人教a版·数学·高一必修1第三章_章末检测卷_word版含解析

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第三章 章末检测卷

一、选择题(12×5分＝60分)

1．函数f(x)＝xln x的零点为( )

A．0或1 B．1

C．(1,0) D．(0,0)或(1,0)

【解析】 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

由f(x)＝0得x＝0或ln x＝0，

即x＝0或x＝1.

又因为x∈(0，＋∞)，所以x＝1.故选B.

【答案】 B

2．下列函数中能用二分法求零点的是( )

【解析】 能用二分法求零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，由图象可得，只有C能满足此条件，故选C.

【答案】 C

3．若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,6)，(2,4)内，那么下列命题中正确的是( )

A．f(x)在区间(2,3)内有零点

B．f(x)在区间(3,4)内有零点

C．f(x)在区间(3,16)内有零点

D．f(x)在区间(0,2)内没零点

【解析】 由于函数y＝f(x)的零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,6)内，因此第2页 共9页 函数零点在区间(0,6)内，又函数零点在(2,4)内，因此函数零点不可能在(0,2)内，故选D.

【答案】 D

4．若函数f(x)＝x2＋4x＋a没有零点，则实数a的取值范围为( )

A．(－∞，4) B．(4，＋∞)

C．(－∞，4] D．[4，＋∞)

【解析】 由题意知关于方程x2＋4x＋a＝0，Δ＝42－4×1×a<0，即16－4a<0，解得a>4.故选B.

【答案】 B

5．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是( )

【解析】 兔子在中间一段时间内路程是不变的，且当乌龟到达终点时兔子还差一点，选B.

【答案】 B

6．方程0.9x－221x＝0的实数解的个数是( )

A．0个 B．1个

C．2个 D．3个

【解析】 设f(x)＝0.9x－221x，则函数f(x)为减函数，值域为R，所以函数f(x)的图象必与x轴有一个交点，即方程0.9x－221x＝0有一解．

【答案】 B

7．如表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据，判断它最可能的函数模型是( )

x 4 5 6 7 8 9 10

y 15 17 19 21 23 25 27 第3页 共9页 A.一次函数模型 B．二次函数模型

C．指数函数模型 D．对数函数模型

【解析】 画出散点图，如图．

由图可知其最可能的函数模型为一次函数模型，故选A.

【答案】 A

8．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625 f(1.25)≈－0.984

f(1.375)≈－0.260 f(1.437

5)≈0.162 f(1.406 25)≈－0.054

那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度0.1)为( )

A．1.2 B．1.3

C．1.4 D．1.5

【解析】 根据题意知函数的零点在1.406 25至1.437 5之间，且|1.406 25－1.437 5|＝0.031 25<0.1，取其中点作为函数零点符合精确运算，所以1.4是方程的一个近似解．故选C.

【答案】 C

9．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数，现知一企业生产某种商品的数量为x件时的成本函数为c(x)＝20＋2x＋12x2(万元)，若售出一件商品收入是20万元，那么该企业为获取最大利润，应生产这种商品的数量为( )

A．18件 B．36件

C．22件 D．9件

【解析】 设获取的利润为y，

y＝20x－c(x)

＝20x－20－2x－12x2

＝－12x2＋18x－20.

所以x＝18时，y有最大值．故选A.

【答案】 A 第4页 共9页 10．函数f(x)＝x2＋ln|x|的零点的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

【解析】 由题意，作函数y＝x2与y＝－ln |x|的图象如下，

结合图象知，函数y＝x2与y＝－ln |x|的图象有两个交点，即函数f(x)＝x2＋ln |x|的零点的个数为2，故选B.

【答案】 B

11．函数f(x)＝3ax＋1－2a，在区间(－1,1)上存在一个零点，则a的取值范围为( )

A．(－∞，－1)∪15，＋∞

B.15，＋∞

C.－1，15

D．(－∞，－1)

【解析】 由题意 f－1<0，f1>0或 f－1>0，f1<0.

即 －3a＋1－2a<0，3a＋1－2a>0或 －3a＋1－2a>0，3a＋1－2a<0.

整理得 1－5a<0，a＋1>0或 1－5a>0，a＋1<0.

解得a>15或a<－1，故选A.

【答案】 A

12．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P(毫克/升)与过滤时间t(时)之间的函数关系式为P＝P0e－kt(k，P0均为正的常数)．如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么至少还需________时间过滤才可以排放．( )

A.12小时 B.59小时 第5页 共9页 C．5小时 D．10小时

【解析】 由题意，知前5个小时排除了90%的污染物．

因为P＝P0e－kt，

所以(1－90%)P0＝P0e－5k，

所以0.1＝e－5k，即－5k＝ln 0.1，

所以k＝－15ln 0.1.

设t小时后污染物含量为1%，

由1%P0＝P0e－kt，得0.01＝e－kt，

所以－kt＝ln 0.01，

即t5ln 0.1＝ln 0.01＝2ln 0.1，

所以t＝10.

即至少还需5个小时过滤才可以排放，故选C.

【答案】 C

二、填空题(4×5分＝20分)

13．已知函数f(x)＝23x＋1＋a的零点为1，则实数a的值为________．

【解析】 由已知得f(1)＝0，即231＋1＋a＝0，解得a＝－12.

【答案】 －12

14．在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可以断定该根所在区间为________．

【解析】 设f(x)＝x2－2x－1，因为一根在区间(1,2)上，根据二分法的规则，取区间中点32，因为f(1)＝－2<0，f32＝278－4<0，f(2)＝3>0，所以下一步可以断定该根所在区间是32，2.

【答案】 32，2

15．已知函数f(x)＝ 2x，x≥2x－13，x<2 第6页 共9页 若函数y＝f(x)－k有两个零点，则实数k的取值范围是________．

【解析】 画出分段函数f(x)的图像如图所示．

结合图像可以看出，函数y＝f(x)－k有两个零点，即y＝f(x)与y＝k有两个不同的交点，k的取值范围为(0,1)．

【答案】 (0,1)

16．已知函数t＝－144lg1－N100的图像可表示打字任务的“学习曲线”，其中t(小时)表示达到打字水平N(字/分钟)所需的学习时间，N(字/分钟)表示每分钟打出的字数，则按此曲线要达到90字/分钟的水平，所需的学习时间是________小时．

【解析】 当N＝90时，t＝－144lg1－90100＝144.

【答案】 144

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)用二分法求方程2x＋x－8＝0在区间(2,3)内的近似解．(精确度为0.1，参考数据：22.5≈5.657，22.25≈4.757,22.375≈5.187,22.437 5≈5.417，22.75≈6.727)

【解析】 设函数f(x)＝2x＋x－8，

则f(2)＝22＋2－8＝－2<0，

f(3)＝23＋3－8＝3>0，

所以f(2)·f(3)<0，

说明这个函数在区间(2,3)内有零点x0，即原方程的解．

用二分法逐次计算，列表如下：

区间 中点的值 中点函数近似值

(2,3) 2.5 0.157

(2,2.5) 2.25 －0.993

(2.25,2.5) 2.375 －0.438

(2.375,2.5) 2.437 5 －0.145 5

由表中数据可得x0∈(2,2.5)，x0∈(2.25,2.5)，x0∈(2.375,2.5)，x0∈(2.437 5,2.5)．

因为|2.437 5－2.5|＝0.062 5<0.1， 第7页 共9页 所以方程2x＋x－8＝0在区间(2,3)内的近似解可取为2.437 5.

18．(12分)若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，求实数a的取值范围．

【解析】 (1)若a＝0，则f(x)＝－x－1为一次函数，函数必有一个零点－1.

(2)若a≠0，函数是二次函数，因为二次方程ax2－x－1＝0只有一个实数根，所以Δ＝1＋4a＝0，得a＝－14.

综上，当a＝0和－14时，函数只有一个零点．

19．(12分)已知函数f(x)＝ x－2x，x>12，x2＋2x＋a－1，x≤12.

(1)若a＝1，求函数f(x)的零点；

(2)若函数f(x)在[－1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．

【解析】 (1)当a＝1时，由x－2x＝0⇒x＝2，x2＋2x＝0⇒x1＝0，x2＝－2，

所以f(x)的零点为2，0，－2.

(2)显然，函数g(x)＝x－2x在12，＋∞上递增，

且g12＝－72；

函数h(x)＝x2＋2x＋a－1在－1，12上也递增，且h12＝a＋14，

故若函数f(x)在[－1，＋∞)上为增函数，则a＋14≤－72，所以a≤－154，

故a的取值范围为－∞，－154.

20．(12分)某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60，整治后前四月的污染度如下表：

月数 1 2 3 4 …

污染度 60 31 13 0 …

污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：

f(x)＝20|x－4|(x≥1)，g(x)＝203(x－4)2(x≥1)，h(x)＝30|log2x－2|(x≥1)，其中x表示月数，f(x)，g(x)，h(x)分别表示污染度．

(1)选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；

(2)若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60?