第七单元概率与统计( 基础过关)-2021年高考数学一轮复习(解析版)

2021年高考数学一轮复习第七章数列第43课数列的通项公式（2）文（含解析）四、递推式为“”型的数列，构造等比数列求通项适用于递推式为“”型，可以在它的两边相加数，构造等比数数列，然后利用等比数列的通项公式求解例4.已知数列满足，，求【解析】，∴，即，．∴是以为首项，为公比的等比数列，∴，即．【变式】已知数列满足，求【解析】原等式可化为，∴，∴数列是以2为首项、以3为公比的等比数列，∴，∴．五．递推关系形如的数列，取倒数法方法：取倒数变形成【例5】已知数列满足，，求【解析】∵，∴，即∴数列是等差数列，，它的首项，公差∴，即．【变式】已知数列满足，，求.【解析】∵，∴，∴，即∴数列是等比数列，它的首项，公比为∴，∴．六、递推关系形如，两边同除以方法：①将原递推公式两边同除以，②得，③，得，④再利用“递推关系形如”方法来求.【例6】已知数列满足，，求【解析】在两边除以，得，令，则，∴，∴，∴．∴．【变式】已知数列满足，求.【解析】在原不等式两边同除以，得，不妨引入辅助数列且，则，∴，∴，∴．第43课： 数列的通项公式（2）的课后作业1．数列中，，，则 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：a 10＝(a 10－a 9)＋(a 9－a 8)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝lg 109＋lg 98＋…＋lg 21＋1＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫109×98×…×21＋1＝2.故选B. 答案：B2. 已知数列的前项和为 ，且 ，则 ( )A ．－16B ．16C ．31D ．32解析：由已知可得时，，所以 ，所以是等比数列，公比为2，所以 .故选B. 答案：B3. 在数列中， ，，则为( )A ．34B ．36C ．38D ．40解析：因为na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2，所以a n ＋1n ＋1－a n n ＝2n n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 所以a 1010＝a 1010－a 99＋a 99－a 88＋…＋a 22－a 11＋a 1 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫19－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫18－19＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋2＝3810，所以a 10＝38.故选C. 答案：C4. 已知数列满足，，求【解析】，∴，即，．∴是以为首项，为公比的等比数列，∴，即．5. 已知数列满足，，求.【解析】∵，∴，∴∴数列是等差数列，它的首项，公差为∴，∴．6. 已知数列满足，，求【解析】在两边除以，得，令，则，∴，∴数列是等比数列，其中首项，公比∴，∴．∴．7. 已知数列满足，，（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式【解析】，令则，∴，解得．∴，∴，∴．-29002 714A 煊35699 8B73 譳38825 97A9 鞩I34360 8638 蘸26769 6891 梑O29448 7308 猈39718 9B26 鬦38740 9754 靔34191 858F 薏33744 83D0 菐q29810 7472 瑲。

1.【2017课标1，理】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．14B．π8C．12D．π4【答案】B【解析】【考点】几何概型【名师点睛】对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算()P A.学科@网2.【2017课标3，理3】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A 【解析】【考点】 折线图【名师点睛】将频率分布直方图中相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到一条折线，我们称这条折线为本组数据的频率折线图，频率分布折线图的的首、尾两端取值区间两端点须分别向外延伸半个组距，即折线图是频率分布直方图的近似，他们比频率分布表更直观、形象地反映了样本的分布规律.A ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ<2D()ξB ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ>2D()ξC ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ<2D()ξD ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ【答案】A 【解析】 试题分析：112212(),(),()()E p E p E E ξξξξ==∴<111222121212()(1),()(1),()()()(1)0D p p D p p D D p p p p ξξξξ=-=-∴-=---<，选A ．【考点】 两点分布【名师点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出X 取各个值时的概率．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．由已知本题随机变量i ξ服从两点分布，由两点分布均值与方差公式可得A 正确．4.【2017山东，理5】为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225i i x ==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b =．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为 （A ）160 （B ）163 （C ）166 （D ）170 【答案】C【解析】试题分析：由已知22.5,160,160422.570,42470166x y a y ==∴=-⨯==⨯+= ,选C. 【考点】线性相关与线性回归方程的求法与应用．【名师点睛】（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数r 公式求出r ，然后根据r 的大小进行判断．求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性．5.【2017山东，理8】从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 （A ）518 （B ）49 （C ）59（D ）79 【答案】C【考点】古典概型【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题.江苏对古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件. 学科@网6.【2017课标II ，理13】一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = 。

重难点04 概率与统计新高考概率与统计主要考查统计分析、变量的相关关系，独立性检验、用样本估计总体及其特征的思想，以排列组合为工具，考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算。

试题考查特点是以实际应用问题为载体，小题部分主要是考查排列组合与古典概型，解答题部分主要考查独立性检验、超几何分布、离散型分布以及正态分布对应的数学期望以及方差。

概率的应用立意高，情境新，赋予时代气息，贴近学生的实际生活。

取代了传统意义上的应用题，成为高考中的亮点。

解答题中概率与统计的交汇是近几年考查的热点趋势，应该引起关注。

求解概率问题首先确定是何值概型再用相应公式进行计算，特别对于解互斥事件（独立事件）的概率时，要注意两点：（1）仔细审题，明确题中的几个事件是否为互斥事件（独立事件），要结合题意分析清楚这些事件互斥（独立）的原因；（2）要注意所求的事件是包含这些互斥事件（独立事件）中的哪几个事件的和（积），如果不符合以上两点，就不能用互斥事件的和的概率.离散型随机变量的均值和方差是概率知识的进一步延伸，是当前高考的热点内容.解决均值和方差问题，都离不开随机变量的分布列，另外在求解分布列时还要注意分布列性质的应用.捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列。

相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端。

定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法。

标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。

有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法。

对于二项式定理的应用，只要会求对应的常数项以及对应的n项即可，但是应注意是二项式系数还是系数。

新高考统计主要考查统计分析、变量的相关关系，独立性检验、用样本估计总体及其特征的思想，以排列组合为工具，考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算。

2021年高考数学一轮复习概率和统计试题理xx xx xx xx2221【xx新课标I版（理）5】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A． B． C． D．【答案】D2【xx新课标I版（理）3】为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样【答案】：C3【xx新课标I版（理）15】(某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为__________．【答案】4【xx新课标I版（理）18】从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（II ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.（i ）利用该正态分布，求；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用（i ）的结果，求.附： 若则，。

【答案】（I ）200,150 （II ）0.6826 （ii ）68.26 （I ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差分别为1700.021800.091900.222000.33x =⨯+⨯+⨯+⨯=2002222(30)0.02(20)0.09(10)0.22s =-⨯+-⨯+-⨯22200.33100.24200.08300.02150.+⨯+⨯+⨯+⨯= ……6分（II ）（i ）由（I ）知，，从而(187.8212.2=(20012.220012.2)0.6826.P Z P Z <<-<<+=）……9分（ii ）由（i ）知，一件产品的质量指标值位于区间（187.8,212.2）的概率为0.682 6， 依题意知X-B(100，0.682 6)，所以 ……12分5【xx 新课标I 版（理）19】(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n .如果n ＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n ＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．【答案】（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件。

2021年高考数学一轮复习概率与统计备考试题理一、选择题1、（xx广东高考）已知某地区中小学学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了解该地区中下学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A. 100，10B. 200,10C. 100，20D. 200，202、（xx广东高考）已知离散型随机变量的分布列为则的数学期望 ( )A . B．C．D．3.（xx广东高考）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是（）A. B. C. D.4、（2011广东高考）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A． B．C． D．5、（广州海珠区xx高三第一次质检）由不等式确定的平面区域记为，不等式确定的平面区域记为，在中随机取一点，则该点恰好在内的概率为A．B． C． D．6、（珠海xx届高三9月摸底）在区间上随机取两个数其中满足的概率是（）A． B． C． D．7、（xx 广州一模）某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数，并绘制成如图1的频率分布直方图．样本数据分组为，，，，．若用分层抽样的方法从样本中抽取分数在范围内的数据16个，则其中分数在范围内的样本数据有A ．5个B ．6个C ．8个D ．10个8、（xx 揭阳二模）某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程中的的值为，则记忆力为14的同学的判断力约为（附：线性回归方程中，， 其中，为样本平均值)A ．7B ．C ．8D ．二、解答题9、（xx 广东高考）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36（1）确定样本频率分布表中和的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图； （3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率.10、（xx 广东高考）某车间共有名工人,随机抽取名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.图1分数 50 60 70 80 90 100(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间名工人中有几名优秀工人；(Ⅲ) 从该车间名工人中,任取人,求恰有名优秀工人的概率.11、（xx 广东高考）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：、、、、、.（Ⅰ）求图中的值；（Ⅱ）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望.12、（2011广东高考）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，编号 1 2 3 4 5 169 178 166 175 1807580777081（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素满足且时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）．13、（xx 届珠海高三9月摸底）某校兴趣小组进行了一项“娱乐与年龄关系”的调查，对 15～65岁的人群随机抽取1000人的样本，进行了一次“是否是电影明星追星族”调查，得到如下各年龄段样本人数频率分布直方图和“追星族”统计表：各年龄段样本人数频率分布直方图 “追星族”统计表 组数分组 “追星族”人数 占本组频率第17题图频率/组距（1）求的值． （2）设从45岁到65岁的人群中，随机抽取2人，用样本数据估计总体，表示其中“追星族”的人数， 求分布列、期望和方差．14、（xx 届广州六中上第一次质检） 为迎接6月6日的“全国爱眼日”，某高中学生会从全体学生中随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)，如图，若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”． (Ⅰ)写出这组数据的众数和中位数；(Ⅱ)从这16人中随机选取3人，求至少有2人是“好视力”的概率； （Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记X 表示抽到“好视力”学生的人数，求X 的分布列及数学期望．15、（xx 广州一模）甲，乙，丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是，甲，丙两人同时不能被聘用的概率是，乙，丙两人同时能被聘用的概率是，且三人各自能否被聘用相互独立．（1）求乙，丙两人各自能被聘用的概率；（2）设表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求的分布列与均值（数学期望）．16、袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上号的有个（=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.表示所取球的标号.（Ⅰ）求的分布列，期望和方差； （Ⅱ）若, ,,试求a,b 的值.17、为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。

第七章 概率【过关测试】-2020-2021学年高一数学单元复习一遍过（北师大版2019必修第一册）第I 卷（选择题）一、单选题1．（2020·陕西蓝田·高一期末）下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是( ) A ．频率就是概率B ．频率是随机的，与试验次数无关C ．概率是稳定的，与试验次数无关D ．概率是随机的，与试验次数有关2．（2020·江苏省前黄高级中学高二期中）从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是A ．518B ．49C ．59D ． 793．（2020·全国高一课时练习）已知{0,1,2}a ∈,{1,1,35}b ∈-，,则函数2()2f x ax bx =-在区间(1,)+∞上为增函数的概率是（ ）A ．512B ．13C ．14D ．164．（2020·全国高一课时练习）若1()9P AB =,2()3P A =,1()3P B =,则事件A 与B 的关系是( ) A ．事件A 与B 互斥B ．事件A 与B 对立C ．事件A 与B 相互独立D ．事件A 与B 相互斥又独立5．（2020·全国高一课时练习）某人练习射击，他脱靶的概率为0.20，命中6环、7环、8环、9环、10环的概率依次为0.10，0.20，0.30，0.15，0.05，则该人射击命中的概率为（ ）A ．0.50B ．0.60C ．0.70D ．0.806．（2020·朝阳·吉林省实验高二期末（文））已知随机事件,,A B C 中，A 与B 互斥，B 与C 对立，且()()0.3,0.6P A P C ==，则()P A B +=（ ）7．（2019·北京市第二中学朝阳学校高二期末）甲、乙两人独立地解决同一个问题，甲能解决这个问题的概率是1P ，乙能解决这个问题的概率是2P ，那么至少有一人能解决这个问题的概率是( ) A ．12P P + B ．12PP C ．121PP - D ．()()12111P P ---8．（2019·山西高二月考（文））某大学外语系有6名志愿者，其中志愿者1A ，2A ，C 只通晓英语，志愿者1B ，2B ，3B 只通晓俄语．现从这6名志愿者中选出2名，组成一个能通晓两种语言的小组，则C 被选中的概率为（ ）A ．15B ．14C ．13D ．259．（2020·河北高二期末）将红、黑、蓝、白5张纸牌（其中白纸牌有2张）随机分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少分得1张，则下列两个事件为互斥事件的是（ ）A ．事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得1张红牌”B ．事件“甲分得1张红牌”与事件“乙分得1张蓝牌”C ．事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得2张白牌”D ．事件“甲分得2张白牌”与事件“乙分得1张黑牌”10．（2020·河南淇滨·鹤壁高中高一月考）如图，正三角形ABC 内的图形来自中国古代的太极图.正三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正三角形的中心成中心对称.在正三角形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．9B ．18C ．9D ．18第II 卷（非选择题）二、填空题11．（2018·江苏秦淮·高三期中）给3个人写3封内容不同的信，写好后将它们随意装入写好地址与收信人的3个信封，每个信封装一封信，则全部装错．的概率为__________________.12．（2020·泊头市第一中学高二开学考试）甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场二胜制（当一队赢得二场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以2:1获胜的概率是_____．13．（2020·江苏秦淮·高三一模）某班要选一名学生做代表，每个学生当选是等可能的，若“选出代表是男生”的概率是“选出代表是女生”的概率的13，则这个班的女生人数占全班人数的百分比是_．14．（2019·黑龙江龙凤·大庆四中高二月考（文））如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影部分的面积是__________.15．（2020·福清西山学校高二月考）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45，35，25，且各轮问题能否正确回答互不影响，则该选手被淘汰的概率为_________．16．（2019·天津和平·高一期末）某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.04，出现丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为________.三、解答题17．（2020·广西田阳高中高二月考（文））小红和小明相约去参加超市的半夜不打烊活动，两人约定凌晨0点到1点之间在超市门口相见，并且先到的必须等后到的人30分钟才可以进超市先逛．如果两个人出发是各自独立的，在0点到1点的各个时候到达的可能性是相等的．（1）求两个人能在约定的时间内在超市门口相见的概率；（2）超市内举行抽奖活动，掷一枚骰子，掷2次，如果出现的点数之和是5的倍数，则获奖．小红参与活动，她获奖的概率是多少呢？18．（2020·四川省仁寿第一中学校北校区高三二模（文））质量是企业的生命线，某企业在一个批次产品中随机抽检n件，并按质量指标值进行统计分析，得到表格如表：（1）求a，b，n；90,120的产品中，按照等级分层抽样抽取6件，再从这6件中随机抽取2件，（2）从质量指标值在[)求至少有1件特等品被抽到的概率.19．（2020·江西省莲花中学高一月考）石嘴山市第三中学高三年级统计学生的最近20次数学周测成绩，现有甲、乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示：(1)根据茎叶图求甲、乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整；(2)现从甲、乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，记事件A为“其中2个成绩分别属于不同的同学”，求事件A发生的概率.20．（2019·沙坪坝·重庆八中高二期末（理））2017年5月，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”：高铁、扫码支付、共享单车和网购.乘坐高铁可以网络购票，为了研究网络购票人群的年龄分布情况，在5月31日重庆到成都高铁9600名网络购票的乘客中随机抽取了120人进行了统计并记录，按年龄段将数据分成6组：[15,25),[25,35),[65,75)，得到如下直方图：（1）试通过直方图，估计5月31日当天网络购票的9600名乘客年龄的中位数；（2）若在调查的且年龄在[55,75)段乘客中随机抽取两人，求两人均来自同一年龄段的概率. 21．（2020·辽宁高一期末）某中学为了丰富学生的业余生活，开展了一系列文体活动，其中一项是同学们最感兴趣的3对3篮球对抗赛，现有甲乙两队进行比赛，甲队每场获胜的概率为25.且各场比赛互不影响.()1若采用三局两胜制进行比赛，求甲队获胜的概率；()2若采用五局三胜制进行比赛，求乙队在第四场比赛后即获得胜利的概率.22．（2019·湖北省孝感市第一高级中学高二期末（文））“读书可以让人保持思想活跃，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”，2018年第一期中国青年阅读指数数据显示，从供给的角度，文学阅读域是最多的，远远超过了其他阅读域的供给量.某校采用分层抽样的方法从1000名文科生和2000名理科生中抽取300名学生进行了在暑假阅读内容和阅读时间方面的调查，得到数据如表：（1）先完成上面的表格，并判断能否有90%的把握认为学生所学文理与阅读内容有关？（2从300名被调查的学生中，随机进取30名学生，整理其日平均阅读时间（单位：分钟）如表：试估计这30名学生日阅读时间的平均值（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（3）从（2）中日均阅读时间不低于120分钟的学生中随机选取2人介绍阅读心得，求这两人都是女生的概率.参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.参考数据：参考答案1．C【详解】频率指的是：在相同条件下重复试验下，事件A 出现的次数除以总数，是变化的概率指的是： 在大量重复进行同一个实验时，事件A 发生的频率总接近于某个常数，这个常数就是事件A 的概率，是不变的2．C【解析】标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中，标奇数的有5张，标偶数的有4张，所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是115425989C C =⨯ ,选C. 3．A{0,1,2}a ∈,{1,1,3,5}b ∈-,∴基本事件总数3412n =⨯=.用(,)a b 表示,a b 的取值. 若函数2()2f x ax bx =-在区间(1,)+∞上为增函数,则 ①当0a =时,()2f x bx =-,符合条件的只有(0,1)-,即0a =,1b =-;②当0a ≠时,则由题意0a >，只需满足1b a,符合条件的有(1,1)-,(1,1),(2,1)-,(2,1),共4种. ∴函数2()2f x ax bx =-在区间(1,)+∞上为增函数的概率512P =.故选：A 4．C 【详解】21()1()133P A P A =-=-=，1()()()09P AB P A P B ∴==≠.∴事件A 与B 相互独立，不是互斥、对立事件.5．D 【详解】 ∵某人练习射击，他脱靶的概率为0.20，∴该人射击命中的概率10.200.80P =-=.故选:D .6．C 【详解】因为()0.6P C =，事件B 与C 对立，所以()0.4P B =，又()0.3P A =，A 与B 互斥，所以()()()0.30.40.7P A B P A P B +=+=+=，故选C .7．D 【详解】因为事件“至少有一人能解决这个问题”的对立事件是“两个人都不能解决这个问题”，事件“两个人都不能解决这个问题”的概率为()()1211P P --所以至少有一人能解决这个问题的概率是()()12111P P ---8．C 【详解】从这6名志愿者中选出2名通晓两种语言的小组,有()11,B A ,()12,BA ,()1,BC ,()21,B A ,()22,B A ,()2,B C ,()31,B A ,()32,B A ,()3,B C ,共有9个基本事件,其中C 被选中的基本事件有()()()123,,,,,B C B C B C ,共3个,所以所求概率为3193=, 9．C 【解析】对于A，事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得1张红牌”可以同时发生，不是互斥事件；对于,B事件“甲分得1张红牌”与事件“乙分得1张蓝牌”可能同时发生，不是互斥事件；对于D，事件“甲分得2张白牌”与事件“乙分得1张黑牌”能同时发生，不是互斥事件；但C中的两个事件不可能发生，是互斥事件，故选C.10．B【详解】设正三角形边长为2，则内切圆的半径为33π.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型的概率计118π⨯=.故选：B.11．13【详解】依题意，基本事件的总数为336A=种，全部装错的事件有2种（如下表所示），所以全部装错的概率为2163=.12．0.3【详解】甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，甲队以2:1获胜的是指甲队前两场比赛中一胜一负，第三场比赛甲胜，则甲队以2:1获胜的概率是：0.60.50.60.40.50.60.3P =⨯⨯+⨯⨯=.故答案为：0.3． 13．75%【详解】设“选出代表是女生”的概率为a ,则“选出代表是男生”的概率为13a ,因为113a a +=,所以34a =,所以这个班的女生人数占全班人数的百分比为75%,故答案为:75% 14．3π【详解】设阴影部分的面积为1S ，圆的面积239S ππ==，由几何概型的概率计算公式得113S S =，得13S π=.故答案为：3π15．101125【详解】 记“该选手能正确回答第i 轮的问题”为事件(1,2,3)i A i =，则()()()123432,,555P A P A P A ===.该选手被淘汰的概率：112123112123()()()()()()()P P A A A A A A P A P A A P A A A =++=++142433101555555125=+⨯+⨯⨯= 故答案为：10112516．0.95 【详解】记事件A ={甲级品}，B ={乙级品}， C ={丙级品} 因为事件A ，B ，C 互为互斥事件，且三个事件对立，所以抽得正品即为抽得甲级品的概率为()1()()0.95P A P B P C =--=17【详解】（1）设两人到达约会地点的时刻分别为x ，y ，依题意，必须满足1||2x y -≤才能相遇． 我们把他们到达的时刻分别作为横坐标和纵坐标，于是两人到达的时刻均匀地分布在一个边长为1的正方形Ⅰ内，如图所示，而相遇现象则发生在阴影区域G 内，即甲、乙两人的到达时刻(,)x y 满足1||2x y -≤，所以两人相遇的概率为区域G 与区域Ⅰ的面积之比：2113214G I S P S ⎛⎫- ⎪⎝⎭===． 也就是说，两个人能在约定的时间内在超市门口相见的概率为34． （2）设第一枚随机地投掷得到向上一面的点数为a ，第二枚投掷得到向上一面的点数为b，则a 与b 的和共有36种情况．所以两次取出的数字之和+a b 是5的倍数的情况有(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，(4,6)，(6,4)，(5,5)，共7种，其概率为736P =． 18．【详解】（1）由100.1100÷=，得100n =1000.440∴=⨯=a301000.3∴=÷=b（2）设从“特等品”产品中抽取x 件，从“一等品”产品中抽取y 件，由分层抽样得6602040x y ==，解得2,4x y ==.即在抽取得6件中，有特等品2件，记为12,A A ，有一等品4件，记为1234,,,B B B B 则所有的抽样情况有1211121314,,,,A A A B A B A B A B21222324,,,A B A B A B A B121314,,B B B B B B 2324,B B B B 34B B ，共15种.其中至少有1件特等品的情况有：1211121314,,,,A A A B A B A B A B21222324,,,A B A B A B A B共9种，记事件M 为“至少有1件特等被抽到”，则93()155P M == 19【详解】(1)甲的成绩的中位数是1161221192+=，乙的成绩的中位数是1281281282+=， 同学乙的成绩的频率分布直方图如下：(2)甲同学的不低于140分的成绩有2个设为,a b ，乙同学的不低于140分的成绩有3个，设为,,c d e ，现从甲、乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩有：(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)a e ，(,)b c ，(,)b d ，(,)b e ，(,)c d ，(,)c e ，(,)d e 共10种，其中2个成绩分属不同同学的情况有：(,)a c ，(,)a d ，(,)a e ，(,)b c ，(,)b d ，(,)b e 共6种，所以事件A 发生的概率63()105P A ==.20【详解】（1）由直方图可知：中位数在[)25,35区间内，设中位为x . 由题可得：0.2(25)0.040.532.5x x +-⨯=⇒=，所以5月31日当天网络购票的9600名乘客年龄的中位数大约为32.5 （2）年龄在[55,65)和[65,75)的乘客人数相等，频率为(10.20.40.20.1)20.05----÷=．人数为1200.056⨯=人则在调查的且年龄在[55,75)段乘客中随机抽取两人求两人均来自同一年龄段的概率为：22662123056611C C P C +===． 21【详解】解:设()1,2,3,4,5i A i =表示甲队在第i 场比赛获胜()1所求概率为:()()()221212312323244 2555125P A A P A A A P A A A ⎛⎫⎛⎫++=+⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2所求概率为:()()()312341234123423162355625P A A A A P A A A A P A A A A ⎛⎫++=⨯⨯= ⎪⎝⎭. 22．【详解】（1）根据题意，选取的300名学生中文科生100人，理科生200人，列联表如下；所以K2()()()()222()300705545130) 2.820 2.706115185200100n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯(， ∴有90%的把握认为学生所学文理与阅读内容有关； （2）根据题意平均值为：17785154575105135801030303030x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=； （3）日均阅读时间不低于120分钟的学生共5人，其中男生2人女生3人，设两个男生分别为,A B ，三个女生为,,C D E ，则从中随机选取两个人，有()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A C A D A E B C B D B E C D C E D E 共十种选择，满足两个均为女生的有()()(),,,,,C D C E D E 三种，所以这两人都是女生的概率310P =.。

解题思维7高考中概率与统计解答题的提分策略● 考情解读 1.概率与统计解答题是高考中相对独立的一块内容,一般以真实情境为载体,考查考生的应用意识及阅读理解能力、化归与转化能力,充分体现了概率与统计的工具性和综合性.2.概率问题的核心是概率计算及离散型随机变量的分布列及其期望求解,其中事件的互斥、对立、相互独立是概率计算的核心,排列组合是进行概率计算的工具;统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法,重点是统计图表的应用,样本的数字特征及统计案例.1.典例 [2021新高考卷Ⅰ,12分]某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列;(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.求什么想什么要求X的分布列,需先确定X的所有可能取值,然后分别求出每个可能取值对应的概率即可.思维导引（1）（2）求什么想什么要确定小明应选择先回答哪类问题,需先求出小明先回答A类问题累计得分的期望(由(1)可得)以及先回答B类问题累计得分的期望,比较这两个期望即可得出结论.规范答题 (1)由题意得,X 的所有可能取值为0,20,100,P (X =0)=1-0.8=0.2,(1分)P (X =20)=0.8×(1-0.6)=0.32,(2分)P (X =100)=0.8×0.6=0.48,(3分)所以X的分布列为 (4分)(2)当小明先回答A类问题时,由(1)可得E (X )=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4.(5分)当小明先回答B类问题时,记Y 为小明的累计得分,则Y 的所有可能取值为0,80,100,X 020100P 0.20.320.48P (Y =0)=1-0.6=0.4,(6分)P (Y =80)=0.6×(1-0.8)=0.12,(7分)P (Y =100)=0.6×0.8=0.48,(8分)所以Y 的分布列为 (9分)E (Y )=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6.(10分)因为57.6>54.4,即E (Y )>E (X ),所以为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答B类问题.(12分)Y080100P 0.40.120.48感悟升华解答概率与统计解答题重在“辨”——辨析、辨型提分策略2.典例 [2018全国卷Ⅱ,12分][理]如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:＾=-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②＾=99+17.5t.(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值.(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.规范答题 (1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为＾1=-30.4+13.5×19=226.1(亿元).(3分)利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为＾2=99+17.5×9=256.5(亿元).(6分)(2)利用模型②得到的预测值更可靠.(7分)理由如下:(i)从图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始,环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型＾=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.(12分)(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠.(12分)(以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分)失分探源1.计算失误.如第(1)问中因计算错误而丢分.2.不善于运用所学的统计知识来分析解决问题,特别是在第(2)问说明理由过程中不能合理阐述,主要原因是平时学习以及备考中没有应用概率与统计知识来分析和解决实际问题的习惯.感悟升华。

2021届高考数学一轮复习测试卷概率与统计注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某学校准备调查高三年级学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机对24名同学进行调查；第二种由教务处对年级的240名学生编号，由001到240，请学号最后一位为3的同学参加调查，则这两种抽样方式依次为（）A．分层抽样，简单随机抽样B．简单随机抽样，分层抽样C．分层抽样，系统抽样D．简单随机抽样，系统抽样2．从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则互为对立事件的是（）A．“至少一个红球”与“至少一个黄球”B．“至多一个红球”与“都是红球”C．“都是红球”与“都是黄球”D．“至少一个红球”与“至多一个黄球”3．甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示，则（）A．甲得分的平均数比乙的大B．甲的成绩更稳定C．甲得分的中位数比乙的大D．乙的成绩更稳定4．在5(2)x-的展开式中，2x的系数为（）A．5-B．5C．10-D．105．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据(,)(1,2,,)i ix y i n=，用最小二乘法建立的回归方程为ˆ0.8585.71y x=-，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(,)x yC．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg6．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y bx a=+的b约等于9，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额约为（）A．54万元B．55万元C．56万元D．57万元7．利用独立性检验的方法调查高中生性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查200名高中生是否爱好某项运动，利用列联表，由计算可得27.245K≈，参照下表：得到的正确结论是（）A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”8．若随机变量2(3,)X Nσ~，且(5)0.2P X≥=，则(15)P X<<=（）A．0.6B．0.5C．0.4D．0.39．AQI即空气质量指数，AQI越小，表明空气质量越好，当AQI不大于100时称空气质量为“优。