四年级奥数第5讲巧解算式谜 第6讲趣味数阵图

QS（4）第六讲数阵图数阵图根据图形的形状可分为辐射型、闭合型、复合型三类；通常情况下，数阵图中给出的数比较多，如果采用逐一尝试去解决，则会使得题目异常复杂，所以我们就需要利用一定的方法来解决。

解决数阵图的一般步骤：第一步：确定重叠部分；第二步：求出所有数的总和；第三步：求出规定区域的总和；第四步：确定重叠部分的数；第五步：试填。

1、将1～7这七个数填入下图中，使每条直线上的三个数的和为10。

2、将1~10这10个自然数填入下图中的○内，使图中每条线段上的数之和为23。

3、将1、2、3、5、6、7、8、9这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于29。

4、把4～9填入下图中,使每条线上三个数的和相等,都是18。

5、将1、3、5、7、9、11、13、15、17这九个数分别填入图中的九个圆圈中，使得每个大圆上的三个数的和都相等。

6、将2、4、6、8、10、12、14这七个数填入下图中，使每个三角形顶点的三个数的和为28。

7、将2-11这10个自然数填入下图中的○内，使图中每个正方形顶点上的数之和为27。

8、把1～6这六个数填入图中的○里，使每个大圆上的四个数之和为16。

9、将1～9这九个数字填入下图，使每条边上的和为17。

10、把1～16这16个数,填入图中的16个○内,使五个正方形的四个顶点上○内数的和相等。

11、将1～6这八个数填在○里，使每个小三角形三个顶点数字之和都等于9。

QS（4）第六讲回家作业1、将4～10七个数字，填入下图各○中，使每条线段上的数字和为23。

2、将1～7这七个数填入下图的圈内，使每一个正方形的四个数的和相等。

3、将1-6这六个数字填入下图中的圆圈里使每个正方形上的四个数的和都是12。

4、将1-9这9个数分别填入下图中，使4个三角形的顶点上的数的和相等。

5、把1～6这6个数填入下图的○内，使每条直线上3个数的和为9。

6、将2～9这8个数字，分别填入下图中，使每条边上的三个数的和都是15。

有趣的数阵图一教学要求：1、使学生掌握解答有趣的数阵图的方法;2、培养学生的逻辑思维能力和推理能力,以及联想、试探归纳等思维能力;教学过程：一、导入新课语：如果把一些数按照一定的规律填在特定的图形里,那么这种图形,我们就称它为数阵图;它是一种趣味性很强的游戏,它的形式很多,大概分为三种：封闭型数阵、辐射型数阵、复合型数阵;二、探索新课：1、教学例1：将2、4、6、8、10填入“十字形数阵图中,使横行、竖列三个数的和相等,填在中间的公关位置,;再分别填入;2,所以我们先假设,顶点,再推出,其它的点3、教学例3：把1～9这九个数,填入到方格中,解题思路：先观察数,1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6而5在中间其余的成对来填;方法有多种;4、教学例4：把1、2、3、5、6、7、填入右表,使每行三个数和相等,竖列二数也相等;解题思路：有2行3列,而1＋2＋3＋5＋6＋7＝24,所以每行为12,这样分成1、5、6；2、3、7两组;每列和是24÷3＝8,所以：1、7；2、6；3、5;答案多种;1、填上合适的数,2、用1～5填空;使每一边和为3、填上数,使横、竖、斜和为4、使横、竖、斜和相等;教学要求：12、培养学生活跃的思维能力教学过程：一、导入新课：同学们都会正确计算有余数的除法,其实有余数除法还蕴含着丰富的数学知识,所以我们运用它还可以解决不少的数学难题;今天,我们将继续学习余数的妙用二;二、探索新知：1、教学例4：体育课排队,老师让同学们按1、2、3、4、5循环报数,最后一个人报2,这一排有人;A、26B、27C、28D、32吉林省“金翅杯”小学数学竞赛试题解题思路：答案必须是5的倍数还要加2,所以我们经过计算发现可以选BD;2、教学例5:……共一百个数字;问：这100个数字中,8出现几次100个数字的和是多少解题思路：从数字的排列看,我们发现每6个数重复一次,所以周期数是6,总数是：100,我们就列算式：100÷6＝16 (4)再看8排在第几位它排在第4位,所以8出现的次数是6＋1＝7次第二个问：我们可以先算出每一个周期的数字和是多少1＋4＋2＋8＋5＋7＝27所以：27×6＝162再加上最后一次出现的数字：1＋4＋2＋8＝15得：162＋15＝1773、教学例6：1、2、3、4、5、6、7七盏灯各有一个开关,开始第2、4、6盏灯亮着,一个小朋友从第1到第7,再从第1到第7,拉了2000次,问这时那些灯亮着湖北省黄冈市第三届小学生智力竞赛试题解题思路：我们可以先找出每盏灯拉了多少次;列式：2000÷7＝285……5那么：灯号：1234567次数：85285原来：关开关开关开关现在：关开关开关关开双数时,不变；单数时,就变;三、全课小结：我们,要合理利用有余数除法的余数,还有它的变化公式;余数＝被除数－商×除数商＝被除数－余数÷除数除数＝被除数－余数÷商被除数＝商×除数＋余数四、课堂练习：1、老师把50张卡片依次发给甲、乙、丙、丁,第45章发给谁2、方方和明明用同一个数做除法,方方用12去除,明明用15去除,方方除得的商是32还余6,明明的计算结果你知道了吗安徽省马鞍山市三年级数学竞赛试题3、写1～100这100个数中,数字“6”写了多少次．．．．奇思巧解1．、．要把．．7．棵小树种成．．．．．6．行．,．每行有．．．3．棵．,．应当怎么样种．．．．．． 2．、．有．9．颗外形完全相同的珠子．．．．．．．．．．,．其中．．8．颗是珍珠．．．．,．另一颗是假珠．．．．．．,．且假．．珠比珍珠重．．．．．,．问用天平称．．．．．,．至少称几次可把假珠找出来．．．．．．．．．．．．3．、．有．100．．．个零件．．．,．分装成．．．10．．袋．,．每袋装．．．10．．个．,．其中．．9．袋里面装的都是．．．．．．．50．．克．,．另．1．袋里面的零件每个都是．．．．．．．．．．49．．千克．．,．这．10．．袋混在一起．．．．．,．你能用．．．秤称一次．．．．,,．．就把装．．．49．．千克重的那一袋零件找出来吗．．．．．．．．．．．．．4．、．老两口带着儿子．．．．．．．,．女儿．．,．和一条狗外外出旅游．．．．．．．．．,．途中过一条河．．．．．．,．渡．口有一条空船．．．．．．,．最多能载．．．．50．．千克．．,．而老两口各重．．．．．．50．．千克．．,．儿子和．．．女儿各重．．．．25．．千克．．,．狗重．．10．．千克．．,．请问他们怎么样才能渡过河去．．．．．．．．．．．．． 5．、．在一个街心花园．．．．．．．,．把．10．．棵树载成五行．．．．．．,．每行．．4．棵．,．应当怎么样栽种．．．．．．． 6．、．有．12．．只形状大小完全一样的零件．．．．．．．．．．．．,,．．其中有一只重量较轻的不是．．．．．．．．．．．．合格品．．．,．你能用天平只称三次就打出这只不合格的产品吗．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 7．、．有．A ．、．B ．、．C ．三个金属球．．．．．,A ．．最重．．,C ．．最轻．．,A>B>C,．．．．．．．另外有一个球．．．．．．D,．．试用无法码的天平称两次．．．．．．．．．．．,．确定．．D ．依照重量排顺序排在每几位．．．．．．．．．．．． 8．、．有一个人带着一只狼．．．．．．．．．,．一只羊．．．,．和一筐菜过河去．．．．．．．,．当这个人在时．．．．．．,．狼不吃羊．．．．,．羊不敢吃菜．．．．．,．渡过河时只有一条船．．．．．．．．．,．能承载人及一件东．．．．．．．．西．,．问怎么样渡能使人、狼、羊、菜．．．．．．．．．．．．．．,．安全渡过河去．．．．．．9．、．有一只旧天平．．．．．．,．只剩下二个砝码．．．．．．．,．一只是．．．5．克．,．另一个是．．．．30．．克．,．如．果使用这台天平．．．．．．．,．把．300．．．克的药粉分成三份．．．．．．．．,．一份是．．．50．．克．,．一份是．．．100．．．克．,．一份是．．．150．．．克．,．最少得称几次．．．．．．10．．、．21．．只桶装饲料．．．．．,．有．7．桶装的满满的．．．．．．,．有．7．桶每桶只装了一半．．．．．．．．,．有．7．桶空的．．．,．如果不允许把饲料倒来倒去．．．．．．．．．．．．,．要求连桶带饲料平均分给三位．．．．．．．．．．．．．饲养员．．．,．问你怎么办．．．．．鸡兔同笼问题1.鸡兔同笼,上有三十五头、下有九十四足,问鸡兔各有几只2.鸡兔同笼,共有头100个,足316只,那么鸡有几只,兔有几只3.30枚硬币,由2分和5分组成,共值9角9分,2分硬币有和5分的各有几个4.小明花了6角4分钱买8分和4分的邮票共10张,其中8分和4分的邮票各有多少张5.有钢笔和铅笔共27盒,共计300支.钢笔每盒10支,铅笔每盒12支,则钢笔和铅笔各有多少盒6.松鼠妈妈采松籽,晴天每天可以采20个,有雨的天每天只能采12个,它连着8天共采松籽112个,这几天当中有几天在下雨7.某中学利用,暑假进行军训活动,晴天每日行35里,雨天每日行22里,13天共行403里,这期间雨天有几天8.44名学生去划船,一共乘坐10只船,其中大船可以坐6人,小船坐4人,问大船和小船各有几只9.学校开展植树活动,辅导员带领15名同学去种56棵树苗,男同学每人种4棵,女同学每人种3棵,这样刚好把树苗种完,这15名同学中有男女同学各几名10.三一班的同学在献爱心活动中共有34名同学捐款,共捐了89元,这些同学有捐2元的,有捐5元,求捐2元和捐5元的同学各有多少名1.有28位小朋友排成一行.从左边开始数第10位是爱华,从右边开始数他是第几位2.纽约时间是香港时间减13小时.你与一位在纽约的朋友约定,纽约时间4月1日晚上8时与他通电话,那么在香港你应几月几日几时给他打电话3.名工人5小时加工零件90件,要在10小时完成540个零件的加工,需要工人多少人4.大于100的整数中,被13除后商与余数相同的数有多少个5.四个房间,每个房间里不少于2人,任何三个房间里的人数不少8人,这四个房间至少有多少人6.在1998的约数或因数中有两位数,其中最大的是哪个数7.英文测验,小明前三次平均分是88分,要想平均分达到90分,他第四次最少要得几分8.一个月最多有5个星期日,在一年的12个月中,有5个星期日的月份最多有几个月9.将0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中,选出六个填在下面方框中,使算式成立,一个方框填一个数字,各个方框数字不相同.□+□□=□□□问算式中的三位数最大是什么数10.有一个号码是六位数,前四位是2857,后两位记不清,即2857□□但是我记得,它能被11和13整除,请你算出后两位数.11.某学校有学生518人,如果男生增加4％,女生减少3人,总人数就增加8人,那么原来男生比女生多几人12.陈敏要购物三次,为了使每次都不产生10元以下的找赎,5元、2元、1元的硬币最少总共要带几个硬币只有5元、2元、1元三种.13.右图是三个半圆构成的图形,其中小圆直径为8,中圆直径为12,14.幼儿园的老师把一些画片分给A,B,C三个班,每人都能分到6张.如果只分给B班,每人能得15张,如果只分给C班,每人能得14张,问只分给A班,每人能得几张15.两人做一种游戏：轮流报数,报出的数只能是1,2,3,4,5,6,7,8.把两人报出的数连加起来,谁报数后,加起来的数是123,谁就获胜,让你先报,就一定会赢,那么你第一个数报几16.一本小说的页码,在印刷时必须用1989个铅字,在这一本书的页码中数字1出现多少次17.把23个数：3,33,333,…,33…323个3相加,则所得的和的末四位数是多少18.将1、1、2、2、3、3、4、4这八个数字排成一个八位数,使得两个1之间有一个数字,两个2之间有二个数字,两个3之间有三个数字,两个4之间有四个数字,那么这样的八位数中最小的是19.从1,2,3,…,2004,2005这些自然数中,最多可以取几个数,才能使其中每两个数的差不等于420.有一个电话号码是六位数,其中左边三个数字相同,右边三个数字是三个连续的自然数,六个数字之和恰好等于末尾的两位数,这个电话号码是多少21.若a为自然数,证明10│a2005－a1949．22.给出12个彼此不同的两位数,证明：由它们中一定可以选出两个数,它们的差是两个相同数字组成的两位数．23.求被3除余2,被5除余3,被7除余5的最小三位数．24.设2n＋1是质数,证明：12,22,…,n2被2n＋1除所得的余数各不相同．25.试证不小于5的质数的平方与1的差必能被24整除．26.有甲乙两种糖水,甲含糖270克,含水30克,乙含糖400克,含水100克,现要得到浓度是%的糖水100克,问每种应取多少克27.一个容器里装有10升纯酒精,倒出1升后,用水加满,再倒出1升,用水加满,再倒出1升,用水加满,这时容器内的酒精溶液的浓度是28.有若干千克4%的盐水,蒸发了一些水分后变成了10%的盐水,在加300克4%的盐水,混合后变成%的盐水,问最初的盐水是多少千克29.已知盐水若干克,第一次加入一定量的水后,盐水浓度变为3％,第二次加入同样多的水后,盐水浓度变为2％;求第三次加入同样多的水后盐水的浓度;30.有A、B、C三种盐水,按A与B的数量之比为2：1混合,得到浓度为13％的盐水；按A与B的数量之比为1：2混合,得到浓度为14％的盐水；按A、B、C的数量之比为1：1：3混合,得到浓度为％的盐水,问盐水C的浓度是多少答案1.从右边开始数,他是第19位.2.4 月2日上午9时.名工人.4.有5个.13×7+7=98＜100,商数从8开始.但余数小于13,最大是12,有13×8＋8＝112,13×9＋9＝126,13×10＋10=140,13×11＋11=154,13×12＋12＝168,共5个数.5.至少有11人.人数最多的房间至少有3人,其余三个房间至少有8人,总共至少有11人.6.最大的两位约数是74.1998＝2×3×3×3×377.第四次最少要得96分.88＋90-88×4=96分8.最多有5个月有5个星期日.1月1日是星期日,全年就有53个星期日.每月至少有4个星期日,53-4×12=5,多出5个星期日,在5个月中. .和的前两位是1和0,两位数的十位是9.因此加数的个位最大是7和8.10.后两位数是14.285700÷11×13=1997余129余数129再加14就能被143整除.11.男生比女生多32人.男生4％是3＋8=11人,男生有11÷4％=275人,女生有518-275=243人,275-243=32人.12.最少5元、2元、1元的硬币共11个.购物3次,必须备有3个5元、3个2元、3个1元.为了应付3次都是4元,至少还要2个硬币,例如2元和1元各一个,因此,总数11个是不能少的.准备5元3个,2元5个,1元3个,或者5元3个,2元4个,1元4个就能三次支付1元至9元任何钱数.班每人能得35张.设三班总人数是1,则B班人数是6/15,C班人数是6/14,因此A班人数是：15.第一个数报6.对方至少要报数1,至多报数8,不论对方报什么数,你总是可以做到两人所报数之和为9.123÷9＝13……6.你第一次报数6.以后,对方报数后,你再报数,使一轮中两人报的数和为9,你就能在13轮后达到123. 17.甲26又2/3天,乙40天又1/321.甲、乙两地相距540千米,原来火车的速度为每小时90千米;25.一班48人,二班42人29.最少5个,最多7个。

四年级奥数：数阵图（一）我们在三年级已经学习过辐射型和封闭型数阵,其解题的关键在于“重叠数”.本讲和下一讲,我们学习三阶方阵,就是将九个数按照某种要求排列成三行三列的数阵图,解题的关键仍然是“重叠数”.我们先从一道典型的例题开始.例1把1～9这九个数字填写在右图正方形的九个方格中,使得每一横行、每一竖列和每条对角线上的三个数之和都相等.分析与解：我们首先要弄清每行、每列以及每条对角线上三个数字之和是几.我们可以这样去想：因为1～9这九个数字之和是45,正好是三个横行数字之和,所以每一横行的数字之和等于45÷3=15.也就是说,每一横行、每一竖列以及每条对角线上三个数字之和都等于15.在1～9这九个数字中,三个不同的数相加等于15的有：9＋5＋1,9＋4＋2,8＋6＋1,8＋5＋2,8＋4＋3,7＋6＋2,7＋5＋3,6＋5＋4.因此每行、每列以及每条对角线上的三个数字可以是其中任一个算式中的三个数字.因为中心方格中的数既在一个横行中,又在一个竖列中,还在两对角线上,所以它应同时出现在上述的四个算式中,只有5符合条件,因此应将5填在中心方格中.同理,四个角上的数既在一个横行中,又在一个竖列中,还在一条对角线上,所以它应同时出现在上述的三个算式中,符合条件的有2,4,6,8,因此应将2,4,6,8填在四个角的方格中,同时应保证对角线两数的和相等.经试验,有下面八种不同填法：上面的八个图,都可以通过一个图的旋转和翻转得到.例如,第一行的后三个图,依次由第一个图顺时针旋转90°,180°,270°得到.又如,第二行的各图,都是由它上面的图沿竖轴翻转得到.所以,这八个图本质上是相同的,可以看作是一种填法.例1中的数阵图,我国古代称为“纵横图”、“九宫算”.一般地,将九个不同的数填在3×3（三行三列）的方格中,如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等,那么这样的图称为三阶幻方.在例1中如果只要求任一横行及任一竖列的三数之和相等,而不要求两条对角线上的三数之和也相等,则解不唯一,这是因为在例1的解中,任意交换两行或两列的位置,不影响每行或每列的三数之和,故仍然是解.例2用11,13,15,17,19,21,23,25,27编制成一个三阶幻方.分析与解：给出的九个数形成一个等差数列,对照例1,1～9也是一个等差数列.不难发现：中间方格里的数字应填等差数列的第五个数,即应填19；填在四个角上方格中的数是位于偶数项的数,即13,17,21,25,而且对角两数的和相等,即13＋25=17＋21；余下各数就不难填写了（见右图）.与幻方相反的问题是反幻方.将九个数填入3×3（三行三列）的九个方格中,使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同,这样填好后的图称为三阶反幻方.例3将前9个自然数填入右图的9个方格中,使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同,并且相邻的两个自然数在图中的位置也相邻.分析与解：题目要求相邻的两个自然数在图中的位置也相邻,所以这9个自然数按照大小顺序在图中应能连成一条不相交的折线.经试验有下图所示的三种情况：按照从1到9和从9到1逐一对这三种情况进行验算,只有第二种情况得到下图的两个解.因为第二种情况是螺旋形,故本题的解称为螺旋反幻方.例4将九个数填入左下图的九个空格中,使得任一行、任一列以及两条证明：因为每行的三数之和都等于k,共有三行,所以九个数之和等于3k.如右上图所示,经过中心方格的有四条虚线,每条虚线上的三个数之和都等于k,四条虚线上的所有数之和等于4k,其中只有中心方格中的数是“重叠数”,九个数各被计算一次后,它又被重复计算了三次.所以有九数之和+中心方格中的数×3=4k,3k+中心方格中的数×3=4k,注意：例4中对九个数及定数k都没有特殊要求.这个结论对求解3×3方格中的数阵问题很实用.在3×3的方格中,如果要求填入九个互不相同的质数,要求任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都相等,那么这样填好的图称为三阶质数幻方.例5求任一列、任一行以及两条对角线上的三个数之和都等于267的三阶质数幻方.分析与解：由例4知中间方格中的数为267÷3＝89.由于在两条对角线、中间一行及中间一列这四组数中,每组的三个数中都有89,所以每组的其余两数之和必为267-89＝178.两个质数之和为178的共有六组：5+173＝11＋167＝29＋149＝41＋137＝47+131＝71+107.经试验,可得右图所示的三阶质数幻方.练习161.将九个连续自然数填入3×3的方格内,使得每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都等于66.2.将1,3,5,7,9,11,13,15,17填入3×3的方格内,使其构成一个幻方.3.用2,4,6,12,14,16,22,24,26九个偶数编制一个幻方.4.在下列各图空着的方格内填上合适的数,使每行、每列及每条对角线上的三数之和都等于27.5.将右图中的数重新排列,使得每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等.6.将九个质数填入3×3的方格内,使得每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都等于21.7.求九个数之和为657的三阶质数幻方.第17讲数阵图（二）例1在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数）,使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21.解：由上一讲例4知中间方格中的数为7.再设右下角的数为x,然后根据任一行、任一列及每条对角线上的三个数之和都等于21,如下图所示填上各数（含x）.因为九个数都不大于12,由16－x≤12知4≤x,由x+2≤12知x≤10,即4≤x≤10.考虑到5,7,9已填好,所以x只能取4,6,8或10.经验证,当x＝6或8时,九个数中均有两个数相同,不合题意；当x＝4或10时可得两个解（见下图）.这两个解实际上一样,只是方向不同而已.例2将九个数填入右图的空格中,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等,则一定有证明：设中心数为d.由上讲例4知每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3d.由此计算出第一行中间的数为2d——b,右下角的数为2d-c（见下图）.根据第一行和第三列都可以求出上图中★处的数由此得到3d-c-（2d-b）＝3d-a-（2d-c）,3d-c-2d＋b＝3d-a-2d＋c,d——c＋b＝d——a＋c,2c＝a＋b,a＋bc＝2.值得注意的是,这个结论对于a和b并没有什么限制,可以是自然数,也可以是分数、小数；可以相同,也可以不同.例3在下页右上图的空格中填入七个自然数,使得每一行、每一列及每一条对角线上的三个数之和都等于90.解：由上一讲例4知,中心数为90÷3＝30；由本讲例2知,右上角的数为（23＋57）÷2＝40（见左下图）.其它数依次可填（见右下图）.例4在右图的每个空格中填入个自然数,使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等.解：由例2知,右下角的数为（8＋10）÷2=9；由上一讲例4知,中心数为（5＋9）÷2=7（见左下图）,且每行、每列、每条对角线上的三数之和都等于7×3=21.由此可得右下图的填法. 例5在下页上图的每个空格中填一个自然数,使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等.解：由例2知,右下角的数为（6＋12）÷2=9（左下图）.因为左下图中两条虚线上的三个数之和相等,所以,“中心数”＝（10＋6）-9＝7.其它依次可填（见右下图）.由例3～5看出,在解答3×3方阵的问题时,上讲的例4与本讲的例2很有用处.练习171.在左下图的每个空格中填入一个数字,使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等.2.在右上图的每个空格中填入一个数字,使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都等于24.3.下列各图中的九个小方格内各有一个数字,而且每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等,求x.4.在左下图的空格中填入七个自然数,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于48.5.在右上图的每个空格中填入一个自然数,使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等.6.在右图的每个空格中填入不大于12且互不相同的九个自然数,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21.第18讲数阵图（三）数阵问题是多种多样的,解题方法也是多种多样的,这就需要我们根据题目条件灵活解题.例1把20以内的质数分别填入下图的一个○中,使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等.分析与解：由上图看出,三组数都包括左、右两端的数,所以每组数的中间两数之和必然相等.20以内共有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数,两两之和相等的有5＋19＝7＋17＝11＋13,于是得到下图的填法.例2在右图的每个方格中填入一个数字,使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是1,2,3,4.分析与解：如左下图所示,受列及对角线的限制,a处只能填1,从而b处填3；进而推知c处填4,d处填3,e处填4,……右下图为填好后的数阵图.例3将1～8填入左下图的○内,要求按照自然数顺序相邻的两个数不能填入有直线连接的相邻的两个○内.分析与解：因为中间的两个○各自只与一个○不相邻,而2～7中的任何一个数都与两个数相邻,所以这两个○内只能填1和8.2只能填在与1不相邻的○内,7只能填在与8不相邻的○内.其余数的填法见右上图.例4在右图的六个○内各填入一个质数（可取相同的质数）,使它们的和等于20,而且每个三角形（共5个）顶点上的数字之和都相等.分析与解：因为大三角形的三个顶点与中间倒三角形的三个顶点正好是图中的六个○,又因为每个三角形顶点上的数字之和相等,所以每个三角形顶点上的数字之和为20÷2＝10.10分为三个质数之和只能是2＋3＋5,由此得到右图的填法.例5在右图所示立方体的八个顶点上标出1～9中的八个,使得每个面上四个顶点所标数字之和都等于k,并且k不能被未标出的数整除.分析与解：设未被标出的数为a,则被标出的八个数之和为1＋2＋…＋9-a＝45-a.由于每个顶点都属于三个面,所以六个面的所有顶点数字之和为6k＝3×（45-a）,2k＝45-a.2k是偶数,45－a也应是偶数,所以a必为奇数.若a＝1,则k＝22；若a＝3,则k＝21；若a＝5,则k＝20；若a＝7,则k＝19；若a＝9,则k＝18.因为k不能被a整除,所以只有a＝7,k＝19符合条件.由于每个面上四个顶点上的数字之和等于19,所以与9在一个面上的另外三个顶点数之和应等于10.在1,2,3,4,5,6,8中,三个数之和等于10的有三组：10＝1＋3＋6＝1＋4＋5＝2＋3＋5,将这三组数填入9所在的三个面上,可得右图的填法.练习181.将1～6这六个数分别填入左下图中的六个○内,使得三条直线上的数字的和都相等.2.将1～8这八个数分别填入右上图中的八个方格内,使上面四格、下面四格、左边四格、右边四格、中间四格及四角四格内四个数相加的和都是18.3.在下页左上图的每个方格中填入一个数字,使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数都是1,2,3,4.4.将1～8填入右上图的八个空格中,使得横、竖、对角任何两个相邻空格中的数都不是相邻的两个自然数.5.20以内共有10个奇数,去掉9和15还剩八个奇数.将这八个奇数填入右图的八个○中（其中3已填好）,使得用箭头连接起来的四个数之和都相等.6.在左下图的七个○内各填入一个质数,使每个小三角形（共6个）的三个顶点数之和都相等,且为尽量小的质数.7.从1～13中选出12个自然数填入右上图的空格中,使每横行四数之和相等,每竖列三数之和也相等.答案练习16练习173.（1）11；（2）9.提示：（1）右下角的数为（3+7）÷2=5,所以x=8×2-5=11.（2）右下角的数为（5+9）÷2=7,中心数为（6+9）-7=8,所以x=8×2-7=9提示：左下角的数为（13+27）÷2=20,中心数为48÷3=16.提示：右下角的数为（20+16）÷2=18,中心数为（8+18）÷2=13.提示：与例1类似.练习181.有下面四个基本解.。

小学奥数之数阵图解题方法1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．模块一、封闭型数阵图【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。

【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，3年级，第6题 【解析】5-1-3-1.数阵图教学目标知识点拨例题精讲【答案】【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式：a+b+c=14（1） c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3）a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h ）-（d+h ）=28，d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8， 又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8.又1要出现在顶点上，d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5. a ，c ，e ，g 可取到1，4，7，8若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，4，7，8中，不行.若c=1，则a=14-（1+2）=11，不行. 若e=1，则c=14-（1+3）=10，不行. 若g=1，则a=8，c=4，e=7. 说明：例题为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶点所应填的数为封闭型数8765432187654321（）（2）h gf ed c ba阵的解题突破口.【答案】【例 3】 在如图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点上的三个数的和是 。

四年级奥数讲义:有趣的数阵图（一）大家都知道了历史悠久的三阶幻方.再推广一些，结合某些几何图形，把一些数字填入图形的某种位置上，并使数字满足一定的约束条件，这类问题，习惯上称为“数阵图”.幻方是特殊的数阵图，幻方发展较快，因为它后来与试验方案设计及一些高深数学分支有关，成为数阵图中最重要课题.本讲主要介绍一般数阵图及解此类题的推理思考方法，由于它既有数字之间运算，又要结合图形，对开发学生综合思考和形象思维很有益.先看例题.例 1 下面图形包括六个加法算式，要在圆圈里填上不同的自然数，使六个算式都成立，那么最右边圆圈中的数最少是几？分析为便于说理，各圆圈内欲填的数依次用字母A、B、C、D、E、F、G、H、I代替（上右图）.经观察，I=A+B+C+D.题目要I尽可能小，最极端的想法，希望A、B、C、D只占用1、2、3、4.但这会产生矛盾.因为1总要和2、3、4中的某两个实施加法，但1＋2给予G、H、E、F 中某值为3与A、B、C、D中已有的3冲突；同样1+3给于G、H、E、F中某值为4又与A、B、C、D中已有的4冲突；所以A、B、C、D不能是1、2、3、4.那么退而求之，不妨先设A=1.如先考虑B，B尽可能小，最好，B=2，从而决定了E=3，C≠3，D≠3.这样一来，C，D只能取4和5.但如C=4导致G=5和D=5冲突，而C=5，D=4，又导致G=A+C=6和H=B+D=2+4=6冲突.在碰了钉子后，回看在A=1设定后，不应随随便便先填B的值.从结构上看，因为B，C 地位对称，不妨先考虑D.D尽可能小，最好设D=2，B、C至少取3、5，若如此，由B+D或C+D产生的5会与B、C中已有的5矛盾.所以，B、C可能取3、6.从而形成了:A=1、D=2、B、C取3、6（B，C地位对称）.这样一来其他字母所代表的值就立即推出，不妨设B=3，C=6，A+B=E=4，C+D=6+2=8=F；A+C=1+6=7=G，B+D=3+2=5=H，恰好满足E+F=4+8=12=I；G+H=7+5=12=I；综上所述:A=1，D=2，B=3，C=6决定了其他值，且决定了I=12.是一个较小的I的值，自然要问I值还可能比12小吗？分析I的值有三种不同的获得方式:I=A+B+C+D=E+F=G+H.3I=A+B+C+D+E+F+G+H，而8个字母最少是代表1、2、…、7、8的情况.3I≥（1+2+…+7+8）=36，I≥12.现已推出了使I=12的一种填法，所以是最佳方案了.例2 如右图，五圆相连，每个位置的数字都是按一定规律填写的，请找出规律，并求出x所代表的数.分析经观察，图中所填数的规律为两个圆相交部分的数等于与它相邻两部分里的数的和的一半.比如:（26+18）÷2=22.（30+26）÷2=28.（24+30）÷2=27.解: x+18=17×2x=16.经检验，16和24相加除以2，也恰好等于20.例3 在下图中的各题中，将从1开始的连续自然数填入各题的圆圈中，要使每边上的数字之和都相等，中心处各有几种填法？（每小题请给出一个解）分析1 图（A）中的中心圆填入的数设为x，x参与3条线的连加，设每条线数字和都为S.由题意:1+2+3+…+7+2x=3S即28+2x=3S或28+2x≡0（mod 3）借用同余工具，是在两个未知数的不定方程中先缩小x应该取值的范围.在mod3情况下，只要试探x≡0，1，2三个值，很轻松地解出:x≡1（mod3），回复到x取值范围为1，2，…，7.有x1=1，x2=4，x3=7，得到:x1=1，S1=10；x2=4，S2=12；x3=7，S3=14；由此看出关键在求S（公共和）及x（参与相加次数最多的圆中值）.此方法对下面解（B）、（C）、（D）.都适用.注意:每条线上的数字之和随着中心数的变化而变化.分析2 我们分析图（B），首先应该考虑中心数，（B）题共10个数，由于中心数比其他数多使用了二次（总共使用三次）.如果中心数用x表示，三条边的数码总和应为:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+2x=55+2x同理，因为是3条边，所以55+2x应是3的倍数55+2x≡0（mod 3），把x≡0、1、2代入试验，得x≡1（mod 3），即x=1、4、7、10.四种解.①当x=1时，55+2x=57，57÷3=19②当x=4时，55+2x=63，63÷3=21③当x=7时，55+2x=69，69÷3=23④当x=10时，55+2x=75，75÷3=25读者可按照上面相似的规律自己去分析一下图中（C）、（D）两题.解:（A）图:中心数可以为1、4、7，有三种填法，请读者补充其他两种解法.（B）图:中心数可以为1、4、7、10.有四种填法，请你补充其他三种填法.（C）图:中心数可以为1、5、9.有三种填法，请你补充其他两种填法.（D）图:中心数可以为1、6、11.有3种填法，请你补充其他两种填法.例 4 在下左图的七个圆圈内各填上一个数，要求每条线上的三个数中，当中的数是两边两个数的平均数，现在已填好两个数，求x是多少？分析为了便于说明问题，我们用字母表示各个圆圈内所表示的数，如上右图所示:根据题意，我们观察:因为每一条直线上的三个数中，当中的数是两边的两个数的平均数.所以可以得出:D=（13+17）÷2=15.还可以得出以下三式:C=（B+15）÷2 （1）A=（13+B）÷2 （2）C=（A+17）÷2 （3）将上述三个算式进行变形，成下面三个算式:2C=B+15 （4）2A=13+B （5）2C=A+17 （6）用（4）式减去（5）式得出:2C-2A=2C-A=1C=A+1将C=A+1代入（6）式得到:2（A+1）=A+17，A=15.x=19.即:解:（略）例5 如下左图有5个圆，它们相交后相互分成几个区域，现在两个区域里已分别填上数字10、6，请在另外七个区域里分别填进2、3、4、5、6、7、9七个数字，使每个圈内的数的和都是15.分析为了便于说明，我们用字母表示其他的7个区域.如上右图.根据题意可以得出:A=5、G=9，九个区域中数的总和为:（2+3+4+5+6+7+9）+10+6=52，而每个圆圈内数的和是15，五个圆圈内数的总和为:15×5=75，又75-52=23，由此得出重叠的部分的四个数A、C、E、G的和是23.由于A=5和G=9已经填好，因此，余下的两个部分C+E 的和是:23-5-9=9，此时9只有两种分解的可能:2+7=9、3+6=9.在E、F、G这个圆圈内，∵G=9，∴E不能填6、7.也不能填3（否则F也等于3），只能填2，这样，E=2，C=7.解:例6 如下左图所示4个小三角形的顶点处共有6个圆圈.如果在这些圆圈中分别填上6个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三顶点上的数之和相等，问这6个质数的积是多少？分析为了叙述方便，我们用字母表示图中圆圈里的数.如上右图所示.通过观察，我们不难发现，小三角形A1B2C2和小三角形A2B2C2有两个共同的顶点B2，C2，而这两个小三角形顶点上数字的和相等.因此A1=A2.同理有B1=B2，C1=C2，所以，此图只能填A、B、C三个质数（两个A、两个B、两个C.以下:A1=A2记为A，B1=B2记为B，C1=C2记为C）∵6个圆圈中的6个质数之和为20，即:2×（A+B+C）=20A+B+C=10.∴10分成三个质数之和只能是10=2+3+5.这样，A、B、C分别是2、3、5.这时所填6个数的积是:2×2×3×3×5×5=900.解:例7 能否将自然数1～10填入五角星各交点的“○”内使每条直线上的4个数字之和都相等？分析与解答不能，用反证法.假设可以填成数阵图，观察发现:十个点中的每一个点恰好是两条直线的公共点.因而全部直线（共5条）上数字总和，应该等于全部点上数字总和的2倍.记每条直线上数字和为S，则有5S=（1+2+3+…+10）×2，从而解出S=22.10和1必同在某一直线上.不然，如含有10的两条直线都不含有1，这样，这两条线上8个数字（10自然被计上两次）之和（本应为2S）大于等于2×10+2+3+4+5+6+7=47＞44=2S.形成矛盾.所以10、1必处同一直线.此外，有三个数字与10不同线，不妨记为x、y、z.显然x+y+z=｛10数总和｝-｛其余七个数和｝而这｛其余七个数和｝恰好为2S-10.所以x+y+z=55-2×22+10=21.已推出10，1共线.进一步看出，1无论在什么位置都与x、y、z三数中的两个共线.设1与x、y共线，此线上另一数设为v.则有1+x+y+v=22，从而x+y+v=21.前已证x+y+z=21，因而导致v=z的矛盾.其他情况推证类似，所以没有题设的填法.习题九1.将1～9这九个数字分别填入右图中的九个圆圈中，使各条边上的四个圆圈内的数的和相等.2.将0.01、0.02、…、0.09这九个数分别填入右图九个圆圈内，使每条边上的四个圆圈内的数之和都等于0.2.（此题与题1共用一图）3.在右图的空白的区域内分别填上1、2、4、6四个数，使每个圆中的四个数的和都是15.。

第六讲有趣的数阵图（一）第一部分：趣味数学有趣的数独技巧数独技巧是建立在数独基础上的，数独顾名思义——每个数字只能出现一次。

数独是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数字谜题。

数独盘面是个九宫，每一宫又分为九个小格。

在这八十一格中给出一定的已知数字和解题条件，利用逻辑和推理，在其他的空格上填入1-9的数字。

使1-9每个数字在每一行、每一列和每一宫中都只出现一次。

所以不少教育者认为数独是训练头脑的绝佳方式。

数独解法全是由规则衍生出来。

基本解法分为两类思路，一类为排除法，一类为唯一法。

更负责的解法，最终也会归结到这两大类中。

第二部分：奥数小练观察是解决问题的根据。

通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律：1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。

【例题1】请你把1～7这七个自然数，分别填在下图（1）的圆圈内，使每条直线上的三个数的和都相等，应怎样填？【思路导航】为叙述方便，先在圆圈中标上字母，如上图（2）。

设a+b+e=a+c+f=a+d+g=k，则（a+b+e）+（a+c+f）+（a+d+g）=3k3a+b+c+d+e+f+g=3k2a+（a+b+c+d+e+f+g）=3k2a+（1+2+3+4+5+6+7）=3k2a+28=3ka为1、4或7.若a=1，则k=10，直线上另外两个数的和为9.在2、3、4、5、6、7中，2+7=3+6=4+5=9，因此得到一个解为：a=1，b=2，c=3，d=4，e=7，f=6，g=5.若a=4，则k=12，直线上另外两个数的和为8.在1、2、3、5、6、7中，1+7=2+6=3+5=8，因此得到第二个解为：a=4，b=1，c=2，d=3，e=7，f=6，g=5.若a=7，则k=14，直线上另外两个数的和为7.在1、2、3、4、5、6中，1+6=2+5=3+4=7，因此得到第三个解为：a=7，b=1， c=2，d=3，e=6，f=5，g=4.【答案】共得到三个解：如下图练习1：1.把1～7这七个数分别填入下图的○内，使每条线段上三个○内数的和相等，请给出所有填法。

小学四年级频道为大家整理的小学四年级奥数下册有趣的数阵图教案，供大家学习参考。

大家都知道了历史悠久的三阶幻方.再推广一些，结合某些几何图形，把一些数字填入图形的某种位置上，并使数字满足一定的约束条件，这类问题，习惯上称为“数阵图”.幻方是特殊的数阵图，幻方发展较快，因为它后来与试验方案设计及一些高深数学分支有关，成为数阵图中最重要课题.本讲主要介绍一般数阵图及解此类题的推理思考方法，由于它既有数字之间运算，又要结合图形，对开发学生综合思考和形象思维很有益.先看例题.例1 下面图形包括六个加法算式，要在圆圈里填上不同的自然数，使六个算式都成立，那么最右边圆圈中的数最少是几？分析为便于说理，各圆圈内欲填的数依次用字母A、B、C、D、E、F、G、H、I代替（上右图）.经观察，I=A+B+C+D.题目要I尽可能小，最极端的想法，希望A、B、C、D只占用1、2、3、4.但这会产生矛盾.因为1总要和2、3、4中的某两个实施加法，但1＋2给予G、H、E、F中某值为3与A、B、C、D中已有的3冲突；同样1+3给于G、H、E、F中某值为4又与A、B、C、D中已有的4冲突；所以A、B、C、D不能是1、2、3、4.那么退而求之，不妨先设A=1.如先考虑B，B尽可能小，，B=2，从而决定了E=3，C≠3，D≠3.这样一来，C，D只能取4和5.但如C=4导致G=5和D=5冲突，而C=5，D=4，又导致G=A+C=6和H=B+D=2+4=6冲突.在碰了钉子后，回看在A=1设定后，不应随随便便先填B的值.从结构上看，因为B，C地位对称，不妨先考虑D.D尽可能小，设D=2，B、C至少取3、5，若如此，由B+D或C+D产生的5会与B、C中已有的5矛盾.所以，B、C可能取3、6.从而形成了：A=1、D=2、B、C取3、6（B，C 地位对称）.这样一来其他字母所代表的值就立即推出，不妨设B=3，C=6，A+B=E=4，C+D=6+2=8=F；A+C=1+6=7=G，B+D=3+2=5=H，恰分析I的值有三种不同的获得方式：分析1 图（A）中的中心圆填入的数设为x，x参与3条线的连加，设每条线数字和都为S.由题意：1+2+3+…+7+2x=3S即28+2x=3S或28+2x≡0（mod 3）借用同余工具，是在两个未知数的不定方程中先缩小x应该取值的范围.在mod3情况下，只要试探x≡0，1，2三个值，很轻松地解出：x≡1（mod3），回复到x取值范围为1，2，…，7.有x1=1，x2=4，x3=7，得到：x1=1，S1=10；x2=4，S2=12；x3=7，S3=14；由此看出关键在求S（公共和）及x（参与相加次数最多的圆中值）.此方法对下面解（B）、（C）、（D）.都适用.注意：每条线上的数字之和随着中心数的变化而变化.I=A+B+C+D=E+F=G+H.3I=A+B+C+D+E+F+G+H，而8个字母最少是代表1、2、…、7、8的情况.3I≥（1+2+…+7+8）=36，I≥12.现已推出了使I=12的一种填法，所以是方案了.例2 如右图，五圆相连，每个位置的数字都是按一定规律填写的，请找出规律，并求出x所代表的数.分析经观察，图中所填数的规律为两个圆相交部分的数等于与它相邻两部分里的数的和的一半.比如：（26+18）÷2=22.（30+26）÷2=28.（24+30）÷2=27.解：x+18=17×2x=16.经检验，16和24相加除以2，也恰好等于20.例3 在下图中的各题中，将从1开始的连续自然数填入各题的圆圈中，要使每边上的数字之和都相等，中心处各有几种填法？（每小题请给出一个解）好满足E+F=4+8=12=I；G+H=7+5=12=I；综上所述：A=1，D=2，B=3，C=6决定了其他值，且决定了I=12.是一个较小的I的值，自然要问I值还可能比12小吗？。

向上教育培训学校四年级秋季系列卷开发数学思维潜能让数学变得更简单第六讲竖式数字谜(二)竖式数字谜是一种猜数的游戏。

解竖式数字型，就得根据有关的运算法则、数的性质（和差积商的为数，数的乘除性、奇偶性、尾数规律等）来进行正确地推理、判断。

解答竖式数字谜时应注意以下几点：（1）空格中只能填写0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，而且最高位不能为0；（2）进位要留意，不能漏掉了；（3）答案有时不唯一；（4）两数字相加，最大进位为1，三个数字相加最大进位为2；（5）两个数字相乘，最大进位为8；（6）相同的字母（汉字或符号）代表相同的数字，不同的字母（汉字或符号）代表不同的数字。

例1：下面的算式中，只有5个数字已写出，请补上其他的数字。

例2：在下面算式的□内各填入一个合适的数字，使算式成立。

补充：本题还可以根据加减法是互逆运算的关系，将减法算式转化成下面的加法算式：随堂练习1：在下面竖式的空格内，各填入一个合适的数字，使竖式成立。

（1）（2）例3：下面是一个六位数乘以一个一位数的算式，不同的汉字表示不同的数，相同的汉字表示相同的数，其中的六位数是。

例4：请在下面算式的□里填上合适的数字，使算式成立：随堂练习2：下面是一道题的乘法算式，请问：式子中，A B C D E分别代表什么数字？例5：在下面竖式□里填入合适的数字，使竖式成立。

随堂练习3：在下面竖式的□里，填入合适的数字，使竖式成立。

（1） （2）提高练习1、要使下边竖式成立，四个□中的数字之和为。

2、要使下边竖式成立，三个□中的数字之和最小为。

3、要使下边竖式成立，三个□中的数字之和为。

4、要使下边竖式成立，则A ＋B ＋C= 。

5、在□内填上适当的数，使算式成立。

6、下面的算式是由0~9十个数字组成，你能把其中□内的数字填上吗？7、被乘数、乘数关系如下，问被乘数、积各式多少？8、在（）里填上适当的数，是算式成立。