离散时间系统及响应

班 级 学号 姓 名 同组人 实验日期 室温 大气压 成 绩实验题目： 实验一 离散时间信号与系统响应 一、实验目的1.观察离散系统的频率响应和单位脉冲响应并学会其应用。

2.掌握用MATLAB 实现线性卷积的方法及差分方程的求解方法。

3.了解数字信号采样率转换过程中的频谱特征。

4.通过观察采样信号的混叠现象，进一步理解奈奎斯特采样频率的意义。

二、实验仪器计算机一台 MATLAB7.0软件三、实验原理在数字信号处理中，离散时间信号通常用序列{x(n)}表示。

离散时间系统在数学上定义为将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的唯一性变换或运算，亦即将一个序列变换成另一个序列的系统。

记为y(n)=T[x(n)],通常将上式表示成图()()[]x n y n T −−−→∙−−−→所示的框图。

算子T[∙]表示变换，对T[∙]加上种种约束条件，就可以定义出各类离散时间系统。

1.频率响应：在工程上进行时域分析和轨迹分析用频率响应法，它是分析和设计系统的一中有效经典的方法。

线性时不变系统输入输出关系y(n)=x(n)*h(n)。

H(ejw)是频率响应，离散时间系统的线性卷积，由理论学习我们可知，对于线性时不变离散系统，任意的输入信号()()()...(1)(1)(0)()(1)(1)...k x n x k n k x n n x n x n δδδδ∞=-∞=-=+-+++-+∑x （n ）可以用δ（n ）及其位移的线性组合来表示，即，当输入δ（n ）时，系统的输出y(n)=h(n)。

2.卷积：y=conv(h,x),计算向量h 和x 的卷积，结果放在y 中。

由系统的线性移不变性质可以得到系统对x(n)的响应y(n)为()()()k y n x k h n k ∞=-∞=-∑，称为离散系统的线性卷积，简记为y(n)=x(n)*h(n),也就是说，通过系统的冲激响应，可以将输入信号与系统的冲激响应进行卷积运算，可求得系统的响应。

数字信号处理课程实验报告实验一 离散时间信号和系统响应一. 实验目的1. 熟悉连续信号经理想采样前后的频谱变化关系，加深对时域采样定理的理解2. 掌握时域离散系统的时域特性3. 利用卷积方法观察分析系统的时域特性4. 掌握序列傅里叶变换的计算机实现方法，利用序列的傅里叶变换对离散信号及系统响应进行频域分析二、实验原理1. 采样是连续信号数字化处理的第一个关键环节。

对采样过程的研究不仅可以了解采样前后信号时域和频域特性的变化以及信号信息不丢失的条件，而且可以加深对离散傅里叶变换、Z 变换和序列傅里叶变换之间关系式的理解。

对连续信号()a x t 以T 为采样间隔进行时域等间隔理想采样，形成采样信号： 式中()p t 为周期冲激脉冲，()a x t 为()a x t 的理想采样。

()a x t 的傅里叶变换为()a X j Ω：上式表明将连续信号()a x t 采样后其频谱将变为周期的，周期为Ωs=2π/T 。

也即采样信号的频谱()a X j Ω是原连续信号xa(t)的频谱Xa(jΩ)在频率轴上以Ωs 为周期，周期延拓而成的。

因此，若对连续信号()a x t 进行采样，要保证采样频率fs ≥2fm ，fm 为信号的最高频率，才可能由采样信号无失真地恢复出原模拟信号ˆ()()()a a xt x t p t =1()()*()21()n a a a s X j X j P j X j jn T π∞=-∞Ω=ΩΩ=Ω-Ω∑()()n P t t nT δ∞=-∞=-∑计算机实现时，利用计算机计算上式并不方便，因此我们利用采样序列的傅里叶变换来实现，即而()()j j n n X e x n e ωω∞-=-∞=∑为采样序列的傅里叶变换2. 时域中，描述系统特性的方法是差分方程和单位脉冲响应，频域中可用系统函数描述系统特性。

已知输入信号，可以由差分方程、单位脉冲响应或系统函数求出系统对于该输入信号的响应。

差分方程的Z 域解序言描述离散时间系统的数学模型为差分方程。

求解差分方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。

求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法：• 时域方法——第七章中介绍，烦琐 • z 变换方法• 差分方程经z 变换→代数方程； • 可以将时域卷积→频域（z 域）乘积； • 部分分式分解后将求解过程变为查表；• 求解过程自动包含了初始状态（相当于0-的条件）。

一．应用z 变换求解差分方程步骤一．步骤(1)对差分方程进行单边z 变换（移位性质 ）；(2)由z 变换方程求出响应Y (z ) ； (3) 求Y (z ) 的反变换，得到y (n ) 。

例8-7-1(原教材例7-10(2))解：方程两端取z 变换()0.9(1)0.05()(1)1,y n y n u n y --=-=已知系统的差分方程表达式为若边界条件求系统的完全响应。

()()()10.910.051zY z z Y z y z -⎡⎤-+-=⎣⎦-例8-7-2 已知系统框图列出系统的差分方程。

求系统的响应 y (n )。

解：（1） 列差分方程，从加法器入手（2）（3）差分方程两端取z 变换，利用右移位性质()()()()20.910.0510.90.9y z z Y z z z z -=+---()1210.9Y z A z A zz z z =+--()1210.9Y z A z A z zz z =+--120.5 0.45A A ==()0.50.4510.9Y z z z z z z =+--()()()0.50.450.9 0n y n n =+⨯≥()()()()⎩⎨⎧==<≥-=010,0002y y n n n x n ()()()()()13122x n x n y n y n y n +-----=()()()()()12213 -+=-+-+n x n x n y n y n y 所以()()151,224y y -=--=()()()()1,2,1,0z y y y y --用变换求解需要用由方程迭代出()()()()()()12131212Y z z Y z y z Y z z y y ---⎡⎤⎡⎤++-++-+-⎣⎦⎣⎦a.由激励引起的零状态响应即零状态响应为b.由储能引起的零输入响应即零输入响应为c.整理（1）式得全响应注意()()()1 01221=-+++=-x z z z z z ()[]2123121zs ++=++--z z zz z Y ()()2zs 22z Y z z =+()()()()()n u n n y z Y n21zs zs-+=↔2n ≥-（对都成立）()[]()()()221312231121zi ------=++---y y y z z z z Y ()()()()1223121zi +++-=++--=z zz z z z z z z Y ()()()()1223zi zi ≥-+--=↔n n y z Y nn()()()()22112221212+++++=++=z B z B z A z z z z Y ()()()()222122d d !121221-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⋅-=z z z z z B ()()2222212 +-++-++=z z z z z Y 所以()()2222212+-+-+=z zz z z z z Y ()()()()()0 22212≥-+---=n n n y n n n 122,2A B ==-()()()2212zY z z z =++2(),2()n azna u n a z a ↔=--验证 由方程解y (n )表达式可以得出y (0)=0, y (1)=0，和已知条件一致。

离散时间系统的响应求解与系统稳定性分析响应求解是“信号与线性系统”课程的核心知识，据此，描述了离散时间系统的定义，对离散时间系统的响应求解提出了两种分析方法，即时域法和变换域法，对两种方法的具体求解响应过程做出了详细的说明，并给出例题分析。

最后，总结了系统的稳定性的判定方法，针对离散系统和连续系统都给出了几种分析方法。

标签：离散；系统响应；时域法；变换域法；稳定性分析1 离散时间系统当系统的各个物理量随时间变化的规律不能用连续函数表示，而只是在离散的瞬间给出瞬时值，这种系统称为离散时间系统。

离散时间系统不同于连续时间系统，连续时间系统通常用微分方程描述，而离散时间系统用差分方程：2 离散时间系统的响应求解2.1 时域法分析3 穩定性分析如果系统在有限的激励下有有限的响应，则该系统为稳定性系统。

对于连续时间系统和离散时间系统，判定其是否是稳定系统有着不同的方法。

3.1 离散时间系统稳定性分析对于离散时间系统，其稳定性判定比较简单，一般有两个方法，一是看其单位函数响应H（k）是否满足绝对可和，若是，则系统稳定；第二个方法比较常用，令D（s）=0求其特征根，若特征根的绝对值都小于1，则系统稳定。

3.2 连续时间系统稳定性分析通过这些表达式，可以计算出所有的An，从而判断系统的稳定。

4 结论经过上述分析与总结，对于离散时间系统的定义和响应求解都有了清晰的思路，求解响应的时域法和变换域法都比较简单，两者的适用情景没有明确的区别，一般两种方法都适用，无非是哪种方法更加简单而已。

如果只是单单求解零状态响应或零输入响应时，使用时域法会更加简便。

如果要求解全响应，则使用变换域分析更简单。

另外，系统的稳定性分析，离散系统和连续系统有着不同的分析方法，对应的方法也都有两三种。

参考文献[1]张永瑞.信号与系统（精编版）[M].西安：西安电子科技大学出版社，2014.[2]徐亚宁，苏启常.信号与系统（第三版）[M].北京：电子工业出版社，2011.[3]张晔.信号与系统[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2010.。

7-6 离散系统的动态性能分析线性定常离散系统的动态性能分析方法：时域法 ，根轨迹法， 频域法本节主要内容（1）在时域中求取离散系统的时间响应，指出采样器和保持器对系统动态性能的影响。

（2）在z平面上离散系统闭环极点与其动态性能之间的关系。

（3）离散系统的根轨迹分析（讲义没有，增加的）一.离散系统的时间响应及性能指标● 分析系统动态性能时，通常假定外作用输入为单位阶跃函数)(1t 。

● 如果可以求出离散系统的闭环脉冲传递函数由)(/)()(z R z C z =φ， 输入为单位阶跃函数)1/()(-=z z z R ，则系统输出的z 变换函数)(1)(z z z z C φ-= ● 通过z 反变换，可以求出输出信号的脉冲序列)(*t c。

● )(*t c 代表线性定常离散系统在单位阶跃输入作用下的响应过程。

● 离散系统时域指标的定义与连续系统相同。

● 根据单位阶跃响应)(*t c 可以方便地分析离散系统的动态性能。

例7-28 设有零阶保持器的离散系统如图7-41所示，其中)(1)(t t r =，s T 1=，1=K 。

试分析该系统的动态性能。

（注Word 与PPT 中编号不同） 解 先求开环脉冲传递函数)(z G 。

因为)1()1(1)(2s e s s s G --+= 对上式z 变换，可得 ])1(1[)1()(21+-=-s s Z z Z G查z 变换表，求出 )368.0)(1(264.0368.0)(--+=z z z Z G 再求闭环脉冲传递函数632.0264.0368.0)(1)()(2+-+=+=z z z z G z G z φ 单位阶跃输入时：321632.0632.121264.0368.0)()()(----+-+==zz z z z R z z C φ 展开得：+++++++++=---------887654321868.0868.0802.0895.0147.14.14.1368.0)(z z z z zz z z z z C 由上式求得系统在单位阶跃作用下的输出序列)(nT c 为：单位阶跃响应曲线：根据,...)2,1,0)((=n nT c 数值，绘图所示。