阅读材料笛卡尔与解析几何

笛卡尔与解析几何解析几何，又叫坐标几何，或笛卡尔几何，是运用代数方法研究几何问题，或用几何方法研究代数问题的一门数学。

通常，使用二维或三维的直角坐标系，建立点与实数对之间的一一对应关系，以及曲线与方程之间的一一对应关系。

1637年，笛卡尔在其著作《方法论》的三篇附录之一“几何学”中提出了解析几何的基本方法。

这种方法对几何学来说是革命性的。

首先，使用代数技巧来解决几何问题，这意味着数与形统一起来了，代数方法与几何方法第一次真正结合了。

其次，数学家们有了一种选择，可以将几何学视为代数学的一个分支了。

而这个革命性的新进路据说是由一只苍蝇引发的灵感，这则轶事在齐斯·德福林的《数学的语言》一书中有记载。

众所周知，笛卡尔身体虚弱，容易生病，非常喜欢躺在床上。

1619那个寒冷的冬季，对数学兴趣正浓的笛卡尔，躺在床上翻来覆去地思考问题时，一只在天花板上爬行的苍蝇引起了他的注意。

注视着这只苍蝇爬来爬去，笛卡尔领悟到它在任一时刻的位置，都可以用它那一时刻与两面垂直墙面的距离来确定。

就这样笛卡尔找到了用代数方程描述苍蝇的爬行路径的方法，同时也找到了一种表现直线和曲线的新方法。

这种代数方法，虽然完全不同于古希腊人所提出的几何论证，但却不会将几何研究变成代数课题，也就是说结果依然是几何，只不过是利用代数技巧来研究形状的模式而已。

我们知道，科学主要是通过替代来发展，而数学主要通过沉淀而成长，但解析几何的建立虽然也是站在巨人的肩膀上，不过这些巨人距离笛卡尔的时代有些远，正如博耶教授所说：“乃是由一次试图回归过去的努力所激发的。

”要记得，《几何学》只是笛卡尔的《方法论》中的一篇附录。

而笛卡尔最重要的影响，除了建立了解析几何，就是对方法论的反思了。

在17世纪那个新旧知识交替的时代，为了在一片混乱中求得确定性，笛卡尔开启了“普遍怀疑”的模式，并把目光转向了他所擅长的数学。

笛卡尔想要建立一种普遍数学，把代数、几何、算术统一起来。

笛卡尔解析几何是一种数学方法，用来研究几何形体的性质。

它的名字来源于法国数学家笛卡尔，他在17世纪初发明了这种方法。

笛卡尔解析几何使用一组特殊的数学工具，包括复数、矩阵和微积分，来研究几何形体的性质。

这种方法的优点在于，它提供了一种精确、严谨的方法来表示几何形体，并且可以使用数学方法来解决几何问题。

笛卡尔解析几何在数学界和工程界都很流行，并且在许多领域，如机器学习、计算机图形学、智能导航等都有应用。

它也为其他数学领域，如动力学、物理学等提供了基础。

3.3.3 点到直线的距离（施教奉化中学裘嘉静）点评武岭中学杨亢尔“一千个人眼中就有一千个哈姆雷特”这句话出自莎士比亚的原文"There are a thousand Hamlets in a thousand people's eyes"。

这句话的意思是：在文学欣赏中，有不同生活经历的读者，对同一部作品的人、物有不同的评价。

COP 项目研究提升思维品质构建高效课堂视角1 关于教材使用教材是连接课程方案与教学实践的枢纽，是教师教和学生学的载体。

数学教材为学生的学习活动提供了主题、基本线索和知识结构，是实现数学课程目标、实施数学教学的重要资源。

对于教材的编写，《普通高中数学课程标准(2017年版》提出了三点建议：第一，教材编写要有利于教师的教；第二，教材编写要有利于学生的学；第三，教材编写要处理好科学形态与教育形态之间的关系、处理好过程与结果的关系、处理好直接经验与间接经验的关系。

这三点建议既为教材的编写提供了思路，也为教材的创造性使用指明了方向。

所谓创造性使用教材，亦称“教材的二次开发”，主要指教师基于课程标准，结合教学实际，充分考虑学生的现实水平和实际需求，挑选他们认为最合适的材料，对这些材料进行一定的处理与加工（包括适度增删、调整等），更灵活、有效地使用教材，使教材内容和教学活动最贴近学生的实际。

教材二次开发的最终目的是将学术形态的数学转化为学习形态的数学、将教材结构转化为教学结构，实现教学活动的最优化。

我们先来看本节教材编排：首先，教材开门见山，通过“思考？”栏目提出问题：紧接着，教材给出了一种思路（“教材思路”）：之后，教材指出，上述方法虽然思路十分自然，但具体运算较繁，因而采用下面的方法（“教材做法”）：最后，教材给出两个简单应用的例题。

对于上述教材内容，裘嘉静老师的做法是：通过创设问题情境、揭示课题，让学生模仿特殊点到特殊直线的推导过程，分组合作，通过讨论选择一种方法，得到点到直线的距离公式并进行简单的应用。

华东师大2011版八年级上册第十三章全等三角形阅读材料由尺规作图产生的三大难题湖北省宜昌市英杰学校袁璐大家好！我今天说课的内容是华东师大2011版八年级上册，第十三章全等三角形，阅读材料——由尺规作图产生的三大难题。

下面，我从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教学模式、教具准备、教学过程和板书设计八个方面来说这节课。

一、教材分析尺规作图以严密的逻辑推理，成为数学教学中独具一格的教学内容。

它能够培养学生更加强烈的图形意识,能够更加深入的培养初中生的画图能力,能够给于学生更加强大的空间感。

所以，尺规作图知识虽然篇幅简短，但不可忽略其作用。

在学习尺规作图后，对尺规作图不能问题进行一个简单的探究，对数学历史进行一个简要的介绍，让学生体会到尺规作图的简单美和精确美，从而感受数学独有的文化魅力。

二、学情分析经过本章前一课时的学习，学生已经了解了尺规作图的基本要求，掌握了尺规作图的5种基本作图，能有选择地使用作图工具，完成需要的图形。

学生对尺规作图的接受度较高，对尺规作图的便利性有了较深的体会。

但对尺规作图的研究历史缺乏，对尺规作图还存在片面的认识。

因此，要通过本节课的学习，力争达到以下教学目标。

三、教学目标1、通过阅读材料，了解尺规作图三大难题的具体内容，了解数学发展的历史，渗透数学文化教育，激发学生对数学的热爱；2、在已有的尺规作图经验下，引导学生独立思考、合作交流，通过三等分任意角问题，引导学生发现并初步探究尺规作图不能问题；3、传播数学文化，提高学生的数学史素养，激起学生对数学知识探索的欲望，学习数学家们的永不放弃、不停探索的科学精神。

根据以上教学目标和学生已有的认知基础，我确定了本节课的教学重点，教学难点，及如何突出重点，突破难点。

四、教学重难点：教学重点：尺规作图的基本要求，认识由尺规作图产生的三大难题。

教学难点：提高学生的数学史素养，激起学生对数学知识探索的欲望，学习数学家们的探索精神。

笛卡儿和它的《几何学》让我们先从笛卡儿生活的时代特征谈起吧！那时，科学家关于自然规律的研究开始向宗教教条挑战，教会本身也有清教徒与天主教徒的激烈争论．笛卡儿怀疑他在学校里所得到的一切知识，反对经院哲学，主张科学的革新．这正是这个时代精神的体现．笛卡儿和培根一样，很重视方法论和认识论的问题．他认为：传统的经院哲学的方法不能给人以真正的知识．培根用经验的归纳法来代替经院哲学的方法，而笛卡儿则用理性的演绎法来代替它．笛卡儿认为：理性演绎的标本就是传统的几何学．这个方法就是：从几个一望而知的、清楚明白的、“不证自明”的公理出发，一步一步地推演出其他许多命题，以构成一个知识的系统．——我们应该认识到：笛卡儿的这种思想方法，不仅影响其哲学观点，而且影响其数学的生成和发展．接着，再来谈谈他的数学．笛卡儿《方法论》的第三个附录《几何学》有100页，它又分为三卷．《几何学》第一卷中，阐明用代数方法解几何题的原则，但内容是超过古代希腊人的．对希腊人来说，一个数相当于某个线段的长度．两个数的乘积相当于某个矩形的面积，三个数的乘积相当于某个长方体的体积，如此而已．笛卡儿则不把x2看做面积，而看做1∶x＝x∶x2的比例第四项，对于已知的x，则x2是可作出的．因此，选定一个单位长度后，一个数的任意次乘幂，或几个数的乘积，都可以用尺规作图方法作出来．例如，假定某几何问题，归结到寻求一个未知长度x，经过代数运算，知道x满足方程x2＝ax＋b2．其中a与b是已知的长度．由代数学知道：这种问题求的是一个确定的唯一的长度，可以称为确定的作图问题，实际上它不是解析几何．笛卡儿进一步考虑的是“不确定的”问题，就是说，它的结果有许多长度均可以作为答案．这些长度的端点构成一条线．他说：“也要求发现并且指出这条包括所有端点的曲线．”笛卡儿用任意长度x表示未知的长度y，最后得到一个不定方程．他说，对于每一个(x，y)，满足一个确定的方程，因而其曲线是可以画出来的．笛卡儿在一根轴上记下x的长度，再在与这轴有一个固定角的线上标出y(图2)．于是画出所有的点，它的x，y是满足已知方程的．例如，我们有关系式y＝x2，可以按比例求第四项的方法，对于一个固定的x i，求得它的对应的y i．这些(x i，y i)就是关系式y＝x2所表示的曲线上的点．笛卡儿对于从运动学所得到的代数关系式的曲线特别感兴趣．《几何学》中有这样的例题(如图3)：已知五条线L1、L2、L3、L4、L5．设p i表示点P到L i(i＝1，2，…5)的距离．取L5、L4为x轴、y轴，使p1p2p3＝ap4p5，求P点的轨迹(这轨迹是个三次曲线，牛顿称之为笛卡儿的抛物线，有时又称为三叉戟．)一般地，在平面上有m＋n条直线，求所有这样的点P的轨迹：从点P作直线与m＋n条直线分别交于已知的角(这m＋n个交角不一定相等)，设P到它与直线L i的交点的长度是p i，a为常数，使p1p2…p m＝ap m＋1p m＋2…p m＋n这个问题是古代希腊的帕普斯问题(公元三世纪)的推广．用上述记号，帕普斯问题可以表示为p1p2＝ap3p4此轨迹是一条圆锥曲线．笛卡儿说，帕普斯问题的推广，导致高于二次的曲线．据说，笛卡儿就是由于想解决这个一般性问题，而促使他发明解析几何的．他的方法可归结为：(1)选定一条直线作为基线(如图3中的L5)．(2)在基线上取一点为原点(如L5上的O)．(3)x的值是基线上的从原点量起的长度(如OA)．(4)y值是从基线出发的线段的长度(如线段AP)．图3中的L4与L5垂直，就构成直角坐标系．如果L4与L5的交角不是直角，那么，就构成斜角坐标系．笛卡儿有了曲线方程的思想以后，进一步断言：(1)坐标系的选择与曲线的次数无关．(2)坐标系的选择应使所得的曲线方程愈简单愈好．(3)同一个坐标系，写出两个不同的曲线方程；联立地解这两个方程，可以求出这两条曲线的交点．在《几何学》第二卷中，除谈论一种曲线分类法外，还讲了作曲线的切线的有趣方法(如图4)．设给定曲线的方程为f(x，y)＝0，而(x1，y1)为我们想要在其上作切线的P点的坐标．设坐标为(x2，O)的Q点为x轴上一点，则以Q为圆心过P点的圆的方程为(x－x2)2＋y2＝(x1－x2)2＋y2如果我们将此方程与f(x，y)＝0联立消去y，就得到关于x的一个变量的方程，由此方程可推出该圆与给定曲线交点的横坐标．然后，我们确定x2，使得这个只包含x一个变量的方程有一对等于x1的根．曲线在P 点上的法线与x轴的交点即Q点，因为这时该圆切给定曲线于P点．一旦作出此圆，我们可以容易地作所求切线．作为这方法的一个例子，考虑抛物线y2＝4x在点(1，2)上的切线．在这里，我们有(x－x2)2＋y2＝(1－x2)2＋4消去y，给出 (x－x2)2＋4x＝(1－x2)2＋4或 x2＋2x(2－x2)＋(2x2－5)＝0此二次方程有两个相等的根的条件是其判别式为零．即(2－x2)2－(2x2－5)＝0或x2＝3现在能作以(3，0)为圆心、过曲线上的(1，2)点的圆了，并且最后可以作出所求的切线．这个作切线的方法被笛卡儿应用于许多不同的曲线，包括以他的名字命名的四次卵形线．在这里，有一个一般程序，它确切地告诉我们解这类问题该做些什么．但是必须承认：在比较复杂的情况下，要进行的代数运算是极其麻烦的．《几何学》的第三卷涉及高于二次的方程的解法．它用到现在所谓的笛卡儿符号规则，即确定一个多项式具有正根和负根的个数的最大限额的规则．在《几何学》中，笛卡儿确立了用字母表中前几个字母代表已知数，用后几个字母代表未知数的习惯用法．他还引进了我们现在的指数系统(例如，a3，a4，等等)，比起韦达表示幂的方法有很大改进．他还认识到：字母可以表示任何量，正的或负的．在这里，我们还见到待定系数法的最初使用．——通观三卷《几何学》，就能看到：笛卡儿的思路确实是步步深入的．从尺规作图到确定的作图问题，再到曲线方程和曲线与坐标的关系，最后，脱开坐标探讨解析方程．——虽然从原书中的32个图形中找不到一个明确地摆出了坐标轴的图；但是，《几何学》给我们的启示又岂止是解析几何．笛卡儿把自己比做建筑师，即：立下计划，指明什么是应该做的，而把具体的操作留给木工和瓦工．笛卡儿1596年出生于法国图朗．他八岁进拉弗莱什的耶稣会学校．在那里，他养成了早上睡懒觉的习惯．后来，笛卡儿说，他的大部分成果出自早上休息的那段适宜沉思的时间．1612年．笛卡儿离开了学校，不久就到了巴黎．他曾在那里和梅森、迈多治一起专门研究数学．从1617年起，他在奥朗日的莫里斯亲王的军队里当了几年兵．在离开军队之后，他花了四五年工夫外出旅行，到过德国、丹麦、荷兰、瑞士和意大利．在巴黎住了两年，在那里他继续进行数学研究和哲学探索，还一度从事光学仪器的制造．然后，在荷兰势力最大的时候，他迁到了荷兰，在那里生活的20年中，他从事哲学、数学和自然科学的研究．1649年，他勉强地接受克利斯蒂娜女王的邀请到了瑞典．几个月后．在1650年初，他因患肺炎死于斯德哥尔摩(参看图5)．。

笛卡尔与解析几何的创立一、认识解析几何之父（一）生平简介笛卡尔是法国伟大的数学家、哲学家和物理学家。

1596年5月31日他出生在法国都兰的贵族家庭，自幼丧母，体弱多病，8岁入拉弗来什公学读书。

教师考虑到他的特殊情况，允许他每天早上晚起多睡。

但笛卡尔利用这段时间进行晨读，并养成善于思考的习惯。

传说笛卡尔是躺在床上观察虫子在天花板上爬行的位置，激发了灵感，使他产生了坐标的概念。

笛卡尔博览群书，曾自述：“别人学的，我都学了。

我并不以此为满足，那些认为最奇怪，最不寻常的有关各种科学的书，凡是我能搞到的，我都要把它们读完。

”他有好的思考习惯，每当读书时，总是把书拿来先弄清作者的主要意图，随之读完开头的部分就细细品味，并力求得出下面的结论。

1612年他入普瓦界大学攻读法学，四年后获博士学位，后去巴黎当律师。

1618年参军，部队到荷兰南部的小城布勒达时，一次巧遇街头小报上在征解数学难题，笛卡尔成功的应解，这使他对数学发生兴趣，并坚定他终身研究数学的决心。

1619年11月部队到达多瑙河上的一个小镇时，他不断思考——怎样把代数应用到几何中去。

他曾说：“我想去寻求一种新的，包含两门学科的好处，而又没有它们缺点的方法。

”他在致力研究数学中一门完全崭新的领域，这个领域后来被牛顿称之为解析几何。

1621年他退伍去荷兰、瑞士、意大利旅行。

1625年返回巴黎.1628年定居荷兰进行研究与写作，这时他研究哥白尼学说，1634年写成《论世界》一书。

1637年出版了《新光学》、《气象学》和《几何学》。

1644年笛卡尔出版了《哲学原理》，1646年出版了《论心灵的各种感情》等重要著作。

同年冬，笛卡尔应瑞典女王克利斯提娜的邀请移居斯德哥尔摩为女王讲授哲学，后因感染肺炎，于1650年2月11日去世，享年54岁。

（二）主要贡献法国数学家、物理学家、哲学家笛卡尔，生前因怀疑教会信条受到迫害，长年在国外避难。

他的著作在他生前或被禁止出版或被烧毁，他死后多年还被列入“禁书目录”。

数学的伟大转折——笛卡尔创立解析几何数学的伟大转折——笛卡尔创立解析几何17世纪欧洲科学技术的发展向人们提出了许许多多用常量数学难以解决的问题，天体运动和物理运动也提出了用运动的观点来研究圆锥曲线和其他曲线的问题，为此人们寻求解决变量问题的新方法，从而使笛卡尔创立了解析几何学。

解析几何的诞生是数学的伟大转折，正如恩格斯所说：“数学中的转折点是笛卡尔的变数。

有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分立刻成为必要的了，而它们也就立刻产生。

”早期的坐标概念在没有把坐标的概念引进数学之前，人们对坐标思想的认识和运用早就有过。

我国最早用“井”字表示井周围的土地就是取自坐标的形态。

公元120年前后，班固和班昭所著的《前汉书》中给出了八个编年表，在其中的一个表里，时间为一个轴，品德是一个轴，实质上就是一个坐标系。

古希腊的托勒密曾讨论过球面上的经纬度，我国13、14世纪解多元高次方程组使用的“四元术”，这些都是坐标概念的早期示例。

以后出现的棋盘、算盘、街道门牌号等，实际上也是一种坐标系统。

16世纪末，法国数学家韦达在代数中首先系统地使用字母，他所研究的代数问题，大多数是为解决几何问题而提出来的。

之后韦达的学生格塔拉底对几何问题的代数解法作了系统地研究，于1607年和1630年分别发表了《阿波罗尼斯著作的现代阐释》、《数学的分析与综合》的著作。

1631年，英国数学家哈里奥特把韦达和格塔拉底的思想加以引伸和系统化。

这些都为几何学和代数学的结合，形和数的结合，铺平了道路。

费尔马的坐标法1629年法国数学家费尔马在对前人几何研究的反思中，产生了一个想法，认为古人对于轨迹的研究感到困难，其原因只有一个，就是由于他们对轨迹没有给予充分而又一般的表示。

他认为，要将轨迹作一般的表示，只能借助于代数。

他了解到韦达用代数解决几何问题的作法后，决定把阿波罗尼斯关于圆锥曲线的结果，直接翻译成代数的形式。

笛卡尔与解析几何的创立作者：马英典来源：《科技资讯》 2012年第36期马英典（中央司法警官学院河北保定 071000）摘要：笛卡尔引入了坐标的观念，将几何坐标公式化，为解析几何的创立做出了奠基性的贡献。

解析几何的创立使代数、几何实现了完美的统一，不仅促进了几何的研究和代数的独立发展，而且推进了科学的进步。

关键词：笛卡尔解析几何坐标中图分类号：G71 文献标识码：A 文章编号：1672-3791(2012)12(c)-0165-01勒内·笛卡尔（Rene Descartes，1596年至1650年）法国哲学家、科学家和数学家。

笛卡尔是西方现代哲学思想的奠基者，其哲学思想深深影响了之后的几代欧洲人。

但是，可能许多人不太了解他对现代数学做出的重要贡献，笛卡尔因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何的创立者。

笛卡尔，1596年3月31日生于法国土伦的拉哈耶。

父亲是一位律师，笛卡尔20岁毕业于普瓦界大学，去巴黎当了律师。

在巴黎，他认识了米道奇(Mydarge)和梅森(Merrsnne)，花了一年时间与他们一起研究数学。

笛卡尔为了追赶当时的时髦(有志之士不是献身宗教，就是献身军事)而去从军，遍历欧洲。

1617年服役期间，在荷兰布莱达遇到一张数学难题招贴，由于看不懂上面的佛来米语，一位中年人热心地给他作了翻译，第二天他把解答交给了那位中年人，引起了中年人的极大惊讶，原来这个中年人是荷兰著名的数学教授别克曼(Isaac Beeckeman,1588年至1673年，荷兰)，这次偶然的机会使笛卡尔对自己的数学才华加深了信心，从此在别克曼教授的指导下学习数学，1628年他移居荷兰，在较为安静自由的学术环境中生活了二十年，写成了许多世界名著。

其主要著作有《思想的指导法则》《世界体系》等。

1637年，笛卡尔出版了他的《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》一书，书后三个附录之一的《几何学》，阐述了坐标几何即今解析几何的内容，它体现出一种“数”“形”结合的新思想，引起了数学的变革，成为变量数学的起点。

笛卡尔解析几何
笛卡尔解析几何，又称坐标几何，是由法国哲学家和数学家笛卡尔于17世纪提出的一种几何学方法。

它将几何问题转化为代数问题，通过引入坐标系和代数方程的方法来描述和解决几何问题。

在笛卡尔解析几何中，平面上的点可以用有序数对(x, y)表示，其中x表示点在x轴上的坐标，y表示点在y轴上的坐标。

类似地，空间中的点可以用有序数对(x, y, z)来表示。

通过引入坐标系，可以将几何问题转化为代数问题。

例如，直线可以用代数方程表示，两点之间的距离可以用坐标表示等等。

这种方法不仅可以解决平面几何问题，还可以推广到三维空间和更高维空间的几何问题。

笛卡尔解析几何的提出，为数学和物理学的发展做出了巨大贡献。

它使得几何问题可以通过代数方法来解决，为后来的微积分和向量分析等数学分支的发展奠定了基础。

同时，它也对现代科学的研究方法产生了深远影响。