2020年浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷(二)(5月份) (含答案解析)

浙江省宁波市镇海中学2020届高三第二学期5月模拟考试数学学科注意事项：1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生必须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名；2．本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

满分150分, 考试时间120分钟。

参考公式：如果事件A , B 互斥, 那么 柱体的体积公式 P (A +B )=P (A )+P (B )V =Sh如果事件A , B 相互独立, 那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 P (A ·B )=P (A )·P (B )锥体的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n V =13Sh次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 P n (k )=C kn p k (1－p )n -k (k = 0,1,2,…, n ) 球的表面积公式 台体的体积公式S = 4πR 2 1()11223V h S S S S =++球的体积公式 其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积, V =43πR 3h 表示台体的高 其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1．已知全集=R U ,集合{}0|>=x x A ，{}10|<<=x x B ，则()=B A C U ( ▲ ) A ．{}1|<x x B ． {}10|<<x x C ．{}0|≤x x D ．R 2．已知i 是虚数单位，复数2z i =−，则(12)z i ⋅+的共轭复数为( ▲ ) A ．2i + B ．43i + C ．43i − D ．43i −− 3．已知直线,,a b m ,其中,a b 在平面α内．则“,m a m b ⊥⊥”是“m α⊥”的( ▲ )A ． 充分而不必要条件B ． 必要而不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ▲ ) A ． 3π B ．83π C ． 103π D ． 113π 5．记()()()77017211x a a x a x −=+++++，则0126a a a a +++的值为( ▲ )A ． 1B ． 2C ． 129D ． 21886．已知不等式组210,2,10,x y x x y −+≥⎧⎪≤⎨⎪+−≥⎩表示的平面区域为D ，若函数|1|y x m =−+的图象上存在区域D 上的点，则实数m 的取值范围是( ▲ )A ． [2,1]−B ． 1[2,]2−C ． 1[0,]2D ． 3[1,]2−7．甲、乙、丙、丁四个人到A ，B ，C 三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到A 景点的方案有( ▲ ) A ． 18种 B ． 12种 C ． 36种 D ． 24种8．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 的右焦点为F ,椭圆C 上的两点,A B 关于原点对称，且满足0,||||2||FA FB FB FA FB ⋅=≤≤，则椭圆C 的离心率的取值范围是( ▲ )2552.[,].[,1).[,31].[31,1)2332A B C D −−9．已知函数()()1ln 1,1{21,1x x x f x x −−>=+≤，则方程()()()3204f f x f x ⎡⎤−+=⎢⎥⎣⎦的实根个数为( ▲ )A ． 3B ． 4C ． 5D ． 610．已知直三棱柱111ABC A B C −的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱1AA , 1BB , 1CC 分别交于三点M , N , Q ,若MNQ ∆为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为( ▲ )A ． 2B ． 4C ． 22D ． 23第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题, 多空题每小题6分，单空题每小题4分, 共36分．11．双曲线:C 2214x y −=的渐近线方程为___▲__，设双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>经过点(4,1),且与C 具有相同渐近线,则C 的方程为 ▲ ． 12． 设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++−=．{}n a 的通项n a = ▲ ，数列的21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭前n 项和是 ▲ ．MA BCQD13．随机变量X 的分布列如下：X －10 1 Pabc其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝ ▲ ，方差的最大值是 ▲ ．14． 函数()()sin f x A x ωϕ=+ (0,0,π0)A ωϕ>>−<<的部分图像如图所示，则ϕ= ▲ ，为了得到()cos g x A x ω=的图像，需将函数()y f x =的图象最少向左平移 ▲ 个单位． 15．若实数,x y 满足114422xy xy ，则22xy S的取值范围是 ▲ ．16．已知24y x =抛物线，焦点记为F ，过点F 作直线l 交抛物线于,A B 两点，则2AF BF−的最小值为 ▲ ． 17．如图，在四边形ABCD 中， 1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA 和CD 交NM 的延长线于不同．．的两点,P Q ，则()·PQ AB DC −的值为 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题, 共74分。

浙江省宁波市镇海中学2020届高三下学期5月模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集=R U ，集合{}|0A x x =>，{}|01B x x =<<，则()U A B =（ ）A ．{}|1x x <B ．{}1|0x x <<C ．{}|0x x ≤D ．R2．已知i 是虚数单位，复数2z i =-，则(12)z i ⋅+的共轭复数为（ ） A ．2i +B ．43i +C ．43i -D ．43i --3．已知直线,,a b m ,其中,a b 在平面α内.则“,m a m b ⊥⊥”是“m α⊥”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．3πB ．83πC ．103π D ．113π 5．记77017(2)(1)(1)x a a x a x -=+++⋯⋯++，则0126a a a a +++⋯⋯+的值为（ ） A ．1B ．2C ．129D ．21886．已知不等式组210,2,10x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域为D ，若函数|1|y x m =-+的图象上存在区域D 上的点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[2,1]-B ．12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1[0,]2D ．31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7．甲、乙、丙、丁四个人到A ，B ，C 三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到A 景点的方案有（ ）A ．18种B ．12种C ．36种D ．24种8．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 的右焦点为F ，椭圆C 上的两点,A B 关于原点对称，且满足0,||||2||FA FB FB FA FB ⋅=≤≤，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A．[2 B．[3C．1]2D．1,1)-9．已知函数()()1ln 1,121,1x x x f x x -⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，则方程()()()3204f f x f x ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦的实根个数为（ ） A ．6B ．5C ．4D ．310．已知直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱1AA ，1BB ，1CC 分别交于三点M ，N ，Q ，若MNQ △为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（ ）． A ．2 B ．4C．D．二、双空题11．双曲线:C 2214x y -=的渐近线方程为_____，设双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>经过点()4,1，且与C 具有相同渐近线，则C 的方程为_____.12．设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++⋯+-=．{}n a 的通项n a =________，数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和是________．13．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则(||1)P X ==________，方差的最大值是________． 14．函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的部分图象如图所示，则ϕ=________，为了得到()cos g x A x ω=的图象，需将函数()y f x =的图象最少向左平移________个单位长度．三、填空题 15．若实数、满足114422xy xy ，则22x y S 的取值范围是 ．16．已知抛物线24y x =，焦点记为F ，过点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，则2||||AF BF -的最小值为________． 17．如图，在四边形ABCD 中，1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA 和CD 交NM 的延长线于不同．．的两点,P Q ，则·()PQ AB DC -的值为_________．四、解答题18．已知锐角ABC ∆的内角A, B, C 所对的边分别为a,b,c ，且a =sin sin sin B A b cC a b--=+.（1）求角A 的大小； （2）求b c +的取值范围.19．在三棱锥A BCD -中，2,2AB AD BD BC DC AC ======.（1）求证：BD AC ⊥；（2）若点P 为AC 上一点，且3AP PC =，求直线BP 与平面ACD 所成的角的正弦值.20．已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.21．已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，1,2P ⎛ ⎝⎭在椭圆上，离心率2e =，左、右焦点分别为12F F 、. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线y kx =（0k >）与椭圆C 交于A ，B ，连接1AF ，1BF 并延长交椭圆C 于D ，E ，连接DE ，求DE k 与k 之间的函数关系式.22．我们称满足：21(1)()k n n na k a a +-=--（*n ∈N ）的数列{}n a 为“k 级梦数列”. （1）若{}n a 是“1级梦数列”且12a =.求：231111a a ---和431111a a ---的值； （2）若{}n a 是“1级梦数列”且满足1312a <<，1220171112a a a +++=，求201814a a -的最小值；（3）若{}n a 是“0级梦数列”且112a =，设数列2{}n a 的前n 项和为n S .证明：112(2)2(1)n S n n n ≤≤++（*n ∈N ）.参考答案1．A 【解析】 【分析】先根据补集概念求解出UA ，然后根据并集的概念求解出()U AB 的结果.【详解】因为{}|0A x x =>，所以{}U 0A x x =≤，又因为{}|01B x x =<<，所以(){}U1A B x x ⋃=<，故选：A. 【点睛】本题考查集合的并集、补集混合运算，主要考查学生对并集、补集概念的理解，难度较易. 2．C 【解析】分析：利用复数的乘法运算法则及共轭复数的定义即可得结果. 详解：()()()2i,12i 2i 12i 43i z z =-∴+=-+=+，43i z ∴=-，故选C.点睛：本题主要考查的是复数的乘法运算及共轭复数的定义，属于简单题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++运算的准确性，否则很容易出现错误. 3．B 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定和性质定理可知充分性不成立、必要性成立，由此得到结果. 【详解】若//a b ，则m a ⊥，m b ⊥无法得到m α⊥，充分性不成立；若m α⊥，则m 垂直于α内所有直线，可得到m a ⊥，m b ⊥，必要性成立；∴“m a ⊥，m b ⊥”是“m α⊥”的必要而不充分条件.故选：B . 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，涉及到线面垂直的判定与性质，属于基础题. 4．C 【解析】由三视图可知，该几何体是由14个圆柱和半个圆锥的组合而成的组合体， 其中圆柱的底面半径为2，高为2，圆锥的底面半径为2，高为2， 所以其体积为221111022224233V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=，故选C ． 5．C 【解析】 【分析】令0x =，求得017a a a +++，再求7a 即可求得结果.【详解】727017(2)(1)(1)x a a x a x -=+++++中， 令0x =，得70172128a a a =+++=.∵77(2)[3(1)]x x -=-+展开式中707773(1)1a C =-=-∴0167128129a a a a +++=-=故选：C . 【点睛】二项式通项与展开式的应用：（1）通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定项或指定项的系数等. （2）展开式的应用：①可求解与二项式系数有关的求值，常采用赋值法.②可证明整除问题(或求余数).关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断. ③有关组合式的求值证明，常采用构造法. 6．A 【解析】 【分析】由不等式组210,2,10x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩作出其表示的平面区域然后根据函数|1|y x m =-+的图象是由|1|y x =-上下平移得到的，将函数|1|y x m =-+图象从下往上平移,利用数形结合法求解.【详解】不等式组210,2,10x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域D 为三角形ABC 及内部部分，如图所示：因为函数|1|y x m =-+的图象是由|1|y x =-上下平移得到的，所以由图知：将函数|1|y x m =-+图象从下往上平移，当经过点()1,2A -时，m =-2, 当函数|1|y x m =-+的最低点在BC 上时，m =1， 因为函数|1|y x m =-+的图象上存在区域D 上的点， 所以21m -≤≤， 故选：A 【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及函数图象的变换，还考查了数形结合的思想，属于基础题. 7．D 【解析】 【分析】根据题意，分两种情况讨论，（1）甲单独一个人旅游；（2）甲和乙、丙、丁中的1人一起旅游，分别求出每种情况的方案数，利用分类计数原理，即可求解. 【详解】由题意，可分为两种请况：（1）甲单独一个人旅游，在B 、C 景点中任选1个，由2种选法，再将其他3人分成两组，对应剩下的2个景点，有22326C A =种情况，所以此时共有2612⨯=种方案； （2）甲和乙、丙、丁中的1人一起旅游，先在乙、丙、丁中任选1人，与甲一起在B 、C 景点中任选1个，有11326C C =种情况，将剩下的2人全排列，对应剩下的2个景点，有222A =种情况，所以此时共有6212⨯=种方案，综上，可得甲不到A 景点的方案有121224+=种方案. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了分类计数原理，以及排列组合的综合应用，其中解答中主要优先分析排列的约束条件多的元素是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题. 8．A 【解析】 【分析】设椭圆的左焦点'F ，由椭圆的对称性结合0FA FB ⋅=，得到四边形'AFBF 为矩形，设'AF n =，AF m =，在直角ABF 中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到222m n c n m b+=，再根据2FB FA FB ≤≤，得到m n 的范围，然后利用双勾函数的值域得到22b a 的范围，然后由c e a ==.【详解】 如图所示：设椭圆的左焦点'F ，由椭圆的对称性可知，四边形'AFBF 为平行四边形， 又0FA FB ⋅=，即FA FB ⊥， 所以平行四边形'AFBF 为矩形， 所以'2AB FF c ==， 设'AF n =，AF m =，在直角ABF 中，2m n a +=，2224m n c +=，得22mn b =，所以222m n c n m b +=，令m t n =，得2212t c t b+=， 又由2FB FA FB ≤≤，得[]1,2mt n=∈， 所以221252,2c t t b ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦，所以 2251,4c b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，即2241,92b a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以c e a ==⎣⎦，所以离心率的取值范围是23⎣⎦， 故选：A. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，对称性，离心率的范围的求法以及函数值域的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.9．C 【解析】令t=f(x),则方程()()()3204ff x f x ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦等价于()3202f t t --=,在同一平面直角坐标系中作出f(x)与直线y=2x+32的图象,由图象可得有两个交点,且()3202f t t --=的两根分别为10t =和212t <<,当()10t f x ==时,解得x=2,当()()21,2t f x =∈时, f(x)有3个不等实根,综上所述, 方程()()()3204ff x f x ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦的实根个数为4,故选C.点睛:本题考查函数与方程思想和数形结合思想的应用,考查换元法的应用技巧,属于中档题. 对于函数()y f x =,我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点.即函数的零点就是指使函数值为零的自变量的值.通过化简也经常将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题. 10．D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据已知条件设(0,1,)M a -、)N b 、(0,1,)Q c ，不妨设c b a <<，则MNQ ∠为直角，所以0MN QN ⋅=推出()()20b a b c --+=，利用基本不等式即可求得斜边||MQ 的最小值. 【详解】取D ，1D 分别为AC ，11A C 的中点，连接1DD ，DB ，根据题意以D 为原点，DB ，DC ，1DD 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，点M 在侧棱1AA 上，设(0,1,)M a -，点N 在1BB 上，设)N b ，点Q 在1CC 上，设(0,1,)Q c ，不妨设，则， ．因为为直角三角形，由，得为直角，所以0MN QN ⋅=，即()()20b a b c --+=，斜边||MQ ==≥==当且仅当a b b c -=-时取等号. 故选D ．【点睛】本题考查直三棱柱的性质、空间向量的应用、基本不等式，涉及两垂直向量的数量积关系，根据条件建立空间直角坐标系是解答本题的关键，属于中档题．11．2x y =± 221123y x -=【解析】 【分析】令224x y -=，求得12y x =±，得到双曲线的渐近线的方程，根据题意，得到2a b =，，得出222214x y b b-=，将点()4,1代入方程，求得22,a b 的值，即可求得双曲线的标准方程.【详解】由题意，双曲线2214x y -=，令2204x y -=，解得224x y =，即12y x =±， 即双曲线的渐近线的方程为12y x =±， 由双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>和双曲线2214x y -=相同的渐近线，可得12b a =，即2a b =，所以222214x y b b-=，将点()4,1代入方程222214x y b b-=，即2216114b b -=，解得23b =，所以22412a b ==，所以所求双曲线的方程为221123y x -=故答案为：12y x =±，221123y x -=.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，其中解答中熟记双曲线的标准的求法，以及双曲线的渐近线的解法是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 12．221n - 221n n + 【解析】 【分析】由当2n ≥时，由123(21)2n a a n a n ++⋯+-=①，得1213(23)2(1)n a a n a n -++⋯+-=-②，①-②求出n a ，注意验证1a 是否满足该通项公式，然后利用裂项求和法求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和．【详解】解：当1n =时，12a =，当2n ≥时，由123(21)2n a a n a n ++⋯+-=①， 得1213(23)2(1)n a a n a n -++⋯+-=-②， ①-②得(21)2n n a -=， 即221n a n =-， 当1n =时也满足此式， 所以数列{}n a 的通项221n a n =-；因为221(21)(21)n a n n n ==+-+112121n n --+， 所以数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和11111111335212121S n n n =-+-++-=--++ (221)nn =+， 故答案为：221n -，221n n +． 【点睛】本题考查数列的通项公式及数列求和，重点考查了运算能力，属基础题． 13．23 23【解析】 【分析】在离散型随机变量的分布列中各随机变量对应的概率的总和为1，再由等差中项性质即可求得(||1)P X =；由均值计算公式表示，进而由方差计算公式表示方差，最后由二次函数性质即可求得最值. 【详解】因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b a c =+，又1a b c ++=，所以23a c +=，13b =， 所以(||1)(1)(1)P X P X P X ===+=-23a c =+=； 因为()101E X abc c a =-⨯+⨯+⨯=-，所以221()(1)(0)3D X a c a c a =--++-++222(1)()3c c a a c -+=--+， 所以当13a c ==时，()D X 取得最大值23．故答案为：23，23【点睛】本题考查等差数列的性质、离散型随机变量的分布列与方差，属于简单题． 14．6π-3π【解析】【分析】由图象得出A 和周期，结合周期公式得出ω，把点,23π⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式，得出6πϕ=-，根据三角函数的平移变换，得出第二空的答案. 【详解】由图知2A =，236T πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以22T πω==，所以()2sin(2)f x x ϕ=+ 把点,23π⎛⎫⎪⎝⎭代入，得2sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以22()32k k Z ππϕπ+=+∈即2()6k k Z πϕπ=-+∈，又0πϕ-<<，所以6πϕ=-所以()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭因为()2cos22sin 22sin 2236g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以要得到函数()g x 的图象需将函数()f x 的图象最少向左平移3π个单位长度． 故答案为：6π-；3π 【点睛】本题考查正弦函数的图象与性质、三角函数图象的平移变换，根据函数的图象确定函数sin()y A x ωϕ=+中的参数的主要方法：（1）A 主要是根据图象的最高点或最低点的纵坐标确定；（2）ω主要由最小正周期T 确定，而T 的值主要是根据一个周期内图象的零点与最值点的横坐标确定；（3）ϕ主要是由图象的特殊点的坐标确定． 15．24S <≤ 【解析】1122224+4=2+2(2)(2)2(22)(22)2222(22)x y x y x x y x y x y x y ++⇒+=+⇒+-⋅⋅=+22222xyS S -=⋅⋅，又22(22)022222x y x yS +<⋅⋅≤=．22022S S S <-≤，解得24S <≤ 16．2 【解析】 【分析】分直线l 斜率存在不存在两种情况分类讨论，当斜率存在时，联立直线与抛物线方程，由韦达定理可得A ,B 两点横坐标间的关系，由抛物线定义可得2||||AF BF -的表达式，转化为一个变量，求最值即可，当斜率不存在时，由通径的长可求解. 【详解】因为抛物线24y x =， 所以(1,0)F ，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，代入24y x =可得()2222240k x k x k -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ， 则121x x ⋅=．由抛物线的定义可得1||1AF x =+，2||1BF x =+，所以1222||1||1AF x BF x -=+-=+()()212122222222221121111111x x x x x x x x x x x ++-++===-+++++． 令21(1)x t t -=≥，则21x t =+， 所以2||||AF BF-21112111112222tt t t t==≥===+++++++（当且仅当t =时等号成立）；当直线l 的斜率不存在时，||||2AF BF ==, 所以2||1||AF BF -=．综上，2||||AF BF -的最小值为2．故答案为：2 【点睛】本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系，在解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线的定义在解题中的应用，属于中档题． 17．0 【解析】 【分析】 【详解】如图，连AC ，取AC 的中点E ，连ME ，NE ，则,ME NE 分别为,ADC CAB ∆∆的中位线，所以11,22EN AB ME DC ==, 所以1()2MN ME EN DC AB =+=+．由PQ 与MN 共线， 所以()PQ MN R λλ=∈，故()()()()2PQ AB DC MN AB DC AB DC AB DC λλ⋅-=⋅-=+⋅-22()02AB DC λ=-=．答案：0 点睛：（1）根据题中的AB CD =，添加辅助线是解题的突破口，得到1()2MN DC AB =+是解题的关键，然后根据向量的共线可得()PQ MN R λλ=∈，再根据向量的数量积运算求解． （2）也可利用,MN MA AB BN MN MD DC CN =++=++两式相加得到1()2MN DC AB =+．18．（1）3π；（2）(3,23⎤ 【解析】 试题分析：（1）由sin sin sin B A b c C a b --=+及正弦定理得222a b c bc =+- 1cos 2A ⇒=，由此可求角A 的大小；（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得()2sin sin 3b c B C B π⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭，，ABC ∆为锐角三角形，B 的范围为,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则,366B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，，利用正弦函数的性质即可得b c +的取值范围. （1）由sin sin sin B A b cC a b--=+及正弦定理得()()()b a b a b c c -+=-，所以222a b c bc =+- 1cos 2A ⇒=，3A π=.（2）a =3A π=，所以sin sin sin a b c A B C== 2sin 3==， ()2sin sin b c B C +=+ 22sin sin 3B B π⎡⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 3B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ABC ∆为锐角三角形，B 的范围为,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则,366B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴cos 3B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的取值范围是,12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦，∴(b c +∈.19．（1）证明见解析；（2 【解析】 【分析】（1）取BD 的中点E ，连接,AE CE ，然后由等腰三角形的性质推出,AE BD CE BD ⊥⊥，从而利用线面垂直的判定定理与性质可使问题得证；（2）以E 为坐标原点建立空间直角坐标系，然后求出相关点的坐标，再求出平面ACD 的一个法向量，从而利用空间向量的夹角公式求解即可. 【详解】解：（1）证明：取BD 的中点E ，连接,AE CE ， ∵2AB AD BD ===，∴AE BD ⊥， 同理可得CE BD ⊥， 又AECE E =，∴BD ⊥平面ACE ，又AC ⊂平面ACE ，∴BD AC ⊥.（2）∵2,AB AD BD BC DC =====∴BCD 为等腰直角三角形，且1AE CE ==，∴222AE EC AC +=，∴2AEC π∠=，即AE EC ⊥，又AE BD ⊥，且BD EC E ⋂=，∴AE ⊥平面BCD ，∴以E 为坐标原点，EC 所在直线为x 轴，ED 所在直线为y 轴，EA 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.∴(0,1,0),(0,1,0),(1,0,0),B D C A -， 设()000,,P x y z，∵3,(1,0,4AP AC AC ==，(000,,AP x y z =-，∴(00033,,(1,0,,0,44x y z ⎛-== ⎝⎭，∴0003,40,x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎪⎩∴3,0,44P ⎛ ⎝⎭，∴3,1,44BP ⎛= ⎝⎭，又(0,1,3),(1,1,0)DA DC =-=-， 设()111,,n x y z=是平面ACD 的法向量，则11110,0,00,n DA y n DC x y ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-=⎪⎪⎩⎩令11x =，得111,3y z ==，∴31,1,3n ⎛= ⎝⎭， 设直线BP 与平面ACD 所成角为θ， 则sin |cos ,|||||n BPn BP n BP θ⋅=<>=7==，∴直线BP 与平面ACD 【点睛】本题考查空间中直线与平面的位置关系、利用空间向量解决直线与平面所成角问题. (1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角后(求出是钝角时取其补角)，取其余角即为直线与平面所成的角．(2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系221sin cos θθ+＝求出其值．不要误认为直线的方向向量与平面的法向量所成夹角的余弦值即为所求．20．（1）见解析；（2）(0,1). 【解析】试题分析：（1）讨论()f x 单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对a 按0a ≤，0a >进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若0a ≤，()f x 至多有一个零点.若0a >，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，求出最小值1(ln )1ln f a a a-=-+，根据1a =，(1,)∈+∞a ，(0,1)∈a 进行讨论，可知当(0,1)∈a 时有2个零点.易知()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点；设正整数0n 满足03ln(1)n a >-，则00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3ln(1)ln a a ->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.从而可得a 的取值范围为(0,1).试题解析：（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，()()()()2221121x x x x f x ae a e ae e =+---'=+，（ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(),-∞+∞单调递减. （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.当(),ln x a ∈-∞-时，()0f x '<；当()ln ,x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(),ln a -∞-单调递减，在()ln ,a -+∞单调递增.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为()1ln 1ln f a a a-=-+. ①当1a =时，由于()ln 0f a -=，故()f x 只有一个零点；②当()1,a ∈+∞时，由于11ln 0a a -+>，即()ln 0f a ->，故()f x 没有零点； ③当()0,1a ∈时，11ln 0a a -+<，即()ln 0f a -<. 又()()4222e 2e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(),ln a -∞-有一个零点.设正整数0n 满足03ln 1n a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，则()()00000000e e 2e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->. 由于3ln 1ln a a ⎛⎫->- ⎪⎝⎭，因此()f x 在()ln ,a -+∞有一个零点. 综上，a 的取值范围为()0,1.点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数()f x 有2个零点求参数a 的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断y a =与其交点的个数，从而求出a 的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若()f x 有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.21．（1）2212x y +=；（2）3DE k k =. 【解析】【分析】（1）将点1,2P ⎛ ⎝⎭代入椭圆方程中，结合2e =和222a b c =+可得答案； （2）设()00,A x y ，则()00,B x y --，直线AD ：0011x x y y +=-，联立直线AD 、BE 与椭圆的方程消元，然后用00,x y 表示出点D E ，的坐标，然后可得答案.【详解】（1）由P ⎛ ⎝⎭在椭圆上，可得221112a b +=，a =， 又222a b c =+，可得a =1b =，1c =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=. （2）设()00,A x y ，则()00,B x y --，直线AD ：0011x x y y +=-， 代入C ：2212x y +=，得()()22220000012210x y y x y y y ⎡⎤++-+-=⎣⎦， 因为220012x y +=，代入化简得()()22000023210x y x y y y +-+-=， 设()11,D x y ，()22,E x y ，则2001023y y y x -=+，所以01023y y x -=+，011011x x y y +=-，· 直线BE ：0011x x y y -=-，同理可得02023y y x =-+，022011x x y y -=-， 所以00001200012002323232323y y x x y y =x y y y y x x -++-++=----+-+ 所以12120012120011DE y y y y k x x x x y y y y --==+---()120120121200001211y y x y y x y y y y y y y y y y -==++-++⋅- 000000133213y k x x x y y ==⋅=⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查的是椭圆方程的求法，直线与椭圆的综合问题，考查了学生的计算能力和分析转化能力，属于较难题.22．(1)43111117a a -=-- ,23111113a a -=-- ;（2）72-；(3)见解析．【解析】试题分析：（1）根据递推关系式，可求数列前四项的值，代入所求式子即可求解；（2）根据递推关系式，采用裂项相消的方法可化简条件，然后写出201814a a -构造均值不等式即可求出其最小值；（3）通过21n n n a a a +=-，利用累加法求出11n n s a a +=-，通过两边同除1n n a a +可得1111[1,2]n n n n a a a a ++-=∈，累加求1n a +的范围，从而得出结论. 试题解析：（1）{}n a 是“1级梦数列”,所以()211n n n a a a +-=--，当n=2,3,4,时，代入可求得2343111111,113117a a a a -=-=----； （2）由条件可得：111111n n n a a a +=---， ∴ 1220171201811111211a a a a a +++=-=-- 解得12018112111322232a a a a -==+⨯-- ∴ 20181111111742(32)626223222a a a a -=+⨯+--≥+-=-- 当且仅当154a =时取等号. （3）根据21n n n a a a +=-，可得11n n s a a +=-①又由21n n n a a a +=-得1111[1,2]n n n n a a a a ++-=∈ 累加得：11112n n n a a +≤-≤， 所以 1112(1)2n a n n +≤≤++② 由①②得()()()*112221n S n N n n n ≤≤∈++点睛：本题涉及数列，数学归纳法，不等式，累加，构造诸多数学思想方法，是跨章节以数列为背景的综合性问题，属于非常困难的难题.解决此类问题，需要灵活，综合运用所学知识，并且要创造性的运用到题目中，对题目所给条件，数列的递推关系式灵活变形是解决本题的关键，这需要平时大量方法积累以及运算技巧的锤炼，才可能解出此类难度的问题.。

2020届浙江省宁波市高考数学二模试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|x 2<1}，B ={x|2x −1<0}，则A ∩B =( )A. {x|x <12} B. {x|−1<x <1} C. {x|0<x <12}D. {x|−1<x <12}2. 圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线的渐近线截得的弦长为，则圆C 的方程为( )A. x 2+(y −1)2=1B. x 2+(y −)2=3C. x 2+(y −)2=D. x 2+(y −2)2=43. 已知z 为纯虚数，且(2+i)z =1+ai 3(i 为虚数单位)，则复数a +z 在复平面内对应的点所在的象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 已知m ，n 是直线，α，β是平面，以下命题正确的是( )A. 若α⊥β，α∩β=m ，n ⊥m ，则n ⊥α或n ⊥βB. 若α//β，m ⊄α，n//m ，则n//βC. 若m 上有两个点到α的距离相等，则m//αD. 若α∩β=m ，n//m ；且n ⊄α，n ⊄β，则n//α且n//β5. 已知函数f(x)={13x 3−x 2−3x +2,x ≤5−log 3(x +4),x >5，则函数y =f(f(x))的零点个数为( )A. 6B. 7C. 9D. 106. 1+C 271+C 272+C 2727除以3所得余数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 37. 若一个几何体的三视图都是三角形，则这个几何体可能是( )A. 圆锥B. 四棱锥C. 三棱锥D. 三棱台8. 如图，已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −13a⃗ +34b ⃗B. 512a⃗−34b⃗C. 34a⃗−13b⃗D. −34a⃗+512b⃗9.已知数列{a n}，满足a n+1=a n+a4(n∈N∗)，且a5=4，则a1=()A. −2B. −4C. −6D. −910.以下函数中满足f(x+1)>f(x)+1的是()A. f(x)=lnxB. f(x)=e xC. f(x)=e x−xD. f(x)=e x+x二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11.现有五种不同的颜色要对如图形中的四个部分进行着色，要有有公共边的两块不能用同一种颜色，共有______ 种不同的着色方案．(用数字作答)．12.设变量x，y满足条件{x+y≤1x−y≤1x≥0，则z=2x−y的最小值为______．13.设向量a⃗=(−1,3)，b⃗ =(1,−2)，则|a⃗+2b⃗ |=______．三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14.函数y=(12)x2−2x−3的单调增区间为(1)函数y=(14)x−22−x+3的单调增区间为(2)．15.已知多项式(x+1)6(3x2+1)2=a0+a1x+a2x2+⋯+a9x9+a10x10，则a0=(1)；a2=(2)．16.已知随机变量X的分布列如表，且E(X)≥4P(X=1)，则a+b=，E(X)的取值范围为．X0123P 13a b1617.定义在R上的函数f(x)(x∈R)既是奇函数又是周期函数，若f(x)(x∈R)的最小正周期是π，且x∈[0,π2)时f(x)=sinx，则f(11π3)=(1)，方程f(x)=0的解集为(2)．四、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a=2，cosB=−3．5(1)若b=4，求sin A的值；(2)若△ABC的面积S△ABC=4，求b、c的值．19.已知：在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=CD=BC=2AD，AD//BC，∠BCD=90°(Ⅰ)求证：BC⊥PC；(Ⅱ)求直线PA与平面PBC所成的正弦值．20.设正项数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,S n=λa n−λ，且a1+1,a2+5,a3是等差数列{b n}的前4三项。

○…………装………______姓名：________………内………订…………○……绝密★启用前 【全国市级联考】浙江省宁波市2020届高三5月模拟考试数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知集合 ， ，则 A. B. C. D. 2．已知复数z 满足 （i 为虚数单位），则 的虚部为 A. B. C. D. 3．已知直线、与平面、，，，则下列命题中正确的是 A. 若，则必有 B. 若，则必有 C. 若，则必有 D. 若，则必有 4．使得 （ ）的展开式中含有常数项的最小的 为 A. B. C. D. 5．记 为数列 的前 项和．“任意正整数 ，均有 ”是“ 为递增数列”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6．已知实数 ， 满足不等式组 ，则 的最大值为 A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 7．若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格，要求有公共顶点的两个格子颜色不同，则不同的涂色方案数有………线○8．设抛物线 的焦点为 ，过点 的直 线与抛物线相交于 两点，与抛物线的准线相交于 ，若 ，则 与 的面积之比A. B. C. D.9．已知 为正常数，,若存在 ，满足 ，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 10．已知 均为非负实数，且 ，则 的取值范围为A.B. C. D.11．双曲线的离心率是______，渐近线方程为______．…………外…………………○…………订__________班级：___________考……内…………○…………装………○…………线…………○………第II 卷（非选择题） 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 12．已知直线 ．若直线 与直线 平行，则 的值为____；动直线 被圆 截得弦长的最小值为______． 若 ，则 ______； ______． 14．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为 的等腰三角形，侧视图为直 角三角形，则该三棱锥的表面积为____，该三棱锥的外接球体积为____． 15．已知数列 与 均为等差数列（ ），且 ，则 （ （ ____． 16．已知实数 满足： ， .则 的最小值为______． 17．已知棱长为 的正方体 中， 为侧面 中心， 在棱 上运动， 正方体表面上有一点 满足 ，则所有满足条件的 点构成图形的面积为______．…………外…………○…………订………○…………线……※※订※※线※※内※※答※※题………○线…………○…18．（本题满分14分）已知函数. （Ⅰ）求函数 的单调递增区间；（Ⅱ）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若满足 ， ，且 是 的中点， 是直线 上的动点，求的最小值． 19．（本题满分15分）如图，四边形为梯形，点在线段上，满足 ,且，现将 沿 翻折到 位置，使得 ．（Ⅰ）证明： ;（Ⅱ）求直线 与面 所成角的正弦值．20．（本题满分15分）已知函数，其中 为实常数．（Ｉ）若是 的极大值点，求 ）的极小值；（Ⅱ）若不等式 对任意， 恒成立，求 的最小值．21．（本题满分15分）如图，椭圆的离心率为 ，点 是椭圆内一点，过点 作两条斜率存在且互相垂直的动直线 ，设 与椭圆 相交于点 ， 与椭圆 相交于点 ．当 恰好为线段 的中点时， ．（Ⅰ）求椭圆 的方程；（Ⅱ）求 的最小值．22．（本题满分15分）三个数列 ， ，满足， ，，，．（Ⅰ）证明：当时，；（Ⅱ）是否存在集合，使得对任意成立，若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求证：．参考答案1．D【解析】分析:先化简集合B，再求得解.详解：由题得，所以，所以答案为：D.点睛：本题主要考查集合的交集运算，意在考查集合的基础知识和基本的运算能力.2．C【解析】分析：先根据已知求复数z，再求复数z的虚部得解.详解：由题得所以复数z的虚部为.故答案为：C.点睛：(1)本题主要考查复数的除法运算和复数的虚部概念，意在考查复数的基础知识的掌握能力和基本的运算能力.(2)复数a+bi（的实部是a,虚部是b，不是bi.3．C【解析】分析：对于每一个选项逐一判断，可以举反例，也可以证明.详解：对于选项A,平面和平面还有可能相交，所以选项A错误；对于选项B, 平面和平面还有可能相交或平行，所以选项B错误；对于选项C,因为所以.所以选项C正确；对于选项D,直线m可能和平面不垂直，所以选项D错误.故答案为：C.点睛：对于类似这种空间几何元素位置关系的判断，主要考查空间想象能力，可以举反例，也可以证明，要结合题目灵活选择.4．B【解析】试题分析：设的展开式的通项为，则：，令得：，又，∴当时，最小，即．故选B．考点：1．二项式系数的性质；2．分析与运算能力．5．A【解析】分析：“a n＞0”⇒“数列{S n}是递增数列”，“数列{S n}是递增数列”不能推出“a n＞0”，由此知“a n＞0”是“数列{S n}是递增数列”的充分不必要条件．详解：∵“a n＞0”⇒“数列{S n}是递增数列”，所以“a n＞0”是“数列{S n}是递增数列”的充分条件.如数列为-1,0,1,2,3,4，，显然数列{S n}是递增数列，但是不一定大于零，还有可能小于等于零，所以“数列{S n}是递增数列”不能推出“a n＞0”，∴“a n＞0”是“数列{S n}是递增数列”的不必要条件．∴“a n＞0”是“数列{S n}是递增数列”的充分不必要条件．故答案为：A．点睛：说明一个命题是真命题，必须证明才严谨.要说明一个命题是一个假命题，只要举一个反例即可.6．C【解析】分析：首先画出不等式组表示的平面区域，然后根据|x﹣y|的几何意义求最大值．详解：实数x，y满足不等式组表示的平面区域如图：|x﹣y|的几何意义：表示区域内的点到直线x﹣y=0的距离的倍，由图可知点A(4,0)到直线x-y=0距离最大，所以|x﹣y|的最大值为故答案为：C．点睛：本题解题的关键是发现|x-y|的几何意义，|x-y|它表示区域内的点到直线x﹣y=0的距离的倍，利用数形结合分析解答，可以提高解题效率.所以在今后的解题过程中，看到|ax+by|要联想到点到直线的距离公式.7．C【解析】分析：直接按照乘法分步原理解答.详解：按照以下顺序涂色，,所以由乘法分步原理得总的方案数为种.所以总的方案数为96，故答案为：C点睛：（1）本题主要考查排列组合计数原理的应用，意在考查学生的逻辑思维能力和排列组合的基本运算能力.解答排列组合时，要思路清晰，排组分清.（2）解答本题时，要注意审题，“有公共顶点的两个格子颜色不同”，如C和D有公共的顶点，所以颜色不能相同. 8．D【解析】分析：分别过A，B作准线l的垂线AM，BN，根据|BF|求出B点坐标，得出直线AB 的方程，从而得出A点坐标，于是．详解：抛物线的准线方程为l：x=﹣1，分别过A，B作准线l的垂线AM，BN，则|BN|=|BF|=5，∴B点横坐标为4，不妨设B（4，﹣4），则直线AB的方程为y=4x﹣20，联立方程组，得4x2﹣41x+100=0，设A横坐标为x0，则x0+4=，故而x0=．∴|AM|=x0+1=，∴．故答案为：D.点睛：(1)解答本题的关键是转化，先把面积比转化为线段比，再根据相似转化为，再转化为再求点A和点B的横坐标.(2)转化的思想是高中数学的一个重要思想，遇到复杂的、陌生的数学问题，都要想到通过转化把复杂变简单，把陌生变熟悉.9．D【解析】分析：先根据题意分析出函数f(x)关于直线x=a对称，再利用对称性求出a的表达式，再求的范围.详解：设则其关于直线x=a对称的曲线为所以函数f(x)的图像关于直线对称，且在上为增函数．所以．因为，．所以，．故答案为：D.点睛：本题解题的关键是发现函数f(x)的对称性，其图像关系直线x=a对称,要证明函数的图像关于直线x=a对称，只要证明（-即可.否则本题解答比较复杂.对于函数的问题，我们要善于从发现已知中的隐含信息，研究函数的奇偶性、对称性、单调性、周期性等,再利用图像的性质帮助我们解题.10．A【解析】分析:先设，则试题等价于，满足，求的取值范围．再在空间直角坐标系中求的取值范围．详解:设，则问题等价于，满足，求的取值范围．设点，，，所以点可视为长方体的一个三角截面上的一个点，则，于是问题可以转化为的取值范围．显然，设点O到平面ABC的距离为h，则，所以所以.所以.所以，即．故答案为：A.点睛：本题是一个难题，难在转化.难点一是，由于直接探究比较困难，所以先要转化，设，则问题等价于，满足，求的取值范围．难点二是，直接求的取值范围比较困难，把问题转化为，空间直角坐标系下的取值范围.难点三是，求的取值范围时，又要用到等体积法.由此可见，转化的思想在高中数学中的重要性，大家要理解掌握并灵活运用这种思想解题.11． 2..【解析】分析：直接利用双曲线的几何性质解答即可.详解：由题得所以双曲线的离心率为渐近线方程为故答案为：2，.点睛：本题主要是考查双曲线的简单几何性质，意在考查双曲线的基础知识掌握能力.注意焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为，焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为，不要记错了.12．-1..【解析】分析：（1）利用平行线的斜率关系得到m值.(2)利用数形结合求出弦长的最小值.详解：由题得当m=1时，两直线重合，所以m=1舍去，故m=-1.因为圆的方程为，所以，所以它表示圆心为C（-1,0）半径为5的圆.由于直线l：mx+y-1=0过定点P(0，-1),所以过点P且与PC垂直的弦的弦长最短.且最短弦长为故答案为：-1，.点睛：本题的第一空是道易错题，学生有容易得到实际上是错误的.因为是两直线平行的非充分非必要条件，所以根据求出m的值后，要注意检验，本题代入检验，两直线重合了，所以要舍去m=1.13．0..【解析】分析：先根据分布列的性质求出b的值，再根据期望计算出a的值，最后计算方差.详解：由题得所以.解得a=0.所以故答案为：0，.点睛：本题主要考查分布列的性质，考查随机变量的期望和方差的计算，意在考查学生离散型随机变量的分布列的基础知识的掌握能力和基本的运算能力. 14．..【解析】分析：（1）根据三视图画出几何体的直观图，判断三视图的数据所对应的量，求出各侧面的高，代入公式计算即可．（2）建立适当的坐标系，写出各个点的坐标和设出球心的坐标，根据各个点到球心的距离相等，求出球心的坐标和点的半径，求出体积．详解：由三视图得几何体的直观图是：∴S表=2××2×2+×2×+×2=4+．故答案是4+．以D为原点，DB为x轴，DA为y轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（0，0，2），B（2，0，0），C（﹣1，，0）∵（x﹣2）2+y2+z2=x2+y2+z2，①x2+y2+（z﹣2）2=x2+y2+z2，②），③∴x=1，y=，z=1，∴球心的坐标是（1，，1），∴球的半径是.∴球的体积是故答案为：4+,点睛：本题的第2空，可以不用空间向量的方法，也可以利用空间向量的方法.利用空间向量计算量大一些，但是思维量小一些.不利用向量的方法则计算量小一些，但是分析思维量大一些，学生可以根据自己的实际情况选择.15．.【解析】分析：先设，再通过分析为等差数列得到d=2,最后求出找到答案.详解：设，所以，由于为等差数列，所以其通项是一个关于n的一次函数，所以所以所以（（故答案为.点睛：本题的关键是对数列与均为等差数列的转化，这里利用到了等差数列的一个性质，等差数列的通项是一个关于n的一次函数，根据这个性质得到d的值，后面就迎刃而解了.16．6.【解析】分析: 不妨设是中的最小者，即，把已知转化为，且，.再利用一元二次方程的根来分析求的最小值.详解:不妨设是中的最小者，即，由题设知，且，.于是是一元二次方程的两实根，，，所以, 所以.又当,时，满足题意. 故中最小者的最大值为. (1)因为，所以为全小于0或一负二正.1)若为全小于0，则由（1）知，中的最小者不大于，这与矛盾. 2）若为一负二正，设，则当,时，满足题设条件且使得不等式等号成立．故的最小值为6.点睛：本题解题的关键难在转化，先要消元，通过已知的分析转化得到b+c的表达式和a的范围，再利用函数分析求的最小值.17．.【解析】分析：先考虑两种特殊情况，假设点F和点D重合，假设点F和点A重合，求出每一种情况下点P的轨迹，再根据题意得到点P的轨迹在正方体表面组成的图形，最后求图形的面积.详解：如图所示，记中点为，假设点F和点D重合，作平面和正方体的左侧面、右侧面和下底面的交线，则分别为点P在上运动.假设点F和点A重合，作平面和正方体的左侧面、右侧面和下底面的交线，则分别为点P在上运动.所以点F在AD上运动时，所求图形为直角梯形、、．所以所求图形的面积为故答案为：.点睛：本题主要考查空间想象能力，考查极限的思想.要确定点P的轨迹在正方体表面组成的图形，不是很好处理，所以可以先考虑两种特殊情况，特殊情况下点P的图形确定了，动点P的轨迹组成的图形就容易确定了.18．（Ⅰ）增区间为．（Ⅱ）【解析】分析: (1)先化简函数f(x)得，再求函数的单调增区间.（2）先化简得，再利用对称性结合数形结合求的最小值.详解：（Ⅰ），由于，所以＜＜，所以增区间为．（Ⅱ）由得，所以作C关于AB的对称点, 连由余弦定理得所以当共线时，取最小值点睛：本题的难点在第（2）问，直接处理比较困难，利用对称性结合数形结合分析解答，才比较简洁.类似这种在一条线段上找点，求线段和的最值，一般利用对称性结合数形结合解答.19．（Ⅰ）见解析.（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）先证明平面，即证.(Ⅱ)利用空间向量法求直线与面所成角的正弦值．详解：（Ⅰ）连交于，所以所以BD=因为∴又∴从而所以平面∴（Ⅱ）由面，如图建系，则设平面的法向量为，由，可取，．点睛：本题主要考查空间线面位置关系的证明，考查空间线面角的计算，意在考查立体几何的基础知识掌握能力和基本的运算能力.20．（Ⅰ）极小值．（Ⅱ）.【解析】分析：（Ｉ）先根据是的极大值点求出 ,再利用导数求）的极小值. （Ⅱ）先分离参数得到（），再分类讨论求（）即得b的最小值.详解：（Ｉ），因为．由，得，所以 ,此时．则．所以在上为减函数，在上为增函数．所以为极小值点，极小值．（Ⅱ）不等式即为．所以．ⅰ）若，则，．当时取等号；ⅱ）若，则，．由（Ｉ）可知在上为减函数．所以当时，．因为．所以于是．点睛：处理参数问题常用的方法有分类讨论和分离参数法. 如果参数的系数符号能确定,一般利用分离参数法,化成或的形式,再研究函数f(x)的最值.如果参数的系数符号不能确定，一般利用分类讨论的方法.21．（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）根据离心率为和弦长|AB|=列一个方程组，解方程组即得a,b,c 的值，即得椭圆的方程. （Ⅱ）先求出的表达式，再求函数的最小值即得的最小值．详解：（Ⅰ）由题意设，即椭圆，设由作差得，又∵,即，∴AB斜率．由．消得，．则．解得，于是椭圆的方程为：．（Ⅱ）设直线, 由消得，．于是．∵．同理可得．∴，, 当时取等号．综上，的最小值为．点睛：本题的难点在求得之后，如何求该函数的最小值.这里可以利用导数，也可以换元，但是最好的方法是利用基本不等式，，所以解题时要注意观察式子的特点，灵活选择方法解答,提高解题效率.22．（Ⅰ）见解析.（Ⅱ）存在集合，使得对任意成立，当时,的最小值为．（Ⅲ）见解析.【解析】分析：（Ⅰ）利用数学归纳法证明即可. （Ⅱ）先求出再证明当时，,再判断存在集合，使得对任意成立，最后求求出的最小值.（Ⅲ）先证明,再证明．详解：（Ⅰ）下面用数学归纳法证明：当时，．ⅰ）当时，由，，得，显然成立；ⅱ）假设时命题成立，即．则时，．于是．因为．所以，这就是说时命题成立．由ⅰ）ⅱ）可知，当时，．（Ⅱ）由，得，所以，从而．由（Ⅰ）知，当时，，所以，当时，．因为，所以．综上，当时，．由，，所以，所以，又．从而存在集合，使得对任意成立，当时,的最小值为．（Ⅲ）当时，，所以即，也即，（）（）（）（）（））．即,于是．故．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

2020届浙江省宁波市镇海中学高三下学期高考适应性考试数学试卷★祝考试顺利★ (含答案)第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}1,2,3M =，{}2,3,4N =，则M N ⋃=（ ） A. {}1,2,3,4 B. {}3,4 C. {}1,4 D. {}2,3【答案】A 【解析】根据并集定义计算． 【详解】由题意{1,2,3,4}M N ．故选：A ．2.已知复数z 满足()1210z i +-=，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部是（ ） A.12B. 12-C. 12iD. 12i -【答案】B 【解析】由复数的综合运算求出z 后可得其虚部． 【详解】由题意210i iz +-=，21(1)112222i i i z i i i --===--，其虚部为12-．故选：B ．3. 在△ABC 中“sinA>sinB”是“cosA<cosB”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【详解】试题解析：必要性在△ABC 中，“cosA＞cosB”，由余弦函数在（0，π）是减函数，故有A ＜B ，若B 不是钝角，显然有“sinA＜sinB”成立，若B 是钝角，因为A+B ＜π，故有A ＜π-B ＜2π，故有sinA ＜sin （π-B ）=sinB综上，“cosA＞cosB”可以推出“sinA＜sinB”： 充分性：由“s inA ＜sinB”若B 是钝角，在△ABC 中，显然有0＜A ＜B ＜π，可得，“cosA＞cosB”若B 不是钝角，显然有0＜A ＜B ＜2π，此时也有cosA ＞cosB综上，“sinA＜sinB”推出“cosA＞cosB”成立 故，“cosA＞cosB”是“sinA＜sinB”的充要条件4.若0a >，0b >，且11a b +=，则22a b +的最小值为（ ）A. 2B.C. 4D.【答案】C 【解析】已知等式应用基本不等式得到ab 的最小值，然后再在待求式应用基本不等式可得结论．【详解】∵0,0a b >>，∴11a b +=2ab ≥，当且仅当a b =，即a b ==等号成立，∴2224a b ab +≥≥，当且仅当a b =时等号成立， 综上22a b +的最小值是4． 故选：C ．5.设m ，n 是两条异面直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 过m 且与n 垂直的平面有且只有一个 B. 过m 且与n 平行的平面有且只有一个C. 过空间一点P 与m ，n 都平行的平面有且只有一个D. 过空间一点P 与m ，n 都垂直的平面有且只有一个 【答案】B 【解析】根据异面直线的概念、线面平行的判定、线面垂直的性质逐项判断.【详解】A 选项，设过m 的平面为β，若n β⊥，则n m ⊥，故若m 与n 不垂直，则不存在过m 的平面β与n 垂直，故不正确；B 选项，过m 上一点P 作n 的平行直线l ，则m 与l 确定一平面α，由l α⊂，n α⊄，故//n α，正确；C 选项，当点P 在m 或n 上，满足条件的平面不存在，故错误；D 选项，垂直于同一个平面的两条直线平行，则//m n ，与m ，n 是两条异面直线矛盾，错误. 故选：B6.已知数列{}n a 满足11a =，24a =，且11112(2,)n n n n n a a a n n N n n-+-+=+≥∈，则n a n 的最大值为（ ）A. 4924B. 1C. 2D. 53【答案】C 【解析】首先根据题意和递推公式，可知()()11211(2,)n n n na n a n a n n N -+=-++≥∈,，由此即可证明数列{}n na 是以1为首项，7为公差的等差数列，求出76n na n =-，进而求出276,*n a n nn N n =-∈，再根据二次函数的性质和数列的特点，即可求出最值. 【详解】因为11112(2,)n n n n n a a a n n N n n-+-+=+≥∈， 所以()()11211(2,)n n n na n a n a n n N -+=-++≥∈, 所以数列{}n na 是等差数列，又11a =，24a =，所以数列{}n na 是以1为首项，212721a a -=-为公差的等差数列， 所以76n na n =-，所以22276761749=6+,*1224n n n N n n n a n n -⎛⎫==---∈ ⎪⎝⎭， 所以当2n =时，n a n 取最大值，最大值为76224-=. 故选：C.7.一条直线把平面分成两部分，两条直线把平面最多分成4部分，若n 条直线把平面分成最多()f n 部分，则1n +直线把平面分成最多()1f n +为（ ） A. ()2f n n +- B. ()1f n n +- C. ()f n n + D. ()1f n n ++【答案】D 【解析】只要考虑第1n +条直线与前n 条直线的交点个数即可得．【详解】第1n +条直线与前n 条直线的交点个数最多是n ，这n 个交点把第1n +条直线分成1n +个部分（有两条射线，其余都是线段），每个部分把它所在原来的区域分成两部分，因此共多了1n +个部分，即(1)()1f n f n n +=++． 故选：D ．8.边长为1的正方体1111ABCD A B C D -的棱上有一点P ，满足1||||PB PD +=有（ ） A. 6个 B. 9个 C. 12个 D. 18个【答案】A 【解析】P 应是椭圆体与正方体与棱的交点，满足条件的点应该在棱111111,,,,,A B AA CD CC B C AD 的中点满足条件，由此能求出结果．【详解】正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，1BD ∴=1||||PB PD +=∴点P 是以2c =为焦距，以2a =为长半轴，以2为短半轴的椭圆体，P 在正方体的棱上，P ∴应是椭圆与正方体与棱的交点，结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在棱111111,,,,,A B AA CD CC B C AD 上的中点．故选：A.9.已知椭圆的两焦点1F ，2F 和双曲线的两焦点重合，点P 为椭圆和双曲线的一个交点，且121cos 4F PF ∠=，椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则2212e e +的最小值为（ ） A. 151+15 C.1415 【答案】A 【解析】设1PF x =，2PF y =，不妨设P 在第一象限，椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2a '，122F F c =，由椭圆与双曲线的定义用,a a '表示出,x y ，然后用余弦定理得出,,a a c '的关系即12,e e 的关系式，然后由基本不等式求得最小值．【详解】设1PF x =，2PF y =，不妨设P 在第一象限，椭圆长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2a '，122F F c =，则22x y a x y a '+=⎧⎨-=⎩，解得x a a y a a =+⎧⎨='-'⎩，在12PF F △中由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠，∴22222114242c x y xy x y xy =+-⨯=+-，1c e a =，2c e a ='，222221354()()()()222c a a a a a a a a a a '''''=++--+-=+， ∴2212358e e +=， ∴()22222212121222221221531351888e e e e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(11881884⎛≥+=+=+ ⎝，当且仅当2212222153e e e e =时等号成立．所以2212e e +的最小值为14+．故选：A ．10.若实数a ，b 满足22ln(2)l 422n a b a b +≥+-，则（ ）A. 14a b +=B. 124a b -= C. 23a b +> D. 241a b -<【答案】A 【解析】由题得2ln 220a b -≥，构造函数()ln 2(0)g x x x =->，求出函数()g x 最大值即得解.【详解】由题得2222+84+84ln ln ln(2),2222b b a a b a a b -≥∴≥≥-+，所以2ln 220a b -≥ 当且仅当28a b =时取等.令()ln 2(0)g x x x =->，则()0g x ≥，所以11()g x x x '==， 所以函数在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减. 所以()(1)0g x g ≤=， 所以()0g x =，所以221a b =， 又28a b =，所以1,24b a ==.所以124a b +=+.故选：A.第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．11.281(1)()x x x x -++的展开式的各项系数和为__________;常数项为__________．【答案】 (1). 256 (2). 126 【解析】令1x =，即可得出展开式的各项系数和，由二项式的展开式的通项，即可得出常数项.【详解】令1x =，则281(1)()x x x x-++的展开式的各项系数和为()288111(11)2256-++==81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为()818288r r r r rC x x C x ---= 令820r -=，解得4r =，此时0x 的系数为488765704321C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯令821r -=-，解得92r =，由于[]0,8r ∈且r Z ∈，则92r =不成立令822r -=-，解得=5r ，此时2x -的系数为58876545654321C ⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯所以281(1)()x x x x -++的展开式的常数项为170156126⨯+⨯=故答案为：256；12612.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________，表面积为__________．【答案】 (1).643(2). 32162+【解析】根据三视图还原几何体为四棱锥，利用棱锥的体积公式可求得该几何体的体积，四个直角三角形面积与一个正方形面积和为此几何体的表面积.【详解】该几何体为图中四棱锥B CDEF -，其中底面EFCD 是边长为4的正方形，4BE =，所以该几何体的体积为164444=33⨯⨯⨯，表面积为11442442423216222⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+故答案为：643；32162+13.已知点()4,4A 在抛物线22(0)y px p =>上，该抛物线的焦点为F ，过点A 作直线:2p x =-的垂线，垂足为B ，则p =__________，BAF ∠的平分线所在的直线方程为__________ 【答案】 (1). 2 (2). 240x y -+= 【解析】代入A 点坐标可求得p ，BAF ∠的平分线据直线即为直线AF 的倾斜角的平分线所在直线，由此易得其斜率．【详解】∵点()4,4A 在抛物线22(0)y px p =>上，∴2424p =⨯，∴2p =，则(1,0)F ，44413AF k ==-， 设直线AF 的倾斜角为θ，则22tan42tan 31tan 2θθθ==-，解得1tan 22θ=（tan 22θ=-舍去）， 因为AB l ⊥，所以//AB x 轴，所以AF 的倾斜角的平分线所在直线即为BAF ∠的平分线所在的直线，所以其方程为14(4)2y x -=-，即240x y -+=．故答案为：2；240x y -+=．14.某学校周三要排语文、数学、英语、物理、化学、体育共六节课，有__________种不同的排法，若体育课既不能与语文相邻，也不能与数学相邻，有__________种不同的排法．（用具体数字作答）【答案】 (1). 720 (2). 288【解析】根据语文、数学、英语、物理、化学、体育的全排列得出第一空；分类讨论体育所在节数，由分类加法计数原理得出第二空.【详解】某学校周三要排语文、数学、英语、物理、化学、体育共六节课，有66720A=种不同的排法当体育在第一节时，在第三，四，五，六节中选2节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有234312672A A=⨯=种不同的排法当体育在第二节时，在第四，五，六节中选2节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有23336636A A⋅=⨯=种不同的排法当体育在第三节时，在第一，五，六节中选2节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有23336636A A⋅=⨯=种不同的排法当体育在第四节时，在第一，二，六节中选2节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有23336636A A⋅=⨯=种不同的排法当体育在第五节时，在第一，二，三节中选2节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有23336636A A⋅=⨯=种不同的排法当体育在第六节时，在第一，二，三，四节中选2节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有234312672A A=⨯=种不同的排法则若体育课既不能与语文相邻，也不能与数学相邻，有722364288⨯+⨯=种不同的排法故答案为：720；28815.一个扇形的周长是6厘米，该扇形的中心角是1弧度，该扇形的面积是________．【答案】2平方厘米【解析】利用扇形的弧长公式以及面积公式求解即可.【详解】设扇形的半径为r 厘米，弧长为l 厘米1l r r ∴=⨯=（厘米）扇形的周长是6厘米2236r l r r r ∴+=+==（厘米），即2r（厘米）1122222S lr ∴==⨯⨯=（平方厘米）故答案为：2平方厘米16.已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，球O 与正方体的各条棱相切，P 为球O 上一点，Q 是1AB C 的外接圆上的一点，则线段PQ 长的取值范围是__________．【答案】2222-+⎣⎦【解析】先求出与正方体的各条棱都相切的球半径22r 和正方体的外接球半径R ，在根据题意即可求解.【详解】解：设与正方体的各条棱都相切的球的球心为O ，其半径2r，正方体的外接球的球心为'O ，则1AB C 的外接圆为正方体的外接球的一个小圆，且正方体的外接球半径R ，又因为点P 在与正方体的各条棱都相切的球面上运动，点Q 在1AB C 的外接圆上运动，所以线段PQ 长度的最小值是正方体的外接球的半径减去与正方体的各条棱都相切的球的半径，线段PQ 长度的最大值是正方体的外接球的半径加正方体的各条棱都相切的球的半径，由此可得线段PQ 的取值范围是2222-+⎣⎦.故答案为：22⎣⎦17.设O 为ABC 的外心，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠的对边，且032OA BC OB CAOC AB ⋅⋅++⋅=，则cos B 的最小值为_________________．【答案】【解析】先证明221=)2BC OA c b -（，221()2OB CA a c -=，221()2OC AB b a =-，再利用余弦定理和基本不等式即得解.【详解】由平面向量数量积的定义可知，211||||cos ||||||22AB AO AB AO BAO AB AB AB =∠==， 同理可得，21||2AC AO AC =，∴221()(||||2)BC AO AC AB AO AC AB =-=-，所以22221(||||1)=)22BC AB AC OA c b -=-（， 同理：22221(||12|)()|2BCOB CA BA a c =-=-，22221(||1)()||22OC AB CA CB b a -==-.由题得2360OA BC OB CA OC AB ⋅+⋅+⋅=，所以2222223()3()02c b a c b a -+-+-=，所以2223144b ac =+，由余弦定理得222221344cos 22a ca cb B ac ac ++-==≥=. 当且仅当a =时取等. 所以cos B . 故答案为：4三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18.已知箱子中装有标号分别为1，2，3，4，5的五个小球．现从该箱子中取球，每次取一个球（无放回，且每球取到的机会均等）．（Ⅰ）若连续取两次，求取出的两球上标号都是奇数或都是偶数的概率；（Ⅱ）若取出的球的标号为奇数则停止取球，否则继续取，求取出次数X的分布列和数学期望()E X．【答案】（1）25；（2）分布列见解析，期望为32．【解析】（1）用列举法写出所有基本事件，确定所求概率事件所含有的基本事件，计数后可得概率．（2）X的可能值1，2，3，分别计算概率得分布列，由期望公式可计算出期望．【详解】（1）连续取两次，求取出的两球上标号可能是12,13,14,15,23,24,25,34,35,45共10个，其中都是奇数或都是偶数的有13,15,35,24共4个，所求概率为42105P==；（2）由题意X的所有可能值是1,2,3，13153(1)5CP XC===，233(2)5410P X⨯===⨯，2231(3)54310AP X⨯===⨯⨯，所以X的分布为X 1 2 3P353101103313()123510102E X=⨯+⨯+⨯=．19.如图，22AB BE BC AD====，且AB BE⊥，60DAB∠=︒，//AD BC，（1）若BE AD⊥，求证：面ADE⊥面BDE;（2）若CE =AD 与平面DCE 所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析，（1【解析】（1）由2,60AB AD DAB =∠=︒，可得AD DB ⊥，结合BE AD ⊥可得AD ⊥平面BDE ，再利用面面垂直的判定可证明；（2）由余弦定理求出AC =B 为原点，BA 为x 轴，BE 为y 轴，过B 作平面ABE 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线AD 与平面DCE 所成角的正弦值． 【详解】解：证明：因为22AB BE BC AD ====，且AB BE ⊥，60DAB ∠=︒，//AD BC ，所以BD ==， 所以222AD BD AB +=，所以AD DB ⊥， 因为BE AD ⊥，BE BD B ⋂=, 所以 AD ⊥平面BDE ， 因为AD ⊂平面ADE ， 所以面ADE ⊥面BDE ;（2）解：因为22AB BE BC AD ====，且AB BE ⊥，60DAB ∠=︒，//AD BC ，所以AC ==以B 为原点，BA 为x 轴，BE 为y 轴，过B 作平面ABE 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0)B A E , 设(,,)(0)C x y z z >，因为2AC CE BC ===,所以222222222(2)12(2)64x y z x y z x y z ⎧-++=⎪+-+=⎨⎪++=⎩，解得11,,22x y z =-==，所以11,,22C ⎛- ⎝⎭，因为2BC AD =,//AD BC ,所以11111(,,)224AD BC ==-，15111(,,)2244DC DA AB BC AB BC =++=+=-,311(1,,)22CE =-，设平面DCE 的法向量为(,,)n a b c =，则51110244311022n DC a b c n CE a b c ⎧⋅=-++=⎪⎪⎨⎪⋅=+-=⎪⎩，令1c =，则1111(,,1)84n =，设直线AD 与平面DCE 所成角为α，因为//AD BC ，所以直线BC 与平面DCE 所成角为α， 所以211sin 119n BC n BCα⋅==， 所以直线AD 与平面DCE 所成角的正弦值为21111920.已知数列{}n a 满足11a =，*11(2,)n n n a a n n n--≥∈=N ， （1）求n a ;（2）若数列{}n b 满足113b =，*121()n n n b b n a ++∈=N ，求证：2512n b <． 【答案】（1）n a n =；（2）证明见解析． 【解析】（1）用累乘法求得通项n a ；（2）求出23,b b 满足不等式，从43b b -开始用放缩法，然后利用累加法求和可证结论．【详解】（1）由题意11n n a n a n -=-（2n ≥）， ∴321121231121n n n a a a na a n a a a n -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=-，11a =也适合． 所以n a n =（*n N ∈）； （2）由已知1125312b =<，214251312b b =+=<，32214119252341212b b =+=+=<， 当3n ≥时，121111(1)1n n b b n n n n n+-=<=---， 因此1343541()()()n n n b b b b b b b b ++=+-+-++-1911111125125()()()12233411212n n n <+-+-++-=-<-， 则1212512n n b b n +=-< 综上，2512n b <．21.已知椭圆22221x y a b +=()1,1P 是椭圆上一点，直线13y x m =+与椭圆交于A ，B 两点（B 在A 的右侧且不同于P 点） （Ⅰ）求椭圆方程;（Ⅱ）若直线PA 的斜率为1，求直线PB 的斜率; （Ⅲ）求||||PA PB 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）223144x y +=（Ⅱ）12-（Ⅲ）(1,)+∞ 【解析】（Ⅰ）根据椭圆的性质，列出方程，求解即可；（Ⅱ）求出点A 的坐标，确定直线AB 的方程，再得出点B 的坐标，由斜率公式，即可得出直线PB 的斜率;（Ⅲ）联立直线AB 与椭圆方程，结合韦达定理得0PA PB k k +=，进而得出121||||1x PA PB x -=-，由判别式大于0确定m 的范围，讨论m 的值，确定2x 的值，由2212123x x x x ++=，得出||||PA PB 的取值范围．【详解】（Ⅰ）由题意可知22222111c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得242,,3a b c ===所以椭圆方程为223144x y +=（Ⅱ）直线:PA y x =，联立椭圆方程得2234x x +=，解得1x =（舍）或1x =-，即(1,1)A --113m -=-+，23m ∴=-，12:33AB y x ∴=-联立直线AB 与椭圆方程得出220x x --=，解得1x =-或2x =，即(2,0)B 所以011212PB k -==-- （Ⅲ）先证0PA PB k k +=，设()()1122,,,A x y B x y 直线AB 与椭圆联立得22469120x mx m ++-=所以21212394,212m x x m x x -+=-=①()()()()122112121211111111331111PA PBx m x x m x y y k k x x x x ⎛⎫⎛⎫+--++-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭+=+=---- ()()()121212242(1)3311x x m x x m x x ⎛⎫+-+-- ⎪⎝⎭=-- ()()212343332(1)232011m m m m x x --⎛⎫--+⋅- ⎪⎝⎭==--所以121||||1x PA PB x -=- 又因为直线AB 椭圆有两异于P的交点，所以21081920113m m ⎧∆=-+>⎪⎨≠+⎪⎩解得4233m -<<或2433m <<当4233m -<<时，212x <≤，由①得12,x x 满足2212123x x x x ++=②记121||||1x PA k PB x -==-，则121x k kx =+-，代入② 得()222221(12)(1)220k k x k k x k k -++-+++-=，所以222221k k x k k +-=-+所以2222121k k k k +-<≤-+，解得1k >当2433m <<时，211x -<<，此时记121||||1x PA t PB x -==-，则121x t tx =-+ 代入②得()222221(12)(1)220t t x t t x t t ++++-+--=，所以222221t t x t t --=++所以2222111t t t t ---<<++，解得1t > 故||(1,)||PA PB ∈+∞ 22.已知函数2l ()n 2n l f x x a ax a a =-+； （Ⅰ）求证：2()3f x a ≤-；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得只有唯一的正整数a ，对于(0,)x ∈+∞恒有：()f x ea k ≤+，若存在，请求出k 的范围以及正整数a 的值;若不存在请说明理由．（下表的近似值供参考）【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）[5ln 442,6ln552)k e e ∈----，此时4a = 【解析】（Ⅰ）利用导数证明函数()f x 的单调性求出最值，所证不等式转化为ln 1a a ≤-，再次利用导数证明函数()1ln h a a a =--的单调性及最值，由()()1ln 1h a a a h =--≥即可证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）知所求不等式等价于(1)ln 2k a a ea ≥+--，利用导数证明函数()(1)ln 2g a a a ea =+--的单调性，再推出(3)(5)(4)g g g >>即可求得k 的范围及a 的值.【详解】（Ⅰ）111(),()0()0f x x f x x f x x a a'''==<>><，，， 所以()f x 在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减， 所以()()11ln 2f x f a a a ⎛⎫≤=+- ⎪⎝⎭，下面证明：()21ln 23a a a +-≤-，等价于证明：ln 1a a ≤-，设()1ln h a a a =--，则()11h a a'=-，令()0h a '=，解得1a =， 当()0,1a ∈时，()0h a '<，()h a 单调递减；当()1,a ∈+∞时，()0h a '>，()h a 单调递增， 所以()()1ln 10h a a a h =--≥=，则ln 1a a ≤-. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知()()max 1ln 2f x a a =+-，所以不等式(1)ln 2a a ea k +-≤+只有唯一的正整数解，即(1)ln 2k a a ea ≥+--， 设()(1)ln 2g a a a ea =+--，1()ln a g a a e a+'=+-， 10,(1)20g g e e ⎛⎫''==-< ⎪⎝⎭，又22111()a g a a a a -''=-=，所以()g a '在0,1上单调递减，在1,上单调递增，结合()()4050g g ''<>，知存在0(4,5)a ∈满足()00g a '=，所以()g a 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在01,a e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()0,a +∞上单调递增，(3)4ln 332g e =--，(4)5ln 442g e =--，(5)6ln 552g e =--，因为(3)(5)(4)g g g >>，所以[5ln 442,6ln552)k e e ∈----，此时4a =.。

【全国百强校】浙江省宁波市镇海中学2020届高三数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.则“”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．设,a b 均为不等于1的正实数，则“1a b >>”是“log 2log 2b a >”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．体积为43的三棱锥P ABC -的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，2PA =，2ABC π∠=，则球O 的表面积的最小值为（ ） A ．8π B ．9π C ．12π D ．16π4．在四面体ABCD 中，已知AB ＝AC ＝CD ＝2，BC 22=，且CD ⊥平面ABC ，则该四面体外接球的体积（ ）A ．16πB ．12πC ．43πD ．6π5．已知集合{}2lgsin 9A x y x x==+-，则()cos22sin f x x x x A =+∈，的值域为（ ）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦ D ．2,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 6．已知函数f （x ）=x 2-ln|x|，则函数y=f （x ）的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．若直线y=a 分别与直线y=2x-3，曲线y=e x -x （x≥0）交于点A ，B ，则|AB|的最小值为（ ）A ．63ln3-B ．33ln32-C ．eD ．0.5e8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，点()00,P x y 是直线40bx ay a -+=上任意一点，若圆()()22001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（ ）． A ．(]1,2B ．(]1,4 C ．[)2,+∞ D ．[)4,+∞9．下列命题中，错误命题是 A ．“若11a b<，则0a b >>”的逆命题为真 B ．线性回归直线y bx a =+$$$必过样本点的中心(,)x yC ．在平面直角坐标系中到点()1,0和()0,1的距离的和为2的点的轨迹为椭圆D ．在锐角ABC V 中，有22sin cos A B >10．抛物线24y x =的焦点为F ，点(),P x y 为该抛物线上的动点，点A 是抛物线的准线与坐标轴的交点，则PF PA的最小值是（ ）A ．12B ．22C ．3D ．2311．下列选项中为函数1()cos(2)sin 264f x x x π=--的一个对称中心为（ ） A ．7(,0)24π B ．(,0)3π C ．1(,)34π- D ．(,0)12π12．已知抛物线（）与椭圆（）有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且轴，则椭圆的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届浙江省宁波市镇海中学高考数学模拟试卷(5月份)一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.设集合A={x|x2<4}，B={x|2x>12}，则A∩B=()A. {x|x<−1}B. {x|x<2}C. {x|−1<x<2}D. {x|−2<x<−1}2.已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PA⊥l，垂足为A，|PF|=4，则直线AF的倾斜角等于()A. 2π3B. 5π6C. 3π4D. 5π63.设α、β、γ是三个不同平面，l是一条直线，下列各组条件中可以推出α//β的有()①l⊥α，l⊥β；②l//α，l//β；③α//γ，β//γ；④α⊥γ，β⊥γ．A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4.二次函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)，若c<0，且函数f(x)在[−1,1]上有两个零点，求b+2c的取值范围()A. (−2,2)B. (−2,1)C. [−2,1)D. (−1,1)5.已知函数f(x)=cos(x+π4)⋅sinx，则函数f(x)的图象()A. 最小正周期为T=2πB. 关于点直线(π8,−√24)对称C. 关于直线x=π8对称 D. 在区间(0,π8)上为减函数6.设数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，已知a1+a4+a7=99，a2+a5+a8=93，若对任意n∈N∗，都有S n<S k成立，则k的值为()A. 22B. 21C. 20D. 197.“a≤2”是“方程x2+y2−2x+2y+a=0表示圆”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.某堆雪在融化过程中，其体积V(单位：m3)与融化时间t(单位：ℎ)近似满足函数关系：V(t)=H(10−110t)3(H为常数)，其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为v(m3/ℎ).那么瞬时融化速度等于v(m3/ℎ)的时刻是图中的()A. t1B. t2C. t3D. t49.若圆(x−a)2+y2=4与椭圆x24+y23=1有公共点，则a的取值范围是()A. [−4,4]B. [−5,5]C. [−2,2]D. {0}10.函数的图象如图所示，则导函数的图象的大致形状是()A. AB. BC. CD. D二、单空题（本大题共7小题，共36.0分）11.设复数z满足z2=1+2√2⋅i(i是虚数单位)，则z的模为______ ．12.求(x2−1√x+y)6的展开式中，x3y2的系数为______．13. 已知一个半圆柱的高为4，其俯视图如图所示，侧视图的面积为8，则该半圆柱的底面半圆的半径为______．14. 若X ～B(n,p)，且EX =2，DX =23，则P(X =1)=______．15. 如图，记棱长为1的正方体C 1，以C 1各个面的中心为顶点的正八面体为C 2，以C 2各面的中心为顶点的正方体为C 3，以C 3各个面的中心为顶点的正八面体为C 4，…，以此类推得一系列的多面体C n ，设C n 的棱长为a n ，则数列{a n }的各项和为______ ．16. 若圆O 的半径为2，圆O 的一条弦AB 长为2，P 是圆O 上任意一点，点P 满足BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为______ ．17. 已知关于x 的方程，x 2+2(1+i)x +ab +(a +b)i═0(a,b ∈R +)总有实数解，则a +b 的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 本小题满分12分)已知函数f(x)=sinx(2cosx −sinx)+cos 2x.(Ⅰ)讨论函数f(x)在[0,π]上的单调性；(Ⅱ)设π4<α<π2，且f(α)=−5√213求sin2α的值．19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，AB//CD ，AB ⊥AD ，AB =4，AD =2√2，CD =2，PA ⊥平面ABCD ，PA =4．(Ⅰ)求证：BD ⊥平面PAC ；(Ⅱ)点Q 为线段PB 的中点，求直线QC 与平面PAC 所成角的正弦值．20. 设数列{a n }的前n 项和S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n =3S n −2n ，n ∈N ∗．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：S n ≥1，n ∈N ∗．21. 已知曲线E 上的点到F(0,1)的距离比它到x 轴的距离大1．(1)求曲线E 的方程；(2)过E 作斜率为k 的直线交曲线E 于A 、B 两点；①若BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FA⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线l 的方程； ②过A 、B 两点分别作曲线E 的切线l 1、l 2，求证：l 1、l 2的交点恒在一条定直线上．22. 已知函数f(x)=(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间［−2，2］上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．【答案与解析】1.答案：C解析：解：A={x|−2<x<2}，B={x|x>−1}；∴A∩B={x|−1<x<2}．故选：C．可求出A={x|−2<x<2}，B={x|x>−1}，然后进行交集的运算即可．考查指数函数的单调性，描述法表示集合的概念，以及交集的运算．2.答案：A解析：本题考查抛物线的简单性质，考查转化思想，考查解三角形的能力，属于中档题．利用抛物线的定义，|PF|=|PA|，设F在l上的射影为F′，依题意，可求得点P的坐标，从而可求得|AF′|，可求得点A的坐标，代入斜率公式，从而可求得直线AF的倾斜角．解：∵抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，∴|PF|=|PA|，F(1,0)，准线l的方程为：x=−1；设F在l上的射影为F′，又PA⊥l，设P(m,n)，依|PF|=|PA|得，m+1=4，m=3，∴n=2√3，∵PA//x轴，∴点A的纵坐标为2√3，点A的坐标为(−1,2√3)=−√3，则直线AF的斜率2√3−0−1−1．直线AF的倾斜角等于2π3故选A．3.答案：A解析：解：由α、β、γ是三个不同平面，l是一条直线，得：对于①，l⊥α，l⊥β，由面面平行的判定定理得α//β；对于②，由l//α，l//β，得α与β相交或平行；对于③，α//γ，β//γ，由面面平行的判定定理得α//β；对于④，由α⊥γ，β⊥γ，得α与β平行或相交．∴可以推出α//β的有①③．故选：A ．利用面面平行的判定定理直接求解．本题考查两个平面的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．4.答案：C解析：解：因为函数f(x)在[−1,1]上有两个零点，且c <0则{f(−1)=1−b +c ≥0f(1)=1+b +c ≥0c <0即{−b +c +1≥0b +c +1≥0c >0 其对应的平面区域如图所示：令z =b +2c ，由z =b +2c ，得c =−b 2+z2，由线性规划知识可知−2≤b +2c <1．故选：C ．若c <0，且函数f(x)在[−1,1]上有两个零点，则{f(−1)≥0f(1)≥0c <0，利用线性规划的知识可得b +2c 的取值范围．考查二次函数在特定区间与零点的关系以及线性规划中的范围问题． 5.答案：C解析：解：函数f(x)=cos(x +π4)⋅sinx =√22sinxcosx −√22sin 2x =√24sin2x −√22⋅1−cos2x 2=12sin(2x +π4)−√24， 故它的周期为2π2=π，故排除A ；当x =π8时，f(x)=2−√24，为最大值，故函数f(x)的图象关于直线x =π8对称，故C 正确，B 不正确； 在区间(0,π8)上，2x +π4∈(π4,π2)，故f(x)在区间(0,π8)上为增函数，故排除D ，故选：C ．利用三角恒等变换化简f(x)的解析式，再利用正弦函数的周期性、图象的对称性，单调性，得出结论．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、图象的对称性，单调性，属于基础题．6.答案：C解析：解：∵a1+a4+a7=99，a2+a5+a8=93，∴3a4=99，3a5=93，即a4=33，a5=31，则d=a5−a4=31−33=−2，a n=a4+(n−4)d=33−2(n−4)=−2n+41，当n≤20时，a n>0，当n≥21时，a n<0，∴S20最大，∵对任意的n∈N+，都有S n<S k成立，∴k=20，故选：C．根据条件求出等差数列的公差d=−2，进而由a n=a4+(n−4)d求出通项，再判断a n>0，a n<0时n的范围，而对任意的n∈N+，都有S n<S k成立，则可知S k为最大值，可求．本题主要考查了等差数列的性质及等差数列的通项公式及求和公式的应用，考查学生的运算和推理能力．7.答案：B解析：本题考查圆的方程，考查充要条件的判断，比较基础．方程x2+y2−2x+2y+a=0表示圆，则4+4−4a>0，可得a<2，即可得出结论．解：方程x2+y2−2x+2y+a=0表示圆，则4+4−4a>0，∴a<2，∵“a≤2”是a<2的必要不充分条件，∴“a≤2”是“方程x2+y2−2x+2y+a=0表示圆”的必要不充分条件，故选B．8.答案：C解析：解：平均融化速度为v=V(100)−V(0)100−0，反映的是V(t)图象与坐标轴交点连线的斜率，观察可知t3处瞬时速度(即切线的斜率)为平均速速一致，故选：C．根据题意可知，平均融化速度为v=V(100)−V(0)100−0，反映的是V(t)图象与坐标轴交点连线的斜率，通过观察某一时刻处瞬时速度(即切线的斜率)，即可得到答案本题考查了图象的识别，关键理解平均速度表示的几何意义(即斜率)，属于基础题9.答案：A解析：解：∵椭圆x24+y23=1中，|x|≤2，|y|≤√3，圆(x−a)2+y2=4的圆心坐标(a,0)，半径r=2．∴若椭圆x24+y23=1与圆(x−a)2+y2=4有公共点，则实数a的取值范围|a|≤4；故选：A．作出草图，结合图象可知当椭圆x24+y23=1与圆(x−a)2+y2=4有公共点时，|a|≤4．本题考查椭圆的简单性质，椭圆与圆的位置关系的应用，作出草图，结合图象事半而功倍．10.答案：D解析：试题分析：因为函数的图象先减后增，然后为常数函数，所以对应的导函数的值先负后正，最后等于0，由此可得满足条件的图象是.故选．考点：1.函数的图像；2.函数的单调性和导函数的函数值符号间的关系；3.数形结合．11.答案：√3解析：解：设z=a+bi(a,b∈R)，由z2=1+2√2⋅i，得(a+bi)2=a2−b2+2abi=1+2√2i，∴{a 2−b2=12ab=2√2，解得a=√2，b=1或a=−√2，b=−1．∴|z|=√a2+b2=√3．故答案为：√3．设z=a+bi(a,b∈R)，代入z2=1+2√2⋅i，由复数相等的条件求得a，b，再代入复数模的公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．12.答案：90解析：解：依题意，(x2−1√x +y)6表示6个因式(x2−1√x+y)的乘积，故有2个因式取x2，2个因式取1√x，剩下的2个因式取y，即可得到含x3y2的项，故它的展开式中，x3y2的系数为C62⋅C42⋅C22=90，故答案为：90．由题意利用乘方的几何意义，二项展开式的通项公式，求出展开式中含x3y2的项，可得结论．本题主要考查乘方的几何意义，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．13.答案：2解析：解：半圆柱的立体图如图所示，其侧视图是矩形ABCD，所以AB⋅AD=8，即4×AD=8，所以AD=2，所以半圆柱的底面半圆的半径为2．故答案为：2．半圆柱的侧视图是一个以圆柱的高、底面半圆的半径为相邻两边的矩形，再根据矩形面积公式即可得解．本题考查圆柱的三视图，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题．14.答案：29解析：解：∵随机变量X～B(n，p)，且EX=2，DX=23，∴np=2，np(1−p)=23，解得：n=3，p=23，∴P(X =1)=C 51( 23)1(13)2=29． 故答案为：29．由随机变量符合二项分布，根据期望与方差公式求出n 、p 的值，写出对应的自变量的概率的计算公式求解．本题考查服从二项分布的随机变量的期望与方差，解题的关键是对公式的记忆，是基础题．15.答案：6+3√24 解析：解：正方体C 1各面中心为顶点的凸多面体C 2为正八面体，它的中截面(垂直平分相对顶点连线的界面)是正方形，该正方形对角线长等于正方体的棱长，所以它的棱长a 2=1√2=√2=√22； 以C 2各个面的中心为顶点的正方体为图形C 3是正方体，正方体C 3面对角线长等于C 2棱长的 23，(正三角形中心到对边的距离等于高的 23)，因此对角线为 23×√22=√23，所以a 3=√23√2=13， 以上方式类推，得a 4=3√2=√26，a 5=23a √2=19，…， {a n }各项依次为：1，√22，13，√26，19，… 奇数项是首项为：1，公比为13的等比数列，偶数项是首项为：√22，公比为13的等比数列， 数列{a n }的各项和为：11−13+√221−13=32+3√24=6+3√24． 故答案为：6+3√24． 根据条件先求出a 2，根据条件依次求出a 3，a 4，a 5，然后利用归纳推理得到：奇数项与偶数项都是等比数列，然后求和即可．本题主要考查等比数列得通项公式，以及归纳推理的应用，无穷等比数列各项和的求法，可以从中找到规律，分奇数项、偶数项讨论，考查分析问题解决问题的能力．16.答案：10解析：解：【法一：建系法】如图以AB 中点C 为原点建系，则A(−1,0),B(1,0),O(0,√3)，所以圆O 方程为x 2+(y −√3)2=4， 所以设P(2cosθ,√3+2sinθ)，Q(x 0,y 0)，因为BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2cosθ−1,√3+2sinθ)PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−2cosθ,y 0−√3−2sinθ)，所以{x 0=6cosθ−2y 0=6sinθ+√3， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =12cosθ−2，因为cosθ∈[−1,1]，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为10．【法二：投影法】连接OA ，OB 过点O 作OC ⊥AB ，垂足为C ，则AC =12AB =1．∴cos∠OAB =AC OA =12， 因为BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ Q 所以AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(3OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −2|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=3|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ >+3×2×2cos∠OAB −2×22≤3×2×2×1+3×2×2×12−2×22=10．且仅当OP ⃗⃗⃗⃗⃗ //AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 且同向时取等号，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为10， 故答案为：10．法一：建系法，以AB 中点C 为原点建系，求出ABO 的坐标，求解圆O 方程为x 2+(y −√3)2=4，设P(2cosθ,√3+2sinθ)，Q(x 0,y 0)，利用向量的数量积，结合三角函数的最值求解即可．法二：投影法，连接OA ，OB 过点O 作OC ⊥AB ，垂足为C ，利用向量的数量积，推出表达式，判断表达式取得最大值时的位置，求解即可．本题考查向量的数量积的求法与应用，考查直线与圆的位置关系，表达式的最值的求法，是中档题．17.答案：[2,+∞)解析：解：∵x2+2(1+i)x+ab+(a+b)i═0得x2+2x+ab+(a+b+2x)i=0有实数解，∴x2+2x+ab=0，a+b+2x=0，消去x得∴14(a+b)2−(a+b)+ab=0，∵ab≤(a+b2)2，∴0=14(a+b)2−(a+b)+ab≤14(a+b)2−(a+b)+(a+b2)2，即14(a+b)2−(a+b)+14(a+b)2≥0则12(a+b)2−(a+b)≥0得(a+b)(a+b−2)≥0，∵a，b∈R+，∴a+b>0，则a+b−2≥0，即a+b≥2，即a+b的取值范围是[2,+∞)，故答案为：[2,+∞)利用复数相等的条件，建立方程关系，消掉参数建立关于a，b的方程，利用基本不等式进行求解即可．本题主要考查复数的应用，利用复数相等以及基本不等式的性质是解决本题的关键．考查学生的转化能力，有一定的难度．18.答案：解：(Ⅰ)f(x)=sinx⋅(2cosx−sinx)+cos2x=sin2x−sin2x+cos2x=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)，(2分)由x∈[0,π]得2x+π4∈[π4,9π4]，当2x+π4∈[π4,π2]即x∈[0,π8]时，f(x)递增；当2x+π4∈[π2,3π2]即x∈[π8,5π8]时，f(x)递减；当2x +π4∈[3π2,9π4]即x ∈[5π8,π]时，f(x)递增． 综上，函数f(x)在区间[0,π8]、[5π8,π]上递增，在区间[π8,5π8]上递减．(6分) (Ⅱ)由f(α)=−5√213，即√2sin(2α+π4)=−5√213， 得sin(2α+π4)=−513，(7分)因为π4<α<π2，所以3π4<2α+π4<5π4，可得cos(2α+π4)=−1213，(9分)则sin2α=sin[(2α+π4)−π4]=√22sin(2α+π4)−√22cos(2α+π4)(11分) =√22×(−513)−√22×(−1213)=7√226.(12分) 解析：(Ⅰ)利用二倍角公式和和差角(辅助角)公式，将函数的解析式化为正弦型函数的形式，再由正弦函数的图象和性质，可得函数f(x)在[0,π]上的单调性；(Ⅱ)由π4<α<π2，且f(α)=−5√213，sin(2α+π4)=−513，cos(2α+π4)=−1213，代入两角和的正弦公式，可得答案．本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，诱导公式和和差角(辅助角)公式，同角三角函数的基本关系公式，二倍角的正切公式和两角和的正弦公式，是三角函数的综合应用，难度中档． 19.答案：(法一)(Ⅰ)证明：以A 为原点，建立空间直角坐标系，如图，B(4,0，0)，D(0,2√2,0)，P(0,0，4)，A(0,0，0)，C(2,2√2,0)，Q(2,0，2)，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,2√2,0)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，4)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2√2,0)， QC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√2,−2)，∴BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4×2+2√2×2√2+0=0， ∴BD ⊥AP ，BD ⊥AC ，又AP ∩AC =A ，∴BD ⊥平面PAC ；(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，平面PAC 的一个法向量为BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,2√2,0)， 设直线QC 与平面PAC 所成的角为θ，则sinθ=|QC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||QC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=8√12⋅√24=√23， 所以直线QC 与平面PAC 所成的角的正弦值为√23.(法二)(Ⅰ)证明：设AC∩BD=O，∵CD//AB，∴OB：OD=OA：OC=AB：CD=2，Rt△DAB中，DA=2√2，AB=4，∴DB=2√6，∴DO=13DB=2√63，同理，OA=23CA=4√33，∴DO2+OA2=AD2，即∠AOD=90°，∴BD⊥AC，又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，由AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC；(Ⅱ)解：连PO，取PO中点H，连QH，则QH//BO，由(Ⅰ)知，QH⊥平面PAC∴∠QCH是直线QC与平面PAC所成的角．由(Ⅰ)知，QH=12BO=2√63，取OA中点E，则HE=12PA=2，又EC=12OA+OC=4√33Rt△HEC中，HC2=HE2+EC2=283∴Rt△QHC中，QC=2√3，∴sin∠QCH=QHQC =√23，∴直线QC与平面PAC所成的角的正弦值为√23．解析：方法一、运用空间直角坐标系的坐标法解决．以A为原点，AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，得到向量BD，AC，AP的坐标，运用数量积为0，得到BD⊥AP，BD⊥AC，进而证得(Ⅰ)；再由平面PAC的一个法向量为BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，运用向量的夹角公式，即可得到直线QC与平面PAC所成角的正弦值．方法二、通过平面几何中勾股定理的逆定理，计算得到BD⊥AC，再由线面垂直的性质和判定定理，即可得证(Ⅰ)；连PO，取PO中点H，连QH，由QH⊥平面PAC，得到∠QCH是直线QC与平面PAC 所成的角．再解三角形QCH，即可得到所求值．本题考查空间直线与平面的位置关系，考查线面垂直的判定和性质及运用，考查线面所成的角的求法，考查运算能力，属于中档题．20.答案：解：(1)T n=3S n−2n，n∈N∗.①当n=1时，T1=S1=3S1−2，可得S 1=1，n =2时，S 1+S 2=3S 2−4，解得S 2=52，当n ≥2时，T n−1=3S n−1−2(n −1)，②①−②可得S n =3S n −3S n−1−2，即为S n =32S n−1+1，即有S n +2=32(S n−1+2)，则S n +2=(S 2+2)⋅(32)n−2，可得S n =92⋅(32)n−2−2=3⋅(32)n−1−2，对n =1也成立，则S n =3⋅(32)n−1−2，n ∈N ∗．当n =1时，a 1=S 1=1；当n ≥2时，a n =S n −S n−1=3⋅(32)n−1−2−3⋅(32)n−2+2=(32)n−1，对n =1也成立，则数列{a n }的通项公式为a n =(32)n−1，n ∈N ∗．(2)证明：由(1)得S n =3⋅(32)n−1−2，n ∈N ∗．由于32>1，可得数列{S n }递增，即有S n ≥S 1=1，则S n ≥1，n ∈N ∗．解析：(1)运用数列的递推式：n =1时，a 1=S 1，n >1时，a n =S n −S n−1，以及构造等比数列，由等比数列的通项公式可得，注意n =1的情况是否成立；(2)由(1)可得数列{S n }在n ∈N ∗递增，即可得证．本题考查数列的通项公式的求法，注意数列递推式：n =1时，a 1=S 1，n >1时，a n =S n −S n−1，以及等比数列的定义和通项公式，考查数列不等式的证明，注意运用单调性，考查运算能力，属于中档题．21.答案：解：(1)设曲线E 上的点P(x,y)，由题可知：P 到F(0,1)的距离与到直线y =−1的距离相等， 所以，P 点的轨迹是以F( 0，1)为焦点，y =−1为准线的抛物线，E 的方程为：x 2 =4y ．(2)设：过F 的斜率为k 的直线方程为：y =kx +1①由{y =kx +1x 2=4y消y 可得x 2−4kx −4=0.令A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2) ∴x 1+x 2=4k ………①，x 1x 2=−4………②由题可知：若BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FA⃗⃗⃗⃗⃗ ，即：(−x 2 ,1−y 2 )=3(x 1，y 1−1)，即得：−x 2=3x 1………③ 由①②③消去x 1，x 2得：k 2=13，∴k =±√33， 所求直线l 的方程为：y =±√33x +1． 证明②由题知：y =x 24，y′=12x ，令 A(x 1,14x 12)，A(x 2,14x 22)，设l 1与l 2相交于点Q ． l 1方程为：y −14x 12=12x 1(x −x 1)， l 1方程为：y −14x 22=12x 2(x −x 2)， 相减得：x =x 1+x 22=2k ，代入相加得：2y =k(x 1+x 2)−14(x 12+x 22)=4k 2−14[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]=4k 2−14(16k 2+8)=−2，∴y =−1，∴Q(2k,−1)，∴：l 1、l 2的交点恒在一条定直线y =−1上．解析：(1)由题意可得P 点的轨迹是以F( 0,1)为焦点，y =−1为准线的抛物线，即可求出，(2)①过F 的斜率为k 的直线方程为：y =kx +1，由{y =kx +1x 2=4y消y 可得x 2−4kx −4=0，根据韦达定理和向量的关系即可求出k ，可得直线方程，②根据导数的几何意义求出，切线l 1、l 2的方程，求出交点的坐标即可证明本题考查抛物线的方程和运用，直线和抛物线的位置关系，考查切线的方程的求法，以及二次方程的韦达定理和中点坐标公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22.答案：(1)(−∞,−1)，(3,+∞)；(2)−7．解析：解：(1)函数定义域为R，令解得x<−1或x>3，所以函数的单调递减区间为(−∞,−1)，(3,+∞)；(2)因为在(−1,2)上，所以f(x)在[−1,2]上单调递增，由(1)可知f(x)在[−2,−1]上单调递减，则函数f(x)在x=−1处有极小值f(−1)=−5+a，又f(−2)=8+12−18+a=2+a，f(2)=−8+12+18+a=22+a，因为f(−1)<f(−2)<f(2)，所以f(2)和f(−1)分别是f(x)在区间[−2,2]上的最大值和最小值，于是有22+a=20，得a=−2.故，因此，f(−1)=1+3−9−2=−7．即函数f(x)在区间[−2,2]上的最小值为−7．。

【关键字】试题宁波市2018年高考模拟考试数学试卷说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共5页，满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．参照公式第Ⅰ卷（选择题部分，共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则A．B．C．D．2．已知复数z满足（i为虚数单位），则的虚部为A．B．C．D．3．已知直线、与平面、，，，则下列命题中正确的是A．若，则必有B．若，则必有C．若，则必有D．若，则必有4．使得（）的展开式中含有常数项的最小的为A．B．C．D．5．记为数列的前项和．“任意正整数，均有”是“为递增数列”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6．已知实数，满足不等式组，则的最大值为A. 0B. 2C. 4D. 87．若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格，要求有公共顶点的两个格子颜色不同，则不同的涂色方案数有A．种B．种C．种D．种8．设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于，若，则与的面积之比A．B．C．D．9．已知为正常数，,若存在，满足，则实数的取值范围是A. B. C. D.10．已知均为非负实数，且，则的取值范围为A. B．C．D．第Ⅰ卷（非选择题部分，共110分）二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分．11．双曲线的离心率是Ⅰ ，渐近线方程为Ⅰ ．12．已知直线．若直线与直线平行，则的值为Ⅰ ；动直线被圆截得弦长的最小值为Ⅰ ．13若，则Ⅰ ；Ⅰ ．14．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为的等腰三角形，侧视图为直角三角形，则该三棱锥的表面积为Ⅰ ，该三棱锥的外接球体积为Ⅰ ．15．已知数列与均为等差数列（），且，则Ⅰ ．16．已知实数满足：，.则的最小值为Ⅰ ．17．已知棱长为的正方体中，为侧面中心，在棱上运动，正方体表面上有一点满足，则所有满足条件的点构成图形的面积为Ⅰ ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本题满分14分）已知函数.（Ⅰ）求函数的单调递增区间； （Ⅰ）在中，角、、的对边分别为、、，若满足，，且是的中点，是直线上的动点，求的最小值． 19．（本题满分15分）如图，四边形为梯形，点在线段上，满足,且，现将沿翻折到位置，使得． （Ⅰ）证明：AE MB ⊥;（Ⅱ）求直线CM 与面AME 所成角的正弦值．20．（本题满分15分）已知函数1()ln f x a x x x=+-，其中a 为实常数．（Ｉ）若12x=是()f x 的极大值点，求(f x ）的极小值； （Ⅱ）若不等式1ln a x b x x -≤-对任意502a -≤≤，122x ≤≤ 恒成立，求b 的最小值．21．（本题满分15分）如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，点(2,1)M -是椭圆内一点，过点M 作两条斜率存在且互相垂直的动直线12,l l ，设1l 与椭圆C 相交于点,A B ，2l 与椭圆C 相交于点,D E ．当M 恰好为线段AB的中点时，AB =C DC（第19题图）（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求AD EB ⋅的最小值． 22. （本题满分15分）三个数列{}{},{}n n n a b c ，，满足11110a =-，11b =，1n a +=，121n n b b +=+，,*n n b c a N n =∈．（Ⅰ）证明：当2n ≥时，1n a >；（Ⅱ）是否存在集合[,]a b ，使得[,]n c a b ∈对任意*n N ∈成立，若存在，求出b a -的最小值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求证：232311226(*,2)22nn n nc n N n c c c +++≤+-∈+≥+． 宁波市2018年高考模拟考试数学参考答案第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D 2．C 3．C 4．B 5．A 6．C 7．C 8．D 9．D10．A 9．()f x 关于直线x a =对称，且在[,)a +∞上为增函数．所以sin cos sin()224a πθθθ+==+ ．（第21题图）因为(,)42θππ∈ ，3(,)424ππθπ∈+．所以2sin(12()2)242a πθ∈=+，． 10．简解：1()2x y z -+=，则试题等价于21x y z ++=，满足,,0x y z ≥，求2224()x y z ++的取值范围．设点1(0,0,)2A ，(1,0,0)B ，(0,1,0)C ，点(,,)P x y z 可视为长方体的一个三角截面ABC 上的一个点，则2222||OP x y z =++，于是问题可以转化为||OP 的取值范围．显然||1OP ≤，||OP 的最小值为O 到平面ABC 的距离，可以利用等积法计算．因为O ABC A OBC V V --=，于是可以得到1||6OP ≥．所以21||[,1]6OP ∈，即2224[]x y z ++2[,4]3∈．另解：因为,0x y ≥，所以2222()()2x y x y x y +≤+≤+ 令tx y =+，则01t ≤≤ ．22222244(1)4(1)5214x y x y t t t t ++--≤+-=-+≤．当0xy =且1t=，即0,1x y ==或1,0x y ==时取等号；另一方面，222222244(1)2(1)3213x y x y t t t t ++--≥+-=-+≥ 当16x y ==时取等号．所以222244(1)[,4]3x y x y ++--∈．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分． 11．2，y = 12．1-， 13．0；5214．4+15．221-+n 16．6 17．11816．简解：不妨设a 是,,a b c 中的最小者，即,a b a c ≤≤，由题设知0a <，且2b c a +=--，4bc a-=. 于是,b c 是一元二次方程24(2)0x a x a++-=的两实根， 24(2)40a a∆=++⨯≥， 3244160a a a +++≤，2(4)(4)0a a ++≤, 所以4a ≤-.又当4a =-,1b c ==时，满足题意. 故,,a b c 中最小者的最大值为4-.因为,,0a b c <，所以,,a b c 为全小于0或一负二正.1） 若,,a b c 为全小于0，则由（1）知，,,a b c 中的最小者不大于4-，这与2a b c ++=-矛盾.2）若,,a b c 为一负二正，设0,0,0a b c <>>，则 当4a =-,1b c ==时，满足题设条件且使得不等式等号成立． 故c b a ++的最小值为6.17．答：118．NDC 11B 1D 1A构成的图形，如图所示．记BC 中点为N ，所求图形为直角梯形ABND 、BNE ∆、1D AD ∆．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分） 解答：（Ⅰ）31()4cos (sin cos )122f x x x x =-- 3sin 2cos222sin(2)26x x x π=--=--……………………4分由于222,262k x k k Z πππππ-+<-<+∈，所以()f x 增区间为,,63k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭．……………………6分（Ⅱ）由()2sin(2)206f B B π=--=得262B ππ-=，所以3π=B . …………8分作C 关于AB 的对称点'C , 连B C P C D C ''',,，……………………12分……………………14分19．（本题满分15分）解答：（Ⅰ）方法一：连BD 交AE 于N ，由条件易算43BD =∴BC BD ⊥ ··········2分 又//BC AE ∴AE BD ⊥ ··········4分 从而,AE A BN M E N ⊥⊥ 所以AEMNB ⊥平面 ··········6分∴AE MB ⊥ ··········7分方法二：由2,2,6====MC CE DE ME ，得222MC CE ME =+ ,故CE ME⊥，又CE BE ⊥ ，所以CE BEM ⊥平面 ，……………………2分所以CE BM ⊥， ……………………3分 可得BM AB ⊥，计算得62,72===MB AM AD ,从而222BE MB ME +=,BM BE ⊥ ……………………5分⊥MB 平面ABE ，所以AE MB ⊥. ……………………7分（Ⅱ）方法一：设直线CM 与面AME 所成角为θ， 则sin hMCθ=，其中h 为C 到AME 面的距离. …………………9分 ∵AE BC ∥ ∴C 到AME 面的距离即B 到AME 面的距离. 由1133M ABEABE B AME AEM V S BM V S h -∆-∆===．…………………12分所以ABE AEM S BM h S ∆∆==∴sin h MC θ== . ……………………………………………15分C DC（第19题图）方法二：由MB ABCE ⊥面，如图建系， 则(0,2,26),(23,2,0),AM AE =-=- 设平面AME 的法向量为(,,)m x y z =，由00m AM m AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可取 (2,m =，…………………………12分15sin cos ,15m MC m MC m MCθ⋅=<⋅∴>==．.………………………15分 20．（本题满分15分）解答：（Ｉ）221()x ax f x x++'=， 因为0x >． 由1'()02f =，得211()1022a ++= ，所以52a =- ,…………3分此时51()ln 2f x x x x=-+-． 则222511(2)()22'()x x x x f x x x -+--==． 所以()f x 在1[,2]2上为减函数，在[2,)+∞上为增函数．…………5分所以2x =为极小值点，极小值35ln 2(2)22f =-．.…………6分 （Ⅱ）不等式1ln a x b x x-≤-即为()f x b ≤． 所以max ()b f x ≥． ……………………………8分C（第21题图）ⅰ）若12x ≤≤，则ln 0x ≥，1113()ln 222f x a x x x x x =+-≤-≤-=．当0,2a x ==时取等号； ……………………………10分ⅱ）若112x ≤<，则ln 0x <，151()ln ln 2f x a x x x x x x =+-≤-+-．由（Ｉ）可知51()ln 2g x x x x =-+-在1[,1]2上为减函数．所以当112x ≤≤时，153()()ln 2222g x g ≤=-． ……………………13分因为53533ln 2122222-<-=<．所以max 3(2f x )=于是min 32b =． ……………………15分21．（本题满分15分）解答：（Ⅰ）由题意设224a b =， …………………2分即椭圆2222:14x y C b b+=，设1122(,),(,),A x y B x y由22211222224444x y b x y b⎧+=⎨+=⎩作差得， 又∵(2,1)M -,即12124,2x x y y +=-+=，∴AB 斜率121212y y k x x -==-．…………………………4分由222214122x y b b y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩．消x 得，224820xx b ++-=．则12AB x =-== 解得23b =，于是椭圆C 的方程为：221123x y +=．…………………6分 （Ⅱ）设直线:(2)1AB y k x =++, 由221123(2)1x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=++⎩消x 得， 222(14)8(21)4(21)120k x k k x k +++++-=．于是21212228(21)4(21)12,1414k k k x x x x k k -++-+=⋅=++．………………8分∵2112212(2,1)(2,1)(1)(2)(2)x y x y k x x ---⋅+-=-+++22121224(1)(1)[42()]14k k x x x x k+=-++++=+． …………………13分 同理可得2443324(1)(2,1)(2,1)4k x y x y k +---⋅+-=+．∴22222221120(1)4(1)()144(14)(4)k AD EB k k k k k +⋅=++=++++，2222220(1)161445()2k k k +≥=+++, 当1k =±时取等号． 综上，AD EB ⋅的最小值为165． …………………15分 22. （本题满分15分）解答：（Ⅰ）下面用数学归纳法证明：当2n ≥时，1n a >．ⅰ）当2n =时，由11110a =-，1n a +=，得252=a ，显然成立； ⅱ）假设n k =时命题成立，即1k a >．则1n k =+时，1k a +=．于是11k a +-=因为22(3)4(1)0k k a a --=->． 所以11k a +>，这就是说1n k =+时命题成立． 由ⅰ）ⅱ）可知，当2n ≥时，1n a >．…………………3分（Ⅱ）由1121,1n n b b b +=+=，得112(1)n n b b ++=+，所以12nn b +=，从而21n n b =-． ………………5分由（Ⅰ）知，当2n ≥时，1n a >，所以，当2n ≥时，1n n a a +-=．因为2225(1)4(1)0n n n n a a a a -+-+=-<，所以1n n a a +<．综上，当2n ≥时，11n n a a +<<． ………………7分由11110a =-，1()*)(n n a f a n N +∈=，所以111110c a ==- ，235,22a a == 所以12331,1c c a c <=>>>，又11223115,,2102c a a c a ==-===．从而存在集合[,]a b ，使得[,]n c a b ∈对任意*n N ∈成立，当231112,10b c a a c =====-时,b a -的最小值为213110c c -=．……9分（Ⅲ）当2n ≥时，1n a >， 所以21111n n n n a a a a ++++-=即21111n n n n a a a a +++=+- ， 也即1111n n n a a a ++-=-，…………11分 1112111()(n n n n n b b b b b a a a ++++=--+++）22nnnc ≤-． 即122nn n n nc c c +≤+-(2)n ≥,． 于是11112122i 2(2)2426inni n n i i n n i i c c c c c c +++++==≤+-=-+-=+-∑∑．故232311226(*,2)22nn n nc n N n c c c +++≤+-∈+≥+．.……………15分此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。