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极限是数学分析的主线，数列极限(ε−N)语言，函数极限(ε−δ)语言，导数（研究变化率），微分中值定理（导数的应用），积分（近似，分割，求和，取极限），反常积分（通过极限定义），数项级数（无穷项求和），函数项级数（无穷项求和），傅里叶级数（三角函数逼近一般的函数，极限的思想蕴含其中），隐函数（可微，偏导，方向导数，多元泰勒展开），二重积分，三重积分（极限），曲线积分，曲面积分（积分线段，积分区域）等等。
证明板块：数列极限中，主要是判断数列是否收敛，收敛的时候并求其值。
一般的方法有：单调有界或者压缩映射（柯西收敛准则的应用）。
判断单调的方法有：（1）归纳，根号套根号（2）相减，多项加和（3）相除，乘积或者单个根号（4）不等式法，平均值不等式（5）反证法，次幂加和（6）递推法，分子分母都含有数列的通项。
压缩映射主要用于迭代的情形中。
函数极限中，主要是函数的连续性与一致连续性。
连续性主要是极限值等于函数值，可以与间断放一起比较。
同时闭区间上的连续函数还有很多好的性质，比如最大最小值存在，有界性等。
判断一致连续的方法有：（1）定义（2）一致连续与数列的关系（多用于证明不一致连续）（3）康托定理（4）端点法（开区间证闭区间时）（5）利普西茨条件与导数有界等价（6）区间合并（7）一致连续函数的增长性不超过一次函数（8）连续函数逼近一致连续函数时，该函数也一致连续（9）周期函数的一致连续性（10）复合函数的一致连续（内外都一致连续）。
导数与微分中，注意函数可导的判断，导数的极限定理（导函数不存在第一类间断点）与介值定理是两大定理（证明用到左右导数）。
1.导数证明恒等式，不等式（构造函数，判断单调情况，进而去证明，遇到复杂的，可以先化简）2.中值定理，牢记四大定理的条件，一般罗尔定理证明某点的导数值为0，或者反推函数的零点存在情况。
拉格朗日中值定理用于证明微分中值等式，二1阶导数在某点的正负情况。
柯西中值定理，多个点的中值问题，其主要作用是证明泰勒定理。
裴礼文第一章习题解答1.1.1 求复合函数表达式:(1) 已知,,求;(南京邮电大学等)(2) 设,试证明,并求(华中理工大学)1.1.2 是否存在这样的函数,它在区间上每点取有限值,在此区间的任何点的任意邻域内无界. (上海师范大学)1.1.3 试说明能有无穷多个函数,其中每个函数皆使为上的恒等函数.1.1.4 设为上的奇函数,,,.1)试用表达和;2)为何值时,是以为周期的周期函数. (清华大学)1.1.5 设(即的小数部分),,说明这时为何不是周期函数.类似地也如此.从而周期函数的和与差未必是周期函数.1.1.6设是上的实函数, 的图像以直线和直线分别作为其对称轴, 试证必是周期函数, 且周期为.1.1.7 设是上的奇函数, 并且以直线作为对称轴,试证必为周期函数并求其周期.1.1.8 设是上以为周期的周期函数, 且在上严格单调, 试证不可能是周期函数1.1.9 证明确界的关系式:1) 叙述数集的上确界定义, 并证明: 对于任意有界数列,总有(北京科技大学)2) 设是两个由非负数组成的任意数集, 试证1.1.10 试证:若,则必达到下确界(即使得). (武汉大学)1.1.11 设是上的实函数, 且在上不恒等于零，但有界，试证:、1.1.12 设是闭区间上的增函数，如果,试证，使得(山东大学)1.1.13 设在, 试证，使得. (福建师范大学)1.2.11) 已知, 求证:(武汉大学, 哈尔滨工业大学)2) 用语言证明(清华大学)1.2.2 用方法证明:1)2)3)1.2.3 设, 试用方法证明：若, 则1.2.4 设,试证收敛.1.2.5 为一数列.试证: 若(为有限数)则(首都师范大学)1.2.6 设且时有.已知中存在子序列.试证(武汉大学)1.2.7 设, 求证发散.1.2.8 判断题:设是一个数列, 若在任一子序列中均存在收敛子列则必为收敛数列. (北京大学)1.2.9 设为单调递增数列，为其一子列，若,试证(华中师范大学)1.2.10 设是一个无界数列,但非无穷大量,证明: 存在两个子列，一个是无穷大量，另一个是收敛子列. (哈尔滨工业大学)1.2.11 设函数在0的某个邻域有定义，;且当时，, ,时,对于一切, 有;另设.试证当右端极限存在时成立1.2.12 证明.并求1.3.1 求极限(北京航空航天大学,中国科技大学)1.3.2 证明公式:1.3.3 求1.3.4 求1.3.51.3.6 求(华中师范大学)1.3.7 求(湖北大学)1.3.8 设在上连续,求1.3.9 设极限存在,试求1)2)1.3.10 设,求(陕西师范大学)1.3.11 求.(内蒙古大学)1.3.12 .(中国科学院)1.3.13 计算(中国科学院)1.3.14 若求.(上海工业大学)1.3.15 求华中师范大学)1.3.16 证明: 当时,1.3.17 求(浙江大学)1.3.18 ,求(国防科技大学)1.3.19 求(华中师范大学)1.3.20 求(武汉大学)1.3.21 设是上的可微函数,,试证1.3.22 设是上的可微函数,,试证1.3.23 ,试证:1)2) (南开大学)1.3.24 对, ,,令试先证明:然后求解1.4.1 求,其中1) 设2) 设1.4.2 求(华中师范大学)1.4.3 已知数列满足条件证明:(四川大学, 国防科技大学)1.4.4 设.1) 若为有限数, 证明2) 若为, 证明: (南京大学)1.4.5 证明:若数列收敛于,且,,则(东北师范大学)1.4.6 已知存在,为单调增加的正数列,且,求证:(北京师范大学)1.4.7 若且,试证:1.4.8 求极限1)2)1.5.1 已知试证:存在并求其值.(中国科技大学,北京大学,哈尔滨工业大学,北京邮电大学等)1.5.2 设,证明:收敛,并求.(哈尔滨工业大学,华中理工大学等)1.5.3 设,证明:收敛并求其极限.(武汉大学,华中师范大学)1.5.4 设证明收敛并求其极限(华东师范大学)1.5.5 设,试证收敛,并求其极限.(华中理工大学,厦门大学,工程兵学院)1.5.6 求证:1.5.7 证明:1)存在唯一的使得;2)任给定则有(中国人民大学)1.5.8 证明数列.收敛.(北京师范大学)1.5.9 设,求. (武汉大学)1.5.10 设,数列由如下递推公式定义:求(浙江大学)1.5.11 设如果数列收敛,计算其极限,并证明数列收敛于上述极限.（武汉大学）1.5.12 设,其中:,试证:存在且为克普勒方程的唯一根.1.5.13 设(),试证:收敛.1.5.14 设是二正数,令.试证:和均收敛且极限相等. (大连理工大学)1.5.15 设和是任意两个整数,并且,还设求证: 和均收敛且极限相等.(中国科学院,安徽大学）1.5.16 讨论由所定义的数列的收敛性(南京大学)1.5.17 设中数列满足其中,证明:当有界时,有界. (清华大学)1.5.18 设,求极限.1.5.19 则1)(中国科学院)1.5.20 设连续函数在上是正的,单调递减的,且.证明:数列收敛(清华大学)1.5.21 已知证明:及存在且相等,并求出该极限. (内蒙古大学)1.5.22证明:数列的极限存在,并求其极限. (国外赛题)1.5.23 设是如此数列:证明收敛并求其极限. (国外赛题)1.5.24 设,求1.5.25 设证明1.5.26 设试计算:(国外赛题)1.5.27 收敛,数列()由下式确定:证明是递增的收敛数列(福建师范大学)1.6与1.7 习题机动跳过1.8.1 设函数在有限区间上有定义,满足,存在的某个开邻域,使得在上有界.(1).证明:当时,在上有界;(2).当时,在上一定有界吗? (厦门大学)1.8.2 设在上有定义且在每一点处函数的极限存在,求证:在上有界. (哈尔滨工业大学)1.8.3 设在内有定义,当时,有1.8.4 用有限覆盖定理证明:任何有界数列必有收敛子列.(西北大学)1.8.5 试用区间套定理重新证明练习1.1.13:“上,”(福建师范大学)。
摘要数学分析是一门非常重要的基础课程,反例对理解数学分析有关定义和定理的内涵和外延有着不可替代的作用,反例的地位在数学的学习中占有很重要的地位,对培养我们的逆向思维至关重要,恰当的运用反例对我们数学能力的提高起着事半功倍的效果,我们希望定理中的条件是最简的,在我们一步步削弱条件的时候,反例的作用就越来越明显,一个特列不能说明一个命题是对的,但一个反例完全可以证明一个命题是错的.反例的作用和构造也越来越受到重视.本文介绍了数列,函数,导数,积分,无穷积分,级数等中的一些典型问题的反例,对一些逆命题的成立与否通过反例做了简单的论证,通过反例把一些看似相关性很大的定义和定理的区别又做了进一步的比较和分析,对一些反例的构造过程和思路做了详细介绍,回答了为什么这样构造的问题,可以让读者在错综复杂的关系里得到清晰的逻辑和思路.关键词：命题;反例;构造;数学分析;体现ABSTRACTMathematical analysis is a very important basic course, counterexample has an irreplaceable role in understanding mathematical analysis about definition and theorem of connotation and denotation , counter example role has a extremely important position in learning mathematics occupies,it is very important to educate our reverse thinking, appropriate mathematical ability for us to use counterexample improve play a extremely important position, we hope that the conditions of the theorem is one of the most simple, when we weaken conditions step by step, the counter example of the role is more and more obvious, a special example does not justify a question is right, but a counter example can prove that a theorem is wrong. counterexample and structure is becoming more and more important. According to the general mathematical analysis teaching material order, this paper introduces the sequence, function, derivative,and series of a reverse case of some typical problems, such as, for some of the establishment of the converse proposition, seemingly through counterexamples correlation definition theorem of great difference and do a further comparison and analysis of the construction process of some counter example ,it also made a detailed introduction, why and how structure counterexample get a answer in this paper, reader can get a clear logic in this paper.Key words:proposition; counter example;structure;mathematical analysis;reflect目 录1.引言 .................................................................. 12.反例在加深理解定义及相关概念中的体现................................... 1 2.1周期函数 ............................................................ 1 2.2复合函数 ............................................................ 1 2.3极值 ................................................................ 2 2.4一致连续 ............................................................ 2 2.5导数 ................................................................ 33.反例在掌握定理的内涵与外延中的体现 .................................... 3 3.1柯西收敛准则 ........................................................ 3 3.2 STOLZ 公式 ............................................................ 4 3.3 比式判别法 .......................................................... 5 3.4 比较原则 ............................................................ 5 3.5 阿贝尔判别法 ........................................................ 6 3.6 莱布尼茨判别法 ...................................................... 74.反例在辨析重要结论的逆命题中的体现 .................................... 75.反例在论证辩证关系中的体现 ........................................... 10 5.1 lim ()x f x →+∞和'lim ()x f x →+∞的关系 (10)5.2 原函数与可积函数之间的关系 ......................................... 10 5.3 ()af x dx +∞⎰收敛与lim ()x f x →+∞=0的关系 (11)5.4 可积和绝对可积以及平方可积之间的关系 ............................... 126.结论 ................................................................. 13 参 考 文 献 ............................................................ 14 致 谢 .................................................. 错误!未定义书签。
浙大数学分析考研真题浙大数学分析考研真题数学分析是数学的基础学科之一，也是考研数学科目中的重要部分。
浙江大学的数学分析考研真题一直备受考生关注。
本文将从历年的浙大数学分析考研真题中选取一些典型题目进行分析和讨论，以帮助考生更好地理解和应对这一科目。
第一道题目是2018年浙大数学分析考研真题中的一道选择题。
题目要求考生判断函数序列$f_n(x)=\frac{nx}{1+n^2x^2}$在区间$(0,1)$上的一致收敛性。
这是一个经典的一致收敛性问题，需要考生熟练掌握一致收敛的定义和判断方法。
通过计算函数序列的极限函数，可以发现该函数序列在区间$(0,1)$上一致收敛于零函数。
这道题目考查了考生对一致收敛的理解和运用能力。
接下来是2019年浙大数学分析考研真题中的一道计算题。
题目给出一个积分$\int_0^1\frac{x^3}{(1+x^2)^2}dx$，要求考生计算该积分的值。
这是一个典型的定积分计算题，需要考生熟练掌握定积分的计算方法和技巧。
通过变量代换或部分分式分解等方法，可以将该积分化简为简单的有理函数积分，最终得到积分的精确值。
这道题目考查了考生对定积分计算的掌握程度。
第三道题目是2020年浙大数学分析考研真题中的一道证明题。
题目要求考生证明函数$f(x)=\frac{x}{1+x}$在区间$(0,+\infty)$上是严格单调递增的。
这是一个典型的函数单调性证明题，需要考生运用导数的定义和性质进行证明。
通过计算函数的导数，可以得到导函数$f'(x)=\frac{1}{(1+x)^2}$，由导函数的正负性可以证明原函数在区间$(0,+\infty)$上是严格单调递增的。
这道题目考查了考生对函数单调性证明的能力。
最后是2021年浙大数学分析考研真题中的一道应用题。
题目给出一个函数$f(x)=\frac{1}{x}$，要求考生求出该函数在区间$(1,+\infty)$上的最小值。
这是一个典型的最值问题，需要考生熟练掌握最值的求解方法和技巧。
摘要数学分析是一门非常重要的基础课程,反例对理解数学分析有关定义和定理的内涵和外延有着不可替代的作用,反例的地位在数学的学习中占有很重要的地位,对培养我们的逆向思维至关重要,恰当的运用反例对我们数学能力的提高起着事半功倍的效果,我们希望定理中的条件是最简的,在我们一步步削弱条件的时候,反例的作用就越来越明显,一个特列不能说明一个命题是对的,但一个反例完全可以证明一个命题是错的.反例的作用和构造也越来越受到重视.本文介绍了数列,函数,导数,积分,无穷积分,级数等中的一些典型问题的反例,对一些逆命题的成立与否通过反例做了简单的论证,通过反例把一些看似相关性很大的定义和定理的区别又做了进一步的比较和分析,对一些反例的构造过程和思路做了详细介绍,回答了为什么这样构造的问题,可以让读者在错综复杂的关系里得到清晰的逻辑和思路.关键词：命题;反例;构造;数学分析;体现ABSTRACTMathematical analysis is a very important basic course, counterexample has an irreplaceable role in understanding mathematical analysis about definition and theorem of connotation and denotation , counter example role has a extremely important position in learning mathematics occupies,it is very important to educate our reverse thinking, appropriate mathematical ability for us to use counterexample improve play a extremely important position, we hope that the conditions of the theorem is one of the most simple, when we weaken conditions step by step, the counter example of the role is more and more obvious, a special example does not justify a question is right, but a counter example can prove that a theorem is wrong. counterexample and structure is becoming more and more important. According to the general mathematical analysis teaching material order, this paper introduces the sequence, function, derivative,and series of a reverse case of some typical problems, such as, for some of the establishment of the converse proposition, seemingly through counterexamples correlation definition theorem of great difference and do a further comparison and analysis of the construction process of some counter example ,it also made a detailed introduction, why and how structure counterexample get a answer in this paper, reader can get a clear logic in this paper.Key words:proposition; counter example;structure;mathematical analysis;reflect目 录1.引言 .................................................................. 12.反例在加深理解定义及相关概念中的体现................................... 1 2.1周期函数 ............................................................ 1 2.2复合函数 ............................................................ 1 2.3极值 ................................................................ 2 2.4一致连续 ............................................................ 2 2.5导数 ................................................................ 33.反例在掌握定理的内涵与外延中的体现 .................................... 3 3.1柯西收敛准则 ........................................................ 3 3.2 STOLZ 公式 ............................................................ 4 3.3 比式判别法 .......................................................... 5 3.4 比较原则 ............................................................ 5 3.5 阿贝尔判别法 ........................................................ 6 3.6 莱布尼茨判别法 ...................................................... 74.反例在辨析重要结论的逆命题中的体现 .................................... 75.反例在论证辩证关系中的体现 ........................................... 10 5.1 lim ()x f x →+∞和'lim ()x f x →+∞的关系 (10)5.2 原函数与可积函数之间的关系 ......................................... 10 5.3 ()af x dx +∞⎰收敛与lim ()x f x →+∞=0的关系 (11)5.4 可积和绝对可积以及平方可积之间的关系 ............................... 126.结论 ................................................................. 13 参 考 文 献 ............................................................ 14 致 谢 .................................................. 错误!未定义书签。
第二章 数列极限习题§ 1 数列极限观点1、 a n =1( 1)n， n=1， 2，⋯，a=0。
n（ 1） 以下ε分 求出极限制 中相 的N ：1=，2=， 3=；（ 2） 1 ， 2 ， 3 可找到相 的N ， 能否 了然a n 于 0 怎 做才 ；（ 3） 定的ε能否只好找到一个N2、按ε— N 定 明：23；（ 3） limn!n；（ 1） limn =1；（2） lim3n 2nnn 1n2n12nn（ 4） lim sinn=0；（ 5） limn n =0（ a>0）。
nna3、依据例 2，例 4 和例 5 的 果求出以下极限，并指出哪些是无 小数列：（ 1） lim1 ；（ 2） limn 3 ；（ 3） lim13 ；（4） lim 1n；n n n n n n3（ 5） lim1 n ；（ 6） limn10 ；（ 7） limn 1 。
n2 nn24、 明：若 lim a n = a ， 任一正整数k ，有 lim a nk = a 。
nn5、 用定 1 明：（ 1）数列 {1}不以 1 极限；（ 2）数列 { n (1) n} 散。
n6、 明定理，并 用它 明数列( 1) n} 的极限是 1。
{ 1n7、 明：若 lim a n = a ， lim |a n |= |a| 。
当且 当 a 何 反之也建立nn8、按ε— N 定 明：（ 1）lim ( n 1n ) =0 ；n（ 2） lim12 3 3 n=0；nnn1, n为偶数，（ 3）lim a n =1，此中nna n=n2n， n 为奇数。
n§ 2 收敛数列的性质1、求以下极限：（ 1）lim n33n 21 1 2n3）lim( 2) n3n 3；（ 2）lim2；（(2)n 13n 1；n4n2n3n n n（ 4）lim( n2n n) ；（5） lim (n1n 2n 10) ；n n111（ 6）lim2 2 22n。
6个等价定理1º确界定理2º单调有界定性3º闭区间套定理4º列紧性定理（Weierstrass聚点原理）5º完备性定理（Cauchy收敛原理）6º紧性定理（Borel有限覆盖定理）在一般的教科书上论证它们的线路是：1º（作为公理）→2º→3º→4º→5º及3º→6º. 实际上，它们是等价的，而且可从任何一个直接推出其它任何一个. 这些训练对真正掌握分析学方法以及进一步学习后续课程和考研都是非常重要的. 下面就作其中一些训练，其余留给大家自己作.1．5º→6º. 即用完备性直接证明紧性.2．6º→1º. 即用紧性直接证明确界定理.3．6º→2º. 即用紧性直接证明单调有界定理.4．6º→3º. 即用紧性直接证明闭区间套定理.5．6º→4º. 即用紧性直接证明列紧性.6．6º→5º. 即用紧性直接证明完备性.7．3º→1º. 即用闭区间套定理直接证明确界定理.8．3º→2º. 即用闭区间套定理直接证明单调有界定理.9．3º→5º. 即用闭区间套定理直接证明完备性.10．1º→3º. 即用确界定理直接证明闭区间套定理.11．1º→4º. 即用确界定理直接证明列紧性.12．1º→5º. 即用确界定理直接证明完备性.13．1º→6º. 即用确界定理直接证明紧性.14．4º→1º. 即用列紧性直接证明确界定理.15．4º→2º. 即用列紧性直接证明单调有界定理.16．4º→3º. 即用列紧性直接证明闭区间套定理.17．4º→6º. 即用列紧性直接证明紧性定理.18．5º→1º. 即用完备性直接证明确界定理.19．5º→2º. 即用完备性直接证明单调有界定理. 20．5º→3º. 即用完备性直接证明闭区间套定理. 21．5º→4º. 即用完备性直接证明列紧性定理. 22．2º→1º. 即用单调有界定理直接证明确界定理. 23．2º→4º. 即用单调有界定理直接证明列紧性定理. 24．2º→5º. 即用单调有界定理直接证明完备性定理. 25．2º→6º. 即用单调有界定理直接证明紧性定理.极 限1） 数列极限存在、不存在的“N ε-”定义.2） 两边夹定理、单调有界性、Stolz 定理等以及各种技巧. 3） 函数极限的“εδ-”定义、性质等.1．用定义证明：若lim n n x →∞存在，则12limlim nn n n x x x x n→∞→∞+++=.2．用定义证明：若,n n x a y b →→，则1211lim n n n n x y x y x y ab n-→∞+++=.3．设lim 0n n x a →∞=>，且0(1)n x n >≥，则111112lim nn x x x a n ----→∞⎛⎫+++=⎪⎝⎭. 4．设lim n n x a →∞=且0(1)n x n >≥，则n a =.5．若1limn n nx a x +→∞=且0(1)n x n >≥，则n a =.6．求n 及112lim k k k k n n n+→∞+++ （k 为自然数）. 7．证明：limsin n n →∞不存在（lim cos n n →∞不存在）.8．若{}n x 满足11||||n n n n x x r x x +--≤-（r 为常数且01r <<）. 则lim n n x →∞存在，（若1||||(01)n n x k x k +≤<<，则0n x →）.9．设1130,(2)4n n a a a n -+==≥，求lim n n a →∞.10．设010,0,(2)n x a x b x n =>=>=≥，求lim n n x →∞.11．设012(),1,()(0)1n n x f x x x f x n x ++===≥+，求证lim n n x →∞= 12．设0111,(0)1n nx x n x +==≥+，证明lim n n x →∞= 13．设111,(1)n x x n +==≥. 求lim n n x →∞.14．设0111,1(0)n nx x n x +==+≥，求lim n n x →∞.15．设111ln (1)2n x n n n=+++-≥，证明l i m n n x →∞存在，且计算111lim()122n n n n→∞+++++.16．设1110,0,()(1)2n n nAA x x x n x +>>=+≥，求lim n n x →∞.一般地，设10,0A x >>，111,[(1)](1)n n m nAm x m x n m x +-∈=-+≥，求lim n n x →∞.17．设1110,0,(2)n n n A x x x Ax A+><<=-，求lim n n x →∞.18．设1101,(1)(1)4n n n q q q n +<<->≥，求lim n n q →∞.19．设1x a =，221(12)(1,2,)n n n x x b x b n +=+-+=，则当1b a b -≤≤时，有lim n n x b →∞=.20．已知,m n ∀∈，数列{}n x 满足0m n m n x x x +≤≤+，则n x n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭收敛. 21．设0lim ()0x f x →=且()()()2xf x f o x -=，则()()f x o x =.22．设数列{}n x 满足条件：,m n ∀∈，有m n m n x x x +≤+，则limnn x a n→∞=（其中a 为有限或-∞）.23．设{}n a 满足：,m n ∀∈，有11m n m n m n a a a a a ++-≤≤++，则（1）lim n n an→∞存在；（2）若lim n n aq n→∞=，则11n nq a nq -≤≤+.24．求lim sin(2!)n n en π→∞.25．设[]x 为x 的整数部分，而{}[]x x x =-为x 的小数部分，求lim{(1}nn →∞.连续与一致连续函数1．设()f x 在(0,)+∞内连续，且2()()(0)f x f x x =>，则()f x ≡Const.2．设()f x 在[0,)+∞上连续，且0()(0)f x x x ≤≤≥，若110,()(1)n n a a f a n +≥=≥ 则（1）lim n n a →∞存在；（2）设lim n l →+∞=，则()f l l =；（3）若将条件改为0()(0)f x x x ≤<>，则0l =.3．设()[,]f x C a b ∈，记()max ()()a t xg x f t a x b ≤≤=≤≤，则()[,]g x C a b ∈.4．设)(x f 在[,]a b 上Riemann 可积, 记2()max ()taa t xg x t f s ds ≤≤=⎰, a x b ≤≤，求证()g x 在[,]a b 上连续。
5．设()[0,1]f x C ∈，且()0f x >，令0()max ()(01)t xM x f t x ≤≤=≤≤. 则()()lim ()nn f x Q x M x →∞⎧⎫=⎨⎬⎩⎭连续()f x ⇔在[0,1]上单调上升. 6．设()[,]f x C a b ∈，并且[,],[,]x a b y a b ∀∈∃∈，使1|()||()|2f y f x ≤，则[,]a b ξ∃∈，使()0f ξ=. 7．设()[1,1],(0)0,(1)f x C ff ∈->±=，求证：存在常数0,,a b >使得()||()(11)g x a x b f x x =-+≥-≤≤，且存在(11)c c -<<，使得()||()g c a c b f c =-+=.8．叙述()f x 在某区间X 中不一致连续的定义01212120,0,,|||()()|x xX x x f x f x εδδε∃>∀>∃∈Λ-<⇒-≥00ε⇔∃>，{}{}(1)(2)(1)(2)(1)(2)0,,||0|(()|n n n n n n x x X x x f x f x ε∃⊂∍-→Λ-≥. 证明|sin |()x f x x=在(1,0)-和(0,1)内一致连续，但在0||1x <<内不一致连续.9．设()f x 在[,)(0)a a +∞>上满足李普希兹条件：|()()|||,,[,)f x f y k x y x y a -≤-∀∈+∞，则()f x x在[,)a +∞上一致连续. 10．设()(,)f x C a b ∈，求证：()f x 在(,)a b 内一致连续⇔极限0lim ()x a f x →+和lim ()x b f x →-均存在.11．证明：非常数的连续周期函数必有最小正周期.12．设()[0,)f x C ∈+∞，且0()()(0;)x f x f x n n≤≤≤<+∞∈， 则lim ()x f x →+∞存在.13．设()f x 是在[0,)+∞上的非负连续函数，且满足12,0x x ∀≥，有1212()()()f x x f x f x +≤+，则0()()liminfx x f x f x x x→+∞>=. 14．设()f x 在开区间(,)a b 内是凸函数，即12,(,)x x a b ∀∈，[0,1]λ∀∈，有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，则()(,)f x C a b ∈. 如开区间(,)a b 变为闭区间[,]a b 呢？15．设()[,]f x C a b ∈且可逆，则()f x 在[,]a b 上严格单调. 16．设:[0,1][0,1]f →为连续函数，且(0)0f =，(1)1f =，(())(01)f f x x x =≤≤，则()(01)f x x x =≤≤.17．设()(,)f x C ∈-∞+∞，且lim (())x f f x →∞=∞，则lim ()x f x →∞=∞.18．设()f x 在[0,)+∞上一致连续，且0,{()}h f nh ∀>收敛，则lim ()x f x →+∞存在.19．设()[0,]f x C ∈+∞，又设l ∀∈，方程()f x l =在[0,)+∞上无解或只有有限个解，则（1）若()f x 在[0,)+∞上有界，则lim ()x f x →+∞存在；（2）若()f x 在[0,)+∞上无上界，则lim ()x f x →+∞=+∞.20．设()(,),li m ()x f x C f x →±∞∈-∞+∞=+∞，且()f x 的最小值()f a a <，则(())f f x 至少在两个点处取到它的最小值. 21．设()f x 是定义在(,)-∞+∞上的实函数，并且具有中间值性质，也即是：如果()()f a c f b <<，那么，在,a b 之间有一个x ，使()f x c =. 再假定，当r 是有理数时，满足()f x r =的一切x 组成闭集，证明f 是连续函数.22．证明()f x 在区间I 上一致连续的充要条件是对于任给的正数ε及,x y I ∈，总存在正数N ，使得当()()f x f y N x y->-时恒有|()()|f x f y ε-<.23．是否存在这样的函数，它在闭区间[0,1]上每一点取值有限，但在这个闭区间上任何点的任意邻域内无界？24．设()f x 在[0,)+∞上一致连续，且0x ∀≥，有lim ()0n f x n →∞+=，则 lim ()0x f x →+∞=.25．证明：0,n ε∀>∃∈，使1|sin |2n ε-<.26．设()f x 在[,]a b 上有界，命0[,)(,)0(,]inf sup {()}, ;()inf sup {()}, ;inf sup {()}, ,y a a y x x y b b f y x a M x f y a x b f y x b δδδδδδδ>∈+>∈-+>∈-⎧=⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪=⎪⎩[,)0(,)(,]0sup inf {()}, ;()sup inf {()}, ;sup inf {()}, .y a a y x x y b b f y x a m x f y a x b f y x b δδδδδδδ∈+>∈-+>∈->⎧=⎪⎪=<<⎨⎪=⎪⎩则()f x 在0[,]x a b ∈点连续00()()M x m x ⇔=.27．设()f x 在[,)a +∞上一致连续，()x ϕ在[,)a +∞上连续，且l i m [()()x f x x ϕ→+∞-=，证明()x ϕ在[,)a +∞上一致连续.一元微分学及应用1°导数与微分定义2°F érmat 定理、中值定理、Taylor 公式、洛必达法则3°函数的升降、极值、凹凸性及拐点.1．设0a b <<，则ln ln b ab a -<- 2．设(0)0,(0)f f '=存在，令22212()()()n nx f f f n n n=+++，求lim n n x →∞. 并求下列极限：（1）22212lim[sin sin sin ]n nn n n→∞+++；（2）22212lim[1][1][1]n nn n n→∞+++.3．设()f x 在上可微，且(),()f x f x '无公共零点，则集合{[0,1]|()0}x f x ∈=是有限集.4．设()f x 在(,)a b 内可导，且()f x '单调，则()(,)f x C a b '∈.5．设()f x 在(,)a b 内可导，则0(,),{}(,)n x a b x a b ∀∈∃⊂，使0lim n n x x →∞=且0lim ()()n n f x f x →∞''=.6．设()f x 在(,)a +∞内可导，且lim ()x f x →+∞'=+∞，则()f x 在(,)a +∞内不一致连续.7．设()f x 在(0,]a 中连续，导数存在，且0lim ()x x +→'存在，则()f x 在(0,]a 中一致连续.8．设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0f =，k 为自然数，则(0,1)ξ∃∈，使()()()f kf f ξξξξ''+=. 提示：令()(1)()kF x x f x =-.9．设()f x 在[,]a b 上连续，()f x ''在(,)a b 内存在，若()()0f a f b ==且有(,)c a b ∈，使()0f c <，则(,)a b ξ∃∈，使()0f ξ''>.10．设()f x 在[,]a b 上二阶可导，且()()0f a f b ''==，则(,)a b ξ∃∈，使24|()||()()|()f f b f a b a ξ''≥--. 另外，将条件()()0f a f b ''==改为()02a bf +'=，结论亦真.11．设()f x 在[0,1]上二阶可导，(0)(1)0f f ==，且01max ()2x f x ≤≤=，则(0,1)ξ∃∈，使得()16f ξ''≤-.12．设()f x 在[,]a b 上二阶可导，则(,),(,)x a b a b ξ∀∈∃∈，使()()()()1()2f b f x f a f x b x a x f b a ξ-----''=-.13．已知()f x 在[,]a b 上可导，且4b a -≥，则(,)a b ξ∃∈，使2()1()f f ξξ'<+.14．证明Darboux 定理：若()f x 在[,]a b 上可导，则()f x '必能取得介于()f a '与()f b '之间的一切值.15．设()f x 在[,]a b 上二次连续可微，且()()0f a f b ==，求证：（1）21max ()()max |()|8a xb a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤-；（2）1max |()|()max |()|2a xb a x b f x b a f x ≤≤≤≤'''≤-.16．设()f x 在(,)-∞+∞上二阶可导，且()sup |()|(0,1,2)k k x M f x k ∈=<+∞=，则21022M M M ≤⋅.17．设()f x 在(0,)+∞内二阶可导，且02|()|,|()|(0)f x M f x M x ''≤≤>，则|()|0)f x x '≤>.18．设()f x 在(0,)+∞上三阶可导，且(0,)x ∀∈+∞，有0|()|f x M ≤<+∞，3|()|f x M '''≤<+∞. 则()f x '与()f x ''在(0,)+∞内有界.19．设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()f x 非线性函数，则(,)a b ξ∃∈，使()()|()|f b f a f b aξ-'>-.20．设|()|1,|()|1(02)f x f x x ''≤≤≤≤，则|()|2(02)f x x '≤≤≤. 21．设()f x 在(,)-∞+∞上有界且二阶可导，则0x ∃∈，使0()0f x ''=.22．设()f x 在(0,)+∞内二阶可导，且lim ()0,|()|1(0)x f x f x x →+∞''=≤>，则lim ()0x f x →+∞'=. 23．设()f x 在[0,1]上可导，且(0)0,|()||()|(01,f f x k f x x k '=≤≤≤为常数)，则()0f x ≡.24．设()[0,)f x C ∈+∞，在(0,)+∞内可导，且(0)1,|()|(0)x f f x e x -=≤≥，则0(0,),x ∃∈+∞使00()x f x e-'=-.25．设()f x 在(,)-∞+∞上无穷阶可导，且 （i ）存在0L >，使()|()|(;n fx L n ≤∀∈ )x ∀∈；（ii ）1()0(1,2,)f n n==，则()0f x ≡.26．设()f x 有二阶连续的导数，满足关系式：2()(())f x f x x '''+=且(0)0f '=，论证0x =是否为()f x 的极值点或拐点.27．设()f x 在(,)a b 内可导且0lim ()x a f x →+'存在，求证：0lim ()x a f x →+存在且可以对()f x 在a 点补充定义使()f a '存在.28．设()f x 在(0,)+∞内可导. 证明：()f x '单调上升()()f x xf x '⇔-单调下降. 29．设()f x 在[2,2]-上连续，在(2,2)-内二阶可导，且|()|1,(0)1f x f '≤>，则(2,2)ξ∃∈-，使()0f ξ''=.30．设12()n n n f x x x x x -=++++，则（1）对任一自然数1n >，方程()1n f x =在1(,1)2内只有一个根； （2）设1(,1)2n x ∈是()1n f x =的根，则1lim 2n n x →∞=. 31．设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内二阶可导，且(0)(1)0,()0((0,1))f f f x x ''==<∀∈.若()f x 在[0,1]上的最大值为0M >，求证：n ∀∈，（1）存在惟一的(0,1)n x ∈，使()n M f x n'=； （2）极限lim n n x →∞存在，并且(lim )n n f x M →∞=.32．设函数)(x f 在实数集R 上可导,满足: 存在常数0M >使2005|()|||Mf x x ≤,2004(|'()()2005()|)1xxf x xf x f x ++≤, 求证：2005|()|1x f x ≤.33．设()f x , ()g x 在(0,)+∞内可导，且231()()3x g x f x ''<, 求证当lim ()x f x →+∞存在时, lim ()x g x →+∞存在.34．设2()12!!nx x f x x n =++++. （1）当n 为偶数时，求证()f x 在实轴上有正的最小值；（2）当n 为奇数时，()f x 有且仅有一个实根.35．设2()1,2!!n n m x x p x x x n =++++是21()0m p x +=的实根，则0m x <且lim m m x →∞=-∞.36．设01()1,()()()(0)n n n f x f x xf x f x n +'≡=-≥，求证： （1）()n f x 是首项系数为1的n 次多项式； （2）()n f x 有n 个不同实根. 37．求证：切比雪夫—拉盖尔多项式()()n xn xn nd L xe x e dx -=有n 个不同正实根.38．设()f x 在a 的某邻域(,)O a δ内有n 阶连续导数，且()()0n f a ≠与(1)()()()0n f a f a f a -'''''====. 由微分中值定理：()()()(01,)f a h f a f a h h h θθδδ'+-=+<<-<<， 求证：lim h θ→=.39．设()f x 、()g x 在(,)a b 内可微，且1212()()0(,(,))f x f x x x a b ==∈，则在1x 、2x 之间至少有()()()f x f x g x ''+的一个零点.40．若230a b -<，则方程32()0f x x ax bx c =+++=有唯一实根.41．设()f x 在(1,1)-内有各阶导数，在0x =点，它们全异于0. 若对0||1x <<和n ∈，写出Taylor 公式：(1)()1(0)()()(0)(0)(01)(1)!!n n n nf f x f x f f x x x n n θθ--'=++++<<-，求0lim x θ→.42．设()f x 在[0,)+∞上可导，λ∈，则()xf x e λ'单升()()f x f x λ'⇔+单升. 43．求最小的β和最大的α，使n ∀∈，有11(1)(1)n n e n nαβ+++≤≤+.44．设()f x 在[,]a b 上有界，()g x 在[,]a b 上可微，()0g a =，λ是非零常数，且|()()()||()|()g x f x g x g x a x b λ'+≤≤≤，则()0g x ≡.45．设()f t 在[,](0)x x h h +>上连续且二阶可导，[0,1]τ∈. 则必存在(0,1)θ∈，使2()()(1)()(1)()2h f x h f x h f x f x h τττττθ''+=++-+-+.46．设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且1(0)(1)0,()12f f f ===，则(0,1)ξ∃∈，使()1f ξ'=.47．设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且|()|1f x '<，(0)(1)f f =，则12,(0,1)x x ∀∈，有121|()()|2f x f x -<.48．设()f x 在[,]a b 上一阶可导，在(,)a b 内二阶可导，且()()0,()()0f a f b f a f b ''==⋅>，则（1）(,)a b ξ∃∈，使()0f ξ=；（2）(,)a b η∃∈，使()()f f ηη''=.49．设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，(0)0f =，则若()f x 在(0,1)内不恒为零，则(0,1)ξ∃∈，使()()0f f ξξ'>.50．设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可微分，且2|()()(0)|,(0,1)xf x f x f x M x '-+<∈， 其中M 是正常数. 证明(0)f +'存在.51．设有多项式1110()n n n P x cx a x a x a --=+++，1110()m m m Q x cx b x b x b --=+++，其中0c ≠，并且它们满足关系式222()(1)()1P x x Q x =-+，试证：()()P x nQ x '=.52．证明：所有具有正系数且是偶函数的非零多项式，处处都是凸的，并且只有一个极值点.53．设()f x 是二次连续可导的偶函数，且(0)0f ''≠，则0x =是它的极值点. 54．设()f x 在(,)a b 内连续可微，并且,(,)x y a b ∀∈，∃唯一的(,)z a b ∈，使()()()f y f x f z y x-'=-，则()f x 或严格凸，或严格凹. 55．函数1()k na x k k f x c e ==∑在上可能有的零点最多是几个？其中k a 是不同的实数，k c 为实数且不同时为零.56．设()f x 在上可导，且,x h ∀∈，有1()()()2f x h f x hf x h '+-=+，则 （1）()f x 在上任意阶可导；（2）()f x 是不超过二次的多项式. 57．设|()|f x M ≤且()()0(;1,2,)n f x a x b n ≥<<=，则(,),0x a b r ∀∈>，只要(,)x h a b +∈，便有()2!()(1,2,)n nMn f x n r ≤=.58．设()()0(;1,2,)n fx a x b n ≥<<=，则0(,),0x a b r ∀∈∃>，使00(,)x x r x r ∀∈-+，有()0001()()()lim ()!k nk n k x x f x f x f x k →∞=-=+∑.59．给定方程1()nx x n +=∈，求证： （1）在0x >内方程有唯一解n x ；（2）lim 1n n x →∞=；（3）ln 1~()n nx n n-→∞. 60．证明：函数122xx--+在(0,)+∞内的最大值为1.61．设()f x '在(0,)+∞内单升，且()lim 1px f x x →+∞=，则（1）当0h >时有()()()()()f x f x h hf x f x h f x '--≤≤+-；（2）1()lim1p x f x px -→+∞'=. 62．设()f x 在上n 次可导，且()0|()|;|()|n n f x M f x M ≤≤（0M 、n M 为常数），则有（1）(1)(),,()n f x f x -'均在上有界；（2）()1()20|()|2(0)k k k n k k nn nf x M Mk n --≤≤≤.一元函数积分学1ºDarboux 上、下和、上、下积分及定积分定义. 2º定积分存在的充要条件、必要条件、充分条件、性质 3º积分第一、第二中值定理，Newton-Leibnitz 公式1．设()f x 在[0,1]上连续且单调增加，按提示的思路用五种不同方法证明:110 01()()2xf x dx f x dx ≥⎰⎰.思路一: 利用定积分的定义; 思路二: 利用函数与其导函数的关系; 思路三: 利用积分第一中值定理; 思路四: 利用积分第二中值定理; 思路五: 利用积分的保序性; 思路六: 利用微分中值定理; 思路七: 利用其它方法。
