万有引力与宇宙航行(一)

第七章万有引力与宇宙航行一、思维导图二、考点通关考点1行星的运动开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上否定了行星圆形轨道的说法，建立了正确的轨道理论，给出了太阳准确的位置 开普勒第二定律(面积定律)对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等描述了行星在其轨道上运行时，线速度的大小不断变化。

解决了行星绕太阳运动的速度大小问题 开普勒第三定律(周期定律)所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等⎝⎛⎭⎫a 3T 2＝k表明了行星公转周期与轨道半长轴间的关系，椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长；反之，其公转周期越短2．行星运动的近似处理实际上，行星的轨道与圆十分接近，在中学阶段的研究中我们可按圆轨道处理。

这样就可以说：(1)行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心。

(2)对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度)大小不变，即行星做匀速圆周运动。

(3)所有行星轨道半径r 的三次方跟它的公转周期T 的二次方的比值都相等，即r 3T 2＝k 。

注：处理行星绕太阳(恒星)的运动问题时，根据题意判断行星轨道是需要按椭圆轨道处理，还是按圆轨道处理，当题中说法是轨道半径时，则可按圆轨道处理。

【典例1】“墨子号”是由中国自主研制的世界上第一颗空间量子科学实验卫星，标志着中国在量子通信技术方面走在了世界前列；其运行轨道为如图所示的绕地球E 运动的椭圆轨道，地球E 位于椭圆的一个焦点上。

轨道上标记了墨子卫星经过相等时间间隔⎝⎛⎭⎫Δt ＝T 14，T 为轨道周期的位置。

则下列说法正确的是( )A ．面积S 1>S 2B．卫星在轨道A点的速度小于其在B点的速度C．T2＝Ca3，其中C为常数，a为椭圆半长轴D．T2＝C′b3，其中C′为常数，b为椭圆半短轴【答案】C【解析】根据开普勒第二定律可知，卫星与地球的连线在相同时间内扫过的面积相等，故面积S1＝S2，A错误；根据开普勒第二定律，卫星在A点、B点经过很短的时间Δt，卫星与地球连线扫过的面积S A＝S B，由于时间Δt很短，则这两个图形均可看作扇形，则12v AΔt·r A＝12v BΔt·r B，且知r A<r B，则v A>v B，B错误；根据开普勒第三定律：所有行星轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等，即a3T2＝k，整理可得T2＝1k a3＝Ca3，其中C＝1k，为常数，a为椭圆半长轴，故C正确，D错误。

2022北京重点校高一（下）期中物理汇编万有引力与宇宙航行章节综合1一、单选题1．（2022·北京师大附中高一期中）如图所示，图中A 点是地球赤道上一点，人造卫星B 轨道在赤道平面内，C 点为同步卫星。

已知人造卫星B 的轨道半径是地球半径的m 倍，同步卫星C 的轨道半径是地球半径的n 倍，，由此可知（ ）A ．人造卫星B 与同步卫星C 的运行周期之比为33m nB ．同步卫星C 与A 1nC ．人造卫星B 与A 点的速率之比为3n mD ．人造卫星B 与同步卫星C 的速率之比为n m2．（2022·北京师大附中高一期中）关于万有引力定律，下列说法正确的是（ ）A ．两个物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力B ．公式122m m F G r中的G 为比例系数，它的单位是N·m 2·kg 2 C ．万有引力定律是牛顿在总结前人研究的基础上发现的D ．测出引力常量的科学家是伽利略3．（2022·北京市第九中学高一期中）a 、b 、c 、d 是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星。

其中a 、c 的轨道相交于P ，b 、d 在同一个圆轨道上。

某时刻b 卫星恰好处于c 卫星的正上方。

则（ ）A．a、c的线速度大小相等，且小于d的线速度B．b、c的角速度大小相等，且小于a的角速度C．a、c的向心加速度大小相等，且大于b的向心加速度D．b、d存在相撞危险4．（2022·北京八十中高一期中）已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离r和月球绕地球运行的周期T，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有（）A．月球的质量B．地球的质量C．地球的半径D．月球对地球的万有引力5．（2022·北京十五中高一期中）木星是太阳的一颗行里，木星又有自己的卫星，假设木星的卫星绕木星的运动和木星绕太阳的运动都可视为匀速圆周运动，要想计算木星的质量，需要测量的物理量有（）A．木星绕太阳运动的周期和轨道半径B．木星绕太阳运动的周期和木星的半径C．木星的卫星绕木星运动的周期和轨道半径D．木星的卫星绕木星运动的周期和木星的半径二、多选题6．（2022·北京师大附中高一期中）如图，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道I，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道II。

万有引力与宇宙航行 知识点 开普勒行星运动定律 Ⅰ1．定律内容(1)开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是01椭圆，太阳处在椭圆的一个02焦点上。

(2)开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的03面积相等。

(3)开普勒第三定律：所有行星轨道的04半长轴的三次方跟它的05公转周期的二次方的比都相等，即06a 3T2＝k 。

2．适用条件：适用于宇宙中一切环绕同一中心天体的运动。

知识点 万有引力定律及应用 Ⅱ1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与01物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与02它们之间距离r 的二次方成反比。

2．公式：F ＝03G m 1m 2r 2，其中G 叫作引力常量，G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2，其值由卡文迪什通过扭秤实验测得。

3．适用条件：适用于两个04质点或均匀球体；r 为两质点或均匀球体球心间的距离。

知识点 环绕速度 Ⅱ1017.9 km/s 。

2．02地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。

3．03发射速度，04环绕速度。

4．第一宇宙速度的计算方法(1)由G mm 地R 2＝m v 2R ，解得：v ＝05Gm 地R ； (2)由mg ＝m v 2R ，解得：v ＝06gR 。

知识点 第二宇宙速度和第三宇宙速度 Ⅰ1．第二宇宙速度(脱离速度)使物体挣脱01地球引力束缚的最小发射速度，其数值为0211.2 km/s 。

2．第三宇宙速度(逃逸速度)使物体挣脱03太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为0416.7 km/s 。

知识点 相对论时空观与牛顿力学的局限性 Ⅰ1．相对论时空观(1)爱因斯坦的两个假设：在不同的惯性参考系中，01相同的；真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是02相同的。

(2)同时的相对性：根据爱因斯坦的假设，如果两个事件在一个参考系中是同03不一定是同时的。

第5节宇宙航行（满分100分，45分钟完成）班级_______姓名_______ 目的要求：1．能用万有引力定律和圆周运动的知识，计算天体的质量、密度和星球表面的重力加速度；2．理解描述人造卫星的各物理物理量的特点及与轨道的对应关系。

第Ⅰ卷(选择题共48分)一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。

在每小题给出的四个选项中，至少有一个选项正确，选对的得6分，对而不全得3分。

选错或不选的得0分。

1．关于万有引力定律应用于天文学研究的历史事实，下列说法正确的是（）A．天王星、海王星和冥王星，都是运用万有引力定律，经过大量计算后发现的B．18世纪时人们发现太阳的第七颗行星的运动轨道总是同根据万有引力定律计算出来的结果有比较大的偏差，于是人们推测出在这颗行星的轨道外还有一颗行星C．太阳的第八颗行星是牛顿发现万有引力定律的时候，经过大量计算而发现的D．太阳的第九颗行星是英国剑桥大学的学生亚当斯和勒维列合作研究，利用万有引力定律共同发现的2. 已知月球中心到地球中心的距离大约是地球半径的60倍，则月球绕地球运行的向心加速度与地球表面的重力加速度之比为（）A．1∶60 B．1C．1∶3600 D．60∶13．地球半径为R，地面附近的重力加速度为g，物体在离地面高度为h处的重力加速度的表达式是（）A．R hgR+B．RgR h+C．22()R hgR+D．22()RgR h+4．离地面有一定高度的人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其实际绕行速率是（）A．一定大于7.9×103m/sB．一定小于7.9×103m/sC．一定等于7.9×103m/sD．7.9×103m/s＜v＜11.2×103m/s5．人造地球卫星由于受大气阻力，其轨道半径逐渐减小，其相应的线速度和周期的变化情况是（）A．速度减小，周期增大B．速度减小，周期减小C．速度增大，周期减小D．速度增大，周期增大6．关于第一宇宙速度，下列说法中不正确．．．的是（）A．它是能使卫星进入近地圆形轨道的最小发射速度B．实际卫星做匀速圆周运动的速度大于第一宇宙速度C．它是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度D．它是人造地球卫星在近地圆形轨道上的运行速度7．同步地球卫星相对地面静止不动，犹如悬在高空中，下列说法错误．．的是（）A．同步卫星处于平衡状态B．同步卫星的速率是唯一的C．各国的同步卫星都在同一圆周上运行D．同步卫星加速度大小是唯一的8．设月球绕地球运动的周期为27天，则地球的同步卫星到地球中心的距离r与月球中心到地球中心的距离R之比为A．13B．19C．127D．118第Ⅱ卷（非选择题，共52分）二、填空、实验题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

一、选择题1．“坦普尔一号”彗星绕太阳运行的轨道是一个椭圆，其运动周期为5.74年，则关于“坦普尔一号”彗星的下列说法中正确的是（ ）A ．彗星绕太阳运动的角速度不变B ．彗星在近日点处的线速度大于远日点处的线速度C ．彗星在近日点处的加速度小于远日点处的加速度D ．彗星在近日点处的机械能小于远日点处的机械能2．下列关于万有引力定律的说法中，正确的是（ ）①万有引力定开普勒在实验室发现的②对于相距很远、可以看成质点的两个物体，万有引力定律2Mm F Gr中的r 是两质点间的距离③对于质量分布均匀的球体，公式中的r 是两球心间的距离④质量大的物体对质量小的物体的引力大于质量小的物体对质量大的物体的引力． A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．①④ 3．如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E 运行，在P 点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动。

下列说法正确的是（ ）A ．不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P 点的速度都相同B ．不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P 点的加速度都相同C ．卫星在轨道1的任何位置都具有相同的加速度D ．卫星在轨道2的任何位置都具有相同的速度4．2020年12月17日，嫦娥五号成功返回地球，创造了我国到月球取土的伟大历史。

如图所示，嫦娥五号取土后，在P 点处由圆形轨道Ⅰ变轨到椭圆轨道Ⅱ，以便返回地球。

已知嫦娥五号在圆形轨道Ⅰ的运行周期为T 1，轨道半径为R ；椭圆轨道Ⅱ的半长轴为a ，经过P 点的速率为v ，运行周期为T 2。

已知月球的质量为M ，万有引力常量为G ，则（ ）A．3132TTaR=B．GMva=C．GMvR=D．23214πRMGT=5．已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G，有关同步卫星，下列表述中正确的是（）A．卫星的运行速度可能等于第一宇宙速度B．卫星距离地面的高度为2 324 GMTπC．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度D．卫星运行的向心加速度等于地球赤道表面物体的向心加速度6．假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G，则地球的半径为（）A．22()4g g Tπ-B．22()4g g Tπ+C．224g TπD．224gTπ7．如图所示，甲、乙为两颗轨道在同一平面内的地球人造卫星，其中甲卫星的轨道为圆形，乙卫星的轨道为椭圆形，M、N分别为椭圆轨道的近地点和远地点，P点为两轨道的一个交点，圆形轨道的直径与椭圆轨道的长轴相等。

一、选择题1．下列说法正确的是（）A．在赤道上随地球一起转动的物体的向心力等于物体受到地球的万有引力B．地球同步卫星与赤道上物体相对静止，且它跟地面的高度为某一确定的值C．人造地球卫星的向心加速度大小应等于9.8m/s2D．人造地球卫星运行的速度一定大于7.9km/s2．如图所示，某极地轨道卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极，已知该卫星从北纬60︒的正上方按图示方向第一次运行到南纬60︒的正上方时所用时间为1h，则下列说法正确的是（）A．该卫星的运行速度—定大于7.9km/sB．该卫星与同步卫星的运行半径之比为1:4C．该卫星与同步卫星的运行速度之比为1:2D．该卫星的机械能一定大于同步卫星的机械能3．1789年英国物理学家卡文迪许测出引力常量G，因此卡文迪许被人们称为“能称出地球质量的人”。

若已知引力常量为G，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为1T（地球自转周期），一年的时间为2T（地球公转周期），地球中心到月球中心的距离为1L，地球中心到太阳中心的距离为2L。

下列说法正确的是（）A．由以上数据不能求出地球的质量B．由以上数据不能求出太阳的质量C．由以上数据不能求出月球的质量D．由题中数据可求月球的密度4．天文单位是天文学中计量天体之间距离的一种单位，其数值取地球和太阳之间的平均距离。

已知哈雷彗星近日距离大约为0.6个天文单位，其周期为76年，只考虑太阳对其引≈）力，而忽略其它星体对其影响，则其远日距离约为（376 4.2A．4.2个天文单位B．18个天文单位C．35个天文单位D．42个天文单位5．如图所示，人造地球卫星发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道。

先将卫星发射至近地圆轨道Ⅰ，然后在A点（近地点）点火加速，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ；在B 点（远地点）再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。

关于卫星的发射和变轨，下列说法正确的是（）A．卫星在圆轨道Ⅰ上运行时的角速度小于在圆轨道Ⅲ上的角速度B．卫星从轨道Ⅰ转移到轨道Ⅲ的过程中，动能减小，重力势能增大，机械能守恒C．卫星在椭圆轨道Ⅱ上运行时，经过A点时的速度大于地球的第一宇宙速度D．卫星经过B点时，在椭圆轨道Ⅱ上运行时的加速度大于在圆轨道Ⅲ上运行时的加速度6．宇航员在地球表面以初速度0v竖直上抛一小球，经过时间t小球到达最高点；他在另一星球表面仍以初速度0v竖直上抛同一小球，经过时间5t小球到达最高点。

第七章万有引力与宇宙航行第1节行星的运动[学习目标]1．了解人类对行星运动规律的认识历程．2．知道开普勒定律的内容．3．能用开普勒定律分析一些简单的行星运动问题．知识点1地心说与日心说1．地心说：地球是宇宙的中心，且是静止不动的，太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动．2．日心说：太阳是宇宙的中心，且是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动．3．局限性：都把天体的运动看得很神圣，认为天体的运动必然是最完美、最和谐的匀速圆周运动，而与丹麦天文学家第谷的观测数据不符．知识点2开普勒定律1．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等．3．开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等．其表达式为a3T2＝k，其中a是椭圆轨道的半长轴，T是行星绕太阳公转的周期，k是对所有行星都相同的常量．[判一判](1)各行星围绕太阳运动的速率是不变的．()(2)开普勒定律仅适用于行星绕太阳的运动．()(3)行星轨道的半长轴越长，行星的公转周期越长．()(4)可近似认为地球围绕太阳做圆周运动．()(5)行星绕太阳运动一周的时间内，它与太阳的距离是不变的．()(6)公式a3T2＝k，只适用于轨道是椭圆的运动．()提示：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×(6)×[想一想](1)请利用你学习的知识分析哪个小孩说得更有道理？(2)如何理解开普勒第三定律中的常量k?提示：(1)第二个小孩说得更有道理，因为地球有绕地轴的自转和绕太阳的公转，地球每天自转一周，因此坐在家中的小孩相对“家”虽然没有动，但随地球旋转了一周，路程大约是8万里．(2)当行星绕太阳运行时，虽然轨道半径和周期各不相同，但是k＝a3T2相同，常量k与行星无关，但与中心天体有关．中心天体不同，常量k一般也不相同，即k值是由中心天体决定的，与环绕天体无关．例如卫星绕地球运行的k值与行星绕太阳运行的k值不同，k不是一个普适常量．总结一下就是：①对同一中心天体，k值不变．②对不同的中心天体，k值不同．③k值大小由中心天体的质量决定．1．(对开普勒定律的理解)关于行星的运动，下列说法正确的是()A．关于行星的运动，早期有“地心说”与“日心说”之争，“日心说”理论是完美无缺的B．所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，且近日点速度小，远日点速度大C．开普勒第三定律r3T2＝k，式中k的值仅与中心天体的质量有关D．卫星围绕行星运动不满足开普勒第三定律解析：选 C.地心说认为地球是宇宙的中心，其他天体都绕地球运行；日心说认为太阳是宇宙的中心，所有天体都绕太阳运行．不论是日心说还是地心说，在研究行星运动时都是有局限性的，A错误；根据开普勒行星运动定律，所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，且近日点速度大，远日点速度小，B错误；开普勒第三定律r3T2＝k，式中k的值仅与中心天体的质量有关，C正确；卫星围绕行星运动也满足开普勒第三定律，D错误．2．(对开普勒定律的理解)关于开普勒行星运动定律，下列说法不正确的是()A．所有行星围绕太阳的运动轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上B．对于任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积C．行星在近日点的速率小于在远日点的速率D．对于开普勒第三定律a3T2＝k，k值是与a和T均无关的值解析：选C.由开普勒第一定律知A正确；由开普勒第二定律可知，太阳系的任一行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，由于行星在近日点与太阳的连线短，则运行速率必然大，故B正确，C错误；由开普勒第三定律可知，D正确．3．(对开普勒第三定律的理解)(多选)对于开普勒第三定律的公式a3T2＝k，下列说法正确的是()A．公式只适用于轨道是椭圆的运动B．式中的k值，对于所有行星都相等C．式中的k值，只与中心天体有关，与绕中心天体旋转的行星无关D．该公式也适用于围绕地球运行的所有卫星解析：选CD.圆是椭圆的特例，故公式既然适用于椭圆轨道的卫星，也就适用于圆轨道的行星，但此时公式中的a为轨道半径，故A错误；比例系数k是一个由中心天体决定而与行星无关的常量，但不是恒量，不同的星系中，k值不同，即只要是围绕同一中心天体运行的不同天体，公式都适用，包括以地球为中心天体的系统，故B错误，C、D正确．4．(开普勒第三定律的应用)阋神星是一个已知最大的属于柯伊伯带及海王星外天体的矮行星，因观测估算比冥王星大，在公布发现时曾被其发现者和NASA等组织称为“第十大行星”．若将地球和阋神星绕太阳的运动看作匀速圆周运动，它们的运行轨道如图所示．已知阋神星绕太阳运行一周的时间约为557年，设地球绕太阳运行的轨道半径为R，则阋神星绕太阳运行的轨道半径约为()A.3557R B.557RC.35572R D.5573R解析：选C.由开普勒第三定律R3地T2地＝r3阋T2阋，得r阋＝35572R，C正确.探究一对开普勒定律的理解【情景导入】1．图甲是地球绕太阳公转及四季的示意图，由图可知地球在春分日、夏至日、秋分日和冬至日四天中哪一天绕太阳运动的速度最大？哪一天绕太阳运动的速度最小？2．图乙是“金星凌日”的示意图，观察图中地球、金星的位置，地球和金星哪一个的公转周期更长？提示：1.冬至日；夏至日．由题图甲可知，冬至日地球在近日点附近，夏至日在远日点附近，由开普勒第二定律可知，冬至日地球绕太阳运动的速度最大，夏至日地球绕太阳运动的速度最小．2．地球．由题图乙可知，地球到太阳的距离大于金星到太阳的距离，根据开普勒第三定律可得，地球的公转周期更长一些．1．开普勒第一定律解决了行星的轨道问题行星的轨道都是椭圆，如图甲所示．不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是不同的，太阳处在椭圆的一个焦点上，如图乙所示，即所有轨道都有一个共同的焦点——太阳．因此开普勒第一定律又叫轨道定律．2．开普勒第二定律解决了行星绕太阳运动的速度大小问题(1)如图所示，如果时间间隔相等，由开普勒第二定律知，面积S A＝S B，可见离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率越大．因此开普勒第二定律又叫面积定律．(2)近日点、远日点分别是行星距离太阳的最近点、最远点．同一行星在近日点速度最大，在远日点速度最小．3．开普勒第三定律解决了行星公转周期的长短问题(1)如图所示，由a3T 2＝k知椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长，因此第三定律也叫周期定律．常量k与行星无关，只与太阳有关．(2)该定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕地球的运动，其中常量k与卫星无关，只与地球有关，也就是说k值大小由中心天体决定．【例1】火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知()A．太阳位于木星运行轨道的中心B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C．火星与木星公转周期之比的二次方等于它们轨道半长轴之比的三次方D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积[解析]根据开普勒行星运动定律，火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行时，太阳位于椭圆的一个焦点上，A错误；行星绕太阳运行的轨道不同，周期不同，运行速度大小也不同，B错误；火星与木星运行的轨道半长轴的立方与周期的平方之比是一个常量，a3火T2火＝a3木T2木＝k，⎝⎛⎭⎪⎫a火a木3＝⎝⎛⎭⎪⎫T火T木2，C正确；火星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，木星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，但这两个面积不相等，D错误．[答案] C[针对训练1](多选)如图所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、T、v、S分别表示卫星的轨道半径、周期、速度、与地心连线在单位时间内扫过的面积．下列关系式正确的有()A．T A>T B B．v A>v BC．S A＝S B D.R3AT2A＝R3BT2B解析：选AD.根据开普勒第三定律r3T2＝k知，轨道半径越大，周期越大，所以T A>T B，故A、D正确；由v＝2πrT知，v Av B＝R A T BR B T A＝R AR B×R3BR3A＝R BR A<1，即v B>v A，故B错误；根据开普勒第二定律可知，应是同一卫星与地心连线在单位时间内扫过的面积相等，故C错误．探究二开普勒定律的应用【情景导入】(1)太阳每天东升西落，这一现象是否说明太阳绕着地球运动呢？为什么？(2)行星m绕恒星M运动情况的示意图如图所示，则在A、B、C、D四个位置中，速度最大的是哪个位置？行星m从A运行到B过程中做加速运动还是减速运动？提示：(1)不能．太阳是太阳系的中心，地球等行星绕太阳运动．太阳东升西落，是因为地球的自转．(2)A减速运动1．适用范围：天体的运动可近似看成匀速圆周运动，开普勒第三定律既适用于做椭圆运动的天体，也适用于做圆周运动的天体．2．应用(1)知道了行星到太阳的距离，就可以由开普勒第三定律计算或比较行星绕太阳运行的周期．反之，知道了行星的周期，也可以计算或比较其到太阳的距离．(2)知道了彗星的周期，就可以由开普勒第三定律计算彗星轨道的半长轴长度，反之，知道了彗星的半长轴长度也可以求出彗星的周期．3．k值：表达式a3T2＝k中的常数k，只与中心天体的质量有关，如研究行星绕太阳运动时，常数k只与太阳的质量有关，研究卫星绕地球运动时，常数k只与地球的质量有关．【例2】(多选)如图所示，对开普勒第一定律的理解，下列说法正确的是()A．在行星绕太阳运动一周的时间内，它到太阳的距离是不变化的B．在行星绕太阳运动一周的时间内，它到太阳的距离是变化的C．某个行星绕太阳运动的轨道一定是在某一固定的平面内D．某个行星绕太阳运动的轨道一定不在一个固定的平面内[解析]由开普勒第一定律可知：行星绕太阳运动的轨道是椭圆，有时远离太阳，有时靠近太阳，故它到太阳的距离是变化的，A错误，B正确；行星围绕着太阳运动，由于受到太阳的引力作用而被约束在速度与引力所决定的平面内一定的轨道上，C正确，D错误．[答案]BC【例3】某行星绕一恒星运行的椭圆轨道如图所示，E和F是椭圆的两个焦点，O是椭圆的中心，行星在B点的速度比在A点的速度大．则该恒星位于()A．O点B．B点C．E点D．F点[解析]根据开普勒第一定律，恒星应该位于椭圆的焦点上，故A、B错误；根据开普勒第二定律，对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积，则行星在离恒星较近的位置速率较大，在远离恒星的位置速率较小，因为行星在B点的速度比在A点的速度大，则恒星位于E点，故C正确，D错误．[答案] C【例4】天文学家观察哈雷彗星的周期为76年，到太阳最近的距离为8.9×1010 m，试根据开普勒第三定律计算哈雷彗星到太阳最远的距离．太阳系的开普勒常量k可取3.354×1018 m3/s2.[解析]由开普勒第三定律知a3T2＝k，所以a＝3kT2＝33.354×1018×（76×365×24×3 600）2m≈2.68×1012 m，彗星到太阳最远的距离为2a－8.9×1010m＝(2×2.68×1012－8.9×1010)m≈5.27×1012 m.[答案] 5.27×1012 m[针对训练2]地球绕太阳运动的轨道是椭圆，因而地球与太阳之间的距离随季节变化．若认为冬至这天地球离太阳最近，夏至最远．则下列关于地球在这两天绕太阳公转时速度大小的说法中正确的是()A．地球公转速度是不变的B．冬至这天地球公转速度大C．夏至这天地球公转速度大D．无法确定解析：选B.冬至这天地球与太阳的连线短，夏至长．根据开普勒第二定律，要在相等的时间内扫过相等的面积，则在相等的时间内，冬至时地球运动的路径要比夏至时长，所以冬至时地球运动的速度比夏至时的速度大，B正确．[针对训练3](多选)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0.若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中()A．从P到M所用的时间等于T0 4B．从Q到N阶段，速率逐渐变大C．从P到Q阶段，角速度逐渐变小D．从M到N所用时间大于T0 2解析：选BCD.由开普勒第二定律用对称性可知，海王星从P运动到Q所用时间与从Q 回到P 所用时间相等，各为T 02，但从近日点到远日点即P 到Q ，海王星的速率逐渐减小、角速度在减小，故从P 到M 与从M 到Q 虽通过的路程相同，但所用的时间一定是从M 到Q 长，即从P 到M 所用时间小于T 04、从M 到Q所用时间大于T 04，再由对称性可知，从Q 到N 速率逐渐变大，从M 到N 的时间一定大于半个周期，A 错误，B 、C 、D 正确．[针对训练4] 已知两个行星的质量m 1＝2m 2，公转周期T 1＝2T 2，则它们绕太阳运动轨道的半长轴之比为( )A.a 1a 2＝12 B.a 1a 2＝21 C.a 1a 2＝34 D.a 1a 2＝134解析：选C.根据开普勒第三定律a 3T 2＝k ，又因为公转周期T 1＝2T 2，则它们绕太阳运转轨道的半长轴之比为a 1a 2＝3T 21T 22＝34. [A 级——合格考达标练]1．关于太阳系中各行星的轨道，以下说法错误的是( )A ．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆B ．有的行星绕太阳运动的轨道是圆C ．不同行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴是不同的D ．不同的行星绕太阳运动的轨道各不相同解析：选B.由开普勒第一定律知八大行星的轨道都是椭圆，A 正确，B 错误；不同行星离太阳远近不同，轨道不同，半长轴也就不同，C 、D 正确．2．关于环绕地球运动的卫星，下列说法正确的是( )A ．分别沿圆轨道和椭圆轨道运动的两颗卫星，不可能具有相同的周期B ．沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率C ．在赤道上空运动的两颗同步卫星，它们的轨道半径有可能不同D ．沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合解析：选 B.由开普勒第三定律可知，当圆轨道的直径与椭圆轨道的长轴相等时它们运行周期相等，A 错误；由开普勒第二定律可知，当卫星在沿椭圆轨道运行过程中到地心距离相等时速率相同，B 正确；同步卫星周期一定，由开普勒第三定律可知其轨道半径一定相同，C 错误；沿不同的圆形轨道、椭圆轨道运行的卫星，只要求地心位于轨道平面的圆心或椭圆面的一个焦点上，不同轨道平面可与赤道面成不同夹角、轨迹可有不同交点，故能经过同一点的卫星轨道面不一定重合，D 错误．3．太阳系中有一颗绕太阳公转的行星，到太阳的平均距离是地球到太阳平均距离的4倍，则该行星绕太阳公转的周期是( )A ．10年B ．2年C ．4年D ．8年解析：选D.设地球轨道半径为R ，则行星的轨道半径为4R ，根据开普勒第三定律得R 3T 2＝（4R ）3T 2行，解得：T 行＝43T ＝8T ，地球的公转周期为1年，则说明该行星的公转周期为8年，故D 正确．4．某行星沿椭圆轨道运行，远日点到太阳的距离为a ，近日点到太阳的距离为b ，过远日点时行星的速率为v a ，则过近日点时的速率为( )A.b a v aB ． a b v a C.a b v a D ． ba v a解析：选C.在行星经过近日点与远日点时各取一段相等的极短时间Δt ，由开普勒第二定律可知，行星与太阳连线在相等时间内扫过的面积相等，则有12b v b Δt ＝12a v a Δt ，解得v b ＝a b v a ，C 正确．5．(多选)哈雷彗星绕太阳运动的轨道是比较扁的椭圆，下列说法正确的是( )A ．彗星在近日点的速率大于在远日点的速率B ．彗星在近日点的角速度大于在远日点的角速度C ．彗星在近日点的向心加速度大于在远日点的向心加速度D ．若彗星周期为76年，则它的半长轴是地球公转半径的76倍解析：选ABC.根据开普勒第二定律，近日点与远日点相比在相同时间内走过的弧长要大，因此在近日点彗星的线速度(即速率)、角速度都较大，A、B正确；向心加速度a＝v2R，在近日点，v大，R小，因此a大，C正确；根据开普勒第三定律r3T2＝k，则r31r32＝T21T22＝762，即r1＝35 776r2，D不正确．[B级——等级考增分练]6．火星绕太阳运动的椭圆轨道如图所示，M、N、P是火星依次经过的三个位置，F1、F2为椭圆的两个焦点．火星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，火星与太阳中心的连线扫过的面积分别为S1和S2.已知由M→N→P过程中，火星速率逐渐减小．下列判断正确的是()A．太阳位于焦点F2处B．S1<S2C．在M和N处，火星的角速度ωM<ωND．在N和P处，火星的动能E k N<E k P解析：选B.已知由M→N→P过程中，火星速率逐渐减小，根据开普勒第二定律可知，火星和太阳的距离越来越大，即太阳位于焦点F1处，故A错误；火星由M到N和由N到P的过程，通过的路程相等，速率逐渐减小，所以火星由M到N的运动时间小于由N到P的运动时间，根据开普勒第二定律可知单位时间内扫过的面积相等，因此S1<S2，故B正确；因v＝ωr，v M>v N>v P，r N>r M，所以火星的角速度ωM>ωN，火星的动能E k N＞E k P，故C、D错误．7.我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，以“一箭双星”方式成功发射第52、53颗北斗导航卫星．发射过程中，北斗52星的某一运行轨道为椭圆轨道，周期为T0，如图所示，则()A．卫星绕地球飞行的轨道是个椭圆，地球处于椭圆的中心B．卫星在A→B→C的过程中，速率逐渐变大C．卫星在A→B过程所用的时间小于T0 4D．在C点卫星速度有最大值解析：选 C.由开普勒第一定律可知，卫星绕地球飞行的轨道是个椭圆，地球处于椭圆的一个焦点上，故A错误；根据开普勒第二定律可知，卫星在相等的时间内扫过的面积相等，卫星在A→B→C的过程中，卫星与地球的距离增大，速率逐渐变小，在C点卫星速度有最小值，故B、D错误；卫星在A→B→C的过程所用的时间是半个周期，由于这段运动过程中速率逐渐变小，A→B、B→C 的路程相等，所以卫星在A→B过程所用的时间小于B→C过程所用的时间，则卫星在A→B过程所用的时间小于T04，故C正确．。

第七章 万有引力与宇宙航行第1节 行星的运动1．将冥王星和土星绕太阳的运动都看做匀速圆周运动。

已知冥王星绕太阳的公转周期约是土星绕太阳公转周期的8倍。

那么冥王星和土星绕太阳运行的轨道半径之比约为 A ．2∶1 B ．4∶1C ．8∶1D ．16∶1【答案】B【解析】开普勒第三定律：所有行星绕太阳运行的半长轴的三次方与公转周期二次方的比值都相等，即33122212R R T T =，已知12:8T T =得到313264R R =，整理得到124R R =，答案B 正确。

2．火星探测器沿火星近地圆轨道飞行，其周期和相应的轨道半径分别为T 0和R 0，火星的一颗卫星在其圆轨道上的周期和相应的轨道半径分别为T 和R ，则下列关系正确的是 A ．003lg()lg()2T RT R = B ．00lg()2lg()R TT R = C ．003lg()lg()2RT T R= D ．00lg()2lg()R TT R= 【答案】A【解析】根据开普勒第三定律：330220 R R K T T＝＝ ，则：323200 R T R T =，所以它们的对数关系可以表达为：0032T Rlg lg T R =（）（）．故A 正确，BCD 错误，故选A 。

3．关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是（ ） A ．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动 B ．行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处 C ．离太阳越近的行星的运动周期越长D ．所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等 【答案】D【解析】A ．所有行星都沿着不同的椭圆轨道绕太阳运动，选项A 错误； B ．行星绕太阳运动时太阳位于行星椭圆轨道的焦点处，选项B 错误；C ．根据开普勒第三定律可知，离太阳越近的行星的运动周期越短，选项C 错误；D ．根据开普勒第三定律可知，所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，选项D 正确．4．下列叙述中，正确的是A ．加速度恒定的运动不可能是曲线运动B ．物体做圆周运动，所受的合力一定指向圆心C ．平抛运动的速度方向与加速度方向的夹角一定越来越小D ．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式32r k T=，这个关系式是开普勒第三定律，是可以在实验室中得到证明的 【答案】C【解析】A 、平抛运动只受重力，加速度恒定，但是曲线运动，故A 错误；B 、物体做匀速圆周运动，所受的合力才一定指向圆心，故B 错误；C 、加速度方向或恒力的方向竖直向下，设速度方向与竖直方向的夹角为θ，根据0tan v gt θ=，因为竖直分速度逐渐增大，则θ逐渐减小，故C 正确；D 、32rk T=是开普勒在观察太阳系行星运动时得到的规律，在实验中不能验证，故D 错误．故选C 。