九年级数学上册第3章数据的集中趋势和离散程3.4方差教案新版苏科版

“方差”教学设计[教材分析]在信息技术不断发展的社会了，数据的手机、整理与分析信息的能力已成为信息时代每一位公民基本素养的一部分，随着计算机等技术的迅速发展，数据日益成为一种重要信息，我们不仅要收集数据，还要对收集的数据进行处理和分析，数据能帮助人们了解情况，发现规律，作出判断和预测。

其中平均数、中位数、众数是人们常用来刻画“平均水平”、表示数据集中程度的统计量；极差、方差、标准差是人们常用来刻画数据的“波动幅度”，表示数据离散程度的统计量。

[教学目标]1.经历刻画数据离散程度的探索过程，感受表示数据离散程度的必要性；2.理解极差、方差概念，会计算极差、方差，并在具体情景中加以应用；3.学生形成统计意识，形成尊重事实、用数据说话的态度，认识数据处理的实际意义。

[教学重点]方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题，掌握其求法。

[教学难点]理解方差公式，应用方差对数据波动情况比较、判断。

[教学设想]采用自主探究、阅读的方法，即在自主探究的同时，对学生学习难点进行引导，将研究不断深入，在知识形成共鸣时，组织学生自主阅读，达成最后的认识。

由于学习的过程是循序渐进的，所以学生对方差的理解不会仅停留在公式的死记硬背，同时养成爱动脑、勤思考、善学习的良好习惯。

[教学过程]一、问题引入1.一天的气温会随时间的变化而变化，你会特别关心什么呢？2.乒乓球的标准直径是40mm，质检部门分别抽取A、B两厂生产的各10只乒乓球，对其直径进行检测，结果如下（单位：mm）A 40.0,39.9,40.0,40.1,40.2,39.8,40.0,39.9,40.0,40.1B 40.0,40.2,39.8,40.1,39.9,40.1,39.9,40.2,39.8,40.0哪个厂生产的乒乓球质量比较稳定？设计意图：由实际问题感知仅学习“反映一组数据集中趋势的量”是不够的，我们还要关心数据的差异、数据的离散程度，从而再次激发学生学习、探究的欲望，同时引入本节课的课题。

方差各位评委老师，大家好，很高兴今天能有这样一个学习和交流的机会，我今天说课的题目是《方差》。

一说教材、二说教法、三说学法、四说教学过程、五设计说明一、说教材（一）教材简析：《方差》这个课题选新人教版第20章第2节，描述了变量分布的数量特征，方差是描述离散程度的重要指标之一。

通过本节课的学习可以使学生学会如何运用方差去描述变量分布的离散程度，还可以打开学生思路，对培养学生的逻辑思维能力也有重要作用。

（二）教学目标：在分析学生及教材的基础上，我制定了本节课的教学目标：知识与技能1、了解方差的定义和计算公式。

2、理解方差概念的产生和形成的过程。

3、会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小。

过程与方法经历探索极差、方差的应用过程，体会数据波动中的极差、方差的求法时以及区别，积累统计经验。

情感态度与价值观培养学生的统计意识，形成尊重事实、用数据说话的态度，认识数据处理的实际意义。

(三）教学重点难点方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题。

掌握其求法，理解方差公式，应用方差对数据波动情况的比较、判断。

（四）教材处理：将讲解的重点放在方差的概念和计算步骤上。

二、说教法教法是教学中直接决定教学效果的重要因素之一，素质教育的重要内容之一是充分发挥学生的主体作用，围绕这一主题，根据本学科本节内容以及教学对象的特点，我选择了以下教学方法。

1．启发教学法：由于教学内容比较抽象，以其自身的内容很难吸引学生，所以，我根据教学内容的内在联系，在教学中采用启发式教学，随着教学进程的需要不断提出新问题，不断设置课程中的悬念，环环相扣，让学生带着问题融入课堂，以严密的逻辑推理紧紧吸引学生，让学生在自己寻求答案的过程中充分体会到了成功的喜悦，促成了学生的主动学习。

2．结合练习法增强教学效果。

我一方面采用了讲练结合的方法，以一、二个例题贯穿教学过程的始终，以例题为基础将知识串起来，边讲边练，这样可以增强知识的连贯性；另一方面采用了分组练习的方法，让每一个同学都参与到教学中来，体现了面向全体学生授课的指导思想。

苏科版数学九年级上册3.4 方差、标准差教学设计一. 教材分析苏科版数学九年级上册3.4 方差、标准差是本册的重点内容，也是难点内容。

这一节主要介绍了方差和标准差的概念，以及它们的计算方法。

方差是衡量一组数据波动大小的量，标准差是方差的平方根，用来衡量一组数据的离散程度。

本节内容对于学生来说比较抽象，需要通过大量的例子来帮助学生理解和掌握。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了一元二次方程、不等式等基础知识，对于函数、统计等概念也有一定的了解。

但是，对于方差、标准差这样的抽象概念，学生可能难以理解。

因此，在教学过程中，需要通过具体的例子来帮助学生理解概念，并通过大量的练习来巩固知识。

三. 教学目标1.了解方差、标准差的概念，理解它们的意义。

2.学会计算方差、标准差的方法。

3.能够应用方差、标准差来解决实际问题。

四. 教学重难点1.方差、标准差的概念。

2.方差、标准差的计算方法。

3.应用方差、标准差解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等教学方法。

通过具体的例子引出方差、标准差的概念，通过案例教学法讲解计算方法，通过小组合作法让学生互相讨论、交流，巩固知识。

六. 教学准备1.PPT课件。

2.相关案例资料。

3.练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的问题引出方差、标准差的概念。

例如，某学校九年级有甲、乙两个班级，在一次数学考试中，甲班平均分是80分，乙班平均分是82分，问这两个班的数学成绩是否存在显著性差异？2.呈现（10分钟）通过PPT课件呈现方差、标准差的定义和计算公式。

方差是衡量一组数据波动大小的量，标准差是方差的平方根，用来衡量一组数据的离散程度。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组找一个例子，计算其方差和标准差。

教师巡回指导，解答学生疑问。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成练习题，教师选取部分题目进行讲解。

5.拓展（10分钟）让学生思考：方差、标准差在实际生活中有哪些应用？引导学生联系生活实际，举例说明。

方差学习目标：1、理解方差的概念，掌握计算方法和步骤；2、掌握方差对数据反映的实际意义；重点难点：1、方差的计算2、理解方差的统计意义预习导学学一学：仔细阅读教材P149至P151的内容，解决下面的问题：说一说：方差的定义：表示方法计算方法：意义：做一做：1、计算数据7、8、8、9、7、8、8、9、7、9的方差方法一；公式直接代入2、计算数据3、3、4、6、8、9、9 的方差方法二表格法巩固练习、数据98、99、100、101、102的方差有一批棉花，其各种长度的纤维所占比例如表所示：试求这批棉花纤维的平均长度与方差．互动探究一：甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下：（1） 请分别计算两名射手的平均成绩互动探究二：已知三组数据:甲：1、2、3、4、5； 乙：11、12、13、14、15 丙：3、6、9、12、151、求这三组数据的平均数、方差2、对照以上结果，你能从中发现哪些有趣的结论？第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲命中环数78889乙命中环数1061068练习：1、如果给定数组中每一个数都减去同一非零常数，则数据的（）A、平均数改变，方差不变B、平均数改变，方差改变C、平均数不变，方差不变 A、平均数不变，方差改变2、已知数据101，98，102，100，99，则这组数据的极差是_______方差是____3、一组数据：，，0，x，1的平均数是0，则x是方差 .4、段巍和金志强两人参加体育项目训练，近期的5次测试成绩如下表所示，谁的成绩比较稳定？为什么？测试次数 1 2 3 4 5段巍13 14 13 12 13金志强10 13 16 14 12。

新苏科版九年级数学上册：3.4 方差 学案学习目标：学习时间：1.经历刻画数据离散程度的探索过程，继续感受表示数据离散程度的必要性. 2．知道极差、方差的意义，会计算一组数据的极差与方差．3．培养学生观察问题、分析问题的能力，培养学生的发散思维能力 学习重点、难点：方差、极差的概念；求一组数据的方差与极差 学习方法： 学习过程： 【预习提纲】1．课本乒乓球的直径问题中，你认为哪个厂生产的乒乓球的直径与标准的误差更小呢？通过计算容易得到，A 厂、B 厂分别抽样调查的10只乒乓球的直径的平均数均为40mm ，极差均为0 .4mm.因此，有必要探索更精确地刻画一组数据波动情况的方法，是什么呢？2．从课本图2-2可以看出，哪个厂的数据与平均数的偏差大？怎样用一个量来描述这两组数据偏离平均数的大小呢？把课本中的方法写下来.3. 现在有一组数据：123,,,n x x x x ……，这组数据的平均数表示成x ，你能表示出这组数据的方差吗？4．通常，一组数据的方差越小，这组数据离散程度越 ，这组数据就越 . 【新知探究】问题1. .数据1，3，2，5，4的极差是 方差是________,问题2. 从A 、B 牌的两种火柴中各随机抽取10盒，检查每盒的根数，数据如下：（单位：根） A 、99，98，96，95，101，102，103，100，100，96； B 、104，103，102，104，100，99，95，97，97，99. (1)分别计算两组数据的极差、平均数及方差. (2)哪种牌子的火柴每盒的根数更接近于100根？【变式拓展】问题3. 在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶.如图是其中的甲、乙段台阶路的示意图.请你用所学过的有关统计知识（平均数、中位数、方差和极差）回答下列问题： （1）哪段台阶路走起来更舒服？为什么？（2）为方便游客行走，需要重新整修上山的小路.对于这两段台阶路，在台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议.问题4. 现有一组数据：123,,,n x x x x ……，这组数据的平均数为2,方差是1， ⑴求出下列两组数据的平均数和方差①1232,2,2,2n x x x x ……； ②x 1—1，x 2—1，x 4—1，……，x n —1⑵从最后的结果你发现了什么规律，⑴中得到的规律能推广到一般的情况吗?【回扣目标】1．求一组数据的方差的步骤是什么？2．一组数据的方差，那么这组数据的离散程度就越 （填“大”或“小”） 【课堂反馈】1.本学期的五次数学测试中，甲、乙两同学的平均成绩一样，方差分别为 1.2、0.5，则下列说法正确的是（ ）A ．乙同学的成绩更稳定B ．甲同学的成绩更稳定C ．甲、乙两位同学的成绩一样稳定D ．不能确定2．有一组数据3、5、7、a 、4，如果它们的平均数是5，那么这组数据的方差是（ ）A ．2B ．5C ．6D ．716 1414 16 1515 甲路段17 1910 18 15 11乙路段3．已知数据1，2，3，4，5的方差为2，则11，12，13，14，15的方差为_________ 4.已知一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的平均数是2，方差是13，那么另一组数据3x 1-2，3x 2-2，3x 3-2，3x 4-2，3x 5-2的平均数是________，方差是________.5．已知321,,x x x 的平均数=x 10，方差=2S 3，则3212,2,2x x x 的平均数为 ，方差为 .6.甲、乙两人在相同的条件下各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲：9，7，8，9，7，6，10，10，6，8； 乙：7，8，8，9，7，8，9，8，10，6 (1)分别计算甲、乙两组数据的方差； (2)根据计算结果比较两人的射击水平. 课 题: 小结与思考 学习目标:学习时间1.梳理本章的学习内容，形成知识网络.2．在解决问题的过程中，加强对知识的理解，以及增强应用数学的意识和综合运用所学统计知识解决问题的能力.3．感受本章的数学思想方法，发展统计意识和统计推理能力. 重点、难点：综合运用所学知识解决问题 学习方法学习过程 【知识梳理】回顾与思考下列问题：1.描述数据的集中趋势的统计量有哪些？2.求一组数据的平均数的方法有哪些？3.如何求一组数据的中位数和众数？4. 本章学习的刻画数据波动的统计量有哪些？5.什么叫极差？它刻画了一组数据的什么特性？6.什么叫方差？它又刻画了一组数据的什么特性？【问题探究】问题1 (1) 某单位举行歌咏比赛，分两场举行，第一场８名参赛选手的平均成绩为88 分，第二场４名参赛选手的平均成绩为94分，那么这12名选手的平均成绩 是 分．(2) 学校对王老师与张老师的工作态度、教学成绩及业务学习三个方面做了一个初步评估，成绩如下表： 工作态度 教学成绩 业务学习 王老师 98 95 96 张老师909998（1）分别计算王老师、张老师三个方面的平均分，并以此判断谁应评为优秀； （2）若工作态度、教学成绩、业务学习分别占20%、60%、20%， 分别计算王老师、张老师三个方面的平均分，并以此判断谁应评为优秀。

苏教版数学九年级上册教学设计《3-4方差》一. 教材分析苏教版数学九年级上册《3-4方差》一节，是在学生学习了平均数、中位数、众数等统计量的基础上，引入方差的概念。

方差是衡量一组数据波动大小的量，它在实际生活中有着广泛的应用。

本节课通过实例让学生感受方差的概念，理解方差的意义，掌握计算方差的方法，并能运用方差解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的统计学基础，对平均数、中位数、众数等概念有一定的了解。

但方差作为一个新的概念，对学生来说较为抽象，难以理解。

因此，在教学过程中，需要通过具体的实例让学生感受方差的概念，并通过大量的练习让学生掌握计算方差的方法。

三. 教学目标1.理解方差的概念，掌握计算方差的方法。

2.能运用方差衡量一组数据的波动大小，解决实际问题。

3.培养学生的数据分析能力，提高解决问题的能力。

四. 教学重难点1.方差的概念理解。

2.计算方差的方法。

3.运用方差解决实际问题。

五. 教学方法采用情境教学法、案例教学法、小组合作学习法等，通过实例引入方差的概念，引导学生探究方差的计算方法，并通过小组讨论解决实际问题。

六. 教学准备1.教学课件。

2.实例材料。

3.练习题。

4.小组讨论工具。

七. 教学过程导入（5分钟）通过一个生活中的实例引入方差的概念。

例如，比较两组学生的身高数据，发现虽然两组数据的平均身高相同，但数据的波动程度不同。

提问：如何衡量这种波动程度的大小呢？呈现（10分钟）呈现方差的定义和计算公式。

通过具体的例子解释方差的含义，让学生感受方差的意义。

操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一组数据，计算这组数据的方差。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成，检验学生对方差的掌握程度。

拓展（10分钟）引导学生思考：方差在实际生活中有哪些应用？如何运用方差解决实际问题？让学生举例说明。

小结（5分钟）总结本节课的主要内容，强调方差的概念和计算方法。

3.5用计算器求方差教学目标【知识与能力】熟练掌握利用计算器求一组数据的方差.【过程与方法】熟练掌握利用计算器求一组数据的方差.【情感态度价值观】进一步体会用计算器进行计算的优越性.教学重难点【教学重点】掌握利用计算器求一组数据的方差.【教学难点】在掌握计算器处理数据的基本技能的基础上解决实际问题.课前准备无教学过程情境创设为了从甲、乙两人中选拔一个参加学校射击比赛，对他们进行了测试，10次打靶命中的环数如下：甲：10，7，8，8，8，8，8，8，9，6；乙：8，8，8，8，5，8，8，9，9，9.计算甲、乙两人命中环数的方差，比较他们射击成绩的稳定性.探究新知1．方法一：(1)按开机键ON/C后，首先将计算器功能模式设定为统计模式；(2)依次按键：MODE 1ALPHAM+ 10 ▼▼ 7 ▼▼ 8 ▼ 6 ▼ 9 ▼▼6 ▼ ALPHAM+；(3) ALPHA4= 显示结果为8；(4) ALPHA×= 显示结果为1；即甲射击成绩的平均数x＝8，方差s2＝1.(5)依次按键：MODE 1ALPHAM+8 ▼ 4 ▼ 5 ▼▼ 8 ▼ 2 ▼ 9 ▼ 3▼ ALPHAM+；(6) ALPHA4= 显示结果为8；(7) ALPHA×= 显示结果为1.2.即乙射击成绩的平均数x＝8，方差s2 ＝ 1.2.这两组数据的平均数虽然相同，但是第二组数据的方差大于第一组数据的方差，说明第二组数据的离散程度较大，甲射击成绩比乙稳定.2.方法二：见P119中“方法二”.3.总结计算器进行统计运算的步骤.巩固练习1.甲、乙两家水果店1～6月份某种水果的销售情况如下（单位：kg）：1月2月3月4月5月6月甲店520 490 530 470 630 600乙店530 510 520 540 570 570分别计算这两家水果店1～6月份该种水果月销售量的平均数、方差．2．从甲、乙两台包装机包装的质量为400g 的袋装食品中各抽取10袋，测得其实际质量如下（单位：g）：甲：401，400，408，406，410，409，400，393，394，394；乙：403，404，402，396，399，401，405，397，402，399．（1）分别计算这两个样本的平均数、方差；（2）比较这两台包装机包装质量的稳定性.3．甲、乙两人在相同条件下各掷铁饼5次，距离如下 (单位：米)：甲：46.0，48.5，41.6，46.4，45.5；乙：47.1，40.8，48.9，48.6，41.6.(1)试判定谁投的远一些？(2)说明谁的技术较稳定？总结提高1．用计算器进行统计运算的步骤2．交流用计算器计算的体验．。

苏科版数学九年级上册3.4《方差》教学设计一. 教材分析苏科版数学九年级上册3.4《方差》是学生在学习了数据的收集、整理、描述和分析的基础上，进一步研究数据波动性的重要内容。

本节课通过生活中的实例，引出方差的概念，让学生体会方差在现实生活中的应用，培养学生的应用意识。

教材从生活情境出发，让学生感受数学与生活的联系，培养学生的情感态度与价值观。

同时，本节课的内容为后续学习概率和统计初步知识打下基础。

二. 学情分析学生在八年级时已经学习了数据的收集、整理、描述和分析，对平均数、中位数、众数等概念有了一定的了解。

但在实际操作中，部分学生对数据的处理和分析能力仍需提高。

此外，学生在之前的学习中，对数学知识的应用意识不够强烈，需要教师在教学中加以引导和培养。

三. 教学目标1.知识与技能：理解方差的定义，掌握计算一组数据方差的方法，能运用方差分析实际问题。

2.过程与方法：通过合作交流，培养学生探索、发现、解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：体会数学与生活的联系，增强学生对数学的兴趣和应用意识。

四. 教学重难点1.重点：方差的定义，计算一组数据方差的方法。

2.难点：方差在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活情境引出方差的概念，让学生感受数学与生活的联系。

2.合作学习法：分组讨论，培养学生探索、发现、解决问题的能力。

3.实例分析法：通过具体实例，让学生掌握方差的计算方法，并体会方差在实际问题中的应用。

六. 教学准备1.教师准备：准备好相关的生活情境案例，制作PPT，准备练习题。

2.学生准备：复习八年级数据处理相关知识，准备好笔记本，以便记录学习内容。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一组学生的身高数据，引导学生思考：如何描述这组数据的波动性？从而引出方差的概念。

2.呈现（15分钟）教师讲解方差的定义，并通过PPT展示方差的计算过程。

同时，让学生分组讨论，共同完成一组数据的方差计算。

第3章 数据的集中趋势和离散程度3.4 方差课程标准课标解读1.了解极差、方差和标准差的意义和求法，体会它们刻画数据波动的不同特征；2.学会用极差、方差与标准差来处理数据．并用它们来解决实际问题.1. 了解方差的定义和计算公式。

2. 理解方差概念的产生和形成的过程。

3. 会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小。

知识点01 极差1.极差一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差（range ），极差＝最大值－最小值. 【微点拨】极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据的极差越小，这组数据的波动幅度也越小，也就越稳定.【即学即练1】1．某聊天软件规定：若任意连续5天，好友双方的每日聊天记录的条数不低于100，则双方可以获得“星形”标识．甲、乙两位好友连续 5 天在该软件上聊天，下面是这 5天日聊天记录条数的统计量，一定能判断甲、乙获得“星形”标识的是（ ） A ．中位数为 110 条，极差为 20 条 B ．中位数为 110 条，众数为 112 条 C ．中位数为 106 条，平均数为 102 条 D ．平均数为 110 条，方差为 10 条2【答案】D 【分析】根据各个选项中所给出的统计量对数据进行估计与假设，若能够推断出这组数据中每个数据都不低于100，则满足题意． 【详解】目标导航知识精讲A 、中位数为100条，极差为20，则一定有聊天记录小于100条的天数，故A 说法错误；B 、众数为112条，中位数为110，则数据中必有110,112,112，那么可能出现有1天或者2天聊天条数低于110，但是不能确定这两天的聊天记录都高于100，故B 说法错误；C 、中位数为106，平均数为102，只可保证5日聊天总条数大于500，并不能保证每一天都大于100，故C 说法错误；D 、选项中，设5个数分别为1x 、2x 、3x 、4x 、5x 则)()()()()(222221234521101101101101105x x x x x S -+-+-+-+-=若1x 、2x 、3x 、4x 、5x 中有一个数小于等于100， 则)(222100110205S -≥=，因为210S =，所以1x 、2x 、3x 、4x 、5x 均大于100； 故选：D ．知识点02 方差在一组数据中，各个数据与它们的平均数的差的平方分别是，我们用它们的平均数，即用来描述这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的方差，记作. 【微点拨】（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小. （2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变. （3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍.【即学即练2】2．某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙三名同学的平均分为及方差2S 如右表所示，那么这三名同学数学成绩最稳定的是（ ）12,,n x x x …，x ()21x x -，()()222n x x x x --，…，()[]222212)(...)(1x x x x x x nS n -++-+-=2s k 2kA．甲B．乙C．丙D．无法确定【答案】A【分析】先比较平均成绩，当平均成绩一致时，比较方差，方差小的波动小，成绩更稳定．【详解】甲、乙、丙的成绩的平均分x都是91，故比较它们的方差，甲、乙、丙三名同学的方差分别为6，24，54；故甲的方差是最小的，则甲的成绩是最稳定的．故选A．知识点03 标准差通常，我们也用方差的算术平方根，即来描述一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差，记作s.【微点拨】（1）标准差的数量单位与原数据一致.（2）一组数据的方差或标准差越小，这组数据的离散程度越小，这组数据就越稳定.【即学即练3】3．数学老师对小明的5次单元测验成绩进行统计分析，要判断小明的数学成绩是否稳定，老师需要知道小明这5次数学成绩的（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差【答案】D【分析】根据方差的意义：方差是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．标准差是方差的平方根，也能反映数据的波动性；故要判断他的数学成绩是否稳定，那么老师需要知道他这5次数学考试成绩的方差．【详解】解：由于方差和标准差反映数据的波动性，要判断数学成绩是否稳定，需要知道他这5次数学考试成绩的方差或标准差． 故选：D ．知识点04 极差、方差、标准差的区别和联系联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数．区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差.【即学即练4】4．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：甲乙丙丁平均数（cm ） 185 180 185 180 方差3.64.65.46.1根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁【答案】A 【详解】解：∵x x x x =>=甲乙丁丙， ∵从甲和丙中选择一人参加比赛，∵2222S S S S =<<甲乙丁丙，∵选择甲参赛， 故选：A ．考法01 求方差1、方差定义：设有n 个数据n x x x ，，， 21，各数据与它们的平均数的差的平方分别是2221)()(x x x x --，，…，，， 2)(x x n -我们用它们的平均数，即用 能力拓展【典例1】若将一组数据中的每个数都加3，那么所得的这组新数据（）A．平均数不变B．中位数不变C．众数不变D．方差不变【答案】D【分析】由每个数都加3，那么所得的一组新数据的平均数、中位数、众数都加3，方差不变，由此可得答案．【详解】解：将一组数据中的每个数都加3，那么所得的这组新数据平均数、中位数、众数都加3，而方差不变，故选：D．考法02 求标准差1、标准差：方差的算术平方根，即并把它叫做这组数据的标准差.它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量.【典例2】甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好是9.4环，方差分别是S甲2＝0.90，S乙2＝1.22，S丙2＝0.45，S丁2＝1.9，在本次射击测试中，成绩最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】C【分析】由题意根据方差的意义即方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好进行分析即可．【详解】解：∵S甲2=0.90，S乙2=1.22，S丙2=0.45，S丁2=1.9，∵S丙2＜S甲2＜S乙2＜S丁2，∵在本次射击测试中，成绩最稳定的是丙，故选：C．分层提分题组A 基础过关练1．有一组数据：2，1，2，5，6，8，下列结论错误的是（）A ．方差是5B ．平均数是4C ．中位数是3.5D ．众数是2【答案】A 【分析】根据方差、平均数、中位数、众数的概念求解即可． 【详解】解：这组数据的平均数是：1(212568)46+++++=， 方差是：222221192(24)(14)(54)(64)(84)63⎡⎤⨯⨯-+-+-+-+-=⎣⎦ ， 把这些数从小到大排列为：1，2，2，5，6，8，中位数是：253.52+=， 2出现了2次，出现的次数最多，则众数是2． A.方差为193，说法错误，符合题意； B.平均数是4，说法正确，不符合题意； C.中位数是3.5，说法正确，不符合题意； D.众数是2，说法正确，不符合题意， 故选：A ．2．从甲、乙、丙、丁中选一人参加诗词大会比赛经过三轮初赛，他们的平均成绩都是90分，方差分别是23S =甲，2 2.6S =乙，22S =丙，23.6S =丁，派谁去参赛更合适（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】C 【分析】因为四人的平均数相同，只需要比较方差即可，谁的方差小派谁即可． 【详解】解：∵23S =甲，2 2.6S =乙，22S =丙，23.6S =丁，∵2S 丙<2S 乙<2S 甲<2S 丁，∵四人的平均成绩都是90分，∵在平均成绩相等的情况下，丙的成绩更稳定， ∵派丙去参赛更合适．故选C ．3．已知五个数a b c d e 、、、、满足a b c d e <<<<，则下列四组数据中方差最大的一组是（ ） A ．a b c 、、 B ．b c d 、、C ．c d e 、、D ．a e 、c 、【答案】D 【分析】根据方差的性质判断即可． 【详解】解：五个数a b c d e 、、、、满足a b c d e <<<<，由方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大、数据越不稳定可知，a c e ，，方差最大， 故选：D ．4．已知两组数据：x 1、x 2、x 3、x 4、x 5和x 1+2、x 2+2、x 3+2、x 4+2、x 5+2，下列有关这两组数据的说法中，正确的是（ ） A ．平均数相等 B ．中位数相等C ．众数相等D ．方差相等【答案】D 【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的意义求解即可． 【详解】解：因为新数据是在原数据的基础上每个加2，∵这两组数据的平均数、中位数和众数都改变，而波动幅度不变，即方差不改变， 故选：D ．5．随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为2213,13, 3.6,15.8,x x S S ====甲乙甲乙则小麦长势比较整齐的试验田是（ ）A ．甲B ．乙C ．甲乙一样D ．无法判定【答案】A 【分析】比较甲、乙两块试验田中各抽取 100 株麦苗测量高度的方差即可判断． 【详解】解：因为它们的平均数相同，都是13，说明它们的平均高度相同； 因为甲的方差小于乙的方差，所以甲田小麦长势更整齐，故选：A．6．已知样本数据2，4，3，6，5，下列说法正确的是（）A．中位数是3B．平均数是3C．极差是3D．方差是2【答案】D【分析】分别计算该组数据的中位数、平均数、极差、方差后找到正确的答案即可．【详解】解：A、把这组数据从小到大排列：2，3，4，5，6则中位数是4，故本选项错误；B、这组数据的平均数是：（2+4+3+5+6）÷5=4，故本选项错误；C、这组数据的极差是：6-2=4，故本选项错误；D、这组数据的方差是()()()()()22222243444546425-+-+-+-+-=，故本选项正确；故选：D．7．下列说法不正确的是（）A．在选举中，人们通常最关心的数据是众数B．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是3C．一组数据1，1，0，2，4的平均数为2D．甲、乙两人数学成绩的平均分都是95，方差分别是2.5和10.5，要选择一人参加数学竞赛，选甲比较稳定【答案】C【分析】利用众数、中位数、平均数及方差的定义分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、在选举中，人们通常最关心的是众数，正确，不符合题意；B、数据3，5，4，1，2-的中位数是3，正确，不符合题意；C、一组数据1，1，0，2，4的平均数为1.6，错误，符合题意；D、甲、乙两人数学成绩的平均分都是95，方差分别是2.5和10.5，要选择一人参加数学竞赛，选甲比较稳定，正确，不符合题意，故选：C．题组B 能力提升练1．已知一组数据x 、y 、的平均数为3，方差为4，那么数据2x -，2y -，2z -的平均数和方差分别（ ） A ．1，2 B ．1，4C ．3，2D ．3，4【答案】B 【分析】由题意知，x+y+z=9，根据平均数的定义即可求得数据2x -，2y -，2z -的平均数，根据数据x 、y 、z 的方差为4，及数据2x -，2y -，2z -的平均数，根据方差的计算公式，即可求得数据2x -，2y -，2z -的方差．【详解】由于数据x 、y 、z 的平均数为3，所以有x+y+z=9则[]111(2)(2)(2)(6)31333x y z x y z -+-+-=++-=⨯= 由于数据x 、y 、z 的方差为4，即2221(3)(3)(3)43x y z ⎡⎤-+-+-=⎣⎦ 所以22222211(21)(21)(21)(3)(3)(3)433x y z x y z ⎡⎤⎡⎤--+--+--=-+-+-=⎣⎦⎣⎦ 即数据2x -，2y -，2z -的方差仍为4故数据2x -，2y -，2z -的平均数和方差分别为1和4 故选：B ．2．据统计，某班7个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为：5，5，6，6，6，7，7，下列说法错误的是（ ）A ．该组数据的中位数是6B ．该组数据的众数是6C ．该组数据的平均数是6D ．该组数据的方差是6【答案】D 【分析】根据众数、平均数、中位数、方差的定义和公式分别进行计算即可． 【详解】解：A 、把这些数从小到大排列为：5，5，6，6，6，7，7，则中位数是6，故本选项说法正确，不符合题意；B 、∵6出现了3次，出现的次数最多，∵众数是6，故本选项说法正确，不符合题意；C、平均数是（5+5+6+6+6+7+7）÷7＝6，故本选项说法正确，不符合题意；D、方差=17×[2×（5−6）2＋3×（6−6）2＋2×（7−6）2]＝47，故本选项说法错误，符合题意；故选：D．3．已知一组数据x1，x2，x3....x n的方差是2，则另一组数据3x1+2，3x2+2，3x3+2，...3x n+2，方差是（）A．6B．8C．18D．20【答案】C【分析】根据一组数据x1，x2，x3....xn的方差是S，则ax1+b，ax2+b，，ax3+b，.... axn+b的方差为2a S，即可求解．【详解】解：∵一组数据x1，x2，x3....xn的方差是2，∵数据3x1+2，3x2+2，3x3+2，...3xn+2的方差是：23218⨯=，故选C．4．如果一组数据a1，a2，…，a n的方差是2，那么数据2a1－2，2a2－2，…，2a n－2的方差是（）A．2B．4C．8D．16【答案】C【分析】当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，当数据都乘上一个数（或除一个数）时，方差乘（或除）这个数的平方倍，从而得出答案．【详解】解：设一组数据a1，a2，…，an的平均数为x，方差是s2=2，则另一组数据2a1－2，2a2－2，…，2an－2的平均数为x'=2x-2，方差是s′2，∵S2=1n[（a1-x）2+（a2-x）2+…+（an-x）2]，∵S′2=1n｛[2a1-2-（2x-2）] 2+[2a2-2-（2x-2）] 2+…+[2an-2-（2x-2）]2｝=1n[4（a1-x）2+4（a2-x）2+…+4（an-x）2]=4S2 =4×2=8．故选：C ．5．某人5次射击命中的环数分别为5，10，7，x ，10，若这组数据的中位数为8，则这组数据的方差为________．【答案】3.6【分析】根据中位数的性质，得8x =；再根据方差的性质计算，即可得到答案．【详解】根据题意，8x =∵5次射击命中的环数分别为5，10，7，8，10∵这组数据的平均数为：510781085++++= ∵这组数据的方差为：()()()()()222225810878881089414 3.655-+-+-+-+-+++== 故答案为：3.6． 6．甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10次射击成绩的平均值都是7环，方差分别为2 2.5S =甲，2 1.2S =乙，则两人成绩比较稳定的是______（填“甲”或“乙”）．【答案】乙【分析】利用方差的意义直接比较即可【详解】解：因为方差越大，波动越大所以2 2.5S =甲＞2 1.2S =乙所以两人成绩比较稳定的是乙故答案为：乙7．如果样本方差222212201(18)(18)(18)20s x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦，那么这个样本的平均数是_______，样本容量是________．【答案】18 20【分析】先根据方差公式2222121()()()n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦中所有字母所代表的意义，n 是样本容量，x 是样本中的平均数，再结合给出的式子即可得出答案．【详解】解：在公式2222121()()()n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦中，平均数是x ，样本容量是n ，在222212201(18)(18)(18)20s x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦中，这个样本的平均数为18，样本容量为20．故答案为：18；20．题组C 培优拔尖练1．如果一组数据为1-，0，1，0，0，那么下列说法不正确的是（ ）A ．这组数据的方差是0B ．这组数据的众数是0C ．这组数据的中位数是0D ．这组数据的平均数是0 【答案】A【分析】分别求出这组数据的平均数、众数、中位数、方差即可求解．【详解】 数据1-，0，1，0，0的平均数为()11010005x =-++++=； 数据1-，0，1，0，0中3出现了3次，众数为3；把数据1-，0，1，0，0从小到大的顺序为-1，0，0，0，1，中位数为0；数据1-，0，1，0，0的方差为()()()()()22222212100010000055s ⎡⎤=--+-+-+-+-=⎣⎦， 综上，选项B 、C 、D 正确，选项A 错误．故选A ．2．在2021年初中毕业生体育测试中，某校随机抽取了10名男生的引体向上成绩，将这组数据整理后制成如下统计表：关于这组数据的结论不正确的是（ ）A ．中位数是10.5B ．平均数是10.3C ．众数是10D ．方差是0.81 【答案】A【分析】先将数据按照从小到大排列，再依次按照中位数的定义、平均数计算公式、众数定义、方差计算公式依次进行判断即可．【详解】解：将该组数据从小到大排列依次为：9，9，10，10，10，10，11，11，11，12；位于最中间的两个数是10，10，它们的平均数是10，所以该组数据中位数是10，故A 选项不正确； 该组数据平均数为：()11211131049210.310⨯+⨯+⨯+⨯=，故B 选项正确； 该组数据10出现次数最多，因此众数是10，故C 选项正确； 该组数据方差为：()()()()222211210.331110.341010.32910.30.8110⎡⎤-+⨯-+⨯-+⨯-=⎣⎦，故D 选项正确；故选：A ．3．已知样本数据1，2，4，3，5，下列说法不正确的是（ ）A ．平均数是3B ．中位数是4C ．极差是4D ．方差是2 【答案】B【解析】试题分析：A 、这组数据的平均数是：（1+2+4+3+5）÷5=3，故本选项正确；B 、把这组数据从小到大排列：1，2，3，4，5，则中位数是3，故本选项错误；C 、这组数据的极差是：5-1=4，故本选项正确；D 、这组数据的方差是2，故本选项正确；故选B ．4．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是9环，方差分别是S 甲2＝0.61，S 乙2＝0.52，S 丙2＝0.53，S 丁2＝0.42，则射击成绩比较稳定的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 【答案】D【分析】直接利用方差的意义求解即可．【详解】解：∵S甲2＝0.61，S乙2＝0.52，S丙2＝0.53，S丁2＝0.42，∵S丁2＜S乙2＜S丙2＜S甲2，∵射击成绩比较稳定的是丁，故选：D．5．反映一组数据变化范围的是（）A．极差B．方差C．众数D．平均数【答案】A【分析】根据极差是刻画数据离散程度的一个统计量．它能反映数据的波动范围大小解答．【详解】解：反映一组数据变化范围的是极差；故选：A．6．若一组数据的方差为：s2＝15[（x1﹣3）2＋（x2﹣3）2＋（x3﹣3）2＋（x4﹣3）2＋（x5﹣3）2]，则数据总和为（）A．5B．3C．6D．15【答案】D【分析】根据方差的定义，找到这组数据的平均数是3，共5个数，计算选出正确答案．【详解】∵s2＝15[（x1﹣3）2＋（x2﹣3）2＋（x3﹣3）2＋（x4﹣3）2＋（x5﹣3）2]，∵这组数据的平均数是3，共5个数，∵数据总和为：3×5=15．故选：D．7．数据2-，1-，0，1，2的方差是（）A．0B C．2D．4【答案】C【分析】先计算平均数，再计算方差．方差的定义一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x，x=1n（x1+x2+…+xn），则方差S2=1n[（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2]．【详解】解：平均数x=15（-2-1+0+1+2）=0，则方差S2=15[（-2-0）2+（-1-0）2+（0-0）2+（1-0）2+（2-0）2]=2．故选：C．。

数据的集中趋势3.1平均数「概念课」加权平均数学习目标☐掌握加权平均数的概念☐理解加权平均数中权的含义，会计算一组数据的加权平均数视频助学请先思考引导问题，再看视频【加权平均数】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1 什么是加权平均数？（00:00-04:17）1.体现每个数据所占的数叫做权．2.加权平均数是改良版的平均数，能够反映出每个数据的，想提高哪个数据的，增加它的就可以了．3.计算加权平均数时要注意：最后要除以．引导问题2 如何给每个数据“加权”？（04:17-07:13）4.数据的权经常以的形式出现，把5 、10 、15 按照2 : 3 : 4 来算加权平均数，列出的式子是．5.数据的权还经常以的形式出现，因为这里的权的总和是，也就是，所以我们直接把每一项与自己的权，再就可以了．6.把5 、10 、15 按照20% : 30% : 50% 来算加权平均数，列出的式子是．7.给数加权，能够改变数据所占的，改变它在平均数中的．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：「概念课」频数与加权平均数学习目标☐理解加权平均数☐能根据频数分布表求加权平均数，从而解决实际问题视频助学请先思考引导问题，再看视频【频数与加权平均数】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1 频数和权有什么关系？（00:00-03:06）1.数据出现的能体现出它所占的，因此可以把它当做．2.表可以记录每个数出现的次数，也就是．我们把当做权，计算加权平均数时，要注意除以．引导问题2 在没有具体数据时，如何计算加权平均数？（03:06-05:40）3.题目中并没有给出具体数据，只给出一定范围的情况下，我们需要进行估算．第一步：找到每组的，也就是一组范围两端的，把这个范围内的数都按照处理．第二步：根据每组数据的，再估算加权平均数．4.篮球小组里50 个人的身高被整理成一个频数分布表，求这50 个人的平均身第二步：引导问题3 如何用符号语言定义“加权平均数”？（05:40-07:44）5.我们把数据用x1，x2，x3，L ，x n表示，把权用w1，w2，w3，L，w n表示，加权平均数的通用算式为x = ．这个式子就是“加权平均数”的定义式．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：问题下方的摘要学习目标「概念课」根据样本估计总体会用样本平均数估计总体平均数视频助学 请先思考引导问题，再看视频【样本平均数估计总体平均数】，然后完成引导填空．引导问题 1 为什么要用样本平均数估计总体平均数？（00:00-02:28） 1. 把所有数据一个不落的全部收集起来，称为 ，也叫普查．但是，当考察对象，或者对考察对象带有时，不适合全面调查．这时我们可以抽取一部分个体，用这部分个体的情况去估计总体情况，这种方法称为 ．2. 统计学中常常通过用 估计的方法来获得对总体的认识，实际生活中经常用平均数估计 平均数．引导问题 2 用样本平均数估计总体平均数有什么应用？（02:28-06:07） 3. 有一家工厂生产了10000 支笔，需要了解书写长度的平均数，抽取其中100 支，书写长度如下表，请利用这张表估算这10000 支笔的总体书写长度． 第一步：求出组中值．第二步：用频数做权，求出平均数．第三步：用样本平均数估计出总体平均数．4.已知数据个数和平均数，求数据之和．例如：如何估算两千只狗的总重量？第一步：抽取20 只狗，．第二步：将算出的乘以，得到总重量．5.已知数据之和与平均数，求数据个数．例如：有一大筐鸡蛋，如何估计鸡蛋的个数？第一步：抽取几个鸡蛋作为，求出它们的．第二步：称出全部重量，除以，得到鸡蛋个数．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：学习目标3.2中位数和众数「概念课」中位数☐认识中位数，会求一组数据的中位数☐理解中位数的意义和作用☐会根据中位数分析数据信息作出决策视频助学请先思考引导问题，再看视频【中位数】，然后完成引导问题下方的摘要填空．引导问题1 什么是中位数？（00:00-05:08）1.将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是，则称位于位置上的数叫中位数．如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的为这组数据的中位数．2. 找2 ，4 ，5 ，6 ，3 ，7 的中位数．第一步：把数据按顺序排列．．第二步：判断数据个数是奇数还是偶数．．第三步：确定中位数．．3. 按上面的方法找15 ，14 ，14 ，13 ，14 ，14 ，13 ，14 ，104 的中位数．引导问题2 中位数有什么特点和意义？（05:08-06:41）4.中位数能够反映出数据的，不容易受值的影响，计算量小．5.中位数在统计学中的意义是：衡量一个数在中偏大还是偏小．线上练习完成视频后相应的【专项练习】．提出疑问预习过程中还有什么疑问没有解决呢？请你将有疑问的问题记录下来：。

课题3.4 方差第 6 课时教学目标1.经历刻画数据离散程度的探索过程，感受表示数据离散程度的必要性；2.掌握方差的概念，会计算方差，理解方差的统计意义；3.了解方差是刻画数据离散程度的统计量，并在具体情境中加以应用课标要求掌握方差的概念，会计算方差，理解方差的统计意义教学重难点重点掌握方差的概念，会计算方差，理解方差的统计意义；难点：了解方差是刻画数据离散程度的统计量，并在具体情境中加以应用教学准备多媒体、实物投影教学过程教师活动学生活动1.导学预习：（1）设有n个数据X1、X2…Xn，它们的平均数为则它的方差为。

（2）方差是反映一组数据大小的量，方差越大，数据的。

（3）下列几个常见统计量中能够反映一组数据波动范围的是（）A.平均数B.中位数C.众数D.方差（4）一组数据：2-，1-，0，x，1的平均数是0，则x= .方差=2S .2.：王大伯几年前承办了甲、乙两片荒山，各栽100棵杨梅树，成活98%，现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的杨梅，每棵的产量如拆线统计图所示.（1）分别计算甲、乙两山样本的平均数，并估算出甲乙两山杨梅的产量总和；（2）试通过计算说明，哪个山上的杨梅产量较稳定？讨论方差的来历并且知道方差的作用小组讨论学生达标检测：（1）一组数据：1、－1、0、4的方差是___________。

（2）已知一组数据7、9、19、a、17、杨梅树编号36364834364040504321323640444852乙山甲山产量（千克）3.展示提升：某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）．（1）a=___________,x乙=__________；（2）请完成图11中表示乙成绩变化情况的折线；（3）①观察图11，可看出______的成绩比较稳定（填“甲”或“乙”）参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差，并验证你的判断.②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．4.15的中位数是13，则这组数据的平均数是，方差是（3）如果样本方差[42322212()2()2()2(41-+-+-+-=xxxxS，那么这个样本的平均数为 .样本容量为 .（4）已知321,,xxx的平均数=x10，方差=2S3，则3212,2,2xxx的平均数为，方差为 .（5）已知数据1，2，3，4，5的方差为2，则11，12，13，14，15的方差为_______ ，（6）若一组数据1x2x，…nx的方差为9，则数据321-x，322-x，…，32-nx的方差是_______．（7）样本方差的作用是（）A、估计总体的平均水平B、表示样本的平均水平C、表示总体的波动大小D、表示样本的波动大小，从而估计总体的波动大小（8）如果给定数组中每一个数都减去同一非零常数，则数据的（）A、平均数改变，方差不变B、平均数改变，方差改变C、平均数不变，方差不变A、平均数不变，方差改变（9）一个样本的方差是0，若中位数是a，那么它的平均数是（）A、等于a B、不等于aC、大于aD、小于a作业。

3.4方差
教学过程
第一步：情景创设
农科院计划为某地选择合适的甜玉米种子．选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是农科院所关心的问题．为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，农科院各用10 块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如下表：
根据这些数据统计，农科院应该选择哪种甜玉米种子呢？
今天我们一起来探索这个问题.
探索活动
通过计算发现极差只能反映一组数据中两个极值之间的大小情况，而对其他数据的波动情况不敏感.让我们一起来做下列的数学活动
算一算
把所有差相加，把所有差取绝对值相加，把这些差的平方相加.
想一想
你认为哪种方法更能明显反映数据的波动情况？
第三步：解例分析
例为比较甲、乙两个新品种水稻的产品质量，收割时各抽取了五块具有相同条件的实验田地，分别称得它们的质量，得其每公顷产量如下表（单位：t ）：
（1）哪个品种平均每公顷的产量较高？
（2）哪个品种的产量较稳定？
解：甲、乙两个新品种在实验田中的产量各组成一个样本.
++++=甲1261212311712912.3（t ）5
....x =。

第3章 数据的集中趋势和离散程度一、知识结构与回顾一组数据⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧小心平均数的误用数和众数合理选用平均数、中位寻找数据的代表整理数据1、平均数、中位数、众数的概念及举例一般地对于n 个数X 1，……X n 把1n （X 1+X 2+…X n ）叫做这n 个数的算术平均数，简称平均数. 如某中外合资企业要招工，测试内容为数学、语文、外语三门文化课的综合成绩，满分都为100分，且这三门课分别按25%、25%、50%的比例计入总成绩，这样计算出的成绩为数学，语文、外语成绩的加权平均数，25%、25%、50%分别是数学、语文、外语三项测试成绩的权.如果在n 个数中，x 1出现f 1 次，x 2出现f 2次，x 3出现f 3次，… …x n 出现f n 次，（其中f 1+f 2+f 3+……+f n =n ），这n 个数的平均数可表示为：nf x f x f x f x x nn 332211+++=.中位数就是把一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的数（或最中间两个数据的平均数）叫这组数据的中位数.众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据.如3，2，3，5，3，4中3是众数.一组数据中的中位数是惟一的；一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有.2、平均数、中位数和众数的特征（1）平均数、中位数、众数都是表示一组数据“平均水平”的平均数. （2）平均数能充分利用数据提供的信息，在生活中较为常用，但它容易受极端数字的影响，且计算较繁.（3）中位数的优点是计算简单，受极端数字影响较小，但不能充分利用所有数字的信息.（4）众数的可靠性较差，它不受极端数据的影响，求法简便，当一组数据中个别数据变动较大时，适宜选择众数来表示这组数据的“集中趋势”.3、算术平均数和加权平均数有什么区别和联系算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数.4、利用计算器求一组数据的平均数当所处理的数据较多时，手工计算的效率较低，运用计算器和计算机的方法就能迅速获得所需要的信息，将更多的时间用于对数据的讨论和对结果实际意义的解释．5、方差和标准差方差描述一组数据的离散程度可采取许多方法，在统计中常先求这组数据的平均数，再求这组数据与平均数的差的平方和的平均数，用这个平均数来衡量这组数据的波动大小：设在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方分别是，那么我们求它们的平均数，即用标准差有些情况下，需用到方差的算术平方根，即并把它叫做这组数据的标准差.它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量.4、利用计算器求一组数据的方差当所处理的数据较多时，手工计算的效率较低，运用计算器和计算机的方法就能迅速获得所需要的信息，将更多的时间用于对数据的讨论和对结果实际意义的解释．利用计算器求一组数据的方差就能很好地解决.二、全章综合剖析平均数、中位数和众数都是描述一组数据的集中程度的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数运用最为广泛，应当注意平均数、中位数和众数的合理选用，避免平均数的误用.这三个量的各自特点是：平均数的大小与一组数据的每个数据均有关系，其中任何数据的变动都会引起相应平均数的变动，这表明平均数充分地反映了一组数据的信息.中位数的大小仅与数据的排列位置有关，当将一组数据按从小到大的顺序排列后，最中间的数据为中位数，于是部分数据的变动 对中位数没有影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，常用它来描述这组数据的集中趋势.众数着眼于对各数据出现的频数的考察，因此求一组数据的众数既不需要计算，也不需要排序，而只要数出出现次数较多的数据的频数就行了，众数的大小仅与一组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，它的众数也往往是我们关心的一种集中趋势.极差、方差与标准差是用来描述一组数据的离散程度，它们是用来描述一组数据的稳定性的.一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定. 三、例题精讲类型之一 求平均数及应用例1 已知两组数据x 1，x 2，x 3，…x n 和y 1，y 2，y 3，…y n 的平均数分别为x ，y ，求（1）2x 1，2x 2，2x 3…2x n 的平均数 （2）2x 1+1，2x 2+1，2x 3+1…2x n +1的平均数（3）x 1+y 1，x 2+y 2，x 3+y 3…x n +y n 的平均数. 分析:化单纯的知识记忆为理解记忆.（1）的平均数为2x ;（2）的平均数为2x +1; （3）的平均数为x +y .例2 一家公司对A 、B 、C 三名应聘者进行了创新、综合知识和语言三项素质测试，他们的成绩如下表所示：（1）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，你选谁？测试成绩测试项目674588语言 70 74 50 综合知识 67 85 72 创新 C B A（2）根据实际需要，广告公司给出了选人标准：将创新、综合知识和语言三项测试得分按4：3：1的比例确定各人的测试成绩.你选谁？解：（1）A的平均成绩为70分.B的平均成绩为68分.C的平均成绩为68分. 由70>68，故A将被录用.（2）根据题意，A的成绩为65.75分.B的成绩为75.875分.C的成绩为68.125分. 因此候选人B将被录用.说明：当条件变化时，应注意平均数的不同求法.类型之二求中位数与众数例3 在第29届奥林匹克运动会上，青岛姑娘张娟娟为中国代表团夺得了历史上首枚奥运会射箭金牌，为祖国争得了荣誉．下表记录了她在备战奥运会期间的一次训练成绩（单位：环）：根据表中的数据可得：张娟娟这次训练成绩的中位数是环，众数是环．说明:考查众数、中位数概念.注意有时众数可能不止一个，也可能没有.求中位数时要排序. 答案:9，9类型之三中位数与众数的实际应用例 4 某校学生会干部对校学生会倡导的“助残”自愿捐款活动进行抽样调查，得到一组学生捐款情况的数据，下图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右各长方形高度之比为3∶4∶5∶8∶2，又知此次调查中捐15元和20元的人数共39人．（1）他们一共抽查了多少人？捐款数不少于20元的概率是多少？（2）这组数据的众数、中位数各是多少？（3）若该校共有2310名学生，请估算全校学生共捐款多少元？解：（1）设捐15元的人数为5x ，则根据题意捐20元的人数为8x ．∴5x ＋8x ＝39，∴x ＝3∴一共调查了3x ＋4x ＋5x ＋8x ＋2x ＝66（人） ∴捐款数不少于20元的概率是3056611．（2）由（1）可知，这组数据的众数是20（元），中位数是15（元）． （3）全校共捐款（9×5＋12×10＋15×15＋24×20＋6×30）÷66×2310＝36750（元） 说明:方程思想是数学的基本思想之一,数型结合是我们解决问题的手段.例5 为了普及环保知识，增强环保意识，某中学组织了环保知识竞赛活动，初中三个年级根据初赛成绩分别选出了10名同学参加决赛，这些选手的决赛成绩（满分为100分）如下表所示：（1）请你填写下表：（2）请从以下两个不同的角度对三个年级的决赛成绩进行分析： ①从众数和平均数相结合看（分析哪个年级成绩好些）； ②从平均数和中位数相结合看（分析哪个年级成绩好些）.（3）如果在每个年级参加决赛的选手中分别选出3人参加总决赛，你认为哪个年级的实力更强些？并说明理由.图1元分析: 由所给的信息求出一组数据的平均数、中位数、众数；并结合具体的情境理解平均数、中位数和众数的区别与联系；并能根据具体问题，选择合适的统计量表示数据的集中程度，对日常生活中的有关问题与现象做出一定的评判. 解：（1）（2）①∵平均数都相同，初二年级的众数最高，∴初二年级的成绩好一些； ②∵平均数都相同，初一年级的中位数最高，∴初一年级的成绩好一些.（3）∵初一、初二、初三各年级前三名学生决赛成绩的平均分分别是93分、91分、94分，∴从各年级参加决赛的选手中分别选出3人参加总决赛，初三年级的实力更强一些.类型之四 极差、方差或标准差的实际应用例6 某农科所在8个试验点，对甲、乙两种玉米进行对比试验，这两种玉米在各试验点的亩产量如下（单位：千克）甲：450 460 450 430 450 460 440 460 乙：440 470 460 440 430450 470 440 在这个试验点甲、乙两种玉米哪一种产量比较稳定？剖析：我们可以算极差.甲种玉米极差为460－430=30千克；乙种玉米极差为470－430=40千克.所以甲种玉米较稳定.还可以用方差来比较哪一种玉米稳定. s 甲2=100，s 乙2=200.s 甲2＜s 乙2，所以甲种玉米的产量较稳定. 四、中考链接1、（乌鲁木齐）．一名射击运动员连续打靶8次，命中的环数如图2所示，这组数据的众数与中位数分别为（ ） A ．9与8 B ．8与9C ．8与8.5D ．8.5与9图2答案C2、（烟台市）某校初一年级有六个班，一次测试后，分别求得各个班级学生成绩的平均数，它们不完全相同，下列说法正确的是（）A．全年级学生的平均成绩一定在这六个平均成绩的最小值与最大值之间B．将六个平均成绩之和除以6，就得到全年级学生的平均成绩C．这六个平均成绩的中位数就是全年级学生的平均成绩D．这六个平均成绩的众数不可能是全年级学生的平均成绩答案A3、(南充)已知一组数据2，1，x，7，3，5，3，2的众数是2，则这组数据的中位数是（）A．2 B．2.5 C．3 D．5答案B4、（甘肃省白银市）某校八年级320名学生在电脑培训前后各参加了一次水平相同的考试，考试成绩都以同一标准划分成“不及格”、“及格”和“优秀”三个等级．为了了解电脑培训的效果，用抽签方式得到其中32名学生培训前后两次考试成绩的等级，并绘制成如图14的统计图，试结合图形信息回答下列问题：(1) 这32名学生培训前后考试成绩的中位数所在的等级分别是、；（2）估计该校整个八年级学生中，培训后考试成绩的等级为“及格”与“优秀”的学生共有多少名？提示:（1）不及格，及格；（2）抽到的考生培训后的及格与优秀率为（16+8）÷32=75%，由此，可以估计八年级320名学生培训后的及格与优秀率为75%．所以，八年级320名学生培训后的及格与优秀人数为75%×320=240．5、（遂宁）“只要人人都献出一点爱，世界将变成美好的人间”．在今年的慈善一日捐活动中，济南市某中学八年级三班50名学生自发组织献爱心捐款活动．班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了统计图．根据右图提供的信息，捐款金额．．的优秀及格不及格等级图14众数和中位数分别是（ ） A ．20、20 B ．30、20 C ．30、30 D ．20、30 答案 C6、（烟台市）某市教育行政部门为了了解初一学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了某校初一学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图（如图）．请你根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）求出扇形统计图中a 的值，并求出该校初一学生总数；（2）分别求出活动时间为5天、7天的学生人数，并补全频数分布直方图； （3）求出扇形统计图中“活动时间为4天”的扇形所对圆心角的度数； （4）在这次抽样调查中，众数和中位数分别是多少？（5）如果该市共有初一学生6000人，请你估计“活动时间不少于4天”的大约有多少人？提示： （1）a=25%． 初一学生总数：200（人）．（2）活动时间为5天的学生数：50（人）．活动时间为7天的学生数：10（人）． 频数分布直方图（略）（3）活动时间为4天的扇形所对的圆心角是1080 （4）众数是4天，中位数是4天．（5）该市活动时间不少于4天的人数约是4500（人）．7、为了考察某班普通话测试情况，从中抽查了10人的成绩如下（单位：分）： 87，90，98，74，89，90，85，80，90，93． （1）这个问题中，总体、个体、样本各是什么？（2）这个问题中，样本平均数、方差、标准差各是多少并估计总体平均数、方差、标准差？（平均数精确到1分，标准差保留三个有效数字）．分析：（1）利用总体是所要考查对象的全体，个体是总体中每一个考查对象，样本是从总体中抽取的部分个体，即可得到答案；27时间（2）利用样本平均数、方差、标准差估计总体即可．解答：（1）总体是某班普通话测试成绩，个体是某班每个学生的普通话成绩，样本是抽查的10人的普通话成绩．（2）样本平均数=（87+90+98+74+89+90+85+80+90+93）÷10=876÷10=87.6（分），方差=[（87-87.6）2+（90-87.6）2+（98-87.6）2+（74-87.6）2+（89-87.6）2+（90-87.6）2+（85-87.6）2+（80-87.6）2+（90-87.6）2+（93-87.6）2]÷10=40.64，标准差≈6.38，因此估计总体的平均数是87.6分，方差是40.64，标准差是6.38．四、课堂小结在本节的复习中，你有什么收获？还有哪些疑问？。

课 题：2.1极差【教学目标】1、掌握极差的概念，理解其统计意义.2、经历刻画数据离散程度的探索过程，感受用极差刻画数据离散程度的必要性.3、了解极差是刻画数据离散程度的一个统计量，并能在具体情境中加以应用. 【教学重点、难点】教学重点：极差的含义.教学难点：培养思维能力和观察能力，发展统计意识. 【教学过程】 一、复习引入师：同学们，日常生活中我们经常和数据打交道，很多时候需要用数据来说明问题。

请思考下面的问题：我们学校每年都要召开秋季运动会，如果今年运动会的开幕式上学校决定从初三（18）的全体女生中挑选20名女生，组成一个鲜花方阵，请问该如何挑选？（通过学生收集数据，计算平均数，中位数，众数，回顾初二的知识，同时，引导学生发现在此问题中，用这三类数已经不能很好地说明问题，由此引入：在生活中，某些问题的说明需要了解数据的稳定性以及数据之间的差距．） 二、探究新知1.提出问题：乒乓球的标准直径为40mm ，质检部门从A 、B 两厂生产的乒乓球中各抽取了10只，对这些乒乓球的直径进行了检测。

结果如下（单位：mm ）：A 厂：40.0，39.9，40.0，40.1，40.2，39.8，40.0，39.9，40.0，40.1；B 厂：39.8，40.2，39.8，40.2，39.9，40.1，39.9，40.1，39.7，40.3. （1）你认为哪个厂生产的乒乓球质量较好呢？说出你的理由？（2）在这个问题中，能否根据平均数,中位数，众数来比较哪个厂生产质量好？ （3）将这些数据绘制成散点图，观察散点图，你可以得到什么结论？39.939.839.839.940.040.140.240.3直径/mm40.340.240.140.02.新知归纳：我们除了要了解一组数据的“平均水平”，“中等水平”，“多数水平”，用平均数、中位数和众数来表示数据的集中程度外，还需要了解这组数据的离散程度．为了体现一组数据的离散程度，我们常用这组数据中最大值与最小值的差来反映这组数据的变化范围，这样的差叫做极差．极差 = 最大值－最小值．一组数据，极差大，离散程度就大；极差小，离散程度就小．三、例题讲解例1 数据3，4，2，1，5 的平均数为_____；中位数为______；极差为_____．例2我们常用温差来描述气温的变化情况。

3.4方差教学目标【知识与能力】了解极差和方差是刻画数据离散程度的一个统计量，并在具体情境中加以应用. 【过程与方法】掌握极差和方差概念，会计算极差和方差，并理解其统计意义.【情感态度价值观】经历刻画数据离散程度的探索过程，感受表示数据离散程度的必要性.教学重难点【教学重点】理解极差和方差概念，并在具体情境中加以应用.【教学难点】应用极差和方差概念解释实际问题中数据的离散程度，并形成相应的数学经验. 课前准备无教学过程情境创设：2015年世乒赛将在苏州举行，在使用乒乓球的大小时，其尺寸有严格的要求，乒乓球的标准直径为40mm．质检部门对A、B两厂生产的乒乓球的直径进行检测，从A、B两厂生产的乒乓球中各抽取了10只，测量结果如下（单位：mm）：A厂：40.0，39.9，40.0，40.1，40.2，39.8，40.0，39.9，40.0，40.1．B厂：40.0，40.2，39.8，40.1，39.9，40.1，39.9，40.2，39.8，40.0．1．你能从哪些角度认识这些数据？极差的概念：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫做极差，即极差＝最大值－最小值．通常，一组数据的极差越小，这组数据的波动幅度也越小．2．通过计算发现，A、B两厂生产的乒乓球的直径的平均数都是40mm，极差都是0.4 mm．怎样更精确地比较这两组数据的离散程度呢？探索活动：1．将上面的两组数据绘制成下图：2．填一填：A 厂 x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x 9x 10数据40.039.9 40.0 40.1 40.2 39.8 40.0 39.9 40.0 40.1 与平均数差B 厂 x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x 9x 10数据40.040.2 39.8 40.1 39.9 40.1 39.9 40.2 39.8 40.0 与平均数差3．怎样用数量来描述上述两组数据的离散程度呢？ 归纳总结：1．在一组数据x 1，x 2 ，…，x n 中，各数据与它们的平均数 _x 的差的平方分别是21()x x －，22()x x -，…，2()n x x -，我们用它们的平均数，即用2222121()()()n s x x x x x x n⎡⎤=-+-++-⎣⎦来表示这组数据的离散程度，并把它们叫做这组数据的方差．从方差计算公式可以看出：一组数据的方差越大，这组数据的离散程度就越大；一组数据的方差越小，这组数据的离散程度就越小． 2. 在有些情况下，需要用方差的算术平方根，即222121()()()n s x x x x x x n⎡⎤=-+-++-⎣⎦来描述一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差． 例题精讲：在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演员身高（单位：cm ）如下表所示：甲 163 164 164 165 165 166 166 167 乙 163 165 165 166 166 167 168 168哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？ 巩固练习：1．某地某日最高气温为12℃，最低气温为－7℃，该日气温的极差是． 2.一组数据1，2，3，4，5的平均数是3，则方差是． 一组数据3，6，9，12，15的方差是．一组数据4，7，10，13，16的方差是，标准差是．3．在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶．下图是其中的甲、乙段台阶路的示意图（图中的数字表示每一级台阶的高度）．请你回答下列问题（单位：cm ）：（1）哪段台阶路走起来更舒服？为什么？（2）为方便游客行走，需要重新整修上山的小路．对于这两段台阶路，在台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议．4．请你列举出方差、标准差的生活实例，并说给你的同桌听一听． 总结提高：16 14 14 16 15 15 甲路段 17 1910 18 15 11 乙路段谈谈你的收获．。