届南京市高三暑期讲座四——解析几何复习建议(周德)PPT课件

立体几何二轮复习建议《课程标准》中的“立体几何初步”主要是培养和发展学生的空间想象能力与几何直观能力，《考试说明》也明确指出要“重视数学基本能力和综合能力的考查”，“数学基本能力主要包括空间想象，抽象概括，推理论证，计算求解，数据处理这几方面的能力”，因此，立体几何历年都是高考重点内容之一．2022年各地高考，多数是一大一小两道立体几何题，有的是一大两小，江苏卷是正题和附加题各一道大题．最近五年江苏高考中的立体几何题的基本情况如下表：1C 1C 1C 1C 1C 1C 1C 1C 1C 1C 1C 1C 在线段AB 上，且满足AM ＝2试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE ．说明：以多面体为载体，考查线线、线面、面面平行与垂直的判定与性质，是高考的常见题型．此类题既可以考查几何体的概念和性质，又能考查空间的线面关系，还有可以结合一些简单的运算，比较全面地考查学生的能力．本题中非常规放置的几何体及探究式的第3问，增加了难度．基本策略：行与垂直的位置关系，一要熟练掌握所有判定定理与性质B定理，梳理好几种位置关系的常见证明方法，如证明线面平行，既可以构造线线平行，也可以构造面面平行．而证明线线平行常用的是三角形中位线性质，或构造平行四边形；二要用分析与综合相结合的方法来寻找证明的思路；三要注意表述规范，推理严谨，避免使用一些虽然正确但不能作为推理依据的结论．有条件时，可以适当涉及一些简单的计算，或是添加探究性的小问，或是在图形上作一点变化，但一定要控制难度，且最终的落脚点一定是平行与垂直．11年三模第16题：如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝4，E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，现将△ADE 沿DE 折起，得四棱锥A -BCDE ．（1） 求证：EF ∥平面ABC ；（2） 若平面ADE ⊥平面BCDE ，求四面体FDCE 的体积．基本题型四：运用空间向量证明与计算（理科附加题）例8．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝DC ，E 是PC 的中点，F 是PB 上一点，且EF ⊥PB ．1 求证：PA ∥平面EDB ；2 求证：PB ⊥平面EFD ；3 求二面角C -PB -D 的余弦值大小．说明：立体几何所讨论的问题主要有两类：一类是位置关系，判断线线、线面、面面平行或垂直关系；另一类是度量关系，求长度和角度．运用向量的方法是讨论这两类问题的通性通法．在本例中，可以利用几何体中的两两垂直的三条直线合理建立空间直角坐标系，用坐标表示有关向量，运用“算”的方法证明空间中的平行与垂直、计算二面角大小，也可以不建系，选三个不共线的向量组成基底，用来表示其它向量，再用“算”的方法证明平行与垂直、计算二面角大小．例9．如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的BEAFDCD平面互相垂直，AB＝错误!，AF＝1．（1）求二面角A—DF—B的大小；（2）在线段AC上找一点P，使PF与AD所成的角为600．说明：本类题主要考查寻找三条两两垂直的三条直线合理建立空间直角坐标系，通过向量计算解决空间中的夹角问题（包括线线角、线面角与二面角）的能力，是高考的常见题型．基本策略：空间向量的基础知识可以类比于《必修4》中平面向量的相关知识进行整理与记忆；通过建立适当的坐标系，用向量来表示点，刻画直线和平面的“方向”；理解用向量判定空间位置关系、求角的原理，并掌握一般解题步骤，其中，线线角、线面角与二面角是本类题型中的重点考查对象，应加强训练．此外，在计算平面的法向量、探究点的位置等问题中，要善于运用“待定系数法”合理设出坐标，寻找满足条件的方程（组）来解决问题．二轮专题与课时建议：。

解析几何二轮复习建议引入坐标系，使点与坐标，曲线与方程联系起来的坐标方法对于数学发展起了巨大的作用。

用坐标法研究曲线（几何图形），实际上要解决两个问题：第一是由曲线（几何图形）求方程；第二是利用方程讨论曲线（几何图形）的性质。

由曲线求方程，要解决如何将曲线上的点所满足的条件转化为曲线上点的坐标所适合的方程；在解析几何里，所讨论的曲线的性质通常包括：曲线的范围，曲线的对称性，曲线的截距，以及不同曲线所具有的一些特殊性质，例如过定点，过定线，最值等一些不变（量）性。

用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题，问题的大小、深浅差别很大。

坐标法是借助坐标系，以代数中数与式、方程的知识为基础来研究几何问题的一种数学方法。

因此，要有一定的代数知识基础，特别是代数式变形和解方程组的能力要求较高。

以下解析几何二轮复习建议，仅供参考。

基本题型一：求基本量1．直线的几何量主要是斜率、倾斜角、截距；圆的几何量主要是圆心、半径。

这些量主要通过两直线的平行与垂直、线性规划、直线与圆的位置关系等进行综合，作为题中的一个点出现．2．圆锥曲线的几何量主要包括轴、轴长、顶点、焦距、焦点、准线、渐近线、离心率。

在已知方程求有关量时，首先是把方程化为标准方程，找准a ，b ，c ，p 的值，二是记准相应量的计算公式．在已知图形中求有关量时，要明确各个量的几何意义和图形中的特征求方程或不等式求几何量．例1．直线l ：3x －y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－2x －2＝0相切，则直线l 在x 轴上的截距_____． 解：因为⊙C 方程可化为(x －1)2＋y 2＝(3)2，所以圆心C (1，0)，半径r ＝3，因为直线l 与圆C 相切，直线C 到l 的距离等于r ，即∣3⋅1－1⋅0＋m ∣2＝3，解得m ＝－33或3．当m ＝3时，直线l 方程为3x －y ＋3＝0，在x 轴上的截距为－1； 当m ＝－33，直线l 方程为3x －y ＋－33＝0，在x 轴上的截距为3．例2．(2008天津）设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1＝1(m ＞1)上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 到右准线的距离为___________解：根据椭圆定义得2a ＝1＋3，a ＝2，即m ＝2，b ＝m 2－1＝3，c ＝1，e ＝c a ＝12，根据第二定义得P 到右准线距离为2．例3．（2007安徽）如图，F 1和F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，A 和B是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为___________．解法一：不妨设OF 2＝1，因为OF 1＝OF 2＝OA ， 所以△AF 1F 2为直角三角形．所以AF 1＝1．所以2a ＝AF 2－AF 1＝3－1,又2c ＝2，所以e ＝ca＝3＋解法二：连接OA ，由△ABF 2为等边三角形，可得A 点的坐标为(－12c ，32c )． 因为A 在双曲线上，所以(－12c )2a 2－(32c )2b 2＝1，即14e 2－34e 2e 2－1＝1，去分母整理得e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝4±23，e ＝3±1．因为e ＞1，所以e ＝3＋1．例4．（2008四川）已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK ＝2AF ，则△AFK 的面积为____________．解：如图，过A 作AH ⊥l ，垂足为H ，由抛物线的定义可知，AF ＝AH ，又AK ＝2AF ，所以AK ＝2AH ，因为∠AHK ＝90︒，所以∠AKH ＝45︒，所以KH ＝AH ＝y A ．所以AF ＝y A ．即AF ⊥x 轴． 所以AF ＝FK ＝4，S △AFK ＝8．例5．（2010四川）椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 ．分析：由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，即F 点到P 点与A 点的距离相等，FA PF =。

解析几何二轮复习建议一、高考地位与考查要求：解析几何的本质是用坐标法研究问题，即用代数方法研究图形的几何性质．通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程等联系起来，沟通了几何与代数之间的联系，体现了数形结合的重要数学思想．由于解析几何既能够突出数学基础知识和基本技能的考查，也能体现数学基本能力，如推理论证、运算求解等能力的综合考查，因此成为每年高考的重要考查内容．经统计，2011年全国各地高考18套试题的必做题中（每套试题含文理卷各1份），解析几何的小题文科卷共有29道，理科卷共有28道，解答题文科卷与理科卷都有18道，部分试题还含有“坐标系与参数方程”的选做题，由此可见解析几何在高考中的重要地位．当然，解析几何在江苏高考中的地位已随着新课改较以前有所变化，考查的方向与其它地区也有所不同．2012年江苏省高考《考试说明》具体考查要求如下：不难发现，必做题部分含A级点3个，B级点6个，C级点2个；附加题部分含A级点2个，B级点7个．结合考查要求分析2012年对解析几何的考查，填空题可能还会以考查基础知识为主，曲线的基本量、方程与位置关系等知识是重点内容；解答题与近几年高考一样，除了兼顾基础知识与基本技能外，一般会突出对综合运用能力的考查，定点、定值问题与最值、范围问题应该是热点．另外，在理科附加题中极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化无疑也是主要考查内容．二、基本题型与基本策略：基本题型一：求曲线的基本量例1．（2011湖北卷文）过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为 ．说明：本题主要考查直线与圆的相关基本量，如斜率、半径和弦长等．例2．（2011辽宁卷理）已知点(2，3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为 ．说明：本题主要考查双曲线的焦距与离心率等基本量的运算． 例3．（2011江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M ，N 分别是椭圆x 24＋y 22＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P ，A 两点，其中点P 在第一象限．过P 作x 轴的垂线，垂足为C ．连结AC ，并延长交椭圆于点B ．设直线PA 的斜率为k ．（1）若直线PA 平分线段MN ，求k 的值； （2）当k ＝2时，求点P 到直线AB 的距离d ．说明：本题主要考查椭圆与直线中的相关基本量，如顶点、斜率、点到直线的距离等，考查运算求解能力．基本策略：直线的基本量有倾斜角、斜率与截距等；圆的基本量主要是圆心与半径；圆锥曲线的基本量主要有轴长、焦距、准线、渐近线与离心率等．在已知曲线方程求基本量时，首先要将方程化为标准方程，找准参数的值，记准基本量的计算公式；在已知图形中求基本量时，要明确各个量的几何意义，抓住图形特征建构方程或不等式进行求解．基本题型二：求曲线的方程例4．（2011辽宁卷文）已知圆C 经过A (5，1)，B (1，3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为 ．说明：本题主要考查求圆的方程． 例5．（2011新课标全国卷理）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22．过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为 ．说明：本题主要考查椭圆的定义、基本量以及求椭圆的方程． 例6．（2011南京市一模）在直角坐标系xOy 中，中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C上的点(22，1)到两焦点的距离之和为43． （1）求椭圆C 的方程； （2）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴下方，且AF →＝3FB →．求过O ，A ，B 三点的圆的方程．说明：本题主要考查求椭圆与圆的方程，考查运算求解能力． 基本策略：用坐标法研究曲线，实际上要解决两大问题，其一就是要赋予曲线以方程．求曲线的方程，即是将曲线上的点所满足的几何条件转化为点的坐标所满足的代数条件，基本方法有直接法与待定系数法．用直接法求方程，要注意准确求解基本量；用待定系数法求方程，要注意方程形式的选择和解方程组时代数变形的等价转化．基本题型三：研究曲线的位置关系例7．（2010江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是 ．说明：本题主要考查直线与圆的位置关系． 例8．（2012南京市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A 为椭圆x 29＋2y 29＝1的右顶点，点D (1，0)，点P ，B 在椭圆上，BP →＝DA →．（1）求直线BD 的方程；（2）求直线BD 被过P ，A ，B 三点的圆C 截得的弦长； （3）是否存在分别以PB ，PA 为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．说明：本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，考查运算求解与推理论证能力．例9．（2011江苏卷）同例3．（3）对任意的k ＞0，求证：PA ⊥PB ． 说明：本题主要考查直线的垂直关系以及直线与椭圆的相交位置关系，考查运算求解与推理论证能力．基本策略：曲线的位置关系主要包括直线与直线、直线与圆、圆与圆以及简单的直线与圆锥曲线的位置关系．这里的问题一是位置关系的判断，二是特定位置关系下基本量的求解，如交点坐标、弦长等．一般而言，涉及到直线、圆的位置关系常用几何法，即通过几何基本量进行运算，而涉及到圆锥曲线的位置关系常用代数法，即需联立方程组进行求解．基本题型四：研究曲线的性质例10．（2010江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆x 29＋y 25＝1的左、右顶点为A ，B ，右焦点为F ．设过点T (t ，m )的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中m ＞0，y 1＞0，y 2＜0．（1）设动点P 满足PF 2－PB 2＝4，求点P 的轨迹；（2）设x 1＝2，x 2＝13，求点T 的坐标；（3）设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）．说明：本题主要考查求简单曲线的方程，直线与椭圆的综合问题，考查运算求解与推理论证能力．例11．（2011苏北四市一模），如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点P (1，32)，其左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率e ＝12，M ，N 是椭圆右准线上的两个动点，且F 1M →·F 2N →＝0．（1）求椭圆的方程； （2）求MN 的最小值； （3）以MN 为直径的圆C 是否过定点？请证明你的结论． 说明：本题主要考查圆与椭圆的方程及综合问题，考查运算求解与推理论证能力． 基本策略：用坐标法研究曲线的问题，其二就是利用方程研究曲线的性质．曲线的性质包括曲线的对称性、变量的取值范围以及某些曲线具有的特殊性质，如定点、定值、最值等一些不变性．解决定点、定值问题主要有两类方法，一是先通过特殊位置得出定点或定值，然后证明在一般情况下也成立；二是把所要证明为定点或定值的量表示为另外几个变量的函数或方程，然后通过化简变形，证明结果与变量无关．解决最值、范围问题主要通过寻找所求量的不等式或不等式组并加以求解，或通过构造所求量的函数，然后研究此函数的值域即可．基本题型五：坐标系与参数方程（附加题）例12．（2010江苏卷）在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．说明：本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化．例13．（2011江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ（φ为参数）的右焦点，且与直线⎩⎨⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t（t 为参数）平行的直线的普通方程．说明：本题主要考查参数方程与普通方程的互化．基本策略：选修“坐标系与参数方程”的核心是两类互化，即极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化，特别是将极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程．通过互化，将问题化归为直角坐标系下的普通方程是常见处理方法．此外，还需熟悉几类简单曲线的极坐标方程以及直线、圆与椭圆的参数方程，并会简单应用圆、椭圆的参数方程解决一些最值、范围问题．三、二轮专题与课时建议：。