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2018-2019年最新汕头中学自主招生考试数学模拟精品试卷（第一套）考试时间：90分钟总分：150分一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共36分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请你把正确选项前的字母填涂在答题卷中相应的格子内．注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．1．下列事件中，必然事件是( )A．掷一枚硬币，正面朝上B．a是实数，|a|≥0C．某运动员跳高的最好成绩是20.1米D．从车间刚生产的产品中任意抽取一个，是次品2、如图是奥迪汽车的标志，则标志图中所包含的图形变换没有的是（）A．平移变换 B．轴对称变换 C．旋转变换 D．相似变换3．如果□×3ab＝3a2b，则□内应填的代数式( )A．ab B．3ab C．a D．3a4．一元二次方程x(x－2)＝0根的情况是( )A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根5、割圆术是我国古代数学家刘徽创造的一种求周长和面积的方法：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周O长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。
试用这个方法解决问题：如图，⊙的内接多边形周长为3 ，⊙O 的外切多边形周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是（ ） A．10D6、今年5月，我校举行“庆五四”歌咏比赛，有17位同学参加选拔赛，所得分数互不相同，按成绩取前8名进入决赛，若知道某同学分数，要判断他能否进入决赛，只需知道17位同学分数的（ ） A.中位数 B.众数 C.平均数 D.方差7．如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可能是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －3>0 B. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，3－x >0C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，x －3>0 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，3－x >08．已知二次函数的图象(0≤x ≤3)如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( )A ．有最小值0，有最大值3B ．有最小值－1，有最大值0C ．有最小值－1，有最大值3D ．有最小值－1，无最大值9．如图，矩形OABC 的边OA 长为2 ，边AB 长为1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是( )主视方向A ．2.5B ．2 2 C.3 D. 510．广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x 2＋4x (单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )A ．4米B ．3米C ．2米D ．1米 11、两个大小不同的球在水平面上靠在一起，组成如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（ ）（A ）两个外离的圆 （B ）两个外切的圆（C ）两个相交的圆 （D ）两个内切的圆12．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b 2－4ac >0； ②abc >0； ③8a ＋c >0； ④9a ＋3b ＋c <0.其中，正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题（本小题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案13．当x ______时，分式13－x有意义．14．在实数范围内分解因式：2a 3－16a ＝________.15．在日本核电站事故期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘－131，其浓度为0.0000963贝克/立方米．数据“0.0000963”用科学记数法可表示为________．16．如图，C 岛在A 岛的北偏东60°方向，在B 岛的北偏西45°方向，则从C 岛看A 、B 两岛的视角∠ACB ＝________.17．若一次函数y ＝(2m －1)x ＋3－2m 的图象经过 一、二、四象限，则m 的取值范围是________．18．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形有________个小圆. (用含 n 的代数式表示)三、解答题（本大题7个小题，共90分）19．（本题共2个小题，每题8分，共16分） （1）.计算：(2011－1)0＋18sin45°－2－1（2）．先化简，再计算： x 2－1x 2＋x ÷⎝⎛⎭⎪⎫x －2x －1x ，其中x 是一元二次方程x 2－2x －2＝0的正数根．20．（本题共2个小题，每题6分，共12分）（1）.如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为(x2＋17) cm，正六边形的边长为(x2＋2x) cm(其中x>0)．求这两段铁丝的总长．（2）．描述证明海宝在研究数学问题时发现了一个有趣的现象：将上图横线处补充完整，并加以证明．21．（本题12分）某初中学校欲向高一级学校推荐一名学生，根据规定的推荐程序：首先由本年级200名学生民主投票，每人只能推荐一人(不设弃权票)，选出了票数最多的甲、乙、丙三人．票数结果统计如图一：其次，对三名候选人进行了笔试和面试两项测试．各项成绩如下表所示：面试859580图二是某同学根据上表绘制的一个不完全的条形图．请你根据以上信息解答下列问题：(1)补全图一和图二；(2)请计算每名候选人的得票数；(3)若每名候选人得一票记1分，投票、笔试、面试三项得分按照2∶5∶3的比确定，计算三名候选人的平均成绩，成绩高的将被录取，应该录取谁？22．（本题12分）如图，已知直线AB与x轴交于点C，与双曲线y＝kx交于A(3，203)、B(－5，a)两点．AD⊥x轴于点D，BE∥x轴且与y轴交于点E.(1)求点B的坐标及直线AB的解析式；(2)判断四边形CBED的形状，并说明理由．23、（本题12分）如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，点D在⊙O上，AD⊥AB于点A， AD与BC交于点E，F在DA的延长线上，且AF=AE．（1）试判断BF与⊙O的位置关系，并说明理由；(2）若⊙O的半径为2．∠F=60，求弓形AB的面积24．（本题12分）已知双曲线y ＝kx与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交于A (2,3)、B (m,2)、c (－3，n )三点．(1)求双曲线与抛物线的解析式；(2)在平面直角坐标系中描出点A 、点B 、点C ，并求出△ABC 的面积．25．（本题共2个小题，每题7分，共14分） （1）观察下列算式：① 1 × 3－22＝3－4＝－1 ② 2 × 4－32＝8－9＝－1 ③ 3 × 5－42＝15－16＝－1 ④ __________________________ ……(1)请你按以上规律写出第4个算式； (2)把这个规律用含字母的式子表示出来；(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．（2）如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点. 已知反比例函数y＝kx(k >0)的图象经过点A (2，m )，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，且△AOB 的面积为12.(1)求k 和m 的值；(2)点C (x ，y )在反比例函数y ＝kx的图象上，求当1≤x ≤3时函数值y 的取值范围；(3)过原点O 的直线l 与反比例函数y ＝kx的图象交于P 、Q 两点，试根据图象直接写出线段PQ 长度的最小值.2018-2019年最新汕头中学自主招生考试数学模拟精品试卷答案（第一套）1.答案 B解析 据绝对值的意义，一个数的绝对值是一个非负数，|a |≥0.2.C3.答案 C解析 □＝3a 2b ÷3ab ＝a . 4.答案 A解析 x (x －2)＝0，x ＝0或x －2＝0，x 1＝0，x 2＝2，方程有两个不相等的实数根．5.C6.A7.答案 B 解析 观察数轴，可知－1<x <3，只有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，3－x >0的解集为－1<x <3.8.答案 C解析 当0≤x ≤3时，观察图象，可得图象上最低点(1，－1)，最高点(3,3)，函数有最小值－1，最大值3.9.答案 D解析 在Rt △OAB 中，∠OAB ＝90°，所以OB ＝12＋22＝ 5 10.答案 A解析 y ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，抛物线开口向下，函数有最大值4.11.D 12.答案 D解析 由图知：抛物线与x 轴有两个不同的交点，则△＝b 2－4ac >0，故①正确．抛物线开口向上，得a >0；又对称轴为直线x ＝－b2a＝1，b ＝－2a <0.抛物线交y 轴于负半轴，得 c <0，所以abc >0，②正确．根据图象，可知当x ＝－2时，y >0，即4a －2b ＋c >0，把b ＝－2a 代入，得4a －2(－2a )＋c ＝8a ＋c >0，故③正确．当x ＝－1时，y <0，所以x ＝3时，也有y <0，即9a ＋3b ＋c <0，故④正确．二．填空题 13.答案 ≠3解析 因为分式有意义，所以3－x ≠0，即x ≠3. 14.答案 2a (a ＋2 2)(a －2 2) 15.答案 9.63×10－5解析 0.0000963＝9.63×10－5. 16.答案 105°解析 如图，∵(60°＋∠CAB )＋(45°＋∠ABC )＝180°，∴∠CAB ＋∠ABC ＝75°，在△ABC 中，得∠C ＝105°.17.答案 m <12解析 因为直线经过第一、二、四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m －1<0，3－2m >0，解之，得m <12.18.答案 n (n ＋1)＋4或n 2＋n ＋4解析 第1个图形有2＋4＝(1×2＋4)个小圆，第2个图形6＋4＝(2×3＋4)个小圆，第3个图形有12＋4＝(3×4＋4)个小圆，……第n 个图形有[n (n ＋1)＋4]个小圆．三、解答题（本大题7个小题，共90分） 19．（本题共2个小题，每题8分，共16分）（1）.解：原式＝1＋3 2×22－12＝312.（2）解：原式＝x ＋1x －1x x ＋1÷x 2－2x ＋1x ＝x －1x ·xx －12＝1x －1. 解方程得x 2－2x －2＝0得， x 1＝1＋3>0，x 2＝1－3<0. 当x ＝1＋3时，原式＝11＋3－1＝13＝33.20.（1）.解：由已知得，正五边形周长为5(x 2＋17) cm ，正六边形周长为6(x 2＋2x ) cm.因为正五边形和正六边形的周长相等， 所以5(x 2＋17)＝6(x 2＋2x )．整理得x 2＋12x －85＝0，配方得(x ＋6)2＝121， 解得x 1＝5，x 2＝－17(舍去)．故正五边形的周长为5×(52＋17)＝210(cm)．又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420 cm. 答：这两段铁丝的总长为420 cm.（2）解：如果a b ＋ba ＋2＝ab ，那么a ＋b ＝ab .证明：∵a b ＋b a ＋2＝ab ，∴a 2＋b 2＋2abab＝ab ，∴a 2＋b 2＋2ab ＝(ab )2，∴(a ＋b )2＝(ab )2， ∵a >0，b >0，a ＋b >0，ab >0， ∴a ＋b ＝ab .21.解：(1)乙30%；图二略．(2)甲的票数是：200×34%＝68(票)， 乙的票数是：200×30%＝60(票)， 丙的票数是：200×28%＝56(票)，(3)甲的平均成绩：x 1＝68×2＋92×5＋85×32＋5＋3＝85.1，乙的平均成绩：x 2＝60×2＋90×5＋95×32＋5＋3＝85.5，丙的平均成绩：x 3＝56×2＋95×5＋80×32＋5＋3＝82.7，∵乙的平均成绩最高，∴应该录取乙．22.解：(1)∵双曲线y ＝k x 过A (3，203)，∴k ＝20.把B (－5，a )代入y ＝20x，得a ＝－4.∴点B 的坐标是(－5，－4). 设直线AB 的解析式为y ＝mx ＋n ，将 A (3，203)、B (－5，－4)代入得，⎩⎨⎧203＝3m ＋n ，－4＝－5m ＋n ，解得：m ＝43，n ＝83.∴直线AB 的解析式为：y ＝43x ＋83.(2)四边形CBED 是菱形．理由如下：易求得点D 的坐标是(3,0)，点C 的坐标是(－2,0)． ∵ BE //x 轴， ∴点E 的坐标是(0，－4)． 而CD ＝5, BE ＝5, 且BE //CD . ∴四边形CBED 是平行四边形. 在Rt △OED 中，ED 2＝OE 2＋OD 2, ∴ ED ＝32＋42＝5，∴ED ＝CD . ∴四边形CBED 是菱形.23.解：证明：（1）BF 与⊙O 相切，连接OB 、OA ，连接BD ， ∵AD ⊥AB ，∴∠BAD=90°， ∴BD 是直径，∴BD 过圆心.∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C ， ∵∠C=∠D ，∴∠ABC=∠D ， ∵AD ⊥AB ，∴∠ABD+∠D=90°， ∵AF=AE ，∴∠EBA=∠FBA ， ∴∠ABD+∠FBA=90°，∴OB ⊥BF ， ∴BF 是⊙O 切线.(2)∵∠F=600，∴∠D=900-∠F=300,∴∠AOB=600,∴△AOB 为等边三角形..S 弓形AB=3322433602602020-=⨯-ππ.24.解：(1)把点A (2,3)代入y ＝kx得：k ＝6.∴反比例函数的解析式为：y ＝6x.把点B (m,2)、C (－3，n )分别代入y ＝6x得： m ＝3，n ＝－2.把A (2,3)、B (3,2)、C (－3，－2)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c 得：⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝3，9a ＋3b ＋c ＝2，9a －3b ＋c ＝－2，解之得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝23，c ＝3.∴抛物线的解析式为：y ＝－13x 2＋23x ＋3.(2)描点画图(如图)：S △ABC ＝12(1＋6)×5－12×1×1－12×6×4＝352－12－12＝5.25.（1）.解：(1)4×6－52＝24－25＝－1.(2)答案不唯一．如n ()n ＋2－()n ＋12＝－1.(3)n ()n ＋2－()n ＋12 ＝n 2＋2n －()n 2＋2n ＋1 ＝n 2＋2n －n 2－2n －1 ＝－1. 所以一定成立．（2）解：(1)∵A (2，m )，∴OB ＝2，AB ＝m ，∴S △A OB ＝12OB ·AB ＝12×2×m ＝12，∴m ＝12.∴点A 的坐标为(2，12)．把A (2，12)代入y ＝k x ，得12＝k2，∴k ＝1.(2)∵当x ＝1时，y ＝1；当x ＝3时，y ＝13，又∵反比例函数y ＝1x在x >0时，y 随x 的增大而减小，∴当1≤x ≤3时，y 的取值范围为13≤y ≤1.(3) 由图象可得，线段PQ 长度的最小值为2 2.(1)(2)(3)2018-2019年最新汕头中学自主招生考试数学模拟精品试卷（第二套）考试时间：90分钟 总分：150分第I 卷一、选择题（每小题5分，共60分） 1、下列计算中，正确的是( )A ．B ．C ．D ．2、如右图，在□ABCD 中，AC 平分∠DAB ，AB = 3，则□ABCD 的周长为( ) A ．6B ．9C ．12D ．153、已知二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图象如右图所 示，则下列结论 ①0<++c b a ②0<+-c b a ③02<+a b ④0>abc 中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4、如图是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是（ ）020=623)(a a =93=±2a a a =+（A ）25 （B ）66 （C ）91 （D ）120 5、有如下结论（1）有两边及一角对应相等的两个三角形全等；（2）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形；（3）对角线相等的四边形是矩形；（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
广东省汕头市金山中学2018-2019学年高一（上）期中数学二模试卷一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1.已知集合A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|y=lg（x﹣2）}，则A∩（∁R B）=（）A. （2，4）B. （﹣2，4）C. （﹣2，2）D. （﹣2，2]【答案】D【解析】【分析】先求得集合B,再进行补集和交集的运算即可．【详解】B={x|x＞2}；∴∁R B={x|x≤2}；∴A∩（∁R B）=（﹣2，2]．故选：D．【点睛】本题考查描述法表示集合，交集和补集的运算．2.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：原式分子利用同角三角函数间的基本关系化简，分子分母除以，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将的值代入计算即可求出值．详解：原式=故选A.．点睛：本题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．3.已知是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设，则的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：∵已知是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数，∴在上单调递减，∴，，又∵，，∴，∴．考点：1．偶函数的性质；2．指对数的运算性质．4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】是定义域上的增函数，是定义域上的减函数，是定义域上的减函数，故选5.如果点位于第四象限，那么角所在的象限是（）．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】∵点位于第四象限，∴，∴角所在的象限是第二象限．故选：B．6.设是定义在实数集上的函数，满足条件是偶函数，且当时，，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵y=f（x+1）是偶函数，∴f（-x+1）=f（x+1），即函数f（x）关于x=1对称．∵当x≥1时，为减函数，∵f（log32）=f（2-log32）= f（）且==log34，log34＜＜3，∴b＞a＞c，故选：C7.函数的值域为（）A. [﹣1，0）B. [﹣1，+∞）C. （0，1]D. [1，+∞）【答案】B【解析】【分析】由二次函数的性质，我们易求出1+2x﹣x2的值域，进而根据对数函数的性质，即可得到函的值域．【详解】∵1+2x﹣x2=﹣（x﹣1）2+2≤2∴ 1故函数的值域为[﹣1，+∞）.故选：B．【点睛】本题考查的知识点是对数函数的值域，其中熟练掌握对数函数的单调性是关键．8.当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，单调递增，单调递减故选9.已知函数是奇函数，则的值等于（）A. B. 3 C. 或3 D. 或3【答案】C【解析】函数为奇函数，则：，即：恒成立，整理可得：，即恒成立，，当时，函数的解析式为：，，当时，函数的解析式为：，，综上可得：的值等于或3.本题选择C选项.点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．10.函数的定义域为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】要使得有意义，则需满足，解该不等式组即可得出的定义域．【详解】要使有意义，则，解得；的定义域为．故选：A．【点睛】考查函数定义域的定义及求法，对数的真数大于0，以及对数函数的单调性．11.已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意实数对（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使x1x2+y1y2=0成立，则称集合M具有∟性，给出下列四个集合：①M={（x，y）|y=x3﹣2x2+3}；②M={（x，y）|y=log2（2﹣x）}；③M={（x，y）|y=2﹣2x}；④M={（x，y）|y=1﹣sinx}；其中具有∟性的集合的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】条件等价于：对于M中任意点P（x1，y1），在M中存在另一个点P′（x2，y2），使OP⊥OP′．作出函数图象，验证即可．【详解】分别作出①②③④的图象如图：，y=x3﹣2x2+3的图象y=log2（2﹣x）的图象：y=2﹣2x的图象：y=1﹣sinx的图象：由题意知：对于M中任意点P（x1，y1），在M中存在另一个点P′（x2，y2），使，即OP⊥OP′，即过原点任作一条直线与函数图象相交，都能过原点作另一条直线与此直线垂直，对上述图象一一验证，都成立，故选：D．【点睛】本题考查集合的表示方法、函数图象及其应用，属于中档题．12.已知，则使成立的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】】∵，成立∴∴或或∴或或故选D.二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13.函数f（x）=a2x﹣1+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点P，则P点的坐标是_____．【答案】【解析】【分析】解析式中的指数2x﹣1=0，求出x的值，再代入解析式求出y的值，即得到定点的坐标．【详解】由于函数y=a x经过定点（0，1），令2x﹣1=0，可得x，求得f（）=2，故函数f（x）=a2x﹣1+1（a＞0，a≠1），则它的图象恒过定点的坐标为（，2），故答案为：（，2）．【点睛】本题主要考查指数函数的图象过定点（0，1）的应用，即令解析式中的指数为0，求出对应的x和y的值，属于基础题．14.已知扇形弧长为的弧所对的圆心角为，则这扇形的面积为_____cm2．【答案】2【解析】由已知有，扇形所在圆的半径，所以扇形的面积（）。
2018级高一第二学期月考数学科试卷一.选择题(每小题5分)1.已知集合,,则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式得到集合，然后可求出．【详解】由题意得，∴，∴．故选C．【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和集合的补集、交集运算，解题的关键是正确求出集合和熟记集合运算的定义，属于基础题．2.已知角终边上一点，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值．【详解】∵角终边上一点，∴，，，则，故选C．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3.设,向量,,则( )A. 5B.C.D. 10【答案】C【解析】【分析】根据向量的垂直求出，再由向量的共线求出，进而得到的坐标，于是可得所求．【详解】∵,，∴，解得．∵,,∴，解得．∴，∴，∴．故选C．【点睛】解答本题的关键是求出向量的坐标，其中向量的垂直和共线是解题的突破口，考查对向量有关概念的掌握和计算能力，属于基础题．4.已知函数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先计算出的值，即可求出结果.【详解】因为，所以，所以.故选B【点睛】本题主要考查分段函数求值的问题，由内向外逐步代入即可求出结果，属于基础题型.5.已知函数，将函数的图象向右平移个单位，得到数的图象，则函数图象的一个对称中心是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】先对函数化简，然后利用三角函数的平移关系求出的解析式，结合三角函数的对称性进行求解即可。
【详解】，将函数的图象向右平移个单位，得到数的图象，即，由，得，，当时，，即函数的一个对称中心为，故选：C．【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换和性质，求出函数的解析式以及利用三角函数的对称性是解决本题的关键。
6.设等差数列的前n项和为，若，，则( )A. 63B. 45C. 39D. 27【答案】C【解析】【分析】设等差数列的首项为，公差为d，由题意列方程组求出、d，再计算的值．【详解】设等差数列的首项为，公差为d，由，，得，解得，；．故选：C．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式应用问题，是基础题．7.设等比数列的前项和记为,若,则( )A. B. C. D.【解析】【分析】根据等比数列前项和的性质求解可得所求结果．【详解】∵数列为等比数列，且其前项和记为，∴成等比数列．∵，即，∴等比数列的公比为，∴，∴，∴．故选A．【点睛】在等比数列中，其前项和记为，若公比，则成等比数列，即等比数列中依次取项的和仍为等比数列，利用此性质解题时可简化运算，提高解题的效率．8.函数（且）的图象可能为（）【答案】D【解析】因为，故函数是奇函数，所以排除A，B；取，则，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.9.如图，圆周上按顺时针方向标有，，，，五个点.一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点.若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则下一次跳两个点.该青蛙从这点跳起，经次跳后它将停在的点是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由起跳，是奇数，沿顺时针下一次只能跳一个点，落在上由起跳，是奇数，沿顺时针下一次只能跳一个点，落在上是偶数，沿顺时针跳两个点，落在上由起跳，是偶数，沿顺时针跳两个点，落在上，周期为，经次跳后它将停在的点对应的数为故选10.设数列的前项和为,且,为常数列,则通项为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意知，∴S n－1＋(n－1)a n－1＝2，(n≥2)以上两式相减整理得(n＋1)a n＝(n－1)·a n－1，∴．∴，当n＝1时，a1＝1满足上式．∴．选B．点睛：数列的通项a n与前n项和S n的关系是，当n＝1时，a1若适合，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项a n；当n＝1时，a1若不适合，则用分段函数的形式表示．11.已知定义域为的函数满足，当时，，设在上的最大值为，且的前项和为，若对任意的正整数均成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的解析式，求得当时，的最大值为，再根据，利用归纳法，得到当时，的最大值为，由等比数列的前n项和公式，求得，根据，即可求解，【详解】由题意，可得当时，；时，，∴当时，的最大值为；又由，∴当时，的最大值为；当时，的最大值为，…，所以当时，的最大值为，由等比数列的前n项和公式，得.若对任意的正整数成立，则，故选B.【点睛】本题主要考查了数列与函数的综合应用，其中解答中根据分段函数的解析式，利用归纳法得到数列的通项公式，再利用等比数列的求和公式，列出不等式求解是解答的关键，试题有一定的综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力．12.已知直线与函数相邻两支曲线的交点的横坐标分别为,,且有,假设函数的两个不同的零点分别为,,若在区间内存在两个不同的实数,,与,调整顺序后,构成等差数列,则的值为( )A. 或B. 或C. 或或不存在D. 或或不存在【答案】C【解析】【分析】由可得函数的周期为，所以，故，然后再求出，根据题意求出后可得所求结果．【详解】由题意及可得函数的周期为，∴，∴．由，得，又,，∴．由题意得存在实数，与调整顺序后构成等差数列．（1）当公差时．四个数所构成的等差数列共有以下六种：①；②；③；④；⑤；⑥．经检验可得①③⑤⑥四种情形不成立．对于，可得公差，故，当时，；当时，．对于，可得公差，故，当时，由于，故正切值不存在；当时，由于，故正切值不存在．（2）当公差时，同样有类似的结论．综上可得的值为或或不存在．故选C．【点睛】解答本题的关键是分类讨论四个数成等比数列的各种情形，然后根据条件进行排除进而得到的值，解题的基础是正切函数的性质，考查综合运用知识解决问题的能力，难度较大．二.填空题(每小题5分)13.的内角的对边分别为，已知,,，则______．【答案】【解析】【分析】由余弦定理可得cos B，利用已知整理可得3a2﹣8a﹣3＝0，从而解得a的值,从而可得A. 【详解】∵b，c＝2，cos B，∴由余弦定理可得：cos B，整理可得：3a2﹣8a﹣3＝0，∴解得：a＝3或（舍去）．∴满足，∴，故答案为．【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．14.在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,,外接圆的半径为3，则_____【答案】3【解析】【分析】首先对通分化简，再根据余弦定理即可求出，进而求出，然后再根据外接圆半径和正弦定理，即可证明结果.【详解】由题意可得，根据余弦定理可知，所以，根据正弦定理可得，所以.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余项定理的应用，属于基础题.15.如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分．【答案】【解析】【分析】根据题中所给角度求出三角形ABC中的三个内角大小，再由正弦定理即可得解.【详解】由已知得由正弦定理可得，所以海轮的速度为海里/分．故答案为.【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用．考查了学生分析问题和解决实际问题的能力．16.已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】可得为偶函数，且在x＞0时单调递增，可得等价于，结合，解不等式可得的取值范围.【详解】解：由，可得，可得，故为偶函数，由，设g(x)=,h(x)=,可得= g(x) h(x)，当x＞0时，由对勾函数性质可得，g(x)单调递增；同理当x＞0时，可得h(x)单调递增，可得当，单调递增又因为为偶函数，可得当时，可得，，，，可得：，当时，可得，，故可得的取值范围是，故答案：【点睛】本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，函数恒成立的问题，是函数图像与性质的综合应用，难度中档.三．解答题17.在中，角所对的边分别为，且.求角的值；若的面积为，且，求的周长.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】1由利用正弦定理得，再结合得出；2由三角形面积公式可得，中，由余弦定理得，从而可得结果．【详解】()由正弦定理：，可得又因为，所以，，因为，所以．2因为，所以，中，由余弦定理，，则，故，所以的周长为．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．应用余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 18.已知数列的前项和为，，且，，是等差数列的前三项.（1）求数列，的通项公式；（2）记，，求数列的前项和.【答案】（1）,（2）【解析】【分析】（1）利用与的关系将式子转化得，再根据条件求出，从而证明为等比数列，求出其通项.再利用等差数列通项公式求出的通项.（2）利用错位相减法即可求和.【详解】（1）∵当时，两式相减得，即.又，，成等差数列∴数列是首项为2公比为2的等比数列∴数列的通项公式为.则，∴数列是首项为1，，公差为2的等差数列，∴数列的通项公式为.（2）由（1）知，∴两式相减得∴∴即∴∴数列的前项和【点睛】主要考查数列通项的求解以及前项和的求解，属于中档题.1.利用与的关系求数列通项的基本步骤：（1）当时，求出；（2）当时，利用即可转化为递推公式求解通项.（3）检验时是否符合.2.错位相减法的基本步骤：（是等差数列，是等比数列，公比为）：（1）写：；（2）错位：；（3）相减：；（4）化简19.的内角的对边分别为，已知成等差数列.（1）求角；（2）若为中点，求的长.【答案】（1） (2)【解析】【分析】（1）由等差数列性质得到，，结合正弦定理可得，利用展开并化简可求出，即可求出角；(2)利用余弦定理可先求出与，然后在中利用余弦定理即可求出.【详解】（1）成等差数列，则，由正弦定理得：，，，即，因为，所以，又，.（2）在中，，，即，或（舍去），故，在中，在中，，. 【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的运用，利用正弦定理进行边角转化与与余弦定理进行求值计算是本题的关键点，属于中档题。
广东汕头金山中学2018-2019学度高一下学期年中试题数学高一数学科试卷时量:120分钟总分:150分试卷说明、参考数据与公式略一.选择题(在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.共10小题,每题5分,共50分) 1.集合(){}{}0,03≤=≥-=x x B x x x A ，那么B A ⋂等于()A.0B.30≤≤x C.{}0 D.{}30≤≤x x2.函数)2cos(x y -=π的一个单调递增区间为()A.,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭B.()0,π C.3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(),2ππ3.假设,1=+b a 那么恒有() A.41≥ab B.41≤ab C.41≥abD.122≥+b a 4.在等差数列{}na中,621118+=a a,那么数列{}n a 的前9项和9S 等于() A.24B.48C.72D.1085.在ABC ∆中,B A ,是三角形的内角,且︒=90A ,假设)3,(sin ),1,2(B AC AB =-=,那么角B 等于()A.︒30B.︒60C.︒60或︒120D.︒30或︒150 6.等比数列{}n a 的前n 项和t S n n+=+12,那么常数t 的取值是()A.2B.2-C.1D.1- 7.数列{}na 中,11=a ,121++=+n a a n n ,那么通项n a 等于()A.⎩⎨⎧≥++==2,121 ,12n n n n a n B.122-=n a n C.12-=n a n D.2n a n =8.在200m 高的山顶上,测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别为30o 和60o ,那么塔高为() A.m3400B.m 33400 C.m33200 D.m 32009.假设α是第三象限的角,且2tan =α,那么=+)4sin(πα()A.1010- B.1010 C.10103- D.10103 10.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x 单调递减，假设数列{}n a 是等差数列，且30a <，那么()()()()()12345f a f a f a f a f a ++++的值〔〕A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可正可负二.填空题〔本大题共4小题,每题5分，共20分〕 11.设1>x ,那么12-+x x 的最小值是*****. 12.在R 上定义运算@/:x @/y x xy y ++=2,那么满足a @/()02<-a 的a 的解集是*****.13.商家通常依据“乐观系数准那么”确定商品销售价格，即依照商品的最低销售限价a ,最高销售限价()a b b > 以及常数x 〔10<<x 〕确定实际销售价格()a b x a c -+=,那个地方,x 被称为乐观系数.经验说明，最正确乐观系数x 恰好使得()a c -是()c b -和()a b -的等比中项，据此可得，最正确乐观系数x 的值等于__*****__. 14.等差数列{}na的前n 项和为n S ,15,1054≤≥S S ,那么5a 的最大值是*****.三.解答题〔15,16小题各12分,17,18,19,20小题各14分,共80分.〕 15.在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2a =，3c =，1cos 4B =、1)求b 的值；2)求sin C 的值、 16.()a ax x x f 62--=,其中a 是常数.1)假设()0<x f 的解集是{}63<<-x x ,求a 的值,并解不等式()0≥-ax x f .2)假设不等式()0<x f 有解,且解区间长度不超过5个长度单位,求a 的取值范围.17.正项等差数列{}na 的前n 项和为n S ，假设123=S ，且1,,2321+a a a 成等比数列.1)求{}na的通项公式n a 和n S ；2)记nn na b2=的前n 项和n T ,求n T . 18.设y x ,满足约束条件:⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥102 21 1y x x y x 的可行域为M1)在所给的坐标系中画出可行域M (用阴影表示,并注明边界的交点或直线); 2)求x y A 2-=的最大值与22y x B +=的最小值; 3)假设存在正实数a ,使函数⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42cos 42sin 2ππx x a y 的图象通过区域M 中的点,求这时a 的取值范围.19.某企业投资1千万元于一个高科技项目,每年可获利25%.由于企业间竞争激烈,每年底需要从利润中取出资金100万元进行科研、技术改造与广告投入,方能保持原有的利润增长率.设通过n 年后该项目的资金为na 万元.1)写出数列{}na的前三项321,,a a a ,并猜想写出通项n a .2)求通过多少年后，该项目的资金能够达到或超过2千万元. 20.数列{}{}nn b a ,满足:2111,1,41nn n n n a b b b a a -==+=+1)求321,,b b b 的值；2)求证数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n b 是等差数列，并求数列{}nb的通项公式；3)设,13221++++=n n n a a a a a a S 假设nn b aS <4恒成立,求实数a 的取值范围.第2页〔共7页〕汕头市金山中学2017—2018学年度第二学期期中考试2018-04-18 高一数学科试卷答题纸时量:120分钟总分:150分班级:学号:姓名:评分:一、选择题〔共10小题，每题5分，共50分〕11.;12.;13.14..【三】解答题〔15,16小题各12分,17,18,19,20小题各14分,共80分.〕 15.第3页〔共7页〕16.解:⒘解:第4页〔共7页〕班级:学号:姓名:18.解:1〕阴影部分如图第5页〔共7页〕19.第6页〔共6页〕班级:学号:姓名:20.第7页〔共7页〕高一数学科试题答案三、选择题〔共10小题，每题5分，共50分〕题号 1 2 3 4 5 67 8 9 10 答案 C A B D B BDACA四、填空题〔共4小题，每题5分，共20分〕 11.221+12.{}12<<-x x 13.251+-14.5【三】解答题〔15,16小题各12分,17,18,19,20小题各14分,共80分.〕 15.解：〔I 〕由余弦定理，2222cos b a c ac B =+-，………………………………………2分得222123223104b =+-⨯⨯⨯=，…………………………………………………4分∴b =6分〔II 〕方法1：由余弦定理，得222cos 2a b c C ab+-=，………………………………8分==，………………………10分∵C 是ABC ∆的内角，∴sin C ==、………………………12分方法2：∵1cos 4B =，且B 是ABC ∆的内角，∴sin B ==、……8分依照正弦定理，sinb c B =，……………………………………………………10分得3sin sin 8c B C b ⨯===、……………………………………12分 16.解:1)∵()062<--=a ax x x f 的解集是{}63<<-x x∴062=--a ax x 的两根是6,321=-=x x∴636,632121⨯-=-=⋅+-==+a x x a x x ∴3=a∴不等式()031832≥---=-x x x a x x f ()03)3(631832≥-+-=---x x x x x x ∴不等式()0≥-ax x f 的解集是{}633≥<≤-x x x 或2〕设()062<--=a ax x x f 的解集是{}21x x x x <<依题意()⎪⎩⎪⎨⎧≤--=⋅=+>+-=∆56 ,024*******x x a x x a x x a a∴由0242>+a a 得0>a 或24-<a由512≤-x x 得()25421221≤-+x x x x∴025242≤-+a a 125≤≤-a∴2425-<≤-a 或10≤<a ∴所求a 的取值范围是[)(]1,024,25⋃--⒘解:1)∵数列{}na是等差数列∴12323213==++=a a a a S ∴d a a +==124∵1,,2321+a a a 成等比数列∴)1(23122+=a a a ∴)12(21611++=d a a ⎩⎨⎧=+++=4)12(216111d a d a a 解得⎩⎨⎧==311d a 或⎩⎨⎧-==481d a 0>n a ∴⎩⎨⎧-==481d a 不合要求舍去.∴⎩⎨⎧==311d a 检验满足要求.∴2232)1(,23)1(211n n d n n na S n d n a a n n -=-+=-=-+=2)∵nn n n n a b 2232-==∴n n n T 223 27242132-++++=∴1432223253272421 21+-+-++++=n n n n n T∴1432223)21212121 3(21 21+--+++++=n n n n T11122232141621223211212121321+++--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+=---⨯-⨯+=n n n n n n ∴nn n T 2434+-=18.解:1〕阴影部分如图 由⎪⎩⎪⎨⎧==x y x 211，得⎪⎩⎪⎨⎧==211y x ∴)21,1(A由⎩⎨⎧=+=1021y x x ，得⎩⎨⎧==81y x ∴)8,1(B由⎪⎩⎪⎨⎧==+x y y x 21102，得⎩⎨⎧==24y x ∴)2,4(c可行域M 为如图ABC ∆ 2〕∵21=AC k又∵x y A 2-=∴A A x y ,2+=是y 轴的截距，212=>=ACk k ∴过点)8,1(B 时，6128=⨯-=最大A∵22y x B +=是表示区域M 上的点),(y x 到原点O )0,0(距离的平方.如图)21,1(A 使所求距离的平方最小，∴4521122=⎪⎭⎫⎝⎛+=最小B . 3〕∵0>axa x a x x a y cos )2sin()42cos()42sin(2=+=++=πππ 过区域M 中的点，而区域中41≤≤x 又∵0>a ，函数x a y cos =图象过点,421),0,2(<<ππ 当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23,2ππx 时，423 ,0><πy ∴满足x a y cos =过区域M 中的点，只须图象与射线)21(,1≥=y x 有公共点.∴只须1=x 时,1cos 21211cos ≥∴≥a a∴所求a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,1cos 21a .19.解:1〕依题意⎪⎭⎫⎝⎛+⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-⨯=-⨯=451100********* ,1004510231231a a a⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-⨯=2332345451100451010045a a猜想⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-12345454511004510n nn a4004560045145110045103+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=nnn2〕由2000≥n a ，得200040045600≥+⎪⎭⎫⎝⎛⨯n∴3845≥⎪⎭⎫ ⎝⎛n∵x y ⎪⎭⎫⎝⎛=45在()+∞∞-,上单调递增，估算38454<⎪⎭⎫ ⎝⎛，38455>⎪⎭⎫⎝⎛∴5≥n答：要通过5年,该项目的资金超过2千万元. 20、解：〔1)11(1)(1)(2)2n n n n n n n nb b b a a b b b +===---＋∵1113,44a b ==∴2345,,56b b ==……………3分〔2〕∵11112n n b b +-=--∴12111111n n n n b b b b +-==-+---∴数列{11n b -}是以－4为首项，－1为公差的等差数列。
广东省汕头金山中学2018-2019学年高一10月份月考数学试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知函数的定义域为A，集合，则A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，；．故选：C．可解出集合A，然后进行交集的运算即可．考查函数定义域的概念及求法，描述法、区间表示集合的定义，以及交集的运算．2.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，或，；；．故选：A．可解出集合A，B，然后进行交集、补集的运算即可．考查描述法、区间的定义，分式不等式的解法，以及补集、交集的运算．3.函数的定义域为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由得或，故选：D．为使得式子有意义，则偶次方根的被开方数一定非负且分母不为0．注意偶次开方一定非负且分母不为04.函数在内递减，在内递增，则a的值是A. 1B. 3C. 5D.【答案】C【解析】解：依题义可得函数对称轴，．故选：C．由题义为二次函数单调性及图象问题，有二次函数在内递减，且在内递增的对称轴方程即可解出a此题重点考查了二次函数的图象及单调性，要求学生熟记二次函数并准确理解二次函数性质．5.函数的定义域为，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：的定义域为；不等式恒成立，或恒成立；时，恒成立，满足题意；时，；解得；综上得，实数a的取值范围为故选：B．根据题意可知，不等式恒成立，或恒成立，可讨论a：时，可得出恒成立；时，需满足，解出a的范围即可．考查函数定义域的概念及求法，以及一元二次不等式的解集与判别式的关系．6.下列函数中，满足“对定义域内任意的x，均有”的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：满足“对定义域内任意的x，均有”，则为奇函数，对于A选项：为偶函数，故不合题意，对于B选项：为非奇非偶函数，故不合题意，对于C选项：为非奇非偶函数，故不合题意，对于D选项：为奇函数，故符合题意，故选：D．本题结合函数的性质得为奇函数，再逐一检验即可得解．本题考查了函数的奇偶性，属简单题．7.下列函数中，满足“对任意的，，当时，都有”的是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：根据题意，若函数满足“对任意的，，当时，都有”，则函数在上为减函数，据此分析选项：对于A，，在上为减函数，符合题意；对于B，，在上为增函数，不符合题意；对于C，，其定义域为，不符合题意；对于D，，其定义域为，不符合题意；故选：A．根据题意，分析可得满足题意的在上为减函数，据此分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．本题考查函数单调性的定义以及判定，关键是掌握函数单调性的定义．8.已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则当在R上的解析式为A. B.C. D.【答案】C【解析】解：函数是定义在R上的奇函数，则，设，则，则，又由函数为奇函数，则，则，综合可得；故选：C．根据题意，由奇函数的性质可得，再设，则，结合函数的奇偶性可得在时的解析式，综合可得在R上解析式，综合可得答案．本题考查函数的奇偶性的应用，涉及函数的解析式的求法，属于基础题．9.若函数为奇函数，且在内是增函数，又，则的解集为A. B.C. D.【答案】A【解析】解：因为函数为奇函数，且在内是增函数，，所以或时，；或时，；，即，可知或．故选：A．根据函数为奇函数，且在内是增函数，又，判断函数在R上的符号，根据奇函数把转化为，根据积商符号法则及函数的单调性即可求得的解集．考查函数的单调性和奇偶性，以及根据积商符号法则转化不等式，根据函数的单调性把函数值不等式转化为自变量不等式，体现了数形结合和转化的思想，属中档题．10.已知定义在R上的偶函数，且在上单调递减，则下列选项正确的是A. B.C. D.【答案】D【解析】解：根据题意，在上单调递减；是偶函数；；又；；．故选：D．由在上单调递减即可得出在上单调递减，根据是偶函数，即可得出，从而得出，从而得出．考查偶函数的定义，图象的平移，以及减函数的定义．11.函数，如果不等式对任意的恒成立，则实数m的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：因为，在上为增函数，不等式对任意的恒成立，所以，对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，因为在上为增函数，所以，所以，故选：D．根据在上为增函数，则不等式对任意的恒成立转化为对任意的恒成立，根据函数的单调性，求出函数的最值即可．本题主要考查了恒成立问题的基本解法，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解，属于中档题．12.函数，如果方程有4个不同的实数解，则实数m的取值范围是A. B.C. D.【答案】A【解析】解：函数，函数的图象如右，设，，则关于x的方程有4个不同的实数解，等价于方程有2个不同的实数解，设，可知t的根都小于0，或一个根大于1，一个根小于0，或两个根都大于1，可得或或，解得，或．故选：A．题中原方程有4个不同的实数解，即要求对应于某个常数K，有2个不同的K，先根据题意作出的简图，设，等价于方程有2个不同的实数解，再根据一元二次方程根的分布理论可以得出答案．本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，属于难题，采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.不等式的解集是______．【答案】或【解析】解：根据题意，，且解可得：或，即不等式的解集为或；故答案为：或根据题意，不等式变形可得，解可得不等式的解集，即可得答案．本题考查分式不等式的解法，注意将分式不等式变形为整式不等式，属于基础题．14.已知定义在R上的奇函数满足：对任意的，都有，且当时，，则______．【答案】【解析】解：是奇函数，，且时，；．故答案为：．根据是奇函数，，以及时，，即可得出．考查奇函数的定义，以及已知函数求值的方法．15.已知定义在R上的奇函数满足：当时，，若，则正数a的最小值是______．【答案】8【解析】解：设，则，为定义在R上的奇函数，，且，，画出的图象，如图所示：由图象，可知在，为增函数，在上为减函数，由，可得，解得，故正数a的最小值是8，故答案为：8先求出函数的解析式，再画出函数的图象，结合图象即可求出．本题考查了绝对值函数图象，以及函数的奇偶性和单调性，考查了数形结合的能力，属于中档题16.已知函数在时有最大值1，，并且时，的取值范围为，则______．【答案】【解析】解：根据题意，函数在时有最大值1，则有，即，且，解可得，则，又有时，的取值范围为，则，解可得，在上单调递减，则有，，即有m、n是方程的两个根，，其根为1、、，又有，则，，则；故答案为：．根据题意，结合二次函数的性质分析可得b、c的值，即可得，进而可得，解可得，分析可得在上单调递减，据此可得，，即有m、n是方程的两个根，又有，求出方程的根，分析可得m、n的值，相加即可得答案．本题考查二次函数的性质以及应用，关键是求出m、n的值，属于基础题．三、解答题（本大题共5小题，共70.0分）17.判断下列两个函数在其定义域内的奇偶性，并证明．；．【答案】解：函数是R上的偶函数，证明如下：函数的定义域为R，且，故函数是R上的偶函数；函数是上的奇函数，证明：函数的定义域是且，故函数是上的奇函数．【解析】根据题意，先分析函数的定义域，结合函数的解析式分析可得，即可得结论；根据题意，先分析函数的定义域，结合函数的解析式分析可得，即可得结论．本题考查函数奇偶性的判定，注意分析函数的定义域．18.集合，集合．当时，求；如果，求实数m的取值范围．【答案】解：；当时，；；或；由，得；当时，有，解得：；当时，则：，解得：；综上得：实数m的取值范围是．【解析】可解出，时，得出，然后进行交集、补集的运算即可；根据即可得出，从而可讨论B是否为空集：时，；时，，解出m的范围即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集、补集的运算，空集的定义，以及子集的定义．19.某地要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边所成的角为，考虑到防洪堤的坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为平方米，且高度不低于米，记防洪堤横断面的腰长为米，外周长梯形的上底BC与两腰长的和为米求y关于x的函数关系式，并指出其定义域；当防洪堤的腰长x为多少米时，断面的外周长y最小？求此时外周长的值．【答案】解：由梯形面积，其中，则，由，得，．由，而在单调递减，在单调递增，当且仅当时函数取得最小值．故有在单调递减，在单调递增，当且仅当时函数取得最小值．外周长的最小值为米，此时腰长为米【解析】根据梯形的面积公式以及梯形高度关系，即可建立函数关系根据对勾函数的单调性的性质进行求解即可本题主要考查函数的应用问题，根据梯形的面积公式以及对勾函数单调性是解决本题的关键．20.已知函数．当时，试判断函数在区间上的单调性，并证明；若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：当时，，此时在上单调递增，证明如下：对任意的，，若分分由，故有：，，因此：，，分故有在上单调递增；分方法一：不等式在上恒成立----------------分取对称轴当时，对称轴在上单调递增，，故满足题意----------------分当时，对称轴又在上恒成立，故解得：，----------------分故----------------分综上所述，实数的取值范围为----------------分方法二：不等式在上恒成立----------------分取由结论：定义在上的函数，当且仅当时取得最小值．故----------------分当且仅当，即时函数取得最小值----------------分故，即实数的取值范围为----------------分【解析】当时，，此时在上单调递增，对任意的，，若，利用函数的单调性的定义证明即可．方法一：不等式在上恒成立，取利用二次函数的性质求解即可．方法二：不等式在上恒成立，取利用基本不等式求解函数的最值即可．本题考查函数与方程的应用，函数的单调性以及二次函数的性质，基本不等式的应用，考查计算能力．21.已知函数满足下列三个条件：当时，都有；；对任意的x、，都有．请你作答以下问题：求和的值；试判断函数在R上的单调性，并证明；解不等式．【答案】解：对任意的x、，都有故，又，则，；而，即，同时：，即因此：，；函数在R上单调递增，证明如下：对任意的x、，都有即：即：，先证对任意的，均有：当时，都有，因此，当时，，因此，当时，，由上知：因此：，结论得证；对任意的，，若则一方面：由结论知另一方面由，，由条件知，故有：，则有因此，函数在R上单调递增；由知：对任意的x、，都有故：即，由知函数在R上单调递增，则故不等式的解集为：．【解析】根据题意，用特殊值法分析，令，可得的值，在令，，变形可得答案；根据题意，分析可得，分类讨论可得，进而设，结合函数关系式由作差法分析可得结论；根据题意，分析可得，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数单调性的证明，注意利用特殊值法分析、的值，属于综合题．。
汕头市金山中学2017-2018学年度第一学期第1次测试高三理科数学 试题卷 命题人：蔡振奕本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知复数11iz i+=-，则2121i z +-的共轭复数是（ ）A ．12i --B ．12i -+C ．12i -D ．12i +2.已知集合{}{}1,0,,01A a B x x =-=<<,若A B ≠∅,则实数a 的取值范围是( )A. (,0)-∞B. (1,)+∞C. {}1D. (0,1)3.已知()()2,12xx g x x f x =-=，则下列结论正确的是( )A ．()()()h x f x g x =+是偶函数B ．()()()h x f x g x =+是奇函数C ．()()()h x f x g x =是奇函数D ．()()()h x f x g x =是偶函数4.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有（ ） A ．0条 B ．1条 C.2条 D ．1条或2条5.已知方程11122=--+m y m x 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为8,则m 的值是( )A. 6±B.8±C. 6D. 8 6.函数),2||,0(),sin()(R x x A x f ∈<>+=πϕωϕω的部分图象如图所示，则)(x f 的解析式为（ ）A ．)48sin(4)(ππ--=x x f B ．)48sin(4)(ππ+-=x x fC ．)48sin(4)(ππ-=x x f D ．)48sin(4)(ππ+=x x f7.设,,,O A B M 为平面上四点，(1),(0,1)OM OA OB λλλ=+-∈，则（ ）A ．点M 在线段AB 上B ．点B 在线段AM 上C ．点A 在线段BM 上D ．,,,O A B M 四点共线8.五个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的 硬币,若硬币正面朝上,则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为( )A.21 B.3215 C.3211 D.165 9.已知函数⎩⎨⎧>-≤+=1,21,2)(x a bx x a x x f ,其中b a ,是常数,若对,R x ∈∀都有)1()1(x f x f +=-,则=+b a ( ) A.6- B.32-C. 1-D. 310- 10.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高一丈.问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出如下图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为（ ）A ．5000立方尺B ．5500立方尺C ．6000立方尺D ．6500立方尺 11.已知函数c bx ax x x f +++=232131)(在1x 处取得极大值,在2x 处取得极小值,满足 )0,1(1-∈x ，)1,0(2∈x ，则21++a b 的取值范围是（ ）A. )21,0( B. )1,0( C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛1,31 D. ]3,1[12. 在数列{}n a 及{}n b 中，11111,1n n n n n n a a b b a b a b ++=+=+-==．设112n n nn c a b ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前n 项和为（ ）． A.4121⨯-++n n B.422-+n C.4223-+⨯n n D.3121⨯--+n n第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.二项式()931x -的展开式中所有项的系数和为_____________．14.在直角坐标系xoy 中,抛物线C 的顶点在原点,以x 轴为对称轴,且经过点)2,1(P .设点B A ,在抛物线C 上,直线PB PA ,分别与y 轴交于点,,N M PN PM =,则直线AB 的斜率大小是 .15.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>>-2131log 02x x x 的解集是 .16.已知())0(21ln 2>+=a x x a x f ,若对任意两个不等的正实数x 1，x 2，都有()2)(2121>--x x x f x f恒成立，则a 的取值范围是 . 三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分12分）设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,若)2cos(sin B A -=π,2,3==c a1)求AC AB ⋅的值； 2)求)23tan(B C-+π的值为. 18.(本小题满分12分)在数列{}n a 中,首项211=a ,前n 项和为n S ,且()*+∈-=N n a S n n 121 (1)求数列{}n a 的通项(2)如果=n b n n a n ⋅⨯+2)1(3,求数列{}n b 的前n 项和n T .19. (本小题满分12分)如图,三棱锥ABC P -中,ABC ∆是正三角形,ACP ∆是直角三角形，CBP ABP ∠=∠,BP AB =.⑴证明:平面ACP ⊥平面ABC ；⑵若E 为棱PB 与P 不重合的点,且CE AE ⊥, 求AE 与平面ABC 所成的角的正弦值.20.(本小题满分12分) 设1>a ,函数()a e x x f x -+=)1(2. （1）证明()x f 在()+∞∞-,上仅有一个零点；（2）若曲线()x f y =在点P 处的切线与x 轴平行,且在点),(n m M 处的切线与直线OP 平行,(O 是坐标原点),证明:123--≤ea m 21.(本小题满分12分)已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上,A 是E 的左顶点,斜率为)0(>k k 的直线交E 于M A ,两点,点N 在E上,.NA MA ⊥（Ⅰ）当t=4，AM AN =时,求AMN ∆的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时,求k 的取值范围.选做题：请在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中,曲线1C 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=m m y m m x 11(m 为参数).直线l 交曲线1C 于B A ,两点.以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程是)6sin(4πθρ-=,点)3,(πρP 在曲线2C 上.1)求曲线1C 的普通方程及点P 的直角坐标;2)若直线l 的倾斜角为32π且经过点P ,求PB +PA 的值.23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 若0,0a b >>，且11a b+=. （I ） 求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.汕头市金山中学2017-2018学年度第一学期第1次测试高三理科数学 答案一．选择 BDAC DBAC DABB 12．二．填空 -512, 1-， ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<191x x， [)+∞,1 16.【解析】对任意两个不等的正实数x 1，x 2，都有>2恒成立，则当x>0时，f′(x)≥2恒成立，f′(x)=+x≥2在(0，+∞)上恒成立，则a≥(2x -x 2)max =1. 三．解答题17.解:1）在ABC ∆中, B B A sin )2cos(sin =-=π,由正弦定理BbA a sin sin =,得b a =B A b a ===∴,3 --------2分 由余弦定理 ⋅=223322cos 222222=-+=-+=⨯⨯a b c A b c -------6分 2）π=+=++C B C B A 2C B C tan )23tan(=-+∴π-------8分972cos 222=-+=ab c b a C 924cos 1sin 2=-=∴C C -------10分==∴C C C cos sin tan 724 -------12分18.解:1）()*+∈-=N n a S n n 121 -------①，211=a4312221=∴-=∴a a a ---------------2分当2≥n 时, 121-=-n n a S ----------②①-②等于n n n a a a 221-=+（2≥n ）n n n a a a 1 0+∴≠ =23-------4分 又2312=a a------5分 ∴数列{}n a 是以211=a ，23=q 为公比的等数列，12321-⎪⎭⎫⎝⎛⨯=∴n n a ------7分2）=n b n n a n ⋅⨯+2)1(3=()n n 31⨯+ ------8分n T =n n 3)1(34333232⨯+++⨯+⨯+⨯又n T 3= 14323)1(343332+⨯+++⨯+⨯+⨯n n ------9分 ∴n T 2-=1323)1(33332+⨯+-++++⨯n n n()131)13(233+⨯+--⨯+=n n n 1341243+⨯++-=∴n n n T ------12分19. (本小题满分12分)解：（1）由题设可得,ABP ∆≌CBP ∆CP AP =∴,CE AE =又ACP ∆是直角三角形,所以︒=∠90APC取AC 的中点O ，连接BO PO ,,则AC PO ⊥,AO PO = 又由于ABC BO AC ∆⊥是正三角形，故所以POB ∠为二面角B AC P --的平面角-------3分在AOB Rt ∆中,222AB AO BO =+又 BP AB = ∴22222AB AO BO PO BO =+=+2BP =︒=∠∴90POB 平面ACP ⊥平面ABC ； -------5分（2）由题设及（1）知,OP OB OA ,,两两垂直，以o 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，OA为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -，则)1,0,0(),0,0,1(),0,3,0(),0,0,1(P C B A -,连接OE , ----------------------7分 CE AE ⊥ ∴AEC ∆是等腰直角三形,PB AC OE 2121==∴ ∴在直角三角形POB 中,点E 是PB ,得)21,23,0(E . ------------------9分 ∴=AE ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,23,1 --------------10分平面ABC 的一个法向量是)1,0,0(=OP .设AE 与平面ABC 所成的角为θ.则θ为锐角，cos sin =θ=><OP AE ,422121=⨯. -------------12分 20.解：（1）f'（x ）=e x （x 2+2x+1）=e x（x+1）2∴f′（x ）≥0，-------2分∴f （x ）=（1+x 2）e x﹣a 在（﹣∞，+∞）上为增函数．----------------3分 ∵a ＞1．∴1﹣a ＜0 又f （0）=1﹣a ，∴f （0）＜0．())1(111-=-=---a a ea a aea f1011>∴>--a ea ()01>-∴a f，()()010<-⋅a ff()1,00-∈∃∴a x 使得()00=x f∴f （x ）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点 ---------------------5分（2）证明：f'（x ）=e x （x+1）2，设点P （x 0，y 0）则）f'（x ）=e x0（x 0+1）2，∵y=f （x ）在点P 处的切线与x 轴平行，∴f'（x 0）=0，即：e x0（x 0+1）2=0， ∴x 0=﹣1 ---------------6分 将x 0=﹣1代入y=f （x ）得y 0=．∴， ∴-------8分令；g （m ）=e m﹣（m+1）g （m ）=e m﹣（m+1），则g'（m ）=e m﹣1，由g'（m ）=0得m=0．当m ∈（0，+∞）时，g'（m ）＞0 当m ∈（﹣∞，0）时，g'（m ）＜0 ∴g （m ）的最小值为g （0）=0 ------------10分∴g （m ）=e m﹣（m+1）≥0 ∴e m ≥m+1 ∴e m （m+1）2≥（m+1）3 即：-------------------------------11分∴m≤ --------------------------------12分21.解:1)设()11,M x y ,则由题意知10y >当4t =时,E的方程为22143x y +=,()2,0A -.---------1分 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π.因此直线AM 的方程为2y x =+. ------------------3分将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =，所以1127y =. 因此AMN △的面积AMN S △11212144227749=⨯⨯⨯=. --------------------5分 （Ⅱ）由题意3t >，0k >，()A .将直线AM 的方程(y k x =代入2213x y t +=得()22222330tk xx t k t +++-=. -------6分由(221233t k tx tk -⋅=+得)21233tk x tk-=+，故1AM x =+=由题设,直线AN 的方程为(1y x k =-,故同理可得AN ==,-------8分 由2AM AN =得22233k tk k t=++，即()()32321k t k k -=-. 当k =因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()232332122022k k k k k k k -+-+-=<--，-------10分 即3202k k -<-.由此得32020k k ->⎧⎨-<⎩，或32020k k -<⎧⎨->⎩2k <. -------12分因此k 的取值范围是).22．解:1）()24:221≥=-x y x C -----------2分 ∵点)3,(πρP 在曲线2C :)6sin(4πθρ-=上,2=∴ρ 设P 的直角坐标是),(y x P ，33sin,13cos====πρπρy x)3,1(P ∴ ------------5分2）直线l 的参数方程是为参数）t t y t x (233211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-= -----6分设有向线段PB PA ,对应的参数分别为21,t t -----7分 依题意2121PA t t t t PB +=+=+ -----8分01282=++t t 821-=+t t 8PA 21=+=+∴t t PB . -----10分23．【解析】(Ⅰ) 11a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==时等号成立，故333342a b b +≥=，且当a b ==时等号成立，∴33a b +的最小值为.…5分（Ⅱ）由(Ⅰ)知：23a b +≥≥，由于6，从而不存在,a b ，使得236a b +=. ……………10分。
广东省汕头市金山中学2018-2019学年高一数学下学期第一次月考试题一．选择题（每小题5分）1．已知集合{}0432>--=x x x A ，{}1>=x x B ，则=⋂B A C R （ ） A ．φ B ．C ．D ．2．已知角α终边上一点)6,8(-P ，则=αsin ( )A ．B ．C ．D ．3．设R y x ∈,，向量)1,(x a =→),2(y b =→)1,1(-=→c →→→→⊥c b c a //,，则=+→→b a （ ）A ．B ．C ．D ．4．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<=1,110,log )(22x xx x x f 则=))2((f f （ ）A. 2B. -2C. 1D. -15．已知函数x x x f 2cos 2sin )(+=，将函数)(x f y =的图象向右平移4π个单位，得到数)(x g y =的图象，则函数)(x g y =图象的一个对称中心是（ ）A ．B ．C ．D ．6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36,963==S S ，则=++876a a a ( ) A ．63 B ．45 C ．39 D ．277.设等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若105:1:2S S =，则155:S S =（ ） A. 34 B. 23 C. 12 D. 138．函数()()1cos ,0f x x x x x x ππ⎛⎫=--≤≤≠ ⎪⎝⎭的图像可能为（ ）9．如图，圆周上按顺时针方向标有1， 2， 3， 4， 5五个点.一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点.若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则下一次跳两个点.该青蛙从5这点跳起，经2018次跳后它将停在的点是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11=a ，{}n n na S +为常数列，则{}n a 通项为 ( ) A ．113n - B ．()21n n + C ．()()612n n ++ D ．523n- 11．已知定义域为R 的函数)(x f 满足)2(4)(+=x f x f ，当[)2,0∈x 时，[)[)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈⎪⎭⎫ ⎝⎛∈++-=-2,1,211,0,1)(232x x x x x f x ，设)(x f 在上的最大值为)(*N n a n ∈，且{}n a 的前n项和为n S ，若k S n <对任意的正整数n 均成立，则实数k 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．12.已知直线y a =与函数tan (0)3y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭相邻两支曲线的交点的横坐标分别为1x ,2x ，且有212x x π-=，假设函数()()tan 0,3y x x πωπ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的两个不同的零点分别为3x ,443()x x x >，若在区间()0,π内存在两个不同的实数5x ,665()x x x >，与3x ，4x 调整顺序后，构成等差数列，则{}()56tan ,3y x x x x πω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．33-或 33 B ．3-或3 C ．3-或3或不存在 D ．33-或33或不存在二．填空题（每小题5分）13在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知,,，32cos =B 则A=______． 14．在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,32=--cbb c bc a ,ABC ∆外接圆的半径为3，则a=_____15．如图所示，一艘海轮从A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B 处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C 处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分． 16已知函数)12)(()(2++=-x e e x f x x ，若)2()1(-≤+x f ax f 对任意的[]4,3∈x 恒成立，则实数a 的取值范围是_____ 三．解答题17．（满分10分）在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且BbA a sin 3cos =． 1求角A 的值；2若ABC ∆的面积为33，且14=a ，求ABC ∆的周长．18．（满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a a S n n -=，且3,1,1321---a a a 是等差数列{}n b 的前三项.（1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（2）记n n n b a c +=，*N n ∈，求数列的{}n c 前n 项和n T .19（满分12分）．ABC ∆的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c 已知b,c,B a cos 2成等差数列.（1）求角A ；（2）若3,13==b a ,D 为BC 中点，求AD 的长.20（满分12分）.汕头某通讯设备厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进世界先进设备奔腾6号，并马上投入生产.第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加4万元，而每年因引入该设备可获得的年利润为50万元.请你根据以上数据，解决下列问题：（1）引进该设备多少年后，收回成本并开始盈利？（2）引进该设备若干年后，有两种处理方案：第一种：年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.问哪种方案较为合算？并说明理由.21.（满分12分）已知数列{}n a 中，211=a )(32*1N n a a a n n n ∈+=+．求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n a 是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； 已知数列{}n b ，满足n nn n a n b 2)13(-=． i ）求数列{}n b 的前n 项和n T ； ii ）若不等式nn nnT 21-+<λ）（对一切恒成立，求λ的取值范围．22（满分12分）.已知集合A 是满足下列条件的函数()f x 的全体：在定义域内存在实数0x ，使得()()()0011f x f x f ++=成立.（1）判断幂函数()1f x x -=是否属于集合A ？并说明理由；（2）设()2lg x ag x b+=， (]1,∞-∈x ，i ）当1b =时，若()g x A ∈，求a 的取值范围；ii ）若对任意的()0,2a ∈，都有()g x A ∈，求b 的取值范围CCCBC CADBB BC13 14. 3 15. 16.17.()由正弦定理：，可得又因为，所以，，因为，所以．2因为，所以，中，由余弦定理，，则，故，所以的周长为．18.（1）∵当时，两式相减得，即. 又，，成等差数列 ∴数列是首项为2公比为2的等比数列 ∴数列的通项公式为.则，∴数列是首项为1，，公差为2的等差数列， ∴数列的通项公式为.（2）由（1）知，前n 项和2221)21(21-=--=+n n n S 前n 项和22)121(n nn H n =-+=可得2212-+=+n n n T19.（1）成等差数列，则，由正弦定理得：，，，即，因为，所以，又，.（2）在中，，，即，或（舍去），故，在中，在中，，.20.21.，，，，，，是以3为首项，3公比的等比数列，．．解由得，，，两式相减，得：，．由得，令，则是递增数列，若n为偶数时，恒成立，又，，若n为奇数时，恒成立，，，．综上，的取值范围是22.（Ⅰ）()f x A ∈，理由如下：令()()()11f x f x f ++=，则1111x x+=+，即210x x --=， 解得： 115x -=， 215x +=均满足定义域{|0}x x ≠.当()1f x x -=时， ()f x A ∈（Ⅱ）当1b =时， ()()lg 2x g x a =+()g x A ∈，⎩⎨⎧≤+≤∴111x x ,0≤x 由题知： ()()()11g x g x g ++=在(]0,∞-上有解 ()()()1lg 2lg 2lg 2x x a a a +∴+++=+ ()()2222(2)x xaa a a ∴⋅++=+>-，令2x t =，则(]1,0∈t222320t at a a ∴++--=即()()2210t a t a +-++= 112at ∴=-， 21t a =-- 从而，原问题等价于1210≤-<a或110≤--<a 20<≤∴a 或12-<≤-a又20x a +>在(]0,∞-上恒成立 0a ∴≥， 02a ∴≤<ii)由i)知：对任意()0,2a ∈， ()()()11g x g x g ++=在(]0,∞-上有解1222lg lg lg x x a a a b b b++++∴+=，即()()()2222(0)x xaa ab b ⋅++=+>，令2x t =，则(]1,0∈t则()222320t at a a b ++-+=在(]1,0∈t 上有解 令()()22232f t t at a a b =++-+， 304at =-<对，则 ⎩⎨⎧≥<0)1(0)0(f f ，即⎪⎩⎪⎨⎧≥+-++<+-0)2(230)2(22b a a a b a a由()0,2a ∈可得： ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++≤+>223222a a a b a a b 令()22,4u a =+∈，则⎪⎩⎪⎨⎧-≤-+>144u b uu b ， ∴ 1{ 1b b ≥≤， 1b ∴=.-----精心整理参考模板，希望对您有所帮助!!。
汕头市金山中学2018-2018学年度第一学期摸底考试高三理科数学 试题卷 命题人：许 可本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合(){}(){},|1,,|42A x y y x B x y y x ==+==-，则AB =（ ）A ．(){}1,2B ．()1,2C ．{}1,2D ．()(){}1,2,1,2-- 2．如果复数212bii-+（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b 等于（ ）A ．6-B ．23-C ．23 D ．23．已知命题p ：在ABC ∆中，若BC AB <，则A C sin sin <；命题q ：已知R a ∈，则“1>a ”是“11<a”的必要不充分条件。
在命题q p q p q p q p ∧⌝∨⌝∨∧)(,)(,,中，真命题个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．执行如图所示程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数a 的可能取值集合是（ ） A ．{}1,2,3,4,5 B ．{}1,2,3,4,5,6 C ．{}2,3,4,5 D ．{}2,3,4,5,6 5．已知数列{}{},n n a b ，满足113a b ==，113,n n n nb a a n N b *++-==∈，若数列{}nc 满足n n a c b =，则2017c =（ ）A ．20169B ．201627C ．20179D ．2017276．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是2，则正（主）视图的面积等于（ ） A ．2B ．92C ．32D ．37．已知b a ,为同一平面内的两个向量，且),2,1(==，若b a 2+与-2垂直，则与的夹角为（ ）A ．0B ．4π C ．32π D ．π第4题图8．已知函数()2cos2g x x =，若在区间[]0,π上随机取一个数x ，则事件“()g x ≥发生的概率为（ ） A ．14B ．13C ．16D ．239．某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有（ ）种A ．18B ．24C ．36D ．7210．已知()f x 是定义在R 上的增函数，函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，若对任意的,x y R ∈，等式()30f y f -+=恒成立，则yx的取值范围是（ ） A．2⎡⎢⎣⎦ B．2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C．1,2⎡+⎢⎣⎦ D ．[]1,311．已知点A 是抛物线()2:20M y px p =>与圆()222:4C x y a +-=在第一象限的公共点，且点A 到抛物线M 焦点F 的距离为a ，若抛物线M 上一动点到其准线的距离与到圆心C 的距离之和的最小值为2a ，O 为坐标原点，则直线OA 被圆C 所截得的弦长为（ ） A ．2B． C．3 D．612．若过点(),P a a 与曲线()ln f x x x =相切的直线有两条，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),e -∞ B ．(),e +∞ C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,+∞ 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．求值421x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰= ． 14．如果3nx ⎛⎫ ⎝的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x 的系数是 。
2018-2019年最新汕头金山中学自主招生考试数学模拟精品试卷（第一套）考试时间：90分钟总分：150分一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共36分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请你把正确选项前的字母填涂在答题卷中相应的格子内．注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．1．下列事件中，必然事件是( )A．掷一枚硬币，正面朝上B．a是实数，|a|≥0C．某运动员跳高的最好成绩是20.1米D．从车间刚生产的产品中任意抽取一个，是次品2、如图是奥迪汽车的标志，则标志图中所包含的图形变换没有的是（）A．平移变换 B．轴对称变换 C．旋转变换 D．相似变换3．如果□×3ab＝3a2b，则□内应填的代数式( )A．ab B．3ab C．a D．3a4．一元二次方程x(x－2)＝0根的情况是( )A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根5、割圆术是我国古代数学家刘徽创造的一种求周长和面积的方法：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周O长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。
试用这个方法解决问题：如图，⊙的内接多边形周长为3 ，⊙O 的外切多边形周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是（ ） A．10D6、今年5月，我校举行“庆五四”歌咏比赛，有17位同学参加选拔赛，所得分数互不相同，按成绩取前8名进入决赛，若知道某同学分数，要判断他能否进入决赛，只需知道17位同学分数的（ ） A.中位数 B.众数 C.平均数 D.方差7．如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可能是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －3>0 B. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，3－x >0C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，x －3>0 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，3－x >08．已知二次函数的图象(0≤x ≤3)如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( )A ．有最小值0，有最大值3B ．有最小值－1，有最大值0C ．有最小值－1，有最大值3D ．有最小值－1，无最大值9．如图，矩形OABC 的边OA 长为2 ，边AB 长为1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是( )主视方向A ．2.5B ．2 2 C.3 D. 510．广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x 2＋4x (单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )A ．4米B ．3米C ．2米D ．1米 11、两个大小不同的球在水平面上靠在一起，组成如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（ ）（A ）两个外离的圆 （B ）两个外切的圆（C ）两个相交的圆 （D ）两个内切的圆12．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b 2－4ac >0； ②abc >0； ③8a ＋c >0； ④9a ＋3b ＋c <0.其中，正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题（本小题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案13．当x ______时，分式13－x有意义．14．在实数范围内分解因式：2a 3－16a ＝________.15．在日本核电站事故期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘－131，其浓度为0.0000963贝克/立方米．数据“0.0000963”用科学记数法可表示为________．16．如图，C 岛在A 岛的北偏东60°方向，在B 岛的北偏西45°方向，则从C 岛看A 、B 两岛的视角∠ACB ＝________.17．若一次函数y ＝(2m －1)x ＋3－2m 的图象经过 一、二、四象限，则m 的取值范围是________．18．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形有________个小圆. (用含 n 的代数式表示)三、解答题（本大题7个小题，共90分）19．（本题共2个小题，每题8分，共16分） （1）.计算：(2011－1)0＋18sin45°－2－1（2）．先化简，再计算： x 2－1x 2＋x ÷⎝⎛⎭⎪⎫x －2x －1x ，其中x 是一元二次方程x 2－2x －2＝0的正数根．20．（本题共2个小题，每题6分，共12分）（1）.如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为(x2＋17) cm，正六边形的边长为(x2＋2x) cm(其中x>0)．求这两段铁丝的总长．（2）．描述证明海宝在研究数学问题时发现了一个有趣的现象：将上图横线处补充完整，并加以证明．21．（本题12分）某初中学校欲向高一级学校推荐一名学生，根据规定的推荐程序：首先由本年级200名学生民主投票，每人只能推荐一人(不设弃权票)，选出了票数最多的甲、乙、丙三人．票数结果统计如图一：其次，对三名候选人进行了笔试和面试两项测试．各项成绩如下表所示：面试859580图二是某同学根据上表绘制的一个不完全的条形图．请你根据以上信息解答下列问题：(1)补全图一和图二；(2)请计算每名候选人的得票数；(3)若每名候选人得一票记1分，投票、笔试、面试三项得分按照2∶5∶3的比确定，计算三名候选人的平均成绩，成绩高的将被录取，应该录取谁？22．（本题12分）如图，已知直线AB与x轴交于点C，与双曲线y＝kx交于A(3，203)、B(－5，a)两点．AD⊥x轴于点D，BE∥x轴且与y轴交于点E.(1)求点B的坐标及直线AB的解析式；(2)判断四边形CBED的形状，并说明理由．23、（本题12分）如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，点D在⊙O上，AD⊥AB于点A， AD与BC交于点E，F在DA的延长线上，且AF=AE．（1）试判断BF与⊙O的位置关系，并说明理由；(2）若⊙O的半径为2．∠F=60，求弓形AB的面积24．（本题12分）已知双曲线y ＝kx与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交于A (2,3)、B (m,2)、c (－3，n )三点．(1)求双曲线与抛物线的解析式；(2)在平面直角坐标系中描出点A 、点B 、点C ，并求出△ABC 的面积．25．（本题共2个小题，每题7分，共14分） （1）观察下列算式：① 1 × 3－22＝3－4＝－1 ② 2 × 4－32＝8－9＝－1 ③ 3 × 5－42＝15－16＝－1 ④ __________________________ ……(1)请你按以上规律写出第4个算式； (2)把这个规律用含字母的式子表示出来；(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．（2）如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点. 已知反比例函数y＝kx(k >0)的图象经过点A (2，m )，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，且△AOB 的面积为12.(1)求k 和m 的值；(2)点C (x ，y )在反比例函数y ＝kx的图象上，求当1≤x ≤3时函数值y 的取值范围；(3)过原点O 的直线l 与反比例函数y ＝kx的图象交于P 、Q 两点，试根据图象直接写出线段PQ 长度的最小值.2018-2019年最新汕头金山中学自主招生考试数学模拟精品试卷答案（第一套）1.答案 B解析 据绝对值的意义，一个数的绝对值是一个非负数，|a |≥0.2.C3.答案 C解析 □＝3a 2b ÷3ab ＝a . 4.答案 A解析 x (x －2)＝0，x ＝0或x －2＝0，x 1＝0，x 2＝2，方程有两个不相等的实数根．5.C6.A7.答案 B 解析 观察数轴，可知－1<x <3，只有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，3－x >0的解集为－1<x <3.8.答案 C解析 当0≤x ≤3时，观察图象，可得图象上最低点(1，－1)，最高点(3,3)，函数有最小值－1，最大值3.9.答案 D解析 在Rt △OAB 中，∠OAB ＝90°，所以OB ＝12＋22＝ 5 10.答案 A解析 y ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，抛物线开口向下，函数有最大值4.11.D 12.答案 D解析 由图知：抛物线与x 轴有两个不同的交点，则△＝b 2－4ac >0，故①正确．抛物线开口向上，得a >0；又对称轴为直线x ＝－b2a＝1，b ＝－2a <0.抛物线交y 轴于负半轴，得 c <0，所以abc >0，②正确．根据图象，可知当x ＝－2时，y >0，即4a －2b ＋c >0，把b ＝－2a 代入，得4a －2(－2a )＋c ＝8a ＋c >0，故③正确．当x ＝－1时，y <0，所以x ＝3时，也有y <0，即9a ＋3b ＋c <0，故④正确．二．填空题 13.答案 ≠3解析 因为分式有意义，所以3－x ≠0，即x ≠3. 14.答案 2a (a ＋2 2)(a －2 2) 15.答案 9.63×10－5解析 0.0000963＝9.63×10－5. 16.答案 105°解析 如图，∵(60°＋∠CAB )＋(45°＋∠ABC )＝180°，∴∠CAB ＋∠ABC ＝75°，在△ABC 中，得∠C ＝105°.17.答案 m <12解析 因为直线经过第一、二、四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m －1<0，3－2m >0，解之，得m <12.18.答案 n (n ＋1)＋4或n 2＋n ＋4解析 第1个图形有2＋4＝(1×2＋4)个小圆，第2个图形6＋4＝(2×3＋4)个小圆，第3个图形有12＋4＝(3×4＋4)个小圆，……第n 个图形有[n (n ＋1)＋4]个小圆．三、解答题（本大题7个小题，共90分） 19．（本题共2个小题，每题8分，共16分）（1）.解：原式＝1＋3 2×22－12＝312.（2）解：原式＝x ＋1x －1x x ＋1÷x 2－2x ＋1x ＝x －1x ·xx －12＝1x －1. 解方程得x 2－2x －2＝0得， x 1＝1＋3>0，x 2＝1－3<0. 当x ＝1＋3时，原式＝11＋3－1＝13＝33.20.（1）.解：由已知得，正五边形周长为5(x 2＋17) cm ，正六边形周长为6(x 2＋2x ) cm.因为正五边形和正六边形的周长相等， 所以5(x 2＋17)＝6(x 2＋2x )．整理得x 2＋12x －85＝0，配方得(x ＋6)2＝121， 解得x 1＝5，x 2＝－17(舍去)．故正五边形的周长为5×(52＋17)＝210(cm)．又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420 cm. 答：这两段铁丝的总长为420 cm.（2）解：如果a b ＋ba ＋2＝ab ，那么a ＋b ＝ab .证明：∵a b ＋b a ＋2＝ab ，∴a 2＋b 2＋2abab＝ab ，∴a 2＋b 2＋2ab ＝(ab )2，∴(a ＋b )2＝(ab )2， ∵a >0，b >0，a ＋b >0，ab >0， ∴a ＋b ＝ab .21.解：(1)乙30%；图二略．(2)甲的票数是：200×34%＝68(票)， 乙的票数是：200×30%＝60(票)， 丙的票数是：200×28%＝56(票)，(3)甲的平均成绩：x 1＝68×2＋92×5＋85×32＋5＋3＝85.1，乙的平均成绩：x 2＝60×2＋90×5＋95×32＋5＋3＝85.5，丙的平均成绩：x 3＝56×2＋95×5＋80×32＋5＋3＝82.7，∵乙的平均成绩最高，∴应该录取乙．22.解：(1)∵双曲线y ＝k x 过A (3，203)，∴k ＝20.把B (－5，a )代入y ＝20x，得a ＝－4.∴点B 的坐标是(－5，－4). 设直线AB 的解析式为y ＝mx ＋n ，将 A (3，203)、B (－5，－4)代入得，⎩⎨⎧203＝3m ＋n ，－4＝－5m ＋n ，解得：m ＝43，n ＝83.∴直线AB 的解析式为：y ＝43x ＋83.(2)四边形CBED 是菱形．理由如下：易求得点D 的坐标是(3,0)，点C 的坐标是(－2,0)． ∵ BE //x 轴， ∴点E 的坐标是(0，－4)． 而CD ＝5, BE ＝5, 且BE //CD . ∴四边形CBED 是平行四边形. 在Rt △OED 中，ED 2＝OE 2＋OD 2, ∴ ED ＝32＋42＝5，∴ED ＝CD . ∴四边形CBED 是菱形.23.解：证明：（1）BF 与⊙O 相切，连接OB 、OA ，连接BD ， ∵AD ⊥AB ，∴∠BAD=90°， ∴BD 是直径，∴BD 过圆心.∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C ， ∵∠C=∠D ，∴∠ABC=∠D ， ∵AD ⊥AB ，∴∠ABD+∠D=90°， ∵AF=AE ，∴∠EBA=∠FBA ， ∴∠ABD+∠FBA=90°，∴OB ⊥BF ， ∴BF 是⊙O 切线.(2)∵∠F=600，∴∠D=900-∠F=300,∴∠AOB=600,∴△AOB 为等边三角形..S 弓形AB=3322433602602020-=⨯-ππ.24.解：(1)把点A (2,3)代入y ＝kx得：k ＝6.∴反比例函数的解析式为：y ＝6x.把点B (m,2)、C (－3，n )分别代入y ＝6x得： m ＝3，n ＝－2.把A (2,3)、B (3,2)、C (－3，－2)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c 得：⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝3，9a ＋3b ＋c ＝2，9a －3b ＋c ＝－2，解之得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝23，c ＝3.∴抛物线的解析式为：y ＝－13x 2＋23x ＋3.(2)描点画图(如图)：S △ABC ＝12(1＋6)×5－12×1×1－12×6×4＝352－12－12＝5.25.（1）.解：(1)4×6－52＝24－25＝－1.(2)答案不唯一．如n ()n ＋2－()n ＋12＝－1.(3)n ()n ＋2－()n ＋12 ＝n 2＋2n －()n 2＋2n ＋1 ＝n 2＋2n －n 2－2n －1 ＝－1. 所以一定成立．（2）解：(1)∵A (2，m )，∴OB ＝2，AB ＝m ，∴S △A OB ＝12OB ·AB ＝12×2×m ＝12，∴m ＝12.∴点A 的坐标为(2，12)．把A (2，12)代入y ＝k x ，得12＝k2，∴k ＝1.(2)∵当x ＝1时，y ＝1；当x ＝3时，y ＝13，又∵反比例函数y ＝1x在x >0时，y 随x 的增大而减小，∴当1≤x ≤3时，y 的取值范围为13≤y ≤1.(3) 由图象可得，线段PQ 长度的最小值为2 2.(1)(2)(3)2018-2019年最新汕头金山中学自主招生考试数学模拟精品试卷（第二套）考试时间：90分钟 总分：150分第I 卷一、选择题（每小题5分，共60分） 1、下列计算中，正确的是( )A ．B ．C ．D ．2、如右图，在□ABCD 中，AC 平分∠DAB ，AB = 3，则□ABCD 的周长为( ) A ．6B ．9C ．12D ．153、已知二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图象如右图所 示，则下列结论 ①0<++c b a ②0<+-c b a ③02<+a b ④0>abc 中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4、如图是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是（ ）020=623)(a a =93=±2a a a =+（A ）25 （B ）66 （C ）91 （D ）120 5、有如下结论（1）有两边及一角对应相等的两个三角形全等；（2）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形；（3）对角线相等的四边形是矩形；（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
