第五章_正态分布、常用统计分布和

社会统计学教学大纲课程名称：社会统计学英文名称：social statistics课程编号：12600722j使用专业：社会工作专业总学时数：48学时总学分：3学分大纲撰写人：文法学院社工系马永方内容简介社会统计学是社会学主干课之一，与社会学调查研究方法结合起来，完整地介绍了当代社会调查研究的科学方法和资料处理技术。

社会统计学则侧重介绍资料的收集、整理、分析和推论的处理技术。

从事社会工作研究理论和实践的人都有必要掌握社会统计学这门有用的工具。

本课程共7章。

第一章导论，介绍社会统计学和相关概念，第二章统计资料的搜集，第三章统计资料的整理，第四章到第七章是统计分析。

第四章和第五章是描述统计，第六到第七章是统计推断，第六章概率论是统计推断的基础，统计推断有两个基本内容：假设检验第七章。

一、讲授的主要内容第一章社会学研究和统计分析（2学时）第一节社会学研究的科学性第二节社会调查资料的特点和统计学的运用第二章单变量统计描述分析第一节分布统计表统计图第二节集中趋势测量法第三节离散趋势测量法第三章概率（3学时）第一节基础概率第二节概率分布、均值和方差第四章二项分布及其他离散型随机变量的分布（3学时）第一节二点分布第二节排列与组合第三节二项分布第四节多项分布第五节超几何分布第六节泊松分布第五章正态分布、常用统计分布和极限定理（3学时）第一节什么是正态分布第二节标准正态分布第三节标准正态分布表的使用第四节常用统计分布第五节大数定理和中心极限定理第六章参数估计（4学时）第一节名词解释第二节参数的点估计第四节正态总体的区间估计第五节大样本区间估计第七章假设检验（4学时）第一节统计假设第二节统计检验的基本步骤一、建立假设二、求抽样分布三、选择显著性水平和否定域四、计算检验统计量五、判定第八章单总体假设检验（4学时）第一节大样本假设检验第二节小样本假设检验第九章二总体假设检验第一节引言第二节大样本二总体假设检验第三节小样本二总体假设检验第十章列联表（4学时）第一节什么是列联表第二节列联表的检验第三节列联强度第十一章等级相关（定序变量之间）（4学时）第一节斯皮尔曼等级相关系数第二节Gamma等级相关第三节其他等级相关系数第十二章回归与相关（6学时）第一节回归研究的对象第二节回归直线方程的建立与最小二乘法第三节回归方程的假定与检验第四节相关第五节用回归方程进行预测第十三章方差分析（3学时）第一节引言第二节一元方差分析第三节二元方差分析第四节多元方差分析第十四章非参数检验（4学时）第一节非参数检验第二节符号检验第三节符号秩检验第四节累计频次检验第十五章抽样（4学时）第一节引言第二节抽样调查方法第四节样本容量的确定二、参考书目1. 社会统计学，卢淑华，北京大学出版社，2005年第三版.2.社会统计学，张彦，高等教育出版社，2005年第一版.3.社会统计学导论，周德民、贺翠微，中南大学出版社，2004年第一版.教学大纲说明一、教学目的与课程性质任务本课程属于专业限选课，是社会工作专业课程体系的重要组成部分。

常见统计分布及其特点统计分布是描述数据集合中数据分布情况的一种方法。

统计学中存在着很多常见的统计分布，每个分布都具有其独特的特点和应用领域。

以下是一些常见的统计分布及其特点的介绍。

1. 正态分布（Normal Distribution）正态分布是最常见的分布之一，也被称为高斯分布。

它的特点是呈钟形曲线，对称分布，均值和标准差完全决定了其形状。

正态分布有广泛的应用，尤其在自然科学和社会科学中。

2. 二项分布（Binomial Distribution）二项分布是指在一系列独立的试验中，每次试验只有两个可能的结果：成功或失败。

每次试验的成功概率由固定的参数p确定。

二项分布的特点是具有两个参数n和p，其中n为试验的次数，p为每次试验的成功概率。

二项分布在生物学、医学、工程等领域中经常被使用。

3. 泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布用于描述单位时间内事件发生的次数的概率分布。

这个分布有一个参数λ，表示单位时间内事件的平均发生率。

泊松分布的特点是时间间隔内事件的数量是不确定的，但平均发生率λ是已知的。

泊松分布在物理学、生物学、通信技术等领域中被广泛应用。

4. 均匀分布（Uniform Distribution）均匀分布是指在一个有限的区间内，每个数出现的概率相等。

均匀分布的特点是概率密度函数在区间内是常数。

均匀分布在模拟、随机数生成等领域中经常被使用。

5. 指数分布（Exponential Distribution）指数分布用于描述一个事件发生之间的时间间隔的概率分布。

指数分布的特点是具有一个参数λ，表示事件的平均发生率。

指数分布在可靠性工程、生物学、等领域中被广泛应用。

6. t分布（t Distribution）t分布是用于小样本情况下的假设检验和置信区间估计的重要分布。

与正态分布相比，t分布的尾部更厚，更适合于小样本情况的推断。

t分布在统计学中常用于处理样本容量较小的情况。

7. F分布（F Distribution）F分布是用于分组之间方差的比较的一种分布。

统计学常用分布一、引言在统计学中，分布是描述数据变化规律和概率的重要工具。

不同的数据类型和问题背景需要采用不同的分布来描述。

本篇文章将介绍统计学中常用的几种分布，包括正态分布、二项分布与泊松分布、指数分布与对数正态分布、卡方分布与t分布等。

二、正态分布正态分布是最常见的连续概率分布之一，它在自然现象、工程技术和社会科学等领域都有广泛的应用。

正态分布的曲线呈钟形，数据值集中在均值附近，随着远离均值，概率逐渐减小。

正态分布在统计学中具有重要地位，许多统计方法和模型都以正态分布为基础。

三、二项分布与泊松分布1.二项分布：二项分布是用来描述伯努利试验中的随机事件的概率分布，其中每次试验只有两种可能的结果，并且每次试验都是独立的。

二项分布适用于计数数据，尤其在生物实验和可靠性工程等领域有广泛应用。

2.泊松分布：泊松分布是二项分布在伯努利试验次数趋于无穷时的极限形式，常用于描述单位时间内随机事件的次数。

泊松分布在概率论和统计学中具有重要地位，广泛应用于保险、通信和生物医学等领域。

四、指数分布与对数正态分布1.指数分布：指数分布描述的是随机事件之间的独立间隔时间或者随机变量的概率分布。

指数分布常用于描述寿命测试和等待时间等问题，例如电话呼叫的间隔时间和电子元件的寿命等。

2.对数正态分布：对数正态分布在统计学中用于描述那些其自然对数呈正态分布的随机变量。

许多生物学、经济学和社会科学中的数据都服从对数正态分布，例如人的身高、体重以及股票价格等。

五、卡方分布与t分布1.卡方分布：卡方分布在统计学中主要用于描述离散型概率分布。

卡方分布是通过对两个独立的随机变量进行平方和运算得到的，常用于拟合检验和置信区间的计算。

2.t分布：t分布在统计学中广泛应用于样本数据的参数估计和假设检验。

相比于正态分布，t分布在数据量较小或参数偏离正态性时具有更好的稳定性。

t分布在金融、生物医学和可靠性工程等领域有广泛应用。

六、结论在统计学中，不同的数据类型和问题背景需要采用不同的分布来描述。

常见统计分布及其特点常见的统计分布有：正态分布、均匀分布、二项分布、泊松分布、指数分布等。

1.正态分布：正态分布又称为高斯分布或钟形曲线分布，是最为常见的一种分布。

正态分布具有以下特点：-均值和中位数相等，分布的对称轴对称；-在均值处取得最大值，随着离均值的距离增大，分布的概率逐渐减小；-标准差决定了曲线的宽窄，标准差越大，曲线越宽；-68%的数据落在均值的一个标准差范围内，95%的数据落在均值的两个标准差范围内，99.7%的数据落在均值的三个标准差范围内。

2.均匀分布：均匀分布又称为矩形分布，是最简单的分布之一、均匀分布具有以下特点：-在一个有限的区间内，所有取值的概率相等；-分布曲线呈矩形，具有等宽；-在整个区间上积分等于13.二项分布：二项分布描述了在n次独立的重复实验中，成功的次数的分布情况。

二项分布具有以下特点：-每次实验只有两个可能的结果，成功或失败；-实验之间是独立的；-成功的概率和失败的概率保持不变；-成功的次数符合二项分布。

4.泊松分布：泊松分布描述了一个时间段或区域内随机事件发生的次数的分布情况。

泊松分布具有以下特点：-事件在一个固定时间段或区域内按独立的随机过程发生；-事件在一个极短时间段内发生的概率极低，即发生频率很低；-事件的平均发生次数相对较低。

5.指数分布：指数分布描述了连续发生独立随机事件的时间间隔的分布情况。

指数分布具有以下特点：-事件的发生时间间隔是独立的，事件间的时间间隔符合指数分布；-时间间隔的概率密度递减；-指数分布在实际应用中常用于描述等待时间、生命周期等。

这些统计分布常用于描述和分析随机事件的分布情况。

在实际应用中，我们可以根据样本数据的特点，选择合适的统计分布进行建模和分析。

在统计学中，概率分布函数可以帮助我们理解随机事件的分布规律，有助于对数据进行建模、预测和推断。

第五章 正态分布与z 分数、T 分数第一节 正态分布与z 分数一、正态分布正态分布曲线（Normal distribution carve ）是一个单峰曲线，中间高，两边逐渐下降，在正负一个标准差的地方有拐点，两端永远不与横轴相交，两侧完全对称的钟形曲线（图5-1）。

它的数学模型公式如下： 正态分布的公式：一般正态分布的公式：222/)(21σμπσ--=x e y （5.1）标准正态分布的公式：2/221x e y -=π （5.2）式中，y ：次数或纵线的高度；X ：原始分数；μ：总体平均数；σ：总体标准差；π和e ：常数（3.14，2.718）从公式看出，决定曲线位置和形态的关键数值是分布的平均数μ和标准差σ。

μ值决定曲线的最高点在横轴上的位置。

μ值越大曲线在横轴上的位置越向右。

σ值决定曲线的形状，是高耸还是矮平。

凡是符合以上条件的曲线就是正态曲线，因此有多少对μ值和σ值的组合就有多少条正态分布曲线。

换句话说，任何特定的正态分布的确定的性质是由公式中的μ和σ值决定的。

在为数众多的正态曲线中，有一条正态曲线，平均数μ等于0，标准差 σ等于 1，统计中规定它为标准正态曲线，任何一条正态分布曲线都可以转化为标准正态曲线，方法就是将原始分数转变为z 分数。

z 分数图5-1 标准正态分布曲线二、z 分数z 分数也叫标准分数（Standard score ），它是以标准差为尺子去度量某一原始分数偏离平均数的距离，这段距离含有几个标准差，z 分数就是几。

从而确定这一数据在全体数据中的位置。

称这一过程为标准化。

转化的公式为5.3即：计算z 分数的公式SX X z -= （ 5.3） 式中，X ：原始数据；X ：平均数；S ：标准差z 分数是以标准差为单位的离均差。

从z 分数的计算可以看出，由于在运算过程中保留了原数据与平均数的差的关系)(X X -，平均数的z 分数等于0, 其它数值的z 分数比平均数大的为正值，比平均数小的为负值。

概率与统计中的正态分布正态分布是概率与统计学中最为重要的概率分布之一。

它的形状对称、钟形曲线使得它在很多实际问题中都有着广泛的应用。

本文将介绍正态分布的定义、性质以及如何使用正态分布进行概率计算和统计推断。

一、正态分布的定义正态分布，又称高斯分布，是一种连续型的概率分布。

它的概率密度函数（probability density function, PDF）可以用以下公式表示：f(x) = (1 / σ√(2π)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))其中，μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差，e是自然对数的底数。

二、正态分布的性质正态分布具有许多重要的性质，以下是其中的几个：1. 对称性：正态分布的概率密度函数关于均值对称。

即当x接近μ时，f(x)的值趋近于最大值。

2. 峰度：正态分布的峰度是3，意味着它的尾部相对较重。

3. 范围：正态分布的取值范围是(-∞, +∞)，即负无穷到正无穷。

4. 均值和标准差：正态分布的均值μ决定了分布的中心位置，标准差σ决定了分布的形状。

68%的数据在均值的一个σ范围内，95%的数据在两个σ范围内，99.7%的数据在三个σ范围内。

三、正态分布的应用正态分布在实际问题中有着广泛的应用。

以下是正态分布常见的几个应用场景：1. 抽样分布近似：中心极限定理表明，当样本容量足够大时，许多随机变量的抽样分布可以近似为正态分布。

2. 参数估计：在统计推断中，我们经常使用正态分布来估计未知参数的置信区间。

通过样本数据的均值和标准差，我们可以计算出参数估计的置信区间。

3. 假设检验：正态分布在假设检验中也有着重要的应用。

我们可以通过计算检验统计量并参考正态分布的分位数，判断某个假设是否成立。

4. 质量控制：正态分布在质量控制中常用于确定过程的稳定性。

通过统计过程得到的样本数据，可以进行正态性检验，判断过程是否受到特殊因素的影响。

四、正态分布的计算与推断在实际应用中，我们经常需要计算正态分布的概率值或进行统计推断。

概率论与数理统计第五章知识点第五章的概率论与数理统计的知识点主要涉及到概率函数、统计推断、分布函数和多元正态分布等内容，这其中包括了多项式概率分布、超几何分布、二项分布、线性回归、假设检验、多重切线回归、卡方检验、小抽样检验、检验均值和协方差等内容。

首先，多项式概率分布是一种特殊的概率分布，它建立了在有限次试验中某个事件出现次数的概率，它由定义性的概率空间和一组完备的事件集合组成，并可以使用不同的统计技术来计算它们。

其次，超几何分布是一种分布，用于计算取样观测中某种特征发生次数的概率，它与多项式分布有着很大的不同，它建立了一个独立的取样模型，它是一种独立取样模型，它利用概率论中的概率空间来分析一个独立取样实验中观测到一个特征发生次数的概率。

再次，二项分布也是一种概率分布，它用来计算一系列试验中出现某种特征的次数的概率。

它是一种特殊的多项式分布，可以使用概率论的工具来应用二项式分布，以确定两个不同事件之间的概率。

此外，线性回归也是第五章概率论与数理统计中一个重要的概念，它是一种统计方法，用来预测一个变量的变化可能会导致另一个变量的变化。

线性回归的基本原理是拟合两个变量的关系，使回归线能够最佳地拟合所有数据，以找到其中的趋势。

另外，假设检验是一种重要的统计技术，在假设检验中，需要使用概率空间，以便计算假设检验中备择假设的概率，并判断假设是否成立。

另外，多重切线回归也是一种重要的统计方法，它是以多元关系作为因变量和因变量之间的关系来拟合数据，以确定多元回归线的最佳拟合方式，让其效果最好。

此外，卡方检验、小抽样检验和检验均值和协方差等也是第五章概率论与数理统计的重要内容。

其中，卡方检验是一种特殊的假设检验，用来判断一组数据的差异是否大于预期，以确定数据的分布情况。

而小抽样检验是一种统计方法，用于给出总体参数的精确估计，以帮助确定相关的总体统计量，用来估计总体参数。

最后，检验均值和协方差也是一种重要的统计方法，它可以帮助分析两个变量之间的关系，以确定两个变量之间的相关程度。

概率与统计中的正态分布正态分布，也被称为高斯分布，是统计学中最为重要的一种概率分布。

它常用于研究连续型随机变量，具有广泛的应用。

正态分布的形态呈钟形曲线，对称分布在均值两侧。

在本文中，我们将介绍正态分布的基本概念、性质以及它在实际问题中的应用。

一、正态分布的定义与性质正态分布的形式化定义如下：对于一个连续型随机变量X，如果其概率密度函数为f(x) = (1/√(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))，其中μ为均值，σ为标准差，则X服从正态分布，记为X~N(μ, σ^2)。

正态分布的性质如下：1. 正态分布的均值、中位数和众数相等，称为位置参数。

2. 正态分布的曲线关于均值对称。

3. 正态分布的标准差描述曲线的宽度，标准差越大，曲线越矮胖；标准差越小，曲线越高瘦。

4. 正态分布的概率密度总和为1。

5. 正态分布的标准差决定了曲线在均值附近的陡峭程度。

二、正态分布的标准化与标准正态分布由于正态分布无法直接计算概率，因此引入了标准化的概念，即将正态分布转化为标准正态分布。

标准正态分布是均值为0，标准差为1的正态分布。

标准化的方法为：Z = (X - μ) / σ，其中Z表示标准正态随机变量，X是原始随机变量，μ和σ分别是原始随机变量的均值和标准差。

标准正态分布的概率可以查表得到，或者使用计算工具进行计算。

三、正态分布的应用正态分布在实际问题中具有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 身高和体重身高和体重往往符合正态分布。

通过对一定人群的测量，我们可以得到人群身高和体重的分布情况，从而能够更好地了解人群的整体特征。

2. 产品质量控制大多数产品的质量参数符合正态分布。

通过对产品进行抽样检测，可以根据正态分布的性质来判断产品的合格率，并进行质量控制。

3. 股票收益率股票收益率往往符合正态分布。

通过分析股票的历史数据，可以了解股票价格的波动情况，并进行风险评估。

4. 考试成绩大多数考试成绩符合正态分布。

统计分布的正态分布正态分布（Normal Distribution）是统计学中最重要的概率分布之一。

它的特点是以均值为中心对称，呈钟形曲线。

正态分布在自然界和社会科学中广泛应用，它可以帮助我们理解和解释一系列现象。

本文将介绍正态分布的特点、应用、统计推断以及一些实例。

正态分布的特点正态分布的曲线呈钟形，左右对称，其形状由均值和标准差决定。

均值决定曲线的中心位置，标准差决定曲线的宽度。

一般而言，正态分布的均值为0，标准差为1，这样的分布称为标准正态分布。

正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1/(σ√2π)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))其中，f(x)表示某个特定值x的概率密度，μ表示均值，σ表示标准差，e表示自然对数的底数。

正态分布的曲线图通常被称为钟形曲线或高斯曲线。

正态分布的应用正态分布在现实生活中广泛应用，特别是在统计学和自然科学领域。

下面列举一些常见的应用场景：1. 身体特征：身高、体重等身体特征往往呈现正态分布。

大多数人的身高集中在平均身高附近，极端身高的人较少。

2. 考试成绩：在大规模考试中，考试分数往往呈现正态分布。

绝大多数学生的成绩集中在平均分附近，优秀和较差的学生属于少数。

3. 生产质量控制：正态分布可以指导生产质量控制。

通过收集产品的测量数据，可以分析产品的特征是否符合正态分布，进而评估生产过程的稳定性和准确性。

4. 自然现象：许多自然现象也可以用正态分布来描述，例如天气预测中的温度分布、地震中的震级分布等。

正态分布的统计推断正态分布在统计推断中扮演着重要角色。

根据中心极限定理，当我们从总体中抽取多个样本时，样本均值的分布将会逐渐接近正态分布。

这个特性使得正态分布成为统计推断中一些重要方法的基础。

1. 参数估计：对于一个未知总体的均值或标准差，我们可以通过采集样本数据来估计总体参数。

通过计算样本均值和样本标准差，可以利用正态分布的性质得到总体参数的估计值。

数学中的统计分布统计分布是数学中一个极为重要和广泛应用的概念，它描述了一组数据在取值上的特征和分布规律。

在统计学中，常用的统计分布包括正态分布、二项分布、泊松分布等等。

这些分布模型有助于我们理解和分析数据的特性，提供了数学工具来支持我们对数据的解读和预测。

一、正态分布正态分布（又称高斯分布）是最经典的统计分布之一，它的概率密度函数是一个钟形曲线。

正态分布的特点是对称、均值与中位数相等、标准差决定曲线的宽窄程度。

正态分布广泛应用于自然科学、社会科学、工程技术等领域，被广泛认为是描述随机变量的理想模型。

二、二项分布二项分布描述了在一系列独立的伯努利试验中，成功事件发生的次数的概率分布。

它的概率质量函数在取值为整数的非负范围内有定义，形成了一个离散分布。

二项分布的特点是每次试验成功的概率相同，且各次试验之间互相独立。

三、泊松分布泊松分布描述了在一段时间或空间内，某个确定区域内随机事件发生的次数的概率分布。

泊松分布的概率质量函数在取值为非负整数的范围内有定义，形成了一个离散分布。

泊松分布的特点是事件的发生是独立的且随机的，平均发生率在一段时间或空间内是固定的。

四、其他常见统计分布除了正态分布、二项分布和泊松分布之外，还有很多其他常见的统计分布模型，如均匀分布、指数分布、伽玛分布等等。

这些分布模型在不同的场景中应用广泛，有助于我们对各类数据的分析和处理。

五、统计分布的应用统计分布在实际应用中有广泛的用途。

在数据分析和统计推断中，我们可以利用不同的统计分布进行假设检验、置信区间估计以及参数估计等。

在风险评估和预测模型构建中，统计分布可以帮助我们建立合适的模型来预测未来的风险和事件发生的概率。

另外，统计分布也在财务管理、工业生产、市场调研等领域起着重要的作用。

例如，在金融领域中，利用正态分布描述资产和收益的分布情况，对风险进行度量和控制。

在工业生产中，可以利用泊松分布对产品的缺陷或故障进行统计建模，从而提高质量和效率。

社会统计学整理第二章：单变量统计描述分析各种图：定类：圆瓣图、条形图定序：条形图定距：直方图、折线图组界：真实组界=标明组界0.5 条形图：定类变量：长条排列次序任意，条形离散。

定序变量：长条按序排列，条形是离散或紧挨。

直方图：由紧挨着的长条组成，面积表示频次或相对频次，高度是频次密度。

众值：用具有频数最多的变量值来表示集中值。

连续型变量用中心值来表示众值。

定类预测犯错最少。

异众比率：是非众值在总数N中所占的比例（:众值的频次）质异指数：理论上最多可能差异中实际出现了多少差异（k:类比数f:每类次数）中位值：定序预测犯错最少。

（也可以求25%和75%，改为和）n:中位值组的频次cf:含中位值区间的真实下界累积（向上）平次N：调查总数极差：极差=观察的最大值-观察的最小值四分互差：结论：50%位于*间均值：定距变量预测犯错最少。

标准差：第三章：概率互不相容：两者不能同时出现。

互为对立：不同时出现且两者相加为整体。

如果事件A与B互为对立，则必然满足互不相容，但逆定理不存在。

P(A);P(B)，互不相容一定不满足互相独立，反之亦然。

互为对立与相互独立不能同时满足。

全概公式：逆概公式：方差：SKEWNESS（偏态）=＞0：正偏态=0：对称＜0：负偏态（峰在右边）KURTOSIS（峰态）=＞0：正峰态=0：正态分布＜0：负峰态（峰矮）第四章：二项分布及其他离散型随机变量的分布排列组合：第五章：正态分布、常用统计分布和极限定理大数定理：在什么条件下，随机事件可以转化为不可能事件或必然事件。

中心极限定理：在什么条件下，随机变量之和的分布可以近似为正态分布。

切贝谢夫不等式：贝努利大数定理：m是n次实验中事件A出现的次数，p是A每次出现的概率切贝谢夫大数定理：μ：数学期望：总体均值中心极限定理：只要n足够大，正态分布：众值=均值=中位值1S-68.26%；2S-95.46%；3S-99.37%；0.05-1.65；0.025-1.96；0.01-2.33；0.005-2.58；0.001-3.09；0.0005-3.30第六章：参数估计点估计：均值—样本均值成数—样本成数方差—样本方差S2是σ2的无偏估计，但S不是σ的无偏估计。