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小学数学思想方法一、整体观念思想方法整体观念是指将问题看作一个整体，并从整体中进行思考和分析。
在学习数学知识和解决数学问题时，学生应该培养整体观念，即从整体去理解和把握问题。
比如，在学习分数的概念时，学生可以通过将一块糖分成几份来理解分数的含义，而不仅仅是记住分数的定义。
二、归纳和演绎思想方法归纳是从具体的事例中总结出一般规律，而演绎是根据一般规律推出具体的结论。
在学习数学知识时，学生应该培养归纳和演绎的思维方法，即从具体例子中归纳出一般规律，然后用这个规律去解决其他类似的问题。
比如，在学习加法运算时，学生可以通过多个具体的例子来总结出加法的规律，再用这个规律去解决其他的加法问题。
三、抽象思维方法抽象是指将事物的共同属性提炼出来，形成概念或规律。
在学习数学知识时，学生应该培养抽象思维方法，即将具体的问题抽象化为数学符号或概念，用符号或概念来表示并解决问题。
比如，在学习几何图形时，学生可以将具体的图形抽象成几何图形的概念，并用几何图形的属性来解决相关问题。
四、逻辑思维方法逻辑思维是指根据前提和推理规则，进行合乎逻辑的推理和判断。
在学习数学知识和解决数学问题时，学生应该培养逻辑思维方法，即根据已知条件和数学规则，进行逻辑推理和判断，得出正确的结论。
比如，在解决代数方程的问题时，学生可以根据方程的性质和运算规则，进行逻辑推理，得出方程的解。
五、实践思维方法实践思维是指通过实际操作和体验，来加深对数学知识的理解和掌握。
在学习数学知识时，学生应该注重实践思维，即通过实际的物体、实际的活动和实际的问题来引导学生进行数学思维和解决问题。
比如，在学习分数的概念时，学生可以通过将物体切割成几份，比较几份的大小，加深对分数大小关系的理解。
小学数学思想方法是数学学习的基础，也是培养学生数学思维能力和解决问题能力的关键。
学生在学习数学时，应该注重培养这些思想方法，并灵活运用到解决问题中，从而提高学习效果。
通过培养这些思想方法，可以使学生更好地理解和掌握数学知识，提高数学水平。
整体的思想思想再现例题精讲整体化的思想就是把握题目中的条件和结论的关系，从全局出发，从整体特征思考并求解问题，从而促使问题解决的思想方法。
整体的思想主要有：整体运算；整体赋值；整体代入；整体抵消；化整为零等。
【例1】 如图所示，在长方形内有四条线段，把长方形分成若干块。
已知有三块面积分别是13，35，49．那么图中阴影部分的面积是 。
（全国小学数学奥林匹克竞赛预赛试题）【例2】 一个整数的个位右边写一个3就得到比原整数多一倍的新整数。
若新整数正好是原整数的首位加3所得整数的3倍，则原整数最小是。
（我爱数学夏令营竞赛试题）BE 第五讲【例3】连个互不相等的三位数写在一起就成了一个六位数，若这个六位数恰等于那两个三位数乘积的整数倍，则这个整数位数是。
（我爱数学夏令营竞赛试题）【例4】将六个自然数14，20，33，117，143，175分组，如果要求每组中的任意两个数都互质，则至少需要将这些数分成多少组？（全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题）【例5】为反序的两个自然数的积是92565，求这两个互为反序的自然数。
（全国华罗庚金杯少年数学邀请赛试题）【例6】算式中，所有分母都是四位数。
请在每个方格中填入一个数字，使等式成立。
（全国华罗庚金杯少年数学邀请赛试题）【例7】如图，从图1那样的等边三角形开始，将三角形的每条边三等分，然后以中间的线段为边向外作新的等边三角形，如图2，得到一个“雪花六角形”。
接着将“雪花六角形”的12条边的每一条三等分，仍以中间的线段为边向外作新的等边三角形，如图3，得到一个新的“雪花形”。
问：图3的面积与图1的面积的比是多少?（全国华罗庚金杯少年数学邀请赛试题）【例8】如图1，一张面积为7．17平方厘米的平行四边形纸片WXYZ放在另一张平行四边形纸片EFGH上面，得到A，C，B，D四个交点，并且AB∥EF，CD∥WX。
问纸片EFGH的面积是多少平方厘米?说明理由。
(全国华罗庚金杯少年数学邀请赛试题)【例9】如图1，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米。
整体思想的知识点总结整体思想是指一种综合、系统的思维方式，将事物的各个方面统一起来，把握其发展的整体规律。
它贯穿于不同学科的研究中，对于我们认识世界、解决问题具有重要意义。
下面将从整体思想的概念、特点、应用以及发展趋势等方面进行总结。
一、整体思想的概念整体思想可以追溯到古代哲学思想，如我国的“天人合一”思想、古希腊的“形而上学”思想等，它们都强调事物之间的内在联系和综合性。
整体思想认为一切事物都是相互联系、相互作用的，不能单独看待。
在现代，整体思想逐渐成为一种重要的科学思维方式，深受各个学科的关注。
二、整体思想的特点1. 综合性：整体思想要求将事物的各个方面、各个环节统一起来，形成一个系统的整体。
它不以局部、部分为研究对象，而是关注事物的全貌。
2. 统一性：整体思想强调事物之间的内在联系和相互作用，通过理解这种联系来认识事物的本质。
它关注事物之间的整体关系，而非孤立的描述。
3. 动态性：整体思想认为事物发展变化的过程是连续的、不断的，存在内在的规律性。
它强调把握事物发展的全过程，而非简单地看待静止的状态。
4. 相对性：整体思想把握事物的相对性和相对发展规律，不排斥局部性和特殊性。
它认为在统一整体中，事物的差异是相对的，应当予以尊重。
三、整体思想的应用1. 跨学科研究：整体思想可以帮助不同学科之间建立联系、共同研究问题。
它能够超越学科边界，形成多学科交叉的研究领域，从而促进学科发展的融合和创新。
2. 组织管理：整体思想可以帮助组织管理者把握全局，有效协调各个部门之间的工作。
它能够促进组织的协同运行，提高管理效率和效果。
3. 生态保护：整体思想可以引导我们关注生态系统的整体平衡和可持续发展。
它鼓励人们从生态的角度思考问题，采取综合性的措施保护环境，实现人与自然的和谐共生。
四、整体思想的发展趋势1. 全球化视野：整体思想的应用范围将越来越广泛，跨越国家和地区的界限，形成全球化的视野。
人们将更加重视全球性问题，进行全球范围内的整体思考和解决。
什么是整体思想？难不难？如何才能学好此类数学思想方法？在数学学习过程中，我们除了要学习大量的数学知识和方法技巧之外，更要掌握好一些重要数学思想方法，如整体思想。
数学思想方法大家接触过很多，如函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等，不同的思想方法有不同的应用法则，或不同的数学思想方法可以一起“共用”，共同解决问题等。
像数形结合这些思想方法是大家接触较多的，而对于整体思想的了解和应用，相对会少一些，因此为了能更好帮助大家提高对整体思想的了解，今天我们就一起来讲讲此类思想方法的“用法”。
什么是整体思想呢？整体思想就是在解决数学问题时，将要解决的问题看作一个整体，通过对问题的整体形式、整体结构、已知条件和所求综合考虑后得出结论。
更加直白的讲整体思想就是指从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。
我们先一起来看一道具体的例子：分解因式（x2+5x-3）（x2+5x+1）-21解：设x2+5x-3=t，则x2+5x+1=t+4原式=t（t+4）-21=t2+4t-21=（t+7）（t-3）再将x2+5x-3=t代入上式原式=（x2+5x-3+7）（x2+5x-3-3）=（x2+5x+4）（x2+5x-6）=（x+1）（x+4）（x+6）（x-1）题干分析：若把两个二次三项式（x2+5x-3）与（x2+5x+1）相乘，则将得到一个四次多项式，这时再分解因式就十分困难。
但若把（x2+5x-3）（或x2+5x）视为一个整体，即把（x2+5x-3）看成一个新变元t，原式就变形为关于t的二次多项式，问题就容易解决了。
解题反思：由这道典型例题我们可以看出，对某些多项式的因式分解，如果前一项的两个因式中只是常数项不同，则可将它们中的相同部分看成一个整体，用换元法可以降次，简化解题过程。
数学解题中的思想方法——整体思维和发散思维知识技能梳理：1、整体思维：整体思维方法在解题中，不是着限于问题的各个组成部分，而是将要解决的问题看作为一个整体。
具体方法：（1）整体代入，直奔终点；（2）整体把握，各个击破；（3）整体补形，变换角度。
2、发散思维：发散思维具有多向性、变异性、独特性的特点。
在内容上具有变通性和开放性，形式多样。
解题中涉及的主要发散思维模式，其涵义概括如下：题型发散——保持原命题发散的特点，变换题型和命题形式；解法发散——从不同角度、不同侧面解答问题；综合发散——将分析、归纳、综合等多种思维方法进行综合应用，解决较复杂的问题，使知识系统化，强调灵活应用。
发散思维还有逆向思维、迁移思维、分解思维、构造思维等等。
典型例题剖析：例1、设{ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT |{}n a 是由正数组成的等比数列，是其前项和，证明：答案：略例2、如图，是直三棱柱，过点的平面和平面的交线记作。
（1）判定直线和的位置关系，并证明；（2）若，求顶点到直线的距离。
答案：（1）；（2）例3、过抛物线顶点，任作互相垂直的两条弦交此抛物线于两点，求证：此两点连线的中点轨迹仍为一抛物线。
答案：略例4、已知复数，若是常数，，求满足的点的轨迹方程。
答案：当时，轨迹为椭圆，方程为；当时，轨迹为线段，方程是例5、如果正实数满足，求的最大值。
答案：A 1B 1C 1 A BC例6、对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点。
已知函数（1）当时，求函数的不动点；（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围。
答案：（1）；（2）例7、如图，且有一般地，求：（1）向量对应的复数，；（2）向量对应的复数；（3） 答案：（1）（2）（3）自我测试作业：1、设复数满足等式，且，又已知复数使得为实数，问复数在复平面上的对应的点的集合是什么图形？并说明理由。
答案：以为圆心，1为半径的圆，除两点。
整体的思想方法一、知识要点概述解数学题时，人们往往习惯于从问题的局部出发，将问题分解成若干个简单的子问题，然后再各个击破、分而治之．但思考方法并非对所有题目都适用，它常常导致某些题解题过程繁杂、运算量大，甚至半途而废．其实，有很多数学问题，如果我们有意识地放大考察问题的“视角”，往往能发现问题中隐含的某个“整体”，利用这个“整体”对问题实施调节与转化，常常能使问题快速获解．一般地，我们把这种从整体观点出发，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题思想方法，称为整体思想方法．在数学思想中整体思想是最基本、最常用的数学思想。
它是通过研究问题的整体形式、整体结构，并对其进行调节和转化使问题获解的一种方法．简单地说就是从整体去观察、认识问题、从而解决问题的思想。
运用整体思想，可以理清数学学习中的思维鄣碍，可以使繁难的问题得到巧妙的解决。
它是数学解题中一个极其重要而有效的策略，是提高解题速度的有效途径。
高考中，整体思想方法是一个重点考查对象，在选择题、填空题、解答题中都有不同层次的渗透。
二、解题方法指导1．运用整体的思想方法解题，要有强烈的整体意识，要认真分析问题的条件或结论的表达形式、内部结构特征，不拘泥于常规，不着眼于问题的各个组成部分，从整体上观察，从整体上分析，从整体结构及原有问题的改造、转化入手，寻找解题的途径。
2．运用整体的思想方法解题，在思维方向上，既有正向的，也有逆向的；在思维形态上，既有集中的，也有发散的，既有直观的，也有抽象的。
3．运用整体的思想方法解题，常与换元法结合起来，对题目进行整体观察、整体变形、整体配对、整体换元、整体代入，在运用整体的思想进行转化问题时一定要注意等价性。
三、整体的思想方法主要表现形式1、整体补形【例1】甲烷分子（CH4）由一个碳原子和四个氢原子组成，其空间构型为一个各条棱都相等的四面体，其中四个氢原子分别位于该四面体的四个顶点上，碳原子位于该四面体的中心，它与每个氢原子的距离都相等．若视氢原子、碳原子为一个点，四面体的棱长为a，求碳原子到各个氢原子的距离．S思路：透过局部→整体补形→构建方程解：显然，四面体的四个顶点在以中心（碳原子）为球心，中心到各顶点（氢原子）的距离为半径的球面上．如图，将此四面体ABCD 补成正方体BD’，其中A’，B’，D’也在球面上．设碳原子到每个氢原子的距离为x ，则2x= BD’，B D’、AB （a ）、AA’之间的关系是a=AB=2AA’，2x=BD’=3AA’，因此，2x=，23a ⋅a x 46=∴．即碳原子到各个氢原子的距离为a 46． 评注：这里，我们将一个正四面体补成一个正方体，则正四面体的中心与各顶点的距离与正四面体棱长通过正方体的棱长搭桥立即建立联系，局部问题便在正方体这个整体内快速获解，体现了整体补形较高的思维价值．在立几中，我们常常将四面体补成正四面体或平行六四面体、正四面体补成正方体、过同一个顶点的三条棱两两垂直的三棱锥（或四面体）补成长方体、四棱锥补成平行六面体，等等．近几年的高考题或高考模拟题中，经常出现这类问题，试题常常以选择题、填空题的形式出现，具有一定的创新性．复习中大家要注意总结这种问题的补形规律，力争在高考中速战速决．【例2】、如图2，已知三棱锥子P —ABC ，10,PA BC PB AC PC AB ======P —ABC的体积为（ ）。
数学中的整体思想整体思想是数学解题中一种重要的思想方法，在解决某些问题时，从问题的整体特性出发，统筹考虑，全面把握，构建整体结构，利用问题的各方面条件寻求简洁的解法。
有些数学问题中的某些元素虽然是非本质的，但若根据题目需要，设法将其视为对象，从整体上把握，则可化难为易，化繁为简。
一、整体代入有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，则可以省去对里面繁琐细节的研究，直接利用这些等量关系解题。
例1：一船在静水中的速度是15千米/小时，要经过150千米的河，并且逆流而上（水流速度为5千米/小时），问船往返共用多少时间？分析：此题若从局部考虑，要分顺水、逆水两种情况分别计算，而从整体考虑，因为船速与水速均已知，所以两地之间距离（150千米）也是一个已知量，所以可以省去对其中繁琐细节的研究，直接利用公式解决问题。
设船往返共用x小时。
则根据题意列方程：15x－5x＝150解得：x＝15二、整体换元有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，视“黑箱”为新元，则可以省去对里面繁琐细节的研究，直接利用这些等量关系解题。
例2：设a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，且a＞b＞0，求a＋b与ab的值。
分析：此题若从局部考虑，要解方程求出a、b的值再代入求值，而从整体考虑，因为a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，所以a＋b与ab满足一定的等量关系（韦达定理），因此可以省去对其中繁琐细节的研究，直接利用公式解决问题。
因为a、b是方程2x2－7x＋3＝0的两根，所以有：a＋b＝－（－7）/2＝7/2；ab＝3/2三、整体构造有些题目整体与局部之间存在着等量关系，若把整体视为一个“黑箱”，根据题目的需要而恰到好处地构造这个“黑箱”，则可以省去对其中繁琐细节的研究，直接利用这些等量关系解题。
例3：已知二次函数y＝－x2＋mx－m2－0.5m＋4的最大值为－18/5，求此函数的解析式。
整体思想的归纳总结整体思想是指一个人、组织或者社会在一定时间内形成的关于世界和人类存在的理解和见解的综合体。
它是人们对事物进行观察、分析和反思的结果，是知识、经验、价值观和文化等多种因素的综合反映。
整体思想在个体和群体的行动决策、发展方向以及社会进步方面起着重要的作用。
本文将对整体思想的概念、形成因素和作用进行归纳总结。
首先，整体思想是一种关于人类和世界存在的综合性认识。
人们通过对自然、社会、人类行为等方面的观察和思考，形成了对事物本质和规律的认识。
整体思想包括对自然规律、社会规律、人类行为和道德伦理等方面的认知。
它帮助人们理解和解释世界的现象和事件，为人们的行动提供指导和决策依据。
其次，整体思想的形成是多种因素综合作用的结果。
整体思想的形成既受到知识和经验的影响，也受到价值观、信仰、文化和社会环境等因素的影响。
知识和经验提供了人们认识事物的基础和思维方式，价值观、信仰和文化则决定了人们对事物的判断和评价标准，社会环境则影响人们的思维方式和认知范式。
整体思想的形成是这些因素相互作用、相互依赖的结果。
再次，整体思想在个体和群体的行动决策中起着重要作用。
整体思想是人们思考和决策的基础，它指导着人们的行动和选择。
个体的整体思想决定了个体在面临选择和决策时的判断和行为，而群体的整体思想则决定了群体的行动和发展方向。
整体思想在个体和群体的行动决策中发挥着非常重要的作用，它有助于人们的行动更加有序和有效。
此外，整体思想对社会进步具有重要意义。
整体思想是社会和人类进步的动力和引领者。
通过对事物的综合认识和分析，人们能够发现问题和挑战，并提出解决方案和发展规划。
整体思想推动着社会的改革和变革，推动着人类的进步和发展。
它为社会提供了发展的方向和目标，帮助人们实现自身和社会的全面进步。
综上所述，整体思想是人们对世界和人类存在的理解和见解的综合体，它是多种因素综合作用的结果。
整体思想在个体和群体的行动决策中起着重要作用，同时也推动着社会的发展和进步。
整体数学思想方法总结数学思想方法是指数学家在解决问题时使用的思维方式和方法论。
它涉及到问题的分析、抽象、推理等过程，以及数学概念、原理和定理之间的联系。
数学思想方法是数学研究和应用中不可或缺的部分，它帮助人们更好地理解和应用数学知识，并发现新的数学规律和理论。
下面将对整体数学思想方法进行总结。
一、问题分析和理解是数学思想方法的基础。
在解决数学问题时，我们首先需要对问题进行分析和理解，明确问题的条件、目标和限制。
通过对问题的深入思考和分析，我们可以了解问题的性质和内在规律，从而为后续的解决方法提供基础。
二、抽象是数学思想方法的核心。
抽象是指将具体的问题抽象化为一般性的数学概念和模型，从而使问题在更抽象的层面上得以解决。
通过抽象，我们可以将具体问题归结为一般性的数学问题，从而更好地利用数学工具和方法解决问题。
抽象是数学领域中重要的思维方式，它使得我们可以从具体问题中归纳出一般性的结论和定理。
三、推理是数学思想方法的重要环节。
推理是指根据已知条件和规则，通过逻辑推演得出结论的过程。
在数学中，推理可以有不同的形式，如归纳法、演绎法等。
通过推理，我们可以由已知条件推导出新的结论，并进一步扩展和应用已有的数学知识。
推理是数学研究和证明的基本方法，它使得数学成为一门严密和系统的学科。
四、实例和反例是数学思想方法中的重要工具。
通过实例和反例，我们可以具体地展示一个数学概念或结论的性质和特点。
实例是指具体的例子，可以帮助我们理解和验证一个数学命题的正确性。
反例是指一个例子，它可以推翻一个命题的正确性。
通过实例和反例，我们可以更好地理解和应用数学知识，加深对数学概念和结论的理解。
五、归纳和演绎是数学思想方法的两种基本形式。
归纳是从具体事实中推导出一般性规律的过程，通过观察和分析具体例子，我们可以总结出一般性的规律和定理。
演绎是从一般性规律中推导出具体结论的过程，通过已有的理论和定理，我们可以推导出具体问题的解答。
归纳和演绎是数学研究和证明的基本模式，它们相互依存，相互推进。
巧妙渗透整体的数学思想方法，培养学生的数学化能力摘要：对于初中学生而言，在数学学习中，不仅要掌握好数学的学习内容，还要学会解题的数学思想方法.在诸多数学思想方法中，整体思想一直起到重要的作用.本文主要介绍如何在教学过程中巧妙渗透整体的数学思想方法.关键词：整体数学思想方法数学化能力七年级数学教学整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法.从整体上思考问题，常常能化繁为简、变难为易，在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用.作为一线教师，我们应该有针对性地在每一节课中渗透整体的数学思想方法，让学生在熟悉理解的基础上，内化成一种数学能力.本文主要介绍如何在苏科版七年级数学教学中巧妙渗透整体数学思想方法，希望对学生有一定的帮助.一、在苏科版七年级教学中巧妙渗透整体的思想方法1.从探索平行线的性质中捕捉整体的思想方法2.从三角形的内角和外角知识中挖掘整体的思想方法其实学生对整体思想的把握一开始并不是很准确，而是在笔者的逐步引导下经历一个由模糊到清晰的数学化的思维过程，最终感受到这一思想方法的合理性.3.从幂的运算整合整体的思想方法这一章的课标要求是通过和学生一起研究同底数幂的乘法、除法及幂的乘方、积的乘方的基本法则，培养学生从“具体到抽象，一般到特殊”的思考问题的方法，发展归纳、概括的能力与推理能力.本章知识的发生过程比较集中地体现了“把一个代数式看成一个字母”的整体思想，以及“把新问题转化为用旧知识来解决”的化归思想.笔者在教学中非常重视基本数学思想方法的渗透.4.从面积到乘法公式凸显整体的思想方法在《从面积到乘法公式》这一章节的教学中，笔者注重引导学生感受数与形的联系.笔者在教学过程中为了凸显整体的思想方法，把握整体的思想方法的三要素：整体的对象、整体的目标、整体的方法.5.二元一次方程组探讨整体的思想方法在这一章节中，经常会遇到不能用常规方法解决的题目，整体思想方法在这里尤为适用.因此在习题课上笔者选择了这样一道题：有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需31.5元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元.现在计划购甲、乙、丙各1件，共需多少元？题中出现的未知数是三个，而题设条件中只有两个等量关系，要把甲、乙、丙各件的钱数一一求出来是不可能的.有学生大胆猜想是不是把甲、乙、丙各件的钱数看成一个整体.笔者表扬了学生的这种思路，目标明确，直奔主题，收到了事半功倍的效果，也注重了数学思维的培养和锻炼.6.从图形的全等中深化整体的思想方法（1）若将图1中的△dbe绕点b按顺时针方向旋转角a，且0°”或“=”或“<”）（2）若将图1中△dbe的绕点b按顺时针方向旋转角β，且60°<β<180°，其他条件不变，如图3请你写出此时af、ef与de之间的关系，并加以证明.一般来说，一条线段等于另外两条线段的和差，常常用截长法或补短法把问题转化为证明两条线段相等的问题.本题中我们可以利用三角形全等将af+ef转化为de这一整体，从而达到解决问题的目的.用整体思想解题不仅解题过程简洁明快，而且富有创造性.有了整体思维的意识，在思考问题时，往往能使复杂问题简单化，提高解题速度，优化解题过程.同时，强化整体思想观念，灵活选择恰当的整体思想方法，常常能帮助我们走出困境，走向成功.二、借助整体的数学思想方法发展学生的数学化能力在教学过程中应该遵循怎样的原则，让学生同时拥有整体的思想方法与数学化能力呢？一般来说，数学思想方法的构建应以贯彻渗透性原则为主线，结合落实反复性、明确性的原则.它们相互联系，相辅相成，共同构成数学思想方法教学的指导思想.1.渗透性原则数学思想方法的学习是一个长期的过程，需要教师每节课精心备课，将蕴含的整体思想方法与知识点、例题等相结合，在探究过程中要让学生自己感知思想方法的存在性，领悟思想方法的重要性，在每个学习阶段，潜移默化地培养学生的整体意识.2.明确性原则在平时的教学过程中，教师需要指导学生将思想方法化隐为显，从题目的已知条件中看透问题的本质，在学生经历知识的探究过程之后，教师应该适时地归纳总结，对整体的思想方法进行概括和强化，这样学生才能将新知识转化为数学能力，学以致用.3.反复性原则学生对整体思想方法的领会和掌握遵循从特殊到一般，从具体到抽象，从简单到复杂的规律.只有不断地挖掘和应用思想方法，才能使学生的思维水平有质的飞跃.从一个较长的学习过程看，学生对每种数学方法的认识都是在反复理解和运用中形成的，其间有一个由低级到高级的螺旋上升过程.比如对同一数学思想方法，应该注意其在不同知识阶段的表现层次，加强学生对数学思想方法的认识.总之，在数学教学过程中，教师要多研究教材，发掘其中的整体的思想方法，把它融入自己的备课中，渗透到学生的思维过程中，渗透到知识形成的过程中，凸显在课堂的小结中，让学生在实践中领悟整体的思想方法的妙用，真正做到渗透思想方法与能力的和谐发展.参考文献：[1]肖伯荣.数学思想方法及其教学示例[m].江苏教育出版社，2000.9.[2]邓达斌.浅析数学思想方法在教学中的渗透[j].数学学习与研究，2010（07）.。
高中数学思想方法专题（六）——整体的思想方法一、知识要点概述人们在研究某些数学问题时，往往不是着眼于问题的各个组成部分，而是有意识地放大考察问题的“视角”，将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体功能、或作种种处理以后，达到顺利而简捷地解决问题的目的，像这种从整体观点出发研究问题的思维活动过程，我们称之为“整体的思想方法”。
整体的思想方法在中学数学里体现是很充分的。
众所周知，数学概念是对一客观现象经过整体性思考。
抽象、概括而形成的；数学运算法则是从同一类运算实践的的整体中，经过归纳、概括建立起来的；解答数学问题是纵观条件和结论的整体情境之后，通过对数学方法的运用环节调节而求得结果的；数学的各个分支之间、空间形成与数量关系之间，又表现出高度的协调一致，呈现着和谐的数学美，这一切说明数学是一个有机的整体。
高考中，整体思想方法是一个重点考查对象，在选择题、填空题、解答题中都有不同层次的渗透。
二、解题方法指导1．运用整体的思想方法解题，要有强烈的整体意识，要认真分析问题的条件或结论的表达形式、内部结构特征，不拘泥于常规，不着眼于问题的各个组成部分，从整体上观察，从整体上分析，从整体结构及原有问题的改造、转化入手，寻找解题的途径。
2．运用整体的思想方法解题，在思维方向上，既有正向的，也有逆向的；在思维形态上，既有集中的，也有发散的，既有直观的，也有抽象的。
3．运用整体的思想方法解题，常与换元法结合起来，对题目进行整体观察、整体变形、整体配对、整体换元、整体代入，在运用整体的思想进行转化问题时一定要注意等价性。
三、范例剖析例 1 一个项数为奇数的等差数列{a n }，其奇数项之和为51，偶数项之和为 1，求其通项公式。
例2直线交曲线 及渐近线于A 、B 、C 、D 四点， 如图，求证：|AB|=|CD|.例3 已知sinx+siny=1,求cosx+cosy 的取值范围.例4 有5名学生和3名老师站成一排照相，3名老师必须站在一起的不同排法有_______种。
中考数学复习解题思想方法技巧第一讲：整体思想整体思想，就是探究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法。
从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易。
整体思想的表现形式有：整体代入、整体约减、整体换元、整体合并等。
一、整体代入主体思想：求代数式的值时，通常会遇到各种各样关于未知数的关系式的条件，利用常规方法在这些关系式中求出未知数后再代入求值，其计算往往很复杂，甚至有时求不出具体的数值。
这时往往需要研究问题的条件和结论的整体形式，挖掘式子结构上的特征联系，将已知条件进行恰当变形，或把一些已知关系式作为整体，直接代入求值式中计算，过程简洁明了。
例题精析：m=1+，n=1-，且（7m2-14m+a）（3n2-6n-7）=8，则a的值等于（）A.-5B.5C.-9D.9点拨提示：如果将m，n的值直接代入，运算量很大。
观察含a的方程中，7m2-14m和m=1+隐约有一定的关系，尝试将m=1+变形为m-1=，再两边平方可得m2-2m+1=2，整理得m2-2m=1；所以7m2-14m=7（m2-2m）=7×1=7。
用类似的处理方法整体可得3n2-6n 的值，整体代入即可求出a的值。
参考答案：Ca是方程x2-2011x+1=0的一个根，试求a2-2010a + 的值。
点拨提示：由已知得a2-2011a+1=0，直接解方程会有2个根，需要分别都代入求值，而且运算很大。
观察a2-2011a+1=0和所求代数式中的a2-2010a部分，隐约有一定的关系，尝试整体变形处理后再代入。
解题过程：由a2-2011a+1=0得a2-2010a=a-1①，即a2+1=2011a②，显然a≠0，两边同除以a得a+=2011③，将①、②、③式代入得：原式=a-1+ =a-1+= a+-1=2011-1=2010同步练习：当时，求多项式（4x3-2007x-2004）2004的值。
数学思想方法一整体思想整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用． 一．数与式中的整体思想例1.已知114a b -=，则2227a ab b a b ab---+的值等于 （ ） A.6 B.6- C.125 D.27-分析：根据条件显然无法计算出a ，b 的值，只能考虑在所求代数式中构造出11a b-的形式，再整体代入求解．解：112242b 6112272(4)72()7a ab b a a b ab b a------===-+⨯-+-+说明：本题也可以将条件变形为4b a ab -=，即4a b ab -=-，再整体代入求解．例2．已知代数式25342()2x ax bx cx x dx++++，当1x =时，值为3，则当1x =-时，代数式的值为解：因为当1x =时，值为3，所以231a b c d +++=+，即11a b cd++=+，从而，当1x =-时，原式()21211a b c d-++=+=-+=+例3．已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c ab bc ac ++---的值．分析：要求多项式的值，直接代入计算肯定不是最佳方案，注意到222a b c ab bc ac ++---2221()()()2a b b c c a ⎡⎤=-+-+-⎣⎦，只要求得a b -，b c -，c a -这三个整体的值，本题的计算就显得很简单了．解：由已知得，1a b b c -=-=-，2c a -=，所以， 原式2221(1)(1)232⎡⎤=-+-+=⎣⎦ 说明：在进行条件求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化． 二．方程(组)与不等式（组）中的整体思想例4．已知24122x y k x y k +=+⎧⎨+=+⎩，且03x y <+<，则k 的取值范围是分析：本题如果直接解方程求出x ，y 再代入03x y <+<肯定比较麻烦，注意到条件中x y +是一个整体，因而我们只需求得x y +，通过整体的加减即可达到目的．解：将方程组的两式相加，得：3()53x y k +=+，所以513x y k +=+，从而50133k <+<，解得3655k -<<例5． 已知关于x ，y 的二元一次方程组3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩的解为56x y =⎧⎨=⎩，那么关于x ，y的二元一次方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩的解为为分析：如果把56x y =⎧⎨=⎩代入3511x ay x by -=⎧⎨+=⎩，解出a ，b 的值，再代入3()()()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩进行求解，应当是可行的，但运算量比较大，相对而言比较繁琐． 若采用整体思想，在方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=⎧⎨++-=⎩中令x y mx y n+=⎧⎨-=⎩，则此方程组变形为3511m an m bn -=⎧⎨+=⎩，对照第一个方程组即知56m n =⎧⎨=⎩，从而56x y x y +=⎧⎨-=⎩，容易得到第二个方程组的解为11212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，这样就避免了求a ，b 的值，又简化了方程组，简便易操作．解：11212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩说明：通过整体加减既避免了求复杂的未知数的值，又简化了方程组（不等式组），解答直接简便．例6．解方程 22523423x x x x+-=+分析：本题若采用去分母求解，过程很复杂和繁冗，根据方程特点，我们采用整体换元，将分式方程转化为整式方程来解．解：设223x x y +=，则原方程变形为54y y-=，即2450y y --=，解得15y =，21y =-，所以2235x x +=或2231x x +=-，从而解得152x =-，21x =，312x =-，41x =-，经检验1x ，2x ，3x ，4x 都是原方程的解．说明：（1）对于某些方程，如果项中含有相同部分（或部分相同）可把它看作一个整体，用整体换元进行代换，从而简化方程及解题过程．当然本题也可以设2234y x x =+-，将方程变形为54y y =+来解． （2）利用整体换元，我们还可以解决形如22315122x x x x -+=-这样的方程，只要设21x y x =-，从而将方程变形为15322y y +=，再转化为一元二次方程来求解． 例7． 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元．现在计划购甲、乙、丙各1件，共需多少元？分析：要求的未知数是三个，而题设条件中只有两个等量关系，企图把甲、乙、丙各1件的钱数一一求出来是不可能的，若把甲、乙、丙各1件的钱数看成一个整体，问题就可能解决．解：设购甲、乙、丙各1件分别需x 元、y 元、z 元．依题意，得37315410420x y z x y z ++=++=⎧⎨⎩..，即2331533420()().()().x y x y z x y x y z ++++=++++=⎧⎨⎩解关于x y +3，x y z ++的二元一次方程组，可得x y z ++=105.（元） 答：购甲、乙、丙各1件共需1.05元．第9题YXO 1-14321I HEDBA说明：由于我们所感兴趣的不是x 、y 、z 的值，而是x y z ++这个整体的值，所以目标明确，直奔主题，收到了事半功倍的效果． 三．函数与图象中的整体思想例8．已知y m +和x n -成正比例（其中m 、n 是常数） （1）求证：y 是x 的一次函数；（2）如果y =-15时，x =-1；x =7时，y =1，求这个函数的解析式. 解：（1）因y m +与x n -成正比例，故可设y m k x n k +=-≠()()0 整理可得y k x k n m =-+()因k ≠0，k 、-+()k n m 为常数，所以y 是x 的一次函数.（2）由题意可得方程组-=--+=-+⎧⎨⎩1517k k n m k k n m ()()解得k =2，k n m +=13. 故所求的函数解析式为y x =-213． 说明：在解方程组时，单独解出k 、m 、n 是不可能的，也是不必要的．故将k n m +看成一个整体求解，从而求得函数解析式，这是求函数解析式的一个常用方法．例9． 若关于x 的一元二次方程22(1)20x a x a +-+-=有一根大于1，一根小于1-，求a 的取值范围．分析：此题如果运用根的判别式和韦达定理，解答此题较为困难．整体考虑，把一元二次方程22(1)20x a x a +-+-=与二次函数22(1)2y x a x a =+-+-联系起来，利用二次函数的图象来解题，则显得很直观，也较为容易．解：由题意可知，抛物线与x 轴的交点坐标，一个交点在点(1,0)的右边，另一个交点在点(1,0)-的左边，抛物线图象开口向上，则可得：当1x =时,0y <，当1x =-时，0y <，即2220a a a a ⎧+-<⎨-<⎩，∴20a -<<． 说明：（1）由于当1x =,1x =-时，0y <， 所以解答过程中不必再考虑0∆>了．（2）利用函数与图象，整体考察，是解决涉及方程（不等式）有关根的问题最有效的方法第11题OP FEDCBA在之一，在数学教学中应当引起足够的重视． 四．几何与图形中的整体思想例10．如图，123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=分析：由于本题出无任何条件，因而单个角是无法求出的．利用三角形的性质，我们将12∠+∠视为一个整体，那么应与△ABC 中BAC ∠的外角相等，同理34∠+∠，56∠+∠分别与ABC ∠，ACB ∠的外角相等，利用三角形外角和定理，本题就迎刃而解了．解：因为12DAB ∠+∠=∠，34IBA ∠+∠=∠，56GCB ∠+∠=∠,根据三 角形外角定理，得360DAB IBA GCB ∠+∠+∠=°， 所以123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=360°．说明：整体联想待求式之间的关系并正确应用相关性质是解决此类问题的关键． 例11．如图，菱形ABCD 的对角线长分别为3和4， P 是对角线AC 上任一点（点P 不与A ，C 重合），且PE ∥BC 交AB 于E ， PF ∥CD 交AD 于F ，则图中阴影部分的面积为 ．解：不难看出，四边形AEPF 为平行四边形， 从而△OAF 的面积等于△OAE 的面积， 故图中阴影部分的面积等于△ABC 的面积， 又因为12ABC ABCD S S ∆=1134322=⨯⨯⨯=，所以图中阴影部分的面积为3. 说明：本题中，△OAF 与△OAE 虽然并不全等，但它们等底同高，面积是相等的．因而，可以将图中阴影部分的面积转化为△ABC 的面积．我们在解题过程中，应仔细分析题意，挖掘题目的题设与结论中所隐含的信息，然后通过整体构造，常能出奇制胜．例12．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 边的中点，AE 平分BAF ∠，试判断AF 与BC CF +的大小关系，并说明理由．解：AF 与BC CF +的大小关系为AF BC CF =+．分别延长AE ，DC 交于点G ，因为E 为BC 边的中点，因而易证△ABE ≌△GCE ，所以AB GC =，并且BAE CGE ∠=∠，AB BC =，从而BC CF GF +=．由于AE 平分BAF ∠，所以BAE FAE ∠=∠，故FAE CGE ∠=∠，即△AFG 为等腰三角形，即AF GF =，所以，AF BC CF =+．说明：证明一条线段等于另外两条线段的和差，常常用截长法或补短法把问题转化为证明两条线段相等的问题，本题中我们利用三角形全等将BC CF +转化为FG 这一整体，从而达到了解决问题的目的．用整体思想解题不仅解题过程简捷明快，而且富有创造性，有了整体思维的意识，在思考问题时，才能使复杂问题简单化，提高解题速度，优化解题过程．同时，强化整体思想观念，灵活选择恰当的整体思想方法，常常能帮助我们走出困境，走向成功．练习一、选择题1. （2011盐城，4，3分）已知a ﹣b =1，则代数式2a ﹣2b ﹣3的值是（ ）A.﹣1B.1C.﹣5D.52. （2011，台湾省，26,5分）计算（250+0.9+0.8+0.7）2﹣（250﹣0.9﹣0.8﹣0.7）2之值为何？（ ） A 、11.52 B 、23.04C 、1200D 、24003. 10（2011山东淄博10，4分）已知a 是方程x 2+x ﹣1=0的一个根，则22211a a a---错误！未找到引用源。
整体的思想方法一、知识要点概述解数学题时，人们往往习惯于从问题的局部出发，将问题分解成若干个简单的子问题，然后再各个击破、分而治之．但思考方法并非对所有题目都适用，它常常导致某些题解题过程繁杂、运算量大，甚至半途而废．其实，有很多数学问题，如果我们有意识地放大考察问题的“视角”，往往能发现问题中隐含的某个“整体”，利用这个“整体”对问题实施调节与转化，常常能使问题快速获解．一般地，我们把这种从整体观点出发，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题思想方法，称为整体思想方法．在数学思想中整体思想是最基本、最常用的数学思想。
它是通过研究问题的整体形式、整体结构，并对其进行调节和转化使问题获解的一种方法．简单地说就是从整体去观察、认识问题、从而解决问题的思想。
运用整体思想，可以理清数学学习中的思维鄣碍，可以使繁难的问题得到巧妙的解决。
它是数学解题中一个极其重要而有效的策略，是提高解题速度的有效途径。
高考中，整体思想方法是一个重点考查对象，在选择题、填空题、解答题中都有不同层次的渗透。
二、解题方法指导1．运用整体的思想方法解题，要有强烈的整体意识，要认真分析问题的条件或结论的表达形式、内部结构特征，不拘泥于常规，不着眼于问题的各个组成部分，从整体上观察，从整体上分析，从整体结构及原有问题的改造、转化入手，寻找解题的途径。
2．运用整体的思想方法解题，在思维方向上，既有正向的，也有逆向的；在思维形态上，既有集中的，也有发散的，既有直观的，也有抽象的。
3．运用整体的思想方法解题，常与换元法结合起来，对题目进行整体观察、整体变形、整体配对、整体换元、整体代入，在运用整体的思想进行转化问题时一定要注意等价性。
三、整体的思想方法主要表现形式1、整体补形【例1】甲烷分子（CH4）由一个碳原子和四个氢原子组成，其空间构型为一个各条棱都相等的四面体，其中四个氢原子分别位于该四面体的四个顶点上，碳原子位于该四面体的中心，它与每个氢原子的距离都相等．若视氢原子、碳原子为一个点，四面体的棱长为a，求碳原子到各个氢原子的距离．思路：透过局部→整体补形→构建方程图1 AB C A’ B’ D’DCSD 解：显然，四面体的四个顶点在以中心（碳原子）为球心，中心到各顶点（氢原子）的距离为半径的球面上．如图，将此四面体ABCD 补成正方体BD’，其中A’，B’，D’也在球面上．设碳原子到每个氢原子的距离为x ，则2x= BD’，BD ’、AB （a ）、AA’之间的关系是a=AB=2AA’，2x=BD’=3AA’，因此，2x=，23a ⋅a x 46=∴．即碳原子到各个氢原子的距离为a 46． 评注：这里，我们将一个正四面体补成一个正方体，则正四面体的中心与各顶点的距离与正四面体棱长通过正方体的棱长搭桥立即建立联系，局部问题便在正方体这个整体内快速获解，体现了整体补形较高的思维价值．在立几中，我们常常将四面体补成正四面体或平行六四面体、正四面体补成正方体、过同一个顶点的三条棱两两垂直的三棱锥（或四面体）补成长方体、四棱锥补成平行六面体，等等．近几年的高考题或高考模拟题中，经常出现这类问题，试题常常以选择题、填空题的形式出现，具有一定的创新性．复习中大家要注意总结这种问题的补形规律，力争在高考中速战速决．【例2】、如图2，已知三棱锥子P —ABC ，234,10,241PA BC PB AC PC AB ======，则三棱锥子P —ABC 的体积为（ ）。
4080160240AB C D分析：若按常规方法利用体积公式求解，底面积可用海伦公式求出，但顶点到底面的高无法作出，自然无法求出。
若能换个角度来思考，注意到三棱锥的有三对边两两相等，若能把它放在一个特定的长方体中，则问题不难解决。
解析：如图3所示，把三棱锥P —ABC 补成一个长方体AEBG —FPDC ，易知三棱锥P —ABC 的各边分别是长方体的面对角线。
PE=x,EB=y,EA=z 不妨令，则由已知有：2222221001366,8,10164x y x z x y z y z ⎧+=⎪+=⇒===⎨⎪+=⎩，从而知 416810468101606P ABC AEBG FPDC P AEB C ABG B PDC A FPC AEBG FPDC P AEB V V V V V V V V --------=----=-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=2、整体展开【例3】有一个各条棱长均为a 的正四棱锥，现用一张正方形包装纸将其完全包住，不能剪裁，但可以折叠，求包装纸的最小边长．思路：整体展开→化归平几→面积覆盖图5S 3S 1S 2S 4D AB C 图4解：将图4中的正四棱锥整体展开，变为图5中的平面图形，问题则转化为求一个最小的正方形将图5完全覆盖．顺次连结图5中的S 1，S 2，S 3，S 4，易证S 1S 2S 3S 4，为正方形，且为将图5完全包住的最小的正方形．于是其边长为：aa a a a a 26223132150cos 20222+=⋅+=⋅+=-+． 故包装纸的最小边长为a 262+．评注：为研究立体图形的某些特性，如表面积问题、沿表面行走路径最短问题、包装问题、剪裁问题、制作 问题等等，我们常常视立体图图5形为一个整体，将其展开，变为平面图形，通过对平面图形的研究达到解决立几问题的目的．近几年的高考，加大了对这种解题思想方法的考查力度，试题常常以现实生活为背景，设计新颖，能有效考查学生的空间想象能力和综合能力．对此大家应引起重视．3、整体补式【例4】、求sin 2200+cos 2500+sin200cos500的解。
解：令A= sin 2200+cos 2500+sin200cos500B= cos 2200+ sin 2500+ cos 200 sin 50则A+B=2+sin700………①A-B= -070sin 21- ………② ①+②得A=43，故原式=434、整体构形【例5】、已知 x,y,z ),1,0(∈求证：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1分析：观察到：x+(1-x)=y+(1-y)=z+(1-z)=1及乘积式，联想到用面积公式。
证明：如图6，构造正三角形，则S △ABD +S △EFC +S △BDF =21x(1-y)sin600+ 21y(1-z) )sin600+ 21z(1-x) )sin600<S △ABC =21×1×1×sin600<1，故x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1。
5、整体代换【例6】、已知22sin sin =+y x ，求cosx+cosy 的取值范围。
解：设u=cosx+cosy ，将已知式与待求式两边平方得：y y x x 22sin sin sin 2sin 21++=，（1） 图6y y x x u 222cos cos cos 2cos ++=。
（2）（1）+（2）得：)cos(22212y x u -+=+，即23)cos(22-=-u y x ，因为2)cos(22≤-≤-y x ，所以22322≤-≤-u ，解得214214≤≤-u 。
所以214cos cos 214≤+≤-y x 。
点评：利用整体代换构建不等式也是求解此类问题的最基本的方法。
【例7】在数列{a n }中，S n 为其前n 项和，若a 1=23，a 2=2且S n+1－3S n +2S n －1+1=0(n ≥2)，试判断{a n －1}(n ∈N*)是不是等比数列，为什么？思路：透过局部→重新组合→整体代换解：将已知等式重新组合，得(S n+1－S n )－2(S n －S n －1)+1=0 又因为a n+1=S n+1－Sn ，a n =S n －S n －1(n ≥2)， ∴a n+1－2a n +1=0，即a n+1－1=2(a n －1)， ∴111--+n n a a =2(n ≥2)(*)当n=1时，2123121112=--=--a a ，因此（*）式对n ∈N*成立．故{a n －1}(n ∈N*)是等比数列．评注：这里，如果将S n+1、S n 与S n －1均用求和公式代入，将会十分繁难，而从S n+1－3S n +2S n－1+1=0整体着眼，实施整体代换，解题过程十分简捷、明快．整体代换在解题中往往能起到化难为易、化繁为简的作用，高考中以简化数列、解几运算居多．6、整体换元【例8】、已知xy y x ，y x R y x ++=+∈+求1,,22的最大值 解析：由，y x R y x 1,,22=+∈+首先想到用三角换元即令)2,0(.......sin cos πθθθ∈⎩⎨⎧==y x ，则θθθθcos sin cos sin ++=++xy y x ，直接求解较困难，于是又令21cos sin cos sin 21)]2,1((cos sin 22-=⇒+=⇒∈=+t t t t θθθθθθ，从而有.2212221)1(21212121cos sin cos sin 222+++===∴-+=-+=-+=++=++的最大值为时即易知当xy y ，x y x t t t t t t xy y x θθθθ点评：本题利用整体换元成功地实现了二元函数问题一元化转化的目的，这是求解二元函数最值问题的最常用的思想方法。
7、整体设元【例9】、已知密码3•BCPQR=4•PQRABC 其中每个字母都表示一个十进制数字，试将这个密码译成数字形式。
解析：此题有6个未知数，若依次求解，无法达到目的确良，注意到ABCPQR 与PQRABC 之间的轮换关系，可将ABC 与PQR 视为两个整体，分别设ABC=x,PQR=y,则3（1000x+y ）=4(1000y+x)∴428x=571y ∵x,y 为三位数且428与571互奇,∴x=571,y=428∴所求密码为3•571428=4•428571.【例10】已知tan αtan β=3， tan 2βα-=2，求cos(α＋β)的值．思路：转换思维→整体设元→构建方程解：∵tan2βα-=2， ∴cos(α－β)=2tan 12tan 122βαβα-+--=－53． 设x ⋅=⋅βαβαsin sin ,cos cos )=53-=+y x ① 又xy =3 ②， ①、②联立解得，于是cos(α＋β)=x －y=103． 评注：本题条件分散、联系隐蔽，企图由三角恒等变形求解难以达到目标．从待求cos(α＋β)与能求cos （α－β）中发现cosαcosβ和sinαsinβ两个整体，而这两个整体又恰好含在tanαtanβ中．因此，通过引进两个新元x ， y ，迅速构建出以x ， y 为未知数的方程组，使问题顺利获解．其中，整体换元是解题关键性的一步．整体换元是一种重要的解题方法，几乎每年的高考都要从不同的角度对其进行考查．8、整体运算【11】、椭圆内12322=+y x 有一点P （1，1），一直线经过点P 与椭圆交于P 1，P 2两点，弦P 1P 2被点P 平分，求直线P 1P 2的方程。
