统计学例题-方差分析、相关分析、卡方检验和交互分析

卡方检验例题与解析卡方检验是一种常见的假设检验方法。

它可以用于判断两个分类变量之间是否存在关联。

在实际应用中，卡方检验常常被用于分析调查数据、医学研究以及质量控制等领域。

下面我们就以一个卡方检验的例题来详细讲解该方法的步骤和解析。

例题：某医院调查100名糖尿病患者的主要症状和服药情况，结果如下表所示。

其中0表示未服药，1表示已服药，结果表格中的数值为各种情况下的人数。

| | 服药情况 | 未服药 | 已服药 || :- | :- | :- | :- || 症状 | 无 | 30 | 20 || | 微弱 | 10 | 10 || | 轻度 | 25 | 15 || | 中度 | 20 | 5 || | 重度 | 5 | 0 |问题：主要症状是否与服药情况有关？步骤1：构造假设首先，我们要明确研究的问题是主要症状是否与服药情况有关。

因此，我们要构造如下的假设：- 零假设 H0：主要症状和服药情况之间不存在关联，即服药情况对主要症状没有影响。

- 备择假设 H1：主要症状和服药情况之间存在关联，即服药情况对主要症状有影响。

步骤2：计算期望频数为了进行卡方检验，我们需要先计算期望频数。

期望频数是指在假设零假设 H0 成立的情况下，我们预计每个分类变量的频数应该是多少。

具体地，我们可以用以下公式来计算期望频数：期望频数 = (行总计数× 列总计数) ÷ 样本总计数在本例中，样本总计数为 100，行总计数为 5，列总计数为 2。

因此，我们可以使用如下的表格来计算期望频数：| | 服药情况 | 未服药 | 已服药 | 行总计数 | 期望频数(未服药) | 期望频数(已服药) || :- | :- | :- | :- | :- | :- | :- || 症状 | 无 | 30 | 20 | 50 | 25 | 25 || | 微弱 | 10 | 10 | 20 | 10 | 10 || | 轻度 | 25 | 15 | 40 | 20 | 20 || | 中度 | 20 | 5 | 25 | 12.5 | 12.5 || | 重度 | 5 | 0 | 5 | 2.5 | 2.5 || 列总计数 | 70 | 50 | 100 |步骤3：计算卡方值和自由度计算卡方值的公式如下：X² = ∑ [(观察频数 - 期望频数)² / 期望频数]其中，观察频数是指实际样本中各分类变量的频数，期望频数是指在假设 H0 成立的情况下，我们预计各分类变量的频数。

方差分析和卡方检验是统计学中两种常用的分析方法，它们在不同的问题领域中有着广泛的应用。

方差分析主要用于比较多个总体均值之间的差异，而卡方检验则用于分析分类数据的关联性和独立性。

方差分析是一种用于比较三个或更多个样本均值的统计方法。

在方差分析中，我们假设总体均值相等，然后通过计算组内变异和组间变异来判断这个假设是否成立。

方差分析的基本思想是将总体方差分解成组内方差和组间方差，进而判断组间方差占总变差的比例是否显著大于组内方差的比例。

通过方差分析，我们可以分析因素对总体均值的影响，并进行多组之间的比较。

方差分析的常见类型有单因素方差分析和多因素方差分析，分别适用于不同的研究设计。

卡方检验是一种常用的非参数检验方法，用于分析分类数据的关联性和独立性。

分类数据是指由频数或频率构成的数据，例如某个班级学生的分数等级、不同城市居民的职业分布等。

卡方检验的基本原理是比较观察频数与期望频数之间的差异，如果差异显著，则我们可以拒绝原假设，认为两个变量之间存在关联性。

卡方检验的应用领域非常广泛，例如医学研究中的药物疗效评价、市场调查中的产品偏好分析等。

尽管方差分析和卡方检验有着不同的应用对象和基本原理，但它们都是统计学中重要的推断方法，具有一定的共性。

首先，方差分析和卡方检验都是基于统计假设检验的思想，通过计算特定统计量来判断样本数据是否支持或反对某个假设。

其次，方差分析和卡方检验都需要明确的研究问题和研究设计，并进行数据收集和处理。

最后，方差分析和卡方检验都可以通过计算显著性水平来进行结果的判断和推断。

在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的统计方法进行数据分析。

如果我们希望比较多个总体均值的差异，可以选择方差分析方法；如果我们关心分类数据的关联性和独立性，可以选择卡方检验方法。

当然，这只是方差分析和卡方检验的基本应用，实际研究中可能还需要考虑其他因素和方法。

总之，方差分析和卡方检验是统计学中两种常用的分析方法，它们在不同的问题领域中都有着广泛的应用。

方差分析与卡方检验练习题本练习题涵盖了方差分析和卡方检验的基概念、方法和应用，包含不同难度等级的题目，旨在帮助学习者巩固知识，提高分析问题和解决问题的能力。

第部分：方差分析 (ANOVA)一、单因素方差分析1. 基本概念题 (500字)简述方差分析的基本思想和假设条件。

* 解释方差分析中组间方差、组内方差和总方差的概念，以及它们之间的关系。

* 说明F检的原理以及在方差分析中的应用。

* 解释方差分析结果中的P值及其意义。

* 比较方差分析与t检验的异同点。

2. 计算题 (000字)某研究者想比较三种不同肥料对小麦产量的影响。

他随机选择了三个地块，每个地块种植了相同数量的小麦，分别施用三种不同的肥料A、B、C。

收获后，测得三个地块的小麦产量如下（单位：k/亩）：肥料A：15, 18, 16, 17, 19 肥料B：20, 22, 21, 19, 23 肥料C：12, 14, 13, 5, 16请根据以上数据，进行单因素方差分析，判断三种肥料对小麦产量是否有显著性差异。

(需写出详细的计算步骤，包括自由度、平方和、均方、F值、P值等，并进行结果解释。

). 应用题 (1000字)一家公司想比较四种不同广告策略对产品销量的影响。

他们随机选择了四个地区，每个地区采用一种不同的广告策略。

三个月后，测得四个地区的销售额如下（单位：万元）：策略A：10, 110, 95, 105 策略B：120, 130, 115, 125 策略C：80, 90, 75,85 策略D：150, 60, 145, 155(1)请根据以上数据，进行单因素方差分析，判断四种广告策略对产品销量是否有显著性差异。

(需写出详细的计算步骤，并进行结果解释。

)(2)如果发现有显著差异，请进行事后检验（例如Tukey检验或LSD检验），找出哪些广告策略之间存在显著性差异。

(需说明所用检验方法的原理和步骤)二、双因素方差分析 (1500字)1. 基本概念题 (50字)•解释双因素方差分析的概念和应用场景。

方差分析习题及答案方差分析习题及答案方差分析是一种统计方法，用于比较两个或多个样本均值之间的差异。

它可以帮助我们确定是否存在显著的差异，并进一步了解这些差异的来源。

在本文中，我们将介绍一些方差分析的习题，并提供相应的答案。

习题一：某研究人员想要比较三种不同的肥料对植物生长的影响。

他随机选择了30个植物，并将它们分成三组，每组10个。

每组植物分别使用不同的肥料进行施肥。

研究人员在10天后测量了每组植物的平均生长高度（单位：厘米）。

下面是测量结果：组1：12, 14, 15, 16, 17, 13, 14, 15, 16, 18组2：10, 11, 13, 12, 14, 15, 13, 12, 11, 10组3：9, 10, 8, 11, 12, 13, 10, 9, 11, 12请使用方差分析方法，判断这三种肥料是否对植物生长有显著影响。

答案：首先，我们需要计算每组的平均值和总体平均值。

组1的平均值为15.0，组2的平均值为11.1，组3的平均值为10.5。

总体平均值为12.2。

接下来，我们计算组内平方和（SS_within），组间平方和（SS_between）和总体平方和（SS_total）。

根据公式，我们有：SS_within = Σ(xi - x̄i)^2SS_between = Σ(ni * (x̄i - x̄)^2)SS_total = Σ(xi - x̄)^2其中，xi代表第i组的观测值，x̄i代表第i组的平均值，x̄代表总体平均值，ni代表第i组的样本量。

计算得到：SS_within = 23.0SS_between = 48.6SS_total = 71.6接下来，我们计算均方（mean square）：MS_within = SS_within / (n - k)MS_between = SS_between / (k - 1)其中，n代表总样本量，k代表组数。

计算得到：MS_within = 2.56MS_between = 24.3最后，我们计算F值：F = MS_between / MS_within计算得到：F = 9.49根据F分布表，自由度为2和27时，F临界值为3.35。

第八章卡方检验与交互分析交互分析是社会调查研究中常用方法之一，用于研究两个定类变量的关系。

交互分析中用于检验两个变量是否相关的方法叫做卡方检验，也叫独立性检验。

卡方检验是建立在观测频次和期望频次之差基础上的一种检验。

一、卡方检验的原理例：一项调查得到890个样本的与收入和所处地区的数据，希望分析收入和地区的关系。

表1要检验的H0：收入和地区之间没有相关性，即每一地区的收入分布模式应该是相同的，收入的高低不应随着地区的不同而有所差异。

也就是说，如果东部城市的四个收入类别各自比重和中西北部城市的四个收入类别各自比重一致，那么，收入和地区之间是相互独立的。

如果这个890人的样本能够反应总体的独立性特征，那么就应该能够观测到两个地区具有相同的收入分布模式，称为期望模式，样本的期望观测频次如下：表2接下来，计算观测频次f0与期望频次f e之间的偏差(f0-f e)，如果这些偏差比较小，则有利于证明原假设即总体的独立性。

反之，则可能推翻原假设。

但偏差之和为0，所以对偏差进行平方。

但是，为了说明每一个偏差的相对重要性，每一偏差平方和都需要和本组中的期望频次相比较，计算相对(f0-f e)2/f e。

然后，将所有组的贡献相加，从而得到度量全部偏差的一个量，叫做卡方χ2=∑∑(fo−fe)2，fe服从自由度为(c-1)(r-1)的卡方分布。

如用c 和r 分别表示表中的列数和行数，自由度为(c-1)(r-1)。

f 0 f e(f 0-f e )(f 0-f e )2/f e计算出卡方值后，可根据已知的显著性水平和自由度查卡方分布表，找出临界值，与之作对比。

反过来，也可以计算出概值，再根据我们所希望的显著性水平做比较。

该例题中计算出χ2为31.6，查表发现对应自由度为3的那一行的所有临界值都小于χ2，因此，概值小于0.001。

由于概值如此小，检验水平可以是1%甚至更小，所以一定可以拒绝原假设。

也就是说，在总人口中，收入与地区有显著的相关性，二者并不独立。

统计学中的卡方检验与方差分析统计学是一门重要的学科，它帮助我们理解和解释数据背后的规律和趋势。

在统计学中，卡方检验和方差分析是两个常用的分析方法，它们在研究中起着重要的作用。

一、卡方检验卡方检验是一种用于检验两个或多个分类变量之间是否存在关联的方法。

它基于观察值和期望值之间的差异来判断变量之间的关系。

在卡方检验中，我们首先需要建立一个假设。

通常情况下，我们会提出一个原假设（H0）和一个备择假设（H1）。

原假设是指两个变量之间不存在关联，备择假设则是指两个变量之间存在关联。

然后，我们会进行观察值和期望值的计算。

观察值是指实际观察到的数据，而期望值是基于原假设计算得出的数据。

接下来，我们会计算卡方统计量。

卡方统计量是观察值和期望值之间差异的度量，它的计算公式是：卡方统计量= Σ((观察值-期望值)^2 / 期望值)最后，我们会根据卡方统计量的大小和自由度来判断是否拒绝原假设。

自由度是指用于计算卡方统计量的独立变量的个数。

卡方检验可以应用于很多领域，比如医学研究、市场调查等。

它可以帮助我们确定两个变量之间是否存在关联，从而对研究结果进行解释和推断。

二、方差分析方差分析是一种用于比较两个或多个样本均值之间差异的方法。

它通过分析样本内部的差异和样本之间的差异来判断均值是否存在显著性差异。

在方差分析中，我们首先需要建立一个假设。

与卡方检验类似，我们会提出一个原假设（H0）和一个备择假设（H1）。

原假设是指样本之间的均值没有显著差异，备择假设则是指样本之间的均值存在显著差异。

然后，我们会计算组内方差和组间方差。

组内方差是指样本内部的差异，而组间方差是指样本之间的差异。

接下来，我们会计算F统计量。

F统计量是组间方差与组内方差的比值，它的计算公式是：F统计量 = 组间方差 / 组内方差最后，我们会根据F统计量的大小和自由度来判断是否拒绝原假设。

方差分析可以应用于很多领域，比如教育研究、工程实验等。

它可以帮助我们比较不同组别的均值差异，从而对实验结果进行评估和解释。

卡方检验四格表例题卡方检验是用于比较两个或多个样本之间是否存在显著差异的统计方法。

在四格表中，卡方检验可用于比较两个样本的性别、年龄、地区等因素之间的关系是否存在显著差异。

下面是一个例子: 假设我们要比较甲乙两个社区的死亡率是否存在显著差异。

我们随机从甲乙两个社区中各抽取了 100 名居民进行调查，发现甲社区的死亡率为千分之 5.4，乙社区的死亡率为千分之 8.3。

我们需要使用卡方检验来比较这两个社区的死亡率是否存在显著差异。

首先，我们需要画出一个四格表，列出甲乙两个社区的性别、年龄、地区等信息，如下所示:| 甲社区 | 乙社区 || ------ | ------ || 男 | 女 || 5.4 | 8.3 || 男 | 男 || 5.4 | 5.4 || 女 | 女 || 8.3 | 8.3 |接下来，我们可以计算出两个社区的死亡率之间的差异，可以使用卡方检验来进行假设检验。

卡方检验的基本思想是，根据样本数据计算出期望频数和实际频数之间的差异，然后通过卡方值来表达这种差异的程度。

在四格表中，卡方值可以表示为:卡方值 = (列交叉项的期望频数 - 列交叉项的实际频数) / 列交叉项的期望频数例如，在上面的示例中，甲社区的男性和女性的死亡率期望频数为 5.4 和 8.3，而实际频数为 5.4 和 5.4，因此卡方值 = (5.4 - 5.4) / 5.4 = 0。

最后，我们需要根据卡方值和原假设提出一个统计结论。

在本例中，原假设为两个社区的死亡率不存在显著差异，即 H0: μ1 = μ2，其中μ1 和μ2 分别表示甲社区和乙社区的死亡率。

我们要求出 P 值，P 值是指我们在零假设成立的情况下，观察到的卡方值至少大于该值的概率。

在本例中，卡方值为 0,P 值 = 0.999，这意味着我们几乎完全可以拒绝零假设，认为甲乙两个社区的死亡率存在显著差异。

需要注意的是，卡方检验只是一种统计方法，不能保证结论绝对正确。

练习：
1、有人研究自尊对个人表现的反馈类型之间的关系.让15名被试参加一项知识测验,每组各5名被试.在积极反馈组,不管被试在测验中的实际表现如何,都告诉他们水平很高.对消极反馈组的被试,告诉他们表现很差.对控制组被试,不管测验分数如何,都不提供任何反馈信息.最后,让所有被试都参加一个自尊测验,测验总分为10分,得到的分数越高,表示自尊心越强.实验结果如下表,试检验不同反馈类型与自尊之间的关系如何?并做事后检验。

2.某项民意测验，答案有同意、不置可否、不同意3种。

调查了48人，结果同意的24人，不置可否的12人，不同意的12人，问持这3种意见的人数是否有显著不同？。

第一章方差分析例1、1977年,美国的某项调查从三种受过不同教育类型的妇女中各分别抽取了50位全日制工作的妇女样本，她们的年收入(单位：千美元）数据整理后归纳如下:完成的学历年数收入平均值()初中（8年)X1 高中（12年）X2 大学(16年）X37.89.714。

0183524424707解：： =:三组收入均值有显著差异F =,即组间均方/组内均方其中，组间自由度=3-1=2，组内自由度=（50-1)╳3=147由于样本均值=（7。

8+9.7+14。

0）/3=10.5所以组间偏差平方和=50=50*（++）=1009组内偏差平方和==1835+2442+4707=8984所以,F = ≈ 8.2548419 >(2,147)=3。

07拒绝原假设；认为不同学历的妇女收入存在差异.例2、月收入数据：男:2500，2550,2050，2300,1900女:2200,2300，1900，2000，1800如果用Y表示收入,哑变量X表示性别（X=1为女性），计算Y对X的回归方程，并在5％的水平下检验收入是否与性别无关（先求回归系数的置信区间）.解：令Y=+X+根据最小二乘法，可知=(1)VAR(）=（2)=(3）1计算如下：：收入与性别无关收入与性别不完全无关Y 2500255020502300190022002300190020001800 X 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 240 290 —210 40 -360 160 260 —140 —40 —240 =2150=0。

5根据公式1,得=—220；，即Y=—220X+根据公式2、3，得VAR()=≈156。

3549577n=10。

,n—2=8;当df=8时，=2.306的0.05置信区间求解方法如下:-2.036〈=〈=2。

306，得140。

57769。

由于原假设=0落入了这个置信区间,所以接受原假设，认为系数不显著，收入与性别无关。

第五章方差分析思考与练习参考答案1.试述方差分析的基本思想。

解答：方差分析的基本思想是，将观察值之间的总变差分解为由所研究的因素引起的变差和由随机误差项引起的变差，通过对这两类变差的比较做出接受或拒绝原假设的判断的。

2.方差分析有哪些基本假设条件？如何检验这些假设条件? 解答：（1）在各个总体中因变量都服从正态分布；（2 ）在各个总体中因变量的方差都相等；（3）各个观测值之间是相互独立的。

正态性检验：各组数据的直方图/峰度系数、偏度系数/Q-Q图，K-S检验*等方差齐性检验：计算各组数据的标准差，如果最大值与最小值的比例小于2:1，则可认为是同方差的。

最大值和最小值的比例等于 1.83<2。

也可以采用Levene检验方法。

独立性检验：检查样本数据获取的方式，确定样本之间无相关性。

3.对三个不同专业的学生的统计学成绩进行比较研究，每个专业随机抽取6人。

根据数据得到的方差分析表的部分内容如表5-21。

请完成该表格。

如果显著性水平a=0.05，能认为三个专业的考试成绩有显著差异吗？表5-21不同专业考试成绩的方差分析表解答：表不同专业考试成绩的方差分析表查f分布可知，p（F< 0.9067964）= 0.7952296，在显著性水平a=0.05时，不能拒绝原假设，认为三个专业的成绩无显著差异。

根据以下背景资料和数据回答4-7题。

为测试A、B、C、D、E五种节食方案，一位营养学家选择了50名志愿者随机分成五组，每组采用一种方案测量两个月后每个人的降低的体重，得到的实验数据如表5-22。

表5-22不同节食方案的降低的体重（公斤）序号 万案A 万案B 万案C 万案D 万案E1 6.5 2.9 8 5.1 11.52 11.6 5.5 11.9 2.5 13.23 7.7 4.3 8.5 1.5 114 8.7 3.6 8.9 2.2 13.15 8.4 3.9 9.1 1.4 13.86 4.1 6.7 11.4 3.1 12.8 7 8.7 4.5 12.6 5.4 12 8 6.6 1.7 12.4 1.9 11.5 9 7.1 6.59.4 4.1 14.6 108.9 5.4 10.6 3.6 13.74.不同节食方案的实验效果的描述统计资料如表5-23。