选择题(极限与连续)

极限练习题及答案一. 选择题1.设F是连续函数f的一个原函数，”M?N”表示“M 的充分必要条件是N”，则必有.F是偶函数?f)是奇函数.F是奇函数?f是偶函数. F是周期函数?f是周期函数. F是单调函数?f是单调函数．设函数f?1x,则ex?1?1x?0，x x?0，x?1都是f?1都是f的第一类间断点. 的第二类间断点x?0是f的第一类间断点，x?1是f的第二类间断点. x?0是f的第二类间断点，x3．设f?x??x?1x?1是f的第一类间断点.1，则f[，x?0、，1f]?1A） 1?xB） 1?x4．下列各式正确的是 C）XD） x1+ )?exx11lim??elimC） D）?exxA） limx?0?1x?1B）limx?01x?x?xx??x??5．已知lim?9，则a?。

A.1；B.?；C.ln3；D.2ln3。

．极限：lim x??2A.1；B.?；C.e7．极限：lim； D.e。

2x??x3?2= x3A.1；B.?；C.0；D.2．8．极限：limx?0x?1?1x=A.0；B.?；C 1； D.2．29. 极限：lim=x???A.0；B.?；C.2；D. 1．2sinx10．极限: limtanx?=x?0sin2xA.0；B.?；C.二. 填空题 11．极限limxsinx??116； D.16．2xx?12= ； 12. limarctanx= ；x?0x13. 若y?f在点x0连续，则lim[f?f]= ； x?x?14. limsin5xxx?0?；15. limn?；16. 若函数y?x?1x?3x?222，则它的间断点是17. 绝对值函数?x,x?0;?f?x??0,x?0;??x,x?0.?其定义域是，值域是。

?1,x?0;?18.符号函数 f?sgnx??0,x?0;其定义域是，值域是三个点的集合。

??1,x?0.?19无穷小量是。

20. 函数y?f在点x0连续，要求函数y?f满足的三个条件是。

极限练习(基础题) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第二章 极限与连续一、判断题1. 若)(lim )(lim 0x f x f x x x x -+→→=，则 )(x f 必在 0x 点连续； （ ）2. 当0x →时，2sin x x +与 x 相比是高阶无穷小； （ ）3. 设 )(x f 在点 0x 处连续，则 )(lim )(lim 00x f x f x x x x -+→→= ；（ ）4. 函数 21sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在 0x = 点连续； （ ） 5. 1=x 是函数 122--=x x y 的间断点； （ ） 6.()sin f x x = 是一个无穷小量； （ ）7. 当 0→x 时，x 与 )1ln(2x + 是等价的无穷小量； （ ） 8. 若 )(lim 0x f x x → 存在，则 )(x f 在 0x 处有定义； （ ）9. 若x 与y 是同一过程下两个无穷大量，则x y -在该过程下是无穷小量；（ ）10. 21sin lim0=+→x x x x ； （ ）11. 01lim sin 1x x x→= ； （ ）12. 22lim(1)x x e x-→∞+= ；（ ）13. 11,0,,0,,0,481数列收敛2；（ ）14. 当0x +→x ；（ ）15. 函数 1()cos f x x x= ，当 x →∞ 时为无穷大；（ ）16. sin lim 1x xx→∞= ；（ ）17. 无穷大量与无穷小量的乘积是无穷小量；（ ）18. ln(1)x +~x ； （ ） 19. 1lim sin1x x x→∞= ；（ ） 20. 0tan lim1x xx→= . （ ）二、单项选择题1、=+-+-→45127lim 224x x x x x （ ） A ．1 B ．0 C ．∞D ．312、 hx h x 220h )(lim -+→ =( )。

高等数学题库第01章（函数,极限,连续）.第一章函数、极限、连续习题一一．选择题1．下列各组中的函数f(x)与g(x)表示同一个函数的是（）A.f(x)=x,g(x)=x2B.f(x)=2lgx,g(x)=lgx2 x,g(x)=x2C.f(x)=xD.f(x)=x,g(x)=-x2.函数y=4-x+sinx的定义域是( )A.[0,1]B.[0,1)(1,4]C.[0,+∞)D.[0,4]3.下列函数中,定义域为(-∞,+∞)的有( ) A.y=x-1323 B.y=x2 C. y=x3 D.y=x-24.函数y=x2-1单调增且有界的区间是( )A. [-1,1]B. [0,+∞)C. [1,+∞)D. [1,2]5.设y=f(x)=1+logx+32,则y=f-(x)=( )A.2x+3B. 2x-1-3C. 2x+1-3D. 2x-1+36.设f(x)=ax7+bx3+cx-1,其中a,b,c是常数,若f(-2)=2，则f(2)=(A.-4B.-2C.-3D.6二．填空题1．f(x)=3-xx+2的定义域是2．设f(x)的定义域是[0,3]，则f(lnx)的定义域是。

3．设f(2x)=x+1，且f(a)=4，则a= 。

4．设f(x+11x)=x2+x2，则f(x)5．y=arcsin1-x2的反函数是。

6．函数y=cos2πx-sin2πx的周期T。

)π?sinx,x<17．设f(x)=?则f(-)=。

4??0,x≥12??1,x≤12-x,x≤1??8．设f(x)=?，g(x)=?，当x>1时，g[f(x)]= 。

x>1x>10?29．设f(x)=ax3-bsinx，若f(-3)=3，则f(3)=。

10．设f(x)=2x，g(x)=x2，则f[g(x)]=。

三.求下列极限 x3-1x2-91.lim2 2.lim x→1x-1x→3x-33.limx→52x-1-3+2x2-14. lim x→0xx-5x2-3x+2x+2-35.lim 6. lim3x→1x→1x-xx+1-27.limx→1x+4-2-x-+x 8. lim2x→0sin3xx-1sinx2-49. lim2 x→2x+x-6()习题二1.下列数列中,发散的是( ) 1π2n-11+(-1)n(-1)nA.xn=sinB.xn=5+C.xn=D.xn= nn3n+22n22设limf(x)=A(A为常数),则在点x0处f(x)( ) x→x0A. 一定有定义且f(x0)=AB.有定义但f(x0)可为不等于A的值B. 不能有定义 D.可以有定义,也可以没有定义f(x)=limf(x)是limf(x)存在的( ) 3.lim+-x→x0x→0x→x0A.充分必要条件B. 充分而非必要条件C. 必要而非充分条件D. 既非充分也非必要条件4．limh→0x+h-x=（） hA．0 B.12x C.2x D.不存在x3(1+a)+1+bx2=-1则a,b的值为( ) 5.若limx→∞x2+1A.a=-1,b=-1B. a=1,b=-1C. a=-1,b=1D. a=1,b=16.设limf(x)=A，limg(x)=B，且A>B，则当x充分接近xo时,必有( ) x→x0x→x0A.f(x)≥g(x)B. f(x)>g(x)C. f(x)≤g(x)D. f(x)<g(x)< p="">7.数列{xn}有界是收敛的( )A.充分必要条件B. 必要而非充分条件C.充分而非必要条件D.既非充分也非必要条件8.设f(x)=1-x,g(x)=1-x,当x→1时,( )A.f(x)是比g(x)较高阶的无穷小量B. f(x)是比g(x)较低阶的无穷小量C.f(x)与g(x)同阶无穷小量D. f(x)与g(x)等价无穷小量9.当x→0时，为无穷小量的是（）-1A．lnsinx B.sin C.cotx D.ex x1n,n为奇数?10.设数列xn=?1,则{xn}是( ) ,n为偶数??nA.无穷大量B. 无穷小量C.有界变量D. 无界变量二．填空题lnx= 。

高中数学函数的极限与连续练习题及参考答案2023题目一：函数极限1. 计算以下极限：a) lim(x→2) (x^2 + 3x - 4)b) lim(h→0) [(4+h)^2 - 16]/hc) lim(x→∞) [(x+1)/(x-1)]^2d) lim(x→0) (1/x - 1)/(1 - sqrt(1 + x))解答：a) 将x代入函数，得到：lim(x→2) (2^2 + 3*2 - 4) = 8b) 将h代入函数，得到：lim(h→0) [(4+0)^2 - 16]/0 = 0c) 当x趋向于正无穷大时，[(x+1)/(x-1)]^2 = 1d) 将x代入函数，得到：lim(x→0) (1/0 - 1)/(1 - sqrt(1)) = undefined题目二：连续函数2. 判断以下函数在给定区间是否连续：a) f(x) = x^2 - 5x + 6, 在区间[1, 5]上b) g(x) = √(x + 2), 在区间[-2, 3]上c) h(x) = 1/(x-2), 在区间(-∞, 2)上解答：a) 函数f(x)是一个二次函数，对于任意实数x，f(x)都是连续的。

因此，f(x)在区间[1, 5]上连续。

b) 函数g(x)是一个开根号函数，对于非负实数x，g(x)都是连续的。

在区间[-2, 3]上，g(x)的定义域为[-2, ∞)，因此在该区间上连续。

c) 函数h(x)在x=2处的定义域为无穷，因此在该点不连续。

在区间(-∞, 2)上除x=2之外的点，h(x)为一个连续函数。

题目三：函数极限的性质3. 判断以下命题的真假，并简要说明理由：a) 若lim(x→a) f(x) = L，且L≠0，则lim(x→a) [f(x)]^2 = L^2。

b) 若lim(x→a) f(x) = L，且f(x) > 0，那么lim(x→a) 1/f(x) = 1/L。

c) 若lim(x→a) f(x) = L，且lim(x→a) g(x) = M，则lim(x→a) [f(x) +g(x)] = L + M。

第一章函数、极限、连续习题一一．选择题1．下列各组中的函数f(x)与g(x)表示同一个函数的是（） A.f(x)=x,g(x)=x2B.f(x)=2lgx,g(x)=lgx2 x,g(x)=x2C.f(x)=xD.f(x)=x,g(x)=-x2.函数y=4-x+sinx的定义域是( )A.[0,1]B.[0,1)(1,4]C.[0,+∞)D.[0,4]3.下列函数中,定义域为(-∞,+∞)的有( ) A.y=x-1323 B.y=x2 C. y=x3 D.y=x-24.函数y=x2-1单调增且有界的区间是( )A. [-1,1]B. [0,+∞)C. [1,+∞)D. [1,2]5.设y=f(x)=1+logx+32,则y=f-(x)=( )A.2x+3B. 2x-1-3C. 2x+1-3D. 2x-1+36.设f(x)=ax7+bx3+cx-1,其中a,b,c是常数,若f(-2)=2，则f(2)=(A.-4B.-2C.-3D.6二．填空题1．f(x)=3-xx+2的定义域是2．设f(x)的定义域是[0,3]，则f(lnx)的定义域是。

3．设f(2x)=x+1，且f(a)=4，则a= 。

4．设f(x+11x)=x2+x2，则f(x)5．y=arcsin1-x2的反函数是。

6．函数y=cos2πx-sin2πx的周期T。

)⎧π⎪sinx,x<17．设f(x)=⎨则f(-)=。

4⎪⎩0,x≥12⎧⎧1,x≤12-x,x≤1⎪⎪8．设f(x)=⎨，g(x)=⎨，当x>1时，g[f(x)]= 。

x>1x>1⎪⎪⎩0⎩29．设f(x)=ax3-bsinx，若f(-3)=3，则f(3)=。

10．设f(x)=2x，g(x)=x2，则f[g(x)]=。

三.求下列极限 x3-1x2-91.lim2 2.lim x→1x-1x→3x-33.limx→52x-1-3+2x2-14. lim x→0xx-5x2-3x+2x+2-35.lim 6. lim3x→1x→1x-xx+1-27.limx→1x+4-2-x-+x 8. lim2x→0sin3xx-1sinx2-49. lim2 x→2x+x-6()习题二1.下列数列中,发散的是( ) 1π2n-11+(-1)n(-1)nA.xn=sinB.xn=5+C.xn=D.xn= nn3n+22n22设limf(x)=A(A为常数),则在点x0处f(x)( ) x→x0A. 一定有定义且f(x0)=AB.有定义但f(x0)可为不等于A的值B. 不能有定义 D.可以有定义,也可以没有定义f(x)=limf(x)是limf(x)存在的( ) 3.lim+-x→x0x→0x→x0A.充分必要条件B. 充分而非必要条件C. 必要而非充分条件D. 既非充分也非必要条件4．limh→0x+h-x=（） hA．0 B.12x C.2x D.不存在x3(1+a)+1+bx2=-1则a,b的值为( ) 5.若limx→∞x2+1A.a=-1,b=-1B. a=1,b=-1C. a=-1,b=1D. a=1,b=16.设limf(x)=A，limg(x)=B，且A>B，则当x充分接近xo时,必有( ) x→x0x→x0A.f(x)≥g(x)B. f(x)>g(x)C. f(x)≤g(x)D. f(x)<g(x)7.数列{xn}有界是收敛的( )A.充分必要条件B. 必要而非充分条件C.充分而非必要条件D.既非充分也非必要条件8.设f(x)=1-x,g(x)=1-x,当x→1时,( )A.f(x)是比g(x)较高阶的无穷小量B. f(x)是比g(x)较低阶的无穷小量C.f(x)与g(x)同阶无穷小量D. f(x)与g(x)等价无穷小量9.当x→0时，为无穷小量的是（）-1A．lnsinx B.sin C.cotx D.ex x1⎧n,n为奇数⎪10.设数列xn=⎨1,则{xn}是( ) ,n为偶数⎪⎩nA.无穷大量B. 无穷小量C.有界变量D. 无界变量二．填空题lnx= 。

专升本高等数学(二)-极限和连续(总分：100.00，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：19，分数：20.00)1.下列各组函数中，两个函数相同的是______A． B．f(x)=x，C．f(x)=ln｜x｜，g(x)=lnx D．f(x)=1nx3，g(x)=3lnx（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 选项A中，D(f)=(-∞，-1)∪(-1，+∞)，D(g)=(-∞，+∞)，定义域不相同；选项B中，f(x)=x，g(x)=[*]=｜x｜，对应规律不相同；选项C中，D(f)=(-∞，0)∪(0，+∞)，D(g)=(0，+∞)，定义域不相同；选项D中，D(f)=(0，+∞)，D(g)=(0，+∞)，且lnx3=3lnx，即两个函数的定义域相同且对应规律相同，为相同函数.2.______∙ A.(0，5]∙ B.(1，5]∙ C.(1，5)∙ D.(1，+∞)（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 使函数解析式有意义，自变量x应满足 [*]解得1＜x≤5，即D(f)=(1，5].3.下列函数为奇函数的是______A．y=x4+x-2 B．y=tax+C． D（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 根据函数的奇偶性的定义，应选D.4.已知f(x)是(-∞，+∞)上的单调增加函数，则F(x)=e-f(x)是______∙ A.单调增加∙ B.单调减少∙ C.不单调但有界∙ D.不单调但无界（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 因为f(x)在(-∞，+∞)上单调增加，f(x)在(-∞，+∞)上一定单调减少，则F(x)=e-f(x)在(-∞，+∞)上一定单调减少.5.函数的反函数是______A．y=3log2x+1 B．y=3log2(x+1)C．y=log23x+1 D．y=log+1（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 由[*]，得x=log23y+1，即y=log23x+1.6.函数y=cos3(5x+2)的复合过程是______∙ A.y=cos3u，u=5x+2∙ B.y=u3，u=cos(5x+2)∙ C.y=u3，u=cosv，v=5x+2∙ D.y=cosu3，u=5x+2（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] y=u3，u=cosv，v=5x+2.7.当x→0时，sin(2x+x)与x比较是______∙ A.较高价的无穷小量∙ B.较低价的无穷小量∙ C.等价的无穷小量∙ D.同阶无穷小量（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 因为[*]所以当x→0时，sin(2x+x2)与x比较是同阶无穷小量．8.等于______ A．0 B．1 D．5（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 根据重要极限[*]．9.等于______ A．0 B．1 D．2（分数：1.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 注意到当x→∞时，[*]不存在，但｜sin2x｜≤1，即sin2x是一个有界变量，而当x→∞时，[*]，根据无穷小量的性质：“有界变量乘无穷小量仍为无穷小量”，则有 [*]．10.下列极限中，正确的是______ A． B． C． D（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 选项A，[*]；选项B，[*]；选项C,[*]；选项D，[*](有界变量与无穷小量的乘积仍为无穷小量)．11.等于______ A．0 B． C．1（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 将分母分解因式后，再运用极限的四则运算法则及重要极限Ⅰ，求极限． [*] 另解：(等价无穷小量代换)当x→2时，sin(x-2)～x-2，则 [*]．______∙ A.e2∙ B.e∙ C.e-1∙ D.e-2（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 根据重要极限Ⅱ：有[*]13.下列各式中，正确的是______ A． B． C． D（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 根据重要极限Ⅱ：[*]．14.∙ A.-1∙ B.0∙ C.1∙ D.不存在（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] [*] 因为f(0-0)≠f(0+0)，所以[*]不存在.15.在x=0处连续，则a=______∙ A.-1∙ B.1∙ C.2∙ D.3（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] [*]，因为[*]f(x)=f(0)，所以a=3．16.下列函数中在点x=0处不连续的是______ A． B． C． D （分数：1.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 选项A中，f(0)=0，[*]f(x)在点x=0处不连续；选项B中，f(0)=0，[*]，f(x)在点x=0处连续；选项C中，f(0)=1．[*]，f(x)在点x=0处连续；选项D中，f(0)=1．[*]，f(x)在点x=0处连续．17.______∙ A.1∙ B.0∙ C.3∙ D.2（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] f(x)的间断点为x=-1，x=1．18.函数f(x)=ln(4-x2)的连续区间是______∙ A.(-∞，-2)∙ B.(-2，2)∙ C.(2，+∞)∙ D.[-2，2]（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 由4-x2＞0，解得-2＜x＜2，函数f(x)=ln(4-x2)的连续区间是(-2，2)．19.x=1处______∙ A.有定义∙ B.无定义且无极限∙ C.有极限但不连续∙ D.连续（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 函数f(x)点x=1处无定义． [*] 所以函数f(x)点x=1处有极限但不连续．二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：18，分数：20.00)20.设f(x)=3x+5，则f[f(x)-2]= 1.（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：9x+14）解析：f[f(x)-2]=3[f(x)-2]+5=3[3x+5-2]+5=9x+14.21.设，则（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：由[*]，得[*] 所以[*]22.设f(x+1)=x2-3x+4，则f(x)=______.（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：x2-5x+8）解析：令x+1=t，则x=t-1，得f(t)=(t-1)2-3(t-1)+4=t2-5t+8.即f(x)=x2-5x+8.23.f(0)= 1.（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：当x≤0时，f(x)=cosx，则f(0)=cos0=1.24.当x∈(-∞，+∞)时，f[f(x)]=______.（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：当｜x｜≤1时，f(x)=1，则f[f(x)]=f(1)=1；当｜x｜＞1时，f(x)=0，则f[f(x)]=f(0)=1. 综上所述，当x∈(-∞，+∞)时，f[f(x)]=1．25.y=______.（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=ln(x2+1)(x≥0)）解析：由[*]，解得x=ln(y2+1)(y≥0)，所以[*]的反函数为y=ln(x2+1)(x≥0)．26.设f(x)=e x，g(x)=cosx，则f[g(x)]= 1.（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：f[g(x)]=e cosx.）解析：27.设y=lnu，u=cosv，v=x2+x+1，则复合函数y=f(x)= 1.（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：y=ln cosv=ln cos(x2+x+1)．）解析：（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[*]（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：2）解析：[*]（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[*]（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[*]（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：e-2）解析：[*]33.设，（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：[*] 因为f(0-0)=f(0+0)=1，所以[*]34.x=1处连续，则常数a=______.（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：3）解析：f(1)=a，f(1-0)=[*] 因为函数f(x)在x=1处连续，所以f(1-0)=f(1+0)=f(0)，因此a=3．35.x=0处连续，则常数k=______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：2）解析：f(0)=2，f(0-0)=[*] f(0+0)=[*] 因为函数f(x)在x=0处连续，则有f(0-0)=f(0+0)=f(0)，所以k=2．36.x=______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：3）解析：已知函数为分式函数，当x=3时，函数无定义．所以函数[*]的间断点为x=3．37.x=0处______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：连续）解析：f(0)e0-1=0，f(0-0)=[*]f(0+0)=[*]，因为f(0-0)=f(0+0)=f(0)=0，所以函数[*]在点x=0处连续.三、{{B}}解答题{{/B}}(总题数：5，分数：60.00)求下列极限．（分数：9.00）(1). 3.00）正确答案：([*])解析：(2). 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(先对数列用拆项法求前n项之和，再求极限． [*])解析：(3). 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(本题为∞-∞型未定式的极限，要用有理化的方法进行恒等变形后再求极限． [*])解析：求下列极限．（分数：9.00）(1). 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(2). 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(3). 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：求下列极限．（分数：12.00）3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(2). 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(3). 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(4). 3.00）正确答案：(解法Ⅰ[*] 解法Ⅱ[*])解析：(1). 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*] 因为f(0-0)≠f(0+0)，所以[*]不存在.)解析：(2). 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*] 因为f(0-0)=f(0+0)=2，所以[*])解析：求解下列极限的反问题．（分数：24.00）(1).k的值．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*](x2-2x+k)=32-2×2+k=0，解得k=-3.)解析：(2).a的值．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*](x2+ax+6)=1+a+6=0，解得a=-7)解析：(3).a，b的值．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(令x2+ax+b=(x-2)(x+m)=x2+(m-2)x-2m，得a=m-2，b=-2m，又[*]解得m=6，于是有a=4，b=-12．)解析：(4).a的值．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(此极限为∞-∞型未定式应转化为[*]型未定式，再求解．[*][*](-x2-x+a)=-1-1+a=0，解得a=2.)解析：(5).b的值，使f(x)在点x=1处连续．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(由于f(1)=2，且有[*] 依题意f(x)在点x=1处连续，则必有[*] 于是1+b=2，解得b=1．即当b=1时，f(x)在点x=1处连续．)解析：(6).k的值，使f(x)在其定义域上连续．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(函数f(x)的定义域为(-∞，+∞)．因为当x＜0时，[*]连续，当x＞0时，f(x)=x2-2x+3k连续，为使f(x)在其定义域上连续，则必使f(x)在点x=0处连续．[*]因为f(0-0)=f(0+0)=f(0)，于是3k=2，得[*]即当[*]时，f(x)在其定义域上连续．)解析：(7).证明方程x5+5x-1=0至少有一个正根．（分数：3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(证明：令f(x)=x5+5x-1，则f(x)=x5+5x-1在区间[0，1]上连续，f(0)=-1＜0，f(1)=15+5-1=5＞0．根据闭区间上连续函数的零点定理可知，至少存在一点ζ∈(0，1)，使得f(ζ)=ζ5+5ζ-1=0．即方程x5+5x-1=0在区间(0，1)内至少有一个实根．亦即方程x5+5x-1=0至少有一个正根．)解析：(8).证明方程1+x+sinx=0 3.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(证明：令f(x)=1+x+sinx，则f(x)=1+x+sinx；在区间[*]上连续， [*] 根据闭区间上连续函数的零点定理可知，至少存在一点ζ∈[*]，使得 f(ζ)=1+ζ+sinζ=0．即方程1+x+sinx=0在区间[*]内至少有一个根．)解析：。

〔一〕函数、极限、连续一、选择题：1、 在区间(-1,0)，由( )所给出的函数是单调上升的。

(A);1+=x y (B);2x x y -=(C)34+-=x y (D)25-=x y2、 当+∞→x 时，函数f (x )=x sin x 是( )〔A 〕无穷大量 〔B 〕无穷小量 〔C 〕无界函数〔D 〕有界函数 3、 当x →1时，31)(,11)(x x xxx f -=+-=ϕ都是无穷小，那么f (x )是)(x ϕ的( ) 〔A 〕高阶无穷小 〔B 〕低阶无穷小 〔C 〕同阶无穷小 〔D 〕等阶无穷小 4、 x =0是函数1()arctanf x x=的( ) 〔A 〕可去连续点〔B 〕跳跃连续点； 〔C 〕振荡连续点〔D 〕无穷连续点 5、 以下的正确结论是〔 〕〔A 〕)(lim x f xx →假设存在，那么f (x )有界；〔B 〕假设在0x 的某邻域内，有()()(),g x f x h x ≤≤且),(lim 0x g x x →),(lim 0x h x x →都存在，那么),(lim 0x f x x →也存在；〔C 〕假设f(x)在闭区间[a ,b ]上连续，且f (a ),f (b )<0那么方程f (x )=0,在(a ,b )内有唯一的实根;（D ） 当∞→x 时，xx x x x a sin )(,1)(==β都是无穷小，但()x α与)(x β却不能比.二、填空题：1、 假设),1(3-=x f y Z且x Zy ==1那么f (x )的表达式为 ;2、 数列n x n 1014-=的极限是4, 对于,1011=ε满足n >N 时，总有ε<-4n x 成立的最小N 应是 ;3、 3214lim 1x x ax x b x →---+=+(b 为有限数) , 那么a =,b = ; 4、 设,)(ax ax x f --=那么x =a 是f (x )的第类连续点; 5、,0,;0,)(,sin )(⎩⎨⎧>+≤-==x n x x n x x g x x f 且f [g (x )]在R 上连续，那么n = ； 三、 计算题:1、计算以下各式极限：〔1〕xx x x sin 2cos 1lim0-→； 〔2〕x xx x -+→11ln 1lim 0；〔3〕)11(lim 220--+→x x x 〔4〕xx x x cos 11sinlim30-→ 〔5〕x x x 2cos 3sin lim 0→ 〔6〕xx xx sin cos ln lim0→2、确定常数a ,b ，使函数⎪⎩⎪⎨⎧-<<∞---=<<-+=1,11,11,arccos )(2x x x b x x a x f 在x =-1处连续.四、证明：设f (x )在闭区间[a ,b ]上连续，且a <f (x )<b , 证明在(a ,b )内至少有一点ξ，使()f ξξ=.〔二〕导数与微分一、填空题:1、 设0()f x '存在，那么tt x f t x f t )()(lim 000+--+→= ;2、 ,1,321,)(32⎪⎩⎪⎨⎧≤>=x x x x x f 那么(1)f '= ; 3、 设xey 2sin =, 那么dy = ;4、 设),0(sin >=x x x y x 那么=dxdy ; 5、 y =f (x )为方程x sin y +y e 0=x确定的隐函数, 那么(0)f '= .二、选择题:1、)0(),1ln()(2>+=-a a x f x 那么(0)f '的值为( )(A) –ln a (B) ln a (C)a ln 21 (D) 21 2、 设曲线21x ey -=与直线1x =-相交于点P , 曲线过点P 处的切线方程为( )(A)2x -y -2=0 (B)2x +y +1=0 (C)2x +y -3=0 (D)2x -y +3=03、 设⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=0),1(0)(2x x b x e x f ax处处可导，那么( )(A)a =b =1 (B)a =-2,b =-1 (C)a =0,b =1 (D)a =2,b =14、 假设f (x )在点x 可微,那么xdyy x ∆-∆→∆0lim的值为( )(A)1 (B)0 (C)-1 (D) 不确定5、设y =f (sin x ),f (x )为可导函数，那么dy 的表达式为( ) (A)(sin )f x dx ' (B)(cos )f x dx '(C)(sin )cos f x x '(D)(sin )cos f x xdx '三、计算题：1、 设对一切实数x 有f (1+x )=2f (x ),且(0)0f '=,求(1)f '2、假设g(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠0,00,1cos 2x x x x 又f (x )在x =0处可导，求))((=x x g f dx d3、 求曲线⎩⎨⎧=++=-+010)1(y te t t x y 在t =0处的切线方程4、 f (x )在x =a 处连续,),()sin()(x f a x x -=ϕ求)('a ϕ5、 设3222()x y y u x x =+⋅=+, 求.dudy 6、设()ln f x x x =, 求()()n fx . 7、计算.〔三〕中值定理与导数的应用一、填空题：1、 函数f (x )=arctan x 在[0 ,1]上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ= ;2、 假设01lim sin 22ax x e b x →-=那么a = ,b = ; 3、 设f (x )有连续导数，且(0)(0)1f f '==那么)(ln )0()(sin lim 0x f f x f x -→= ;4、x e y x sin =的极大值为 ，极小值为 ;5、 )10(11≤≤+-=x xxarctgy 的最大值为，最小值为 . 二、选择题：1、 如果a,b 是方程f(x)=0的两个根，函数f(x)在[a,b]上满足罗尔定理条件，那么方程f ’(x)=0在(a,b)〔 〕〔A 〕仅有一个根； 〔B 〕至少有一个根； 〔C 〕没有根； 〔D 〕以上结论都不对。

大学数学分析题题库题目一：极限与连续性1. 计算下列极限：(a) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{4x}$(b) $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$(c) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1}$2. 判断函数在给定点或区间内的连续性：(a) 函数$f(x) = \sqrt{x}$在$x=0$处是否连续？(b) 函数$g(x) = \frac{1}{x}$在区间$(1, 2)$内是否连续？(c) 函数$h(x) = \begin{cases} x, & x < 1 \\ 2, & x \geq 1 \end{cases}$在$x=1$处是否连续？题目二：微分学基础1. 计算下列函数的导数：(a) $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$(b) $g(x) = \sin(x) + \cos(x)$(c) $h(x) = e^x \cdot \ln(x)$2. 判断函数在给定点处的可导性：(a) 函数$f(x) = |x|$在$x=0$处是否可导？(b) 函数$g(x) = \sqrt[3]{x}$在$x=8$处是否可导？题目三：积分与面积1. 计算下列定积分：(a) $\int_{0}^{1} x^2 \, dx$(b) $\int_{-\pi}^{\pi} \sin(x) \, dx$(c) $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx$2. 计算两个曲线之间的面积：(a) 曲线$y = x^2$与$x$轴所围成的面积；(b) 曲线$y = \sin(x)$与$y = \cos(x)$在区间$[0, \pi/2]$内所围成的面积。

题目四：级数与收敛性1. 判断下列级数的敛散性：(a) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$(b) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$(c) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{1}{n}$2. 判断函数项级数的一致收敛性：(a) 级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n^2}$在区间$[0,\pi]$上是否一致收敛？(b) 级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(nx)}{n}$在区间$(-\infty, \infty)$上是否一致收敛？总结：数学分析题库涵盖了极限与连续性、微分学、积分与面积以及级数与收敛性等重要概念和技巧。

1第一章函数、极限与连续一、选择题1．函数)(x f 的定义域为[]10，，则函数51()51(-++x f x f 的定义域是（）.A．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-54,51B．⎥⎦⎤⎢⎣⎡56,51C．⎦⎤⎢⎣⎡54,51D．[]1,02．已知函数()62+x f 的定义域为[)4,3-，则函数)(x f 的定义域是（）.A．[)4,3-B．[)14,0C．[]14,0D．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--1,293．函数211ln ++-=x xy 的定义域是（）.A．1≠x B．2-≥x C．2-≥x 且1≠x D．[)1,2-4．下列函数)(x f 与)(x g 是相同函数的是（）.A．11)(+⋅-=x x x f ，1)(2-=x x g B．2)(π=x f ，x x x g arccos arcsin )(+=C．x x x f 22tan sec )(-=，1)(=x g D．1)(=x f ，x x x g 22cos sin )(+=5．下列函数)(x f 与)(x g 是相同函数的是（）.A．x x g x x f lg 2)(,lg )(2==B．2)(,)(x x g x x f ==C．33341)(,)(-=-=x x x g x x x f D．xx x g x f 22tan sec )(,1)(-==6．若1)1(2-=-x x f ，则)(x f =（）.A．2)1(+x x B．2)1(-x x C．)2(+x x D．)1(2-x x 7．设xx f cos 2)(=，xx g sin 21)(⎪⎭⎫⎝⎛=，在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，内成立（）.A．)(x f 是增函数，)(x g 是减函数B．)(x f 是减函数，)(x g 是增函数C．)(x f 和)(x g 都是减函数D．)(x f 和)(x g 都是增函数28．函数)1lg()1lg(22x x x x y -++++=（）.A．是奇函数B．是偶函数C．是非奇非偶函数D．既是偶函数，也是奇函数9．下列函数中（）是奇函数.A．1cos sin +-=x x y B．2xx a a y -+=C．2211x x y +-=D．)1)(1(+-=x x x y 10．函数x x x f sin )(2=的图形（）.A．关于x 轴对称B．关于y 轴对称C．关于原点对称D．关于直线x y =对称11．下列函数中，（）是奇函数.A．2ln(1)x +B．)x C．sin x x D．x xe e-+12．若()f x 是奇函数，且对任意实数x ，有(2)()f x f x +=，则必有(1)f =（）.A．1-B．0C．1D．213．偶函数的定义域一定是（）.A．包含原点的区间B．关于原点对称 C.),(+∞-∞D．以上三种说法都不对14．若)(x f 是奇函数，)(x ϕ是偶函数，且)]([x f ϕ有意义，则)]([x f ϕ是（）.A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．奇函数或偶函数15．函数xx f 1sin )(=是其定义域内的什么函数（）.A．周期函数B．单调函数C．有界函数D．无界函数16．若()f x 在(,)-∞+∞内单调增加，()x ϕ是单调减少，则[()]f x ϕ在(,)-∞+∞内（）.A．单调增加B．单调减少C．不是单调函数D．无法判定单调性17．函数xxe e y -+=的图形对称于直线（）.A．y x=B．y x=-C．0x =D．0y =318．下列函数中周期为π的是（）.A．xy 2sin =B．xy 4cos = C.xy πsin 1+= D.()2cos -=x y 19．下列函数是周期函数的是（）.A．)sin()(2x x f =B．xx f 1cos)(=C．xx f πcos )(=D．xx f 1sin)(=20．设1cos )(-=x x f 的定义域和周期分别为（）.A．πππ2,,22=∈+=T Z k k x B．ππ2,,2=∈=T Z k k x C．ππ=∈=T Z k k x ,,D．πππ=∈+=T Z k k x ,,221．下列结论不正确的是（）.A．基本初等函数在其定义域内是连续的B．基本初等函数在其定义区间内是连续的C．初等函数在其定义域内是连续的D．初等函数在其定义区间内是连续的22．下列说法正确的是（）.A．无穷小的和仍为无穷小B．无穷大的和仍为无穷大C．有界函数与无穷大的乘积仍为无穷大D．收敛数列必有界23．下列说法不正确的是（）.A．两个无穷小的积仍为无穷小B．两个无穷小的商仍为无穷小C．有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小D．在同一变化过程中，无穷大的倒数为无穷小24．若无穷小量α与β是等价的无穷小，则αβ-是（）无穷小.A．与β同阶不等价的B．与β等价的C．比β低阶的D．比β高阶的25．当0→x 时，4x x +是32x x +的（）.A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶无穷小D．等价无穷小26．当0→x 时，x x sin 2-是x 的（）.A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶无穷小但不等价D．等价无穷小27．设232)(-+=xxx f ，则当0=x 时，有（）.4A．)(x f 与x 是等价无穷小B．)(x f 是x 同阶但非等价无穷小C．)(x f 是比x 高阶的无穷小D．)(x f 是比x 低阶的无穷小28．设x x f -=1)(，31)(x x g -=，则当1→x 时（）.A．)(x f 是比)(x g 高阶的无穷小B．)(x f 是比)(x g 低阶的无穷小C．)(x f 与)(x g 是同阶但不等价的无穷小D．)(x f 与)(x g 是等价无穷小29．当0→x 时，与x 不是等价无穷小量的是（）.A．2sin xx -B．xx 2sin -C．3tan x x -D．xx -sin 30．当0→x 时，下列函数为无穷小量的是（）.A．x x sin B．xx sin 2+C．)1ln(1x x+D．12-x 31．当0→x 时，是无穷大量的有（）.A．xx 1sin 1B．xx sin C．2xD．xx 21-32．当0→x 时，下列函数不是无穷小量的是（）.A．x x x x tan cos 2-B．21sin xx C．x x x sin 3+D．xx )1ln(2+33．下列等式正确的是（）.A．1sin lim=∞→x xx B．11sinlim =∞→xx C．11sinlim =∞→xx x D．11sin lim=∞→xx x 34．设函数()f x 在闭区间[1,1]-上连续，则下列说法正确的是（）.A．1lim ()x f x →+必存在B．1lim ()x f x →必存在C．1lim ()x f x →-必存在D．1lim ()x f x →-必存在35．=→xx 102lim （）.A.0B．∞+C．∞D．不存在36．下列各式中正确的是（）.A.0cos lim0=→xxx B．1cos lim0=→xxx C．0cos lim=∞→xxx D．1cos lim=∞→xxx537．若(sin )3cos 2f x x =-，则(cos )f x =（）.A．3sin 2x+B．32sin 2x-C．3cos 2x+D．3cos 2x -38．设21()arcsin 3lim ()1x x f x f x x x→∞=++，则lim ()x f x →∞等于（）.A．2B．21C．2-D．21-39．设x xx f )31()2(-=-，则=∞→)(lim x f x （）.A．1e-B．2e-C．3e-D．3e40．极限lim sinx x xπ→∞=（）.A．1B．πC．2eD．不存在41．当0x →时，1xe 的极限是（）.A．0B．+∞C．-∞D．不存在42．当5x →时，5()5x f x x -=-的极限是（）.A．0B．∞C．1D．不存在43．设x x x f 21)(-=，则=→)(lim 0x f x （）.A．1B．不存在C．2eD．2e-44．若0→x 时，kx x x ~2sin sin 2-，则=k （）.A．1B．2C．3D．445．若52lim22=-++→x bax x x ，则（）.A．1=a ，6=b B．1-=a ，6-=b C．1=a ，6-=b D．1-=a ，6=b 46．=+-∞→x x xx arctan 1lim （）.A．2πB．2π-C．1D．不存在647．=+→xx x )1ln(lim0（）.A．1-B．1C．∞D．不存在但非∞48．已知22lim 222=--++→x x bax x x ，则b a ,的值是（）.A．8,2-==b a B．b a ,2=为任意值C．2,8=-=b a D．b a ,均为任意值49．=-+-+++∞→11)2(3)2(3lim n n nn n （）.A．31B．31-C．∞D．050．xx x x 1011lim ⎪⎭⎫⎝⎛+-→的值等于（）.A．2eB．2e-C．1D．∞51．设xx g x3e 1)(2-=，当0≠x 时，)()(x g x f =，若)(x f 在0=x 处连续，则)0(f 的值是（）.A．0B．32-C．1D．3152．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+=>-=0,1sin 0,10,1e )(2x a x x x x x x f x 在点0=x 处连续，则常数=a （）.A．1-B．1C．2-D．253．若)(x f 在点0x 点连续，则=+→)2(sin lim 00h x f h （）.A．)2(sin 0h x f +B．)(sin 0x f C．)(sin 0x f D．不存在54．函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,210,cos 1)(42x x x x xx f 的间断点有（）.7A．3个B．1个C．0个D．2个55．设0=x 是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<+=0,1sin 0,00,11)(1x x x x x ex f x 的（）.A．跳跃间断点B．可去间断点C．第二类间断点D．连续点56．11)(11+-=xxe e xf ，则0=x 是)(x f 的（）.A．可去间断点B．跳跃间断点C．第二类间断点D．连续点二、填空题57．函数xxx f -+=11ln21)(的定义域是_________．58．函数2ln arcsin +=x xy 的定义域为_________．59．函数xx y 1arctan3+-=的定义域是_________．60．设)(x f 的定义域[]1,0=D ，则)(sin x f 的定义域_________．61．若函数()f x 的定义域为[1,0]-，则函数(cos )f x 的定义域为_________．62．若函数()f x 的定义域为[0,1]，则函数(arctan 2)f x 的定义域为_________．63．设2(1)32f x x x +=-+，则f =_________．64．函数nn x a y 12)(-=的反函数是_________．65．函数)0(≠-++=bc ad dcx bax y 的反函数是_________．66．函数x y 3sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-66ππx 的反函数是_________．867．函数3arccos2xy =的反函数是_________．68．______28153lim 233=+-++∞→n n n n n n ．69．_______43867lim 22=+-+∞→n n n n ．70．⎪⎭⎫⎝⎛++++∞→n n 21...41211lim =_________．71．2)1(...321limnn n -++++∞→=_________．72．35)3)(2)(1(limn n n n n +++∞→=_________．73．_______lim 2210=+→x x x e．74．_______1lim432=-+++∞→nn n n n n ．75．_______43...21lim 2=++++∞→nn nn ．76．_______1!!sin lim=+∞→n n n ．77．=⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→πππn n n n n n 222...221lim _________．78.设012lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→b ax x x x x ，则=a _________，=b _________．79．_______4421lim 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→x x x ．80．_______2)2sin(lim22=---→x x x x ．81．_______63sin lim=∞→xxx ．982．m n x x x )(sin )sin(lim 0→（m n ,为正整数，且m n >）=．83．_______1cos 1lim 20=--→x e x x ．84．_______4tan 8arcsin lim0=→xxx ．85．_______81221lim 32=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→x x x ．86．xxx x 30sin sin tan lim-→=．87．)1(lim 2x x x x -++∞→=．88．)1sin 1)(11(tan sin lim32-+-+-→x x xx x =．89．若2)1sin(1lim 21=--+→x ax x x ，则_________=a ．90．若0x →时函数tan sin x x -与nmx 是等价无穷小，则=m ，n =．91．当∞→x 时，函数)(x f 与21x是等价无穷小，则_______)(3lim 2=∞→x f x x ．92．当0→x 时，函数112-+ax 与x 2sin 是等价无穷小，则_______=a ．93．当∞→x 时，函数)(x f 与x4是等价无穷小，则_______)(2lim =∞→x xf x ．94．若1x →时，2(1)1mx x --是比1x -高阶的无穷小，则m 的取值范围是．95．11232lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛++x x x x =_________．96．40)21(lim -→=-e x x kx ，则_________=k ．1097．nn n x x f ⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→sin 1lim )(，则=')(x f ．98．4lim e a x a x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∞→，则_______=a ．99．_______1lim 23=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→x x x x ．100．如果201cos ()3lim ()x xf x f x x→-=+，则0lim ()x f x →=．101．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+≤+=1,10,0,2)(2x bx x a x x x x f 在),(+∞-∞内连续，则___________,==b a ．102．)(lim 2)sin 21()(031x f x x f x x→++=，求()=x f ．103．如果201cos ()3lim ()x xf x f x x→-=+，则0lim ()x f x →=．104．设2211xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，则=)(x f ．105．函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=010,1sin 1)(x x xx x f 的连续区间是．106．若函数()⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=0,21ln 0,)(12x x x x a x f x 在0=x 处连续，则=a ．107.极限02sin 3lim[sin]x x x x x→+=．108.极限3sin 2lim[sin ]x xx x x→∞+=．109．若⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=-0,0,316sin )(3x a x x e x x f ax 在0=x 连续，则_______=a ．110．函数⎪⎩⎪⎨⎧><<-±===2,420,42,0,2)(2x x x x x x f 的间断点有_________个．111．函数653)(2+--=x x x x f 的第二类间断点是_________．112．函数)5)(32(86)(22-----=x x x x x x f 的间断点是．113．设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=,0,,0,1sin )(2x x a x x x x f 要使)(x f 在),(+∞-∞内连续，则=a ．114．设⎪⎩⎪⎨⎧<+=>+=0,20,0,)(2x b x x a x e x x f 在点0=x 处连续，则=a ，=b ．115．设⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,0,3sin )(x x x x x x f ，则点0=x 是)(x f 的第类间断点．116．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-,01),1ln(,0,)(11x x x e x f x 则点0=x 是)(x f 的第类间断点；点1=x 是)(x f 的第类间断点．117．若函数=)(x ϕ，则函数)(x f 为奇函数这里⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=>++=0, )( 0, 0 0 ),1ln()(2x x x x x x x f ϕ118．⎩⎨⎧<-≥=00 )(22x x x x x f ，则)(x f 是（奇/偶）函数.119．⎩⎨⎧>+≤-=0 10 1)(x x x x x f ，则)(x f 是（奇/偶）函数.三、计算题120．设函数1)1(2++=x x x f 0>x ，求)(x f ．121．设函数2211xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，求)(x f ．122．设xx f -=11)(，求))((x f f ．123．设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ．124．已知x x g xx f -==1)(,1)(，求))((x g f ．125．设x x x f 2)1(2-=-，求)1(+x f ．126．求函数321)(2-+=x x x f 的连续区间．127．设函数)(x f 的定义域为)0,1(-，求函数)1(2-x f 的定义域．128．设x xx f +=12arccos )(，求其定义域．129．设)(x f 的定义域为[]1,0，求)(cos x f 的定义域．130．已知⎩⎨⎧≤<≤≤=+21,210,)1(2x x x x x ϕ，求)(x ϕ．131．设⎩⎨⎧<+≥+=0,40,12)(2x x x x x f ，求)1(-x f ．132．判断函数x x x f 32(32()(-++=的奇偶性．133．判断11-+=x x a a x y 的奇偶性．134．设)21121)(()(-+=x x f x F ，已知)(x f 为奇函数，判断)(x F 的奇偶性．135．求函数x x y 44sin cos -=的周期．136．求函数2cos sin x x y +=的周期．137．求函数x y 3sin 2=)66(ππ<<-x 的反函数．138．求函数)1ln(2-+=x x y 的反函数．139．xx x 3113sin lim +-∞→．140．633lim 6--+→x x x ．141．2203)1ln(lim x x x +→．142．x xx 4cos 12sin 1lim 4-+→π．143．2321lim 4--+→x x x ．144．123lim 221-+-→x x x x ．145．25273lim 33+-++∞→x x x x x ．146．)cos 3(11lim 32x x x x +++∞→．147．2021cos lim x x x -→．148．2021lim x ex x -→．149．3222......21lim nn n +++∞→．150．)3(lim 2x x x x -++∞→．151．xx x ln 1lim 21-→．152．20cos 1lim x x x -→．153．38231lim x x x +---→．154．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⨯+⨯∞→)12)(12(1...531311lim n n n ．155．n n 11lim +∞→．156．114sin lim 0-+→x xx ．157．)(lim 22x x x x x --++∞→．158．156223lim 22+-++∞→n n n n n ．159．nx mxx sin sin lim 0→．160．⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x ln ln 1lim 1．161．145lim 1---→x xx x ．162．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→11lim 31x x x ．163．xx x --→πππ1cos )(lim ．164．20cos 1lim x mx x -→．165．11sinlim -+∞→x x x x x ．166．)15(lim 323x x x x -+-∞→．167．)cos 1(cos 1lim 0x x x x --+→．168．28lim 38--→x x x ．169．n n n 31...9131121...41211lim ++++++++∞→．170．xx x x x 6sin 4cos lim ++∞→．171．)1(lim 2x x x x -+∞→．172．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+→114sin lim 0x x x ．173．174lim 22++→x x x ．174．2220)1()41ln(lim x x e x -+→．175．115)2(5)2(lim ++∞→+-+-n n nn n ．176．xx e 1011lim +→．177．若123lim 22=-+-→x ax x x ，求a ．178．已知01lim 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→b ax x x x ，其中a ，b 是常数，求a ，b ．179．已知),0()1(lim 2017∞≠≠=--∞→A n n n k k n ，求k 的值．180．计算⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim .181．已知5312)(22+++-=bx x ax x f ，当∞→x 时，求a 和b 的值使)(x f 为无穷小量．182．当0→x ，比较函数22)(-+=x x e x f 与x 是否为同阶无穷小．183．已知82lim 3=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→x x a x a x ，求a ．184．()xx x sec 32cos 1lim +→π．185．11212lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛-+x x x x ．186．26311lim -∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x 187．xx x x 311lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→．188．21232lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x ．189．xx x tan 2)(sin lim π→．190．已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=>+=0,sin 10,0,1sin )(x x x x p x q x x x f 在点0=x 处极限存在，求p 和q 的值．191．求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,210,cos 1)(42x x x x xx f 的间断点的个数．192．判断函数111)(--=x x ex f 的间断点及其类型．193．判断函数xx x f 1cos)(=的间断点及其类型．194．设)(x f 在点0=x 处连续，且⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,0,cos 1)(2x a x x x x f ，求a ．195．求函数xxy sin =的间断点及类型．196．求函数)1()(22--=x x xx x f 的间断点．197．证明方程019323=+--x x x 至少有一个小于1的正根．198．判断函数122+=x y 的单调性．199．已知⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=>+--=0,110,0,1)1(2sin )(2x x x b x a e e x f x x x 在点0=x 处连续，求a 和b 的值．200．设函数⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x 在),(+∞-∞内连续，求a ．201．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤---+=>+=01,110,00,)1ln()(x x xx x x x x x f ，判断其间断点及类型．202．设xe xf x 1)(-=，判断其间断点及类型．203．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01),1ln(0)(,11x x x e x f x ，判断)(x f 的间断点及其类型．204．求曲线65222+-=x x x y 的渐近线．205．求xex f -+=1111)(的间断点并判断其类型．206．设⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++=<=0,)21ln(0,0,sin 1sin )(2x a xx x b x x x x x f ，求b a ,的值使其在),(+∞-∞内连续．207．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<=<<-=-21,1,210,1ln )(1x e x x x xx f x ，（1）求)(x f 的定义域（2）判断间断点1=x 的类型，如何改变定义使)(x f 在这点连续？208．判断函数x x y ln +=在区间),0(+∞内的单调性．第一章函数、极限与连续1..54,51:15101510⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤≤+≤D x x 选C2.43<≤-x ，826<≤-x ，14620<+≤x 。

数学-函数、极限、连续(总分150, 做题时间90分钟)一、选择题1.函数f(x)在(a，b)内有反函数f-1(x)存在，则f(x)必为( )．(A)有界函数(B)严格单调上升(C)严格单调下降(D)以上结论都不正确SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 3答案:D[解析] 首先可知(A)不正确，例如，x∈(0，1)无界，但它有反函数，x∈(1，+∞)．其次，(B)，(C)也不正确，试看反例：有反函数存在，但显然f(x)在(0，2)上无单调性．2.设[x]为取整函数，则函数f(x)=x-[x]在(-∞，+∞)上为( )．(A)单调上升函数(B)奇函数(C)偶函数(D)周期函数SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 3答案:D[解析] 由[x]的定义可知，[x+1]=1+[x]，因此，对于任一x∈(-∞，+∞)，都有f(x+1)=(x+1)-[x+1]=(x+1)-(1+[x])=x-[x]=f(x)，可见f(x)是周期T=1的函数，它在一个周期[0，1)上的表达式为f(x)=x，x∈[0，1)，所以易知(A)，(B)，(C)都不正确．故应选(D)．3.等于( )．(A)1 (B)(C)0 (D)2SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 3答案:C[解析] 本题是“0·∞”型未定式的极限，可用洛必达法则．首先应将其化为“”型或“”型未定式，究竟化为哪一种，要视具体情况而定，如本题必须化为“”型，即4.等于( )．(A)∞ (B)0 (C)(D)1SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 3答案:D[解析] 这是“∞”型未定式，可用洛必达法则，但必须先化为“”型或“”型未定式，即，而是“0·∞”型，若用洛必达法则去计算，则很难求出，这时必须用其他方法：于是可知5.等于( )．(A)1 (B)0 (C)-1 (D)ln2SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 3答案:B[解析] 因为极限不存在，也不是未定式，所以无法用以上各种方法求此极限．但是，由，且，可知，当x→0时，ln(2-e x)为无穷小量，函数是有界函数，因此它们之积仍为无穷小量，即6.等于( )．(A)(B)1 (C)(D)2SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 3答案:A[解析] 因为有以下的不等式成立而由夹逼定理即知7.等于( )．(A)1 (B)0 (C)2 (D)ln2 SSS_SIMPLE_SINA B C D该问题分值: 3 答案:D[解析] 取函数，x∈[0，1]，将区间[0，1]n 等分，分点为，i=0，1，…，n ．在每个小区间[x i-1，x i ]上取点ξ=x i ，i=1，2，…，n ，则函数，x∈[0，1]的积分和为于是由定积分的定义8.下列个选项中的两函数相等的是( )．(B)y=e lnx3和y=x 3(D)y=x 和SSS_SIMPLE_SINA B C D 该问题分值: 3 答案:C[解析] 两个函数是否为同一函数，只与其定义域和对应法则有关，而与其他因素无关．具体如表1—1—1所示。