【配套K12】高二数学上学期第二次月考试题 理(无答案)

高二数学理上第二次月考试题附答案?一、选择题〔本大题共12个小题,每题5分,共60分. 在每题给出的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的.〕1.设集合A={ }，集合B为函数的定义域，那么A B=( )A.〔1，2〕 B . [1，2] C. [ 1，2〕 D.〔1，2 ]2.以下函数中，既是奇函数又是增函数的为〔〕A. B. C. D.3. 设α，β是两个不同的平面，m是直线且m?α.那么〝m∥β〞是〝α∥β〞的( )A．充沛而不用要条件B．必要而不充沛条件C．充沛必要条件D．既不充沛也不用要条件4. 以下结论错误的选项是( )A．命题〝假定x2－3x－4＝0，那么x＝4〞的逆否命题为〝假定x≠4，那么x2－3x－4≠0〞B．〝x＝4〞是〝x2－3x－4＝0〞的充沛条件C．命题〝假定m>0，那么方程x2＋x－m＝0有实根〞的逆命题为真命题D．命题〝假定m2＋n2＝0，那么m＝0且n＝0〞的否命题是〝假定m2＋n2≠0，那么m≠0或n≠0〞5. 函数f(x)＝2|x－1|的图象是( )6.函数的零点个数为〔〕A.0B.1 C .2 D.37 . 设a＝log32，b＝log52，c＝log23，那么( )A．a>c>b B．b>c>a C．c>b>a ?D．c>a>b8.幂函数f(x)＝k?xα的图象过点2，那么k＋α等于( )A.2(1) B．1 C.2(3) D．29.函数的单调递减区间为〔〕A.〔 1,1]B.〔0,1]C. [1，+∞〕D.〔0，+∞〕10. 定义在R上的函数f( x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x－2)＝f(x＋2)，且x∈(－1,0) 时，f(x)＝2x＋5(1)，那么f(log220)等于( )11．二次函数f(x)的图象经过点2(3)，且f′(x)＝－x－1，那么不等式f(10x)>0的解集为( )A．(－3,1) B．(－lg 3,0) C.，1(1) D．(－∞，0)12. 曲线y＝ex＋1(1)，那么曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为( )A．x＋4y－2＝0 B．x－4y＋2＝0C． 4x＋2y－1＝0 D．4x－2y－1＝0第二卷〔共90分〕二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13.函数那么．14.圆心在直线2x﹣y﹣7=0上的圆C与y轴交于两点A〔0，﹣4〕、B〔0，﹣2〕，那么圆C的方程为．15．假定抛物线的焦点在直线上，那么的准线方程为____.16.函数y=f〔x〕是定义在R上的偶函数，关于x∈R，都有f〔x+4〕 =f〔x〕+f〔2〕成立，当x1，x2∈且x1≠x2时，都有＜0，给出以下四个命题：①f〔﹣2〕=0；②直线x=﹣4是函数y=f〔x〕的图象的一条对称轴；③函数y=f〔x〕在上为增函数；④函数y=f〔x〕在〔﹣8，6]上有四个零点．其中一切正确命题的序号为．三、解答题〔本大题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明进程或演算步骤.〕17.(此题总分值12分)在中，的内角的对边区分是，且 . 〔1〕求角；〔2〕假定求的面积的最大值.18.(本体总分值12分)为维护水资源，宣传浪费用水，某校4名志愿者预备去附件的甲、乙、丙三家公园停止宣传活动，每名志愿者都可以从三家随机选择一家，且每人的选择相互独立.〔1〕求4人恰恰选择了同一家公园的概率；〔2〕设选择甲公园的志愿者的人数为，试求的散布列及希冀.19.(此题总分值12分)如图，在多面体中，底面是边长为的的菱形，，四边形是矩形，平面平面，，和区分是和的中点.〔Ⅰ〕求证：平面平面；〔Ⅱ〕求二面角的大小。

2021年高二上学期第二次月考试卷数学（理）含解析2.对于常数、,“”是“方程的曲线是椭圆”的3.下列选项叙述错误的是A.命题“若，则”的逆否命题是“若，则”B.若命题：，则：C.若为真命题，则，均为真命题D.“”是“”的充分不必要条件4.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是5.与椭圆具有相同的离心率且过点（2，-）的椭圆的标准方程是 .6.函数在处有极值10, 则点为7. 已知椭圆C:（a＞b＞0）的左右焦点为, 若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得为等腰三角形，则椭圆Ｃ的离心率的取值范围是8.如果，且函数为奇函数，为的导函数。

则9.已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F,右准线为,离心率过顶点A(0,b)作AM,垂足为M，则直线FM的斜率等于.10.函数的图象经过原点，且它的导函数的图象是如图所示的一条直线，则的图象的顶点在第象限11.设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，f n＋1(x)＝f n′(x)，n∈N，则f xx(x)＝.12.设函数，对任意成立，则的大小关系是.13.设直线：，双曲线，则“”是“直线与双曲线C恰有一个公共点“的.14.对于函数，若存在区间当时的值域为则称为k倍值函数，若是k倍值函数，则实数k的取值范围是二、计算题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. (本小题满分14分)已知命题P函数在定义域上单调递减；命题Q不等式对任意实数恒成立若是真命题，求实数的取值范围16. (本小题满分14分)设．⑴若函数在区间内单调递减，求的取值范围；⑵若函数处取得极小值是，求的值，并说明在区间内函数的单调性．17. (本小题满分15分)已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点．（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的标准方程；（II）设过点F的直线交椭圆于A、B两点，并且线段AB的中点在直线x+y=0上，求直线AB的方程．18．(本小题满分15分)如图，直角梯形ABCD中，AD=3，AB=4，BC=，曲线DE上任一点到A、B两点距离之和都相等（E与AB在一条直线上）.（1）适当建立直角坐标系，求曲线DE的方程；（2）过C点能否作一条直线与曲线DE相交且以C为中点的弦？如果不能，请说明理由，如果能，则求出该弦所在直线的方程。

精品 Word 可修改 欢迎下载2021-2022内蒙古杭锦后旗奋斗中学高二上学期第二次（12月）月考数学（理）试题注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题 1．点P 的直角坐标为，则点P 的极坐标可以为A ．B ．C ．D ．2．曲线的极坐标方程 化为直角坐标为A ．B ．C ．D ．3．已知曲线的参数方程为（为参数），则该曲线离心率为A ．B ．C ．D ． 4．抛物线上的点到焦点的距离为，则的值为 A ．或B ．C ．D ．或5．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的离心率为52，则C 的渐近线方程为（A ）14y x =±（B ）13y x =± （C ）12y x =±（D ）y x =±6．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为为参数），则曲线CA ．最新轴对称B ．最新轴对称C ．最新原点对称D ．最新直线对称7．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k 的值是A ．5B ．6C ．7D ．8 8．“直线与圆相交”是“”的A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件9．直线 的位置关系是A ．平行B ．垂直C ．相交不垂直D ．与有关，不确定10．已知两点A （﹣1，0），B （0，1），点P 是椭圆上任意一点，则点P 到直线AB 的距离最大值为A ．B ．C ．6D ．11．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G=λ（0≤λ≤1），则点G 到平面D 1EF 的距离为A ．B ．C ．D ．12．已知双曲线的左、右焦点分别是， 正三角形的一边与双曲线左支交于点B ，且， 则双曲线C 的离心率的值是此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．B ．C ．D ．二、填空题13．若命题：是真命题，则实数的取值范围是______．14．如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于________________．15．阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是_______．16．已知椭圆的离心率e=，A,B是椭圆的左右顶点，P为椭圆上不同于AB的动点，直线PA,PB 的倾斜角分别为，则 =________.三、解答题17．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F并且经过点A（1，﹣2）．（1）求抛物线C的方程；（2）过F作倾斜角为45°的直线l，交抛物线C于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN的面积。

智才艺州攀枝花市创界学校甘谷一中2021--2021第一学期高二年第二次月考数学〔理科〕试卷〔测试时间是：120分钟总分值是150分〕一、选择题〔每一小题5分，一共12小题，总分值是60分〕 1.tan 1p x R x ∃∈=：，使，其中正确的选项是〔〕A.p x R ⌝∃∈：，使tan 1x ≠B.p x R ⌝∃∉：，使tan 1x≠C.p x R ⌝∀∉：，使tan 1x ≠D.p x R ⌝∀∈：，使tan 1x ≠【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】tan 1p x R x ∃∈=：，使所以p x R ⌝∀∈：，使tan 1x ≠. 应选D. 【点睛】.2.假设抛物线的准线方程为1x =，焦点坐标为(1,0)-，那么抛物线的方程是〔〕 A.22y x =B.22y x =-C.24y x=D.24y x =-【答案】D 【解析】根据题意，可设抛物线的方程为22(0)y px p =->，因为其准线方程为1x =，焦点坐标为(1,0)-， 解得2p =，所以抛物线的方程为24y x =-，应选D ．3.“a>1”是“<1”的()A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】选A.因为a>1,所以<1.而a<0时,显然<1,故由<1推不出a>1.4.△ABC 的三个顶点为A 〔3，3，2〕，B 〔4，－3，7〕，C 〔0，5，1〕，那么BC 边上的中线长为〔〕 A.2 B.3C.4D.5【答案】B 【解析】试题分析：由中△ABC 的三个顶点为A 〔3，3，2〕，B 〔4，-3，7〕，C 〔0，5，1〕，利用中点公式，求出BC 边上中点D 的坐标，代入空间两点间距公式，即可得到答案.解：∵B〔4，-3，7〕，C 〔0，5，1〕，那么BC 的中点D的坐标为〔2，1，4〕那么AD即为△ABC中BC边上的中线222(32)(31)(42)3AD =-+-+-=应选B.考点：空间中两点之间的间隔点评：此题考察的知识点是空间中两点之间的间隔，其中根据条件求出BC 边上中点的坐标，是解答此题的关键．假设向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不一共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C 一定一共面；③向量,,a b c 是空间的一个基底，那么向量,,a b a b c +-〕 A.①② B.①③C.②③D.①②③【答案】C 【解析】【分析】根据空间向量的基底判断②③的正误，找出反例判断①【详解】解：①假设向量a b ，与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a b ，的关系是不一共线；所以不正确．反例：假设有一个向量a b ，为零向量，一共线但不能构成空间向量的一组基底，所以不正确．②O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OAOB OC ，，不构成空间的一个基底，那么点O ，A ，B ，C 一定一共面；这是正确的．③向量a b c ，，是空间的一个基底，那么向量a b a b c +-，，，也是空间的一个基底；因为三个向量非零不一共线，正确． 应选C ．【点睛】此题考察一共线向量与一共面向量，考察学生分析问题，解决问题的才能，是根底题． 6.如下列图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点．假设AB a =，AD b =，1AA c=，那么以下向量中与BM 相等的向量是〔〕 A.1122-++a b c B.1122++a b c C.1122--+a b cD.1122-+a b c 【答案】A【分析】运用向量的加法、减法的几何意义，可以把BM 用的一组基底表示. 【详解】1111()2BMBB B M AA AD AB =+=+-111()222c b a a b c =+-=-++.【点睛】此题考察了空间向量用一组基底进展表示.7.△ABC 的周长为20，且顶点B 〔0，﹣4〕，C 〔0，4〕，那么顶点A 的轨迹方程是〔〕A.2213620x y +=〔x≠0〕 B.2212036x y +=〔x≠0〕 C.221620x y +=〔x≠0〕D.221206x y +=〔x≠0〕 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的周长和定点，得到点A 到两个定点的间隔之和等于定值，得到点A 的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y 轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．【详解】解：∵△ABC 的周长为20，顶点B 〔0，﹣4〕，C 〔0，4〕， ∴BC ＝8，AB +AC ＝20﹣8＝12， ∵12＞8∴点A 到两个定点的间隔之和等于定值， ∴点A 的轨迹是椭圆， ∵a ＝6，c ＝4 ∴b 2＝20，∴椭圆的方程是()22102036x y x +=≠【点睛】此题考察椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，此题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点． 8.过抛物线2y4x =的焦点作直线交抛物线于()()1122A x ,y B x ,y 两点，假设12x x 6+=，那么AB (=)A.6B.8C.9D.10【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的性质直接求解，即焦点弦长为12AB x x p =++．【详解】抛物线24y x =中，2p =，∴12628AB x x p =++=+=，应选B ．【点睛】AB 是抛物线的焦点弦，1122(,),(,)A x y B x y ，0p >，抛物线22y px =的焦点弦长为12AB x x p =++，抛物线22y px =-的焦点弦长为12()AB x x p =-++，抛物线22x py =的焦点弦长为12AB y y p =++，抛物线22x py =-的焦点弦长为12()AB y y p =-++．9.假设直线y kx 2=+与双曲线22x y 6-=的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是()A.⎛ ⎝⎭B.⎛ ⎝⎭C.,03⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D.13⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】由直线与双曲线联立得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0，由2121210000k x x x x ⎧-≠⎪∆>⎪⎪+>⎨⎪⋅>⎪⎪⎩，，，结合韦达定理可得解.【详解】解析：把y ＝kx ＋2代入x 2－y 2＝6，得x 2－(kx ＋2)2＝6，化简得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0，由题意知2121210000k x x x x ⎧-≠⎪∆>⎪⎪+>⎨⎪⋅>⎪⎪⎩，，，即()22221640104011001k k k k k ⎧+->⎪⎪⎪>⎨-⎪-⎪>⎪-⎩，，，解得3-＜k ＜－1. 答案：D.【点睛】此题主要考察了直线与双曲线的位置关系，属于中档题. 10.试在抛物线2y 4x =-上求一点P ，使其到焦点F 的间隔与到()A 2,1-的间隔之和最小，那么该点坐标为()A.1,14⎛⎫-⎪⎝⎭ B.1,14⎛⎫⎪⎝⎭C.(2,--D.(2,-【答案】A 【解析】由题意得抛物线的焦点为(1,0)F -，准线方程为:1l x =． 过点P 作PMl ⊥于点M ，由定义可得PM PF =,所以PA PF PA PM+=+，由图形可得，当,,P A M 三点一共线时，||||PA PM +最小，此时PA l ⊥． 故点P 的纵坐标为1，所以横坐标14x =-．即点P 的坐标为1(,1)4-．选A ． 点睛：与抛物线有关的最值问题的解题策略该类问题一般解法是利用抛物线的定义，实现由点到点的间隔与点到直线的间隔的转化．(1)将抛物线上的点到准线的间隔转化为该点到焦点的间隔，构造出“两点之间线段最短〞，使问题得解； (2)将抛物线上的点到焦点的间隔转化为点到准线的间隔，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短〞解决．11.在长方体1111ABCD A B C D -中，假设AB BC 1==，1AA 2=，那么A 到直线1A C 的间隔为()A.263B.362C.233D.63【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得：连接1A C ，AC ，过A 作1AE A C ⊥，根据长方体得性质可得：1A C ⊥平面ABCD ，即可得到AC 2=，1A C 6=，再根据等面积可得答案．【详解】由题意可得：连接1A C ，AC ，过A 作1AE A C ⊥，如下列图：根据长方体得性质可得：1A A ⊥平面ABCD ．因为AB BC 1==，1AA 2=，所以AC =1A C =根据等面积可得：11A A AC AEA C ⋅==．应选C ．【点睛】此题主要考察了点、线、面间的间隔计算，以及空间几何体的概念、空间想象力，属于根底题．.12.点F 1、F 2分别是椭圆22221x y a b+=的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A B 、两点，假设△2ABF 为正三角形，那么该椭圆的离心率e 为()A.12B.2C.13D.3【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆的对称性得到2130AF F ︒∠=，结合21122cos30tan 3022c AF AF c AF AF a ︒︒⎧⎪⎪⎪⎨==+=⎪⎪⎪⎩化简即可求解.【详解】由椭圆对称性质，可知12F F 平分角2AF B ，那么2130AF F ︒∠=，由于122F F c=且122AF AF a +=代入到21122cos30tan 3022c AF AF c AF AF a ︒︒⎧⎪⎪⎪⎨==+=⎪⎪⎪⎩，可求得123AF AF c e a ===⎧⎪⎪⎪⎨=⎪⎪⎪⎩．故此题正确答案为D ．【点睛】此题主要考察了椭圆离心率的求法，属于中档题. 二、填空题〔每一小题5分，一共4小题，总分值是20分〕13.A 〔1，－2，11〕、B 〔4，2，3〕、C 〔x ，y ，15〕三点一共线，那么xy=___________. 【答案】2． 【解析】试题分析：由三点一共线得向量AB 与AC 一共线，即AB k AC =，(3,4,8)(1,2,4)k x y -=-+，124348x y -+==-，解得12x =-，4y =-，∴2xy =． 考点：空间三点一共线．14.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线是340x y -=，那么该双曲线的离心率 为___________. 【答案】54【解析】因为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线是340x y -=所以34b a =,∴54c a == 故答案为54点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或者不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或者不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.15.假设椭圆221369x y +=的弦被点〔4，2〕平分，那么这条弦所在的直线方程是________【答案】y=-0.5x+4【解析】【详解】设弦为AB ，且()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程得222211221,1369369x y x y +=+=，两式作差并化简得2112211212y y x x x x y y -+=-=--+，即弦的斜率为12-，由点斜式得()1242y x -=--，化简得0.54y x =-+.16.②在ABC ∆中，“60B ∠=︒〞是“,,A B C ∠∠∠三个角成等差数列〞的充要条件.③12x y >⎧⎨>⎩是32x y xy +>⎧⎨>⎩的充要条件；“不等式x 2＋x －6>0的解为x <－3或者x >2”3≤x ≤2，那么x 2＋x －6≤0” 以上说法中，判断错误的有___________. 【答案】③ 【解析】 【分析】 . 【详解】对于②，因为在ABC ∆中，“60B ∠=︒〞的充要条件为“120A C ∠+∠=︒〞，即“2BA C ∠=∠+∠〞,即“,,ABC ∠∠∠三个角成等差数列〞，故②正确；对于③，由32x y xy +>⎧⎨>⎩，不妨取31x y =⎧⎨=⎩，不能推出12x y >⎧⎨>⎩，即12x y >⎧⎨>⎩不是32x y xy +>⎧⎨>⎩的充要条件，即③错误；“不等式x 2＋x －6>0的解为x <－3或者x >2”3≤x ≤2，那么x 2＋x －6≤0”，即④正确， 综上：以上说法中，判断错误的有③，故答案为：③.【点睛】.三、解答题〔一共6小题，总分值是70分〕17.2:10p x mx ++=2:44(2)10q x m x +-+=无实根，假设p p ∧为假，p q ∨为真，务实数m 的取值范围.【答案】(1,2]【解析】【分析】p 和q 的真假性，逐个判断.【详解】因为p p ∧假，并且p q ∨为真，故p 假，而q 真 即210x mx ++=不存在两个不等的负根，且244(2)10x m x +-+=无实根.所以216(2)160m ∆=--<，即13m <<，当12m <≤时，210x mx ++=不存在两个不等的负根，当23m <<时，210x mx ++=存在两个不等的负根. 所以m 的取值范围是(1,2]【点睛】此题考察了常用的逻辑用语和一元二次方程的性质，属于根底题.【此处有视频，请去附件查看】18.椭圆C 的两焦点分别为()()12F F -、，长轴长为6．⑴求椭圆C 的HY 方程;⑵过点〔0，2〕且斜率为1的直线交椭圆C 于A 、B 两点,求线段AB 的长度．【答案】〔1〕22191x y +=；〔2 【解析】【分析】(1)由焦点坐标可求c 值，a 值，然后可求出b 的值．进而求出椭圆C 的HY 方程．〔2〕先求出直线方程然后与椭圆方程联立利用韦达定理及弦长公式求出|AB|的长度．【详解】解：⑴由()()12F F -、，长轴长为6得：3c a ==所以1b = ∴椭圆方程为22191x y += ⑵设1122(,),(,)A x y B x y ,由⑴可知椭圆方程为22191x y +=①, ∵直线AB 的方程为2y x =+②把②代入①得化简并整理得21036270x x ++= 所以12121827,510x x x x +=-=又5AB == 【点睛】此题考察椭圆的方程和性质，考察韦达定理及弦长公式的应用，考察运算才能，属于中档题．19.如图，三棱锥O ABC -的侧棱,,OA OB OC 两两垂直，且OA 1=，OB OC 2==，E 是OC 的中点．()1求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值；()2求直线BE 和平面ABC 的所成角的正弦值．【答案】〔1〕25；〔2 【解析】【分析】()1以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BE 与AC 所成角的余弦值；()2求出平面ABC 的法向量和BE ，利用向量法能求出直线BE 和平面ABC 的所成角的正弦值【详解】解：〔1〕以O 为原点，OB 、OC 、OA 分别为X 、Y 、Z 轴建立空间直角坐标系． 那么有A 〔0，0，1〕、B 〔2，0，0〕、C 〔0，2，0〕、E 〔0，1，0〕∴()210EB =-，，，()021AC =-，， ∴COS 25EB AC ==-＜＜，＞＞ 所以异面直线BE 与AC 所成角的余弦为25 〔2〕设平面ABC 的法向量为()1n x y z =，，那么1n AB ⊥知120n AB x z ⋅=-=1n AC ⊥知120n AC y z ⋅=-=取()1112n =，，，那么130sin EB n =＜，＞故BE 和平面ABC 20.在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点．〔1假设直线l 过点T 〔3，0〕，那么OA OB ⋅＝3”〔2〕写出〔1【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析.【解析】【分析】〔1〕直线方程与抛物线方程联立，消去x 后利用韦达定理判断2121212121()4OA OB x x y y y y y y ⋅=+=+的值是否为3 〔2.【详解】〔1〕证明：设过点(,)30T 的直线l 交抛物线22y x =于点1122(,),(,)A x y B x y ， 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3x =，此时，直线l 与抛物线相交于(3,A B ， 所以963OA OB ⋅=-=，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠， 22(3)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得2260ky y k --=， 那么126y y =-， 又因为22112211,22x y x y ==， 所以212121212136()6344OA OB x x y y y y y y ⋅=+=+=-=， 假设直线l 过点T 〔3，0〕，那么OA OB ⋅＝3”〔2l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点，假设OA OB ⋅＝3，那么该直线过点2(1)3y x =+ 例如：取抛物线上的点1(2,2),(,1)2A B ，此时OA OB ⋅＝3，直线AB 的方程为2(1)3y x =+，而T 〔3，0〕不在直线AB 上.【点睛】.21.如图，棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AD =2，BD =〔1〕求证：BD ⊥平面PAC ；〔2〕求二面角P —CD —B 余弦值的大小；【答案】〔1〕证明见解析〔2〕2【解析】【分析】〔1〕建立空间直角坐标系，再利用向量的数量积运算，证明线线垂直，从而证明线面垂直；〔2〕建立空间直角坐标系，求平面的法向量，再利用数量积求向量的夹角即可得解.【详解】解：〔1〕建立如下列图的直角坐标系，那么A 〔0，0，0〕、D 〔0，2，0〕、P 〔0，0，2〕.在Rt △BAD 中，AD =2，BD =22，∴AB =2.∴B 〔2，0，0〕、C 〔2，2，0〕，∴(0,0,2),(2,2,0),(2,2,0)AP AC BD ===-∵0,0BD BD AP AC =⋅=⋅，即BD ⊥AP ，BD ⊥AC ， 又AP ∩AC =A ，故BD ⊥平面PAC .〔2〕由〔1〕得(0,2,2),(2,0,0)PD CD =-=-.设平面PCD 的法向量为1(,,)n x y z =，那么110,0n PD C n D ==⋅⋅，即02202000y z x +-=⎧⎨-++=⎩，∴0x y z =⎧⎨=⎩，故平面PCD 的法向量可取为1(0,1,1)n =, ∵PA ⊥平面ABCD ，∴(0,01)AP =为平面ABCD 的法向量.设二面角P —CD —B 的大小为，依题意可得1112cos 22n APn AP θ⋅===⋅，故二面角P —CD —B 2 【点睛】此题考察了利用空间向量证明线面垂直及求二面角的平面角的余弦值，重点考察了运算才能，属中档题.22.如下列图，1F 、2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，,A B 为两个顶点，椭圆C 上的点3(1,)2到1F 、2F 两点的间隔之和为4. 〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程和焦点坐标；〔Ⅱ〕过椭圆C 的焦点2F 作AB 的平行线交椭圆于P 、Q 两点，求1F PQ 的面积.【答案】〔Ⅰ〕22143x y +=，12(1,0),(1,0)F F -；〔Ⅱ〕2. 【解析】试题分析：〔Ⅰ〕由椭圆C 上的点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭到1F 、2F 两点的间隔之和为4,得2a =，椭圆方程为22214x y b+=，点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入方程可得，23b =，从而可得椭圆的方程，进而可得焦点坐标；〔Ⅱ〕根据题意得到PQ 20y -+=，与椭圆方程联立，利用韦达定理及三角形面积公式可得求出PQ ,11212 2F PQ F F Q F F P P Q S S S y y =+=-=. 试题解析：〔Ⅰ〕由椭圆C 上的点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭到1F 、2F 两点的间隔之和为4,得24,2a a ==，椭圆方程为22214x y b +=，点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入方程可得，23b =，从而可得椭圆的方程为22143x y +=，从而可得焦点坐标为()()121,0,1,0F F -. 〔Ⅱ〕1121212121122F PQ F F Q F F P P Q P Q P Q S S S F F y F F y y y y y =+=⋅+⋅=+=-将PQ l 与C 联立，消去x ，得2890y +-=1F PQ P Q S y y =-==。

2015-2016学年上海市格致中学高二（上）第二次月考数学试卷（理科）一、填空题（本题11小题，每小题4分，共44分）1．已知，若与平行，则k= ．2．双曲线C ：3x 2﹣4y 2=12的焦点坐标为 ．3．等差数列{a n }中，a 4+a 5+a 6+a 7+a 8=150，则S 11= ．4．向量经矩阵变换后得到矩阵，则x ﹣y= ．5．过点A （4，﹣3），且与原点距离最大的直线方程是 ．（用一般式表示）6．以椭圆的左焦点F 1为圆心，过此椭圆右顶点A 的圆截直线3x+4y ﹣21=0所得的弦长为 ．7．已知A （2，1），B （2，﹣1），O 为坐标原点，动点P （x ，y ）满足=m+n，其中m 、n ∈R ，且m 2+n 2=，则动点P 的轨迹方程是 ．8．已知O 为△ABC 的外心，且，则的值为 ．9．已知双曲线（a ＞0，b ＞0）满足，且双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为 ．10．数列{a n }的前m 项为，若对任意正整数n ，有a n+m =a n q（其中q 为常数，q≠0且q≠1），则称数列{a n }是以m 为周期，以q 为周期公比的似周期性等比数列，已知似周期性等比数列{b n}的前4项为1，1，1，2，周期为4，周期公比为3，则数列{b n}前4t+2项的和等于．（t为正整数）11．已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B 是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．二、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）12．“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直”的（）A．充分必要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件13．若a＞b＞0，则直线与椭圆在同一坐标系中的位置只可能是（）A．B．C．D．14．已知有相同两焦点F1、F2的椭圆和双曲线，点P是它们的一个交点，则△F1PF2面积的大小是（）A．B．C．1 D．215．设数列{a n}的前n项和是S n，令，称T n为数列a1，a2，…，a n的“理想数”，已知数列a1，a2，…，a502的“理想数”为2015，则数列6，a1，a2，…，a502的理想数为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．2017三、解答题（本题共4小题，满分40分）16．椭圆的中心在原点，焦点在x上，焦距为，且经过点．（1）求满足条件的椭圆方程；（2）求椭圆的长轴长和焦点坐标．17．设数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n．（1）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（2）已知{b n}是等差数列，T n为前n项和，且b1=a2，b2=a1+a2+a3，求T38．18．（2008•上海）在直角坐标平面xOy上的一列点A1（1，a1），A2（2，a2），…，A n（n，a n），…，简记为{A n}、若由构成的数列{b n}满足b n+1＞b n，n=1，2，…，其中为方向与y轴正方向相同的单位向量，则称{A n}为T点列，（1）判断，，是否为T点列，并说明理由；（2）若{A n}为T点列，且点A2在点A1的右上方、任取其中连续三点A k、A k+1、A k+2，判断△A k A k+1A k+2的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；（3）若{A n}为T点列，正整数1≤m＜n＜p＜q满足m+q=n+p，求证：．19．已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：相切．（1）求圆的标准方程；（2）设点A为圆上一动点，AN⊥x轴于N，若动点Q满足：，（其中m 为非零常数），试求动点Q的轨迹方程C2；（3）在（2）的结论下，当时，得到曲线C，与l1垂直的直线l与曲线C交于B、D两点，求△OBD面积的最大值．2015-2016学年上海市格致中学高二（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本题11小题，每小题4分，共44分）1．已知，若与平行，则k= ．【考点】平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．【专题】计算题；规律型；平面向量及应用．【分析】利用向量共线的充要条件列出方程求解即可．【解答】解：，若与平行，可得2k=3，解得k=．故答案为：．【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，是基础题．2．双曲线C：3x2﹣4y2=12的焦点坐标为（±，0）．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；规律型；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线方程求出双曲线的几何量，即可得到结果．【解答】解：双曲线C：3x2﹣4y2=12，可得a=2，b=，c==．双曲线的焦点坐标：（±，0），故答案为：（±，0）．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．3．等差数列{a n}中，a4+a5+a6+a7+a8=150，则S11= 330 ．【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质可知，项数之和相等的两项之和相等且等于项数之和一半的项，把已知条件化简后，即可求出a5的值，然后再由等差数列前n项和公式求出前11项的和S11．【解答】等差数列 {a n}中，a4+a5+a6+a7+a8=150，所以5a6=150，所以a6=30，所以S11==11a6=330．则前11项的和S11=330．故答案为：330．【点评】题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，同时考查等差数列的前n项和公式，是一道中档题．4．向量经矩阵变换后得到矩阵，则x﹣y= 1 ．【考点】几种特殊的矩阵变换．【专题】矩阵和变换．【分析】由已知得==，由此能求出x﹣y=1．【解答】解：∵向量经矩阵变换后得到矩阵，∴==，∴x=3，y=2，∴x﹣y=1．故答案为：1．【点评】本题考查代数和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意几种特殊变换的合理运用．5．过点A（4，﹣3），且与原点距离最大的直线方程是4x﹣3y﹣25=0 ．（用一般式表示）【考点】点到直线的距离公式；直线的一般式方程．【专题】计算题；转化思想；直线与圆．【分析】过A（4，﹣3）且与原点O（0，0）距离最大的直线的方程为过点A且与直线OA垂直的直线【解答】解：过A（4，﹣3）且与原点O（0，0）距离最大的直线的方程为：过点A且与直线OA垂直的直线，∵k OA=﹣，∴所求直线方程的斜率k=，∴所求直线方程为：y+3=（x﹣4，整理，得4x﹣3y﹣25=0，故满足条件的直线方程为：4x﹣3y﹣25=0，故答案为：4x﹣3y﹣25=0【点评】本题考查直线方程的求法，是基题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离最高值的合理理解．6．以椭圆的左焦点F1为圆心，过此椭圆右顶点A的圆截直线3x+4y﹣21=0所得的弦长为．【考点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出椭圆的左焦点，求出圆的半径，利用圆的圆心到直线的距离与圆的半径与半弦长的关系，求解直线被圆截直线3x+4y﹣21=0所得的弦长．【解答】解：椭圆，可得a=5，b=4，c=3，椭圆的左焦点F1为（﹣3，0），圆的半径为：a+c=8，圆的圆心（﹣3，0）到直线3x+4y﹣21=0的距离d==6，圆的圆心到直线的距离与圆的半径与半弦长满足勾股定理，可得弦长为：2=．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，直线与圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．7．已知A（2，1），B（2，﹣1），O为坐标原点，动点P（x，y）满足=m+n，其中m、n∈R，且m2+n2=，则动点P的轨迹方程是．【考点】轨迹方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设动点P（x，y），根据向量间的关系得到x=2m+2n，y=m﹣n，代入m2+n2=化简可得动点P的轨迹方程．【解答】解：设动点P（x，y ），则∵点P满足=m+n，其中m、n∈R，∴（x，y ）=（2m+2n，m﹣n），∴x=2m+2n，y=m﹣n，∴m=，n=，∵m2+n2=，∴（）2+（）2=，即．故答案为：．【点评】本题考查了轨迹方程的求法，考查两个向量坐标形式的运算，训练了利用代入法求曲线的方程，是中档题，建立动点P（x，y ）与m、n的关系是解题的关键．．8．已知O为△ABC的外心，且，则的值为﹣12 ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】过O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E，F．利用垂经定理及数量积的运算性质可得•=2，•=2．再利用向量的三角形法则、数量积的运算性质即可得出．【解答】解：如图所示，过O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E，F．∴•=2，•=2．∴•=•（﹣）=•﹣•=2﹣2=×（52﹣72）=﹣12．故答案为：﹣12．【点评】本题考查了三角形的外心性质、垂径定理、向量的三角形法则及数量积的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．已知双曲线（a ＞0，b ＞0）满足，且双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为 ．【考点】双曲线的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用行列式求出a ，b 的关系，利用双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，求出双曲线的右焦点，从而可求双曲线的标准方程．【解答】解：由，可得，∴∵双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，∴c=，∵c 2=a 2+b 2，∴a=1，b=，∴双曲线的方程为．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程，考查抛物线的几何性质，考查学生的计算能力，求出几何量是关键．10．数列{a n}的前m项为，若对任意正整数n，有a n+m=a n q （其中q为常数，q≠0且q≠1），则称数列{a n}是以m为周期，以q为周期公比的似周期性等比数列，已知似周期性等比数列{b n}的前4项为1，1，1，2，周期为4，周期公比为3，则数列{b n}前4t+2项的和等于．（t为正整数）【考点】数列的求和．【专题】新定义；整体思想；分析法；等差数列与等比数列．【分析】b n的每4项求和的数列设为C n，求b n前4t项之和就是求C n前t项之和．由于b n是周期为4的似周期性等比数列，则=3，所以=3．由等比数列求和公式，即可得到所求和．【解答】解：把b n的每4项求和的数列设为C n，也就是说 C1=B1+B2+…+B4，C t=B4t﹣3+B4t﹣2+…+B4t，因此，求b n前4t项之和就是求C n前t项之和．由于b n是周期为4的似周期性等比数列，则=3，所以=3．由等比数列求和公式，可得为c1+c2+c3+…+c t==（3t﹣1）．这就是数列b n前4t项之和，最后就是加上b4t+1，b4t+2这两项，由于b4t+1=b1×3t=3t．b4t+2=b1×3t=3t．因此，数列b n前4t+2项和就是（3t﹣1）+3t+3t=．故答案为：．【点评】本题主要考查数列与函数的综合、等比数列求和公式、新定义型问题的解决方法，考查运算求解能力、化归与转化思想，考查学生分析问题解决问题的能力和意识．11．已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】计算题；压轴题；转化思想．【分析】由圆的方程为求得圆心C（1，1）、半径r为：1，由“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”，最后将四边形转化为两个直角三角形面积求解．【解答】解：∵圆的方程为：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0∴圆心C（1，1）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小当圆心与点P的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小圆心到直线的距离为d=3∴|PA|=|PB|=∴故答案为：【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，主要涉及了构造四边形及其面积的求法，同时，还考查了转化思想．二、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）12．“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直”的（）A．充分必要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件【考点】两条直线垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】判断充分性只要将“m=”代入各直线方程，看是否满足（m+2）（m﹣2）+3m•（m+2）=0，判断必要性看（m+2）（m﹣2）+3m•（m+2）=0的根是否只有．【解答】解：当m=时，直线（m+2）x+3my+1=0的斜率是，直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0的斜率是，∴满足k1•k2=﹣1，∴“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直”的充分条件，而当（m+2）（m﹣2）+3m•（m+2）=0得：m=或m=﹣2．∴“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直”充分而不必要条件．故选：B．【点评】本题是通过常用逻辑用语考查两直线垂直的判定．13．若a＞b＞0，则直线与椭圆在同一坐标系中的位置只可能是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；数形结合；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用a＞b＞0，推出直线的斜率，在y轴上的截距，椭圆的焦点坐标的位置，即可判断图形．【解答】解：a＞b＞0，可知直线的斜率大于0，在y轴上的截距为正，椭圆的焦点坐标在x 轴上，故选：D．【点评】本题考查椭圆的简单性质与直线的位置的判断，是基础题．14．已知有相同两焦点F1、F2的椭圆和双曲线，点P是它们的一个交点，则△F1PF2面积的大小是（）A．B．C．1 D．2【考点】双曲线的简单性质；椭圆的应用．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线和椭圆的定义、余弦定理和三角形的面积计算公式，即可得出三角形的面积．【解答】解：如图所示，不妨设两曲线的交点P位于双曲线的右支上，设|PF1|=s，|PF2|=t．由双曲线和椭圆的定义可得，解得．在△PF1F2中，cos∠F1PF2==∵m﹣1=n+1，∴m﹣n=2，∴cos∠F1PF2=0，∴∠F1PF2=90°．∴△F1PF2面积为=1．故选C．【点评】本题考查椭圆与双曲线方程及其几何性质及代数运算能力．熟练掌握双曲线和椭圆的定义、余弦定理和三角形的面积计算公式是解题的关键．15．设数列{a n}的前n项和是S n，令，称T n为数列a1，a2，…，a n的“理想数”，已知数列a1，a2，…，a502的“理想数”为2015，则数列6，a1，a2，…，a502的理想数为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．2017【考点】数列的求和．【专题】新定义；整体思想；分析法；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】根据题意，数列a1，a2，…，a402的“理想数”为2015，有=2015；可得S1+S2+…+S402=2015×402；则数列6，a1，a2，…，a402的“理想数”为，整理可得答案．【解答】解：由题意知，数列a1，a2，…，a402的“理想数”为2015，则有=2015；所以S1+S2+…+S402=2015×402；所以，数列6，a1，a2，…，a402的“理想数”为：==6+=6+5×402=2016．故选：C．【点评】本题考查了新定义的理解和运用，考查数列前n项和的公式，即S n=a1+a2+…+a n的灵活应用，解题时要弄清题意，灵活运用所学知识，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本题共4小题，满分40分）16．椭圆的中心在原点，焦点在x上，焦距为，且经过点．（1）求满足条件的椭圆方程；（2）求椭圆的长轴长和焦点坐标．【考点】椭圆的简单性质．【专题】常规题型；规律型；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用椭圆的焦距以及椭圆经过的点，求出a，b即可得到椭圆方程．（2）利用椭圆的方程求出结果即可．【解答】解：（1）依题意，得：，所以，解得：，所以，椭圆方程为：（2）长轴长为4，焦点坐标为（﹣，0），（，0），【点评】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，考查计算能力．17．设数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n．（1）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（2）已知{b n}是等差数列，T n为前n项和，且b1=a2，b2=a1+a2+a3，求T38．【考点】数列的求和．【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意可判数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，可得通项公式和前n项和；（2）由（1）可得b1=3，b2=13，可得公差d=10，代入求和公式计算可得．【解答】解：（1）∵数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n，∴ =3，∴数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，∴{a n}的通项公式a n=1×3n﹣1=3n﹣1，前n项和S n==（3n﹣1）；（2）由（1）可得b1=3，b2=1+3+9=13，∴公差d=10，∴T38=38×3+×10=7144【点评】本题考查数列求和，涉及等差数列和等比数列的求和公式，属中档题．18．（2008•上海）在直角坐标平面xOy上的一列点A1（1，a1），A2（2，a2），…，A n（n，a n），…，简记为{A n}、若由构成的数列{b n}满足b n+1＞b n，n=1，2，…，其中为方向与y轴正方向相同的单位向量，则称{A n}为T点列，（1）判断，，是否为T点列，并说明理由；（2）若{A n}为T点列，且点A2在点A1的右上方、任取其中连续三点A k、A k+1、A k+2，判断△A k A k+1A k+2的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；（3）若{A n}为T点列，正整数1≤m＜n＜p＜q满足m+q=n+p，求证：．【考点】单位向量；数列的概念及简单表示法；平面向量数量积的运算；不等式的证明．【专题】综合题；压轴题；规律型．【分析】（1）根据所给的n个点的坐标，看出数列{a n}的通项，把数列{a n}的通项代入新定义的数列{b n}，验证数列{b n}满足b n+1＞b n，得到{A n}是T点列的结论．（2）用所给的三个点构造三个向量，写出三个向量的坐标，问题转化为向量夹角的大小问题，判断出两个向量的数量积小于零，得到两个向量所成的角是钝角，得到结果．（3）本题是要求判断两组向量的数量积的大小，根据两个数列各自的项之间的大小关系，得到向量的数量积之间的关系，本题不用做具体的数字运算，只是一个推理过程．【解答】解：（1）由题意可知，∴，显然有b n+1＞b n，∴{A n}是T点列（2）在△A k A k+1A k+2中，，∵点A2在点A1的右上方，∴b1=a2﹣a1＞0，∵{A n}为T点列，∴b n≥b1＞0，∴（a k+2﹣a k+1）（a k﹣a k+1）=﹣b k+1b k＜0，则∴∠A k A k+1A k+2为钝角，∴△A k A k+1A k+2为钝角三角形、（3）∵1≤m＜n＜p＜q，m+q=n+p，∴q﹣p=n﹣m＞0①a q﹣a p=a q﹣a q﹣1+a q﹣1﹣a q﹣2+…+a p+1﹣a p=b q﹣1+b q﹣2+…+b p≥（q﹣p）b p②同理a n﹣a m=b n﹣1+b n﹣2+…+b m≤（n﹣m）b n﹣1、③由于{A n}为T点列，于是b p＞b n﹣1，④由①、②、③、④可推得a q﹣a p＞a n﹣a m，∴a q﹣a n＞a p﹣a m，即【点评】本题表面上是对数列的考查，实际上考查了两个向量数量积，数量积贯穿始终，但是这步工作做完以后，题目的重心转移到比较大小的问题，是一个大型的综合题．可以作为高考卷的压轴题．19．已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：相切．（1）求圆的标准方程；（2）设点A为圆上一动点，AN⊥x轴于N，若动点Q满足：，（其中m为非零常数），试求动点Q的轨迹方程C2；（3）在（2）的结论下，当时，得到曲线C，与l1垂直的直线l与曲线C交于B、D 两点，求△OBD面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用；直线与圆的位置关系．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）设圆的半径为r，圆心到直线l1距离为d，则．由此能求出圆的方程．（2）设动点Q（x，y），A（x0，y0），AN⊥x轴于N，N（x0，0）由题意，（x，y）=m（x0，y0）+（1﹣m）（x0，0），所以，由此能求出动点Q的轨迹方程．（3）时，曲线C方程为，设直线l的方程为y=﹣x+b．设直线l与椭圆交点B（x1，y1），D（x2，y2），联立方程，得7x2﹣8bx+4b2﹣12=0．由此能求出△OBD面积的最大值．【解答】解：（1）设圆的半径为r，圆心到直线l1距离为d，则，2分圆C1的方程为x2+y2=4，2分（2）设动点Q（x，y），A（x0，y0），AN⊥x轴于N，N（x0，0）由题意，（x，y）=m（x0，y0）+（1﹣m）（x0，0），所以，2分即：，将代入x2+y2=4，得，3分（3）时，曲线C方程为，设直线l的方程为y=﹣x+b设直线l与椭圆交点B（x1，y1），D（x2，y2）联立方程得7x2﹣8bx+4b2﹣12=0，1分因为△=48（7﹣b2）＞0，解得b2＜7，且，2分∵点O到直线l的距离，．∴=，2分（当且仅当b2=7﹣b2即时取到最大值），1分∴△OBD面积的最大值为．1分．【点评】本题考查圆的方程和椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，具体涉及到圆的简单性质、椭圆的性质和应用、直线和圆锥曲线的位置关系的应用．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．。

2021-2022年高二数学上学期第二次月考12月试题理一、选择题（每题5分共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．抛物线的准线方程是，则的值为（）A.4B.8C.D.2．某单位有若干名员工，现采用分层抽样的方式抽取人去体检，若老、中、青人数之比为4：1：5，已知抽到10位中年人，则样本的容量为 ( )A. 40B. 100C. 80D. 503．下列程序框图中，输出的的值是（）A. B. C. D.4．若双曲线以椭圆的焦点为顶点，以椭圆长轴的端点为焦点，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.5．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是（）A. “至少1名男生”与“至少有1名是女生”B. 恰好有1名男生”与“恰好2名女生”C. “至少1名男生”与“全是男生”D. “至少1名男生”与“全是女生”6．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的焦距为（）A. B. C. D.7．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆被的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为2，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A. B. C. D.8．将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为和，则方有实数解的概率是（）A. B. C. D.9．下表是某单位1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据： 月份 1 2 3 4 用水量457由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其回归方程是，则等于（ ） A. 6 B. 6.05 C. 6.2 D. 5.95 10．下列四个命题：①命题“若，则” 的逆否命题为“若，则” ②“”是“”的必要不充分条件 ③若为假命题，则均为假命题 ④对于命题，使得，则，使得.其中，错误的命题个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11．为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（ ）A.56B. 48C. 40D. 3212．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为， ， ，过作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为，已知， ，点是双曲线右支上的动点，且恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题（每小题5分，共20分，.将答案填入答卷指定位置）.13．已知向量(,12,1),(4,5,1),(,10,1)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线， 则= ________14．已知抛物线的过焦点的弦为，且，， 则15．某校开展“爱我漳州、爱我华安”摄影比赛，9位评委为参赛作品A 给出的分数如下图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91.复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清．若记分员计算无误，则数字x 应该是 .16．设圆的圆心为， 是圆内一定点， 为圆周上任一点，线段的垂直平分线与的连线交于点，则的轨迹方程为________三．解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）17．已知集合{(x,y)|x [0,2],y [1,1]}.Z =∈∈- （1）若，求的概率； （2）若，求的概率.18．命题:2()1f x x mx =++的定义域为R ；命题:方程表示焦点在轴上的椭圆.若“且”是假命题，“或”是真命题，求实数的取值范围.19．某校高三（）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题．1006050分数组距0.040.0280.0160.00885987654322198653328698765叶茎（1）求全班人数及分数在之间的频数，并估计该班的平均分数；（2）若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在之间的概率．20．已知为坐标原点， 是椭圆上的点，设动点满足. （1）求动点的轨迹的方程；（2）若直线与曲线相交于， 两个不同点，求面积的最大值.21．如图，是边长为的正方形，平面，，，与平面所成角为． （Ⅰ）求证：平面．（Ⅱ）求二面角的余弦值．（Ⅲ）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论．22．已知椭圆过点，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的上顶点作直线交抛物线于两点，为原点.①求证：；②设、分别与椭圆相交于、两点，过原点作直线的垂线，垂足为，证明: 为定值.华安一中xx上学期高二数学（理科）第二次月考试题参考答案一、选择题：CBACD DDACB BA二、填空题：13. ； 14. 3 15. ； 16.三．解答题：17．（1）设为事件，，即，即.…………2分则基本事件有：(0,1),(0,0),(0,1),(1,1),(1,0),(1,1),(2,1),(2,0),(2,1)---共个，其中满足的基本事件有个，所以.故的概率为.…………5分(2)设为事件，因为，则基本事件为如图四边形区域，事件包括的区域为其中的阴影部分. …………7分所以11-1122-11722(B)===228ABCDABCD ABCDSSpS S⨯⨯⨯⨯⨯=⨯四边形阴影四边形四边形，…………9分18．命题: 为真，…………2分命题为真，即方程是焦点在轴上的椭圆，…………4分又“且”是假命题，“或”是真命题是真命题且是假命题，或是假命题且是真命题…………6分或…………10分的取值范围是…………12分19.（1）由茎叶图知，分数在之间的频数为，频率为，全班人数为．…………3分所以分数在之间的频数为…………4分分数在之间的总分为；分数在之间的总分为6072335689456⨯+++++++=；分数在之间的总分数为70101233456789747⨯++++++++++=；分数在之间的总分约为；分数在之间的总分数为；所以，该班的平均分数为1144567473401937425++++=．…………7分（2）将之间的个分数编号为，之间的个分数编号为，在之间的试卷中任取两份的基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，共个，其中，至少有一个在之间的基本事件有个，∴至少有一份分数在之间的概率是．…………12分20．（1）设点，,则由，得，即，，因为点在椭圆，所以，故，即动点的轨迹的方程为. (4)分（2）由曲线与直线联立得，消得，因为直线与曲线交于，两点，所以，又，所以设，，则，…………8分因为点到直线：的距离，…………9分，…………10分当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为. …12分21．（Ⅰ）证明：∵平面，平面，∴…………1分又∵是正方形，∴，…………2分∵，∴平面．…………3分（Ⅱ）∵，，两两垂直，所以建立如图空间直角坐标系，∵与平面所成角为，即…………4分∴由，可知：，．则，，，，，∴，，…………6分设平面的法向量为，则，即，令，则．因为平面，所以为平面的法向量，∴，所以．因为二面角为锐角，故二面角的余弦值为．…………9分（Ⅲ）依题意得，设，则，∵平面，∴，即，解得：，∴点的坐标为，此时，∴点是线段靠近点的三等分点．……12分22. (1) ，所以，又，解得，，所以椭圆的方程为…………3分（2）①证明：设、，依题意，直线一定有斜率，的方程为，联立方程消去得，，又，，……7分②证明：设、，直线的方程为，，，，联立方程消去得，，，…………9分而由得，即.所以为定值…………12分 25659 643B 搻(lLh22364 575C 坜25490 6392 排,21025 5221 刡34335 861F 蘟337014 9096 邖26383 670F 朏40755 9F33 鼳。

2021-2022年高二数学上学期第二次月考试题 理注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卷规定的位置上。

2．所有题目必须在答题卷作答，在试卷上答题无效。

一．选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分） 1. 直线的倾斜角为 （ ）（A ）0 （B ） （C ） （D ）不存在 2. 若向量a =（1，t ，2），b =（2，-1，2），且向量a 与b 垂直，则t 等于 （ ）A 、-6B 、6 C-2 D 、3.过点（-1，2）且垂直于直线2x-3y+1=0的直线方程为（ ） A.2x+3y-4=0 B.3x-2y+7=0 C. 2x-3y+8=0 D.3x+2y-1=04已知直线互不重合，平面互不重合，下列命题正确的是 （ ） A 、 B 、 C 、D 、,//,//m m n n n αβαβ⋂=⊥则且5.已知一个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得几何体的体积是（ ）．A ．B ．C ．D ．6. 圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是（ ）A ．36 B. 18 C. D. 7. 棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是DC 的中点，则A B 1与D 1E 所成角的余弦值 （ ）A ． B. C. D.8.已知F 1, F 2是椭圆（a ＞b ＞0）的两个焦点，以线段F 1 F 2为边作正三角形M F 1 F 2,若边M F 1的中点在椭圆上，则椭圆的离心率是（ ）A ．0.5 B. C. D. 9.点P （x 0，y 0）在圆x ²+y ²=r ²内，则直线x 0x+ y 0y= r ²和已知圆的公共点的个数为 （ ）A.2B.1C.0D. 不能确定10. 已知抛物线y ²=8x 的准线为l ，Q 在圆C ：x ²+y ²+2x-8y+13=0上，记抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为d ，则d+|PQ|的最小值为 （ ）A.2B.3C.4D.5二．填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分） 11.抛物线x=4y ²的焦点坐标为12．空间中，与向量a =（3,0,-4）共线的单位向量e =13．如图，直观图四边形A ′B ′C ′D ′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是x′D′A′C′B′x′BACP(13) (14)14.如图，PA ⊥平面ABC,在△ABC 中，BC ⊥AC,则图中有 个 直角三角形. 15.已知椭圆（a ＞b ＞0）的右焦点为F （3,0），过F 的直线交椭圆与A,B 两点，若AB 的中点坐标为（1，-1），则a+b 的值为三．解答题（本大题共6个小题，16—18每小题13分，19—21每小题12分，共75分） 16.已知向量a =（2，-3,-2），b =（-1,5，-3）. （1）当t a +b 与3a +2b 平行时，求实数t 的值。

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内蒙古杭锦后旗奋斗中学2021-2021学年高二数学上学期第二次〔12月〕月考试卷理〔含解析〕一、单项选择题1.点P的直角坐标为，那么点P的极坐标可以为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由直角坐标与极坐标互化公式即可求得对应点的极坐标.【详解】，那么点P的极坐标应选C【点睛】此题考察将直角坐标化为极坐标，属于根底题，解题中需要根据直角坐标化为极坐标的公式准确代入求解.2.曲线的极坐标方程化为直角坐标为A. B.C. D.【答案】B【解析】此题考察极坐标方程的知识答案 B点评：通过极坐标的公式就可以直接转化3.曲线的参数方程为〔为参数〕，那么该曲线离心率为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先把曲线C化成普通方程，再求曲线的离心率.详解：由题得曲线C的普通方程为，所以曲线C是椭圆，a=4,.所以椭圆的离心率为.应选A.点睛：此题主要考察参数方程与普通方程的互化和椭圆的离心率的计算，属于根底题.4.抛物线上的点到焦点的间隔为，那么的值是〔〕A. 或者B.C.D. 或者【答案】D【解析】抛物线的准线方程为，由抛物线的定义有〔负值舍去〕，此时，将点代入抛物线方程中，求出，选D.的离心率为，那么的渐近线方程为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】，故，即，故渐近线方程为.【考点定位】此题考察双曲线的根本性质，考察学生的化归与转化才能.6.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数〕，那么曲线C〔〕A. 关于轴对称B. 关于轴对称C. 关于原点对称D. 关于直线对称【答案】A【解析】试题分析：由题意得，曲线的参数方程可化为，化为普通方程为，表示以为圆心，以为半径的圆，应选A．考点：参数方程与普通方程的互化．7.假设程序框图如下图，那么该程序运行后输出k的值是〔〕A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】试题分析：当输入的值是时，第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，；第五次循环，；退出循环输出结果为，应选A.考点：1、程序框图；2、条件结果及循环构造.8.“直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交〞是“0＜b＜1”的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，直线与圆都相交，因此题中应选必要不充分条件．9.直线的位置关系是( )A. 平行B. 垂直C. 相交不垂直D. 与有关，不确定【答案】B【解析】极坐标方程即： ,整理可得：，据此可得直线的位置关系是垂直 .此题选择B选项.10.两点A〔﹣1，0〕，B〔0，1〕，点P是椭圆上任意一点，那么点P到直线AB的间隔最大值为〔〕A. B. C. 6 D.【答案】A【解析】由题意得直线AB的方程为，点到直线的间隔最大值即为图中过点P且与直线AB平行的切线与直线AB之间的间隔。

金山中学2021-2021学年度第一(dìyī)学期第二次月考高二理科数学试题卷本试题分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，满分是150分，时间是120分钟.第一卷〔选择题一共60分〕一、选择题：(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的)1. 命题p：∀x∈R，sin x≤1，那么( )．A．¬p：∃x0∈R，sin x0≥1 B．¬p：∀x∈R，sin x≥1C．¬p：∃x0∈R，sin x0>1 D．¬p：∀x∈R，sin x>12. 假如方程表示焦点在y轴上的椭圆，那么m的取值范围是( ) A．3＜m＜4 B．C．D．3．椭圆的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.假设|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，那么此椭圆的离心率为 ( )A. B. C. D.4．有以下四个命题：①“假设，那么互为相反数〞的逆命题；②“全等三角形的面积相等〞的否命题；③“假设 ,那么有实根〞的逆否命题；④“直角三角形有两个角是锐角〞的逆命题；其中真命题为〔 〕A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④ 5．等轴双曲线的中心(zh ōngx īn)在原点，焦点在轴上，C 与抛物线的准线交于两点，；那么C 的实轴长为〔 〕A.B.C. D.的圆心为C ，A 〔1，0〕是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点，那么M 的轨迹方程为 〔 〕A 、B 、C 、D 、7．设条件p ：|x －2|<3，条件q ：0<x<a ，其中a 为正常数．假设p 是q 的必要不充分条件，那么a 的取值范围是〔 〕 A ．B ．C ．D ．8. 点P 在椭圆上，那么点P 到直线3x-2y-16=0的间隔 的最大值为〔 〕A ．B.C. D.9.斜率为的直线与双曲线交于B A ,两点，假设B A ,的中点为，那么双曲线的渐近线方程为( )A. B. C. D.10. 抛物线C 的方程为，一条长度为的线段的两个端点、在抛物线C 上运动，那么线段AB 的中点到轴间隔 的最小值为 〔 〕A 、B 、C 、D 、11.双曲线C:的左、右顶点(d ǐngdi ǎn)分别为,,点P 在C 上且直线斜率的取值范围是[-4，-2] ,那么直线斜率的取值范围是 ( )A.B.C.D.12. 为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于x 轴的两侧，〔其中为坐标原点〕，那么△与△面积之和的最小值是〔 〕A.2B. 3C.D.第二卷 〔非选择题 一共90分〕二、填空题：(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分) 13、命题“存在，使得〞的否认是 __________________14．与椭圆有一样的焦点,且过点〔-3,2〕的椭圆方程为___________15. 点F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，定点A 的坐标为(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，那么|PF |＋|PA |的最小值为________ 16．命题: 关于x 的不等式,对一切恒成立; 命题: 函数在p 或者q 为真, p 且q 为假,那么实数的取值范围为_______.三、解答(jiědá)题：〔本大题一一共5小题，一共70分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕17．数列满足，．〔1〕令，求证：数列为等比数列；〔2〕求满足的最小正整数18．如图，在中，边上的中线长为3，且，．〔1〕求的值；〔2〕求边的长．19.如图，在四面体ABCD中，∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，〔1〕求证：AC⊥BD；〔2〕假设平面ABD⊥平面CBD，且BD=，求二面角C﹣AD﹣B的余弦值．20. 一条曲线C在y轴右边，C上任一点到点F〔2，0〕的间隔减去它到y轴的间隔的差都是2〔1〕求曲线(qūxiàn)C的方程；〔2〕一直线l与曲线C交于A，B两点，且|AF|+|BF|=8，证：AB的垂直平分线恒过定点．21．如图，椭圆的离心率为，直线和所围成的矩形ABCD的面积为8.(1)求椭圆M的HY方程；(2) 设直线与椭圆有两个不同的交点与矩形ABCD有两个不同的交点.求的最大值及获得最大值时的值.高二月考〔理科数学〕参考答案3.B4.C 7.A 10.C 11.C 13. x∈R，x2+2x+5≠0 14.16.17.解：〔1〕1124+++=nnnaa即，数列(shùliè){}nb是以2为首项以2为公比的等比数列；〔2〕由〔1〕得，∴；由，得〔舍〕，解得，∴满足240≥na的最小正整数n为．18.解：〔1〕〔2〕在中，由正弦定理，得，即，解得…故，从而在中，由余弦定理，得；AC= 4 ；19.〔1〕证明(zhèngmíng)：∵∠ABD=∠CBD，AB=BC，BD=BD．∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．取AC的中点E，连结BE，DE，那么BE⊥AC，DE⊥AC．又∵BE∩DE=E，BE⊂平面BED，BD⊂平面BED，∴AC⊥平面BED，∴AC⊥BD．〔2〕解：过C作CH⊥BD于点H．那么CH⊂平面BCD，又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，∴CH⊥平面ABD．过H做HK⊥AD于点K，连接CK．∵CH⊥平面ABD，∴CH⊥AD，又HK∩CH=H，∴AD⊥平面CHK，∴CK⊥AD．∴∠CKH为二面角C﹣AD﹣B的平面角．连接AH．∵△ABD≌△CBD，∴AH⊥BD．∵∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，∴AH=CH=，BH=1．∵BD=，∴DH=．∴AD=，∴HK==．∴tan=，∴cos，∴二面角C﹣AD﹣B的余弦值为．20.解:〔1〕由条件，P 到F 〔2，0〕的间隔(ji àn g é) 等于到直线x=-2的间隔 ， ∴曲线C 是以F 为焦点、直线x=-2为准线的抛物线，其方程为〔1〕(2)设直线为：〔2〕那么中垂线斜率为联立〔1〕〔2〕：即中点横坐标横坐标∴方程为()y 4m m x 2-=--即∴AB 的垂直平分线恒过定点〔6，0〕21. 解：(1)……① 矩形ABCD 面积为8，即……②由①②解得：，∴椭圆M 的HY 方程是. …………………4分(2)，设，那么， …………………5分由得 ..当过点时，，当l 过点时，. …………………7分①当时，有，，其中(qízhōng)，由此知当，即时，||||PQST获得最大值. …………9分②由对称性，可知假设，那么当时，||||PQST获得最大值255. (10)分③当时，，，由此知，当时，||||PQST获得最大值255. ………11分综上可知，当和0时，||||PQST255. ………12分内容总结（1）7分当时，有，，其中，由此知当，即时，获得最大值.。