阿波罗尼斯圆

阿波罗尼斯圆及其应用在数学的广袤领域中，阿波罗尼斯圆是一个引人入胜且具有重要应用价值的概念。

它以古希腊数学家阿波罗尼斯的名字命名，展现了数学的深邃与美妙。

让我们先来了解一下阿波罗尼斯圆的定义。

给定平面内两个定点A、B，平面内一动点 P 满足 PA ／ PB ＝λ（λ 为非零常数且λ ≠ 1），则点 P 的轨迹是一个圆，这个圆就被称为阿波罗尼斯圆。

为了更直观地理解阿波罗尼斯圆，我们可以通过一个简单的例子来感受。

假设 A、B 两点的坐标分别为（－2, 0) 和（2, 0)，λ ＝ 2。

设点P 的坐标为（x, y)，根据距离公式，PA 的长度为√（x ＋ 2)＾2 ＋ y^2，PB 的长度为√（x 2)＾2 ＋ y^2。

因为 PA ／ PB ＝ 2，所以√（x ＋ 2)＾2 ＋ y^2 ／√（x 2)＾2 ＋ y^2 ＝ 2。

对等式两边进行平方并化简，最终可以得到一个圆的方程。

那么，阿波罗尼斯圆有哪些独特的性质呢？首先，圆心一定在线段AB 的中垂线上。

其次，当λ ＞ 1 时，点 P 的轨迹是一个以线段 AB 靠近 B 点的一侧为优弧的圆；当 0 ＜λ ＜ 1 时，点 P 的轨迹是一个以线段 AB 靠近 A 点的一侧为优弧的圆。

接下来，让我们探讨一下阿波罗尼斯圆在实际中的应用。

在物理学中，阿波罗尼斯圆可以用来分析带电粒子在电场中的运动轨迹。

例如，当两个等量同种电荷形成的电场中，一个带电粒子在其中运动，其轨迹可能就符合阿波罗尼斯圆的特征。

在工程设计中，阿波罗尼斯圆也有重要的作用。

比如在建筑设计中，要确定一些特定的支撑点位置，使得结构更加稳定，就可以运用阿波罗尼斯圆的原理来进行计算和规划。

在计算机图形学中，阿波罗尼斯圆可以用于生成特定形状的图形。

通过对阿波罗尼斯圆的参数进行调整，可以创造出丰富多样的视觉效果。

在数学竞赛和考试中，阿波罗尼斯圆也是一个常见的考点。

它常常与三角形、圆的相关知识结合，考察学生对几何图形的理解和运用能力。

阿波罗尼斯（Apollonius）圆法二：设平面上有不同的两点A,B ，那么该平面上使得k PBPA= 为定值k （1≠k ）的P 的轨迹是一个圆。

这个定理的证明方法很多。

下面是笔者的分析与证明，希望读者喜欢。

如图，P是平面上一动点，A、B是两定点，PA：PB＝ m：n ，M是AB的内分点（M在线段AB上），N是AB的外分点（N在AB的延长线上）且AM：MB＝AN：NB＝m：n，则P点的轨迹是以MN为直径的圆。

下面先证明两个定理：一、如图一，已知M是BC上一点，且AB：AC＝BM：MC，求证：AM平分∠BAC（三角形内角平分线定理的逆定理）证明：过C点作CD∥AM交BA的延长线于D，则AB：AD＝BM：MC∵AB：AC＝BM：MC，∴AB：AD ＝AB：AC，∴AC＝AD，∴∠D＝∠3，∵CD∥AM，∴∠1＝∠D，∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AM平分∠BAC。

二、如图二，N是BC延长线上一点，BN：CN＝AB：AC，求证：AN平分∠BAC的邻补角∠EAC. 证明：∵CD∥AN交AB于D，则BN：CN＝AB：AD.∵BN：CN＝AB：AC∴AB：AD＝AB：AC，AD＝AC，∴∠3＝∠4.∵DC∥AN，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4∴∠1＝∠2∴AN平分∠BAC的邻补角∠EAC有了上面的证明，阿波罗尼斯圆定理的证明就不难了，证明如下：连结PM、PN，∵M为AB的内分点PA：PB＝AM：MB ＝m：n，∴PM平分∠APB∵N为AB的外分点，AN：BN＝PA：PB ＝m：n∴PN平分∠BPE∵∠APB＋∠BPE＝180º，又∠2＝∠APB/2，∠3＝∠BPE/2∴∠2＋∠3＝（∠APB＋∠BPE）/2即∠MPN＝90º∴动点P到MN的中点O的距离等于MN（定值）的一半（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），点P的轨迹，是以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆阿波罗尼斯圆一、适用题型1、已知两个线段长度之比为定值；2、过某动点向两定圆作切线，若切线张角相等；3、向量的定比分点公式结合角平分线；4、线段的倍数转化；二、基本理论（一）阿波罗尼斯定理（又称中线长公式）设三角形的三边长分别为c b a ,,，中线长分别为c b a m m m ,,,则：222222222222221221221cb a mc b a m b c a m a c b +=++=++=+（二）阿波罗尼斯圆一般地，平面内到两个定点距离之比为常数(1)λλ≠的点的轨迹是圆，此圆被叫做“阿波罗尼斯圆”()()()()则，若设不妨设,,1,0,0,0,,0,y x P a BP AP a B a A ≠>>=-λλλ()()2222y a x y a x +-=++λ化简得：2222221211⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-a y a x λλλλ 轨迹为圆心a a 12011222-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+λλλλ，半径为，的圆 （三）阿波罗尼斯圆的性质1、满足上面条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比λ内分AB 和外分AB 所得的两个分点；2、直线CM 平分ACB ∠，直线CN 平分ACB ∠的外角；3、BN ANBM AM = 4、CN CM ⊥5、内在圆点内；在圆时，点O A O B ,101<<>λλ；6、若AD AC ,是切线，则CD 与AO 的交点即为B ；7、若点B 做圆O 的不与CD 重合的弦EF ，则AB 平分EAF ∠；三、补充说明1、关于性质1的证明定理：B A ,为两已知点，Q P ,分别为线段AB 的定比为()1≠λλ的内、外分点，则以PQ 为直径的圆O 上任意点到B A ,两点的距离之比等于常数λ。

阿波罗尼斯圆的焦半径与轴半径的关系阿波罗尼斯圆是一个经典的几何图形，具有许多有趣的性质和特点。

其中一个重要的关系是阿波罗尼斯圆的焦半径与轴半径之间的关系。

在本篇文章中，我们将探讨这个关系并详细阐述其背后的原理和数学推导。

一、阿波罗尼斯圆简介阿波罗尼斯圆是由希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）在公元前3世纪提出的一类特殊椭圆。

与传统椭圆不同的是，阿波罗尼斯圆的焦点不在椭圆的焦点上，而是在附近。

二、阿波罗尼斯圆的定义阿波罗尼斯圆的定义可以通过以下几个步骤来获得：1. 给定一个直角坐标系，其中焦点F位于原点(0,0)上，y轴为对称轴。

2. 假设椭圆的焦半径为a，轴半径为b。

3. 焦半径定义为焦点到椭圆上任意一点的距离，以d表示。

4. 轴半径定义为焦点到椭圆短轴上的两个交点的距离的一半，即b= (d1 + d2)/2。

5. 椭圆上任意一点P到焦点的距离d和到短轴的距离d1、d2之间存在一个关系：d1/d + d2/d = 1。

三、焦半径与轴半径的关系推导现在我们将推导焦半径与轴半径之间的关系。

假设焦点F的坐标为(0,0)，椭圆上任意一点P的坐标为(x,y)。

根据定义，有以下等式成立：1. 椭圆上任意一点到焦点的距离d的平方为：d^2 = x^2 + y^2。

2. 焦半径与椭圆上点P到焦点的距离d之间的关系：b^2 = d^2 - a^2 = x^2 + y^2 - a^2。

3. 椭圆上点P到短轴两个交点的距离之和：d1 + d2 = 2y。

将以上两个等式代入定义中的关系d1/d + d2/d = 1，我们可以得到：(d1 + d2)/d = (2y)/d = 12y = d2y = x^2 + y^22y - y^2 = x^2将d替换为2y后代入2y - y^2 = x^2，我们可以得到：b^2 = x^2 + y^2 - a^2 = 2y - y^2 + y^2 - a^2 = 2y - a^2综上所述，我们得到了阿波罗尼斯圆的焦半径与轴半径之间的关系：b^2 = 2y - a^2四、阿波罗尼斯圆的性质与应用阿波罗尼斯圆的焦半径与轴半径的关系式b^2 = 2y - a^2描述了该几何特征的数学本质。

阿波罗尼斯圆的离心率与轴比的关系阿波罗尼斯圆，又被称为椭圆，是数学中的一种几何形状。

它在数学、物理学以及工程领域中具有广泛的应用。

在研究阿波罗尼斯圆的特性时，我们常常会关注其离心率与轴比之间的关系，本文将对这一关系进行探讨。

一、阿波罗尼斯圆的定义及特性阿波罗尼斯圆是平面上满足到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。

这两个点称为焦点，常数称为焦点距离。

阿波罗尼斯圆具有以下特性：1. 定义特性：阿波罗尼斯圆的每一个点到两个焦点的距离之和等于焦点距离。

2. 对称性：阿波罗尼斯圆具有关于两个坐标轴的对称性和关于原点的中心对称性。

3. 参数方程：阿波罗尼斯圆的参数方程为x = a * cosθ，y = b * sinθ，其中a和b分别表示椭圆的长半轴和短半轴。

二、离心率与轴比的定义1. 离心率：离心率是描述椭圆形状的一个重要参数，通常用字母e表示。

离心率的定义为e = c / a，其中c表示焦点距离，a表示椭圆的长半轴。

2. 轴比：轴比是指椭圆的长半轴与短半轴之间的比值，通常用字母b / a表示。

其中b表示椭圆的短半轴，a表示椭圆的长半轴。

三、离心率与轴比的关系离心率和轴比之间存在着一定的数学关系。

通过推导我们可以得到离心率与轴比的关系式为e² = 1 - (b² / a²)。

根据这一关系式，我们可以得出以下结论：1. 当离心率e等于零时，椭圆退化为一个圆。

此时长半轴和短半轴相等，即a = b。

2. 当离心率e大于零且小于1时，椭圆的离心率小于1，形状变得更加扁平。

此时长半轴大于短半轴，即a＞b。

3. 当离心率e等于1时，椭圆退化为一个抛物线。

此时长半轴趋向于无穷大，短半轴趋向于焦点距离的一半，即a→∞，b→c/2。

4. 当离心率e大于1时，椭圆的离心率大于1，形状变得更加细长。

此时长半轴小于短半轴，即a＜b。

综上所述，离心率与轴比之间存在着明确的关系。

离心率的大小直接影响着椭圆形状的扁平程度，而轴比则衡量着椭圆的长短轴比例。

什么是阿波罗尼斯圆？
动点的轨迹问题是高考中的一个热点和重点，尤其是阿波罗尼斯圆在高考中频频出现．处理此类问题的关键是通过建立直角坐标系，寻找动点满足的条件，得出动点的轨迹是一个定圆，从而把问题转化为直线和圆、圆和圆的位置关系问题，并在解决问题的过程中感悟转化与化归、化繁为简的数学思想方法.
阿波罗尼奥斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.
阿波罗尼斯厉害之处远不是发现阿式圆这么简单，这哥们最厉之处是写了一本叫《圆锥曲线论》传奇的书，书中用纯几何方法，证明了487个圆锥曲线命题。

由于这本书几乎将圆锥曲线的性质都证明了一遍，以致于在该书问世后的 13 个世纪里，整个数学界对圆锥曲线的研究基本没有什么进展。

阿氏圆定理证明方法阿波罗尼斯圆又称阿氏圆，已知平面上两点A、B，则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。

一、基本定义在平面上给定相异两点A、B，设P点在同一平面上且满足PA/PB= λ，当λ>0且λ≠1时，P点的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆。

这个结论称作阿波罗尼斯轨迹定理。

设M、N 分别为线段AB按定比λ分割的内分点和外分点，则MN为阿波罗尼斯圆的直径，且MN=[2λ/（λ^2-1）]AB。

归纳到一般结论此时以AB中点为原点O建立直角坐标系，向量AB方向为X轴正方向，AB中垂线则为Y轴。

设A点为(-t,0),B点坐标（t,0）圆心坐标应为（(λ^2*t+t)/(λ^2-1),0）；圆方程为：(x-(λ^2*t+t)/(λ^2-1))^2+y^2=(MN/2)^2(MN/2)^2=r^2=[(λ^2*t+t)/(λ^2-1)]^2-t^2只需代入λ与t的具体数值即可，具体问题具体分析若对于同一A、B，令PA/PB比值乘积为1的两个轨迹，关于线段AB的中垂线对称。

二、证明原理我们可以通过公式推导出AN的长度：AN:BN=AP:BP ，其中BN=AN+AB，所以AN:(AN+AB)=AP:BP=>AN=AP ×AB÷(BP-AP)，以NM为直径的圆就是我们所求的轨迹圆。

三、基本性质由阿波罗尼斯圆可得阿波罗尼斯定理，即：设三角形的三边和三中线分别为a、b、c、ma(a为下标，下同）、mb、mc，则有以下关系：（此定理用余弦定理和勾股定理可以证明）。

四、阿氏圆定理证明方法阿氏圆定理(全称：阿波罗尼斯圆定理)，具体的描述：一动点P到两定点A、B的距离之比等于定比m：n，则P 点的轨迹，是以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆。

该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆。

举个例题，各尺寸如下图所示，求出线段a的长度。

阿波罗尼斯圆（阿氏圆）
比例为0.5
一、定义
在平面上给定相异两点A、B，设P点在同一平面上且满足PA/PB= λ，当λ>0且λ≠1时，P点的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆。

这个结论称作阿波罗尼斯轨迹定理。

设M、N分别为线段AB按定比λ分割的内分点和外分点，则MN为阿波罗尼斯圆的直径，且MN=［２λ／（λ^2-1）］AB。

二、证明
我们可以通过公式推导出AN的长度：AN:BN＝AP:BP ，其中BN=AN+AB，所以AN:(AN+AB)＝AP:BP=>AN=AP×AB÷(BP-AP)，以NM为直径的圆就是我们所求的轨迹圆。

三、性质
由阿波罗尼斯圆可得阿波罗尼斯定理，即：
设三角形的三边和三中线分别为a、b、c、m a、m b、m c，则有以下关系：b²+c²=a²/2+2 m a²；
c²+a²=b²/2+2 m b²；
a²+b²=c²/2+2 m c²。

（此定理用余弦定理和勾股定理可以证明）。

三、相关知识：
1.到两定点的距离之商为定值的点的轨迹是阿波罗尼斯圆。

2.到两定点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆。

3.到两定点的距离之差为定值的点的轨迹是双曲线。

4.到两定点的距离之积为定值的点的轨迹是卡西尼卵形线。

阿波罗尼斯圆的面积计算方法阿波罗尼斯圆又被称为斜冲理圆，是指一条直线在一个圆内部滚动，在滚动过程中与圆内切，同时该直线的两个端点位于圆的直径上。

阿波罗尼斯圆的面积计算方法是一项有趣而广泛应用的数学问题。

在本文中，我们将介绍阿波罗尼斯圆的定义，并详细讨论计算其面积的方法。

一、阿波罗尼斯圆的定义阿波罗尼斯圆是由希腊数学家阿波罗尼斯于公元前二世纪提出的几何形状。

它是一个由一条直线在圆内滚动形成的特殊曲线。

在滚动过程中，圆内切于直线的两个端点沿圆的直径运动。

这意味着当直线滚动到圆的边缘时，其两个端点与圆心和圆上的一个点相重合。

二、阿波罗尼斯圆的性质1. 阿波罗尼斯圆的形状：阿波罗尼斯圆是一个内切于一个给定圆的圆。

它由直线的滚动生成，直线的滚动方向沿圆的直径。

2. 阿波罗尼斯圆的面积：阿波罗尼斯圆的面积计算是一个有趣的数学问题。

通过一定的几何推理和数学运算，我们可以得到阿波罗尼斯圆的面积公式。

三、为了计算阿波罗尼斯圆的面积，我们可以利用微积分的方法进行推导。

具体步骤如下：1. 假设给定圆的半径为r。

2. 在给定圆上任取一点作为圆的切点，将其坐标设为(x,0)。

3. 取一动直线，其方程为y=kx，其中k为直线的斜率。

4. 直线的滚动方向为沿圆的直径，因此当直线滚动到圆的边缘时，其斜率k满足下列关系式：k = r/x。

5. 利用微积分的相关知识，我们可以得到阿波罗尼斯圆的面积公式：S = 3πr^2。

四、阿波罗尼斯圆的应用阿波罗尼斯圆在数学和几何学中具有重要的应用价值。

以下是一些典型的应用场景：1. 工程建设：阿波罗尼斯圆的性质在工程建设中可以应用于制造曲面设计。

因为阿波罗尼斯圆可以描述两个不同曲率的曲面之间的过渡。

2. 圆轮设计：阿波罗尼斯圆的面积计算方法可以应用于圆轮设计中。

通过计算阿波罗尼斯圆的面积，可以更好地了解圆轮的内部结构。

3. 数学研究：阿波罗尼斯圆作为数学问题之一，一直受到数学家们的关注和研究。

APB 三、阿波罗尼斯圆背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一。

公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．如图，点B A ,为两定点，动点P 满足PB PA λ=，则1=λ时，动点P 的轨迹为直线；当1≠λ时，动点P 的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．证：设PB PA m m AB λ=>=,02）（．以AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则），，（0m A -），（0m B ．又设），（y x C ，则由PB PA λ=得2222)()(y m x y m x +-=++λ， 两边平方并化简整理得）（）（）（）（222222211121λλλλ-=-++--m y x m x ，当1=λ时，0=x ，轨迹为线段AB 的垂直平分线；当1≠λ时，22222222)1(4)11(-=+-+-λλλλm y m x ，轨迹为以点)0,11(22m -+λλ为圆心，122-λλm 长为半径的圆． 上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理．例1：（2008.江苏卷，13题）满足条件BC AC AB 2,2==的ABC ∆的面积的最大值是（ ） ． 【解析1】显然这又是一例“阿波罗圆”，建立建立直角坐标系，因为有1,2c λ==，代入阿波罗圆公式得：()2238x y -+=。

设圆心为M ，显然x CM ⊥轴时，ABC ∆面积最大,此时22,CM =()max 1222222ABC S ∆∴=⋅⋅=.【解析2】 利用余弦定理和函数的最值问题处理 设x BC AC 22==，所以：224222216242243cos xx x xx C -+-⇒-=，则：41624sin 2124-+-==x x C ab S ，所以：当122=x 时，ABC S ∆的最大值为22.该方法从余弦定理入手，虽然入手简单，但计算量较大，得分率不高. 【解析3】 建立平面直角坐标系处理最值问题以AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则），，（01-A ），（01B ， 设），（y x C ，由BC AC 2=得2222121y x y x +-⋅=++）（）（，整理得：88316222≤+--=-+-=）（x x x y ，∴22≤y ， 则22221≤⋅⨯=∆y S ABC ，所以ABC S ∆的最大值是22．【解析4】性质1：MA MB r ⋅=2证明：BM AM r BMrr AM k BM r r AM BM r r AM BC AC ⋅=⇒==⇒=++=--⇒=2λλ性质2：评注：既然ABC ∆存在，说明其轨迹不包括与x 轴的两个交点Q P ,，现在问Q P ,这两点究竟有什么性质？ 由于2PA CAPB CB==，∴CP 为ABC ∆的内角平分线；同理，CQ 为ABC ∆的外角平分线。

阿波罗尼斯圆逆定理证明阿波罗尼斯圆逆定理证明：阿波罗尼斯圆，又称阿波罗尼斯圆盘，是一个古老的数学概念。

它是由古希腊数学家阿波罗尼斯提出的，其相关定理在几何学领域具有重要的地位。

阿波罗尼斯圆逆定理是指，若一个圆内接四边形的对角线相等，则该圆为正方形。

本文将详细阐述阿波罗尼斯圆逆定理的证明过程及其应用。

首先，让我们简要了解一下阿波罗尼斯圆。

给定一个圆，圆内接四边形的对角线相等，那么这个圆就称为阿波罗尼斯圆。

阿波罗尼斯圆的性质丰富，包括对角线互相平分、直径等于对角线的一半等。

这些性质在几何学中具有广泛的应用。

接下来，我们来看阿波罗尼斯圆逆定理的证明。

假设四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC=BD。

我们需要证明：若AC=BD，则四边形ABCD为正方形。

证明过程如下：1.由于ABCD为圆内接四边形，根据阿波罗尼斯圆的性质，我们有∠A=∠C，∠B=∠D。

2.又因为AC=BD，所以∠A=∠C，∠B=∠D。

3.由此可知，四边形ABCD的两对相对角相等，即ABCD为平行四边形。

4.由于ABCD为平行四边形，且AC=BD，我们可以得出结论：四边形ABCD为矩形。

5.最后，由于矩形的对角线相等且垂直，我们有∠A=90°，同理∠B、∠C、∠D均为90°。

因此，四边形ABCD为正方形。

阿波罗尼斯圆逆定理的证明完毕。

这一定理在几何学中具有重要意义，它将圆内接四边形的性质与正方形的性质紧密联系在一起，为后续研究提供了丰富的理论基础。

在实际应用中，阿波罗尼斯圆逆定理可以用于解决一些涉及圆和正方形的问题。

例如，在给定一个圆内接四边形，可以利用阿波罗尼斯圆逆定理判断该四边形是否为正方形，从而简化问题。

此外，该定理还为其他几何问题的证明和求解提供了有力的工具。

总之，阿波罗尼斯圆逆定理是一个具有重要意义的几何定理。

阿波罗尼斯圆及其应用在数学的广袤天地中，阿波罗尼斯圆宛如一颗璀璨的明珠，闪耀着独特的光芒。

它不仅是一个富有魅力的几何概念，更在众多领域有着广泛而重要的应用。

要理解阿波罗尼斯圆，首先得从它的定义说起。

阿波罗尼斯圆是指平面内到两个定点的距离之比为常数（不为 1）的点的轨迹所形成的圆。

不妨假设平面内有两个定点 A 和 B，点 P 满足｜PA| ／｜PB| ＝ k （k 为非 1 常数），那么点 P 的轨迹就是一个圆。

这个圆就被称为阿波罗尼斯圆。

为了更直观地感受阿波罗尼斯圆，我们可以通过一个简单的作图来描绘它。

以 A、B 两点所在直线为 x 轴，AB 中点为原点建立直角坐标系。

设 A（a，0），B（a，0），点 P（x，y），则根据距离公式和已知条件可以得到一个方程，经过一系列的推导和化简，就能得出阿波罗尼斯圆的方程。

阿波罗尼斯圆具有许多有趣的性质。

比如，圆心一定在线段 AB 的中垂线上；当两个定点 A、B 固定，比值 k 变化时，阿波罗尼斯圆的大小和位置也会相应改变。

那么，阿波罗尼斯圆在实际中有哪些应用呢？在物理学中，它可以用来解决带电粒子在电场中的运动问题。

例如，当存在两个等量异种电荷时，电场线的分布就与阿波罗尼斯圆有着密切的关系。

通过分析电场中某点到两个电荷的距离之比，结合阿波罗尼斯圆的性质，能够更加清晰地了解电场的分布情况，从而预测带电粒子的运动轨迹。

在工程设计中，阿波罗尼斯圆也大有用武之地。

比如在道路规划中，如果要设计一条公路，使得从两个固定地点出发的车辆到达公路上某一点的距离之比保持恒定，就可以利用阿波罗尼斯圆来确定公路的最佳位置，以实现资源的最优分配和效率的最大化。

在数学竞赛中，阿波罗尼斯圆更是常常成为解题的关键工具。

许多看似复杂的几何问题，一旦引入阿波罗尼斯圆的概念，往往就能迎刃而解。

例如，对于一些涉及到三角形边长比例关系、点到定点距离关系的问题，通过构造阿波罗尼斯圆，可以找到隐藏的几何关系，从而简化计算和推理过程。

数学阿波罗尼斯圆
阿波罗尼斯圆指的是：平面内到两定点的距离之比为常数（常数不能是1）的点的轨迹是一个圆。

阿波罗尼斯圆，也称为费马点椭圆，是一种数学曲线。

它的名字源于古希腊数学家阿波罗尼斯，他发现了这种特殊曲线并进行了研究。

该曲线通常被用于解决平面几何问题。

阿波罗尼斯圆在实际问题中的应用非常广泛。

例如，在测量领域，阿波罗尼斯圆被用于测量两个已知点之间的距离。

具体来说，如果我们已知两个点A和B 的距离为d，那么我们就可以通过这两个点构造一个三角形，然后通过求解该三角形的阿波罗尼斯圆来得到d的值。

此外，阿波罗尼斯圆还被用于计算机图形学、机器人学等领域。

阿波罗尼斯圆和蒙日圆的问题一、知识点梳理一、阿波罗尼斯圆1.阿波罗尼斯圆的定义在平面上给定两点A ,B ，设P 点在同一平面上且满足PAPB=λ，当λ>0且λ≠1时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．(λ=1时P 点的轨迹是线段AB 的中垂线)2.阿波罗尼斯圆的证明设P x ,y ,A 1-a ,0 ,B a ,0 ．若PA PB =λ(λ>0且λ≠1)，则点P 的轨迹方程是x -λ2+1λ2-1a2+y 2=2aλλ2-12，其轨迹是以λ2+1λ2-1a ,0为圆心，半径为r =2aλλ2-1的圆．证明：由PA =λPB 及两点间距离公式，可得x +a 2+y 2=λ2x -a 2+y 2 ，化简可得1-λ2 x 2+1-λ2 y 2+21+λ2 ax +1-λ2 a 2=0①，(1)当λ=1时，得x =0，此时动点的轨迹是线段AB 的垂直平分线；(2)当λ≠1时，方程①两边都除以1-λ2得x 2+y 2+2a 1+λ2 x 1-λ2+a 2=0，化为标准形式即为：x -λ2+1λ2-1a2+y 2=2aλλ2-12，∴点P 的轨迹方程是以λ2+1λ2-1a ,0为圆心，半径为r =2aλλ2-1的圆．图① 图② 图③【定理】A ,B 为两已知点，M ,N 分别为线段AB 的定比为λλ≠1 的内外分点，则以MN 为直径的圆C 上任意点P 到A ,B 两点的距离之比为λ．证明：以λ>1为例．如图②，设AB =2a ，AM MB =AN NB =λ，则AM =2aλ1+λ,BM =2a -2aλ1+λ=2a1+λ，AN =2aλλ-1,BN =2aλλ-1-2a =2aλ-1．过B 作AB 的垂线圆C 交于Q ,R 两点，由相交弦定理及勾股定理得QB 2=MB ⋅BN =4a 2λ2-1,QA 2=AB 2+QB 2=4a 2λ2λ2-1，于是QB =2aλ2-1,QA =2aλ2-1,∴QA QB =λ．∵M ,Q ,N 同时在到A ,B 两点距离之比等于λ的圆上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，∴圆C 上任意一点P 到A ,B 两点的距离之比恒为λ．同理可证0<λ<1的情形．3.阿波罗尼斯圆的相关结论【结论1】当λ>1时，点B 在圆C 内，点A 在圆C 外；当0<λ<1时，点A 在圆C 内，点B 在圆C 外．【结论2】因AQ 2=AM ⋅AN ，故AQ 是圆C 的一条切线．若已知圆C 及圆C 外一点A ，可以作出与之对应的点B ，反之亦然．【结论3】所作出的阿波罗尼斯圆的直径为MN =4aλλ2-1 ，面积为4πa 2λ2λ2-12．【结论4】过点A 作圆C 的切线AQ (Q 为切点)，则QM ,QN 分别为∠AQB 的内、外角平分线．【结论5】阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分AB 和外分AB 所得的两个分点，如图所示，M 是AB 的内分点，N 是AB 的外分点，此时必有PM 平分∠APB ，PN 平分∠APB 的外角．证明：如图①，由已知可得PA PB =MA MB =NA NB =λ(λ>0且λ≠1)，∵S ΔPAM S ΔPBM =MA MB=λ，又S ΔPAM =12PA ⋅PM sin ∠APM ,S ΔPBM =12PB ⋅PM sin ∠BPM ,∴PA ⋅PM sin ∠APMPB ⋅PM sin ∠BPM=λ，∴sin ∠APM =sin ∠BPM ,∴∠APM =∠BPM ,∴PM 平分∠APB ．由等角的余角相等可得∠BPN =∠DPN ，∴PN 平分∠APB 的外角．【结论6】过点B 作圆C 不与QR 重合的弦EF ，则AB 平分∠EAF ．证明：如图③，连结ME ,MF ，由已知FA FB =EA EB =λ,∴EBFB =EA FA.∵S ΔABE S ΔABF =EB FB (λ>0且λ≠1)，又S ΔABE=12AB ⋅AE sin ∠BAE ,S ΔABF =12AB ⋅AF sin ∠BAF ,∴AB ⋅AE sin ∠BAEAB ⋅AF sin ∠BAF =EB FB =AE AF，∴sin ∠BAE =sin ∠BAF ,∴∠BAE =∠BAF ,∴AB 平分∠EAF ．∴sin ∠BAE =sin ∠BAF ,∴∠BAE =∠BAF ,∴AB 平分∠EAF ．二、蒙日圆1.蒙日圆的定义在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，如图1．证明：设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，则椭圆两条互相垂直的切线PA ,PB 交点P 的轨迹是蒙日圆：x 2+y 2=a 2+b 2．①当题设中的两条互相垂直的切线PA ,PB 斜率均存在且不为0时，可设P x 0,y 0 (x 0≠±a 且y 0≠±b )，过P 的椭圆的切线方程为y -y 0=k x -x 0 k ≠0 ，由y -y 0=k x -x 0 ,x 2a2+y 2b2=1,得a 2k 2+b 2 x 2-2ka 2kx 0-y 0 x +a 2kx 0-y 0 2-a 2b 2=0，由其判别式值为0，得x 20-a 2k 2-2x 0y 0k +y 20-b 2=0x 20-a 2≠0 ，∵k PA ,k PB 是这个关于k 的一元二次方程的两个根，∴k PA ⋅k PB =y 20-b2x 20-a2，由已知PA ⊥PB ,∴k PA ⋅k PB =-1,∴y 20-b 2x 20-a2=-1,∴x 20+y 20=a 2+b 2,∴点P 的坐标满足方程x 2+y 2=a 2+b 2．②当题设中的两条互相垂直的切线PA ,PB 有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标为±a ,b 或a ,±b ，此时点P 也在圆x 2+y 2=a 2+b 2上．综上所述：椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 两条互相垂直的切线PA ,PB 交点P 的轨迹是蒙日圆：x 2+y 2=a 2+b 2．2.蒙日圆的几何性质【结论1】过圆x 2+y 2=a 2+b 2上的动点P 作椭圆x 2a2+y 2b 2=1a >b >0 的两条切线PA ,PB ，则PA ⊥PB ．证明：设P 点坐标x 0,y 0 ，由x 2a 2+y 2b 2=1y -y 0=k x -x 0，得a 2k 2+b 2x 2-2ka 2kx 0-y 0x +a 2kx 0-y 0 2-a 2b 2=0，由其判别式的值为0，得x 20-a 2k 2-2x 0y 0k +y 20-b 2=0x 20-a 2≠0 ，∵k PA ，k PB 是这个关于k 的一元二次方程的两个根，∴k PA ⋅k PB =y 20-b 2x 20-a2，x 20+y 20=a 2+b 2，k PA ⋅k PB =y 20-b 2x 20-a 2=-1，PA ⊥PB ．【结论2】设P 为蒙日圆O ：x 2+y 2=a 2+b 2上任一点，过点P 作椭圆x 2a2+y 2b 2=1的两条切线，交椭圆于点A ,B,O为原点，则OP,AB的斜率乘积为定值k OP⋅k AB=-b2a2．【结论3】设P为蒙日圆O：x2+y2=a2+b2上任一点，过点P作椭圆x2a2+y2b2=1的两条切线，切点分别为A,B,O为原点，则OA,PA的斜率乘积为定值k OA⋅k PA=-b2a2，且OB,PB的斜率乘积为定值k OB⋅k PB=-b2a2(垂径定理的推广)．【结论4】过圆x2+y2=a2+b2上的动点P作椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两条切线，O为原点，则PO平分椭圆的切点弦AB．证明：P点坐标x0,y0，直线OP斜率k OP=y0x0，由切点弦公式得到AB方程x0xa2+y0yb2=1，k AB=-b2x0a2y0，k OP⋅k AB=-b2a2，由点差法可知，OP平分AB，如图M是中点．【结论5】设P为蒙日圆O:x2+y2=a2+b2上任一点，过点P作椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两条切线，交蒙日圆O于两点C，D，则OP,CD的斜率乘积为定值k OP⋅k CD=-b2a2．【结论6】设P为蒙日圆x2+y2=a2+b2上任一点，过点P作椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两条切线，切点分别为A,B,O为原点，则OA,OB的斜率乘积为定值：k OP⋅k CD=-b4a4．【结论7】设P为蒙日圆x2+y2=a2+b2上任一点，过点P作椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两条切线，切点分别为A,B,O为原点，则SΔAOB的最大值为ab2，SΔAOB的最小值为a2b2a2+b2．【结论8】设P为蒙日圆x2+y2=a2+b2上任一点，过点P作椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两条切线，切点分别为A,B，则SΔAPB的最大值为a4a2+b2,SΔAPB的最小值为b4a2+b2．二、题型精讲精练1设A，B是平面上两点，则满足PAPB=k(其中k为常数，k≠0且k≠1)的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，已知A6,0，B62,0，且k=2.(1)求点P所在圆M的方程.(2)已知圆Ω:x+22+y-22=5与x轴交于C，D两点(点C在点D的左边)，斜率不为0的直线l过点D且与圆M交于E，F两点，证明：∠ECD=∠FCD.2已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的一个焦点为5,0，离心率为53．(I)求椭圆C的标准方程；(II)若动点P x0,y0为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．【题型训练-刷模拟】1.阿波罗尼斯圆一、单选题1.(2023·全国·高三专题练习)我们都知道：平面内到两定点距离之比等于定值(不为1)的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点A-1,0和B2,1，且该平面内的点P满足|PA|=2|PB|，若点P的轨迹关于直线mx+ny-2=0(m,n>0)对称，则2m +5n的最小值是()A.10B.20C.30D.402.(2023·全国·高三专题练习)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆T:x2a2+y2b2=1(a>b>0),A,B为椭圆T长轴的端点，C,D为椭圆T短轴的端点，E，F分别为椭圆T的左右焦点，动点M满足MEMF=2,△MAB面积的最大值为46,△MCD面积的最小值为2，则椭圆T的离心率为()A.63B.33C.22D.323.(2023秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考期中)阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比MQ MP =λλ>0,λ≠1，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2+y2=1，定点Q为x轴上一点，P-1 2 ,0且λ=2，若点B1,1 ，则2MP+MB的最小值为()A.6B.7C.10D.114.(2023·广西·统考模拟预测)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数λ(λ>0且λ≠1)，那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点P到A2,0，B-2,0的距离比为3，则点P到直线l：22x -y-2=0的距离的最大值是()A.32+23B.2+23C.43D.635.(2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测)数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，A -2,0 ，动点M 满足MA =2MO ，得到动点M 的轨迹是阿氏圆C .若对任意实数k ，直线l :y =k x -1 +b 与圆C 恒有公共点，则b 的取值范围是()A.-133,133B.-143,143C.-153,153D.-43,436.(2023·全国·校联考模拟预测)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A ,B 的距离之比为定值λ(λ>0，且λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy 中，A -2,0 ,B 4,0 ，点P 满足PA PB=12.设点P 的轨迹为曲线C ，则下列说法错误的是()A.C 的方程为(x +4)2+y 2=16B.当A ,B ,P 三点不共线时，则∠APO =∠BPOC.在C 上存在点M ，使得|MO |=2|MA |D.若D 2,2 ，则PB +2PD 的最小值为457.(2023·四川成都·石室中学校考模拟预测)已知平面上两定点A ，B ，则所有满足PA PB=λ(λ>0且λ≠1)的点P 的轨迹是一个圆心在直线AB 上，半径为λ1-λ2⋅AB 的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知动点P 在棱长为6的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的一个侧面ABB 1A 1上运动，且满足PA =2PB ，则点P 的轨迹长度为()A.8π3B.4π3C.3πD.15π2二、多选题8.(2023秋·云南保山·高三统考期末)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A ,B 的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是一个圆，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，A -1,0 ,B 2,0 ，点P 满足PA PB=12，设点P 的轨迹为曲线C ，下列结论正确的是()A.曲线C 的方程为(x +2)2+y 2=4B.曲线C 与圆C :x 2+(y -2)2=4外切C.曲线C 被直线l :x +y =0截得的弦长为22D.曲线C 上恰有三个点到直线m :x +3y =0的距离为19.(2024·全国·高三专题练习)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆．”后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy 中，A (1,0)，B (3,0)，点P 满足PA PB=2，点P 的轨迹为曲线C ，下列结论正确的是()A.曲线C 的方程为x 2+y 2-10x +17=0B.直线3x +4y =0与曲线C 有公共点C.曲线C 被x 轴截得的弦长为42D.△ABP 面积的最大值为2210.(2023·全国·高三专题练习)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λλ≠1 的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy 中，A -2,0 ，B 4,0 ，点P 满足PA PB=12．设点P 的轨迹为C ，则( )．A.轨迹C 的方程为x +4 2+y 2=9B.在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E ，使得PD PE=12C.当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是∠APB 的角平分线D.在C 上存在点M ，使得MO =2MA11.(2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校联考阶段练习)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ(λ>0，且λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy 中，A -2,0 ，B 4,0 ，点P 满足PA PB=12.设点P 的轨迹为曲线C ，则下列说法正确的是()A.C 的方程为x +4 2+y 2=16B.当A ，B ，P 三点不共线时，则∠APO =∠BPOC.在C 上存在点M ，使得MO =2MAD.若D 2,2 ，则PB +2PD 的最小值为45三、填空题12.(2023·全国·高三专题练习)阿波罗尼斯(约前262-前190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k k >0,k ≠1 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点O 0,0 ，A 3,0 ，动点P 满足PO PA=12，则点P 的轨迹方程是．13.(2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试)阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为3，动点P 满足PA PB=2，则PA ⋅PB的范围为.14.(2023·全国·高三专题练习)阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k >0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有△ABC，BC=6,sin B=12sin C，当△ABC 的面积最大时，则AC的长为.15.(2023·河北衡水·校联考二模)希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λλ≠1的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A-3,1,B-3,6，点P是满足λ=63的阿氏圆上的任一点，若抛物线y=16x2的焦点为F，过点F的直线与此阿氏圆相交所得的最长弦与最短弦的和为.16.(2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模)已知平面上两定点A、B，则所有满足PAPB=λ(λ>0且λ≠1)的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为λ1-λ2⋅AB 的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆．已知棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上动点P满足PA=2PB，则点P的轨迹长度为．四、解答题17.(2023·全国·高三专题练习)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，A(-2,0)，B(4,0)，动点P满足|PA||PB|=12.设点P的轨迹为C1.(1)求曲线C1的方程；(2)若曲线C1和⊙C2:(x-4)2+(y-6)2=r2(r>0)无公共点，求r的取值范围.18.(2023·全国·高三专题练习)平面上两点A、B，则所有满足PAPB=k且k不等于1的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆.已知圆C1上的动点P满足：POPA=2(其中O为坐标原点，A点的坐标为0,3.(1)直线L︰y=x上任取一点Q，作圆C1的切线，切点分别为M，N，求四边形QMC1N面积的最小值；(2)在(1)的条件下，证明：直线MN恒过一定点并写出该定点坐标.19.(2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考期末)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M 与两定点Q ，P 的距离之比MQ MP=λλ>0,λ≠1 ，λ是一个常数，那么动点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ 上．已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x 2+y 2=4，定点分别为椭圆C :x 2a2+y 2b 2=1a >b >0 的右焦点F 与右顶点A ，且椭圆C 的离心率为e =12．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过右焦点F 斜率为k k >0 的直线l 与椭圆C 相交于B ，D (点B 在x 轴上方)，点S ，T 是椭圆C 上异于B ，D 的两点，SF 平分∠BSD ，TF 平分∠BTD ．①求BS DS的取值范围；②将点S 、F 、T 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT 外接圆的面积为81π8，求直线l 的方程．2.蒙日圆一、单选题1.(2023·全国·高三专题练习)加斯帕尔·蒙日(图1)是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”(图2)．则椭圆C :x 25+y 24=1的蒙日圆的半径为()A.3B.4C.5D.62.(2023·全国·高三专题练习)画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴､短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆x 26+y 2b 2=1的蒙日圆为x 2+y 2=10，则该椭圆的离心率为()A.33B.13C.23 D.633.(2023秋·新疆乌鲁木齐·高三校考阶段练习)法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的蒙日圆为C :x 2+y 2=43a 2，则椭圆Γ的离心率为()A.22B.32C.33D.634.(2023·江西·统考模拟预测)定义：圆锥曲线C :x 2a 2+y 2b 2=1的两条相互垂直的切线的交点Q 的轨迹是以坐标原点为圆心，a 2+b 2为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.已知椭圆C 的方程为x 25+y 24=1，P 是直线l :x +2y -3=0上的一点，过点P 作椭圆C 的两条切线与椭圆相切于M 、N 两点，O 是坐标原点，连接OP ，当∠MPN 为直角时，则k OP =()A.-34或43 B.125或0 C.-95或125D.-43或05.(2023·海南·统考模拟预测)画法几何的创始人--法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：过椭圆外一点作椭圆的两条互相垂直的切线，那么这一点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C :x 25+y 24=1的蒙日圆为圆C 1，若圆C 1不透明，则一束光线从点A -4,3 出发，经x 轴反射到圆C 1上的最大路程是()A.2B.4C.5D.86.(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆C :x 2a +y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为55，其蒙日圆方程为x 2+y 2=a 2+b 2，M 为蒙日圆上的一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线，与蒙日圆分别交于P ，Q 两点，若△MPQ 面积的最大值为36，则椭圆C 的长轴长为()A.25B.45C.23D.437.(2023·贵州毕节·校考模拟预测)加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形G 的四边均与椭圆M :x 26+y 24=1相切，则下列说法错误的是()A.椭圆M 的离心率为33B.椭圆M 的蒙日圆方程为x 2+y 2=10C.若G 为正方形，则G 的边长为25D.长方形G 的面积的最大值为188.(2023·全国·高三专题练习)研究发现椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，这个圆叫做椭圆的蒙日圆．设椭圆C 的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆C 上的任意一点，R 为椭圆C 的蒙日圆的半径．若PF 1 ⋅PF 2 的最小值为15R 2，则椭圆C 的离心率为()A.12B.22C.13D.339.(2023秋·安徽·高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习)法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的蒙日圆为C ：x 2+y 2=43a 2，过C 上的动点M 作Γ的两条切线，分别与C 交于P ，Q 两点，直线PQ 交Γ于A ，B 两点，则下列结论不正确的是()A.椭圆Γ的离心率为63B.△MPQ 面积的最大值为23a 2C.M 到Γ的左焦点的距离的最小值为23-6 a3D.若动点D 在Γ上，将直线DA ，DB 的斜率分别记为k 1，k 2，则k 1k 2=-13二、多选题10.(2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习)加斯帕尔·蒙日(如图甲)是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”(图乙)．已知长方形R 的四边均与椭圆C :x 25+y 24=1相切，则下列说法正确的是()A.椭圆C 的离心率为e =255B.椭圆C 的蒙日圆方程为x 2+y 2=6C.椭圆C 的蒙日圆方程为x 2+y 2=9D.长方形R 的面积最大值为1811.(2023·全国·高三专题练习)法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆Γ:x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的蒙日圆为C :x 2+y 2=32a 2，过C 上的动点M 作Γ的两条切线，分别与C 交于P ，Q 两点，直线PQ 交Γ于A ，B 两点，则()A.椭圆Γ的离心率为22B.△MPQ 面积的最大值为32a 2C.M 到Γ的左焦点的距离的最小值为2-2 aD.若动点D 在Γ上，将直线DA ，DB 的斜率分别记为k 1，k 2，则k 1k 2=-1212.(2023秋·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考期末)在椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆Γ:x 2+y 2=a 2+b 2上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.该圆由法国数学家G .Monge 1745-1818 最新发现.若椭圆C :x 22+y 2=1，则下列说法中正确的有()A.椭圆C 外切矩形面积的最大值为42B.点P x ,y 为蒙日圆Γ上任意一点，点M -23,0 ,N 23,0 ，当∠PMN 最大值时tan ∠PMN =2+3C.过椭圆C 的蒙日圆上一点P ，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于点Q ，若k OP ,k OQ 存在，则k OP ×k OQ 为定值-12D.若椭圆C 的左右焦点分别为F 1,F 2，过椭圆C 上一点P 和原点作直线l 与蒙日圆相交于M ,N ，且PF 1⋅PF 2=32，则PM ⋅PN =3213.(2023·江苏盐城·校考三模)画法几何的创始人--法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C :x 22+y 2=1.F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点，直线l 的方程为x +2y -3=0，M 为椭圆C 的蒙日圆上一动点，MA ,MB 分别与椭圆相切于A ,B 两点，O 为坐标原点，下列说法正确的是()A.椭圆C 的蒙日圆方程为x 2+y 2=3B.记点A 到直线l 的距离为d ，则d -AF 2 的最小值为433C.一矩形四条边与椭圆C 相切，则此矩形面积最大值为6D.△AOB 的面积的最小值为23，最大值为22三、填空题14.(2023·全国·高三专题练习)法国数学家蒙日(Monge ，1746-1818)发现：椭圆Γ:x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的两条互相垂直切线的交点P 的轨迹方程为：x 2+y 2=a 2+b 2，这个圆被称为蒙日圆．若某椭圆x 2a2+y 2=1a >1 对应的蒙日圆方程为x 2+y 2=5，则a =．15.(2023·全国·高三专题练习)若椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆中心，则称这个圆为蒙日圆.若椭圆C :x 2a2+y 24=1a 2>4 的蒙日圆的半径为23，则椭圆C 的离心率为.16.(2023春·吉林长春·高三长春十一高校考开学考试)“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆中心，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C ：x 2a +1+y 2a =1a >0 的蒙日圆方程为x 2+y 2=7，则椭圆C 的离心率为．17.(2023·全国·高三专题练习)画法几何的创始人--法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的蒙日圆方程为x 2+y 2=a 2+b 2，椭圆C 的离心率为22，M 为蒙日圆上一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线，与蒙日圆分别交于P 、Q 两点，则△MPQ 面积的最大值为.(用含b 的代数式表示)四、解答题18.(2023秋·浙江宁波·高三期末)法国数学家加斯帕尔·蒙日被誉为画法几何之父.他在研究椭圆切线问题时发现了一个有趣的重要结论：一椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆，尊称为蒙日圆，且蒙日圆的圆心是该椭圆的中心，半径为该椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根.已知在椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)中，离心率e =12，左、右焦点分别是F 1、F 2，上顶点为Q ，且QF 2 =2，O 为坐标原点.(1)求椭圆C 的方程，并请直接写出椭圆C 的蒙日圆的方程；(2)设P 是椭圆C 外一动点(不在坐标轴上)，过P 作椭圆C 的两条切线，过P 作x 轴的垂线，垂足H ，若两切线斜率都存在且斜率之积为-12，求△POH 面积的最大值.19.(2023·河南·校联考模拟预测)在椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆Γ：x 2+y 2=a 2+b 2上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆C 过P 1,22，Q -62,12 .(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的蒙日圆上一点M ，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点N ，若k OM ，k ON 存在，证明：k OM ⋅k ON 为定值.。

阿波罗尼斯圆和蒙日圆的问题一、知识点梳理一、阿波罗尼斯圆1.阿波罗尼斯圆的定义在平面上给定两点A ,B ，设P 点在同一平面上且满足PAPB=λ，当λ>0且λ≠1时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．(λ=1时P 点的轨迹是线段AB 的中垂线)2.阿波罗尼斯圆的证明设P x ,y ,A 1-a ,0 ,B a ,0 ．若PA PB =λ(λ>0且λ≠1)，则点P 的轨迹方程是x -λ2+1λ2-1a2+y 2=2aλλ2-12，其轨迹是以λ2+1λ2-1a ,0为圆心，半径为r =2aλλ2-1的圆．证明：由PA =λPB 及两点间距离公式，可得x +a 2+y 2=λ2x -a 2+y 2 ，化简可得1-λ2 x 2+1-λ2 y 2+21+λ2 ax +1-λ2 a 2=0①，(1)当λ=1时，得x =0，此时动点的轨迹是线段AB 的垂直平分线；(2)当λ≠1时，方程①两边都除以1-λ2得x 2+y 2+2a 1+λ2 x 1-λ2+a 2=0，化为标准形式即为：x -λ2+1λ2-1a2+y 2=2aλλ2-12，∴点P 的轨迹方程是以λ2+1λ2-1a ,0为圆心，半径为r =2aλλ2-1的圆．图① 图② 图③【定理】A ,B 为两已知点，M ,N 分别为线段AB 的定比为λλ≠1 的内外分点，则以MN 为直径的圆C 上任意点P 到A ,B 两点的距离之比为λ．证明：以λ>1为例．如图②，设AB =2a ，AM MB =AN NB =λ，则AM =2aλ1+λ,BM =2a -2aλ1+λ=2a1+λ，AN =2aλλ-1,BN =2aλλ-1-2a =2aλ-1．过B 作AB 的垂线圆C 交于Q ,R 两点，由相交弦定理及勾股定理得QB 2=MB ⋅BN =4a 2λ2-1,QA 2=AB 2+QB 2=4a 2λ2λ2-1，于是QB =2aλ2-1,QA =2aλ2-1,∴QA QB =λ．∵M ,Q ,N 同时在到A ,B 两点距离之比等于λ的圆上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，∴圆C 上任意一点P 到A ,B 两点的距离之比恒为λ．同理可证0<λ<1的情形．3.阿波罗尼斯圆的相关结论【结论1】当λ>1时，点B 在圆C 内，点A 在圆C 外；当0<λ<1时，点A 在圆C 内，点B 在圆C 外．【结论2】因AQ 2=AM ⋅AN ，故AQ 是圆C 的一条切线．若已知圆C 及圆C 外一点A ，可以作出与之对应的点B ，反之亦然．【结论3】所作出的阿波罗尼斯圆的直径为MN =4aλλ2-1 ，面积为4πa 2λ2λ2-12．【结论4】过点A 作圆C 的切线AQ (Q 为切点)，则QM ,QN 分别为∠AQB 的内、外角平分线．【结论5】阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分AB 和外分AB 所得的两个分点，如图所示，M 是AB 的内分点，N 是AB 的外分点，此时必有PM 平分∠APB ，PN 平分∠APB 的外角．证明：如图①，由已知可得PA PB =MA MB =NA NB =λ(λ>0且λ≠1)，∵S ΔPAM S ΔPBM =MA MB=λ，又S ΔPAM =12PA ⋅PM sin ∠APM ,S ΔPBM =12PB ⋅PM sin ∠BPM ,∴PA ⋅PM sin ∠APMPB ⋅PM sin ∠BPM=λ，∴sin ∠APM =sin ∠BPM ,∴∠APM =∠BPM ,∴PM 平分∠APB ．由等角的余角相等可得∠BPN =∠DPN ，∴PN 平分∠APB 的外角．【结论6】过点B 作圆C 不与QR 重合的弦EF ，则AB 平分∠EAF ．证明：如图③，连结ME ,MF ，由已知FA FB =EA EB =λ,∴EB FB =EA FA.∵S ΔABE S ΔABF =EBFB (λ>0且λ≠1)，又S ΔABE=12AB ⋅AE sin ∠BAE ,S ΔABF =12AB ⋅AF sin ∠BAF ,∴AB ⋅AE sin ∠BAE AB ⋅AF sin ∠BAF =EB FB =AEAF，∴sin ∠BAE =sin ∠BAF ,∴∠BAE =∠BAF ,∴AB 平分∠EAF ．∴sin ∠BAE =sin ∠BAF ,∴∠BAE =∠BAF ,∴AB 平分∠EAF ．二、蒙日圆1.蒙日圆的定义在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，如图1．证明：设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，则椭圆两条互相垂直的切线PA ,PB 交点P 的轨迹是蒙日圆：x 2+y 2=a 2+b 2．①当题设中的两条互相垂直的切线PA ,PB 斜率均存在且不为0时，可设P x 0,y 0 (x 0≠±a 且y 0≠±b )，过P 的椭圆的切线方程为y -y 0=k x -x 0 k ≠0 ，由y -y 0=k x -x 0 ,x 2a2+y 2b2=1,得a 2k 2+b 2 x 2-2ka 2kx 0-y 0 x +a 2kx 0-y 0 2-a 2b 2=0，由其判别式值为0，得x 20-a 2 k 2-2x 0y 0k +y 20-b 2=0x 20-a 2≠0 ，∵k PA ,k PB 是这个关于k 的一元二次方程的两个根，∴k PA ⋅k PB =y 20-b2x 20-a2，由已知PA ⊥PB ,∴k PA ⋅k PB =-1,∴y 20-b 2x 20-a2=-1,∴x 20+y 20=a 2+b 2,∴点P 的坐标满足方程x 2+y 2=a 2+b 2．②当题设中的两条互相垂直的切线PA ,PB 有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标为±a ,b 或a ,±b ，此时点P 也在圆x 2+y 2=a 2+b 2上．综上所述：椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 两条互相垂直的切线PA ,PB 交点P 的轨迹是蒙日圆：x 2+y 2=a 2+b 2．2.蒙日圆的几何性质【结论1】过圆x 2+y 2=a 2+b 2上的动点P 作椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的两条切线PA ,PB ，则PA ⊥PB ．证明：设P 点坐标x 0,y 0 ，由x 2a 2+y 2b 2=1y -y 0=k x -x 0，得a 2k 2+b 2x 2-2ka 2kx 0-y 0x +a 2kx 0-y 0 2-a 2b 2=0，由其判别式的值为0，得x 20-a 2 k 2-2x 0y 0k +y 20-b 2=0x 20-a 2≠0 ，∵k PA ，k PB 是这个关于k 的一元二次方程的两个根，∴k PA ⋅k PB =y 20-b 2x 20-a 2，x 20+y 20=a 2+b 2，k PA ⋅k PB =y 20-b 2x 20-a2=-1，PA ⊥PB ．【结论2】设P 为蒙日圆O ：x 2+y 2=a 2+b 2上任一点，过点P 作椭圆x 2a 2+y 2b2=1的两条切线，交椭圆于点A ,B,O为原点，则OP,AB的斜率乘积为定值k OP⋅k AB=-b2a2．【结论3】设P为蒙日圆O：x2+y2=a2+b2上任一点，过点P作椭圆x2a2+y2b2=1的两条切线，切点分别为A,B,O为原点，则OA,PA的斜率乘积为定值k OA⋅k PA=-b2a2，且OB,PB的斜率乘积为定值k OB⋅k PB=-b2a2(垂径定理的推广)．【结论4】过圆x2+y2=a2+b2上的动点P作椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两条切线，O为原点，则PO平分椭圆的切点弦AB．证明：P点坐标x0,y0，直线OP斜率k OP=y0x0，由切点弦公式得到AB方程x0xa2+y0yb2=1，k AB=-b2x0a2y0，k OP⋅k AB=-b2a2，由点差法可知，OP平分AB，如图M是中点．【结论5】设P为蒙日圆O:x2+y2=a2+b2上任一点，过点P作椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两条切线，交蒙日圆O于两点C，D，则OP,CD的斜率乘积为定值k OP⋅k CD=-b2a2．【结论6】设P为蒙日圆x2+y2=a2+b2上任一点，过点P作椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两条切线，切点分别为A,B,O为原点，则OA,OB的斜率乘积为定值：k OP⋅k CD=-b4a4．【结论7】设P为蒙日圆x2+y2=a2+b2上任一点，过点P作椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两条切线，切点分别为A,B,O为原点，则SΔAOB的最大值为ab2，SΔAOB的最小值为a2b2a2+b2．【结论8】设P为蒙日圆x2+y2=a2+b2上任一点，过点P作椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两条切线，切点分别为A,B，则SΔAPB的最大值为a4a2+b2,SΔAPB的最小值为b4a2+b2．二、题型精讲精练1设A ，B 是平面上两点，则满足PA PB=k (其中k 为常数，k ≠0且k ≠1)的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，已知A 6,0 ，B 62,0，且k =2.(1)求点P 所在圆M 的方程.(2)已知圆Ω:x +2 2+y -2 2=5与x 轴交于C ，D 两点(点C 在点D 的左边)，斜率不为0的直线l 过点D 且与圆M 交于E ，F 两点，证明：∠ECD =∠FCD .【详解】(1)解：由题意可得，PA PB=2，即PA =2PB ，则x -6 2+y 2=2x -622+y 2，整理得x 2+y 2=3，即圆M 的方程为x 2+y 2=3.(2)证明：对于圆Ω，令y =0，得x =-1或x =-3，所以C -3,0 ，D -1,0 .设直线l 的方程为x =ty -1，E x 1,y 1 ，F x 2,y 2 .由x =ty -1,x 2+y 2=3,得1+t 2 y 2-2ty -2=0，则y 1+y 2=2t 1+t 2，y 1y 2=-21+t 2.k CE +k CF =y 1x 1+3+y 2x 2+3=y 1x 2+3 +y 2x 1+3 x 1+3 x 2+3=y 1y 2t +2 +y 2ty 1+2 x 1+3 x 2+3 =2×ty 1y 2+y 1+y 2x 1+3 x 2+3 =2×-2t 1+t 2+2t 1+t 2x 1+3 x 2+3 =0则直线EC 与FC 关于x 轴对称，即∠ECD =∠FCD .2已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的一个焦点为5,0 ，离心率为53．(I )求椭圆C 的标准方程；(II )若动点P x 0,y 0 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．【详解】(I )可知c =5，又e =c a =5a =53,∴a =3,b 2=a 2-c 2=9-5=4，故椭圆C 的标准方程为x 29+y 24=1．(II )设两切线为l 1,l 2，①当l 1⊥x 轴或l 1⎳x 轴时，对应l 2⎳x 轴或l 2⊥x 轴，可知P ±3,2 或P 3,±2 ．②当l 1与x 轴不垂直且不平行时，x 0≠±3，设l 1的斜率为k ，则k ≠0,l 2的斜率为-1k，l 1的方程为y -y 0=k x -x 0 ，联立x 29+y 24=1，得9k 2+4 x 2+18k y 0-kx 0 x +9y 0-kx 0 2-4 =0，∵直线与椭圆相切，∴Δ=0，得18k 2y 0-kx 02-36y 0-kx 0 2-4 9k 2+4 =0,∴4y 0-kx 0 2-49k 2+4 =0，整理得x 20-9 k 2-2x 0y 0k +y 02-4=0(*)，∴k 是方程(*)的一个根，同理-1k是方程(*)的另一个根，其中x 0≠±3，∴点P 的轨迹方程为x 2+y 2=13x ≠±3 ，又P ±3,2 或P 3,±2 满足上式．综上知：点P 的轨迹方程为x 2+y 2=13．【题型训练-刷模拟】1.阿波罗尼斯圆一、单选题1.(2023·全国·高三专题练习)我们都知道：平面内到两定点距离之比等于定值(不为1)的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点A -1,0 和B 2,1 ，且该平面内的点P 满足|PA |=2|PB |，若点P 的轨迹关于直线mx +ny -2=0(m ,n >0)对称，则2m +5n的最小值是()A.10B.20C.30D.40【答案】B【分析】点P 的轨迹为圆，直线mx +ny -2=0过圆心，得5m +2n =2，利用基本不等式求2m +5n的最小值.【详解】设点P 的坐标为x ,y ，因为PA =2PB ，则PA 2=2PB 2，即x +1 2+y 2=2x -2 2+y -1 2 ，所以点P 的轨迹方程为(x -5)2+(y -2)2=20，因为P 点的轨迹关于直线mx +ny -2=0m >0,n >0 对称，所以圆心5,2 在此直线上，即5m +2n =2，所以2m +5n =125m +2n 2m +5n =1220+4n m +25m n ≥10+12×24n m ⋅25m n=20，当且仅当4n m =25m n ，即m =15,n =12时，等号成立，所以2m +5n的最小值是20.故选：B .2.(2023·全国·高三专题练习)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k (k >0且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆T :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b>0),A ,B 为椭圆T 长轴的端点，C ,D 为椭圆T 短轴的端点，E ，F 分别为椭圆T 的左右焦点，动点M 满足ME MF=2,△MAB 面积的最大值为46,△MCD 面积的最小值为2，则椭圆T 的离心率为()A.63B.33C.22D.32【答案】A【分析】由题可得动点M 的轨迹方程x -5c 3 2+y 2=16c 29，可得12×2a ×43c =46，12×2b ×13c =2，即求.【详解】设M x ,y ，E -c ,0 ,F c ,0 ，由ME MF=2，可得x +c2+y 2=2x -c 2+y 2=2，化简得x -5c 3 2+y 2=16c 29.∵△MAB 面积的最大值为46,△MCD 面积的最小值为2，∴12×2a ×43c =46，12×2b ×13c =2，∴b 2=13a 2=a 2-c 2，即c 2=23a 2，∴e =63．故选：A ．3.(2023秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考期中)阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点Q ，P 的距离之比MQ MP=λλ>0,λ≠1 ，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x 2+y 2=1，定点Q 为x 轴上一点，P -12,0 且λ=2，若点B 1,1 ，则2MP +MB 的最小值为()A.6B.7C.10D.11【答案】C【分析】根据点M 的轨迹方程可得Q -2,0 ，结合条件可得2MP +MB =MQ +MB ≥QB ，即得.【详解】设Q a ,0 ，M x ,y ，所以MQ =x -a2+y 2，又P -12,0 ，所以MP =x +122+y 2．因为MQ MP=λ且λ=2，所以x -a2+y 2x +122+y 2=2，整理可得x 2+y 2+4+2a 3x =a 2-13，又动点M 的轨迹是x 2+y 2=1，所以4+2a3=0a 2-13=1，解得a =-2，所以Q -2,0 ，又MQ =2MP ，所以2MP +MB =MQ +MB ，因为B 1,1 ，所以2MP +MB 的最小值为BQ =1+22+1-0 2=10．故选：C ．4.(2023·广西·统考模拟预测)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P 到两个定点的距离之比为常数λ(λ>0且λ≠1)，那么点P 的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点P 到A 2,0 ，B -2,0 的距离比为3，则点P 到直线l ：22x -y -2=0的距离的最大值是()A.32+23B.2+23C.43D.63【答案】A【分析】先由题意求出点P 的轨迹方程，再由直线和圆的位置关系求解即可.【详解】由题意，设点P x ,y ，则PA PB=x -22+y 2x +2 2+y2=3，∴x -22+y 2x +2 2+y 2=3，化简得点P 的轨迹方程为x +4 2+y 2=12，∴点P 的轨迹是以-4,0 为圆心，半径r =23的圆.圆心-4,0 到直线l ：22x -y -2=0的距离d =-82-222 2+-12=32，∴点P 到直线l 最大距离为d +r =32+2 3.故选：A .5.(2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测)数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，A -2,0 ，动点M 满足MA =2MO ，得到动点M 的轨迹是阿氏圆C .若对任意实数k ，直线l :y =k x -1 +b 与圆C 恒有公共点，则b 的取值范围是()A.-133,133B.-143,143C.-153,153D.-43,43【答案】C【分析】设点M x ,y ，求出动点M 的轨迹圆C 的方程，再求出直线l 过定点坐标，依题意点1,b 在圆C 的内部，即可得到不等式，解得即可.【详解】设点M x ,y ，∵MA =2MO ，∴(x +2)2+y 2=4x 2+4y 2，所以动点M 的轨迹为阿氏圆C ：3x 2+3y 2-4x -4=0，又直线l :y =k x -1 +b 恒过点1,b ，若对任意实数k 直线l :y =k x -1 +b 与圆C 恒有公共点，∴1,b 在圆C 的内部或圆上，所以3+3b 2-8≤0，所以3b 2≤5，解得-153≤b ≤153，即b 的取值范围为-153,153.故选：C6.(2023·全国·校联考模拟预测)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A ,B 的距离之比为定值λ(λ>0，且λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy 中，A -2,0 ,B 4,0 ，点P 满足PA PB=12.设点P 的轨迹为曲线C ，则下列说法错误的是()A.C 的方程为(x +4)2+y 2=16B.当A ,B ,P 三点不共线时，则∠APO =∠BPOC.在C 上存在点M ，使得|MO |=2|MA |D.若D 2,2 ，则PB +2PD 的最小值为45【答案】C【分析】根据已知条件及两点之间的距离公式，利用三角形的角平分线定理及圆与圆的位置关系，结合三点共线时线段取得最短即可求解.【详解】设P x ,y ，由PAPB =12，得x +2 2+y 2x -42+y 2=12，化简得(x +4)2+y 2=16，故A 正确；当A ,B ,P 三点不共线时，OA OB =12=PA PB，所以PO 是∠APB 的角平分线，所以∠APO =∠BPO ，故B 正确；设M x ,y ,则x 2+y 2=2x +2 2+y 2，化简得x +832+y 2=169，因为-4+832+0-02=43<4-43，所以C 上不存在点M ，使得|MO |=2|MA |，故C 错误；因为PA PB=12，所以PB =2PA ，所以PB +2PD =2PA +2PD ≥2AD =45，当且仅当P 在线段AD 上时，等号成立，故D 正确.故选：C .7.(2023·四川成都·石室中学校考模拟预测)已知平面上两定点A ，B ，则所有满足PA PB=λ(λ>0且λ≠1)的点P 的轨迹是一个圆心在直线AB 上，半径为λ1-λ2⋅AB 的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知动点P 在棱长为6的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的一个侧面ABB 1A 1上运动，且满足PA =2PB ，则点P 的轨迹长度为()A.8π3B.4π3C.3πD.15π2【答案】B【分析】根据阿氏圆的定义分析得P 点轨迹为球与侧面的交线，计算其弧长即可【详解】在图1中，以B 为原点建立平面直角坐标系xBy ，如图2所示，设阿氏圆圆心为O a ,0 ，半径为r .因为PA =2PB ，所以PA PB=2，所以r =21-22⋅AB =23×6=4.设圆O 与AB 交于点M .由阿氏圆性质，知MA MB=λ=2.又MB =4-BO =4-a ，所以MA =2MB =8-2a .又MA +MB =6，所以8-2a +4-a =6，解得a =2，所以O 2,0 ，所以点P 在空间内的轨迹为以O 为球心，半径为4的球.当点P 在侧面ABB 1A 1内部时，如图2所示，截面圆与AB ，BB 1分别交于点M ，R ，所以点P 在侧面ABB 1A 1内的轨迹为MR.因为在Rt △RBO 中，RO =4，BO =2，所以∠ROB =π3，所以MR=π3×4=4π3，所以点P 在侧面ABB 1A 1内部的轨迹长为4π3.故选：B.二、多选题8.(2023秋·云南保山·高三统考期末)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是一个圆，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A-1,0,B2,0，点P满足PAPB=12，设点P的轨迹为曲线C，下列结论正确的是()A.曲线C的方程为(x+2)2+y2=4B.曲线C与圆C :x2+(y-2)2=4外切C.曲线C被直线l:x+y=0截得的弦长为22D.曲线C上恰有三个点到直线m:x+3y=0的距离为1【答案】ACD【分析】对于A，设点P x,y，由两点间距离公式代入化简判断；对于B，根据圆心距与两半径和的关系进行判断；对于C，先求出点到直线的距离，再结合勾股定理求出弦长；对于D，结合点到直线的距离以及圆C 的半径分析判断.【详解】对于A，设P x,y，由定义PAPB=12，得(x+1)2+y2(x-2)2+y2=12，化简整理得(x+2)2+y2=4，故A正确；对于B，C的圆心为-2,0，半径r1=2；C 的圆心为0,2，半径r2=2；圆心距CC =22≠r1+r2，故B错误；对于C，圆心C-2,0到直线l:x+y=0的距离d=22=2，所以弦长为2r12-d2=22，故C正确；对于D，圆心C-2,0到直线m:x+3y=0的距离d=22=1，半径r=2，所以圆C上恰有三个点到直线m的距离为1,故D正确.故选：ACD.9.(2024·全国·高三专题练习)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆．”后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，A(1,0)，B(3,0)，点P满足PAPB=2，点P的轨迹为曲线C，下列结论正确的是()A.曲线C的方程为x2+y2-10x+17=0B.直线3x+4y=0与曲线C有公共点C.曲线C被x轴截得的弦长为42D.△ABP面积的最大值为22【答案】ACD【分析】通过阿氏圆的定义结合PAPB=2，设P x,y，从而可以得到曲线C的方程；通过计算圆心到直线3x+4y=0的距离是否小于等于半径，从而判断B的正确性；计算圆心到x轴的距离d，结合d2+l22=r2，得到曲线C被x轴截得的弦长l，从而判断C的正确性；AB的长度确定，所以△ABP面积的最大值即为点P到AB距离的最大值，从而判断C的正确性.【详解】设P x,y，对于选项A，因为PAPB=2，所以x-12+y2x-32+y2=2，化简得x2+y2-10x+17=0，故A正确；对于选项B，因为曲线C为x2+y2-10x+17=0，所以圆心为5,0，半径为22，计算圆心5,0到直线3x +4y=0的距离为d=3>22，所以直线3x+4y=0与曲线C没有公共点，故B错误；对于选项C，曲线C的圆心在x轴上，所以被x轴截得的弦即为直径，所以曲线C被x轴截得的弦长为42，故C正确；对于选项D，因为A(1,0)，B(3,0)，所以AB=2,故S△ABP=12⋅AB⋅y p =y p ，而曲线C为x2+y2-10x+17=0，所以y p∈-22,22，即S△ABP的最大值为22，故D正确.故选：ACD10.(2023·全国·高三专题练习)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λλ≠1的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，A-2,0，B4,0，点P满足PAPB=12．设点P的轨迹为C，则( )．A.轨迹C的方程为x+42+y2=9B.在x轴上存在异于A，B的两点D，E，使得PDPE=12C.当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的角平分线D.在C上存在点M，使得MO=2MA【答案】BC【分析】利用求轨迹方程的方法确定轨迹C的方程可判断A；设D m，0，E n，0，由两点间的距离公式结合轨迹C的方程可判断B；由角平分线的定义可判断C；设M x，y，由MO=2MA求出点M的轨迹方程与x2+y2+8x=0联立，可判断D.【详解】对于A，在平面直角坐标系xOy中，A-2，0，B4，0，点P满足PAPB=12，设P x，y，则x+22+y2x-42+y2=12，化简得x2+y2+8x=0，即x+42+y2=16，所以A错误；对于B，假设在x轴上存在异于A，B的两点D，E，使得PDPE=12，设D m，0，E n，0，则x-n2+y2=2x-m2+y2，化简得3x2+3y2-8m-2nx+4m2-n2=0，由轨迹C的方程为x2+y2+8x=0，可得8m-2n=-24，4m2-n2=0，解得m=-6，n=-12或m=-2，n=4(舍去)，所以B正确；对于C，当A，B，P三点不共线时，OAOB =12=PAPB，可得射线PO是∠APB的角平分线，所以C正确；对于D，若在C上存在点M，使得MO=2MA，可设M x，y，则x2+y2=2x+22+y2，化简得x2+y2+163x+163=0，与x2+y2+8x=0联立，方程组无解，故不存在点M，所以D错误．故选：BC．11.(2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校联考阶段练习)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ>0，且λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中，A-2,0，B4,0，点P满足PAPB=12.设点P的轨迹为曲线C，则下列说法正确的是()A.C 的方程为x +4 2+y 2=16B.当A ，B ，P 三点不共线时，则∠APO =∠BPOC.在C 上存在点M ，使得MO =2MAD.若D 2,2 ，则PB +2PD 的最小值为45【答案】ABD【分析】对于A ，通过直接法求出点P 的轨迹方程即可判断；对于B ，由题意，结合三角形内角平分线定理进行判断即可；对于C ，由“阿波罗尼斯圆”定义，求点M 轨迹方程，用圆与圆的位置关系进行判断即可；对于D ，将PB +2PD 转化为2PA +2PD 进行判断即可.【详解】设P x ,y ，(P 不与A ，B 重合)∵A -2,0 ，B 4,0 ，∴PA =x +22+y 2，PB =x -42+y 2，∴PAPB=12，得x +2 2+y 2x -42+y 2=12，化简得x +4 2+y 2=16，∴点P 的轨迹曲线C 是以C -4,0 为圆心，半径r =4的圆，对于A ，曲线C 的方程为x +4 2+y 2=16，故选项A 正确；对于B ，由已知，OA =2，OB =4，∴OA OB=12=PA PB，∴当A ，B ，P 三点不共线时，由三角形内角平分线定理知，PO 是△APB 内角∠APB 的角平分线，∴∠APO =∠BPO ，故选项B 正确；对于C ，若MO =2MA ，则MO MA=2，由题意，M 点轨迹是圆，设M x ,y ，由MO MA=2得x 2+y 2x +22+y 2=2，化简得点M 轨迹方程为x +832+y 2=169，即点M 的轨迹是圆心为C -83,0 ，半径r =43的圆，圆C 与圆C 的圆心距CC =-4+832+0-0 2=43<r -r =83，∴圆C 与圆C 的位置关系为内含，圆C 与圆C 无公共点，∴C 上不存在点M ，使得MO =2MA ，故选项C 错误；对于D ，∵PA PB=12，∴PB =2PA ，∴PB +2PD =2PA +2PD =2PA +PD ≥2AD =2×-2-22+0-2 2=45，当且仅当P 在线段AD 上时，等号成立，故选项D 正确.故选：ABD .三、填空题12.(2023·全国·高三专题练习)阿波罗尼斯(约前262-前190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k k >0,k ≠1 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点O 0,0 ，A 3,0 ，动点P 满足PO PA=12，则点P 的轨迹方程是．【答案】x +1 2+y 2=4【分析】直接设点P 的坐标，利用两点间距离公式代入化简整理可求点P 的轨迹方程．【详解】设P x ,y ，PO PA=12即x 2+y 2x -32+y 2=12，整理得：x 2+y 2+2x -3=0即x +1 2+y 2=4．故答案为：x +1 2+y 2=4．13.(2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试)阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为3，动点P 满足PA PB=2，则PA ⋅PB的范围为.【答案】-2,18【分析】以AB 中点为原点O ，以AB 所在直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则A -32,0 ，B 32,0 .设P x ,y ，由题可得点P 轨迹方程，后可得答案.【详解】以AB 中点为原点O ，以AB 所在直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，因为AB =3，所以A -32,0 ，B 32,0 .设P x ,y ，因为PA PB=2，所以x +322+y 2=2⋅x -322+y 2，整理得x 2+y 2-5x +94=0，即x -522+y 2=4.y 2=4-x -522≥0⇒x ∈12,92.又PA =-32-x ,-y ，PB =32-x ,-y ，则PA ⋅PB =x 2+y 2-94=x 2+4-x -52 2-94=5x -92，则PA ⋅PB ∈-2,18 .故答案为：-2,1814.(2023·全国·高三专题练习)阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k (k >0且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有△ABC ，BC =6,sin B =12sin C ，当△ABC 的面积最大时，则AC 的长为.【答案】25【分析】利用正弦定理将角化边，即可求得点A 的轨迹方程，然后确定三角形面积的最大值和点A 的坐标，最后求解AC 的长度即可．【详解】解：因为sin B =12sin C ，由正弦定理可得b =12c ，即c =2b ，因为BC =6，不妨令B (-3,0)，C (3,0)，建立如图所示的平面直角坐标系，设点A 的坐标为A x ,y y ≠0 ，点A 的轨迹方程满足：(x +3)2+y 2=2(x -3)2+y 2，整理可得：(x -5)2+y 2=16，y ≠0 ，即点A 的轨迹是以(5,0)为圆心，4为半径的圆(除与x 轴两交点外)，当点A 的坐标A (5,4)或A (5,-4)时三角形的面积最大，其最大值为S =12×6×4=12，由勾股定理可得AC =22+42=25．故答案为：25．15.(2023·河北衡水·校联考二模)希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λλ≠1 的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，A -3,1 ,B -3,6 ，点P 是满足λ=63的阿氏圆上的任一点，若抛物线y =16x 2的焦点为F ，过点F 的直线与此阿氏圆相交所得的最长弦与最短弦的和为.【答案】106+123【分析】由阿氏圆的定义得到点P 的轨迹方程，即阿氏圆的方程，然后由圆的性质即可求解.【详解】设P x ,y ，由阿氏圆的定义可得PA PB=63，即(x +3)2+(y -1)2(x +3)2+(y -6)2=23，化简得x 2+y 2+6x +18y -60=0.所以(x +3)2+(y +9)2=150，所以点P 在圆心为-3,-9 ，半径为56的圆上，因为抛物线C :y =16x 2的焦点为F .所以F 0,32，因为(0+3)2+32+92=4774<150.所以点F 在圆(x +3)2+(y +9)2=150内，因为点F 到与圆心的距离为4774=4772，所以过点F 的最短弦长为2150-4774=123，过点F 的最长弦长为2150=106，所以过点F 的最长弦与最短弦的和为106+123.故答案为：106+12316.(2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模)已知平面上两定点A 、B ，则所有满足PA PB=λ(λ>0且λ≠1)的点P 的轨迹是一个圆心在直线AB 上，半径为λ1-λ2⋅AB 的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆．已知棱长为3的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1表面上动点P 满足PA =2PB ，则点P 的轨迹长度为．【答案】43π+32π【分析】以B 为原点建立平面直角坐标系xBy ，结合题意可得点P 在空间内的轨迹为以O 1,0 为球心，半径为2的球.再根据球的性质求解即可.【详解】在图1中，以B 为原点建立平面直角坐标系xBy 如图2所示，设阿氏圆圆心为O a ,0 ，半径为r ，因为PA =2PB ，所以PA PB=2，所以r =21-22⋅AB =23×3=2，设圆O 与AB 交于点M ，由阿氏圆性质，知MA MB=λ=2，又MB =2-BO =2-a ，所以MA =2MB =4-2a ，又MA +MB =3，所以4-2a +2-a =3，解得a =1，所以O 1,0 ，所以点P 在空间内的轨迹为以O 为球心，半径为2的球，当点P 在面ABB 1A 1内部时，如图2所示，截面圆与AB ,BB 1分别交于点M ,R ，所以点P 在面ABB 1A 1内的轨迹为MR，因为在Rt △RBO 中，RO =2,BO =1，所以∠ROB =π3，所以MR=π3×2=2π3，所以点P 在面ABB 1A 1内部的轨迹长为2π3，同理，点P 在面ABCD 内部的轨迹长为2π3，当点P 在面BCC 1B 1内部时，如图3所示，因为OB ⊥平面BCC 1B 1，所以平面BCC 1B 1截球所得小圆是以B 为圆心，以BP 长为半径的圆，截面圆与BB 1,BC 分别交于点R ,Q ，且BP =OP 2-OB 2=4-1=3，所以点P 在面BCC 1B 1内的轨迹为RQ，且RQ=π2×3=32π，综上，点P 的轨迹长度为2π3+2π3+32π=43π+32π.故答案为：43π+32π.【点睛】方法点睛：求球与平面公共点轨迹长度时先求出平面截球所得圆面的半径，当截面为完整的圆时可直接求圆周长，当截面只是圆的一部分时先求圆心角的大小再计算弧长.四、解答题17.(2023·全国·高三专题练习)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy 中，A (-2,0)，B (4,0)，动点P 满足|PA ||PB |=12.设点P 的轨迹为C 1.(1)求曲线C 1的方程；(2)若曲线C 1和⊙C 2:(x -4)2+(y -6)2=r 2(r >0)无公共点，求r 的取值范围.【答案】(1)(x +4)2+y 2=16(2)(0,6)∪(14,+∞)【分析】(1)设P (x ,y )，然后根据|PA ||PB |=12列方程化简计算即可得曲线C 1的方程，(2)先求出两圆的圆心和半径，再由题意可得两圆外离或内含，从而可得C 1C 2 >4+r 或C 1C 2 <r -4，从而可求出r 的取值范围(1)设P (x ,y )，因为A (-2,0)，B (4,0)，动点P 满足|PA ||PB |=12，所以(x +2)2+y 2(x -4)2+y 2=12，化简得x 2+y 2+8x =0，即(x +4)2+y 2=16，所以曲线C 1的方程为(x +4)2+y 2=16，(2)曲线C 1的圆心为C 1(-4,0)，半径为4，⊙C 2:(x -4)2+(y -6)2=r 2(r >0)的圆心为C 2(4,6)，半径为r ，因为曲线C 1和⊙C 2:(x -4)2+(y -6)2=r 2(r >0)无公共点，所以两圆外离或内含，所以C 1C 2 >4+r 或C 1C 2 <r -4，所以(-4-4)2+(0-6)2=10>4+r 或(-4-4)2+(0-6)2=10<r -4，所以0<r <6或r >14，所以r 的取值范围为(0,6)∪(14,+∞)18.(2023·全国·高三专题练习)平面上两点A 、B ，则所有满足PA PB=k 且k 不等于1的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆.已知圆C 1上的动点P 满足：PO PA=2(其中O 为坐标原点，A 点的坐标为0,3 .(1)直线L ︰y =x 上任取一点Q ，作圆C 1的切线，切点分别为M ，N ，求四边形QMC 1N 面积的最小值；(2)在(1)的条件下，证明：直线MN 恒过一定点并写出该定点坐标.【答案】(1)4；(2)证明见解析，1,3 .【分析】(1)设点P 的坐标为x ,y ，求出点P 的轨迹方程为x 2+(y -4)2=4，求出S QMC 1N =2S △QMC 1=2QM ，QM =|C 1Q |2-4，求出|QM |最小值即得解；(2)设Q a ,a ，两圆方程相减可得MN 的方程为a x +y -4 -4y -12 =0，即得解.【详解】(1)解：设点P 的坐标为x ,y ，根据题设条件有P ∈P PO =2PA ， 所以有x 2+y 2=2x 2+y -3 2，化简得x 2+(y -4)2=4. 所以S QMC 1N =2S △QMC 1=2×12C 1M ⋅QM =2QM QM =C 1Q |2- C 1M |2=|C 1Q |2-4，由题知，当C 1Q ⊥L 时，此时C 1Q =d =0-42=22，|QM |最小，即四边形QMC 1N 面积取得最小值4.(2)解；设Q a ,a ，由几何性质，可知M ，N 两点在以C 1Q 为直径的圆上，此圆的方程为x x -a +y -4 y -a =0，而直线MN 是此圆与圆C 1的相交弦所在直线，相减可得MN 的方程为a x +y -4 -4y -12 =0，所以直线MN 恒过定点1,3 .19.(2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考期末)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M 与两定点Q ，P 的距离之比MQ MP=λλ>0,λ≠1 ，λ是一个常数，那么动点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ 上．已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x 2+y 2=4，定点分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点F 与右顶点A ，且椭圆C 的离心率为e =12．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过右焦点F 斜率为k k >0 的直线l 与椭圆C 相交于B ，D (点B 在x 轴上方)，点S ，T 是椭圆C 上异于B ，D 的两点，SF 平分∠BSD ，TF 平分∠BTD ．①求BS DS的取值范围；②将点S 、F 、T 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT 外接圆的面积为81π8，求直线l 的方程．【答案】(1)x 28+y 26=1；(2)①13,1 ；②y =52x -102．【分析】(1)方法1，利用特殊值法，求得椭圆方程，方法2，利用定义整理得x 2+y 2+2x -2aλ2λ2-1x +λ2a 2-c 2λ2-1=0，再根据条件列式求得椭圆方程；方法3，利用定义进行整理，由MF MA为常数，求得系数，得到椭圆方程；(2)①首先由面积比值求得BS DS=BF DF，令BF DF=λ，则BF =λFD，利用坐标表示向量，求得λ=35-2x 0，再求范围；②由阿波罗尼斯圆定义知，S ，T ，F 在以B ，D 为定点得阿波罗尼斯圆上，由几何关系列式得BF DF=2r -BF 2r +DF，求得r ，再根据1BF-1DF=2-2x 0322-12x 0=229，求得x 0,y 0，即可计算直线方程.【详解】(1)方法(1)特殊值法，令M ±2,0 ，c -2a -2=c +2a +2，且a =2c ，解得c 2=2∴a 2=8，b 2=a 2-c 2=6，椭圆C 的方程为x 28+y 26=1方法(2)设M x ,y ，由题意MF MA=x -c2+y 2x -a 2+y2=λ(常数)，整理得：x 2+y 2+2x -2aλ2λ2-1x +λ2a 2-c 2λ2-1=0，故2c -2aλ2λ2-1=0λ2a 2-c 2λ2-1=-4，又c a =12，解得：a =22，c =2．∴b 2=a 2-c 2=6，椭圆C 的方程为x 28+y 26=1．方法(3)设M x ,y ，则x 2+y 2=4．由题意MF MA=x -c 2+y 2x -a2+y2=x -c 2+4-x 2x -a2+4-x2=c 2+4-2cxa 2+4-2ax∵MF MA为常数，∴c 2+4a 2+4=c a ，又c a =12，解得：a 2=8，c 2=2，故b 2=a 2-c 2=6∴椭圆C 的方程为x 28+y 26=1(2)①由S △SBF S △SDF =12SB ⋅SF ⋅sin ∠BSF 12SD⋅SF ⋅sin ∠DSF =SB SD ，又S △SBF S △SDF =BF DF ，∴BS DS=BF DF(或由角平分线定理得)。

阿波罗尼斯圆及其应用在数学的广袤天地中，阿波罗尼斯圆宛如一颗璀璨的明珠，散发着独特的魅力。

它不仅是一个具有深刻理论内涵的几何图形，更在实际应用中展现出了强大的威力。

要理解阿波罗尼斯圆，首先得从它的定义说起。

阿波罗尼斯圆是指平面内到两个定点的距离之比为定值（这个定值不为 1）的点的轨迹所形成的圆。

假设两个定点分别为 A、B，点 P 满足\（＼frac{PA}｛PB}＝ k\）（＼（k\neq 1\）），那么点 P 的轨迹就是一个阿波罗尼斯圆。

让我们通过一个具体的例子来感受一下阿波罗尼斯圆的形成过程。

假设点 A 的坐标为\（（－1, 0)＼），点 B 的坐标为\（（1, 0)＼），且\（k ＝ 2\）。

那么，我们可以设点 P 的坐标为\（（x, y)＼）。

根据两点间的距离公式，＼（PA ＝＼sqrt{（x ＋ 1)＾2 ＋ y^2}＼），＼（PB ＝＼sqrt{（x 1)＾2 ＋ y^2}＼）。

因为\（＼frac{PA}｛PB} ＝ 2\），所以\（＼frac{＼sqrt{（x ＋ 1)＾2 ＋ y^2}｝｛＼sqrt{（x 1)＾2 ＋ y^2}｝＝ 2\），两边平方并化简可得\（（x ＼frac{5}｛3}）＾2 ＋ y^2 ＝＼frac{16}｛9}＼），这就是一个以\（（＼frac{5}｛3}， 0)＼）为圆心，以\（＼frac{4}｛3}＼）为半径的圆。

阿波罗尼斯圆具有许多有趣的性质。

比如，圆心在线段 AB 的中垂线上；当两个定点之间的距离固定时，比值\（k\）越大，圆的半径就越大；而且过两个定点的直线与阿波罗尼斯圆相交，交点到两个定点的距离之和等于圆的直径等等。

那么，阿波罗尼斯圆在实际中有哪些应用呢？在物理学中，它可以用来研究带电粒子在电场中的运动轨迹。

当电场强度的分布满足一定条件时，带电粒子的运动轨迹可能会形成阿波罗尼斯圆。

这有助于我们更好地理解和预测带电粒子的运动行为。

在工程设计中，阿波罗尼斯圆也能发挥作用。

阿波罗尼斯圆的切线与法线的性质阿波罗尼斯圆是由两个不同的焦点F1和F2，以及一个与两个焦点的连线长度之和相等的定值d构成的轨迹，即F1F2的长度是定值d。

在研究阿波罗尼斯圆的性质时，我们关注其切线和法线的性质。

一、阿波罗尼斯圆的切线性质1.定理：阿波罗尼斯圆上的任意一点P的切线与其向两焦点F1和F2的连线夹角相等。

证明：设阿波罗尼斯圆的方程为(x-a)²+y²=a²+b²，其中a为焦距，b 为焦点之间的距离d的一半。

任取阿波罗尼斯圆上的一点P(x1,y1)，其到F1和F2的距离分别为r1和r2，则有以下方程：√[(x1-a)²+y1²] - √[(x1+a)²+y1²] = r1 --（1）√[(x1-a)²+y1²] + √[(x1+a)²+y1²] = r2 --（2）由（1）和（2）相减，消去二次根号项，并整理得：x1-a = (r1²-r2²)/(4a) --（3）再由（1）和（3）相加，可得与y1无关的方程：y1[x1-a+(r1²-r2²)/(4a)] = r1²-r2² --（4）从（4）可知，当y1≠0时，x1是常数；当y1=0时，x1的值有两个，分别为(a+r1)/2和(a-r1)/2。

因此，当y1=0时，切线的斜率为-a/[(a+r1)/2]或-a/[(a-r1)/2]，即焦点之间的连线斜率的相反数。

综上所述，阿波罗尼斯圆上任意一点P的切线与其向焦点的连线斜率的相反数相等。

二、阿波罗尼斯圆的法线性质1.定理：阿波罗尼斯圆上任意一点P的法线与其向两焦点的连线的垂直平分线重合。

证明：设阿波罗尼斯圆上一点P(x1,y1)，其相对于焦点F1的距离为r1。

根据切线的性质，切线的斜率为-a/[(a+r1)/2]。

阿波罗尼斯圆的角平分线证明摘要：1.阿波罗尼斯圆的概述2.阿波罗尼斯圆的角平分线的定义3.阿波罗尼斯圆的角平分线的证明方法4.阿波罗尼斯圆的角平分线的应用5.总结正文：【1.阿波罗尼斯圆的概述】阿波罗尼斯圆，又称为九点圆，是一个在数学领域具有重要地位的圆。

阿波罗尼斯圆的定义是：在平面直角坐标系中，设有三个点A、B、C 不共线，则以这三个点为直径的圆称为阿波罗尼斯圆。

阿波罗尼斯圆在几何学、解析几何等领域有着广泛的应用。

【2.阿波罗尼斯圆的角平分线的定义】阿波罗尼斯圆的角平分线是指从圆上一点出发，将圆周分为两个相等部分的线段。

设在阿波罗尼斯圆上任取两点M、N，MN 为圆的直径，P 为MN 的中点，以P 为顶点作圆周角平分线，将圆分为两个相等的部分。

【3.阿波罗尼斯圆的角平分线的证明方法】为了证明阿波罗尼斯圆的角平分线，我们可以通过构造辅助圆来进行证明。

以下是证明过程：（1）在阿波罗尼斯圆上任取两点M、N，连接MN 并延长至与圆相交于点E、F；（2）分别以ME、MF 为直径作圆，与阿波罗尼斯圆相交于点P1、P2；（3）连接P1、P2 并延长至与阿波罗尼斯圆相交于点P；（4）证明四边形P1P2EP 是矩形。

根据步骤（1）至（3），我们可以发现四边形P1P2EP 具有以下性质：1）P1P2 = PE = PF，因为以ME、MF 为直径的圆与阿波罗尼斯圆相切，所以PE = PF；2）∠P1PE = ∠P2PF，因为PE = PF，所以∠P1PE = ∠P2PF；3）∠P1P2E = ∠P2P1F，同理可证。

根据上述性质，我们可以得出四边形P1P2EP 是矩形。

（5）根据矩形的性质，我们知道对角线互相平分且相等，所以有PP1 = PP2。

又因为P1、P2 在阿波罗尼斯圆上，所以PP1 = PP2 = PE = PF。

因此，P 是圆周角平分线。

【4.阿波罗尼斯圆的角平分线的应用】阿波罗尼斯圆的角平分线在几何学、解析几何等领域有着广泛的应用。