1│＜3，化简│x -4│+│x +2│得 . 4．数集{2a ，a a -2}中，a 的取值范围是 ． 5．若函数)8(6)(2++-=k kx kx x f 的定义域是R ，则k 的取值范围是 .6．不等式（1－|x |）（x +1）>0的解集是 .7.不等式0)1()52()1)(3()52()2(223>-++-+-x x x x x x 的解集是 .8．不等式11x<的解为 .9．对于x R ∈，不等式1028x x +--≥的解集为 .10．已知集合{}|12,A x R x Z =∈-<为整数集，则集合A Z ⋂中所有元素的和等于.三．解答题（共32分）1．求解下列不等式.（每题5分 共20分）（1）1028x x +--≥. （2）(23)(34)0(2)(21)x x x x -->--（3）1230123x x x +->--- （4）221(1)(2)x x x -<+-2 . （本题12分）已知函数)(x f =|x -2||-x -5|． （1）证明：3-≤)(x f ≤3；（2）求不等式)(x f ≥x 28-x +15的解集．盘县第五中学高二数学选修4—5不等式选讲测试题（参考答案）一．选择题二．填空题 1.xx x 12<< ， 2. 1{>x x 或7-<x } ，3. 6 ，4. a ≠3且a ≠0 ，5. ［0，1］ 6 .()1,1()1,--∞- ， 7. ),3()2,1()1,25()25,+∞---∞- ，8. 0x <或1x > ，9. }0{≥x x ，10. 3. 三．解答题1.求解下列不等式. （1）}0{≥x x , (2) }2233421{><<<x x x x 或或 ,(3) }32231{><<<x x x x 或或 （4）}02{>-<x x x 或2. (1) f (x ) =|x ﹣2|﹣|x ﹣5|=32272535x xx x ≤⎧⎪⎨⎪≥⎩﹣﹣＜＜当2＜x ＜5时，﹣3≤2x ﹣7≤3 所以，﹣3≤f (x )≤3(2)由(Ⅰ)可知当x ≤2时，f (x )≥x 2﹣8x +15的解集为空集； 当2＜x ＜5时，f (x )≥x 2﹣8x +15的解集为{x |5x ≤5} 当x ≥5时，f (x )≥x 2﹣8x +15的解集为{x |5≤x ≤6}。

数学不等式选讲试题答案及解析1.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知，.（1）求的最小值；（2）证明：.【答案】（1）3（2）见解析【解析】（Ⅰ）因为，，所以，即，当且仅当时，取最小值3． 5分（Ⅱ）．又，所以． 10分2.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若对恒成立，求的取值范围。

【答案】（1）或（2）或【解析】（1）当时，不等式为，所以或或，解得或． 4分故不等式的解集为或． 5分．（2）因为（当时等号成立）， 8分所以．由题意得，解得或． 10分【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式等基础知识，意在考查基本运算求解能力.3.已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋2≥6，并确定a、b、c为何值时，等号成立．【答案】a＝b＝c＝3时，原不等式等号成立．【解析】因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，(2分)所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，①同理＋＋≥＋＋，②(4分)故a2＋b2＋c2＋2≥ab＋bc＋ac＋3＋3＋3≥6.③所以原不等式成立．(8分)当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c＝3时，原不等式等号成立．(10分)4.已知实数x、y、z满足x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)，且x＋y＋z的最大值是1，求a的值．【答案】【解析】由柯西不等式知：[x2＋(2y)2＋(3z)2][12＋()2＋()2]≥(x＋×2y＋×3z)2(当且仅当x＝4y＝9z时取等号)．因为x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)，所以a≥(x＋y＋z)2，即－≤x＋y＋z≤.因为x＋y＋z的最大值是1，所以＝1，a＝，所以当x＝，y＝，z＝时，x＋y＋z取最大值1，所以a的值为.点评：用柯西不等式证明或求值时要注意两点，一是所给不等式的形式是否和柯西不等式的形式一致，若不一致，需要将所给式子变形；二要注意等号成立的条件．5.在实数范围内，不等式的解集为___________.【答案】【解析】因此解集为.【考点】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运用能力.6.若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．【答案】－2≤a≤4【解析】本题考查了不等式解法的相关知识，解题的突破口是理解不等式的几何意义．|x－a|＋|x－1|≤3表示的几何意义是在数轴上一点x到1的距离与到a的距离之和小于或等于3个单位长度，此时我们可以以1为原点找离此点小于或等于3个单位长度的点即为a的取值范围，不难发现－2≤a≤4.7.不等式|2x＋1|－2|x－1|＞0的解集为________．【答案】【解析】考查解含绝对值不等式，此题的关键是转化为|2x＋1|>2|x－1|，再两边平方，轻松求解．不等式转化为|2x＋1|>2|x－1|，两边平方得(2x＋1)2>4(x－1)2，化简得4x>1，解得x> ，故解集为.8.设函数（1）当时，求不等式的解集；(2)如果不等式的解集为，求的值。

年24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲已知函数()12,0f x x x a a =+--> .
（I ）当1a = 时求不等式()1f x > 的解集；（II ）若()f x 图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.
24．（本小题满分10分）选修4 - 5：不等式选讲设a ，b ，c ，d 均为正数，且a + b = c + d ，证明：
（1）若ab > cd ；则a b c d +>+； （2）a b c d +>+是||||a b c d -<-的充要条件。

（24）（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲若,0,0>>b a 且
ab b a =+11 （I ）求33b a +的最小值；（II ）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由.
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数f （x ）=|x+
a
1|+|x-a|(a>0)。

（I ）证明：f （x ）≥2；（II ）若f （3）<5，求a 的取值范围。

24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数|2|||)(-++=x a x x f .
(Ⅰ) 当3a =-时，求不等式3)(≥x f 的解集； (Ⅱ) |4|)(-≤x x f 的解集包含]2,1[，求a 的取值范围.
（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲已知函数f (x )= ∣x +1∣-∣2x -3∣.
（I ）在答题卡第（24）题图中画出y = f (x )的图像；（II ）求不等式∣f (x )∣﹥1的解集。

高考真题选修不等式选讲Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】选修4-5 不等式选讲考点不等式选讲1.（2017?新课标Ⅰ,23）已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（10分）(1)当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；(2)若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．1.（1）解：当a=1时，f（x）=﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x= 的二次函数，g（x）=|x+1|+|x﹣1|= ，当x∈（1，+∞）时，令﹣x2+x+4=2x，解得x= ，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1，]；当x∈[﹣1，1]时，g（x）=2，f（x）≥f（﹣1）=2．当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g （﹣1）=f（﹣1）=2．综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，]；（2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需，解得﹣1≤a≤1，故a的取值范围是[﹣1，1]．2.（2017?新课标Ⅱ,23）已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明：（Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4；（Ⅱ）a+b≤2．2.证明：（Ⅰ）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（+）2=（a3+b3）2≥4，当且仅当= ，即a=b=1时取等号，（Ⅱ）∵a3+b3=2，∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2，∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2，∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2，∴=ab，由均值不等式可得：=ab≤（）2，∴（a+b）3﹣2≤ ，∴（a+b）3≤2，∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．3.（2017?新课标Ⅲ,23）已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．3.（Ⅰ）∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|= ，f（x）≥1，∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．（Ⅱ）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x．由（1）知，g（x）= ，当x≤﹣1时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x= ＞﹣1，∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x= ∈（﹣1，2），∴g（x）≤g（）=﹣+ ﹣1= ；当x≥2时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x= ＜2，∴g（x）≤g（2）=﹣4+2=3=1；综上，g（x）max= ，∴m的取值范围为（﹣∞，]．4.（2017?江苏,21D）已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．4. 证明：∵a 2+b 2=4，c 2+d 2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos （α﹣β）≤8．当且仅当cos （α﹣β）=1时取等号． 因此ac+bd≤8．5.(2016·全国Ⅰ，24)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)在图中画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集.5.解(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤ 32，－x ＋4，x >32，y ＝f (x )的图象如图所示.(2)当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5，故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13或x >5.所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13或1<x <3或x >5.6.(2016·全国Ⅲ，24)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围.6.解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3.因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}.(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.① 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解. 当a ＞1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞).7.(2016·全国Ⅱ，24)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集. (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.7.(1)解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时,由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1,所以,-1<x ≤-12；当-12<x <12时，f (x )<2； 当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1，所以，-12<x <1.所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}.(2)证明 由(1)知，当a ,b ∈M 时,-1<a <1,-1<b <1,从而(a ＋b )2-(1＋ab )2＝a 2＋b 2-a 2b 2-1＝(a 2-1)(1-b 2)<0，即(a ＋b )2<(1＋ab )2，因此|a ＋b |<|1＋ab |.8.(2015·重庆，16)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝________.或－6 [由绝对值的性质知f (x )的最小值在x ＝-1或x ＝a 时取得,若f (-1)＝2|－1-a |＝5,a ＝32或a ＝－72，经检验均不合适；若f (a )＝5，则|x ＋1|＝5，a ＝4或a ＝－6，经检验合题意，因此a ＝4或a ＝－6.]9.(2015·陕西，24)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}.(1)求实数a ，b 的值； (2)求at ＋12＋bt 的最大值.9.解(1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤[（3）2＋12][（4－t ）2＋（t ）2]＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立，故(－3t ＋12＋t )max＝4.10.(2015·新课标全国Ⅰ，24)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 10.解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪23<x <2.(2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫2a －13，0,B (2a ＋1,0),C (a ,a +1)， △ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞).11.(2015·新课标全国Ⅱ，24)设a 、b 、c 、d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：(1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ；(2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件.11.证明 (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab ＞cd 得(a ＋b )2＞(c ＋d )2.因此a ＋b ＞c ＋d .(2)①若|a －b |＜|c －d |，则(a －b )2＜(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd .由(1)得a ＋b ＞c ＋d . ②若a ＋b ＞c ＋d ，则(a ＋b )2＞(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd ，于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2.因此|a －b |＜|c －d |.综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件.12.(2014·广东，9)不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________.12.{x |x ≤－3或x ≥2} [原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，（x －1）＋（x ＋2）≥5或⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <1，－（x －1）＋（x ＋2）≥5或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－（x －1）－（x ＋2）≥5，解得x ≥2或x ≤－3.故原不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}.]13.(2014·湖南，13)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－53<x <13，则a ＝________.13.－3 [依题意，知a ≠0.|ax －2|<3?－3<ax －2<3?－1<ax <5，当a >0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，5a ，从而有⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝13，－1a ＝－53，此方程组无解.当a <0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫5a，－1a ，从而有⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝－53，－1a ＝13，解得a ＝－3.]14.(2014·重庆，16)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________.[令f (x )＝|2x -1|＋|x +2|,易求得f (x )min ＝52,依题意得a 2+12a +2≤52?-1≤a ≤12.]15.(2014·新课标全国Ⅱ，24)设函数f (x )＝|x ＋1a|＋|x －a |(a >0).(1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围.15.(1)证明 由a >0，有f (x )＝|x ＋1a |＋|x －a |≥|x ＋1a－(x －a )|＝1a＋a ≥2.所以f (x )≥2.(2)解 f (3)＝|3＋1a |＋|3－a |.当a >3时，f (3)＝a ＋1a，由f (3)<5得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5得1＋52＜a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋52，5＋21216.(2014·天津，19)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合M ＝{0,1,2，…，q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n －1，x i ∈M ，i ＝1,2，…，n }.(1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A ；(2)设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，其中a i ，b i ∈M ，i ＝1,2，…，n .证明：若a n <b n ，则s <t .16.(1)解当q＝2,n＝3时,M＝{0,1},A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22,x i∈M,i＝1,2,3}.可得,A＝{0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)证明由s,t∈A,s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，ai，b i∈M，i＝1，2，…，n及a n<b n,可得s-t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(a n－1－b n－1)q n－2＋(a n－b n)q n－1≤(q-1)＋(q-1)q+…+(q-1)·q n－2－q n－1＝（q－1）（1－q n－1）1－q－q n－1＝-1<0.所以，s<t.。

高中数学选修不等式选讲检测卷（学霸使用）一、选择题（共12小题；共48分）1. 设x，y，z是非负实数，且9x2+12y2+5z2=9，则3x+6y+5z的最大值为 A. 9B. 10C. 14D. 152. 用数学归纳法证明1+12+13+⋯+12−1<n n∈N∗,n>1时，第一步应验证不等式 A. 1+12<2 B. 1+12+13<2 C. 1+12+13<3 D. 1+12+13+14<33. 高二某班举行投篮比赛，规定每组派三人参赛，第一人投5 min，第二人投3 min，第三人投2 min．已知第二组的三名选手A,B,C每分钟可投进球的个数分别为4,3,6，则该组最多可投进球的个数是 A. 42B. 46C. 48D. 514. 若直线xa +yb=1a>0,b>0过点1,1，则a+b的最小值等于 A. 2B. 3C. 4D. 55. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度时”，反设正确的是 A. 假设三内角都不大于60度B. 假设三内角至多有一个大于60度C. 假设三内角都大于60度D. 假设三内角至多有两个大于60度6. 若不等式x2+∣2x−6∣≥a对于一切实数x均成立，则实数a的最大值是 A. 7B. 9C. 5D. 117. 有一长为16 m的篱笆，要围一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为 A. 32 m2B. 14 m2C. 16 m2D. 18 m28. 已知a,b∈R，则使不等式∣a+b∣<∣a∣+∣b∣一定成立的条件是 A. a+b>0B. a+b<0C. ab>0D. ab<09. 已知a，b，c∈R，且a>b>c，设S=a−c，T=3a−b b−c，则S+T与4的大小关系是 A. S+T<4B. S+T>4C. S+T≤4D. 不确定10. 设m=n=−，p=−m，n，p的大小关系是 A. m<p<nB. m<n<pC. n<p<mD. n<m<p11. 若m=3+5，n=2+6，则下列结论正确的是 A. m<nB. n<mC. n=mD. 不能确定m，n的大小12. 已知a，b，c，d均为正数，S=aa+b+c +ba+b+d+cc+d+a+dc+d+b，则 A. 0<S<1B. 1<S<2C. 2<S<3D. 3<S<4二、填空题（共8小题；共32分）13. 若 f x = x −a x −b + x −b x −c + x −c x −a ，其中 a ≤b ≤c ，对于下列结论：①f b ≤0；②若 b =a +c 2，则 ∀x ∈R ，f x ≥f b ；③若 b ≤a +c 2，则 f a ≤f c ；④f a =f c 成立的充要条件为 b =0．其中正确的是 ．（填所有你认为正确的序号） 14. 已知 x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6∈R ，y 1，y 2，y 3，y 4，y 5，y 6 是 x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6 的任一排列，则 x 1y 1+x 2y 2+x 3y 3+x 4y 4+x 5y 5+x 6y 6 不会超过 ．15. 如图，建立平面直角坐标系 xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为 1 km ，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程 y =kx −120 1+k 2 x 2 k >0 表示的曲线上，其中 k 与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．那么炮的最大射程为 km ．16. 已知 ∣a ∣≠∣b ∣，m =∣a∣−∣b∣∣a−b∣，n =∣a∣+∣b∣∣a +b∣，则 m ，n 之间的大小关系是 ．17. 若 x ,y ∈ 0,+∞ ，则xy +yzx +y +z 的最大值是 ．18. 已知函数 f x =ax 2+bx ，且 1<f −1 ≤2，2≤f 1 <4，则 f −2 的取值范围为 ．19. f n =1−12+13−14+⋯+12n−1 n ∈N ∗,n >1 ，从 n =k 到 n =k +1 左端需增加的项为 ．（不用化简）20. 关于 x 的不等式 ∣x −2∣+∣x −8∣≥a 在 R 上恒成立，则 a 的最大值为 ．三、解答题（共6小题；共70分）21. 某造纸厂拟建一座底面形状为矩形且面积为 162 平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周的围墙建造单价为 400 元/米，中间两道隔墙建造单价为 248 元/米，池底建造单价为 80 元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计．（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；（2）若由于地形限制，该水池的长和宽都不能超过 16 米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．22. 已知 x >0，y >0，且 2x +8y −xy =0．（1）求 xy 的最小值； （2）求 x +y 的最小值．23. 若 0<a <1b ，求证：b −b 2<1a +1．24. 已知 a ，b ∈R ，a +b =1，求证： a +b 2+ b +2 2≥252．25. 已知 a >0，b >0，a +b >2，求证：1+b a，1+a b至少有一个小于 2．26. 设x，y，z为正数，求证：2x3+y3+z3≥x2y+z+y2x+z+z2x+y．答案第一部分 1. A【解析】因为3x +6y +5z 2= 1×3x + 3×2 3y + 5× 5z 2≤ 9x 2+12y 2+5z 2 1+3+5 =9×9， 所以 3x +6y +5z ≤9，当且仅当 3x1= 3y 3= 5z5，即 3x =2y =z 时，等号成立．2. B3. C【解析】由排序不等式可知，该组最多可投进球的个数是 5×6+3×4+2×3=48．4. C【解析】通解 因为直线 xa+y b =1 a >0,b >0 过点 1,1 ，所以 1a +1b =1，所以 1=1a +1b ≥2 1a ⋅1b =ab（当且仅当 a =b 时取等号），所以 ≥2．又 a +b ≥2 a =b 时取等号）， 所以 a +b ≥4（当且仅当 a =b =2 时取等号）． 优解 因为直线 xa +yb =1 a >0,b >0 过点 1,1 ， 所以 1a+1b =1，所以 a +b = a +b 1a +1b =2+a b +b a ≥2+2 a b ⋅ba =4（当且仅当 a =b =2 时取等号）．5. C【解析】根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的三个内角都大于 60∘． 6. C【解析】令 f x =x 2+∣2x −6∣．当 x ≥3 时，f x =x 2+2x −6= x +1 2−7≥9；当x <3 时，f x =x 2−2x +6= x −1 2+5≥5．综上可知，f x 的最小值为 5，故原不等式恒成立只需 a ≥5 即可，即 a 的最大值为 5． 7. C8. D9. B【解析】因为 a >b >c ，所以 a −b >0，b −c >0，S +T=a −c +3a −b b −c= a −b + b −c +3 a −b b −c≥3 33= 813>4.10. C11. B 【解析】因为 m = 3+ 5，所以 m 2=8+2 15．因为 n = 2+ 6，所以 n 2=8+2 12，所以 m 2>n 2，所以 m >n ．12. B 【解析】S <aa +b +ba +b +cc +d +dc +d =2， S >aa +b +c +d +ba +b +c +d +ca +b +c +d +da +b +c +d =1， 所以 1<S <2． 第二部分13. ①②③14. x22+x22+x33+x44+x55+x66【解析】由排序不等式知，顺序和最大．15. 10【解析】令y=0，得kx−1201+k2x2=0，由实际意义和题设条件知x>0，k>0，故x=20k1+k2=20 k+1k ≤202=10，当且仅当k=1时取等号，所以炮的最大射程为10 km．16. m≤n【解析】因为∣a∣−∣b∣≤∣a−b∣，且∣a∣≠∣b∣，所以∣a∣−∣b∣∣a−b∣≤1，即m≤1．又因为∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣，所以∣a∣+∣b∣∣a+b∣≥1，即n≥1，所以m≤n．17. 22【解析】xy+yzx2+y2+z2=xy+yzx2+y22+y22+z2≤2x2⋅y2+2y2⋅z2=22.18. 5,10【解析】易知f−2=f1+3f−1．又因为1<f−1≤2，2≤f1<4，所以5<3f−1+f1<10，故5<f−2<10．故f−2的取值范围为5,10．19. 12k+1−12k+220. 6【解析】由绝对值的性质得f x=∣x−2∣+∣x−8∣≥∣x−2−x−8∣=6，所以f x最小值为6，从而6≥a，解得a≤6，因此a的最大值为6．第三部分21. （1）设污水处理池的宽为x米，则长为162x米．总造价f x=400×2x+2×162+248×2x+80×162=1296x+1296×100x+12960=1296 x+100+12960≥1296×2x⋅100+12960=38880,当且仅当x=100xx>0，即x=10时取等号．所以当污水处理池的长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38880元．（2）由限制条件知0<x≤16,0<162x≤16,，所以818≤x≤16．设g x=x+100x 818≤x≤16，则gʹx=1−100x2，因为gʹx=1−100x 在818,16上恒大于零，故g x在818,16上是增函数，所以当x=818时（此时162x=16），g x取最小值，即f x取最小值，为1296×818+80081+12960=38882．所以当污水处理池的长为16米，宽为818米时总造价最低，最低总造价为38882元．22. （1）由2x+8y−xy=0，得8x +2y=1．又x>0，y>0，则1=8x +2y≥28x⋅2y=xy，得xy≥64，当且仅当x=16，y=4时，等号成立．所以xy的最小值为64．（2）由2x+8y−xy=0，得8x +2y=1．则x+y=8+2⋅x+y=10+2xy+8yx≥10+22x⋅8y=18,当且仅当x=12，y=6时等号成立，所以x+y的最小值为18．23. 因为1a+1>11+1=bb+1． ⋯⋯①又b2>0，所以1>1−b2．由1+b>0，得11+b>1−b．所以b1+b>b−b2． ⋯⋯②由①②知1a+1>b−b2，即b−b2<1a+1．24. 要证原不等式成立，只需证a+22+1−a+22≥252，只需证a2+4a+4+a2−6a+9≥252，只需证2a2−2a+12≥0，只需证2 a−122≥0．而上式显然成立，故原不等式得证．25. 假设1+ba ，1+ab都不小于2，则1+ba ≥2，1+ab≥2．因为a>0，b>0，所以1+b≥2a，1+a≥2b．所以1+b+1+a≥2a+2b，即2≥a+b与已知矛盾．所以1+ba ，1+ab中至少有一个小于2．26. 因为x2+y2≥2xy≥0，所以x3+y3=x+y x2−xy+y2≥xy x+y⋯①．同理y3+z3≥yz y+z⋯②同理z3+x3≥zx z+x⋯③，三式相加即可得2x3+y3+z3≥xy x+y+yz y+z+zx z+x，又因为xy x+y+yz y+z+zx z+x=x2y+z+y2x+z+z2x+y，所以2x3+y3+z3≥x2y+z+y2x+z+z2x+y．。