自考第3章2复合闭路原函数

∫
∫
C
z
1 如果 z0 在C的内部,则 ∫ 内部, d z = 2π i C z z 0 1 整数 n ≠ 1 ∫ C n dz = 0 z0 ( z z0 ) 1 如果 z0 在C的外部,则 外部, z z0 1 的闭区域处处解析 在C围成的闭区域 处处解析 ∫ C ( z zz00)n d z =120 z
cos z 等 在复平面内处处不解析 处处不
B 终点 C
A
起点
∫
C
f ( z )d z = ∫C f ( z )d z
1
y
为中心的正向 正向圆周 设C是以 z0 为中心的正向圆周
z0
整数 n ≠ 1 O
1 ∫ C z z0 d z = 2π i 1 ∫ C ( z z0 )n d z = 0
∫
C
C
f (z) d z =
∫
C1
f (z) d z + ∫ f (z) d z + ∫ f (z) d z C
C2
3
C1
C2
C3
或
∫
C
f ( z ) d z + ∫ f ( z ) d z + ∫
C1
C2
f ( z )d z + ∫ C f ( z ) d z = 0
3
同向相等 同向相等
异向互为相反数 异向互为相反数
∫
C + C1
f (z) d z = 0
f ( z ) d z + ∫C f ( z ) d z = 0
1
O
z0
C
∫ ∫
z z0
C C
f (z) d z= ∫ f (z) d z
C1
F ( z ) = ∫ f ( z ) d z 是终点 z 的单值函数4
定理 设 f ( z ) 在单连通域D内 连续, 若积分 单连通域 连续, 在D内与路径C无关, 则 F ( z )= 路径C无关, 且 F ′( z ) = f ( z )
i 2i
1 1 1 1 ( ) = ( z + a )( z + b ) b a z + a z + b 16
例6 计算
∫
C
解
2
z
i 2 O
1 d z 其中C是正向圆周:z |= 1 | 其中C 正向圆周: i ( z )( z + 2) 2 i 被积函数 的奇点为 z = z = 2 2 1 dz ∫C i ( z )( z + 2) 2 1 1 1 d z) (∫ = d z ∫ 1 i C C z+ 2 i 2+ z 2 2 4π i 2 ( 2π i 0) = = 4+ i 4+ i
i
π
i 2
π
1 1 = [i ( i )] = i 3 6
8
1 1 (3) ∫ π i sin z d z =∫ ( cos 2 z )d z π i 2 2 πi z 1 = ( sin 2 z ) iz iz e e π i 2 4 sin z = 2i 1 = π i sin 2π i 2 sin iy = i sh y 1 = i (π sh 2π ) 2 1 1 (4) ∫0 z sin z d z = ( sin z z cos z ) = sin1 cos1
例1 计算
1 z 2 1 在C的内部 O 0.5 1 解 z = 2
C
∫
1
dz
其中C 其中C是 正向圆周 | z |= 1
∫
1
C
4 3 ) d z 其中C: z |= 4 正向 + 例2 计算 ∫ ( 其中C | z + 1 z + 2i C z = 1, z = 2i 在C的内部 解 4 3 dz+∫ dz 原式 = ∫ C z+1 C z + 2i
| 例1 计算积分 C ze d z 其中C是正向圆周: 其中C是正向圆周:z |= 2 解 因为 ze sin z 在闭区域| z |≤ 2 上处处解析 上处处解析 y sin z d z = 0 所以 ze
sin z
∫
∫
C
f ( z )d z = 0
2 3
x
解
z dz= 0 |z| = 2 z3 z 上处处解析 在闭区域| z |≤ 2 上处处解析 因为 3 z3
§3.2 柯西积分定理
处处解析 复习 初等函数 初等函数 在定义区域内 处处解析 关于z 的任何多项式 z n , e z , sin z , cos z , sh z , ch z , 关于z 的任何多项式 (1) 都在复平面内 处处解析 处处解析 Pn ( z ) 在除去 Qm ( z ) 的零点的复平面内解析 (2)有理函数 (2)有理函数 的复平面内解析 Qm ( z ) 幂函数 z b 在除去原点与负实轴的 (3)对数函数 ln z , (3)对数函数 复平面内处处解析 非初等函数 非初等函数 Re z , Im z , | z |, arg z , z , e z , sin z ,
∫ 例2 计算积分 ∫
C
定理 则积分
解析, 单连通域 若 f ( z ) 在单连通域D内 解析,
f ( z ) d z 与连结起点 及终点的 路径C无关 路径C C 为起点, z 证明 设 C,C1是以 z0 为起点, 为终点的两条简单曲线
D
∫
z
C1
f ( z ) 在单连通域D内处处解析, 单连通域 处处解析 解析, C + C1 是域D内 简单闭曲线 是域D
令 z0 = 0 C是以原点为中心的正向圆周 是以原点为中心的正向 正向圆周
x
1 1 整数 n ≠ 1 ∫ C z d z = 2π i ∫C zn d z = 0 1 1 例如 ∫=1 z d z = 2π i ∫=1 z 2 d z = 0 |z| |z| 1 1 d z = 2π i ∫ =1 z 2 d z = 2π i ∫i|= 3 z 2i 2 |z 2| |z 2
11
闭路变形原理 将封闭曲线C 连续变形 成封闭曲线C1 将封闭曲线C 连续变形 成封闭曲线C 如果在变形过程中 封闭曲线 不经过 奇点, 解析函数 f ( z ) 的奇点, 则 f ( z ) C1 沿封闭曲线 的积分值 不会改变 C f (z) d z = C f (z) d z 即 C 1 任何一条 设C 是不经过 z0 的任何一条 正向简单 闭曲线
∫
z1 z0
f ( z ) d z= Φ ( z1 ) Φ ( z0 )
6
例1
计算
∫
3+ 4 i
0
z
2
2
dz
解
∫
3+ 4 i
0
z
1 3 3 + 4i dz = z 3 0
44 1 3 i = (3 + 4 i ) = 39 + 3 3
例2
计算 解
∫ ∫
3 1
3
1
( z 2) d z
5 5
3 1 6 ( z 2) d z = ( z 2) =0 1 6
7
例计算下列各题 (1) (2)
1 2 z 3π i 1 6π i e 2π i ) = 0 ∫π i e d z = 2 e π i = 2 (e z z 0 0 1 e e π ∫π6 i ch 3 z d z = 3 sh 3 z 6 i sh z = 2
3π i
2z
π 1 1 e 2 e = (sh 0 sh i ) = 2 3 3 2
∫
C
f (z) d z =
∫
该区域 是多连通区域, 现把它变成单连通区域 是多连通区域, 解析, 边界上 连续 则 f ( z ) 在这个 单连通 区域内 解析, 边界封闭曲线 根据定理3.4 根据定理3.4 f ( z ) 沿其整个边界封闭曲线 的积分 等于零
C1
f (z) d z
∫
C
+ AB ∫
C1
+∫
BA
+∫ = 0
C
C
C1 B
∫ ∫
f ( z )d z + ∫ f ( z )d z= 0
C1
C
f ( z )d z =
∫
C1
f ( z )d z
10
起点A 起点A
同向相等 同向相等 异向互为相反数 异向互为相反数
定理3.8 设闭曲线C 定理3.8 设闭曲线C 取正向(逆时针) 逆时针 逆时针 闭曲线 C1 , C2 , C3 取正向(逆时针) 若 f ( z ) 在C ,C1 , C2 , C3围成的 区域内 解析, 解析, 边界上 连续 则
任何一条 设C是 不经过原点 的任何一条 正向简单 闭曲线 如果原点 在C的内部, 内部,
1 d z = 2π i 则 ∫ C z 1 dz = 0 整数 n ≠ 1 ∫ n C z
O
C 如果原点在C的外部, 外部,
1 的闭区域处处解析 在C围成的闭区域 处处解析 则 z 1 ∫ C zzn d z = 0 13
定理3.6 定理3.6 设 f ( z ) 在单连通域D内 连续, 单连通域 连续, 若 f ( z ) 沿D内 任何一条简单闭曲线C 的积分为零 简单闭曲线C 的积分为零 z 则 F (z) = f ( z ) d z在D内解析 ,且 F ′( z ) = f ( z )
∫
定理3.5 定理3.5 若 f ( z ) 在单连通域D内 解析, 单连通域 解析, 则 F (z) =
∫
z z0
f (ξ ) d ξ 在D内解析
∫
C
f (z) d z
证 设 z + z ∈ D , f (ξ ) 在z连续, 对 ε > 0, δ > 0, 连续, ) |z 当 |z | < δ 时 | ξ z |< δ , | f (ξ ) f ( zz+< ε +