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第3讲 分式重难点 分式的运算 (2017·邵阳T 21，8分)先化简：x 2x ＋3·x 2－9x 2－2x ＋x x －2，再在－3，－1，0，2，2中选择一个合适的x 值代入求值．解：原式＝x 2x ＋3·（x ＋3）（x －3）x （x －2）＋x x －23分 ＝x （x －3）x －2＋x x －2 ＝x （x －2）x －2 ＝x. 6分当x ＝－1时，原式＝－1.或当x ＝2时，原式＝ 2. 8分【变式训练1】 (2018·北京)如果a －b ＝23，那么代数式(a 2＋b 22a －b)·a a －b的值为(A ) A . 3 B ．2 3 C ．3 3 D ．4 3【变式训练2】 (2018·滨州)先化简，再求值：(xy 2＋x 2y)·x x 2＋2xy ＋y 2÷x 2y x 2－y 2，其中x ＝π0－(12)－1，y ＝2sin 45°－8.解：原式＝xy(x ＋y)·x （x ＋y ）2·（x ＋y ）（x －y ）x 2y＝x －y. 当x ＝1－2＝－1，y ＝2－22＝－2时，原式＝2－1.方法指导1．通分时，先把分母可以分解因式的多项式分解因式再找最简公分母；约分时，也要先把可以分解因式的多项式分解因式再约分．2．在代入求值时，选择的数尽量让计算简单，降低错误率．易错提示1．分式运算的结果要化成最简分式．2．乘方时一定要先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负．3．若需选择合适的值代入，需注意：所取字母的值不仅要让化简后的分式有意义，还需让原分式有意义(如：除式的分子也不能为零)．考点1 分式的概念1．(2018·武汉)若分式1x ＋2在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是(D ) A ．x ＞－2 B ．x ＜－2 C ．x ＝－2 D ．x≠－22．(2018·金华)若分式x －3x ＋3的值为0，则x 的值为(A )A ．3B ．－3C ．3或－3D ．0 3．下列分式中，最简分式是(A ) A .x 2－1x 2＋1 B .x ＋1x 2－1 C .x 2－2xy ＋y 2x 2－xy D .x 2－362x ＋124．(2018·滨州)若分式x 2－9x －3的值为0，则x 的值为－3． 5．(2018·湖州)当x ＝1时，分式x x ＋2的值是13． 6．(2018·贵港)若分式2x ＋1的值不存在，则x 的值为－1．考点2 分式的基本性质7．分式－11－x 可变形为(D ) A ．－1x －1 B .11＋x C ．－11＋x D .1x －18．(2018·莱芜)若x ，y 的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是(D ) A .2＋x x －y B .2y x 2 C .2y 33x 2 D .2y 2（x －y ）2考点3 分式的运算9．(2018·台州)计算x ＋1x －1x，结果正确的是(A ) A ．1 B ．x C .1x D .x ＋2x10．(2018·淄博)化简a 2a －1－1－2a 1－a的结果为(B ) A .a ＋1a －1B ．a －1C ．aD ．1 11．(2018·苏州)计算(1＋1x )÷x 2＋2x ＋1x的结果是(B ) A ．x ＋1 B .1x ＋1 C .x x ＋1 D .x ＋1x12．(2018·河北)老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是(D )A ．只有乙B ．甲和丁C ．乙和丙D ．乙和丁13．(2018·孝感)已知x ＋y ＝43，x －y ＝3，则式子(x －y ＋4xy x －y )(x ＋y －4xy x ＋y)的值是(D ) A ．48 B ．123 C ．16D ．12 14．(2018·襄阳)计算5x ＋3y x 2－y 2－2x x 2－y 2的结果是3x －y． 15．(2018·包头)化简：x 2－4x ＋4x 2＋2x ÷(4x ＋2－1)＝－x －2x．16．(2018·大庆)已知3x－4（x－1）（x－2）＝Ax－1＋Bx－2，则实数A＝1．17．(2018·黄石)先化简，再求值：x2－1x3÷x＋1x，其中x＝sin60°.解：原式＝（x＋1）（x－1）x3·xx＋1＝x－1x2.当x＝sin60°＝32时，原式＝32－1（32）2＝23－43.18．(2018·盐城)先化简，再求值：(1－1x＋1)÷xx2－1，其中x＝2＋1.解：当x＝2＋1时，原式＝xx＋1·（x＋1）（x－1）x＝x－1＝ 2.19．(2018·遂宁)先化简，再求值：x2－y2x2－2xy＋y2·xyx2＋xy＋xx－y.(其中x＝1，y＝2) 解：当x＝1，y＝2时，原式＝（x＋y）（x－y）（x－y）2·xyx（x＋y）＋xx－y＝yx－y＋xx－y＝x＋yx－y＝－3.20．(2018·云南)已知x＋1x＝6，则x2＋1x2＝(C)A．38 B．36 C．34 D．32 21．(2018·内江)已知：1a－1b＝13，则abb－a的值是(C)A.13B．－13C．3 D．－3 22．(2018·眉山)先化简，再求值：(x－1x－x－2x＋1)÷2x2－xx2＋2x＋1，其中x满足x2－2x－2＝0.解：原式＝[x2－1x（x＋1）－x2－2xx（x＋1）]÷x（2x－1）（x＋1）2＝2x －1x （x ＋1）·（x ＋1）2x （2x －1）＝x ＋1x2. ∵x 2－2x －2＝0，∴x 2＝2x ＋2＝2(x ＋1)．∴原式＝x ＋12（x ＋1）＝12.23．(2018·遵义)化简分式：(a 2－3a a 2－6a ＋9＋23－a )÷a －2a 2－9，并在2，3，4，5这四个数中取一个合适的数作为a 的值代入求值．解：原式＝[a （a －3）（a －3）2－2a －3]÷a －2（a ＋3）（a －3）＝(a a －3－2a －3)·（a ＋3）（a －3）a －2＝a －2a －3·（a ＋3）（a －3）a －2＝a ＋3.∵a≠－3，2，3，∴a＝4或a ＝5.∴当a ＝4时，原式＝7；当a ＝5时，原式＝8.。
课时训练(三)分式(限时:30分钟)|夯实基础|1.[2019·某某]分式13-x 可变形为 ()A .13+x B .-13+x C .1x -3D .-1x -32.[2019·聊城]如果分式|x |-1x +1的值为0,那么x 的值为 () A .-1B .1 C .-1或1D .1或03.[2019·某某]计算1x ÷-1x 2的结果为 () A .a B .-a C .-1x 3D .1x 34.如果把分式x +2xx +x中的x ,y 都扩大到原来的2倍,则分式的值 ()A .扩大到原来的2倍B .缩小到原来的12 C .是原来的23D .不变 5.[2019·某某]化简:x 2+1x +1−2x +1= ()A .a -1B .a +1C .x -1x +1D .1x +16.一项工程,甲单独干,完成需要a 天,乙单独干,完成需要b 天,若甲、乙合作,完成这项工程所需的天数是 ()A .xx x +xB .1x +1 C .x +xxxD .ab (a +b ) 7.如果x 2=x 3=x4≠0,那么x +x +xx +x -x 的值是 ()A .7B .8C .9D .108.[2018·某某]已知1x −1x =3,则代数式2x +3xx -2xx -xx -x的值是 ()A .-72B .-112C .92D .349.[2019·某某]如图K3-1,若x 为正整数,则表示(x +2)2x 2+4x +4−1x +1的值的点落在 ()图K3-1A.段①B.段②C.段③D.段④10.[2019·某某]若分式12x-1有意义,则x的取值X围是.11.[2019·某某]化简2xx-1−x1-x的结果是.12.[2019·某某]化简:2x2-8x+2-a=.13.若a,b互为倒数,则代数式x2+2xx+x2x+x ÷1x+1x的值为.14.计算:(1)1-2x-1÷x-3x2-1;(2)x2-x2xx−xx-x2xx-x2.15.若x2=x3=x-5≠0,求2x+x+3x2x的值.16.[2019·某某]先化简,再选一个合适的数代入求值:x-1x2+x −x-3x2-1÷2x2+x+1x2-x-1.17.[2019·某某]先化简,再求值:x -3x 2+6x +9÷1-6x +3,其中x=√2-3.18.[2019·某某]先化简,再求值:x 2-4x 2-4x +4−12-x ÷2x 2-2x .其中a 满足a 2+3a -2=0.|拓展提升|19.[2019·某某]已知二元一次方程组{x +x =1,2x +4x =9,则x 2-2xx +x 2x 2-x 2的值是()A .-5B .5C .-6D .620.[2019·达州]a 是不为1的有理数,我们把11-x称为a 的差倒数,如2的差倒数为11-2=-1,-1的差倒数为11-(-1)=12,已知a 1=5,a 2是a 1的差倒数,a 3是a 2的差倒数,a 4是a 3的差倒数,以此类推,a 2019的值是 ()A .5B .-14C .43D .4521.[2019·滨州]先化简,再求值:x 2x -1−x 2x 2-1÷x 2-xx 2-2x +1,其中x 是不等式组{x -3(x -2)≤4,2x -33<5-x 2的整数解.22.[2019·某某]先化简,再求值:x 2-2x +1x 2-4÷x -1x -2+1x +2,其中a=|-1-√3|-tan60°+12-1.【参考答案】1.D2.B3.B4.D5.A[解析]x 2+1x +1−2x +1=x 2-1x +1=a -1.6.A[解析] 工作时间=工作总量÷工作效率.甲、乙一天的工作效率分别为1x ,1x ,则合作的工作效率为1x +1x ,合作所需天数为11x +1x=xxx +x .7.C[解析] ∵x 2=x 3=x 4≠0,∴可设x 2=x 3=x4=m (m ≠0),则x=2m ,y=3m ,z=4m , ∴x +x +x x +x -x =2x +3x +4x 2x +3x -4x =9xx =9.8.D[解析] ∵1x−1x =3,y -x=3xy ,∴x -y=-3xy ,∴原式=2(x -x )+3xx (x -x )-xx=-6xx +3xx -3xx -xx =-3xx -4xx =34,故选D .9.B[解析] (x +2)2x 2+4x +4−1x +1=(x +2)2(x +2)2−1x +1=1-1x +1,根据x 为正整数,类比反比例函数y=-x 2+1x的性质,可得-12≤-1x +1<0,∴12≤1-1x +1<1, ∴表示(x +2)2x 2+4x +4−1x +1的值的点落在段②.10.x ≠12 11.3xx -112.a -4[解析]原式=2(x 2-4)x +2-a=2(x +2)(x -2)x +2-a=2a -4-a=a -4.13.1[解析]x 2+2xx +x 2x +x ÷1x +1x=(a +b )·xxx +x =ab ,∵a ,b 互为倒数,∴ab=1,∴原式=1.14.解:(1)原式=x +1.(2)原式=xx .15.解:设x 2=x 3=x-5=k (k ≠0),则x=2k ,y=3k ,z=-5k ,所以2x +x +3x 2x=2×2x +3x +3×(-5x )2×2x =-8x4x =-2.16.解:原式=(x -1)2x (x +1)(x -1)−x (x -3)x (x +1)(x -1)÷2x 2+x +1-x 2+xx 2-x=x +1x (x +1)(x -1)·x (x -1)(x +1)2=1(x +1)2.取x=3代入1(x +1)2中,得原式=1(3+1)2=116.17.解:原式=x -3(x +3)2÷x -3x +3=x -3(x +3)2·x +3x -3=1x +3, 当x=√2-3时,原式=√2-3+3=√2=√22. 18.解:x 2-4x 2-4x +4−12-x÷2x 2-2x=[(x -2)(x +2)(x -2)2+1x -2]·x (x -2)2=x +2x -2+1x -2·x (x -2)2=x +3x -2·x (x -2)2=x (x +3)2=x 2+3x2, ∵a 2+3a -2=0, ∴a 2+3a=2, ∴原式=22=1.19.C[解析]解方程组得{x =-52,x =72,所以x -y=-6,所以原式=(x -x )2(x +x )(x -x )=x -xx +x=-6,因此本题选C .20.D[解析]∵a 1=5,a 2是a 1的差倒数, ∴a 2=11-5=-14,∵a 3是a 2的差倒数,a 4是a 3的差倒数, ∴a 3=11-(-14)=45,∴a 4=11-45=5,根据规律可得a n 以5,-14,45为周期进行循环, ∵2019=673×3,∴a 2019=45.21.解:原式=[x 3+x 2(x +1)(x -1)-x 2(x +1)(x -1)]·(x -1)2x (x -1)=x 3(x +1)(x -1)·(x -1)2x (x -1)=x 2x +1,解不等式组,得1≤x<3, 则不等式组的整数解为1,2. 当x=1时,原式无意义; 当x=2时,原式=43.22.解:x 2-2x +1x 2-4÷x -1x -2+1x +2=(x -1)2(x +2)(x -2)·x -2x -1+1x +2=x -1x +2+1x +2=xx +2,当a=|-1-√3|-tan60°+12-1=√3+1-√3+2=3时,原式=33+2=35.。
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……课时训练(三) 分式夯实基础1.[2018·绵阳] 等式=成立的x的取值范围在数轴上可表示为()图K3-12.[2017·宜昌] 计算的结果为()A.1B.C.D.03.[2018·南充] 已知-=3,则代数式的值是()A.-B.-C.D.4.下列运算结果为x-1的是()A.1-B.·C.÷D.5.[2016·衢州] 当x=6时,分式的值等于.6.观察下列一组数:,1,,,,…,它们是按一定规律排列的,那么这组数的第n个数是(n为正整数).7.[2017·包头] 化简:÷-1·a= .8.某班a名同学参加植树活动,其中男生b名(b<a),若只由男生完成,每人需植树15棵,若只由女生完成,则每人需植树棵.9.观察规律并填空:1-=×=;(1-)(1-)=×××=×=;(1-)(1-)(1-)=×××××=×=;(1-1-)(1-1-=×××××××=×=;……(1-)(1-)(1-)·…·(1-)= (用含n的代数式表示,n是正整数,且n≥2).10.(1)化简:·.(2)[2018·盐城] 先化简,再求值:(1-)÷,其中x=+1.11.[2018·曲靖] 先化简,再求值(-)÷,其中a,b满足a+b-=0.12.已知A=-.(1)化简A;(2)当x满足不等式组且为整数时,求A的值.13.化简:·-,并求值.其中a与2,3构成△ABC的三边长,且a为整数.拓展提升14.[2018·达州] 化简代数式:(-)÷,再从不等式组的解集中取一个合适的整数值代入,求出代数式的值.15.对于任意的实数x,记f(x)=.例如:f(1)==,f(-2)==.(1)求f(2),f(-3)的值;(2)试猜想f(x)+f(-x)的值,并说明理由;(3)计算:f(-2016)+f(-2015)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(2015)+f(2016).参考答案1.B[解析] 由等式=成立,可得解得x≥3.故选B.2.A[解析] 根据整式的运算法则及分式的基本性质化简,原式===1.3.D[解析] -=3,y-x=3xy,∴x-y=-3xy,∴原式====.4.B5.-16.7.-a-18.9.10.解:(1)·=·=.(2)原式=·=·=x-1.当x=+1时,原式=+1-1=.11.解:(-)÷=×=×=×=.由于a,b满足a+b-=0,所以a+b=,因此原式化简后的式子:=1÷=2.12.解:(1)A=-=-==.(2)解不等式组,得1≤x<3.∵x为整数,∴x=1或x=2.∵A=,∴x≠1.当x=2时,A===1.13.解:原式=·+=+==.∵a与2,3构成△ABC的三边长,∴3-2<a<3+2,即1<a<5,∵a为整数,∴a的值为2或3或4.当a=2时,分母2-a=0,舍去;当a=3时,分母a-3=0,舍去;故a的值只能为4.当a=4时,原式==1.14.解:解不等式①,得x≤1,解不等式②,得x>-3,∴不等式组的解集为-3<x≤1.(-)÷=×=×=3(x+1)-(x-1)=3x+3-x+1=2x+4.∵x≠0,x≠±1,∴当x取-2时,原式=2×(-2)+4=0. 15.解:(1)f(2)==,f(-3)==.(2)猜想:f(x)+f(-x)=1.理由:f(x)+f(-x)=+==1.(3)原式=2016×1+f(0)=2016+=.。
第一章 数与式第三节 分式姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2019·易错题)若分式x 2－1x ＋1的值为零，那么x 的值为( ) A ．x ＝1或x ＝－1B ．x ＝1C ．x ＝－1D ．x ＝0 2．(2018·天津中考)计算2x ＋3x ＋1－2x x ＋1的结果为( ) A ．1B ．3 C.3x ＋1 D.x ＋3x ＋13．(2019·原创题)下面是四位同学化简分式8x 2y 312x 3y的结果，其中化简结果为最简分式的是( ) A.8y 212xB.8y 12xC.2y 23xD.2y 3x4．(2018·盐城中考)要使分式1x －2有意义，则x 的取值范围是__________． 5．(2018·自贡中考)化简1x ＋1＋2x 2－1的结果是________． 6．(2018·长沙中考改编)当m ＝2 019时，m 2m －1－1m －1＝______________． 7．(2018·宜宾中考)化简：(1－2x －1)÷x －3x 2－1.8．(2018·成都中考)化简：(1－1x ＋1)÷x x 2－1.9．(2018·南充中考)已知1x －1y ＝3，则代数式2x ＋3xy －2y x －xy －y的值是( ) A ．－72B ．－112 C.92 D.3410．(2018·河北中考)老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简．规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示．接力中，自己负责的一步出现错误的是( )A ．只有乙B ．甲和丁C ．乙和丙D ．乙和丁11．(2019·易错题)使得代数式1x －3有意义的x 的取值范围是__________． 12．(2018·攀枝花中考)如果a ＋b ＝2，那么代数式(a －b 2a )÷a －b a的值是______． 13．(2018·眉山中考)先化简，再求值：(x －1x －x －2x ＋1)÷2x 2－x x 2＋2x ＋1，其中x 满足x 2－2x －2＝0.14．(2019·原创题)先化简，再求值：3－2x ＋y x ＋3y ÷4x 2－y 2x 2＋6xy ＋9y 2，其中x ，y 的值是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1的解．15．(2019·改编题)设A ＝a －21＋2a ＋a 2÷(a－3a a ＋1)． (1)化简A ；(2)当a ＝1时，记此时A 的值为f(1)；当a ＝2时，记此时A 的值为f(2)；…；求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)的值．参考答案【基础训练】1．B 2.C 3.C 4.x≠2 5.1x －16.2 020 7．解：原式＝x －3x －1·（x ＋1）（x －1）x －3＝x ＋1.8．解：原式＝x ＋1－1x ＋1·（x ＋1）（x －1）x＝x x ＋1·（x ＋1）（x －1）x＝x －1.【拔高训练】9．D 10.D 11.x>3 12.213．解：原式＝[x 2－1x （x ＋1）－x 2－2x x （x ＋1）]÷x （2x －1）（x ＋1）2＝2x －1x （x ＋1）·（x ＋1）2x （2x －1）＝x ＋1x .∵x 2－2x －2＝0，∴x 2＝2x ＋2＝2(x ＋1)， ∴原式＝x ＋12（x ＋1）＝12.14．解：原式＝3－2x ＋y x ＋3y ·（x ＋3y ）2（2x －y ）（2x ＋y ）＝3－x ＋3y2x －y＝5x －6y2x －y .∵x，y 的值是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1的解， 解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴原式＝10－184－3＝－8.【培优训练】15．解：(1)A ＝a －21＋2a ＋a 2÷(a－3aa ＋1)＝a －2（a ＋1）2÷a （a ＋1）－3aa ＋1＝a －2（a ＋1）2·a ＋1a 2－2a＝a －2（a ＋1）2·a ＋1a （a －2）＝1a （a ＋1）＝1a 2＋a .(2)∵a＝1时，f(1)＝112＋1＝11×2；a ＝2时，f(2)＝122＋2＝12×3；a ＝3时，f(3)＝132＋3＝13×4；…a ＝2 019时，f(2 019)＝12 0192＋2 019＝12 019×2 020； ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019) ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋12 019×2 020＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋12 019－12 020 ＝1－12 020＝2 0192 020.。
第3课时 分式1．下列代数式中，属于分式的是( C )A ．a 3B ．12a －bC ．1xD ．－4a 3b 2．当x ＝1时，分式x 2－1x －1的值为( D ) A ．0B ．1C ．2D ．无意义 3．下列等式成立的是( C )A ．1a ＋2b ＝3a ＋bB ．22a ＋b ＝1a ＋bC ．ab ab －b 2＝a a －bD ．a －a ＋b ＝－a a ＋b4．计算x ＋y 2－x －y24xy 的结果为( A )A ．1B ．12C ．14D ．0 5.2×2×…×2m 个23＋3＋…＋3n 个3 的值为( B )A ．2m 3nB ．2m 3nC ．2m n 3D ．m 23n6．如果a －b ＝23，那么代数式⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 22a －b ·a a －b 的值为( A ) A ． 3B ．2 3C ．3 3D ．4 37．(原创题)小明用m 元钱购买了5本笔记本后，剩下的钱恰好能买a 枝钢笔．已知一本笔记本为4元，那么一枝钢笔为__m －20a__元(要求用代数式表示)． 8．(原创题)有一个分式，扬扬和贝贝同学分别说出了它的一个特点．贝贝说：分式的值不可能为0，扬扬说：分式有意义时，x 的取值范围是x ≠－1；请你写出符合条件一个分式__答案开放，如1x ＋1__.9．(改编题)若3－2x x －1＝( )＋1x －1，则( )中的数是__－2__. 10．已知x ＋1x ＝3，则下列三个等式：①x 2＋1x 2＝7，②x －1x ＝5，③2x 2－6x ＝－2中，正确的是__①③__(填序号)．11．化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2＋x ＋2(x －2)． 解：原式＝1＋(x ＋2)(x －2)＝1＋x 2－4＝x 2－3.12．下面是贝贝化简分式的过程，请仔细阅读，并解答所提出的问题．2x ＋2－x －6x 2－4. 解：原式＝x －x ＋x －－x －6x ＋x －第一步＝2(x －2)－x ＋6第二步＝2x －4－x ＋6第三步＝x ＋2第四步(1)贝贝的解法从第__________步开始出现错误，错误的原因是__________.(2)请直接写出正确的化简结果：__________.解：(1)二、去分母；(2)1x －2. 13．(改编题)已知3x －4x －x －＝A x －1＋B x －2，求实数A 的值．解：Ax－1＋B x －2＝A x －2x －1x －2＋B x －1x －1x －2＝A ＋B x －2A ＋B x －1x －2＝3x －4x －1x －2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ A ＋B ＝3，2A ＋B ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ A ＝1，B ＝2.14．先化简，再求值：m 2－4m ＋4m －1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫3m －1－m －1，其中m ＝2－2. 解：原式＝m －22m －1÷3－m 2＋1m －1＝m －22m －1÷2＋m 2－m m －1＝m －22m －1×m －12＋m 2－m ＝2－m 2＋m .当m ＝2－2时，原式＝2－2＋22＋2－2＝4－22＝22－1. 15．观察下列等式，探究其中的规律：①11＋12－1＝12，②13＋14－12＝112，③15＋16－13＝130，④17＋18－14＝156，… (1)按以上规律写出第⑧个等式：__________；(2)猜想并写出第n 个等式：____________；(3)请证明猜想的正确性．解：(1)115＋116－18＝1240； (2)12n －1＋12n －1n ＝12n 2n －1；(3)证明：左边＝12n －1＋12n －1n ＝2n ＋2n －1－22n －12n 2n －1＝12n 2n －1＝右边，∴猜想成立． 16．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a (a ＞1)米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a －1)米的正方形，两块试验田的小麦都收获了m 千克．设“丰收1号”“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量分别为F 1，F 2.(1)F 1＝__________，F 2＝__________(用含a 的代数式表示)；(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？解：(1)ma 2－1 ma －12；(2)因为a>1，由图可得，a 2－1>(a －1)2，故F 1<F 2.因此，m a －12÷m a 2－1＝ma －12·a 2－1m ＝a ＋1a －1.即“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”单位面积产量的a ＋1a －1倍． 17．(改编题)设A ＝a －21＋2a ＋a 2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3a a ＋1. (1)化简A ；(2)当a ＝3时，记此时A 的值为f ()3；当a ＝4时，记此时A 的值为f ()4；……求f (3)＋f (4)＋…＋f (11)的值． 解：(1)原式＝a －2a ＋12÷a 2－2a a ＋1＝a －2a ＋12×a ＋1a a －2＝1a a ＋1； (2)f (3)＋f (4)＋…＋f (11)＝13－14＋14－15＋…＋111－112＝13－112＝312＝14.。
第一章 数与式第三节 分式姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2019·易错题)若分式x 2－1x ＋1的值为零，那么x 的值为( ) A ．x ＝1或x ＝－1B ．x ＝1C ．x ＝－1D ．x ＝0 2．(2018·天津中考)计算2x ＋3x ＋1－2x x ＋1的结果为( ) A ．1B ．3 C.3x ＋1 D.x ＋3x ＋13．(2019·原创题)下面是四位同学化简分式8x 2y 312x 3y的结果，其中化简结果为最简分式的是( ) A.8y 212xB.8y 12xC.2y 23xD.2y 3x4．(2018·盐城中考)要使分式1x －2有意义，则x 的取值范围是__________． 5．(2018·自贡中考)化简1x ＋1＋2x 2－1的结果是________． 6．(2018·长沙中考改编)当m ＝2 019时，m 2m －1－1m －1＝______________． 7．(2018·宜宾中考)化简：(1－2x －1)÷x －3x 2－1.8．(2018·成都中考)化简：(1－1x ＋1)÷x x 2－1.9．(2018·南充中考)已知1x －1y ＝3，则代数式2x ＋3xy －2y x －xy －y的值是( ) A ．－72B ．－112 C.92 D.3410．(2018·河北中考)老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简．规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示．接力中，自己负责的一步出现错误的是( )A ．只有乙B ．甲和丁C ．乙和丙D ．乙和丁11．(2019·易错题)使得代数式1x －3有意义的x 的取值范围是__________． 12．(2018·攀枝花中考)如果a ＋b ＝2，那么代数式(a －b 2a )÷a －b a的值是______． 13．(2018·眉山中考)先化简，再求值：(x －1x －x －2x ＋1)÷2x 2－x x 2＋2x ＋1，其中x 满足x 2－2x －2＝0.14．(2019·原创题)先化简，再求值：3－2x ＋y x ＋3y ÷4x 2－y 2x 2＋6xy ＋9y 2，其中x ，y 的值是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1的解．15．(2019·改编题)设A ＝a －21＋2a ＋a 2÷(a－3a a ＋1)． (1)化简A ；(2)当a ＝1时，记此时A 的值为f(1)；当a ＝2时，记此时A 的值为f(2)；…；求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)的值．参考答案【基础训练】1．B 2.C 3.C 4.x≠2 5.1x －16.2 020 7．解：原式＝x －3x －1·（x ＋1）（x －1）x －3＝x ＋1.8．解：原式＝x ＋1－1x ＋1·（x ＋1）（x －1）x＝x x ＋1·（x ＋1）（x －1）x＝x －1.【拔高训练】9．D 10.D 11.x>3 12.213．解：原式＝[x 2－1x （x ＋1）－x 2－2x x （x ＋1）]÷x （2x －1）（x ＋1）2 ＝2x －1x （x ＋1）·（x ＋1）2x （2x －1）＝x ＋1x . ∵x 2－2x －2＝0，∴x 2＝2x ＋2＝2(x ＋1)，∴原式＝x ＋12（x ＋1）＝12. 14．解：原式＝3－2x ＋y x ＋3y ·（x ＋3y ）2（2x －y ）（2x ＋y ）＝3－x ＋3y 2x －y＝5x －6y 2x －y . ∵x，y 的值是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1的解， 解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3， ∴原式＝10－184－3＝－8. 【培优训练】15．解：(1)A ＝a －21＋2a ＋a 2÷(a－3a a ＋1) ＝a －2（a ＋1）2÷a （a ＋1）－3a a ＋1 ＝a －2（a ＋1）2·a ＋1a 2－2a ＝a －2（a ＋1）2·a ＋1a （a －2） ＝1a （a ＋1） ＝1a 2＋a. (2)∵a＝1时，f(1)＝112＋1＝11×2；a ＝2时，f(2)＝122＋2＝12×3； a ＝3时，f(3)＝132＋3＝13×4； …a ＝2 019时，f(2 019)＝12 0192＋2 019＝12 019×2 020； ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019) ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋12 019×2 020＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋12 019－12 020 ＝1－12 020＝2 0192 020.。
第一章 数与式第三节 分式姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2019·易错题)若分式x 2－1x ＋1的值为零，那么x 的值为( ) A ．x ＝1或x ＝－1B ．x ＝1C ．x ＝－1D ．x ＝0 2．(2018·天津中考)计算2x ＋3x ＋1－2x x ＋1的结果为( ) A ．1B ．3 C.3x ＋1 D.x ＋3x ＋13．(2019·原创题)下面是四位同学化简分式8x 2y 312x 3y的结果，其中化简结果为最简分式的是( ) A.8y 212xB.8y 12xC.2y 23xD.2y 3x4．(2018·盐城中考)要使分式1x －2有意义，则x 的取值范围是__________． 5．(2018·自贡中考)化简1x ＋1＋2x 2－1的结果是________． 6．(2018·长沙中考改编)当m ＝2 019时，m 2m －1－1m －1＝______________． 7．(2018·宜宾中考)化简：(1－2x －1)÷x －3x 2－1.8．(2018·成都中考)化简：(1－1x ＋1)÷x x 2－1.9．(2018·南充中考)已知1x －1y ＝3，则代数式2x ＋3xy －2y x －xy －y的值是( ) A ．－72B ．－112 C.92 D.3410．(2018·河北中考)老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简．规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示．接力中，自己负责的一步出现错误的是( )A ．只有乙B ．甲和丁C ．乙和丙D ．乙和丁11．(2019·易错题)使得代数式1x －3有意义的x 的取值范围是__________． 12．(2018·攀枝花中考)如果a ＋b ＝2，那么代数式(a －b 2a )÷a －b a的值是______． 13．(2018·眉山中考)先化简，再求值：(x －1x －x －2x ＋1)÷2x 2－x x 2＋2x ＋1，其中x 满足x 2－2x －2＝0.14．(2019·原创题)先化简，再求值：3－2x ＋y x ＋3y ÷4x 2－y 2x 2＋6xy ＋9y 2，其中x ，y 的值是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1的解．15．(2019·改编题)设A ＝a －21＋2a ＋a 2÷(a－3a a ＋1)． (1)化简A ；(2)当a ＝1时，记此时A 的值为f(1)；当a ＝2时，记此时A 的值为f(2)；…；求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)的值．参考答案【基础训练】1．B 2.C 3.C 4.x≠2 5.1x －16.2 020 7．解：原式＝x －3x －1·（x ＋1）（x －1）x －3＝x ＋1.8．解：原式＝x ＋1－1x ＋1·（x ＋1）（x －1）x＝x x ＋1·（x ＋1）（x －1）x＝x －1.【拔高训练】9．D 10.D 11.x>3 12.213．解：原式＝[x 2－1x （x ＋1）－x 2－2x x （x ＋1）]÷x （2x －1）（x ＋1）2 ＝2x －1x （x ＋1）·（x ＋1）2x （2x －1）＝x ＋1x 2. ∵x 2－2x －2＝0，∴x 2＝2x ＋2＝2(x ＋1)，∴原式＝x ＋12（x ＋1）＝12. 14．解：原式＝3－2x ＋y x ＋3y ·（x ＋3y ）2（2x －y ）（2x ＋y ）＝3－x ＋3y 2x －y＝5x －6y 2x －y . ∵x，y 的值是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1的解， 解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3， ∴原式＝10－184－3＝－8. 【培优训练】15．解：(1)A ＝a －21＋2a ＋a 2÷(a－3a a ＋1) ＝a －2（a ＋1）2÷a （a ＋1）－3a a ＋1 ＝a －2（a ＋1）2·a ＋1a 2－2a ＝a －2（a ＋1）2·a ＋1a （a －2） ＝1a （a ＋1） ＝1a 2＋a. (2)∵a＝1时，f(1)＝112＋1＝11×2；a ＝2时，f(2)＝122＋2＝12×3； a ＝3时，f(3)＝132＋3＝13×4； …a ＝2 019时，f(2 019)＝12 0192＋2 019＝12 019×2 020； ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019) ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋12 019×2 020＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋12 019－12 020 ＝1－12 020＝2 0192 020.。
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……课时训练(三)分式(限时:40分钟)|夯实基础|1.要使分式有意义,则x的取值范围是.2.若分式的值为0,则x的值为.3.[2017·金华]若=,则= .4.[2018·衡阳]计算:-= .5.[2017·枣庄]化简:÷= .6.[2018·金华、丽水]对于两个非零实数x,y,定义一种新的运算:x*y=+.若1*(-1)=2,则(-2)*2的值是.7.要使分式有意义,x应满足的条件是()A.x>4B.x=4C.x<4D.x≠48.[2018·白银]已知=(a≠0,b≠0),下列变形错误的是()A.=B.2a=3bC.=D.3a=2b9.[2018·葫芦岛]若分式的值为0,则x的值为()A.0B.1C.-1D.±110.下列分式化简正确的是 ()A.=a2B.=C.=0D.=-111.若x∶y=1∶3,2y=3z,则的值是()A.-5B.-C.D.512.[2018·内江]已知:-=,则的值是()A.B.-C.3 D.-313.[2018·河北]老师设计了接力游戏,用合作的方式完成分式化简.规则是:每人只能看到前一人给的式子,并进行一步计算,再将结果传递给下一人,最后完成化简.过程如图K3-1所示:图K3-1 接力中,自己负责的一步出现错误的是()A.只有乙B.甲和丁C.乙和丙D.乙和丁14.[2018·威海]化简(a-1)÷-1·a的结果是()A.-a2B.1C.a2D.-115.先化简,再求值:1+·,其中a=3.16.[2018·益阳]化简:x-y+·.17.[2018·福建A卷]化简求值:÷,其中m=+1.18.先化简÷a-2+,然后从-2,-1,1,2四个数中选择一个合适的数作为a的值代入求值.19.先化简,再求值:x-÷,其中x满足x2+x-2=0.|拓展提升|20.有一个计算程序,每次运算都是把一个数先乘以2,再除以它与1的和,多次重复进行这种运算的过程如图K3-2:图K3-2则第n次的运算结果为(用含字母x和n的代数式表示).21.观察下列等式:第一个等式:a1==-;第二个等式:a2==-;第三个等式:a3==-;第四个等式:a4==-.按上述规律,回答以下问题:(1)用含n的代数式表示第n个等式:a n= = ;(2)a1+a2+a3+…+a20= .22.已知x2-3x-4=0,则代数式的值是 ()A.3B.2C.D.23.先化简:÷-,再从-2<x<3的范围内选取一个你喜欢的x值代入求值.参考答案1.x≠10[解析] 由分式有意义的条件得x-10≠0,∴x≠10.2.23.[解析] 解法1:∵=,∴3a=2b,∴a=b.∴===;解法2:设参数法求解,设a=2k(k≠0),则b=3k,∴===;解法3:逆用同分母分式加减法法则求解,=+=+1=+1=.4.x-1[解析] -===x-1.5.[解析] 原式=×=.6.-1[解析] ∵x*y=+,1*(-1)=+=a-b=2,∴(-2)*2=+==-1.故答案为-1.7.D8.B9.B[解析] 若分式的值为0,则x2-1=0且x+1≠0,∴x=1.10.D11.A12.C[解析] ∵-==,∴=3.故选择C.13.D[解析] 乙在化简过程中将1-x写成了x-1后没有补上负号,所以错误.丁约分后的分母应该是x而不是2,错误.故选D.14.A[解析] 原式=(a-1)÷·a=(a-1)··a=-a2.15.解:原式=·=·=.当a=3时,原式==.16.解:x-y+·=+·=·=·=x.17.解:原式=·=·=.当m=+1时,原式==.18.解:原式=÷=·=,当a=2时,原式==3.19.解:化简得原式=x2+x,∵x满足x2+x-2=0,∴x2+x=2,即原式=2.20.[解析] 将第2,3,4次化简后的结果列表如下:故答案为.21.(1)-(2)-22.D23.解:原式=÷=·=.由题意,可取x=2(注意不能取x=0,±1,否则题中出现的分式无意义)代入上式,得原式===4(答案不唯一).。
第三节 分式姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2019·易错题)若分式x 2－1x ＋1的值为零，那么x 的值为( )A ．x ＝1或x ＝－1B ．x ＝1C ．x ＝－1D ．x ＝02．(2018·天津中考)计算2x ＋3x ＋1－2xx ＋1的结果为( )A ．1B ．3 C.3x ＋1D.x ＋3x ＋13．(2019·原创题)下面是四位同学化简分式8x 2y312x 3y 的结果，其中化简结果为最简分式的是( )A.8y212x B.8y 12x C.2y23xD.2y 3x4．(2018·盐城中考)要使分式1x －2有意义，则x 的取值范围是__________．5．(2018·自贡中考)化简1x ＋1＋2x 2－1的结果是________．6．(2018·长沙中考改编)当m ＝2 019时，m 2m －1－1m －1＝______________．7．(2018·宜宾中考)化简：(1－2x －1)÷x －3x 2－1.8．(2018·成都中考)化简：(1－1x ＋1)÷xx 2－1.9．(2018·南充中考)已知1x －1y ＝3，则代数式2x ＋3xy －2yx －xy －y 的值是( )A ．－72B ．－112C.92D.3410．(2018·河北中考)老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简．规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示．接力中，自己负责的一步出现错误的是( )A ．只有乙B ．甲和丁C ．乙和丙D ．乙和丁11．(2019·易错题)使得代数式1x －3有意义的x 的取值范围是__________．12．(2018·攀枝花中考)如果a ＋b ＝2，那么代数式(a －b 2a )÷a －ba的值是______．13．(2018·眉山中考)先化简，再求值：(x －1x －x －2x ＋1)÷2x 2－x x 2＋2x ＋1，其中x 满足x 2－2x －2＝0.14．(2019·原创题)先化简，再求值：3－2x ＋y x ＋3y ÷4x 2－y2x 2＋6xy ＋9y 2，其中x ，y 的值是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1的解．15．(2019·改编题)设A ＝a －21＋2a ＋a 2÷(a－3aa ＋1)． (1)化简A ；(2)当a ＝1时，记此时A 的值为f(1)；当a ＝2时，记此时A 的值为f(2)；…；求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)的值．参考答案【基础训练】1．B 2.C 3.C 4.x≠2 5.1x －16.2 020 7．解：原式＝x －3x －1·（x ＋1）（x －1）x －3＝x ＋1.8．解：原式＝x ＋1－1x ＋1·（x ＋1）（x －1）x＝x x ＋1·（x ＋1）（x －1）x＝x －1. 【拔高训练】9．D 10.D 11.x>3 12.213．解：原式＝[x 2－1x （x ＋1）－x 2－2x x （x ＋1）]÷x （2x －1）（x ＋1）2＝2x －1x （x ＋1）·（x ＋1）2x （2x －1）＝x ＋1x2. ∵x 2－2x －2＝0，∴x 2＝2x ＋2＝2(x ＋1)， ∴原式＝x ＋12（x ＋1）＝12.14．解：原式＝3－2x ＋y x ＋3y ·（x ＋3y ）2（2x －y ）（2x ＋y ）＝3－x ＋3y2x －y＝5x －6y2x －y. ∵x，y 的值是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1的解，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴原式＝10－184－3＝－8.【培优训练】15．解：(1)A ＝a －21＋2a ＋a 2÷(a－3aa ＋1) ＝a －2（a ＋1）2÷a （a ＋1）－3a a ＋1 ＝a －2（a ＋1）2·a ＋1a 2－2a ＝a －2（a ＋1）2·a ＋1a （a －2） ＝1a （a ＋1）＝1a 2＋a. (2)∵a＝1时，f(1)＝112＋1＝11×2；a ＝2时，f(2)＝122＋2＝12×3；a ＝3时，f(3)＝132＋3＝13×4；…a ＝2 019时， f(2 019)＝12 0192＋2 019＝12 019×2 020；∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋12 019×2 020＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋12 019－12 020＝1－12 020＝2 0192 020.。
