勾股定理初中数学论文

勾股定理论文第一篇：勾股定理论文勾股定理论文在国外，尤其在西方，勾股定理通常被称为毕达哥拉斯定理．这是由于，他们认为最早发现直角三角形具有“勾²+股²=弦²”这一性质并且最先给出严格证明的是古希腊的数学家毕达哥拉斯实际上，在更早期的人类活动中，人们就已经认识到这一定理的某些特例．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位.尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法,更具有科学创新的重大意义.事实上,“形数统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件.正如当代中国数学家吴文俊所说:"在中国的传统数学中,数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的......除我国在公元前1000多年前发现勾股定理外，据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角．但是，这一传说引起过许多数学史家的怀疑．比如，美国的数学史家M·克莱因教授曾经指出：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理．我们知道他们有拉绳人（测量员），但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得到证实．”不过，考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥版书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”这是一个三边为3:4:5三角形的特殊例子；专家们还发现，在另一块版板上面刻着一个奇特的数表，表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最右边一列为从1到15的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着15组勾股数．这说明，勾股定理实际上早已进入了人类知识的宝库．欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。

鲁东大学2011－2012学年第一学期《数学史》课程论文课程号：2191010任课教师成绩勾股定理的证明与推广勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方。

这个定理在中国有的称为“商高定理”，在国外称为“毕达哥拉斯定理”。

人类一直想要弄清楚其他星球上是否存在着“人”，并试图与“他们”取得联系，那么怎样才能与外星人沟通呢？数学家曾设想用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号。

勾股定理有着悠久的历史，很多具有古老文化的民族和国家都会说：我们首先认识的定理是勾股定理。

1：勾股定理的历史1955年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成．这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体——毕达哥拉斯派，它的成立以及在文化上的贡献．邮票上的图案是最著名和最有用的勾股理．在欧洲人们称它为毕达格拉斯定理．在欧洲，人们都把这个定理的证明归功于毕达哥拉斯；但通过二十世纪对在美索不达米亚出土的楔形文字泥版书进行的研究，人们发现早在毕达哥拉斯以前一千多年，古代巴比伦人就已经知道这个定理．考古学家们发现了几块泥板书，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为 30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”这是一个三边为为3:4:5三角形的特殊例子；专家们还发现，在另一块泥板上面刻着一个奇特的数表，表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最右边一列为从1到15的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着15组勾股数。

这说明，勾股定理实际上早已进入了人类知识的宝库。

在我国西汉或更早时期的天文历算著作《周髀算经》①中，第一章记述了西周开国时期（约公元前1000年）商高和周公姬旦的问答．周公问商高：“夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高曰：“数之法，出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一，故折矩以为勾广三，股修四，径隅五．”祖先天才地用测量日影的办法，推算了夏至日太阳离地的斜高，用同理测定了，夏至日的太阳斜高．又取中空竹管，径一寸长八尺，用来观测太阳，我们的祖先发现太阳圆影恰好充满竹管的视线，於是用太阳的斜高和勾股的原则，推算太阳的直径．这些测定的数据虽然非常粗略，但在三千年前那样的年代，有这样的观测精神，是我们应该学习的。

勾股定理的小论文勾股定理及其逆定理是初中数学中非常重要的定理，华罗庚把它称为“茫茫宇宙星际交流的语言”，西方一些国家把它称为“毕达哥拉斯定理”。

下面小编整理的勾股定理的小论文，欢迎来参考!勾股定理及其逆定理揭示了直角三角形三边的数量关系，体现了“数形统一”的数学思想。

勾股定理和它的逆定理不但是解直角三角形的重要依据，而且是各省市中考必考的知识点，同时在实际生活中的应用也十分广泛。

这里我们不探索勾股定理的应用，只探索勾股定理的逆定理的应用。

笔者在长期的初中数学教学中发现，有许多学生在涉及到判断三角形的形状、计算图形的面积时，还是不知道应该如何利用勾股定理的逆定理来解决问题。

由于勾股定理及其逆定理把直角三角形中有一个直角的“形”的特征，转化为三边之间的“数”的关系，也就是把几何学与代数学有机地结合在一起了。

因此，我们应用勾股定理的逆定理抽象出数学方程模型或者进行图形的转化是判断三角形的形状、计算图形的面积问题的一种行之有效的方法。

在应用勾股定理的逆定理解决问题的时候，一定要让学生去思考、讨论、交流甚至是探究，让他们经历解题的过程，最终树立“数形结合”的数学思想和方法，正如《课标》所说：“它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法。

”下面，笔者就勾股定理的逆定理的应用谈谈自己的看法。

一、利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状例1：已知在三角形中，a、b、c分别是它的三边，并且a+b=10，ab=18，c=8，判断三角形的形状。

分析：由于题目中涉及两边之和与两边的积，所以先结合完全平方公式得出a2+b2的值，再检验a2+b2与c2的大小，就可以得出相应的结论。

所以，凡是给出三角形的三边或者边之间的关系判断三角形的形状，都应考虑应用勾股定理的.逆定理来进行判断。

变式训练：l所示，已知：在△ABC中，AB=13，BC=l0，BC边上的中线AD=12。

求证：△ABC是等腰三角形。

二、利用勾股定理的逆定理与勾股定理结合计算图形的面积例2：所示，已知在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，AD=12，CD=13。

数学文化在初中数学勾股定理教学中的应用研究摘要在现代近二十多年的时间里，在中国数学教育中发展最快的就是对数学文化的研究与教学。

数学文化是培养学生数学核心素养的依据。

数学文化不仅仅在数学教育中发挥着极为重要的作用，同时也是学好数学的一种方式方法，因此要让学生们在学习数学时还可以感受到数学美，从而使学生养成良好的数学文化素养，这才是教育的重心。

本文以勾股定理为例，通过研究多种证明方式证明勾股定理来培养学生的逻辑思维能力和形成多元化的数学思想；通过教学勾股定理的文化背景来拓宽学生的知识面，吸引学生的学习兴趣；在教学方式上，由以往的灌输式改为理解式，以此来提高教学实效。

关键词数学文化课堂教学文化价值勾股定理The Study on the Applications of Mathematics Culture in the Teaching ofPythagorean Theorem in Junior SchoolAbstract In more than 20 years of modern times, the fastest development in Chinese mathematics education is the research and teaching of mathematics culture. Mathematics culture is the basis of cultivating students mathematics core literacy. Mathematics culture not only plays an extremely important role in mathematics education, but also is a way and means to learn mathematics well. Therefore, students should feel the beauty of mathematics when they study mathematics, so that students develop a good mathematical culture literacy, which is the focus of education. Taking the Pythagorean Theorem as an example, this paper develops students' logical thinking ability and forms diversified mathematical thoughts by studying the Pythagorean theorem proved by various proof methods, and broadens students' knowledge by teaching the cultural background of Pythagorean Theorem, to attract students' interest in learning and to improve the teaching effect, we should change the indoctrination mode into the understanding mode.Key words Mathematical culture Classroom teaching Cultural value Pythagorean theorem目录引言 (1)1 中国数学文化研究的兴起与发展 (2)1.1 “数学方法论”研究对中国数学文化研究兴起的影响 (2)1.2 数学文化史研究对中国数学文化研究兴起的影响 (2)1.3 数学教育改革对数学文化研究兴起的影响 (3)1.4 数学文化类课程的发展过程 (3)1.4.1 早期发展阶段 (3)1.4.2 前期发展阶段 (3)1.4.3 中期发展阶段 (4)1.4.4 普遍认可阶段 (4)2 国外数学文化研究 (4)3 数学文化的界定 (5)4 数学文化融入勾股定理教学的研究现状 (5)5 数学文化在勾股定理教学中呈现的价值 (5)5.1 生活中的勾股定理 (6)5.2 勾股定理教材中体现的数学文化 (6)5.3 勾股定理教学中体现的数学文化 (6)5.3.1 数学文化提高学生的知识范围 (7)5.3.2 数学文化锻炼学生的逻辑思维能力 (7)6 数学文化融入勾股定理教学的措施 (9)6.1 教学设计 (9)6.1.1 教材分析 (9)6.1.2 学情分析 (9)6.1.3 明确教学目标及重难点 (10)6.1.4 运用恰当的教学方法 (10)6.1.5 教学环节 (10)6.1.6 师生小结 (12)6.1.7 布置作业 (12)6.2 实际教学过程 (12)6.2.1 引导猜想 (12)6.2.2 猜想证明 (13)7 优秀的教学实例 (14)7.1 数学文化在勾股定理教学中的应用 (14)7.2 数学文化融入勾股定理的方式 (15)8 数学文化在勾股定理教学中的应用现状 (16)8.1 调查方法 (16)8.2 调查结果 (16)8.3 调查结果分析 (19)9 思考与建议 (19)9.1 教学过程中数学文化知识教育缺失的原因探寻 (19)9.2 解决建议 (20)结论 (20)参考文献 (21)致谢 (22)附录A (23)附录B (23)引言数学文化的研究在中国实现从无到有仅仅花费了二十多年的时间，从只有个别专家学者探讨发展到如今成为中小学乃至各大高校的重点研究内容，他的发展速度在中国教育史上也是较为罕见的。

摘要：勾股定理是几何学中一颗光彩熠熠的明珠，充满着魅力。

它被世人称为“几何学的基石”，是人类最伟大的十个科学发现之一.它是我们全人类共同的财富,不论是古埃及人,古巴比伦，亦或是我们中国人最早发现了它，显然不是任何一个民族的私有财产。

勾股定理在高等数学和其他学科中有着极为广泛的应用.总之,在勾股定理的探索上,我们走向了数学科学的殿堂。

关键词：勾股定理,应用Abstract：Pythagorean theorem in geometry is a gleaming pearl， full of charm. It is the world known as ”the cornerstone of geometry, ”is humanity's greatest scientific discoveries of the ten. It is our common wealth of mankind， whether ancient Egyptian， Babylonian, or we Chinese people have first discovered it, is clearly not the private property of any nation。

Pythagorean theorem in higher mathematics and other disciplines has a very wide range of applications。

In short, the exploration of the Pythagorean theorem, we went to the temple of Mathematical Sciences.Key words:Pythagoras Theorem，application目录1 引言 (4)2 内容 (4)3 证明 (4)3.1 赵爽弦图法 (5)3。

勾股定理逆定理论文我们对三角形的定义是三条首尾相连的线段围成的封闭图形。

但是三角形也分很多类，按照边来分类可以分成等腰三角形等等，用角来分类可以分为直角三角形，锐角三角形和钝角三角形。

而这次我们要探究的“勾股定理”就隐藏在直角三角形中。

直角三角形中有一个直角，夹着直角的那两条边我们称之为直角边，而另外的一条边我们称之为斜边。

通过三角形内角和为180度我们就可以知道。

直角三角形的两个锐角是互余的。

也就是可以说，我们通过三角形内角和为180度，可以得出直角三角形中各个角之间的关系。

那在一个直角三角形中，各个边的关系又是怎么样的呢？勾股定理其实也就是在说直角三角形中各个边之间的关系，就现在来说勾股定理只是我们的一个猜测，因为我们还没有证明。

那我们为什么会提出这样的猜测呢？我们先看下图。

我们先看看一个特例，其实当我们想要探究在一个直角三角形中两个直角边和一条斜边的关系，其实就可以直接说是，探究我如图所画的三个正方形面积的关系。

首先按如图的方式将正方形ABCD和正方形DEGF沿对角线切割成个三角形，将正方形BHIE沿对角线切割成4个三角形。

因为a和b都等于3，所以三角形ABC，三角形BCD，三角形DFE和三角形EFG这是全等的。

因为三角形ABC 的面积等于3×3×1/2所以这两个小正方形的面积相加也就等于4个三角形相加，也就是等于18.而再看一下大正方形BHIE，大正方形由4个小三角形组成，每一个三角形的面积也是3×3再×1/2 所以大正方形的面积也等于18。

这时我们就发现了两个小正方形相加等于这个大正方形。

也就可以说是a方加b方等于c方了。

这时，我们就对直角三角形的边的关系有了一个猜想，那就是两个直角边的平方和，等于斜边的平方。

那这是否可以作为我们对勾股定理猜想的一个证明呢？其实是不能的，虽然我们也是用严谨的逻辑将它推理出来的，但是我们是用一个特例来进行证明的，而我们的定理则需要一定的普遍性。

有关勾股定理的⼩论⽂有关勾股定理的⼩论⽂ 勾股定理或勾股弦定理,⼜称毕达哥拉斯定理或毕⽒定理。

是⼀个基本的⼏何定理,传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。

下⾯是有关勾股定理的⼩论⽂的内容，欢迎阅读！ 有关勾股定理的⼩论⽂1 在初⼆上学期我们学习了⼀种很实⽤并且很容易理解的定理——勾股定理。

勾股定理就是把直⾓三⾓形的两直⾓边的平⽅和等于斜边的平⽅这⼀特性，⼜称毕达哥拉斯定理或毕⽒定理。

我脑海中印象最深的就是那棵毕达哥拉斯树，它是由勾股定理不断的连接从⽽构成的⼀个树状的⼏何图形。

两个相邻的⼩正⽅形⾯积的和等于相邻的⼀个⼤正⽅形的⾯积。

它看起来⾮常别致、漂亮，因为勾股定理是数学史上的⼀颗明珠，它将会使⼈们再算⼀些问题时变得更⽅便。

你如果把勾股定理倒过来，它还是勾股定理逆定理，它最⼤的好处就在于它能够证明某些三⾓形是直⾓三⾓形。

这⼀点在我们⼏何问题中是有很⼤价值的。

我国古代的《周髀算经》就有关于勾股定理的记载：：“若求邪⾄⽇者，以⽇下为句，⽇⾼为股，句股各⾃乘，并⽽开⽅除之，得邪⾄⽇”，⽽且它还记载了有关勾股定理的证明：昔者周公问于商⾼⽈：“窃闻乎⼤夫善数也，请问昔者包牺⽴周天历度——夫天可不阶⽽升，地不可得尺⼨⽽度，请问数安从出？” 商⾼⽈：“数之法出于圆⽅，圆出于⽅，⽅出于矩，矩出于九九⼋⼗⼀。

故折矩，以为句⼴三，股修四，径隅五。

既⽅之，外半其⼀矩，环⽽共盘，得成三四五。

两矩共长⼆⼗有五，是谓积矩。

故禹之所以治天下者，此数之所⽣也。

” 同时发现勾股定理的还有古希腊的毕达哥拉斯。

但是从很多泥板记载表明，巴⽐伦⼈是世界上最早发现“勾股定理”的。

由此可见古代的⼈们是多么的聪明、细⼼和善于发现！ 法国和⽐利时称勾股定理为驴桥定理，埃及称为埃及三⾓形。

我国古代把直⾓三⾓形中较短的直⾓边叫做勾，较长的直⾓边叫做股，斜边叫做弦，所以它⼜叫勾股弦定理。

勾股定理流长深远，我们不能败给古⼈，我们⼀定要善于发现，将勾股定理灵活地运⽤在⽣活中，将勾股定理发扬光⼤！常见的勾股数按“勾股弦”顺序：3，4，5 ；6，8，10；5，12，13 ；7，24，25；8，15，17 ；9，40，41……经过计算表明，勾、股、弦的⽐例为1：√3：2 。

勾股定理最近我们学习了“勾股定理”。

它是初等几何中的一个基本定理，是指“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

证明方法一：取四个与Ｒｔ△ABC全等的直角三角形，把它们拼成如图所示的正方形。

如图，正方形ABCD的面积＝4个直角三角形的面积＋正方形PQRS的面积∴( a ＋b )2 ＝1/2 ab × 4 ＋c2a2 ＋2ab ＋b2 ＝2ab ＋c2故a2 ＋b2 ＝c2证明方法二：图1中，甲的面积＝(大正方形面积) －( 4个直角三角形面积)。

图2中，乙和丙的面积和＝(大正方形面积)－( 4个直角三角形面积)。

因为图1和图2的面积相等，所以甲的面积＝乙的面积＋丙的面积即：c2 ＝a2 ＋b2证明方法三：四个直角三角形的面积和＋小正方形的面积＝大正方形的面积，2ab ＋( a －b ) 2 ＝c2，2ab ＋a2 －2ab ＋b2 ＝c2故a2 ＋b2＝c2证明方法四：梯形面积＝三个直角三角形的面积和1/2 × ( a ＋b ) × ( a ＋b ) ＝2 × 1/2 × a × b ＋1/2 × c × c(a ＋b )2 ＝2ab ＋c2a 2 ＋2ab ＋b2 ＝2ab ＋c2故a2 ＋b2＝c2这是常用的四种方法，下面是另外的四种方法：【证法1】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.∵D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌RtΔEBD,∴∠EGF = ∠BED，∵∠EGF + ∠GEF = 90°，∴∠BED + ∠GEF = 90°，∴∠BEG =180º―90º= 90º.又∵AB = BE = EG = GA = c，∴ABEG是一个边长为c的正方形.∴∠ABC + ∠CBE = 90º.∵RtΔABC ≌RtΔEBD,∴∠ABC = ∠EBD.∴∠EBD + ∠CBE = 90º.即∠CBD= 90º.又∵∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a.∴BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则,∴c2 ＝a2 ＋b2【证法2】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC，交AC于点P.过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N.∵∠BCA = 90º，QP∥BC，∴∠MPC = 90º，∵BM⊥PQ，∴∠BMP = 90º，∴BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90º.∵∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º，∴∠QBM = ∠ABC，又∵∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c，∴RtΔBMQ ≌RtΔBCA.同理可证RtΔQNF ≌RtΔAEF.∴c2 ＝a2 ＋b2【证法3】（赵浩杰证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，∴FI=a，∴G,I,J在同一直线上，∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB = ∠CFD = 90º，∴RtΔCJB ≌RtΔCFD ，同理，RtΔABG ≌RtΔADE，∴RtΔCJB ≌RtΔCFD ≌RtΔABG ≌RtΔADE∴∠ABG = ∠BCJ,∵∠BCJ +∠CBJ= 90º,∴∠ABG +∠CBJ= 90º,∵∠ABC= 90º,∴G,B,I,J在同一直线上，∴c2 ＝a2 ＋b2【证法4】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD. 过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L.∵AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD，∴ΔFAB ≌ΔGAD，∵ΔFAB的面积等于，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴矩形ADLM的面积=.同理可证，矩形MLEB的面积=.∵正方形ADEB的面积= 矩形ADLM的面积+ 矩形MLEB的面积∴c2 ＝a2 ＋b2。

勾股定理证明小论文[5篇模版]第一篇：勾股定理证明小论文勾股定理勾股定理，指的是“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

”这个定理虽然只是简单的一句话，但是它却有着十分悠久的历史，尤其是它那种“形数结合”的方法，影响到了不计其数的人。

勾股定理一直是几何学中的明珠，充满了无限的魅力。

早在很久以前，我们的前辈们就已经开始研究勾股定理了。

而中国则是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。

中国古代数学家将直角三角形称为勾股形，西周数学家商高曾在《九章算术》中说过：“若勾三，股四，则弦五。

”较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边则称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。

并且勾股定理又称作毕达哥拉斯定理或毕氏定理。

数学公式中常写作据考证，人类对这条定理的认识，少说也有4000年，并且勾股定理大概共有几百个证明方法，也是数学定理中证明方法最多的定理之一。

接下来我们便介绍几种较有名气的证明方法。

1.】这是传说中毕达哥拉斯的证明方法：左图中是由2个正方形和4个相等的三角形拼成的，而右图则是由一个正方形和四个相等的三角形拼成，又因为两幅图中正方形的边长都是（a+b），面积相等，所以可以列出等式——证明了勾股定理。

2】下面就是中国古代数学家赵爽的证法：这个图形可以用两种不一样的方法列出两个不一样的等式，且都可以证明出勾股定理。

第一种方法是将这个正方形分成4个相同大小的三角形和一个大正方形，根据面积的相等，可以列出等式——式子为化简后的，最后得出。

第二种方法则是将图形看成4个大小相同的长方形和一个小正方形，即可列出等式以证明勾股定理。

这两种不同的方法非常简便，直观，充分体现了中国古代人们的聪明机智。

化简后也可3】欧几里得的勾股定理证明方法：如图，过 A 点画一直线 AL 使其垂直于 DE，并交 DE 于 L，交 BC 于M。

通过证明△BCF≌△BDA，利用三角形面积与长方形面积的关系，得到正方形ABFG与矩形BDLM等积，同理正方形ACKH与矩形MLEC也等积，于是推得AB²+AC²=BC².除了这些，证明勾股定理的方法还有许许多多种。

数学勾股定理论文勾股定理是数学史上一个伟大的定理,同时也是一个历史悠久的定理.下面店铺给你分享数学勾股定理论文，欢迎阅读。

数学勾股定理论文篇一数学思想是数学知识的精髓，又是把知识转化为能力的桥梁.灵活运用数学思想，能够有效地提高分析问题和解决问题的能力，增强应用数学知识的意识.在《勾股定理》这一章中，蕴含着许多重要的数学思想，现举例介绍如下.一、方程思想在含有直角三角形的图形中，求线段的长往往要使用勾股定理，如果无法直接用勾股定理来计算，则需要列方程解决.二、化归思想化归思想就是通过一定的方法或途径，把需要解决的问题变换形式，变化成另一类已经解决或易于解决的问题，从而使原来的问题得到解决.例3如图3，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm.点B 与点C的距离为5cm，一只蜗牛如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需爬行的最短路程是多少?分析：由于蜗牛是沿着长方体的表面爬行的，故需把长方体展开成平面图形.根据两点之间线段最短，蜗牛爬行的较短路程有两种可能，如图4、图5所示.利用勾股定理容易求出两种图中AB的长度，比较后即可求得蜗牛爬行的最短路程是25cm.说明：这里通过长方体的展开图，把立体图形转化为平面图形，把求蜗牛爬行的最短路程问题化归成利用勾股定理求两点间的距离问题.例4如图6，是一块四边形的草地ABCD，其中∠A = 60O，∠B =∠D = 90O，AB = 20m，CD = 10m，求AD、BC的长(精确到0.1m，≈1.732).(2004年天津市中考题)分析：图中无直角三角形，怎么办?联想到含30O角的直角三角形，因而延长AD、BC交于点E，则∠E = 30O，AE = 2AB = 40m，CE = 2CD = 20m. 由勾股定理得DE == m，BE == m，所以AD = 40≈22.7m，BC = 20≈14.6m.说明：本题充分利用已知图形的特点，通过构造新图形，将四边形问题巧妙地转化成了直角三角形问题.三、数形结合思想数形结合，就是抓住数与形之间本质上的联系，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而达到迅速解题的目的.例5在一棵树的10m高处有两只猴子，其中一只爬下树直奔离树20m的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高?(2005年福建省龙岩市中考题)分析：依题意画出示意图7，D为树顶，AB = 10m，C为池塘，AC = 20m. 设BD = (m)，则树高AD = ( +10)m.因为AC + AB = BD + DC，所以DC = (30)m. 在Rt△ACD中，由勾股定理可得方程202 + ( + 10)2 = (30)2，解得 = 5，所以 +10 = 15，即树高15m.说明：勾股定理本身就是数形结合的一个典范，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点，转化为三边“数”的关系.利用勾股定理解决实际问题，关键是利用数形结合思想将实际问题转换成直角三角形模型，再利用方程来解决.四、分类讨论思想在解题过程中，当条件或结论不确定或不惟一时，往往会产生几种可能的情况，这就需要依据一定的标准对问题进行分类，再针对各种不同的情况分别予以解决.最后综合各类结果得到整个问题的结论.分类讨论实质上是一种“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学方法.例6 一直角三角形的两边长分别为3cm、4cm，则第三边的长为______.分析：此题中已知一个直角三角形的两边长，并没有指明是直角边还是斜边，因此要分类讨论，答案是5cm或cm.例7“曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC，现可直接测量到∠A = 30O，AC = 40米，BC = 25米，请你求出这块花圃的面积. (2003年黑龙江省中考题)分析：由于题目中没有明确告诉我们△ABC的形状，故需分两种情况讨论.在图8中，S△ABC=10 (20 + 15)米2;在图9中，S△ABC= 10(2015)米2.说明：此类问题由于题目中没有图形，常需分类讨论，解答时极易因考虑不周而导致漏解，希望同学们用心体会.五、整体思想对于某些数学问题，如果拘泥常规，从局部着手，则难以求解;如果把问题的某个部分或几个部分看成一个整体进行思考，就能开阔思路，较快解答题目.例8已知一个直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，那么这个三角形的面积为______.分析：设这个直角三角形的两条直角边长为，斜边为，则= 3013 = 17，于是( + )2 = 2 + 2 + 2 = 172 = 289，由勾股定理知2 + 2 = 289，即132+ 2 = 289，所以 = 60，故所求三角形面积S == 30cm2.说明：我们要求的是面积，即，不一定要分别求出和的值，只要从整体上求出即可.例9 如图10所示，在直线上依次摆放着七个正方形.已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1 + S2 + S3 + S4 = ______.(2005年浙江省温州市中考题)分析：根据已知条件可知AC = EC，∠ABC = ∠CDE = 90O，由角的互余关系易证∠ACB =∠CED，这样可得△ABC ≌△CDE，所以BC = ED，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2 = AB2 + BC2 = AB2 + DE2.由S1 = AB2，S2 = DE2，AC2 = 1，有S1 + S2 = 1，同理可得S3 + S4 = 3，所以S1+ S2 + S3 + S4 = 1+3 = 4.说明：本题不是直接求出S1，S2，S3，S4，而是借助勾股定理求得S1 + S2，S3 +S4，体现了整体思想在解决问题中的灵活应用.数学勾股定理论文篇二数学思想方法是以具体数学内容为载体，又高于具体数学内容的一种指导思想和普遍适用的方法.它能使人领悟到数学的真谛，并对人们学习和应用数学知识解决问题的思维活动起着指导和调控的作用.日本数学教育家米山国藏认为，学生在进入社会以后，如果没有什么机会应用数学，那么作为知识的数学，通常在出校门后不到一两年就会忘掉，然而不管他们从事什么业务工作，那种铭刻在人脑中的数学精神和数学思想方法，会长期地在他们的生活和工作中发挥重要作用.灵活运用数学思想方法解决问题，往往可以化难为易、化腐朽为神奇，事半功倍.下面以勾股定理中渗透的数学思想为例说明.一、分类思想例1.(2013年贵州黔西南州)一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为( )点评：本题的易错点是受“勾三股四弦五”的影响，直接把边长为4的边当作直角边，从而误选A，犯了考虑问题不全面的错误.二、方程思想例2.(2013年山东济南)如图1，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为()A.12mB.13mC.16mD.17m分析：观察图形，当绳子末端拉到距离旗杆8m处，可过绳子末端向旗杆作垂线，这样可以得到一个直角三角形，然后设旗杆的高度为未知数，进而运用勾股定理列方程求解.解：如图2，设旗杆的高度为x，则AC=AD=x，AB=x-2，BC=8.在Rt△ABC中，由勾股定理，得(x-2)2+82=x2.解得x=17m，即旗杆的高度为17m，答案选D.三、整体思想例3.(2013年江苏扬州)矩形的两邻边长的差为2，对角线长为4，则矩形的面积为____________.分析：设矩形的两邻边长分别为a、b(a>b)，则依据题意有a-b=2，a2+b2=16.而矩形的面积等于ab，关键要设法将两个等式转化为含有ab的式子.解：设矩形的两邻边长分别为a、b (a>b)，则a-b=2.五、数形结合思想例5.(2013年湖南张家界)如图4，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(10，0)、(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动.当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为________.分析：易知OD=5，要使△ODP为腰长为5的等腰三角形，可以点O为圆心，OD为半径作圆;也可以点D为圆心，OD为半径作圆.解：由C(10，0)可知OD=5.(1)以点O为圆心，OD为半径作圆交边六、构造思想例6.同例3分析：根据已知条件，联想到证明勾股定理的弦图，本例便有如下巧妙解法.数学勾股定理论文篇三正确的数学思想是成功解题的关键所在.在运用勾股定理解题时，若能正确把握数学思想，则可使思路开阔，方法简便快捷.下面列举在应用勾股定理时经常用到的数学思想，供同学们参考.一、方程思想◆例1如图1，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且点C落到E点，则CD等于( ).A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm分析：由题意可知，ΔACD 和ΔAED关于直线AD对称，因而有ΔACD ≌ΔAED .进一步则有AE=AC=6cm，CD=ED，DE⊥AB.设CD=ED=xcm，则在ΔDEB中，由勾股定理可得DE2+BE2=BD2.又因在ΔABC中，AB2=AC2+BC2=62+82=100,得AB=10.所以有x2+(10- 6) 2=(8- x)2,解得x=3.故选B.二、转化思想◆例2如图2，长方体的高为3cm，底面是正方形，边长为2cm.现有一小虫从A出发，沿长方体表面爬行，到达C处，问小虫走的路程最短为多少厘米?分析：求几何体表面最短距离问题，通常可将几何体表面展开，把立体图形转化为平面图形.对于此题，可将该长方体的右表面翻折至前表面，使A、C两点共面，连结AC，线段AC的长度即为最短路程(如图3).由勾股定理可知AC2=32+42=52，即小虫所走的最短路程为5cm.三、分类讨论思想◆例3在ΔABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高AD=12，试求BC的长.分析：三角形中某边上的高既可在三角形内部，也可在三角形的外部，故此题应分两种情况来考虑.当BC边上的高AD在ΔABC的内部时，如图4，由勾股定理得BD2=AB2-AD2，得BD=9;CD2=AC2-AD2，得CD=16，则BC=BD+CD=9+16=25;当BC上的高AD在ΔABC的外部时，如图5，同样由勾股定理可求得CD=16，BD=9，这时，BC=CD-BD=16- 9=7，故BC的长为25或7.四、数形结合思想勾股定理本身就是数形结合的定理，它的验证和应用，都体现了数形结合的思想.这里不再举例，请同学们在平时的练习中仔细体会.。