第二节 最大流和最小割一、割若S 为V 的一个子集，S y S V S S x ∈-=∈,,，记),(S S K =为起点在S 中，终点在S 中的全体有向边的集合，即{}S v S u v u K ∈∈=,),( （11-4）我们称边集),(S S K =为网络G 的一个割，称∑∈Ke e C )(为K 的容量，记为Cap K 。
例5 给运输网络如图11-8所示，试求与给定的j S （j =1，2，3）相对应的Cap j K 。
解取{}11,v x S =，{}),(),,(),,(221311v x v v v v K =，Cap 1K =10+6+9=25。
图11-8 取 {}4212,,,v v v x S =，{}),(),,(),,(5254312v v v v v v K =， Cap 2K =10+6+13=29。
取 {}54213,,,,v v v v x S =， {}),(),,(5313y v v v K =， Cap 3K =10+10=20。
可见，若把割K 的边全从G 中移去，G －K 不一定分离成两部份（如例5中，3K G -仍为一个连通图），但是它一定把G 的全部自源x 到汇y 的路断开，也就是说此时流不能在G 上发生。
故从直观上不难理解，G 的任一流f 的流值Val f 不能超过任一割的容量。
二、最大流与最小割 若∙f 为满足下列条件的流：Val ∙f ={}的一个流为G f Valf max ， （11-5）则称∙f 为G 的最大流。
若∙K 为满足下列条件的割。
Cap ∙K ={}的一个割为G K K Cap min ， （11-6） 则称∙K 为G 的最小割。
例1 这个运输问题，就是一个在图11-6中求x 至y 的最大流问题。
对此，我们不难建立线性规划模型来求出最优解。
但由于网络模型结构的特殊性，我们可以建立有效的求最大流的算法，且求出的最优解是一个整数解。
定理1 对于G 中任一流f 和任一割),(S S K =，有Val )()(s f S f f -+-=其中，∑∈+=),()()(S S e e f S f ，∑∈-=),()()(S S e e f S f例如，在图11-7中，取{}11,,v x x S =，则{}),(),,(),,(),,(),,(),(221412121x x x x v v v v v x S S = {}),(),(12v x S S =4815510315)(=++++=+S f8)(=-S f可见，Val )()(40S f S f f -+-==定理1说明，通过G 的任一横截面的净流值都为Val f ，亦即Val f 为任一横截面的输出量与输入量的代数和。
若f 为G 上一个流，对任E e ∈，若)()(e C e f =，称边e 为f 饱和边；若)(e f ＜)(e C ，称边e 为f 不饱和边；若)(e f ＞0，称边e 为f 正边；若)(e f =0，称e 为f 零边。
定理2 对于G 上任一流f 和任一割),(S S K =，有 1．Val f ≤Cap K ；2．Val f =Cap K 的充要条件为：任),(S S e ∈，边e 为f 饱和边；任),(S S e ∈，边e 为f 零边。
证 1．∑∈+=),()()(S S e e f S f ≤∑∈=Ke CapK e C )(又 )(S f -≥0，故 Val )()(S f S f f -+-=≤)(S f +≤Cap K2．Val ∑∑∈∈-+-=-=),(),()()()()(S S e S S e e f e f S f S f f ≤Cap K =∑∈),()(S S e e C注意到)(e f ≤)(e C ，故要使Val =f Cap K ，当且仅当任),(S S e ∈，有)()(e C e f =，任),(S S e ∈，有)(e f =0。
本定理说明，若f 为G 的一个最大流，K 为G 的最小割，则必有Val f ≤Cap K 。
定理3 设f 为G 的一个流，而K 是一个割，且Val f = Cap K ，则f 为G 的最大流，而K 是一个最小割。
证 设∙f 是G 的最大流，∙K 是G 的最小割，则Val f ≤Val ∙f ，Cap ∙K ≤Cap K 。
而由定理2知：Val ∙f ≤Cap ∙K 。
现在Val f = Cap K ，故有Val f =Val ∙f =Cap ∙K =Cap K 。
即得f 为最大流，K 为最小割。
三、增流链设t uv x Q =为G 的一条初等链，若G 中有u 到v 的有向边),(v u ，称边),(v u 为Q 的前向边；若G 中有v 到u 的有向边),(u v ，称边),(u v 为Q 的后向边。
例如图11-8中，取312v v xv Q =，则边),(),,(312v v v x 为Q 的前向边，边),(21v v 为Q 的后向边。
若f 为G 上的流，对)(Q E e ∈，令：⎩⎨⎧-=，Q e e f ，Q e e f e C e l 的一条后向边是当的一条前向边是当)()()()( （11-7）)(min )(e l Q l Qe ∈= （11-8）当0)(=Q l ，称Q 为f 饱和链；当)(Q l ＞0，称Q 为f 不饱和链。
例6 对图11-8给一个流f 如图11-9图11-9取43121v v v xv Q =，边),(2v x ，),(31v v 和),(43v v 为1Q 的前向边，2),(2=v x l ，0),(31=v v l ，2),(43=v v l ；边),(21v v 为1Q 的后向边，0),(21=v v l ，故0)(1=Q l ，1Q 为f 饱和链。
取y v v v xv Q 34522=，边),(2v x ，),(52v v 和),(3y v 为2Q 的前向边，2),(2=v x l ，6),(52=v v l ，),(3y v l =6；边),(54v v 和),(43v v 为2Q 的后向边，若Q 为f 不饱和链，则Q 的前向边都为f 不饱和边，后向边全为f 正边。
一条从源x 至汇y 的f 不饱和链，称为f 增流链。
例如图11-9中，就是一条f 增流链。
若网络G 中存在一条f 增流链，我们可得G 上一个新流f ˆ：⎪⎩⎪⎨⎧-+=其它的后向边是当的前向边是当)()()()()()(ˆe f Q e Q l e f Q e Q l e f e f （11-9）此时Val f ˆ=Val f +)(Q l 。
我们称f ˆ为f 基于Q 的修改流。
对于f ˆ而言，Q 中至少有一条前向边为f ˆ饱和边，或至少有一条后向边是f ˆ零边，即Q 是f ˆ饱和链。
如图11-9，可得f 基于y v v v xv Q 3452=的修改流f ˆ如图11-10。
图11-10四、最大流最小割定理定理4 流f 为G 的最大流的充要条件为G 中不存在f 增流链。
证 必要性：反之，若G 中存在f 增流链Q ，)(Q l ＞0，则可得f 基于Q 的修改流f ˆ，Val f ˆ=Val f +)(Q l ＞Val f 。
矛盾，故G 中不存在f 增流链。
充分性：令{G v S =中存在一条f 不饱和链}v x Q =，且定义S x ∈。
由设知，S y ∈，故),(S S K =为G 的一个割，它具有如下特点：若边K u u e ∈=),(21，则e 为一条f 饱和边；若),(),(12S S u u e ∈=，则e 为一条f 零边。
反之，若K u u e ∈=),(21，而e 为一条f 不饱和边，因S u ∈1，故存在一条f 不饱和链1u x Q =，则21u u x 也为f 不饱和链，从而S u ∈2，但S u ∈2，矛盾。
若),(),(12S S u u e ∈=，e 为一条f 正边，因S u ∈1，故存在一条f 不饱和链1u x ，则21u u x 也为f 不饱和链，边),(12u u 为其后向边，故S u ∈2，但S u ∈2，矛盾。
由定理2知，Val f =Cap K ；由定理3知，f 为G 的最大流（同时，K 为最小割）。
由定理4的充分性证明，我们可得最大流最小割定理： 定理5 在运输网络中，最大流的流值等于最小割的容量。
第三节 最大流算法一、算法思想定理4为我们提供了寻求运输网络中最大流的一个方法。
若给网络G 上一个初始流f （例如平凡流），我们判别一下G 中有无f 增流链，若无f 增流链，则f 即为最大流；若有f 增流链Q ，可得f 基于Q 的修改流f ˆ，Val f ˆ=Val f +)(Q l ，再将f ˆ视为f ，继续迭代。
但是，到此时算法还不能说已经建立成功了，因为如何寻求f 的增流链这个问题还没有解决，故下面我们先讨论寻求f 增流链的方法，然后建立求最大流的算法。
我们采用标号的方法来寻找x 至y 的增流链。
若f 为网络G 的一个流，G 中满足下列条件的树T 称为以x 为根的f 不饱和树（边是带有方向的）。
1．)(T V x ∈；2．任)(T V v ∈，x v ≠。
T 内有唯一的一条初等链v x Q v =为f 不饱和链)(v Q l ＞0。
每个点)(T V v ∈，都按下述方法给以标记： 若T 中x 至v 的初等链uv x Q v =：（1）如果边),(v u 为G 中的边，则给v 以标号))(,,(v l u +，其中第一个标号u 表明在v Q 中v 的前驱点为u ，第二个标号表明),(v u 在v Q 中为前向边，第三个标号)()(v Q l v l =（)(v Q l 由式（11-8）给出）。
显然{}),(),(),(m in )(v u f v u C u l v l -= （11-10）（2）如果),(u v 为G 中的边，则给v 以标号))(,,(v l g u ，其中第一个标号u 表明在v Q 中v 的前驱点为u ，第二个标号表明),(u v 在v Q 中为后向边，第三个标号)()(v Q l v l =。
显然，此时{}),(),(m in )(u v f u l v l = （11-11）例如，图11-11为图11-9的一棵f 不饱和树。
我们通过以x 为根的f 不饱和树T 的不断“生长”以及“标记法”来探寻G 中f 增流链。
初始时，先给x 以标号),,0(∞+。
图11-11一般地，若已得x 为根的f 不饱和树T （如图11-11），T 中每个点都有标号，而)(T V y ∈，可将)(T V S =中点分成两部份：一部份点已查视过，即已生长了枝的点（例如图11-11中的点x ，2v 和5v ），或判定不能生长枝的点（如图11-11中的点1v ）；另一部份点未查视过（如图11-11中的点4v ），我们将T 中全部未查视过的点记为A （A 为有顺序的集合，先标记的点排在前，这是由于本算法的特点为：先标记的点先查视，即先生长枝）。
