数学物理方法概述

数学物理方程习题

1 第一章 分离变量法

1、求解定解问题：

200000000,(01),||0,,(0),|(),(),|0,(0).ttxxxxlttuauxuunhlxxlnuhllxxllnlnuxl（P-223）

2、长为l的弦，两端固定，弦中张力为T，在距一端为0x的一点以力0F把弦拉开，然后撤出这力，求解弦的震动。[提示：定解问题为

200000000,(0),(0,)(,)0,,(0),(,0)(),(),|0.ttxxttuauxlutultFlxxxxTluxFxlxxxlTlu

] (P-227)

3、求解细杆导热问题，杆长l，两端保持为零度，初始温度分布20|()/tubxlxl。[定解问题为

220200,()(0),||0,|()/.txxxxltkuauaxlCuuubxlxl] (P-230)

4、求解定解问题

2220,0,0220,0.03sin,0.00uuaxlttxuuxxlxuuAtltt

数学物理方程习题

2 4、长为l的均匀杆，两端受压从而长度缩为(12)l，放手后自由振动，求解杆的这一振动。[提示：定解问题为

20000,(0),||0,2|2(),|0.ttxxxxxxltttuauxluuuxlu](P-236)

5、长为l的杆，一端固定，另一端受力0F而伸长，求解杆在放手后的振动。[提示：定解问题为

2000000,(0),|0,|0,(,0),|0.ttxxxxxlxxttuauxluuFuuxdxdxxYSu] (P-238)

王瑞平：数学物理方法-第一章 第2节

1§1-3 复变函数的多值性——黎曼面

复变函数具有多值性的特点。本节探讨这个问题。

一、 产生原因：

复变函数的多值性，它源于自变量复数z=ρeiφ

是关于辐角为周期函数(绕支点每转一周，复数

值不变）所造成。利用这个特点可以构造它的单值映射。例如对根式运算：zzf=)(

。

自变量：)2(πφρki

ez+

=

映射：)

2(

)(πφ

ρki

ezf+

=

k=0时：0≤φ<2π（C0

平面） 0≤argf

k=1时：2π≤φ<4π（C1

平面） π≤argf<2π（C’下半平面）

也就是说，象复平面全部覆盖时，自变量（原象）z平面

需要两个复平面上的变量。即当z绕z

0=0转了两圈，f(z)

才能完成了整个复平面的取值。当k继续增加，则又回到

上述循环。

二、黎曼面及其构造：

分析要求复变函数是单值的，即自变量z在函数f(z)

在复平面上的值是唯一的。这就需要对多值函数的自变量

z所在复平面进行重新构造。即在定义域中引入黎曼（Riemann）面C（R）

，把辐角的多值定义域分开，

每个定义域的映射都有一个单值函数。如对上根式函数：对自变量区域可以定义两个平面：

k=0时：C（0）

平面（0≤φ<2π）；k=1时：C（1）

平面（0≤φ<2π）。黎曼面即是：C（R ）

= C R

+C 1

，使

得：

f: C（R ）

├— C’ [1]

为单值。黎曼面也就是对z的扩域。

⑴ 支点的阶数：支点z

0指辐角不定的点。对复变函数f(z)，当自变量量z绕z

0一圈时，f(z)不还

原，则称f(z)为“多值函数”。当饶z

0转n圈后，多值函数f(z)还原，z

0称为f(z)的n-1阶支点。

如上例中z

0=0

为函数zzf=)(

的1阶支点。此外规定无穷远点z=∞也是支点。

⑵ 黎曼面C（R ）

构造：把当前支点与无穷远支点之间用一条直线（或曲线）连接，自变量 z不能通

过此线连续变化，即把原来的自变量定义域C用此直线割开，就成了一个单值映射的定义域C（i）

1 数学物理方法试卷

一、选择题（每题4分，共20分）

1．柯西问题指的是（ ）

A．微分方程和边界条件. B. 微分方程和初始条件.

C．微分方程和初始边界条件. D. 以上都不正确.

2．定解问题的适定性指定解问题的解具有（ ）

A．存在性和唯一性. B. 唯一性和稳定性.

C. 存在性和稳定性. D. 存在性、唯一性和稳定性.

3．牛曼内问题

fnuu,02 有解的必要条件是（ ）

A．0f. B．0u.

C．0dSf. D．0dSu.

4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题0)()0(0 ,0)()(''lXXlxxXxX

的解是（ ）

A．) cos, (2xlnln. B．) sin, (2xlnln.

C．) 2)12(cos,2)12( (2xlnln. D．) 2)12(sin,2)12( (2xlnln.

5．指出下列微分方程哪个是双曲型的（ ）

A．0254yxyyxyxxuuuuu.

B．044yyxyxxuuu.

C．02222yxyyxyxxuyxyuuyxyuux.

D．023yyxyxxuuu.

二、填空题（每题4分，共20分） 2 1．求定解问题x0 ,cos2 ,00 t,sin2 ,sin20 ,0 ,00002222xuutututxxututttxx的解是( )

数学物理方法

课程类别校级优秀 □ 省级优质 √ 省级精品 □ 国家精品 □

项目主持人李高翔

课程建设主要成员陈义成、王恩科、吴少平、刘峰

数学物理方法是理科院校物理类学生的一门重要基础课，

该课程所涉内容，不仅为其后续课程所必需，而且也为理论和

实际研究工作广为应用。因此，本课程教学质量的优劣，将直

接影响到学生对后续课程的学习效果，以及对学生分析问题和

解决问题的能力的培养。数学物理方法是物理专业师生公认的

一门“难教、难学、难懂”的课程，为了将其变为一门“易

教、易学、易懂”的课程，我们对该课程的课程体系、内容设

置、教学方法等方面进行了改革和建设，具体做法如下： 一、师资队伍建设

优化组合的教师队伍，是提高教学质量的根本保证。本课

程师资队伍为老、中、青三结合，其中45岁以下教师全部具有

博士学位，均具有高级职称。课程原责任教师汪德新教授以身

作则，有计划地对青年教师进行传、帮、带，经常组织青年教

师观摩老教师的课堂教学、参与数学物理方法教材编写的讨

论；青年教师主动向老教师学习、请教，努力提高自身素质和

教学水平。现在该课程已拥有一支以中青年教师为主的教师队

伍。同时，系领导对该课程教师队伍的建设一直比较重视，有

意识地安排青年教师讲授相关的后续课程，例如，本课程现责

任教师李高翔教授为物理系本科生和函授生多次主讲过《电动

力学》、《量子力学》、《热力学与统计物理》等课程，使得

他们熟知本门课程与后续专业课程的连带关系，因此在教学中

能合理取舍、突出重点，并能将枯燥的数学结果转化为具体的

物理结论，有利于提高学生的学习兴趣。培养学生独立分析问

题和解决问题能力的一个重要前提是教师应该具有较强的科研

能力，该课程的任课教师都是活跃在国际前沿的学术带头人或

学术骨干，近5年来，他们承担国家自然科学基金项目共8项，

在国内外重要学术刊物上发表科研论文60余篇，并将科研成果注入教学中。此外，本课程大多数教师有多次出国合作研究的

经历，并且在学校教务处和外事处的支持下，吴少平副教授参