高三数学上学期第二次月考试题文含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校一中2021届高三年级第二次月考

数学试卷〔文科〕

第一卷〔一共60分〕

一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.

1.复数的一共轭复数是〔〕 A.B.C.D.

【答案】C 【解析】,∴复数的一共轭复数是

应选：C

点睛：除法的关键是分子分母同乘以分母的一共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．

2.假设，且，那么角的终边位于〔〕

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】∵sinα＞0，那么角α的终边位于一二象限或者y轴的非负半轴，

∵由tanα＜0，

∴角α的终边位于二四象限，

∴角α的终边位于第二象限．

应选择B．

3.函数，其中为实数，假设对恒成立，且，那么的单调递增区间是〔〕 A.向左平移个长度单位B.向右平移个长度单位

C.向左平移个长度单位D.向右平移个长度单位

【答案】A 【解析】假设对恒成立， 那么为函数的函数的最值，

即2×+φ=kπ+，k∈Z，

那么φ=kπ+，k∈Z，

又f〔〕＞f〔π〕，sin〔π+φ〕=﹣sinφ＞sin〔2π+φ〕=sinφ，sinφ＜0．

令k=﹣1，此时φ=﹣，满足条件sinφ＜0，

令2x﹣∈[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z， 解得：x∈[kπ+，kπ+]〔k∈Z〕．

那么f〔x〕的单调递增区间是[kπ+，kπ+]〔k∈Z〕．

应选C． 4. A.B.-1C.D.1

【答案】D 【解析】，

应选：D.

5.在中，角所对边长分别为，假设，那么的最小值为〔〕 A.B.C.D.

【答案】C

考点：余弦定理。 6.，那么

A.9B.3C.1D.2

【答案】C 【解析】试题分析：,可得，即，又解得，，.应选B.

考点：1、向量的模，2、向量的数量积的运算.

7.函数，其中，假设的值域是，那么实数的取值范围是〔〕 A.B.C.D.

【答案】D 【解析】∵的值域是， ∴由函数的图象和性质可知≤≤，可解得a∈．

应选：D．

8.假设，，且，那么的值是〔〕 A.B.C.或者D.或者

【答案】A 【解析】∵，∴，

又0＜＜， ∴2α∈〔，π〕，即α∈〔，〕，∴β﹣α∈〔，〕， ∴cos2α=﹣=﹣；又， ∴β﹣α∈〔，π〕，∴cos〔β﹣α〕=﹣=﹣，

∴cos〔α+β〕=cos[2α+〔β﹣α〕]=cos2αcos〔β﹣α〕﹣sin2αsin〔β﹣α〕=﹣×〔﹣〕﹣×=．又α∈〔，〕，， ∴〔α+β〕∈〔，2π〕， ∴α+β=，

应选：A．

点睛：求角问题一般包含三步：第一步明确此角的某个三角函数值，第二步根据条件限制角的范围；第三步求出此角.

9.某班设计了一个八边形的班徽〔如图〕，它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为〔〕 A.B. C.D.

【答案】A 【解析】试题分析：利用余弦定理求出正方形面积；利用三角形知识得出四个等腰三角形面积；故八边形面积.故此题正确答案为A.

考点：余弦定理和三角形面积的求解.

【方法点晴】此题是一道关于三角函数在几何中的应用的题目，掌握正余弦定理是解题的关键；首先根据三角形面积公式求出个三角形的面积；接下来利用余弦定理可求出正方形的边长的平方，进而得到正方形的面积，最后得到答案.

10.函数，其中为实数，假设对恒成立，且，那么的单调递增区间是〔〕 A.B. C.D. 【答案】C 【解析】假设对恒成立， 那么为函数的函数的最值，

即2×+φ=kπ+，k∈Z，

那么φ=kπ+，k∈Z，

又f〔〕＞f〔π〕，sin〔π+φ〕=﹣sinφ＞sin〔2π+φ〕=sinφ，sinφ＜0．

令k=﹣1，此时φ=﹣，满足条件sinφ＜0，

令2x﹣∈[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z， 解得：x∈[kπ+，kπ+]〔k∈Z〕．

那么f〔x〕的单调递增区间是[kπ+，kπ+]〔k∈Z〕．

应选C．

11.在矩形中，，，为矩形内一点，且，假设，那么的最大值为〔〕 A.B.C.D.

【答案】C 【解析】 如图，设∠PAE=θ，，那么：

； 又； ∴； ∴； ∴的最大值为．

应选B．

12.假设，实数满足方程组那么〔〕

A.0B.C.D.1

【答案】D 【解析】，

由②化简得：8y3﹣〔1+cos2y〕+2y+3=0，

整理得：﹣8y3+cos2y﹣2y﹣2=0，即〔﹣2y〕3+cos〔﹣2y〕+〔﹣2y〕﹣2=0，

设t=﹣2y，那么有t3+cost+t﹣2=0，

与方程①比照得：t=x，即x=﹣2y，

∴x+2y=0，

那么cos〔x+2y〕=1．

应选D

点睛：解题关键根据两个方程的构造特点，构造新函数借助新函数的性质明确x与y的关系,从而得到的值.

第二卷〔一共90分〕

二、填空题〔每一小题5分，总分值是20分，将答案填在答题纸上〕

13.在中，，且的面积为，那么__________． 【答案】 【解析】根据题意，的面积为：，那么，在中，由余弦定理有：.

1021年在召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为根底设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形〔如图〕.假设小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于__________． 【答案】

【解析】试题分析：由题意得，大正方形的边长为5，小正方形的边长为1，∴1=5cosα-5sinα，

∴cosα-sinα=．由于α为锐角，cos2α+sin2α=1，∴cosα=，sinα=， ∴

考点：此题考察三角函数的应用

点评：用三角函数来表示正方形的边长，列方程求解

15.如图，是边长为4的正方形，动点在以为直径的圆弧上，那么的取值范围是__________． 【答案】

【解析】以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图坐标系

那么圆弧APB方程为x2+y2=4，〔y≥0〕，C〔2，4〕，D〔﹣2，4〕

因此设P〔2cosα，2sinα〕，α∈[0，π] ∴=〔2﹣2cosα，4﹣2sinα〕，=〔﹣2﹣2cosα，4﹣2sinα〕， 由此可得=〔2﹣2cosα〕〔﹣2﹣2cosα〕+〔4﹣2sinα〕〔4﹣2sinα〕

=4cos2α﹣4+16﹣16sinα+4sin2α=16﹣16sinα 化简得=16﹣16sinα ∵α∈[0，π]，sinα∈[0，1]

∴当α=0或者π时，取最大值为16；当α=时，取最小值为0． 由此可得的取值范围是[0，16]

故答案为：[0，16]

点睛：向量有三种表达形式，几何形式，代数形式，符号形式，三种形式对应着处理平面向量问题的三种策略.

16.如图，在平面斜坐标系中，，斜坐标定义：假设〔其中，分别是轴，轴的单位向量〕，那么叫做的斜坐标.

〔1〕得斜坐标为，那么__________．

〔2〕在此坐标系内，，动点满足，那么的轨迹方程是__________．

【答案】(1).1(2).

【解析】〔1〕∵， ∴1．

........................

故答案为：1；y=x

三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕

17.设的内角所对边的长分别为，且有.

〔1〕求角的大小；

〔2〕假设，为的中点，求的长.

【答案】(1)(2) 【解析】试题分析：〔Ⅰ〕根据2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，可得2sinBcosA=sin〔A+C〕，从而可得2sinBcosA=sinB，由此可求求角A的大小；

〔Ⅱ〕利用b=2，c=1，A=，可求a的值，进而可求B=，利用D为BC的中点，可求AD的长．

试题解析：

〔1〕∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；

〔2〕∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴.

点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合条件灵敏转化边和角之间的关系，从而到达解决问题的目的.其根本步骤是：

第一步：定条件，即确定三角形中的和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.

第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，施行边角之间的互化. 第三步：求结果.

18.在中，.

〔1〕求的值；

〔2〕假设，求在方向上的投影.

【答案】(1)(2)

【解析】试题分析：〔1〕根据降幂公式，代入化简得到，再根据两角和的余弦公式化简为，〔2〕根据投影公式在方向上的投影为，所以根据正弦定理求，再求,根据余弦定理求，代入即可.

试题解析：(1)由， 可得， 即， ∴

〔2〕由正弦定理得，由题意知，∴，∴． 由余弦定理得，解得〔舍〕 在方向上的投影：.

19.函数的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的间隔为.

〔1〕求和的值.

〔2〕假设，求的值.

【答案】(1),(2)

【解析】试题分析：〔1〕由两个相邻的最高点的间隔可求得周期，那么，函数为，由函数关于直线对称，可知，结合可求得的值；〔2〕对进展三角恒等变换，可求得的值，又为锐角，可求得，再利用三角恒等变换求得值.

试题解析：〔1〕由题意可得函数的最小正周期为， 再根据图象关于直线对称，可得 结合，可得

〔2〕 再根据

考点：三角函数的周期与初相，三角恒等变换.

20.函数.假设的最小正周期为.

〔1〕求的单调递增区间；

〔2〕在中，角的对边分别是满足，求函数的取值范围.

【答案】(1)(2)

【解析】试题分析：〔1〕利用正弦、余弦的二倍角公式以及两角和公式把化简成，通过的最小正周期求出，得到的解析式，再通过正弦函数的单调性求出答案；〔2〕根据正弦定理及，求出，进而求出，得到的范围，把代入根据正弦函数的单调性，求出函数的取值范围.

试题解析：(1)f(x)＝sinωxcosωx＋cos2ωx－＝sin，∵T＝＝4π，∴ω＝，

∴f(x)＝sin，∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．

(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，∴2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC，

2sinAcosB＝sin(B＋C)＝sinA，∴cosB＝，∴B＝.∵f(A)＝sin，0＜A＜， ∴，∴f(A)∈.