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错位相减法的原理

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错位相减法的原理

嘿，朋友们！今天咱来唠唠错位相减法。这玩意儿啊，就像是一把神奇的钥匙，能打开好多数学难题的大门呢！

你看啊，错位相减法就像是搭积木。一堆数字就像是各种形状的积木，我们要把它们巧妙地组合起来。比如说有一个数列，它的每一项之间都有着特定的规律，就像积木有不同的颜色和形状一样。

我们为啥要用错位相减法呢？这就好比你要爬上一座高山，得找一条合适的路呀。有些数列用常规方法不好弄，那错位相减法就是那条特别的路。

想象一下，你面前有两个数列，一个是等差数列，一个是等比数列。它们就像是两个小伙伴，手牵手一起玩。我们要做的呢，就是让它们错位，就像让小伙伴们换个位置站。然后通过巧妙的运算，把那些复杂的项都给消掉，就像把多余的积木拿走一样，最后得到我们想要的结果。

比如说，有一个数列是 1，2，4，8，16……另一个数列是 1，3，5，7，9……那我们把它们错位相减，就会发现一些奇妙的变化。原本看起来很难的问题，一下子就变得清晰了。

这可不是随便说说的哦！很多难题就靠这一招给解决了。就好像你遇到一个很难解的结，错位相减法就是那把能解开结的小剪刀。

而且啊，错位相减法还很灵活呢！它可不是死板的方法，你得根据具体情况来调整。就像跳舞一样，要根据音乐的节奏来变换舞步。

咱再举个例子吧，就像解方程一样，有时候你得试试不同的方法才能找到答案。错位相减法就是其中一种特别有效的方法。

你可别小瞧了它，虽然它看起来好像有点复杂，但一旦你掌握了，那可真是如鱼得水啊！它能让你在数学的海洋里畅游，解决那些看似不可能的问题。

所以啊，朋友们，好好去理解和运用错位相减法吧！它就像一把隐藏的宝藏钥匙，等着你来发现它的神奇之处呢！别害怕尝试，就像学骑自行车一样，一开始可能会摔倒，但多练习几次，你就能骑得稳稳当当啦！相信自己，你一定能玩转错位相减法！

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错位相减法教学设计

错位相减法教学设计

《错位相减法》教学设计

东莞市厚街中学 姚卫

一、教学内容与内容解析

1．内容：

错位相减法求和

2．内容解析：

本节课是人教A版（必修5）第二单元的拓展内容．在本课之前，学生已经在第二章数列学习了数列的概念及等差数列和等比数列。本节课是数列单元拓展内容数列求和的一个部分，也是期末自查考试和高考的一个重要考点。

由于在等比数列前n项和的公式推导中已经学习了错位相减法，所以在本节课的教学中，通过复习等比数列前n项和的公式推导过程及任意等差和等比数列（q≠1）乘积数列的求和，加深对错位相减法步骤的理解和简单应用上。

教学重点：理解错位相减法的基本思想及步骤．

二、教学目标与目标解析

1．目标：

(1)通过复习等比数列前n项和的公式推导过程复习错位相减法的步骤。

(2)通过探究一个等差数列和一个等比数列（q≠1）对应项相乘构成的数列的前n项之和nS的求法掌握这类题型的解题策略、步骤和注意事项。

2．目标解析：

错位相减法是期末自查考试和高考的一个重要考点，让学生能在实际解题中能判断什么样的题型使用，以及能熟练掌握解题步骤和注意事项，避免在考试中出现无谓丢分。

三、教学问题诊断分析

1．学生容易将用分组求和法的一个等差数列和一个等比数列对应项相加．．构成的数列的前n项之和nS的求法混淆。

2．学生不理解推导等比数列前n项和的公式的错位相减法为什么可以用来解决任意等差和等比数列（q≠1）乘积数列的求和问题。

3．作为面上中学的学生的计算能力不高会给教学带来困难。

教学难点：①理解错位相减法； ②计算。

四、教学支持条件

为了有效实现教学目标，考虑到学生的知识水平、理解能力，通过教师设计的层层推进式的问题，充分调动学生的积极性，让学生在教师指导下学习，让学生逐步领会错位相减法的解题步骤。

五、教学过程设计

（1）创设情境，提出问题

创设情境：已知数列}{na，nnna2，求数列na的前n项和。 提出问题1：“这个数列的通项公式的特点是什么？”

错位相减法(万能模板法)

错位相减法(万能模板法)

1 数列求和之错位相减法

用“错位相减法”求和的数列特征：即如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项乘积构成的，那么这个数列的前n项和则采用“错位相减法” 求和

高考数列用错位相减的几个步骤:

第一步：判断通项公式是否满足一下关系式：

第二步：写出求和的展开式：

第三步：在第二步的基础上等式两边同时乘上该等比数列的公比q

第四步：①——②化简得:ns

例题1：[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根．

(1)求{an}的通项公式；

(2)求数列an2n的前n项和．

例题2：已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1；数列{bn}满足bn－1－bn＝bnbn－1(n≥2，n∈N*)，b1＝1.

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)求数列anbn的前n项和Tn.

课后练习：

已知数列{an}中，a1＝3，a2＝5，且{an－1}是等比数列

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)若bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Tn。

（15年天津）已知na是各项均为正数的等比数列,nb是等差数列,且112331,2abbba,5237ab.

（I）求na和nb的通项公式；

（II）设cn=nabn求数列nc的前n项和.

已知等比数列na的公比1q， 42是1a和4a的一个等比中项，2a和3a的等差中项为6，若数列nb满足2lognnba（n*N）．

（Ⅰ）求数列na的通项公式；

（Ⅱ）求数列nnab的前n项和nS．

（全国）已知数列na的首项321a，121nnnaaa，3,2,1n

（1）证明：数列11na是等比数列；

（2）求数列nan的前n项和nS。

121122=+++=+++nnnnScccababab……①

数列--错位相减法

数列--错位相减法

数列：裂项相消法与错位相减法

例1：（1）已知数列na满足)1(1nnan，求通项公式na.

（2）已知数列na满足)2(1nnan，求通项公式na.

（3）已知数列na满足)12)(12(1nnan，求通项公式na.

（4）已知数列na满足14422nnan，求通项公式na.

（5）已知数列na满足)2)(1(1nnnan，求通项公式na.

（6）已知数列na满足22)1(12nnnan，求通项公式na.

例2：（1）已知数列na满足nnna2，求前n项和nS.

（2）已知数列na满足nnna2)12(，求前n项和nS.

（3）已知数列na满足nnna2，求前n项和nS.

（4）已知数列na满足13)12(nnna，求前n项和nS.

错位相减法

错位相减法

体验·感悟·提升

——关于错位相减法案例

片断一、创设问题情景，感知方法的独特性

师：国际象棋起源于古代印度，关于国际象棋有这样一个传说．国王要奖赏国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请棋盘的第１个格子里放上1颗麦粒，在第２个格子里放上２颗麦粒，在第３个格子里放上４颗麦粒，在第４个格子里放上８颗麦粒，依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的２位，直到第６４个格子．请给我足够的粮食来实现上述要求”．国王觉得这并不是很难办到的事，就欣然同意了他的要求．

1 2 4 8 16 32 62 72

82 92 102 112 122 132 142 152

162 172 182 192 202 212

222 232

242 252 262 272 282 292 302 312

322 332 342 352 362 372 382 392

402 412 422 432 442 452 462 472

482 492 502 512 522 532 542 552

562 572 582 592 602 612 622 632

师：你们认为国王有能力满足发明者上述要求吗？

生：发明者要求的麦粒总数为2631222．

师：我赞同，但这总数到底是多少，我们又该如何计算呢？

［点评与反思］

利用具激发兴趣的现实例子呈现问题，一是使学生明确知识的现实应用性，并且渗透了学生从现实问题中抽象出数学问题的能力．二是引起学生注意力，让学生想知道到底发生什么一回事呢？可以说这一环节设计的匠心之处就在于它扣住了本节内容的难点，求前n项和的一种方法，把握了知识的连接点和生长点．

片断二：探究求和的方法，揭示此方法的易错点和关键

师：出示63641242S，若在上式两边同乘以2，得到的一个新式子646422482S它与上式有什么异同点？

生１：发现两式右边有62项相同．