学习“实变函数与泛函分析”的感想与问题

学习“实变函数与泛函分析”的感想与问题数学系06级3班高能 060203037摘要通过介绍实变函数与泛函分析的重要地位及它的数学之美，表明了为什么学习实变函数；近一学期的学习，对集合论、测度论有了浅薄的认识，它很抽象却逻辑严密，到现在为止，我依然处于启蒙阶段，对学习方法、知识机构联系还是不清楚。

最后提出有待解决的问题及部分解决方法。

关键词：实变函数数学美集合学习方法“实变函数与泛函分析”是现代数学分析的基础，是数学专业的主干课程之一，被称为“新三高”之首，其重要性非常清楚，但其内容抽象程度较高，是一些在抽象思维和逻辑推理方面接受训练较少的学生公认的一门难学的课程。

国内著名的数学教育学专家、华东师范大学张奠宙教授指出：“每一门数学学科都有其特有的数学思想，赖以进行研究（或学习）的向导，以便掌握其精神实质，只有把数学思想掌握了，计算才能发生作用，计算才能发生作用，形式演绎体系才有灵魂。

”我们应该在学习过程中注入数学思想，发挥数学思想方法的作用，培养应用意识与能力。

我们学习的实变函数是以Lebesgue积分为中心，以集合论为基础。

Lebesgue（勒贝格）积分被誉为“20世纪数学的一大贡献”。

勒贝格积分的创立对于积分学来说，是一个巨大的突破，是一个革命。

如果说，微积分（数学分析）是经典分析数学的基础的话，那么实变函数则是现代分析数学的基础。

实变函数是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。

点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。

也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。

比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。

我们学习研究数学，就应该追求数学美。

不可否认，美的感觉与人的主观因素有关，但是数学美却是完善的数学对象的一种客观表现。

对于数学美的追求，也常常启动数学家的心扉，促使他们通过类比、联想等方法，构造出新的数学理论，发现新的数学定理，寻找新的数学方法来，追求数学美，甚至可从纯粹美学的研究角度去解决数学的研究方向或对数学理论的意义做出判断。

泛函分析及应用读后感泛函分析是对数学分析中关于映射与函数的进一步抽象与深化。

在学习的过程中，感觉很多概念很理解，并且很难举例子。

但是发现其解决复杂问题的优势是相当明显的，具体就体现在在解决常微分方程中存在于唯一性，在常微分课本中，要解决这个问题我们是分了若干引理来解决的。

而用泛函方法就很容易解决。

泛函分析的特点和内容：泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。

n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。

比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。

一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。

现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。

正如研究有穷自由度系统要求 n维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。

因袭，泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。

古典分析中的基本方法，也就是用线性的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。

泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论。

他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。

半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象，和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。

它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。

今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。

2024年实变函数学习心得随着时代的发展，数学已经成为了一门非常重要的学科，而实变函数作为数学中的一部分，也成为了我们学习的内容之一。

在2024年，我对实变函数进行了深入学习，并且在实践中取得了一些心得和体会。

首先，我认识到实变函数的重要性。

实变函数是数学中的一个重要分支，它研究数学中的实数和实数函数的性质。

实变函数有许多重要的应用，例如在物理学、工程学和经济学等领域中都起着关键作用。

因此，深入了解和掌握实变函数的概念和性质，对于我未来的学习和发展都将起到很大的帮助。

其次，我学会了对实变函数进行分析和研究。

实变函数的研究需要具备一定的分析能力，我通过学习分析学等相关课程，提升了自己的分析思维和分析能力。

在实践中，我发现通过分析实变函数的导数、极限和连续性等性质，可以揭示实变函数的一些重要特征和规律。

因此，在学习实变函数的过程中，我注重培养自己的分析能力，并且在实践中不断加以应用。

另外，我还注意到实变函数的多样性。

实变函数涉及到了很多不同类型的函数，如多项式函数、指数函数、对数函数和三角函数等。

每种函数都有其独特的性质和应用。

因此，在学习实变函数时，我注重对不同类型函数的理解和掌握。

通过学习和掌握这些不同类型函数的性质，我可以更好地理解实变函数的整体特点和规律，为解决实际问题提供更多的可能性。

此外，我还通过实践应用来巩固和深化对实变函数的理解。

实变函数作为一个理论性的学科，理解和应用都至关重要。

在学习实变函数的过程中，我经常通过解决一些实际问题，将所学的理论知识应用于实际情境中。

这样不仅能够巩固自己对实变函数的理解和掌握，并且能够提高自己的解决实际问题的能力。

最后，我发现培养良好的数学思维对于学习实变函数非常重要。

数学思维是一种抽象、逻辑和创造性思维，对于学习实变函数的深入理解和应用至关重要。

在学习实变函数的过程中，我通过解决一些复杂的数学问题，培养和提升了自己的数学思维能力。

这样不仅能够更好地理解和掌握实变函数的概念和性质，并且能够在解决实际问题中发挥更大的作用。

泛函分析学习心得在我学习泛函分析的过程中，我认为泛函分析是数学中非常重要的一个分支，它不仅有着广泛的应用，还对于理解数学的基本概念和思想有着重要的贡献。

下面是我在学习泛函分析的心得体会。

首先，泛函分析是研究无穷维空间中的向量和函数的性质和行为的数学学科。

相比于有限维空间，无穷维空间更为复杂和抽象，因此泛函分析需要引入一些新的概念和工具来描述和研究无穷维空间中的对象。

其中最基本的概念就是线性空间和赋范空间。

线性空间是指满足一定线性运算规则的集合，赋范空间是指在线性空间的基础上引入了范数的空间。

了解这些基本概念是理解泛函分析的核心，可以帮助我们更好地把握和理解泛函分析的核心思想。

其次，泛函分析的主要研究对象是泛函。

泛函是将一个向量或者函数映射到一个实数的映射。

通过研究泛函，我们可以了解和描述向量或者函数的性质和行为。

在泛函分析中，我们主要关注线性泛函和连续线性泛函。

线性泛函是指满足一定线性性质的泛函，连续线性泛函是指在赋范空间上满足一定连续性质的线性泛函。

学习泛函分析的关键就是理解和研究泛函的性质和行为，利用泛函来描述和分析无穷维空间中对象的特点。

此外，在泛函分析中还有一些重要的概念和工具，例如：内积、正交、完备性、紧算子、谱理论等。

这些概念和工具在泛函分析中起着关键作用，可以帮助我们深入理解和分析无穷维空间中的对象。

例如，内积可以用来定义向量的长度和角度，正交关系可以用来描述向量的互相垂直的关系，完备性可以用来刻画向量空间的完整性等等。

学习和掌握这些概念和工具对于理解泛函分析的基本原理和思想非常重要。

最后，在学习泛函分析过程中，练习和实践也非常重要。

泛函分析是一个非常抽象和理论性很强的学科，对于我们来说可能有一定的难度。

但是通过练习和实践，我们可以更好地理解和运用所学的知识。

可以通过做一些练习题、阅读一些经典的参考书籍、参加研讨会等方式来提升自己的泛函分析水平。

在实践中我们还可以体会到泛函分析的应用，并且可以与其他学科进行交叉的思考，提高自己的综合能力。

给想学实变函数和泛函分析的一点建议首先，本人学过到目前为止除了最优化理论其它还没用过，但是最大的收获是数学的一些研究方法，下面是正文不知在哪看过，希望对学弟学妹们有用。

有点长~实变函数和泛函分析在经济学中的用处非常大。

首先，实变函数是研究L积分理论的，这种L积分使积分理论得以应用的函数范围大大推广了，实际上除了数学家刻意构造出来的奇异函数，一般的函数，特别是我们在分析实际问题时遇到的函数，都是L可积的。

因此L积分的理论可以用于我们分析实际问题时遇到的所有函数。

L积分的理论中哪些内容是极其重要的呢？从应用的角度来讲，最有价值的就是测度理论和积分的三个相互等价控制收敛定理。

测度论使的概率论变得更加威力强大，可以解决很多以前被认为是古怪的无法分析的问题。

也使很多概率理论变得更加严格。

比如无限可分事件的概率以及用西格玛域来阐述的条件概率等等。

没有测度论就无法分析连续鞅等等。

另外，积分收敛定理解决了积分运算与极限运算互换的问题，使得很多极限问题变得可以计算。

所以支持大样本统计理论的概率极限理论就建立起来了。

如果搞懂了实变函数，你对统计，计量，金融工程等问题的研究就可以一枪刺到底，从基本概念的学习开始可以一路畅通的达到对前沿理论的深刻理解。

没有实变函数的基础，学计量，统计和金融工程就是隔靴挠痒。

再看泛函分析，泛函分析是建立在实变函数的基础上的。

为什么这么说呢？其实就分析的问题的思路来讲，泛函和实变还是有很大差别的，但是泛函研究的是函数空间，研究函数空间中的收敛和连续等拓扑概念必须依赖范数的定义，而函数空间的范数的定义依赖于积分理论，所以实变函数就成了泛函的基础。

所以一般都是先学实变，再学泛函。

当然，也有先学直接学泛函的，这时就只能直接的接受积分定义的范数概念，或者干脆只从抽象范数的角度来研究，不去管范数的具体形式。

从理解泛函本身的理论来讲并没有什么不妥，只是在用泛函解决实际问题时就有麻烦，因为研究实际问题就要给出具体的范数定义，没有实变函数的积分理论就不行了。

关于实变函数学习的几点想法
实变函数是我到现在为止学的最难的一门课程，没有之一。

对于我来说，难点主要在以下几个方面：
1 定义与定理的用处以及它们之间的联系把握不够；
2 概念过于抽象，书本上的例子太少，理解的难度加大；
3 这是最关键的一点，也是最让我头疼的。

证明题基本上证不出。

分析原因如下：
1，2的产生是因为有些概念初次见到，根本不熟悉，所以也还比较好解决（相对于第3点）：多看书，多思考。

最主要的是要愿意去想。

人与人学习之间的差距不在资质上，而在花在思考的时间和思考的深度上。

这句话还是有一定道理的，尽管不适用于第3点。

3的产生原因无他：资质驽钝。

有没有人试过花了一下午在自习室结果却连一道题目也没有做出来的感受？欲哭无泪，真的是欲哭无泪。

我不是那种可以先把做不出来的题先放到一边，继续往下做的人。

其实有时候先放到一边等过一段时间再去想也许会“柳暗花明又一村”，可我就是做不到。

我已经学得是心力交瘁了。

第3点的解决办法：1摆正心态：好，我承认我笨的可以，我接受我一道题目也做不出来的事实；2 题目不会做就抄，一遍一遍反复抄，抄到我明白，抄到我能自己独立证出来为止！！！。

实变函数课程教学的几点体会实变函数课程对于大多数学生来说都很困难、很抽象，主要原因是学生习惯了从初等数学到数学分析或高等数学，所研究的函数都是常规的性质很好的函数.然而，有更多的性质不好的函数，需要换个角度认识它们，这就导致实变函数的形成，并最终成为一门课程.这门课程的思想方法与思想痕迹其实在中学数学课程及大学数学课程中都有所体现.1.实变函数思想下初等数学内容的认识为了研究函数的性质，对函数的定义域再认识，从而从另一角度研究集合，因此实变函数课程中一开始就研究集合，当然不只是停留在集合的简单运算上.当两个集合之间能建立一一映射时，这两个集合中的元素就是一样多的.由于无理数集是不可数集，有理数集是可数集，则无理数集与有理数集不对等，这两个集合中的元素就不是一样多的，实际上无理数比有理数要多得多.利用一一映射，还可以得到任何一个三角形的三条边上的点是一样多的，但就长度而言三条边往往不相等，这说明点不能有大小（度量），并不是人为规定点没有大小.对于两个非空集合（点集）A与B，把A中的任何点与B中的任何点之间的距离的下确界说成是集合A与B之间的距离.这样，一直线外一点到该直线的距离，平面上两条平行直线之间的距离，两条异面直线之间的距离，空间中两平行平面之间的距离等，都采用垂线段的方式计算.按照此定义，平面上两条相交直线之间的距离，两个相交的平面之间的距离等则为零.由此看出，只有真正学懂了实变函数课程，才能正确理解和解释中小学数学课程中的一些概念、性质和结论.比如，点为什么不能有大小，有理数与无理数的本质区别是什么，无理数在实数中占有什么样的地位，集合的表示为什么要用区间这样的方法，为什么不是所有集合都能用列举法表示，等等.2.集合的测度之意义拓广对集合整体度量的认识，利用测度概念.在测度意义之下，点集可以是非常不规则的，其元素可以是相当凌乱的，集合的元素可以是多样的，从而测度可以是长度，可以是体积，可以是质量，可以是概率，等等.在测度意义之下，由一个元素组成的集合，由有限个元素组成的集合，由可数个元素组成的集合，测度均为零.这样，一个点的测度为零，这就说明点确实没有大小.在测度意义之下，有理数集的测度是零，从而实数集R中基本上全都是无理数，或者说，一条直线上几乎处处为无理点，实数的核心是无理数，实数集R的“质量”都集中在无理数上，无理数集是实数集R的“原子核”.可数集的测度为零的一个现实反映，比如，一个筛子的孔是很多的，但也应该是有限个，不过可以理解为可数多个，当人们往筛子（悬空的）里盛放细小的东西（一部分可以穿过孔）时，如果人不摇晃筛子，则自然从孔漏出去的细小东西的体积几乎为零.这就是为什么有了筛子，还得要人筛一筛，才能把东西分开成粗与细的两个部分.这表明，任何一个集合添加零测度集后，其测度不改变.这一性质的一个现实反映经常出现，比如人们外出旅行，收拾包裹行囊很满，鼓鼓囊囊的，正要出门时突然看到一支笔或一把梳子被落下了，这时往往就把笔或梳子随便插进包裹的缝隙里，照样带走.这里，相对于一大包东西，一支笔或一把梳子的体积或质量几乎为零，添加进包裹也不会改变包裹的体积或质量，并不会影响人的出行.由此看出，所谓集合的测度，其实并不那么抽象.在测度意义之下，集合又区分为可测集与不可测集.零测度集是可测集，区间是可测集，区间的并集是可测集，这些为函数范围的拓宽奠定了基础.不可测集是存在的，由于集合的测度是非负实数，那么不可测集的测度一定不为零，从而不可测集存在于正测度集之中.3.可测函数概念教学的一个策略对于函数，中学数学教材及数学分析里的函数，往往强调定义域的重要性，而且定义域基本上是连续的一个数集——区间，同时对函数的值域往往不太重视.这样，导致学生习惯于从定义域到函数值认识函数，而忽视了从函数值范围到自变量取值范围认识函数.尽管教材里有所体现，比如，试根据函数y=3x-15的性质或图像，确定y0时x取何值，观察余弦曲线，写出满足条件cosx0的区间，但都是以习题的形式出现的，在教材的正文中几乎没有涉及.虽然这仅仅就是解函数不等式，但认识上、方法上还是有所不同.因此，在实变函数里突然出现一个可测函数概念，使学生感到迷惑.所以，笔者在讲授可测函数概念时，是按照如下策略引导讲解的.由上述例子看出，连续函数是可测函数；处处不连续的函数也可以是可测函数，所以，可测函数是比连续函数更广泛的函数类型。

实变函数反思与总结报告引言我们所学的数学基础知识中，实变函数是一个既简单又重要的概念。

了解实变函数的性质和特点可以帮助我们更好地理解和运用数学知识。

在这个过程中，我充分认识到了实变函数的重要性，并对自己学习实变函数的方法和技巧进行了反思与总结。

学习方法的反思在学习实变函数的过程中，我意识到学习方法对于理解和掌握实变函数的概念和性质非常重要。

通过反思，我总结了以下学习方法的优点和缺点：1. 从理论入手优点：理论是学习实变函数的基础，通过系统地学习实变函数的定义、性质和定理，可以对实变函数有一个全面的了解。

缺点：过于注重理论，容易陷入纸上谈兵的陷阱，从而忽视了实际应用和问题解决的能力。

2. 多做练习题优点：通过大量的练习题，可以巩固对概念和定理的理解，提高解题能力和问题分析能力。

缺点：只注重题目的数量，容易走入机械式的运算，忽略了思考和推导的过程。

3. 探索与实践优点：通过自主学习和实践，能够加深对实变函数的理解。

通过在实际问题中应用实变函数的知识，可以培养解决实际问题的能力。

缺点：对于初学者来说，可能在实践中遇到问题而无法解决，需要指导和帮助。

学习方法的改进综合以上学习方法的优点和缺点，我计划以以下方式改进我的学习方法：1. 理论与实践结合在学习实变函数的理论知识的同时，我将注重与实际问题的结合。

通过找到实际问题中的数学模型，将实变函数的概念和性质应用到实际中，提高实际问题解决的能力。

2. 深入思考与总结在做练习题时，我不仅仅注重题目数量，更注重解题过程和思考的深度。

在解题过程中，我将思考清楚每一步的原理和推理，避免走进机械题中。

同时，我还将总结解题的经验和方法，形成自己的解题思路。

3. 寻求指导与分享在实践中遇到问题时，我将积极寻求指导和分享。

通过与同学、老师的讨论和交流，我相信能够解决遇到的问题，并从中得到更多的启发和思考。

结语通过对学习实变函数的方法和技巧进行反思与总结，我认识到了实变函数的重要性以及学习方法的关键。

实变函数的学习心得应数1202班李琼花 12404206学习实变函数这们课已经一个学期了，对于我们数学专业的学生，大学最难的一门课就是实变函数论与实变函数这门课了。

我们用的教材难度比较大，所以根据我自己学习这门课的心得与方法，有以下几点：1、复习并巩固数学分析等基础课程。

学习实变函数这门课程要求我们以数学分析为学习基础，因此，想学好这门课必须有相对比较扎实的数学分析基础。

2、课前预习。

实变函数是一门比较难的课程，龙老师上课也讲得比较快、比较抽象，因此，适当的预习是必要的，了解老师即将讲什么内容，相应地复习与之相关内容。

如果能够做到这些，那么你的学习就会变得比较主动、深入，会取得比较好的效果。

3、上课认真听讲，认真做笔记。

龙老师是一位博学的老师，上课内容涵盖许多知识。

因此，上课应注意老师的讲解方法和思路，其分析问题和解决问题的过程，记好课堂笔记，实变函数这门课比较难，所以建议听课是一个全身心投入——听、记、思相结合的过程。

4、课后复习,做作业，做练习。

我们作为大三的学生，我们要学会抓住零碎的时间复习实变函数课堂的学习内容，巩固学习。

复习不是简单的重复，应当用自己的表达方式再现所学的知识，例如对某些定理证明的复习，不是再读一遍书或课堂笔记，而是离开书本和笔记，回忆有关内容，理解并掌握其证明思路。

做作业、做练习时，大家要重视基本概念和基本原理的理解和掌握，不要一头扎进题海中去。

所以，我们学习实变函数总的来说要把握课前、课时与课后的任务，学习内容要多下功夫掌握基本概念和原理及其证明思路，尽可能地掌握作业题目，在记忆的基础上理解，在完成练习中深化理解，在比较中构筑知识结构的框架，是提高学习实变函数课程效率的重要途径。

1。

实变函数学习心得学习实变函数的过程是一段充满挑战和探索的旅程。

通过学习实变函数，我深刻理解了实变函数的基本概念、性质以及具体的计算方法，也进一步提高了数学建模和应用的能力。

在这篇心得中，我将分享我学习实变函数的心得体会。

首先，我研究了实变函数的基本概念。

实变函数是数学中的一种特殊函数，它的自变量和因变量都是实数。

通过学习实变函数的基本概念，我明白了实变函数的定义域、值域以及函数图像的特点。

对于一个实变函数来说，定义域是它能取值的实数集合，而值域则是函数取得的所有可能的实数值。

其次，我学习了实变函数的性质。

一方面，我了解了实变函数的奇偶性、周期性以及单调性等性质。

实变函数的奇偶性是指函数的对称性，如果对于任意的实数x，有f(-x)=-f(x)，那么该函数是奇函数；如果对于任意的实数x，有f(-x)=f(x)，那么该函数是偶函数。

实变函数的周期性是指函数图像按照一定的规律重复出现，即存在一个正数T，对于任意的实数x，有f(x+T)=f(x)。

实变函数的单调性是指函数图像在整个定义域上的增减性，可以是递增、递减或者不变。

另一方面，我还学习了实变函数的极限和连续性。

实变函数的极限是指当自变量无限接近某一特定值时，函数对应的因变量也会无限接近于某一特定值。

通过学习实变函数的极限，我掌握了求极限的方法和技巧。

在计算实变函数的极限时，可以利用一些常用的极限性质，如极限的四则运算、夹逼定理等。

实变函数的连续性是指函数在定义域上的无间断性，也就是说函数图像没有任何跳跃或断裂的地方。

学习实变函数的连续性，我了解了连续函数和不连续函数的定义以及判断方法。

然后，我学习了实变函数的导数和微分。

实变函数的导数是指函数在某一点处的变化率，可以用来描述函数图像在该点的切线斜率。

通过学习实变函数的导数，我了解了导数的定义和计算方法，如极限定义、求导法则、高阶导数等。

在实际应用中，导数可以用来求函数的极值、判断函数的增减性以及绘制函数的图像。