湖北省八市高三年级三月联考理数答案

2024年湖北省八市高三(3月）联考数学试卷命题单位：随州市教学研究室本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．＊祝考试顺利＊2024.3注意事项：I. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合A=II,21,B= l2,31,C= II,2,3,41, 则A.An B=�B.AU B =CC.AUC =CD.AnC=B2. 若a=(2,-3),b=(-1,2), 则a·(a+2b) =A. -5B. -3C.3D.53. 设复数1+ i是关于x的方程心2-2心+b=O(a,b eR)的一个根，则A.a +2b =0B. a-2b =0C.2a+b=0D.2a-b=04. 如图，在正方体AB C D-A1B心丸中，P,M,N分别为AB,BB1,DD1的中点，则与平面MNP垂直的直线可以是A.A1BB.A1DC.AC,D.A心5. 已知今天是星期三，则67-1天后是B,ND_夕-＇:／B，A. 星期一B. 星期二C. 星期三数学试卷第1页（共4页）D. 星期五．I6. 已知函数J(元）为偶函数，其图象在点(JJ (l ))处的切线方程为元-2y +l =0, 记f(元）的导函数为f'(元），则f'(-1)=l _2＿ ．A l _2B C. -2 D.2 7. 设某直角三角形的三个内角的余弦值成等差数列，则最小内角的正弦值为3 A . — 4 /5B .— 2/555C .-D . — 558. 设直线l :x 十y -1 =0, 一束光线从原点0出发沿射线y=缸（无�O)向直线l射出，经l反射后与无轴交于点M,再次经过h反射后与y 轴交千点N.若IMNI =:L. 亘，则k 的值为63_2．A 2一3B 1_2．c D.2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 某校为了解高一新生对数学是否感兴趣，从400名女生和600名男生中通过分层抽样的方式随机抽取100名学生进行问卷调查，将调查的结果得到如下等高堆积条形图和列联表，则1.0�---0.9 0.80.7 ---o.6�I::J i�;;,0.5 0.4 0.3 02 0.1 0.0．感兴趣口才砃兴趣女生男生数学兴趣性别合计感兴趣不感兴趣延ab a+b 男生Cd c+d合计a+cb+d100参考数据：本题中2n(a d -bc )2X = (a+ b ) (c + d ) (a+ c ) (b + d )=3.94 “尤＂0. 1 2. 706 0.05 3.8410.01 6.6350.005 7.8790. 001 10.828A. 表中a=12,c =308. 可以估计该校高一新生中对数学不感兴趣的女生人数比男生多c. 根据小概率值a =0. 05的x 2独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣有差异D. 根据小概率值a =0. 01的x 2独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣没有差异数学试卷第2页（共4页）．I10. 某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数r=一的图象是双曲线，设其焦点为M.N, 若P为其图象上任意一点，则A.y= -x是它的一条对称轴C. 点(2.2)是它的一个焦点B. 它的离心率为5D. I IPMI -IPNI I =2/i11. 已知函数f(兀）= ax3 +缸2+cx+d存在两个极值点%1'无2(无1<元2L且f(元，）＝一元，＇f伍）＝石．设f釭）的笭点个数为m,方程3a(J(:c)) 2+ 2b f (:c) + c = 0的实根个数为n,则A. 当a>0时，n=3 C.m n一定能被3整除B. 当a<O时，m+2=nD.m+n的取值集合为14,5,6,71三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 若tan(8+于）=3, 则tan()=.13. 设等比数列I a n l的前n项和为S n,若3S2>S6 >0, 则公比q的取值范围为．14. 记忠矿知）I , .. 附炉知）1分别表示函数J(兀）在[a, b]上的最大值和最小值．则min I max I Im + n-2 ./n I I I =E[ -3,3]E(0,9]四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (13分）在l::,.ABC中，已知AB=2丘，AC=2./f ,C =卫·4(I)求B的大小；(2)若BC>AC,求函数J(元）= sin(2无一B)-sin(2元+A+C)在[-1r,叫上的单调递增区间．16. (15分）如图，一个质点在随机外力的作用下，从数轴点1的位贵出发，每隔ls向左或向右移动一个单位，设每次向右移动的概率为p(O<p < 1).-6 -5 -4 -3 -2 -t O 1 2 3 4 5 6(I)当p=一时，求5s后质点移动到点0的位萱的概率；2(2)记3s后质点的位笠对应的数为X,若随机变拭X的期望E(X)>0, 求p的取值范围数学试卷第3页（共4页），17. (15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=PB=界，点M 在PD上，点N 为B C的中点，且PBII平面MA C .(1)证明：C MII平面PAN;(2)若PC=3, 求平面PAN与平面MAC夹角的余弦值．BNc18. (17分）已知双曲线C凸仁兮=I经过椭圆C 2:号+I =I的左、右焦点F i ,F 2, 设C 1,C 2的b a离心率分别为e 1,e 2'且e凸＝—．(1)求C 1心的方程；(2)设P 为Cl上一点，且在第一象限内，若直线P F 1与C 2交于A ,B 两点，直线P F 2与C2交于C,D两点，设AB,CD的中点分别为M,N,记直线MN的斜率为k,当k取最小值时，求点P的坐标19. (17分）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当J(兀）在X =0处的n(neN•)阶导数都存在时J(元）=/(0) +J '(O )x 十仁2/()) (0) 3 J'具）(O) " 元十X +••• + X +•••• 2!3! n! 注：J"(x )表示J(兀）的2阶导数，即为J'(x)的导数，f•'(x)(n;;:?:3)表示J(元）的n 阶导数，该公式也称麦克劳林公式(1)根据该公式估算sin 一的值，稍确到小数点后两位；2246(2)由该公式可得：COS%= I -� 十�-�+…．当工;;:?:0时，试比较COS.'t与1元2! 4! 6!－一的大2 小，井给出证明；(3)设n e N•, 证明：2 >n -A :I (n +k)tan —4n +2n +k数学试卷第4页（共4页）I2024年湖北省八市高三(3月）联考数学参考答案与评分细则一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

2022年湖北省八市高考数学联考试卷（3月份）1.设集合，集合，则( )A.B.C.D.2.已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率e 的值为( )A.B. C.D. 23.从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是( )A. “至少有1个红球”与“都是黑球”B. “恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”C. “至少有1个黑球”与“至少有1个红球”D. “都是红球”与“都是黑球”4.若向量，满足，，，则与的夹角为( )A. B.C.D.5.将函数的图象沿x 轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为( )A. B.C.D.6.设，为两个不同的平面，则的一个充要条件可以是( )A. 内有无数条直线与平行B. ，垂直于同一个平面C.，平行于同一条直线D.，垂直于同一条直线7.已知的展开式中的系数为80，则m 的值为( )A.B. 2C.D. 18.各种不同的进制在我们生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般用的十进制．通常我们用函数表示在x 进制下表达个数字的效率，则下列选项中表达效率最高的是( )A. 二进制B. 三进制C. 八进制D. 十进制9.立德中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照、、、、分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是( )A. 图中的x值为B. 这组数据的极差为50C. 得分在80分及以上的人数为400D. 这组数据的平均数的估计值为7710.2022年1月，中科大潘建伟团队和南科大范靖云团队发表学术报告，分别独立通过实验，验证了虚数i在量子力学中的必要性，再次说明了虚数i的重要性．对于方程，它的两个虚数根分别为( )A. B. C. D.11.我们把经过同一顶点的三条棱两两垂直的三棱锥，称作直角三棱锥．在直角三棱锥中，侧棱SA、SB、SC两两垂直，设，，，点S在底面ABC的射影为点D，三条侧棱SA、SB、SC与底面所成的角分别为、、，下列结论正确的有( )A. D为的外心B. 为锐角三角形C. 若，则D.12.已知函数，则( )A. 的图象关于对称B. 的最小正周期为C. 的最小值为1D. 的最大值为13.已知函数，则曲线在处的切线方程为______.14.某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区如图所示要求试验区四周各空，各试验区之间也空则每块试验区的面积的最大值为______15.已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线上异于顶点的一点，点O为坐标原点，过点N作直线OM的垂线与x轴交于点P，则______.16.2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．若第1个图中的三角形的周长为1，则第n个图形的周长为______；若第1个图中的三角形的面积为1，则第n个图形的面积为______.17.已知数列是等差数列，，求数列的通项公式；设，求数列的前n项和18.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知求角B的大小；设M，N分别为BC，AC的中点，AM与BN交于点P，若，求的值．19.在三棱台中，平面ABC，，且，M是AC的中点，P是CF上一点，且求证：平面平面PBM；当，且二面角的余弦值为时，求三棱台的体积．20.2022年2月6日，中国女足在两球落后的情况下，以3比2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战6：5惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇．扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数X的分布列和期望；好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，易知，①试证明为等比数列；②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小．21.设椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，点P是椭圆C上异于顶点的动点，已知椭圆的离心率，短轴长为求椭圆C的方程；若直线AD与直线BP交于点M，直线DP与x轴交于点N，求证：直线MN恒过某定点，并求出该定点．22.设函数为自然常数当时，求的单调区间；若在区间上单调递增，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合，集合，故选：求出集合A，B，利用交集定义能求出本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：渐近线方程整理得，而双曲线方程的渐近线为设，，则故选：先根据渐近线方程求得a和b的关系，进而求出a和c的关系，则离心率可得．本题主要考查了双曲线的简单性质．属基础题．3.【答案】D【解析】解：从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，对于A，“至少有1个红球”与“都是黑球”是对立事件，故A错误；对于B，恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”能同时发生，不是互斥事件，故B错误；对于C，“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”，能同时发生，不是互斥事件，故C错误；对于D，“都是红球”与“都是黑球”不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故D 正确．故选：利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．本题考查互斥而不对立的两个事件的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，是基础题．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查了向量夹角公式，向量垂直的充要条件，属于基础题．根据条件可得出，然后即可求出的值，从而得出答案．【解答】解：，，，，又，与的夹角为故选：5.【答案】B【解析】解：将函数的图象沿x轴向右平移个单位后，得到，若此时函数为偶函数的图象，则，，得，，当时，，故选：利用三角函数的平移关系求出函数的解析式，利用函数是偶函数建立方程进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用偶函数的性质建立方程是解决本题的关键，是基础题．6.【答案】D【解析】解：A：内有无数条直线与平行推不出，故A不符合，B：，垂直于同一平面，得到或，故B不符合，C：，平行于同一条直线，得到或与相交，故C不符合，D：，垂直于同一条直线，故D符合．故选：利用线面平行和线线平行的判定和性质，面面平行的判定和性质的应用判定A、B、C、D的结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查线面平行和线线平行的判定和性质，面面平行的判定和性质，主要考查学生的转换能力及思维能力，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：原式，故展开式中含的项为，令，解得故选：将原式拆开成的形式，然后再结合组合的知识表示出含的项，进而列出m 的方程求解．本题考查二项式展开式的项的性质，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：因为，可得，令，得在上单调递增，在上单调递减，故只需比较与的大小，而，故可得则效率最高的是三进制．故选：根据效率的定义，结合的单调性，即可判断和选择．本题考查了导数的应用，考查了函数思想，属于基础题．9.【答案】ACD【解析】解：由频率分布直方图，知：对于A，，解得，故A正确；对于B，由频率分布图无法得到这组数据的最大值和最小值，故这组数据的极差无法准确判断，故B错误；对于C，得分在80分及以上的人数为：人，故C正确；对于D，这组数据的平均数的估计值为：，故D正确．故选：利用频率分布直方图的性质直接求解．本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】CD【解析】解：，，即或，，即，解得或故选：根据已知条件，或，解出x的复数根，即可求解．本题主要考查一元二次函数复数根的求解，属于基础题．11.【答案】BCD【解析】解：，，平面SBC，平面而AD是SA在平面ABC上的射影，同理可证，，故O为的垂心，因垂心在三角形内，故B正确，A错误．平面ABC，，，分别为侧棱SA、SB、SC与底面所成的角，，，，，，，，，，，故C正确；在平面几何里，已知直角三角形SAB的两边SA，SB互相垂直，且，，则AB边上的高，由类比推理三棱锥的三条侧棱SA、SB、SC两两相互垂直，且，，，则点S到面ABC的距离，同理得，，，故D正确．故选：分别根据三棱锥的性质，以及空间直线的位置关系进行判断即可得到结论．本题主要考查空间三棱锥的位置关系的判断，涉及的知识点较多，综合性较强．12.【答案】ACD【解析】解：函数，对于A：，故A正确；对于B：由于，故函数的最小正周期为，故B错误；对于C：由于，所以，当时，，故C正确；对于D：由于，所以，当时，取得最大值为，故D正确．故选：直接利用函数的关系式的变换和函数的性质的应用求出结果．本题考查三角函数图像性质及三角恒等变换，考查学生的运算能力和数学思维能力，属中档题．13.【答案】【解析】解：函数，可得，，，切点坐标，所以切线方程：，即故答案为：求出导函数，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程．本题考查函数导数的应用，切线方程的求法，是基础题．14.【答案】6【解析】解：设矩形空地的长为xm，则宽为，依题意可得，试验区的总面积，当且仅当即时等号成立，所以每块试验区的面积的最大值为故答案为：设矩形空地的长为xm，根据图形和矩形的面积公式表示出试验区的总面积，利用基本不等式即可求出结果．本题考查了利用基本不等式求函数的最值，属于基础题．15.【答案】3【解析】解：依题意，设，则，由，可得N为OM的中点且，易得直线OM的垂线NP的垂线NP的方程为，令，得，故，由抛物线的定义易知，故故答案为：设，垂线NP的方程为，可得，从而可求本题考查抛物线的几何性质，直线的斜率等基础知识与基本技能方法，属于中档题．16.【答案】【解析】解：记第n个图形为，三角形边长为，边数，周长为，面积为，有条边，边长；有条边，边长有条边，边长分析可知，即，即，当第1个图中的三角形的周长为1时，即，，所以，由图形可知是在每条边上生成一个小三角形，即，即，利用累加法可得，数列是以为公比的等比数列，数列是以4为公比的等比数列，故是以为公比的等比数列，当第1个图中的三角形的面积为1时，，即，此时有条边，则，所以，所以，故答案为：由图形之间的边长的关系，得到周长是等比数列，再按照等比数列通项公式可得解；由图形之间的面积关系及累加法，结合等比数列求和可得解．本题以实际问题为载体，考查数列模型的构建，考查数列的求和，是中档题．17.【答案】解：设数列的公差为d，则，所以，所以，所以，所以……【解析】设数列的公差为d，由，求得d的值，进而知数列的通项公式，从而得解；采用裂项求和法，即可得解．本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握等差数列的通项公式，裂项求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：在中，由余弦定理可得，代入中，化简可得，，由正弦定理可得：，因为A为三角形内角，所以，所以，B为的内角，故由和，根据余弦定理得，故，易知，由M，N分别为BC，AC的中点可得，，在中，，易知，故【解析】根据正弦定理和余弦定理，代入即可求出结果．在中由余弦定理求出，再由，在中，求出，，代入即可求出答案．本题考查了正余弦定理解三角形以及两角和的正弦公式，属于中档题．19.【答案】证明：在中，因为，且M为AC中点，故可得，由平面ABC，且面ABC，可得，又，AC，面ACFD，故平面ACFD，又面ACFD，故，由可得，，又，故∽，可得，又，故，故可得，又，PM，面PBM，故可得平面PBM，又平面BCD，故平面平面由，可得，，连接DM，由可知，BM，MC，DM两两垂直，故以M为坐标原点，分别以MB，MC，MD所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易知，，，由，可得，设平面EBD的法向量为，则，且，令，得，设平面CBD的法向量为，则令，得，依题意可得，解得，故，易得和的面积分别为和2，故三棱台的体积【解析】由线面垂直推证，再结合三角形相似证明，即可由线线垂直推证线面垂直；以M为坐标原点建立空间直角坐标系，根据已知二面角大小，求得，再由棱台的体积计算公式即可求得结果．本题考查了面面垂直的证明以及棱台体积的计算，属于中档题．20.【答案】解：由题意可得，门将每次可以扑出点球的概率，，门将在前三次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，，，1，2，3，故X的分布列为：X 0 12 3P故证明：①第n次传球之前在甲脚下的概率为，则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，第次传球之前球不在甲脚下的概率为，故，即，又，是以为首项，公比为的等比数列，②由①可知，，，，故【解析】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．由题意可得，门将每次可以扑出点球的概率，，门将在前三次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可求解．①由题意可得的递推公式，进而求证．②令，计算与，通过比较，即可求解．21.【答案】解：由题意可得，解得，故椭圆C的方程为：；解法一：设直线BP的方程为且，直线DP的方程为且，易知直线DP与x轴的交点为，易知直线AD的方程为，所以直线BP与直线AD的交点为，将代入方程，得，所以点P的横坐标为，则点P的横坐标为，将点P的坐标代入直线BP的方程，整理得，即，因为，所以，由M，N点坐标可得直线MN的方程为：，所以直线MN过定点解法二：易知直线AD的方程为，设点，直线BP的方程，联立，可得，由D，P，N三点共线，易得，直线MN的斜率，由，可得，代入上式可得：，可得直线MN的方程：，所以直线MN过定点【解析】根据及椭圆的离心率公式，即可求得a的值，求得椭圆方程；解法一：设直线BP，DP的方程，求得N点坐标，因此求得M点坐标，将直线DP的方程与椭圆方程联立求得P点坐标，将P代入直线BP方程，结合直线MN的方程，即可求得直线MN过定点；解法二：设P点坐标，求得直线BP的方程，联立BP与AD的方程，求得M点坐标，根据D，P，N三点共线，求得N点坐标，求得直线MN的斜率，结合椭圆方程，求得直线MN的方程，即可求得直线MN过定点．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，考查圆锥曲线中定点问题，考查转化思想，计算能力，属于难题．22.【答案】解：当时，，定义域为，，令，解得，令，解得，故此时的单调递增区间为，单调递减区间为在区间上有意义，故在上恒成立，可得，依题意可得在上恒成立，设，，易知在上单调递增，故，故在上单调递减，最小值为，故只需，设，其中，由可得在上为减函数，，故综上所述：a的取值范围为【解析】求定义域，求导，解不等式，求出单调区间；先根据定义域得到，二次求导，结合极值，最值，列出不等式，求出实数a的取值范围．本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，已知函数单调性，求解参数取值范围，转化为导函数与0的大小比较，本题中难点在于要进行二次求导，求解参数的取值范围时，也要结合单调性及特殊值，对逻辑性要求较高，属于中档题．。

2021湖北省年八市高三 （3月）联考数学试题参考答案及评分标准2021.03.02一、单选题 1-4 BCAB 5-8 ACDB 二、多选题 9. BC 10.BD 11.BC 12.ACD三、填空题 13. 1 14. 52 15. 816116. 928⎫⎪⎬⎪⎪⎩⎭ 四、解答题17．解析：（1）由sin()2sin()cos()A C B C A B +=++得C A B cos sin 2sin -=,又32π=C 代入得b a B A B A ===,sin sin 即，所以2::sin:sin:sin663a b c πππ== …………5分（2）由（1）知πππtan tan()212462r c ==-=-得3322=-=r c ，所以43sin 21,1====∆C ab S b a ABC …………10分 18．解析：二项展开式的通项为rr r r rr x C r x x C T 312666261)301()1()30(---+==，令4=r 得展开式的常数项为211=a . …………6分 可选择的条件为①或②或③若选择①：在t a S n n +-=中令11==t n 得，111+-=--n n a S 两式相减得121-=n n a a ， ………9分 故{}n a 是以21为首项21为公比的等比数列，所以12111)1(1<-=--=nn n q q a S ）（恒成立. …………12分 若选择②：由1)1(11+==+++n nb b nb b n n n n n 得， 所以1211211(2),1n n n n n b b b b b n n b b b n---=⋅⋅⋅⋅=≥= 时也满足，则)1(1+=n n a n 111+-=n n ，………9分 111111(1)()11223+1+1n S n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-<（）恒成立. …………12分若选择③：则22111133(),,3n n n n n n a a a a a a +++-=-+-=-或10n n a a ++= …………9分又211=a ，当10n n a a ++=时， 0112n n n S S n ⎧⎪=∴<⎨⎪⎩，为偶数.，为奇数.当113n n a a +-=-时，2(1)1(4),266n n n n S n n -=-=--此时2n =时max 2()13n S =< …………12分19.解：（1）取AB,AD 的中点G ,H ,连接DG 、EH , 1,//2BG AB CD BG CD ==,∴四边形BCDG 是平行四边形，DG =BC =AG =AD =2,ADG ∴∆为等边三角形，1,2DG AB ABD =∴∆是直角三角形，.AD BD ∴⊥平面ADE ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ，AD =平面ADE ⋂平面ABCD , ∴BD ⊥平面ADE ,AE ⊂平面ADE ,∴AE BD ⊥……5分(2) F 为EB 中点即可满足条件.取AD 的中点H ,连接EH ,则EH BD ==如图建立空间直角坐标系D xyz -,则(0,0,0),(2,0,0),(0,((1,0D A B C E -,则(2,0,0),(1,3,0),(1,23,3),(,,),DA CB EB EFEB λλ===--==-(1,),DF λ=-设平面ADF 的法向量为()111,,m x y z =，平面BCE 的法向量为()222,,n x y z =．由0DF DA m m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得1111(1)2)020x y z x λ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩，取()0,12m λλ=-，；y由0 0EB CB n n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得222220 230x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，取()3,1,3n =-． 于是， |||cos ,|1313m n m n m n⋅〈〉===⋅． 解得1=2λ或1=-3λ（舍去）所以存在12λ=使得平面ADF 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值为13.………12分 20.（1）由题意知9953.02-=r ，10.8858r ====，因为121r r <<，所有用dy c x =+模型建立y 与x 的回归方程更合适．………………4分 （2）因为1311322113 2.1ˆ100.2113i ii ii t y t ydtt ==-⋅-===--∑∑， ………………6分 ˆˆ109.94100.16111.54cy dt =-=+⨯=， 所以ˆy 关于x 的回归方程为x y 1054.111ˆ-=…………………………8分（3）由题意知x x x y z 21)1054.111(2021ˆ20ˆ--=-=)21200(8.2230x x +-=8.2210208.2230=-≤，所以8.2210ˆ≤z，当且仅当20=x 时等号成立， 所以当温度为20时这种草药的利润最大． ………………………………12分21.（1）2221(),0x ax f x x x-+'=>，令22210,44x ax a -+=∆=- 当0∆≤即11a -≤≤时，()0f x '≥，()f x 在()0,+∞上单调递增； 当0∆>即1a >或1a <-时，① 当1a <-时，20,()0,ax f x '->>()f x 在()0,+∞上单调递增； ② 当1a >时，令()0f x '=，12x a x a ==+综上：当1a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递增；当1a >时，()f x在(()0,,a a +∞上单调递增，在(a a 上单调递减. ……5分 (2)由（1）知1a >时()f x 有两个极值点12,x x ， 且1212212,1,10x x a x x x x +==>>>不妨设，1121112212121221221212121211(2ln )(2ln )()2ln 2ln ()()2.x x x x x a x x a x x x a a f x f x x x x x x x x x x x x x x x ----------===-----要证1212()()24,f x f x a x x ->--即证1212ln2x x x x <-，即2222ln 21x x x <-，2221ln 0,x x x ∴-+< 设1()ln (1),g t t t t t =-+>由（1）知当1=2a 时，()f x 在()0,+∞上单调递增，()()g t f t =-，则()g t 在()1,+∞上单调递减， ()g(1)0g t ∴<=.原式得证. …………12分22.（1）⎪⎩⎪⎨⎧==+21722a c b a ，所以2=a ，3=b . 故椭圆的标准方程为13422=+y x .………………4分 （2）①由题意知，由对称性知，P 必在x 轴上，)0,1(-F ,设直线MN 方程：1-=my x ，),(11y x M ，),(22y x N ，),4(1y E -，联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134122y x my x 得 096)43(22=--+my y m ， 所以436221+=+m m y y ，439221+-=m y y ， ………………5分 所以)(322121y y y my +=-， 又4212+-=x y y k EN ，所以直线EN 方程为：)4(42121++-=-x x y y y y ，…………6分tt t f 1315)(+=令0=y ，则12121122134)4(4y y y y my y y x y x -+--=-+--=25234)(2341221-=+-=----=y y y y所以直线EN 过定点)0,25(-P .………………8分（其它解法酌情给分）②由（1）中0)1(1442>+=∆m ，所以R m ∈,又易知431122221++=-m m y y ，所以2121y y OP S OEN-=∆431124522++⋅=m m 4311522++=m m ， ………10分 令12+=m t ，1≥t ，则t t t t S OEN 131513152+=+=∆，又因为 在[)+∞,1单调递减，所以1=t ，415][max =∆OEN S . ………………12分命题人：黄梅一中 王进 潜江教研室 鲁兵 江汉油田教研室 徐洪军 审题人：黄州区一中 童云霞 黄梅一中 王卫华。

湖北省八市2020—2021学年高三下学期3月联考数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．若复数z 满足：2021i 2i z =-，则z ＝A ．﹣1＋2iB ．﹣1﹣2iC ．1﹣2iD ．1＋2i 2．已知M ，N 均为R 的子集，且M R⊆N ，则RM N ＝A ．∅B ．MC ．ND ．R 3．设0.33a =，0.3log 0.4b =，3log 0.3c =，则a ，b ，c 的大小是A ．a ＞b ＞cB ．b ＜c ＜aC ．b ＞a ＞cD ．a ＜b ＜c4．1943年19岁的曹火星在平西根据地进行抗日宣传工作，他以切身经历创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，后毛泽东主席将歌曲改名为《没有共产党就没有新中国》．2021年是中国共产党建党100周年，仅从逻辑学角度来看，“没有共产党就没有新中国”这句歌词中体现了“有共产党”是“有新中国”的A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知函数()3sin()g x x ωϕ=+，()g x 图像上每一点的横坐标缩短到原来的12，得到()f x 的图像，()f x 的部分图像如图所示，若2AB BC AB ⋅=，则ω等于 A ．12π B ．6π C ．4π D ．2π 6．在三棱锥S —ABC 中，SA ＝SB ＝SC ，AB ⊥BC ，O 为AC 中点，OS ＝OC ＝1，则三棱锥S —ABC 体积最大值为A ．12B ．34C ．13D ．167．函数0, 0()sin , 0ln x f x x x x x=⎧⎪=-⎨≠⎪⎩的部分图像大致为8．设实数t ＞0，若不等式2ln 2ln 0tx xe t+-≥对x ＞0恒成立，则t 的取值范围为 A ．[12e ，+∞) B ．[1e ，+∞) C ．(0，1e] D ．(0，12e ]二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．下列说法正确的是A ．已知直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，则“α∥β”是“l ⊥m ”的必要不充分条件B ．若随机变量ξ服从正态分布N(1，2σ)，P(ξ≤4)＝0.79，则P(ξ≤﹣2)＝0.21C ．若随机变量ξ服从二项分布，ξ~B(4，14)，则E(2ξ＋3)＝5 D ．甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件M 为“4个人去的景点各不相同”，事件N 为“甲不去其中的A 景点”，则P(MN)＝2910．△ABC 中，D 为边AC 上的一点，且满足1AD DC 2=，若P 为边BD 上的一点，且满足AP AB AC m n =+(m ＞0，n ＞0)，则下列结论正确的是A ．m ＋2n ＝1B ．mn 的最大值为112C ．41m n +的最小值为6＋42 D ．m 2＋9n 2的最小值为1211．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b ﹣2a ＋4a sin 2A B2+＝0，则下列结论正确的是A ．角C 一定为锐角B ．a 2＋2b 2﹣c 2＝0C ．3tanA ＋tanC ＝0D ．tanB 的最小值为3 12．意大利画家列奥纳多·达·芬奇（1452．4—1519．5）的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不 一样的美与光泽，达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式：()cosh xf x a a=，其中a 为悬链线系数，cosh x 称为双曲余弦函数，其函数表达式为cosh x＝e e 2x x -+，相应地双曲正弦函数的表达式为sinh x ＝e e 2x x --．若直线x ＝m 与双曲余弦函数C 1与双曲正弦函数C 2的图象分别相交于点A ，B ，曲线C 1在点A 处的切线l 1与曲线C 2在点B 处的切线l 2相交于点P ，则下列结论正确的为 A ．cosh(x ﹣y )＝cosh x cosh y ﹣sinh x sinh y B ．y ＝sinh x cosh x 是偶函数 C ．(cosh x )′＝sinh xD ．若△PAB 是以A 为直角顶点的直角三角形，则实数m ＝0三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知函数23()2sin log 3xf x xα+=+-，()3f m =，()1f m -=，则m ＝ ． 14．抛物线C ：x 2＝2py ，其焦点到准线l 的距离为4，则准线l 被圆x 2＋y 2﹣6x ＝0截得的弦长为 ．15．遗爱湖国家湿地公园是黄冈市城市亮丽的名片．2021年元月份以来，来黄冈参观游览的游客络绎不绝，现通过对参观遗爱湖的游客问卷调查，发现每位游客选择继续游玩遗爱湖的概率都是13，不游玩遗爱湖的概率都是23，若不游玩遗爱湖记1分，继续游玩遗爱湖记2分，记已调查过的所有游客累计得分恰为n 分的概率为n a ，则4a ＝ ． 16．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是棱CC 1的中点，N 是侧面B 1BCC 1内的动点，且满足直线A 1N ∥平面AD 1M ，当直线A 1N 与平面B 1BCC 1所成角最小时，记过点D ，M ，N 的平面截正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1所得到的截面为Ω，所有Ω的面积组成的集合记为S ，则S ＝ ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若角C 为23π，且sin(A ＋C)＝2sin(B ＋C)cos(A ＋B)．（1）求a ：b ：c 的值；（2）若△ABC 的内切圆的半径32r =，求△ABC 的面积．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，请在下列三个条件中补充一个在下面问题中使得最终结论成立并证明你的结论．条件①：n n S a t =-+(t 为常数)；条件②：1n n n a b b +=，其中数列{}n b 满足11b =，1(1)n n n b nb ++=；条件③：221133n n n n a a a a ++=++．数列{}n a 中1a 是二项式261)x+展开式中的常数项，且 ．求证：n S ＜1对N n *∀∈恒成立．注：如果选择多个条件作答，则按第一个条件的解答计分． 19．（本小题满分12分）已知四棱锥E—ABCD 中，四边形ABCD 为等腰梯形，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝2，AB ＝4，△ADE 为等边三角形，且平面ADE ⊥平面ABCD ．（1）求证：AE ⊥BD ；（2）是否存在一点F ，满足EF EB λ= (0＜λ≤1)，且使平面ADF 与平面BCE 所成的．若存在，求出λ的值，否则请说明理由．20．（本小题满分12分）近年来，明代著名医药学家李时珍故乡黄冈市蕲春县大力发展大健康产业，蕲艾产业化种植已经成为该县脱贫攻坚的主要产业之一，已知蕲艾的株高y (单位：cm)与一定范围内的温度x (单位：℃)有关，现收集了蕲艾的13组观测数据，得到如下的散点图：现根据散点图利用y a =+d y c x =+建立y 关于x的回归方程，令s =1t x=得到如下数据：且(i s ，i y )与(i t ，i y )(i ＝1，2，3，…，13)的相关系数分别为1r ，2r ，且2r ＝﹣0.9953． （1）用相关系数说明哪种模型建立y 与x 的回归方程更合适； （2）根据（1）的结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）已知蕲艾的利润z 与x 、y 的关系为1202z y x =-，当x 为何值时，z 的预报值最大．参考数据和公式：0.21×21.22＝4.4562，11.67×21.22＝247.637415.7365，对于一组数据(i u ，i v )(i ＝1，2，3，…，n )，其回归直线方程v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为1221ni i i nii u vnu v unuβ==-⋅=-∑∑，v u αβ=-，相关系数ni i u vnu vr -⋅=∑．21．（本小题满分12分）已知函数1()2ln f x x a x x=--(a ∈R)． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1x ，2x 为函数()f x 的两个极值点，证明：1212()()24f x f x a x x ->--．22．（本小题满分12分）已知椭圆C ：2222x y a b+＝1(a ＞b ＞0)12，过椭圆C 的左焦点F 1作不与x 轴重合的直线MN 与椭圆C 相交于M ，N 两点，过点M 作直线m ：x ＝﹣2a 的垂线ME ，E 为垂足．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）①已知直线EN 过定点P ，求定点P 的坐标；②点O 为坐标原点，求△OEN 面积的最大值．湖北省八市2020—2021学年高三下学期3月联考数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．若复数z 满足：2021i 2i z =-，则z ＝A ．﹣1＋2iB ．﹣1﹣2iC ．1﹣2iD ．1＋2i 答案：B解析：2021i i =，2i12i iz -==--，选B ． 2．已知M ，N 均为R 的子集，且M R⊆N ，则RM N ＝A ．∅B ．MC ．ND ．R 答案：C解析：用图示法表示题意，如下图，故RMN ＝N ，选C ．3．设0.33a =，0.3log 0.4b =，3log 0.3c =，则a ，b ，c 的大小是A ．a ＞b ＞cB ．b ＜c ＜aC ．b ＞a ＞cD ．a ＜b ＜c 答案：A解析：0.3331a =>=，0.3log 0.4b =∈(0，1)，3log 0.30c =<，所以a ＞b ＞c ，选A ． 4．1943年19岁的曹火星在平西根据地进行抗日宣传工作，他以切身经历创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，后毛泽东主席将歌曲改名为《没有共产党就没有新中国》．2021年是中国共产党建党100周年，仅从逻辑学角度来看，“没有共产党就没有新中国”这句歌词中体现了“有共产党”是“有新中国”的A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：根据题意可得“有新中国”⇒“有共产党”，故“有共产党”是“有新中国”的必要条件，选B ． 5．已知函数()3sin()g x x ωϕ=+，()g x 图像上每一点的横坐标缩短到原来的12，得到()f x 的图像，()f x 的部分图像如 图所示，若2AB BC AB ⋅=，则ω等于 A ．12πB ．6π C ．4π D ．2π 答案：A解析：根据2AB BC AB⋅=，可得cos ∠ABC ＝12-，故∠ABC ＝120°，从而AD ＝6，故()g x的周期为24，所以224πω=，12πω=，故选A ．6．在三棱锥S —ABC 中，SA ＝SB ＝SC ，AB ⊥BC ，O 为AC 中点，OS ＝OC ＝1，则三棱锥S —ABC 体积最大值为 A ．12 B ．34 C ．13D ．16 答案：C解析：当底面ABC 是等腰直角三角形，SO 是三棱锥的高时，体积最大，此时求得体积为V＝13，故选C ． 7．函数0, 0()sin , 0ln x f x x x x x=⎧⎪=-⎨≠⎪⎩的部分图像大致为答案：D解析：首先判断原函数是奇函数，排除A ，B ，当0＜x ＜1时，sin x x -＞0，ln x ＜0，故()f x ＜0，由此可判断选D ．8．设实数t ＞0，若不等式2ln 2ln e0txxt+-≥对x ＞0恒成立，则t 的取值范围为 A ．[12e ，+∞) B ．[1e ，+∞) C ．(0，1e] D ．(0，12e ]答案：B解析：2222ln 2ln 2ln e0e ln 22e 2ln 22e ln 2e txtx tx tx x xt x tx x x tx x t+-≥⇒≥⇒≥⇒≥， 令()e xf x x =，故(2)(ln2)f xt f x ≥，故ln 212ln 22ex xt x t t x ≥⇒≥⇒≥，故选B ． 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列说法正确的是A ．已知直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，则“α∥β”是“l ⊥m ”的必要不充分条件B ．若随机变量ξ服从正态分布N(1，2σ)，P(ξ≤4)＝0.79，则P(ξ≤﹣2)＝0.21C ．若随机变量ξ服从二项分布，ξ~B(4，14)，则E(2ξ＋3)＝5 D ．甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件M 为“4个人去的景点各不相同”，事件N 为“甲不去其中的A 景点”，则P(MN)＝29答案：BC解析：已知直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，则“α∥β”是“l ⊥m ”的充分不必要条件，A 错误；P(ξ≤﹣2)＝P(ξ≥4)＝1﹣P(ξ≤4)＝0.21，B 正确； 若随机变量ξ服从二项分布，ξ~B(4，14)，则E(ξ)＝1，所以E(2ξ＋3)＝2E(ξ)＋3＝5，C 正确；选项D 明显错误．综上选BC ．10．△ABC 中，D 为边AC 上的一点，且满足1AD DC 2=，若P 为边BD 上的一点，且满足AP AB AC m n =+(m ＞0，n ＞0)，则下列结论正确的是 A ．m ＋2n ＝1 B ．mn 的最大值为112C ．41m n +的最小值为6＋ D ．m 2＋9n 2的最小值为12答案：BD解析：AP AB AC AB 3AD m n m n =+=+，m ＋3n ＝1，A 错误；mn ＝1(3)3m n ≤2111()3212⨯=，经检验能取“＝”，B 正确；414112()(3)77m n m n m n m n n m+=++=++≥+C 错误； m 2＋9n 22(3)122m n +≥=，经检验能取“＝”，D 正确． 综上选BD ．11．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b ﹣2a ＋4a sin 2A B2+＝0，则下列结论正确的是A ．角C 一定为锐角B ．a 2＋2b 2﹣c 2＝0C ．3tanA ＋tanC ＝0D ．tanB 的最小值为3 答案：BC解析：∵b ﹣2a ＋4a sin 2A B2+＝0， ∴2C 24sin ()022b a a π-+-=， ∴2C 24cos 02b a a -+=， ∴1cosC2402b a a +-+⨯=， ∴2cosC 0b a +=，故cosC ＜0，∴角C 一定为钝角，A 错误；∴2222222cosC 020202a b c b a b aa b c ab+-+=⇒+=⇒+-=，B 正确； ∴2cosC 0sinB 2sinAcosC 03sinAcosC cosAsinC 0b a +=⇒+=⇒+= 3tanA tanC 0⇒+=，C 正确；2tan A tan C 2tan A 23tan B 1tan A tan C 13tan A 13tan A tan A+-===≤⋅---+，经检验“＝”取得到，D 错误．综上选BC ．12．意大利画家列奥纳多·达·芬奇（1452．4—1519．5）的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不 一样的美与光泽，达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式：()coshxf x a a=，其 中a 为悬链线系数，cosh x 称为双曲余弦函数，其函数表达式为cosh x＝e e 2x x -+，相应地双曲正弦函数的表达式为sinh x ＝e e 2x x --．若直线x ＝m 与双曲余弦函数C 1与双曲正弦函数C 2的图象分别相交于点A ，B ，曲线C 1在点A 处的切线l 1与曲线C 2在点B 处的切线l 2相交于点P ，则下列结论正确的为 A ．cosh(x ﹣y )＝cosh x cosh y ﹣sinh x sinh y B ．y ＝sinh x cosh x 是偶函数 C ．(cosh x )′＝sinh xD ．若△PAB 是以A 为直角顶点的直角三角形，则实数m ＝0 答案：ACD解析：e e e e e e e e e e cosh cosh sinh sinh 22222x x y y x x y y x y x yx y x y ------+++--+-=⋅-⋅== c osh(x ﹣y )，A 正确；y ＝sinh x cosh x 是奇函数，B 错误；e e e e ()22x x x x--+-'=，即(cosh x )′＝sinh x ，C 正确； 对于D ，当m ＝0时，符合题意，通过画图，其他m 的值不可能使△PAB 是以A 为直角顶点的直角三角形，D 正确． 故选ACD ．三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知函数23()2sin log 3xf x xα+=+-，()3f m =，()1f m -=，则m ＝ ． 答案：1解析：首先判断出函数()f x 关于点(0，2sin α)，∴()()4sin 4sin 1f m f m αα+-==⇒=， 23()332log 13mf m m m+=⇒=+⇒=-，解得m ＝1． 14．抛物线C ：x 2＝2py ，其焦点到准线l 的距离为4，则准线l 被圆x 2＋y 2﹣6x ＝0截得的弦长为 ．答案：解析：首先求得准线l 的方程为y ＝﹣2，故弦长＝=．15．遗爱湖国家湿地公园是黄冈市城市亮丽的名片．2021年元月份以来，来黄冈参观游览的游客络绎不绝，现通过对参观遗爱湖的游客问卷调查，发现每位游客选择继续游玩遗爱湖的概率都是13，不游玩遗爱湖的概率都是23，若不游玩遗爱湖记1分，继续游玩遗爱湖记2分，记已调查过的所有游客累计得分恰为n 分的概率为n a ，则4a ＝ ． 答案：6181解析：241243122161()()()333381a C =++⨯⨯=． 16．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是棱CC 1的中点，N 是侧面B 1BCC 1内的动点，且满足直线A 1N ∥平面AD 1M ，当直线A 1N 与平面B 1BCC 1所成角最小时，记过点D ，M ，N 的平面截正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1所得到的截面为Ω，所有Ω的面积组成的集合记为S ，则S ＝ ． 答案：98} 解析：取E 为BB 1中点，F 为C 1B 1中点，N 在EF 上，又因为sin ∠A 1NB ＝11A BA N，当A 1N 最大时，A 1N 与面B 1BCC 1夹角最小，即N 与E ，F 重合时，分别计算两种情形得到S ＝，98}． 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若角C 为23π，且sin(A ＋C)＝2sin(B ＋C)cos(A ＋B)．（1）求a ：b ：c 的值；（2）若△ABC 的内切圆的半径32r =，求△ABC 的面积． 解：（1）由sin(A ＋C)＝2sin(B ＋C)cos(A ＋B)得sinB ＝﹣2sinAcosC ，又C ＝23π， 代入得sinA ＝sinB ，即A ＝B ，a ＝b ，所以a ：b ：c ＝sin6π：sin 6π：sin 23π＝1：1（2）由（1）知得，所以．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，请在下列三个条件中补充一个在下面问题中使得最终结论成立并证明你的结论．条件①：n n S a t =-+(t 为常数)；条件②：1n n n a b b +=，其中数列{}n b 满足11b =，1(1)n n n b nb ++=；条件③：221133n n n n a a a a ++=++．数列{}n a 中1a 是二项式261)x+展开式中的常数项，且 ．求证：n S ＜1对N n *∀∈恒成立．注：如果选择多个条件作答，则按第一个条件的解答计分．解：二项展开式的通项为rr r r rr x C r x x C T 312666261)301()1()30(---+==，令4=r 得展开式的常数项为211=a . 可选择的条件为①或②或③若选择①：在t a S n n +-=中令11==t n 得，111+-=--n n a S 两式相减得121-=n n a a ， 故{}n a 是以21为首项21为公比的等比数列，所以12111)1(1<-=--=nn n q q a S ）（恒成立.若选择②：由1)1(11+==+++n nb b nb b n n n n n 得， 所以1211211(2),1n n n n n b b b b b n n b b b n---=⋅⋅⋅⋅=≥= 时也满足，则)1(1+=n n a n 111+-=n n ， 111111(1)()11223+1+1n S n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-<（）恒成立.若选择③：则22111133(),,3n n n n n n a a a a a a +++-=-+-=-或10n n a a ++=又211=a ，当10n n a a ++=时， 0112n n n S S n ⎧⎪=∴<⎨⎪⎩，为偶数.，为奇数.当113n n a a +-=-时，2(1)1(4),266n n n n S n n -=-=-- 此时2n =时max 2()13n S =< 19．（本小题满分12分）已知四棱锥E—ABCD 中，四边形ABCD 为等腰梯形，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝2，AB ＝4，△ADE 为等边三角形，且平面ADE ⊥平面ABCD ．（1）求证：AE ⊥BD ；（2）是否存在一点F ，满足EF EB λ=(0＜λ≤1)，且使平面ADF 与平面BCE 所成．若存在，求出λ的值，否则请说明理由．解：（1）取AB,AD 的中点G ,H ,连接DG 、EH ,1,//2BG AB CD BG CD ==,∴四边形BCDG 是平行四边形，DG =BC =AG =AD =2,ADG ∴∆为等边三角形，1,2DG AB ABD =∴∆是直角三角形，.AD BD ∴⊥平面ADE ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ，AD =平面ADE ⋂平面ABCD ,∴BD ⊥平面ADE ,AE ⊂平面ADE ,∴AE BD ⊥（2） F 为EB 中点即可满足条件.取AD 的中点H ,连接EH ,则3,23,EH BD ==如图建立空间直角坐标系D xyz -,则(0,0,0),(2,0,0),(0,23,0),(1,3,0),(1,03)D A B C E -，,则(2,0,0),(1,3,0),(1,23,3),(,23,3),DA CB EB EF EB λλλλ===--==--(1,23,33),DF λλλ=--设平面ADF 的法向量为()111,,m x y z =，平面BCE 的法向量为()222,,n x y z = ．由00DF DA m m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得1111(1)23(33)020x y z x λλλ⎧-++-=⎪⎨=⎪⎩，取()0,12m λλ=-，；由0 0EB CB n n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得22222302330x y x y z ⎧+=⎪⎨--+=⎪⎩，取()3,1,3n =-． 于是， 2||65|cos ,|1613521m n m n m nλλλλ⋅〈〉===⋅-+⋅-+． 解得1=2λ或1=-3λ（舍去）所以存在12λ=使得平面ADF 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值为65. 20．（本小题满分12分）近年来，明代著名医药学家李时珍故乡黄冈市蕲春县大力发展大健康产业，蕲艾产业化种植已经成为该县脱贫攻坚的主要产业之一，已知蕲艾的株高y (单位：cm)与一定范围内的温度x (单位：℃)有关，现收集了蕲艾的13组观测数据，得到如下的散点图：现根据散点图利用y a =+或d y c x =+建立y 关于x的回归方程，令s 1t x=得到如下数据：且(i s ，i y )与(i t ，i y )(i ＝1，2，3，…，13)的相关系数分别为1r ，2r ，且2r ＝﹣0.9953． （1）用相关系数说明哪种模型建立y 与x 的回归方程更合适； （2）根据（1）的结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）已知蕲艾的利润z 与x 、y 的关系为1202z y x =-，当x 为何值时，z 的预报值最大．参考数据和公式：0.21×21.22＝4.4562，11.67×21.22＝247.637415.7365，对于一组数据(i u ，i v )(i ＝1，2，3，…，n )，其回归直线方程v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为1221ni i i nii u v nu vunuβ==-⋅=-∑∑，v u αβ=-，相关系数ni i u vnu vr -⋅=∑．解：（1）由题意知9953.02-=r ，10.8858r ====，因为121r r <<，所有用dy c x=+模型建立y 与x 的回归方程更合适． （2）因为1311322113 2.1ˆ100.2113i ii ii t y t ydtt ==-⋅-===--∑∑， ˆˆ109.94100.16111.54c y dt =-=+⨯=，所以ˆy 关于x 的回归方程为xy1054.111ˆ-=（3）由题意知x x x y z21)1054.111(2021ˆ20ˆ--=-=)21200(8.2230x x +-= 8.2210208.2230=-≤，所以8.2210ˆ≤z，当且仅当20=x 时等号成立， 所以当温度为20时这种草药的利润最大．21．（本小题满分12分）已知函数1()2ln f x x a x x=--(a ∈R)． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1x ，2x 为函数()f x 的两个极值点，证明：1212()()24f x f x a x x ->--．解：（1）2221(),0x ax f x x x-+'=>，令22210,44x ax a -+=∆=- 当0∆≤即11a -≤≤时，()0f x '≥，()f x 在()0,+∞上单调递增； 当0∆>即1a >或1a <-时，① 当1a <-时，20,()0,ax f x '->>()f x 在()0,+∞上单调递增； ② 当1a >时，令()0f x '=，12x a x a ==+综上：当1a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递增；当1a >时，()f x 在(()0,,a a +∞上单调递增， 在(a a 上单调递减.（2）由（1）知1a >时()f x 有两个极值点12,x x ， 且1212212,1,10x x a x x x x +==>>>不妨设， 1121112212121221221212121211(2ln )(2ln )()2ln 2ln ()()2.x x x x x a x x a x x x a a f x f x x x x x x x x x x x x x x x ----------===-----要证1212()()24,f x f x a x x ->--即证1212ln2x x x x <-，即2222ln 21x x x <-，2221ln 0,x x x ∴-+< 设1()ln (1),g t t t t t =-+>由（1）知当1=2a 时，()f x 在()0,+∞上单调递增，()()g t f t =-，则()g t 在()1,+∞上单调递减， ()g(1)0g t ∴<=.原式得证. 22．（本小题满分12分）已知椭圆C ：2222x y a b+＝1(a ＞b ＞0)，离心率为12，过椭圆C 的左焦点F 1作不与x 轴重合的直线MN 与椭圆C 相交于M ，N 两点，过点M 作直线m ：x ＝﹣2a 的垂线ME ，E 为垂足．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）①已知直线EN 过定点P ，求定点P 的坐标；②点O 为坐标原点，求△OEN 面积的最大值．解：（1）12c a =⎨=⎪⎩ ，所以2a =，b 故椭圆的标准方程为22143x y += .（2）①由题意知，由对称性知，P 必在x 轴上，)0,1(-F ,设直线MN 方程：1-=my x ，),(11y x M ，),(22y x N ，),4(1y E -，联立方程221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得 22(34)690m y my +--=，所以122634m y y m +=+，122934y y m -=+ ， 所以121223()my y y y -=+， 又2124EN y y k x -=+，所以直线EN 方程为：2112(4)4y y y y x x --=++， 令0y =，则121212121(4)344y x my y y x y y y y ++=--=----12213()3524422y y y y -=--=-+=-- 所以直线EN 过定点5(,0)2P -（其它解法酌情给分）③ 由（1）中2144(1)0m ∆=+>，所以m R ∈,又易知12y y -=所以1212OEN S OP y y ∆=-54==， 15()13f t t t=+令t =1t ≥，则215151313OEN t S t t t ∆==++，又因为 在[)1,+∞单调递减，所以1t =，max 15[]4OEN S ∆=. tt t f 1315)(+=。

2023年湖北省八市高考数学联考试卷（3月份）1. 已知集合，，若，则( )A. B. C. D.2. 若为虚数单位，则( )A. B. C. D.3. 已知两个非零向量的夹角为，且，则( )A. B. C. D. 34. 羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为7cm，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成圆的直径是6cm，底部所围成圆的直径是2cm，据此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为( )A. B. C. D.5. 将顶点在原点，始边为x轴非负半轴的锐角的终边绕原点逆时针转过后，交单位圆于点，那么的值为( )A. B. C. D.6. 甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有A，B，C三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A小区的概率为( )A. B. C. D.7. 设，，，则( )A. B. C. D.8. 如图，，为双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线于B，D两点，，E为线段的中点，若对于线段上的任意点P，都有成立，且内切圆的圆心在直线上.则双曲线的离心率是( )A.B.C. 2D.9. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件“第一次出现2点”，“第二次的点数小于5点”，“两次点数之和为奇数”，“两次点数之和为9”，则下列说法正确的有( )A. A与B不互斥且相互独立B. A与D互斥且不相互独立C. B与D互斥且不相互独立D. A与C不互斥且相互独立10. 已知函数，将图象上所有的点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变得到函数的图象，若在上恰有一个极值点，则的取值可能是( )A. 1B. 3C. 5D. 711. 在棱长为2的正方体中，M为中点，N为四边形内一点含边界，若平面BMD，则下列结论正确的是( )A. B.三棱锥的体积为C. 线段最小值为D. 的取值范围为12. 设定义在R上的函数与的导函数分别为和，若，且与均为偶函数，则下列说法中一定正确的是( )A. B.C. D.13. 已知二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中项的系数为20，则实数a的值为______ .14. 已知函数，若存在四个不相等的实根，，，，且，则的最小值是______ .15. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A；B两点，的中点纵坐标为，则______ .16. 高斯函数是以德国数学家卡尔-高斯命名的初等函数，其中，表示不超过x的最大整数，如，已知满足，，设的前n项和为，的前n项和为则______ ；满足的最小正整数n为______ .17. 在中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，点D在线段BC上.若，求AD的长；若的面积为，求的值.18. 已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，，为等差数列.求数列的通项公式；若m为正整数，记集合的元素个数为，求数列的前50项和.19. 如图所示，六面体的底面ABCD是菱形，，，且平面ABCD，，，平面BEF与平面ABCD的交线为证明：直线平面已知，三棱锥的体积，若与平面所成角为，求的取值范围.20. 3月14日为国际数学日，也称为节，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节活动，其中一项活动是“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.高三班派出甲、乙两个小组参赛，在初赛中，若甲、乙两组通过第一轮比赛的概率分别是，通过第二轮比赛的概率分别是，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响若三获得决赛资格的小组个数为X，求X的数学期望；已知甲、乙两个小组在决赛中相遇.决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得10分，答错一题扣10分，得分高的获胜：假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，且甲、乙两个小组抢到该题的可能性分别是，假设每道题抢与答的结果均互不影响，求乙已在第一道题中得10分的情况下甲获胜的概率.21.已知函数，，其中讨论函数的单调性；数列满足，，证明：当时，22. 已知椭圆的离心率为且经过点是椭圆C上的两点.求椭圆C的方程.若直线OP与OQ的斜率之积为为坐标原点，点D为射线OP上一点，且，若线段DQ与椭圆C交于点E，设求值，求四边形OPEQ的面积.答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为，所以，则，即，此时，所以故选：由可得，求得，再结合并集的定义求解即可．本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：，则，故故选：根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：已知两个非零向量满足，则，即，又向量的夹角为，则，即，则，故选：由平面向量的数量积运算，结合平面向量的模的运算求解即可．本题考查了平面向量的数量积运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题．4.【答案】C【解析】解：将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面的面积为大、小圆锥的侧面积之差，设小圆锥母线长为x，则大圆锥母线长为，由相似得，即，所以可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为故选：将圆台补成圆锥，由相似求出小圆锥的母线长，结合圆心角公式求解即可．本题主要考查旋转体的结构特征和曲线所对的圆心角，属于中档题．5.【答案】A【解析】解：由点P在单位圆上，则，解得，由锐角，即，则，故，故选：根据任意角三角函数的定义，求得的正弦值与余弦值，利用余弦的差角公式，可得答案．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．根据题意，先求出所有情况数，然后求得甲去A的情况数，从而得到甲不去A小区的情况数，再结合概率公式，即可得到结果．【解答】解：先求出所有可能情况，5个人去3个地方，共有种情况，再计算5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去，5人被分为3，1，1或2，2，1，当5个人被分为3，1，1时，情况数为，当5个人被分为2，2，1时，情况数为，共有所求甲不去A，情况数多，反向思考，求甲去A的情况数，最后用总数减即可，当5人被分为3，1，1时，且甲去A，甲若为1，则，甲若为3，则，共计种，当5人被分为2，2，1时，且甲去A，甲若为1，则，甲若为2，则，共计种，甲不在A小区的概率为故选：7.【答案】B【解析】解：非常接近于0，非常接近于1，故c非常接近于；而；；故；故选：化简可知c非常接近于；；；从而得到a、b、c的大小关系．本题考查了指数函数与对数函数的性质的应用，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：如图所示，连接EO交于点H，连接PH，为线段的中点，O为的中点，为的中点，且，根据向量极化恒等式可得：，，又对于线段上的任意点P，都有成立，对于线段上的任意点P，都有，对于线段上的任意点P，都有，，又，，又O为的中点，，又根据双曲线的性质及内切圆的性质易得：内切圆与切于双曲线的顶点，内切圆的圆心在直线上，双曲线的离心率，故选：连接EO交于点H，连接PH，从而可得H为的中点，且，再根据向量极化恒等式及恒成立，可得，从而可得，从而可得，又根据双曲线的性质及内切圆的性质易得：内切圆与切于双曲线的顶点，从而可得，从而可得离心率．本题考查向量极化恒等式的应用，双曲线的性质及内切圆的性质，化归转化思想，属中档题．9.【答案】ABD【解析】解：对于A，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次与第二次的结果互不影响，即A与B相互独立，第一次出现2点，第二次的点数小于5点可以同时发生，A与B不互斥，故A正确；对于B，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果会影响两次点数之和，即A与D不相互独立，第一次出现2点，则两次点数之和最大为8，即A与D不能同时发生，即A与D互斥，故B正确；对于C，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第二次的结果会影响两次点数之和，即B与D不相互独立，若第一次的点数为5，第二次的点数4点，则两次点数之和为9，即B与D可以同时发生，即B 与D不互斥，故C错误；对于D，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果不会影响两次点数之和的奇偶，即A 与C相互独立，若第一次的点数为2，第二次的点数3点，则两次点数之和为5是奇数，即A与C可以同时发生，即A与C不互斥，故D正确．故选：根据事件的互斥与独立的定义对选项一一验证即可．本题考查事件之间的关系，注意互斥事件、独立事件的定义，属于基础题．10.【答案】BCD【解析】解：因为，又因为将图象上所有的点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变得到函数的图象，所以，，当时，，又因为在上恰有一个极值点，所以，解得，故选：化简得，进而得，，由题意可得，即可得的范围，结合选项即可得答案．本题考查了三角恒等变化、三角函数图象的变化，属于基础题．11.【答案】BCD【解析】解：取、中点分别为、E，连接、，AE、，，如下图：为正方体，，，，，，平面，BD，平面BMD，且，，平面平面BMD，为四边形内一点含边界，且平面BMD，点N在线段上含端点，对于选项A，当N为时，，则与的夹角为，此时，则，则与不垂直，故A错误；对于选项B：为四边形内一点含边界，到平面的距离为2，三棱锥的体积为，故B正确；对于选项C：点N在线段上含端点，当时，线段最小，，在边上的高为，则，则当时，即，故C正确；对于选项D：为正方体，平面，平面，，为直角三角形，且直角为，，点N在线段上含端点，则当最大时，即点N为点时，此时，此时最小，为，当最小时，即，此时，此时最大，为，则的取值范围为，故D正确；故选：根据正方体的性质得出平面平面BMD，则根据已知得出点N在线段上含端点，对于选项A：当N为时，根据异面直线的平面角结合正方体的性质得出与的夹角为，根据已知得出的三边，即可得出为，即可判断；对于选项B：三棱锥若以N为顶点，为底面时，根据正方体性质得出此时三棱锥的高为2，底面积为2，即可得出体积判断；对于选项C：点N在线段上含端点，则时，线段最小，根据等面积法求出答案即可判断；对于选项D：根据正方体性质结合已知可得，则，即可根据的范围得出的范围判断．本题考查了导数的综合应用，属于中档题．12.【答案】ABD【解析】解：对于A，为偶函数，，两边同时求导得，，即，的图像关于点对称，，，，令得，，解得，故A正确，对于B，为偶函数，，两边同时求导得，，即，的图象关于点对称，的图象关于点对称，的图象关于点对称，的图像关于点与点对称，自变量每增加1，函数值增加4，即，，令，得，又…，，故B正确，对于C，的图象关于点对称，，，令，得，故C错误，对于D，，，，即，……，故D正确．故选：利用偶函数的定义，结合函数的对称性，逐个分析各个选项即可．本题主要考查了抽象函数的应用，考查了函数的奇偶性，对称性，属于中档题．13.【答案】【解析】解：因为二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以，则的展开式的通项为，令，解得，则，解得，故答案为：根据题意可得，进而求得的展开式的通项，再根据展开式中项的系数为20，可建立关于a的方程，解出即可．本题考查二项式定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：作函数与图像如下：存在四个不相等的实根，，，，且，则，、，且，则，即，得，则，当且仅当时，即，时，等号成立，即的最小值是故答案为：根据已知函数解析式作出函数图像，根据图像结合已知得出，、，且，根据对数运算得出，即可对所求式子化简得出，再根据基本不等式得出答案．本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．15.【答案】或【解析】解：设过抛物线焦点F的直线交抛物线于、两点，AB 的中点纵坐标为，抛物线的焦点为，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程：，由，得，所以，所以直线l的方程为，所以AB中点的横坐标为，所以，，解得或故答案为：或设过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点，利用差值法求直线的斜率，根据AB 中点纵坐标求出横坐标，再利用抛物线的定义写出，列方程即可求出p的值．本题考查了抛物线的定义与标准方程应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．16.【答案】1 91【解析】解：因为，，所以，设，则有，所以数列是等比数列，公比，，所以，即，，所以，令，则，所以，所以，所以，，所以；因为因为，所以，，，所以，即，且当时，单调递增；又因为，即，所以单调递增，又因为所以所以，所以或，所以当n为偶数时，设，，所以，所以，所以当n为奇数时，设，，所以，所以，所以，所以，当n为偶数时，，由可得，，或舍因为，所以，又因为n为偶数，所以；当n为奇数时，，由可得，由舍，或，因为，所以，所以，又因为n为奇数，所以，综上所述，故答案为：；利用构造法可得数列的通项公式为，令，可求得，，的值，即可得，，的值；由题意可得单调递增，利用放缩法可得或，，分n为偶数、n为奇数求解即可．本题考查了构造法和放缩法的综合应用，属于难题．17.【答案】解：由，得，，，又，，，，，在中，由正弦定理得，，解得；设，则，又，，解得，，又，在中，由正弦定理可得，，在中，由正弦定理可得，，，【解析】由正弦定理可得，计算可求B；进而由正弦定理可求AD；设，则，由已知可求t，进而由余弦定理可求AC，进而在，中，分别利用正弦定理可求结果．本题考查正余弦定理应用，考查运算求解能力，属中档题．18.【答案】解：，，为等差数列，，且，当时，，可得；当时，，则，由，故，所以是首项为1，公差均为1的等差数列，故由，即，即，因为，当且仅当时成立，所以，，当，因为，，所以能使成立的n的最大值为，所以，所以的前50项和为【解析】根据等差数列的性质建立方程，根据数列递推关系得到是等差数列，然后求出首项和公差即可．根据基本不等式性质，求出满足条件的元素个数，根据等差数列的前n项和公式进行求解即可．本题主要考查递推数列应用，根据等差数列的性质，建立方程，求出首项和公差是解决本题的关键，是中档题．19.【答案】解：证明：连接AC，，，，，，，，平面BEF，平面BEF，平面BEF，平面平面，平面ABCD，，四边形ABCD是菱形，，又平面ABCD，平面ABCD，则，又，平面，平面，又，直线平面连接，交于点，，则，平面ABCD，平面ABCD，，平面ABCD，，，，四边形ABCD是菱形，，以OB，OC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设，则，三棱锥的体积，，，即，，，则，，，，又是平面的一个法向量，与平面所成角为，，设，，则，的取值范围为【解析】根据线面平行以及线面垂直，证明线面垂直；作辅助线得到在O点处可作为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．本题考查线面垂直、线面平行的判定与性质、线面角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：设甲乙通过两轮制的初赛分别为事件，，则，由题意可得，X的取值有0，1，2，，，，所以依题意甲，乙抢到并答对一题的概率为，，乙已得10分，甲若想获胜情况有：①甲得20分：其概率为②甲得10分，乙再得分，其概率为；③甲得0分，乙再得分，其概率为，故乙先得10分后甲获胜的概率为【解析】先算出甲乙通过两轮制的初赛的概率，X的取值有0，1，2分三种情况解决．先分别算出甲，乙抢到并答对一题的概率，然后再算出乙已得10分，甲若想获胜的3种情况，最后由分类加法计数原理求解即可．本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，属于中档题．21.【答案】解：函数的定义域为，且，，当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，，①当，即时，，在上单调递减，②当，即时，令得，，，所以在上，单调递减，在上，单调递增，在上，单调递减，综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，在上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．证明：由题知当时，，由知，在上单调递减，且，所以时，，又因为，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，因为，所以，，，又，所以，即，由因为函数在上单调递减，所以，即，即，所以，所以，所以【解析】求导得，，分两种情况：当时，当时，分析的符号，的单调性．由题知当时，由知，在上单调递减，得时，，求导分析的单调性可得在上单调递减，在上单调递增，由，，，，又，则，由于函数在上单调递减，则，进而可得，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．22.【答案】解：由题意得，则，则，将点代入椭圆方程，解得：，，所求的椭圆方程为；设，，则，，，又，，设，，，又点E在椭圆上，，即，，，由得，，，当轴时，，，，根据对称性不妨设；由，解得或，，当斜率存在时，设直线PQ的方程为，由，得，，，，，，，即，，点O到直线PQ的距离为，【解析】由题意，利用离心率公式及待定系数法即可求得a和b的值，求得椭圆的方程；设，，则，由，设，可求，进而可得，当轴时，可求面积，当斜率存在时，设直线PQ的方程为，联立方程组可求得，进而可得四边形OPEQ的面积．本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆联立求交点，以及直线恒过定点的求法，注意运用三点共线的条件，属于中档题．。

数学（理科）试题本试卷共4页,全卷满分150分，考试时间120分钟。

★ 祝考试顺利 ★注意事项：１.考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上。

２.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效。

３.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效。

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数521i -的共轭复数是A ．21i +B ．12i --C ．21i -D ．12i -2．已知命题:,20x p x R ∀∈>，那么命题p ⌝为A ．,20x x R ∃∈≤B ．,20x x R ∀∈<C ．,20xx R ∃∈< D ．,20xx R ∀∈≤3.执行右边的框图，若输入的N 是6，则输出p 的值是 A ．120 B ．720C ．1440D ．50404.不等式组(3)()0,04x y x y x -++⎧⎨⎩≥≤≤表示的平面区域是 A ．矩形 B ．三角形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形5.设a R ∈，函数()x xf x e a e -=+⋅的导函数是()f x '，且()f x 'A ．1B ．12-C ．12D ．1-6．如图，设D 是图中边长为2的正方形区域，E 是函数3y x =的图象与x 轴及1x =±围成的阴影区域．向D 中随机投一点，则该点落入E 中的概率为A ．116B ．18C ．14D ．12 7．下列结论正确的是①“14a =”是“对任意的正数x ，均有1a x x +≥”的充分非必要条件②随机变量ξ服从正态分布2(2,2)N ，则()2D ξ= ③线性回归直线至少经过样本点中的一个 ④若10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则有c b a >>A ．③④B ．①②C ． ①③④D ．①④ 8．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus ）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小1份为A ．56B ．103C ．53D ．116第6题图9．已知函数21(0)()log (0)x x f x x x +⎧=⎨>⎩≤，则函数[()]1y f f x =+的零点个数是A ．4B ．3C ． 2D ．110．抛物线24y x =的焦点为F ，点,A B 在抛物线上，且2π3AFB ∠=，弦AB 中点M 在准线l 上的射影为||||,AB M M M ''则的最大值为ABCD二、填空题(本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分) （一）必做题（11—14题）11．在(13)n x -的展开式中，各项系数的和等于64，那么此 展开式中含2x 项的系数 ▲ .12．如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形(单位：cm)，则该三棱锥的外接球的表面积为 ___▲___2cm ．13. 函数π()3sin(2)3f x x =-的图象为C ，如下结论中正确的是 ▲ ．（写出所有正确结论的编号．．） ① 图象C 关于直线11π12x =对称； ② 图象C 关于点2π(0)3，对称；③ 函数()f x 在区间π5π()1212-，内是增函数；④ 由3sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C ．14．如图表中数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i 行第j 列的数为*(,)ij a i j N ∈，则（Ⅰ）99a = ▲ ；（Ⅱ）表中数82共出现 ▲ 次． （二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答结果计分.） 15.（选修4-1：几何证明选讲）如图所示，圆O 的直径6AB =，C 为圆周上一点，3BC =，过C 作圆的切线l ，过A 作l的垂线AD ，垂足为D ，则DAC ∠= ▲ ．16．（选修4-4：坐标系与参数方程）设直线1l 的参数方程为13x ty a t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，另一直线2l 的方程为sin 3cos 40ρθρθ-+=，若直线1l 与2l 间的距离为a 的值为 ▲ .第15题图第14题图∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙37312519137312621161162521171395191613107413119753765432第12题图 432侧视图俯视图正视图第1层 第2层 第3层 第4层入口第20题图三、解答题(本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（本题满分12分）已知A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角且向量3(1,cos )(3sin cos ,)2222C C C m n ==+与共线。

湖北省八市2015届高三三月联考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知x1，x2是方程（x﹣1）2=﹣1的两相异根，当x1=1﹣i（i为虚数单位）时，则x22为（）A．﹣2i B．1+i C．2i D．1﹣i2．（5分）在（1+x）6（1+y）4的展开式中，xy2项的系数为（）A．45 B．36 C．60 D．1203．（5分）有下列关于三角函数的命题P1：∀x∈R，x≠kπ+（k∈Z），若tanx＞0，则sin2x＞0；P2：函数y=sin（x﹣）与函数y=cosx的图象相同；P3：∃x0∈R，2cosx0=3；P4：函数y=|cosx|（x∈R）的最小正周期为2π，其中真命题是（）A．P1，P4B．P2，P4C．P2，P3D．P1，P24．（5分）如图是一个四棱锥在空间直角坐标系xoz、xoy、yoz三个平面上的正投影，则此四棱锥的体积为（）A．94 B．32 C．64 D．165．（5分）某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了四个工作量与当天平均气温，并制作了对照表：气温（℃） 18 13 10 ﹣1用电量（度） 24 34 38 64由表中数据得到线性回归方程=﹣2x+a，当气温为﹣4℃时，预测用电量均为（）A．68度B．52度C．12度D．28度6．（5分）已知平面直角坐标系xoy上的区域D由不等式给定，若M（x，y）为D 上任一点，点A的坐标为（，1），则z=的最大值为（）A．3 B．4 C．3D．47．（5分）从半径R的球内接正方体的8个顶点及球心这9个点中任取2个点，则这两个点间的距离小于或等于半径的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）=sin（x﹣φ）﹣1（0＜φ＜），且（f（x）+1）dx=0，则函数f（x）的一个零点是（）A．B．C．D．9．（5分）点F（c，0）为双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点，点P在双曲线上，线段PF与圆（x﹣）2+y2=相切于点Q，且，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．210．（5分）设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1，若f（x）≤1的解集为M，g （x）≤4的解集为N，当x∈M∩N时，则函数F（x）=x2f（x）+x[f（x）]2的最大值是（）A．0 B．﹣C．D．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）已知向量=（﹣1，2），=（5，﹣2），向量=（﹣4，0），用，表示向量，则=．12．（4分）设{a n}为等比数列，其中a4=2，a5=5，阅读如图所示的程度框图，运行相应的程序，则输出结果为13．（4分）在平面直角坐标系中，已知点P（4，0），Q（0，4），M，N分别是x轴和y轴上的动点，若以MN为直径的圆C与直线PQ相切，当圆C的面积最小时，在四边形MPQN内任取一点，则这点落在圆C内的概率为．14．（4分）在平面直角坐标系中，二元方程f（x，y）=0的曲线为C，若存在一个定点A和一个定角θ（θ∈（0，2π）），使得曲线C上的任意一点以A为中心顺时针（或逆时针）旋转角θ，所得到的图形与原曲线重合，则称曲线C为旋转对称曲线，给出以下方程及其对应的曲线，其中是旋转对称曲线的是（填上你认为正确的曲线）．C 1：=1； C2：=0；C3：x2﹣y=0（x∈[﹣2，2]）； C4：y﹣cosx=0（x∈[0，π]）15．（4分）如图，圆O的圆心在Rt△ABC的直角边BC上，该圆与直角边AB相切，与斜边AC 交于点D、E，AD=DE=EC，AB=，则直角边BC的长为．16．（4分）在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为p=2cosθ，θ∈[0，]，则C的参数方程为．三、解答题（共6小题，满分75分）17．（12分）已知函数f（x）=acos2+asinωx﹣a（ω＞0，a＞0在一个周期内的图象如图所示，其中点A为图象上的最高点，点B，C为图象与x轴的两个相邻交点，且△ABC 是边长为4的正三角形．（1）求ω与a的值；（2）若f（x0）=，且x0∈（﹣，），求f（x0+1）的值．18．（12分）已知数列{x n}满足x1=，且x n+1=，（n∈N+）（1）用数学归纳证明：0＜x n＜1（2）设a n=，求数列{a n}的通项公式．19．（12分）如图1在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D、E分别为线段AB、AC的中点，AB=4，BC=，以D为折痕，将Rt△ADE折起到图2的位置，使平面A′DE⊥平面DBCE，连接A′C′，A′B′，设F是线段A′C上的动点，满足=（1）证明：平面FBE⊥平面A′DC；（2）若二面角F﹣BE﹣C的大小为45°，求λ的值．20．（12分）某物流公司送货员从公司A处准备开车送货到某单位B处，若该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图所示（例如A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为…）（1）请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；（2）若记路线A→C→F→B中遇到堵车的次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望Eξ．21．（13分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上顶点为A，P（，）是C上的一点，以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F（1）求椭圆C的方程；（2）动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，问：在x轴上是否存在两个定点，它们到直线l的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由．22．（14分）已知函数f（x）=和直线l：y=m（x﹣1）．（1）当曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线l垂直时，求原点O到直线l的距离；（2）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的取值范围；（3）求证：ln＜（n∈N+）湖北省八市2015届高三三月联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知x1，x2是方程（x﹣1）2=﹣1的两相异根，当x1=1﹣i（i为虚数单位）时，则x22为（）A．﹣2i B．1+i C．2i D．1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由方程（x﹣1）2=﹣1化简得到x1+x2=2，然后再由x1的值求出x2，则答案可求．解答：解：由（x﹣1）2=﹣1，得x2﹣2x+2=0．则x1+x2=2．∵x1=1﹣i，∴1﹣i+x2=2．∴x2=1+i．则．故选：C．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．（5分）在（1+x）6（1+y）4的展开式中，xy2项的系数为（）A．45 B．36 C．60 D．120考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：把所给的式子利用二项式定理展开，可得xy2项的系数．解答：解：由于（1+x）6（1+y）4=（1+6x+15x2+20x3+…+x6）（1+4y+6y2+4y3+y4），可得xy2项的系数为6×6=36，故选：B．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．3．（5分）有下列关于三角函数的命题P1：∀x∈R，x≠kπ+（k∈Z），若tanx＞0，则sin2x＞0；P2：函数y=sin（x﹣）与函数y=cosx的图象相同；P3：∃x0∈R，2cosx0=3；P4：函数y=|cosx|（x∈R）的最小正周期为2π，其中真命题是（）A．P1，P4B．P2，P4C．P2，P3D．P1，P2考点：命题的真假判断与应用．专题：阅读型；三角函数的图像与性质；简易逻辑．分析：运用二倍角的正弦公式和同角的平方关系以及商数关系，即可化简判断P1；运用三角函数的诱导公式化简，即可判断P2；由余弦函数的值域，即可判断P3；运用周期函数的定义，结合诱导公式，即可判断P4．解答：解：对于P1，∀x∈R，x≠kπ+（k∈Z），若tanx＞0，则sin2x=2sinxcosx==＞0，则P1为真命题；对于P2，函数y=sin（x﹣）=sin（2π+x﹣）=sin（x+）=cosx，则P2为真命题；对于P3，由于cosx∈[﹣1，1]，∉[﹣1，1]，则P3为假命题；对于P4，函数y=|cosx|（x∈R），f（x+π）=|cos（x+π）|=|﹣cosx|=|cosx|=f（x），则f（x）的最小正周期为π，则P4为假命题．故选D．点评：本题考查全称性命题和存在性命题的真假，以及三角函数的图象和周期，运用二倍角公式和诱导公式以及周期函数的定义是解题的关键，属于基础题和易错题．4．（5分）如图是一个四棱锥在空间直角坐标系xoz、xoy、yoz三个平面上的正投影，则此四棱锥的体积为（）A．94 B．32 C．64 D．16考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，计算出底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案．解答：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积S=（6﹣2）2=16，高h=8﹣2=6，故四棱锥的体积V==32，故选：B点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．5．（5分）某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了四个工作量与当天平均气温，并制作了对照表：气温（℃） 18 13 10 ﹣1用电量（度） 24 34 38 64由表中数据得到线性回归方程=﹣2x+a，当气温为﹣4℃时，预测用电量均为（）A．68度B．52度C．12度D．28度考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，可得线性回归方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数．解答：解：由表格得==10，=40．∴（，）为：（10，40），又（，）在回归方程=bx+a中的b=﹣2，∴40=10×（﹣2）+a，解得：a=60，∴=﹣2x+60，当x=﹣4时，=﹣2×（﹣4）+60=68．故选：A．点评：本题考查线性回归方程，考查最小二乘法的应用，考查利用线性回归方程预报变量的值，属于中档题．6．（5分）已知平面直角坐标系xoy上的区域D由不等式给定，若M（x，y）为D上任一点，点A的坐标为（，1），则z=的最大值为（）A．3 B．4 C．3D．4考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：首先画出可行域，则z==x+y，利用目标函数的几何意义，结合数形结合即可得到结论．解答：解：首先做出可行域，如图所示：z==x+y，即y=﹣x+z做出l0：y=﹣x，将此直线平行移动，当直线y=﹣x+z经过点B时，直线在y轴上截距最大时，z有最大值．因为B（，2），所以z=×+2=2+2=4，即z的最大值为4故选：B点评：本题主要考查线性规划的应用以及向量数量积的应用，利用数形结合是解决本题的关键．7．（5分）从半径R的球内接正方体的8个顶点及球心这9个点中任取2个点，则这两个点间的距离小于或等于半径的概率为（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计；排列组合．分析：画出正方体的图形，设正方体的边长为1，求出正方形的外接球半径R=；计算从9个点中任取2个点的取法种数以及所取的2个点间的距离小于或等于半径的取法种数，求出对应的概率即可．解答：解：如图所示，设正方体的边长为1，则该正方形的外接球的直径为，半径R=；∴从球内接正方体的8个顶点及球心这9个点中任取2个点，方法有=36种；其中这两个点间的距离小于半径的取法有0种，等于半径的取法有8种，是OA、OB、OC、OD、OA1、OB1、OC1、OD1，共0+8=8种；∴所求的概率为P==．故选：B．点评：本题考查了古典概型的应用问题，也考查了组合数的应用问题，是基础题目．8．（5分）已知函数f（x）=sin（x﹣φ）﹣1（0＜φ＜），且（f（x）+1）dx=0，则函数f（x）的一个零点是（）A．B．C．D．考点：定积分；函数的零点．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：把f（x）=sin（x﹣φ）﹣1代入（f（x）+1）dx=0，由定积分求得φ，得到函数解析式，再由f（x）=0求得函数f（x）的一个零点．解答：解：由f（x）=sin（x﹣φ）﹣1且（f（x）+1）dx=0，得[sin（x﹣φ）]dx=0，∴[﹣cos（x﹣φ）]=0．即，∴．∵0＜φ＜，∴φ=，则f（x）=sin（x﹣）﹣1，由sin（x﹣）﹣1=0，解得：．取k=0，得x=．故选：A．点评：本题考查了定积分，考查了由三角函数值求角，训练了函数零点的判断方法，是中档题．9．（5分）点F（c，0）为双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点，点P在双曲线上，线段PF与圆（x﹣）2+y2=相切于点Q，且，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设椭圆的左焦点为F1，确定PF1⊥PF，|PF1|=b，|PF|=2a+b，即可求得椭圆的离心率．解答：解：设双曲线的左焦点为F1，连接F1，设圆心为C，则∵（x﹣）2+y2=，∴圆心坐标为（，0），半径为r=∴|F1F|=3|FC|∵，∴P F1∥QC，|PF1|=b∴|PF|=2a﹣b∵线段PF与圆（x﹣）2+y2=（其中c2=a2+b2）相切于点Q，∴CQ⊥PF∴PF1⊥PF∴b2+（2a+b）2=4c2∴b2+（2a+b）2=4（a2+b2）∴b=2a，∴c= a∴e==故选：C．点评：本题考查双曲线的几何性质，考查直线与圆的位置关系，确定几何量的关系是关键．10．（5分）设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1，若f（x）≤1的解集为M，g （x）≤4的解集为N，当x∈M∩N时，则函数F（x）=x2f（x）+x[f（x）]2的最大值是（）A．0 B．﹣C．D．考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：根据绝对值不等式的解法求出集合M，N，以及M∩N，然后求出函数F（x）的表达式，结合一元二次函数的性质即可得到结论．解答：解：f（x）=2|x﹣1|+x﹣1=，若x≥1，由f（x）≤1得3x﹣3≤1得x≤，此时得1≤x≤，若x＜1，由f（x）≤1得1﹣x≤1得x≥0，此时得0≤x＜1．综上，原不等式的解集M为[0，]．由g（x）=16x2﹣8x+1≤4，求得﹣≤x≤，∴N=[﹣，]，∴M∩N=[0，]．∵当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，F（x）=x2f（x）+x[f（x）]2 =xf（x）[x+f（x）]=x（1﹣x）=﹣（x﹣）2≤，当且仅当x=时，取得最大值．则函数的最大值为．故选：D．点评：本题主要考查函数最值的求解，根据绝对值不等式的解法以及一元二次函数以及一元二次不等式的性质是解决本题的关键．，体现了分类讨论、等价转化的数学思想，属于中档题．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）已知向量=（﹣1，2），=（5，﹣2），向量=（﹣4，0），用，表示向量，则=﹣﹣．考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：根据题意，设=λ+μ，利用向量相等，求出λ、μ的值即可．解答：解：∵=（﹣1，2），=（5，﹣2），=（﹣4，0），设=λ+μ，则（﹣4，0）=λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2）=（﹣λ+5μ，2λ﹣2μ）；∴，解得λ=﹣1，μ=﹣1；∴=﹣﹣．故答案为：﹣﹣．点评：本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，是基础题目．12．（4分）设{a n}为等比数列，其中a4=2，a5=5，阅读如图所示的程度框图，运行相应的程序，则输出结果为4考点：程序框图．专题：图表型；等差数列与等比数列；算法和程序框图．分析：根据已知中的流程图，我们模拟程序的运行结果，程序算法的功能是求s=lga1+lga2+…+lga8的值，由等比数列的求和公式即可得解．解答：解：模拟执行程序框图，可得s=0，n=1s=lga1，n=2不满足条件n≥9，s=lga1+lga2，n=3…不满足条件n≥9，s=lga1+lga2+…+lga8，n=9满足条件n≥9，退出循环，输出s的值．∵根据等比数列的通项公式：a n=a1q n﹣1∵a4=2，a5=5，∴可解得：q=，a1=，所以s=lga1+lga2+…+lga8=lgs=lg（a1×a2×…×a8）=lg（）8（）28=8（lg16﹣lg125）+28（lg5﹣lg2）=4．故答案为：4．点评：本题主要考查的知识点是程序框图，考查了等比数列的求和，考查了对数的运算，模拟循环的执行过程是解答此类问题常用的办法，属于中档题．13．（4分）在平面直角坐标系中，已知点P（4，0），Q（0，4），M，N分别是x轴和y轴上的动点，若以MN为直径的圆C与直线PQ相切，当圆C的面积最小时，在四边形MPQN内任取一点，则这点落在圆C内的概率为．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由题意，圆C的面积最小时，圆C的半径为，面积为2π，四边形MPQN的面积为=6，即可得出结论．解答：解：由题意，圆C的面积最小时，圆C的半径为，面积为2π，四边形MPQN的面积为=6，∴当圆C的面积最小时，在四边形MPQN内任取一点，则这点落在圆C内的概率为．故答案为：．点评：本题主要考查几何概型的概率计算，确定面积是关键．14．（4分）在平面直角坐标系中，二元方程f（x，y）=0的曲线为C，若存在一个定点A和一个定角θ（θ∈（0，2π）），使得曲线C上的任意一点以A为中心顺时针（或逆时针）旋转角θ，所得到的图形与原曲线重合，则称曲线C为旋转对称曲线，给出以下方程及其对应的曲线，其中是旋转对称曲线的是C1，C2，C4（填上你认为正确的曲线）．C 1：=1； C2：=0；C3：x2﹣y=0（x∈[﹣2，2]）； C4：y﹣cosx=0（x∈[0，π]）考点：曲线与方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用旋转对称曲线的定义，确定一个定点A和一个定角θ（θ∈（0，2π）），即可得出结论．解答：解：由题意，C1：=1，存在一个定点A（0，0）和一个定角θ=π；C 2：=0，存在一个定点A（0，0）和一个定角θ=；C3：x2﹣y=0（x∈[﹣2，2]）是轴对称图形，不是中心对称图形；C4：y﹣cosx=0（x∈[0，π]），存在一个定点A（，0）和一个定角θ=π，故答案为：C1，C2，C4．点评：本题考查曲线与方程，考查旋转对称曲线的定义，正确理解旋转对称曲线的定义是关键．15．（4分）如图，圆O的圆心在Rt△ABC的直角边BC上，该圆与直角边AB相切，与斜边AC 交于点D、E，AD=DE=EC，AB=，则直角边BC的长为7．考点：与圆有关的比例线段．专题：推理和证明．分析：由切割线定理得AB2=AD•（AD+DE），从而得到AD=DE=EC=，由此利用勾股定理能求出BC．解答：解：∵AB是切线，ADE是割线，∴AB2=AD•（AD+DE），∵AB=，AD=DE=EC，∴，解得AD=DE=EC=，∴AC=3，∵Rt△ABC的直角为∠ABC，∴BC===7．故答案为：7．点评：本题考查直角边的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．16．（4分）在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为p=2cosθ，θ∈[0，]，则C的参数方程为，（0≤β≤π）．考点：圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：由半圆C的极坐标方程为p=2cosθ，θ∈[0，]，可得直角坐标方程：（x﹣1）2+y2=1，（0≤y≤1）．利用sin2α+cos2α=1即可得出参数方程．解答：解：由半圆C的极坐标方程为p=2cosθ，θ∈[0，]，∴ρ2=2ρcosθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2x，配方为（x﹣1）2+y2=1，（0≤y≤1）．可得参数方程为，（0≤β≤π）．点评：本题考查了圆的极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程，考查了计算能力，属于基础题．三、解答题（共6小题，满分75分）17．（12分）已知函数f（x）=acos2+asinωx﹣a（ω＞0，a＞0在一个周期内的图象如图所示，其中点A为图象上的最高点，点B，C为图象与x轴的两个相邻交点，且△ABC 是边长为4的正三角形．（1）求ω与a的值；（2）若f（x0）=，且x0∈（﹣，），求f（x0+1）的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）化简函数解析式可得f（x）=（），由已知可求T，即可求得ω的值，由图象可知，正三角形△ABC的高即为函数f（x）的最大值a，即可得a的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）及已知可得sin（x0+）=，即可求cos（x0+）的值，由f（x0+1）=2（x0++）=2sin[（x0+）+]展开即可求值得解．解答：解：（Ⅰ）由已知可得f（x）=a（）=asin（）∵BC==4，∴T=8，∴ω==由图象可知，正三角形△ABC的高即为函数f（x）的最大值a，得a=BC=2（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x0）=2sin（x0+）=，即sin（x0+）=，∵x0∈（﹣，），∴x0+∈（﹣，），∴cos（x0+）==∴f（x0+1）=2（x0++）=2sin[（x0+）+]=2[sin（x0+）cos+cos（x0+）sin]=2（）=．点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了三角函数恒等变形的应用，属于基本知识的考查．18．（12分）已知数列{x n}满足x1=，且x n+1=，（n∈N+）（1）用数学归纳证明：0＜x n＜1（2）设a n=，求数列{a n}的通项公式．考点：数学归纳法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）根据数学归纳法的证明步骤进行证明；（2）设a n=，可得{a n﹣1}是以1为首项，以2为公比的等比数列，即可求数列{a n}的通项公式．解答：（1）证明：①当n=1时，x1=∈（0，1），②假设当n=k时，结论成立，即x k∈（0，1），则当n=k+1时，x k+1=f（x k）=∵x k∈（0，1），∴∈（0，1），即n=k+1时结论成立综上①②可知0＜x n＜1；…（6分）（2）解：由x n+1=可得：=﹣1∵a n=，∴a n+1=2a n﹣1，∴a n+1﹣1=2（a n﹣1）…（8分）又a1﹣1=1∴{a n﹣1}是以1为首项，以2为公比的等比数列，∴a n﹣1=2n﹣1，即a n=2n﹣1+1…（12分）点评：本题考查根据递推关系求数列的通项公式的方法，考查数学归纳法，证明n=k+1时，是解题的难点．19．（12分）如图1在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D、E分别为线段AB、AC的中点，AB=4，BC=，以D为折痕，将Rt△A DE折起到图2的位置，使平面A′DE⊥平面DBCE，连接A′C′，A′B′，设F是线段A′C上的动点，满足=（1）证明：平面FBE⊥平面A′DC；（2）若二面角F﹣BE﹣C的大小为45°，求λ的值．考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由已知得A′D⊥DE，A′D⊥平面DBCE，从而A′D⊥BE，由1﹣tan∠BED•tan∠CDE=0，得BE⊥DC，由此能证明平面FEB⊥平面A′DC．（2）作FG⊥DC，垂足为G，设BE交DC于O点，连OF，则∠FOG为二面角F﹣BE﹣C的平面角，由FG∥A′D，得FG=λA′D=2λ，同理，得C′G=λCD，DG=（1﹣λ）CD=2（1﹣λ），从而OG=DG﹣DO=2（1﹣λ）﹣，由此结合已知条件能求出．解答：解：（1）证明：∵平面A′DE⊥平面DBCE，A′D⊥DE，∴A′D⊥平面DBCE，∴A′D⊥BE，∵D，E分别是线段AB、AC的中点，∴DE==，BD=，…（2分）在直角三角形DEB中，∵tan=，tan，1﹣tan∠BED•tan∠CDE=0，∴∠BED+∠CDE=90°，得BE⊥DC，∴BE⊥平面A′DC，又BE⊂平面FEB，∴平面FEB⊥平面A′DC．…（6分）（2）解：作FG⊥DC，垂足为G，则FG⊥平面DBCE，设BE交DC于O点，连OF，由（1）知，∠FOG为二面角F﹣BE﹣C的平面角，…（7分）由FG∥A′D，则=λ，∴FG=λA′D=2λ，同理，得C′G=λCD，DG=（1﹣λ）CD=2（1﹣λ），∵DO==，∴OG=DG﹣DO=2（1﹣λ）﹣，在Rt△OGF中，由tan∠FOG===1，…（10分）得．…（12分）点评：本题考查面面垂直的证明，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．（12分）某物流公司送货员从公司A处准备开车送货到某单位B处，若该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图所示（例如A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为…）（1）请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；（2）若记路线A→C→F→B中遇到堵车的次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望Eξ．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（1）由对立事件概率计算公式，分别计算路线A→E→F→B途中堵车概率、路线A→C→D→B途中堵车概率、路线A→C→F→B途中堵车概率，由此能求出选择路线路线A→E→F→B的途中发生堵车的概率最小．（Ⅱ）由题意，ξ可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的数学期望Eξ．解答：解：（1）由已知得：路线A→E→F→B途中堵车概率为：1﹣=，路线A→C→D→B途中堵车概率为：1﹣=，路线A→C→F→B途中堵车概率为：1﹣=．所以选择路线路线A→E→F→B的途中发生堵车的概率最小．…（6分）（Ⅱ）由题意，ξ可能取值为0，1，2，3．P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）=++=，P（ξ=3）==．Eξ==．…（12分）点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．21．（13分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上顶点为A，P（，）是C上的一点，以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F（1）求椭圆C的方程；（2）动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，问：在x轴上是否存在两个定点，它们到直线l的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题设可得c2﹣c+=0①，又点P在椭圆C上，可得⇒a2=2②，又b2+c2=a2=2③，①③联立解得c，b2，即可得解．（2）设动直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程消去y，整理得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0（﹡），由△=0，得m2=2k2+1，假设存在M1（λ1，0），M2（λ2，0）满足题设，则由=||=1对任意的实数k恒成立．由即可求出这两个定点的坐标．解答：解：（1）F（c，0），A（0，b），由题设可知，得c2﹣c+=0①…（1分）又点P在椭圆C上，∴⇒a2=2②b2+c2=a2=2③…（3分）①③联立解得，c=1，b2=1…（5分）故所求椭圆的方程为+y2=1…（6分）（2）设动直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，消去y，整理，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0（﹡）方程（﹡）有且只有一个实根，又2k2+1＞0，所以△=0，得m2=2k2+1…（8分）假设存在M1（λ1，0），M2（λ2，0）满足题设，则由=||=1对任意的实数k恒成立．所以，解得，或，所以，存在两个定点M1（1，0），M2（﹣1，0），它们恰好是椭圆的两个焦点．…（13分）点评：本题主要考查了椭圆的标准方程的解法，考查了直线与圆锥曲线的关系，综合性较强，属于中档题．22．（14分）已知函数f（x）=和直线l：y=m（x﹣1）．（1）当曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线l垂直时，求原点O到直线l的距离；（2）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的取值范围；（3）求证：ln＜（n∈N+）考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到，由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线l垂直求出m=﹣2，则直线l的方程可求，由点到直线的距离公式得答案；（Ⅱ）把对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立转化为，然后构造函数，利用导数对m≤0和m＞0分类讨论求得m的取值范围；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当x＞1，m=时，成立，令，结合不等式得到不等式，即，然后利用累加求和得答案．解答：（Ⅰ）解：由f（x）=，得，∴，于是m=﹣2，直线l的方程为2x+y﹣2=0．原点O到直线l的距离为；（Ⅱ）解：对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，即，也就是，设，即∀x∈[1，+∞），g（x）≤0成立．．①若m≤0，∃x使g′（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，这与题设g（x）≤0矛盾；②若m＞0，方程﹣mx2+x﹣m=0的判别式△=1﹣4m2，当△≤0，即m时，g′（x）≤0，∴g（x）在（1，+∞）上单调递减，∴g（x）≤g（1）=0，即不等式成立．当0＜m＜时，方程﹣mx2+x﹣m=0的两根为x1，x2（x1＜x2），，，当x∈（x1，x2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）＞g（1）=0与题设矛盾．综上所述，m；（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当x＞1，m=时，成立．不妨令，∴，．∴．．…．累加可得：，（n∈N*）．即ln＜（n∈N*）．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，训练了利用导数证明函数表达式，对于（Ⅲ）的证明，引入不等式是关键，要求考生具有较强的逻辑思维能力和灵活变形能力，是压轴题．。

2012年湖北省八市高三三月联考试卷数 学（理科）本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.★ 祝考试顺利 ★注意事项：１.考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上． ２.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．３.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合2{|03},{|320,}A x x B x x x x Z ==-+∈≤≤≤，则AB 等于A ．(1,3)-B ．[1，2]C ．{}0,1,2D ．{}1,22．设,,l m n 表示不同的直线，αβγ，，表示不同的平面，给出下列四个命题：①若m ∥l ，且.m α⊥则l α⊥； ②若m ∥l ，且m ∥α.则l ∥α； ③若,,l m n αββγγα===，则l ∥m ∥n ； ④若,,,m l n αββγγα===且n ∥β,则l ∥m .其中正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．43．如果数列1a ，21a a ，32a a ，…，1n n a a -，…是首项为1，公比为5a 等于A ．32B ．64C ．-32D ．-644．下列命题中真命题的个数是①“2,0x R x x ∀∈->”的否定是“2,0x R x x ∃∈-<”； ②若|21|1x ->，则101x<<或10x <；③*4,21x N x ∀∈+是奇数.A ．0B ．1C ．2D ．35．若实数x ，y 满足20,,,x y y x y x b -⎧⎪⎨⎪-+⎩≥≥≥且2z x y =+的最小值为4，则实数b 的值为 A ．0 B ．2C ．83D ．36．21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n 的值可以为 A ．3 B ．4C ．5D ．67．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是第7题图第14题图 ABC．D．8．已知方程：22(1)(3)(1)(3)m x m y m m -+-=--表示焦距为8的双曲线，则m 的值等于 A ．-30 B ．10C ．-6或10D ．-30或349．已知函数()x f x a x b =+-的零点0(,1)()x n n n Z ∈+∈，其中常数a ，b 满足23a =，32b =，则n 等于 A ．-1 B ．-2C ．1D ．210．设{}(,)|02,02,,A ac a c ac R=<<<<∈，则任取(,)a c A ∈，关于x 的方程220ax x c ++=有实根的概率为 A ．1ln 22+ B ．1ln 22- C ．12ln 24+ D ．32ln 24-二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡中相应的位置)11．已知i 是虚数单位，计算2(2)34i i+-的结果是 ▲ .12．某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是 ▲ ．13．如图：已知树顶A 离地面212米，树上另一点B 离地面112米，某人在离地面32米的C 处看此树，则该人离此树 ▲ 米时，看A 、B 的视角最大．14．如图所示：有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．（1）每次只能移动一个金属片；（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为()f n ；则：（Ⅰ）(3)f = ▲ (Ⅱ) ()f n = ▲15．（考生注意：本题为选做题，请在下列两题中任选一题作答，如果都做，则按所做第（1）题计分）（1）（《几何证明选讲》选做题）.如图：直角三角形ABC 中，第12题图C第15题（1）图第13题图第19题图∠B ＝90 o，AB ＝4，以BC 为直径的圆交边AC 于点D ， AD ＝2，则∠C 的大小为 ▲ ．（2）(《坐标系与参数方程选讲》选做题).已知直线的极坐标方程为sin()4πρθ+=7(2,)4A π到这条直线的距离 为 ▲ ．三、解答题(本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．（本题满分12分）已知函数()sin()(0,0,||,)2f x A x A x R πωϕωϕ=+>><∈的图象的一部分如下图所示． （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）求函数()(2)y f x f x =++17．（本题满分12分）形状如图所示的三个游戏盘中（图（1）是正方形，M 、N 分别是所在边中点，图（2）是半径分别为2和4的两个同心圆，O 为圆心，图（3）是正六边形,点P为其中心）各有一个玻璃小球，依次摇动三个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏． （I ）一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少？（II ）用随机变量ξ表示一局游戏后，小球停在阴影部分的事件数与小球没有停在阴影部分的事件数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望．18．（本题满分12分）一个四棱椎的三视图如图所示： （I ）求证：PA ⊥BD ；（II ）在线段PD 上是否存在一点Q ，使二面角Q -AC -D 的平面角为30o？若存在，求DQ DP的值；若不存在，说明理由． 19．（本题满分12分）如图:O 方程为224x y +=，点P 在圆上，点D 在x 轴上，点M 在DP 延长线上，O 交y 轴于点N ，//DP ON .且3.2DM DP =（I ）求点M 的轨迹C 的方程；（II ）设12(0,F F 、，若过F 1的直线交（I ）中曲线C 于A 、B 两点，求22F A F B 的取值范围．第18题图第17题图(1) (2) (3)20．（本题满分13分）已知函数()ln 3()f x a x ax a R =--∈． （I ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（II ）若函数()y f x =的图象在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为45，问：m 在什么范围取值时，对于任意的[1,2]t ∈，函数32()[()]2mg x x x f x '=++在区间(,3)t 上总存在极值？ 21．（本题满分14分）顶点在坐标原点，开口向上的抛物线经过点0(1,1)A ，过点0A 作抛物线的切线交x 轴于点B 1，过点B 1作x 轴的垂线交抛物线于点A 1，过点A 1作抛物线的切线交x 轴于点B 2，…，过点(,)n n n A x y 作抛物线的切线交x 轴于点11(,0)n n B x ++．（I ）求数列{ x n }，{ y n }的通项公式()n N *∈；（II ）设11111n n n a x x +=++-，数列{ a n }的前n 项和为T n ．求证：122n T n >-； （III ）设21log n n b y =-，若对于任意正整数n ，不等式1211(1)(1)b b ++ (1)(1)nb +≥a 的取值范围．2012年湖北省八市高三三月联考 数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：（每小题5分，10小题共50分）1.D2.B3.A4.C5.D6.D7.B8.C9.A 10.C 二、填空题：（每小题5分，满35分） 11．7242525i -+ 12．600 13．6 14．7（3分） 21n-（2分） 15．(1)30o 三、解答题:(本大题共6小题，共75分) 16．（I ）由图象，知A ＝2，2π8ω=,∴π4ω=，得π()2sin()4f x x ϕ=+, ………………………………………2分 当1x =时，有ππ142ϕ⨯+=,∴π4ϕ=．…………………………………………………………………………4分∴ππ()2sin()44f x x =+．……………………………………………………… 6分（II ）ππππ2sin()2sin[(2)]4444y x x =++++ππππ2sin()2cos()4444x x =+++……………………………………………8分ππsin()42x =+π4x =…………………………………………………………………10分∴max y =min y =-12分 17．（I ）“一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分”分别记为事件A 1、A 2、A 3，由题意知，A 1、A 2、A 3互相独立，且P (A 1)12=，P (A 2)14=，P (A 3)13=， …3分P (A 1 A 2 A 3)= P (A 1) P (A 2) P (A 3)12=×14×13124=………………………………6分（II ）一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的事件数可能是0，1，2，3，相应的小球没有停在阴影部分的事件数可能取值为3，2，1，0，所以ξ可能的取值为1，3，则 P (ξ=3)= P (A 1 A 2 A 3)+ P (123A A A )=P (A 1) P (A 2) P (A 3)+ P (1A )P (2A )P (3A )12=×14×13+ 12×34×23724=， P (ξ=1)=1－724=1724． …………………………………………………………8分所以分布列为ξ13P1724 724数学期望E ξ=1×1724+3×724=1912． ………………………………………12分…………10分18．（I ）由三视图可知P -ABCD 为四棱锥，底面ABCD 为正方形，且PA ＝PB ＝PC ＝PD ，连接AC 、BD 交于点O ，连接PO ． ……………………………………………3分 因为BD ⊥AC ，BD ⊥PO ，所以BD ⊥平面PAC ，即BD ⊥PA ．…………………………………………………………………………6分 （II ）由三视图可知，BC ＝2，PA ＝Q ，因为AC ⊥OQ ，AC ⊥OD ，所以∠DOQ 为二面角Q -AC -D 的平面角， ……………………………………8分在△POD 中，PD ＝ODPDO ＝60o，在△DQO 中，∠PDO ＝60o ，且∠QOD ＝30o．所以DP ⊥OQ ． ……………10分 所以ODQD所以14DQ DP =． …………………………………………12分 19．（I ）设()00(,),,p x y M x y ，0000233322y y y y DM DP x x x x===⇒⇒==⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎩由于 ……………………………3分 代入22004x y +=得22149x y += …………………………………………5分 （II ）①当直线AB 的斜率不存在时，显然224F A F B =-； ……………………6分②当直线AB 的斜率存在时，不妨设AB的方程为：y kx =2222(94)160149y kx k x x y ⎧=+⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩由不妨设11122()()A x y B x y ，，，， 则：12212294 1694x x k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩2211221122(,5)(,5)(,25)(,25)F A F B x y x y x kx x kx =++=++212121212((25)(1)()20x x kx kx k x x x x =+++=++++…8分222222216(1)8096162002020494949494k k k k k k k -+---++=+=-+++++ ……10分22220020009940949k k k ∴+∴<+≤≤≤ 2216449F A F B -<≤ ……………………………………………………11分综上所述22F A F B 的范围是1644,9⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ ………………………………………12分 20．()(0)af x a x x'=-> ……………………………………………………………1分 OQ（I ）当1a =时，11()1xf x x x-'=-=， ……………………………………2分 令()0f x '>时，解得01x <<，所以()f x 在（0，1）上单调递增；………4分 令()0f x '<时，解得1x >，所以()f x 在（1，+∞）上单调递减．…………6分（II ）因为函数()y f x =的图象在点（2，(2)f ）处的切线的倾斜角为45o， 所以(2)1f '=．所以2a =-，2()2f x x-'=+． ………………………………………………7分322()[2]2m g x x x x =++- 32(2)22mx x x =++-，2()3(4)2g x x m x '=++-， ……………………………………………………9分因为任意的[1,2]t ∈，函数32()[()]2mg x x x f x '=++在区间(,3)t 上总存在极值，所以只需(2)0,(3)0,g g '<⎧⎨'>⎩ …………………………………………………………11分解得3793m -<<-． ……………………………………………………………13分21．（I ）由已知得抛物线方程为2,2y x y x '==． ………………………………………2分则设过点(,)n n n A x y 的切线为22()n n n y x x x x -=-．令0,2n x y x ==，故12n n xx +=． 又01x =，所以12n n x =，14n n y =． ……………………………………………4分（II ）由（1）知1()2n n x =． 所以11111221121211()1()22n n n n n n n a +++=+=++-+- 21121n n +-=++1121121n n ++-+-1121n =-++1+1121n +- 12(21n =--+1121n +-) ．……………………………………………6分 由11212n n <+，1111212n n ++>-， 得121n -+1121n +-12n <-112n +．所以n a 12(21n =--+1121n +-)12(2n >--112n +)．…………………………7分 从而122231111111[2()][2()][2()]222222n n n n T a a a +=+++>--+--++--22311111112[()()]()]222222n n n +=--+-++-11112()2222n n n +=-->-，即n T >122n -．…………………………………………………………………9分（III ）由于14n n y =，故21n b n =+． 对任意正整数n，不等式12111(1)(1)(1)nbb b +++≥ 即a 12111(1)(1)(1)nb b b +++恒成立． 设()f n =12111(1)(1)(1)nbb b +++，………………………………10分 则(1)f n +=1211111(1)(1)(1)(1)n n b b b b +++++． 故(1)()f n f n +=11(1)n b ++2423n n ++523n + 1>所以(1)()f nf n +>，故()f n 递增．…………………………………………12分则min 4()(1)3fn f ===． 故0a <≤．…………………………………………………………………14分 命题：天门市教研室 刘兵华 仙桃市教研室 曹时武黄石市教研室 孙建伟 黄石二中 叶济宇 黄石四中 彭 强审校：荆门市教研室 方延伟 荆门市龙泉中学 杨后宝 袁 海。

一、单选题二、多选题1. 已知复数满足，则（ ）A ．4B ．2C．D ．12. 若则的最小值为A ．4B ．5C ．7D ．63.已知数列满足，（），则（ ）A．B．C ．7D ．124.若，则（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45.已知函数的图象关于直线对称，在时，单调递增．若，，（其中为自然对数的底数，为圆周率），则的大小关系为（ ）A．B．C．D．6. 以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91，则这15人成绩的第80百分位是（ ）A ．90B ．90.5C ．91D ．91.57.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）A．B ．（2，﹣1，2）C．D ．（1，﹣2，1）8. 已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是 （ ）A．B．C．D．9. 已知互不相同的9个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下的7个数据与原9个数据相比，下列数字特征中不变的是（ ）A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．第40百分位数10.设函数，若曲线在点处的切线与该曲线恰有一个公共点，则选项中满足条件的有（　　）A．B．C．D．11.已知，则下列说法正确的是（ ）A．B．C．D．E．12. 已知直线和平面与所成锐二面角为.则下列结论正确的是（ ）A ．若，则与所成角为湖北省八市2022届高三下学期3月联考数学试题(2)湖北省八市2022届高三下学期3月联考数学试题(2)三、填空题四、解答题B．若，则与所成角为C ．若，则与所成角最大值为D ．若，则与所成角为13. 已知向量，，若，则实数___________.14.已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，，，则球 的表面积为______15.在数列中，，其前n 项和为，则________．16.如图，在正三棱柱中，分别为棱的中点，．(1)证明：平面．(2)若三棱锥的体积为，求点到平面的距离．17. 已知a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，且.（1）求角的大小；（2）若，且的面积为，求a 的值.18. 已知椭圆：的短轴长等于，离心率．(1)求椭圆的方程；(2)过右焦点的直线与椭圆交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，证明：为定值．19. 如图为一块直四棱柱木料，其底面满足：，．(1)要经过平面内的一点和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（借助尺规作图，并写出作图说明，无需证明）(2)若，，当点是矩形的中心时，求点到平面的距离．20. 已知向量与共线，设函数.（1）求函数的最小正周期及最大值.（2）已知锐角的三个内角分别为，若有，边，求的面积.21. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，点，分别为线段，的中点.(1)求证：平面；(2)当时，求三棱锥的体积.。