2019-2020年高考数学一模试卷(理科)

2019-2020 年高三一模试题及答案（数学理） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 . 共 150 分 .考试时间 120 分钟． 注意事项：1 ．答卷前，考生务必用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、 考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2 ．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3 ．第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答 案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）、选择题：本大题共 12 小题．每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的．3．设 p 和 q 是两个简单命题，若 p 是 q 的充分不必要条件，则 p 是 q 的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 4．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是a1 b3 a a b b a bPRINT a,b A ． 1 3B．41C ． 0 0D ．6025 ．若 a sin xdx ，2b1cosxdx ，则 a 与 b 的关系是A ． a bB ． abC ． a bD ． a b 06．圆 x 2 y 2 2x 2y 1 0上的点到直线 x y 2 的距离的最大值是1． 复数1 3i（i 为虚数单位 ）等于A ．1B ． 112．若集合 A {y|y x 3, 1 x 1} ， C ． i D ． iB {x y 1 x} ，则 A BA ．,1B ． [ 1,1]C ．D ．{1}A ． 2 B. 1 2 C ． 2 D. 1 2 227．已知抛物线 x 2 ay 的焦点恰好为双曲线 y 2 x 2 2的上焦点，则 a 的值为A ．1B ． 4C ．8D ．168．将奇函数 f(x) Asin( x )(A 0, 0,) 的图象向左平移个单位得到2 2 6的图象关于原点对称，则 的值可以为A ． 2B ． 3C ．4D ．69．已知28 xy1(x 0,y 0) ，则x y 的最小值为A ． 12B ． 14C ．16D ． 18xx10 ．过原点的直线与函数 y 2x 的图像交于 A,B 两点，过B 作 y 轴的垂线交于函数 y 4x 的图像于点 C ，若直线AC 平行于 y 轴，则点 A 的坐标是A ． (1,2) 1B ． (2,4)C ．( , 2)D ． (0,1)211 ．在数列 {a n }中，a n 1 a n a ( n N , a 为常数)，若平面上的三个不共线的非零向量OA,OB,OC 满足 OC a 1OA a 2010OB ，三点 A,B,C 共线且该直线不过 O 点，则 S 2010 等12．平面 外有两条直线 m 和n ，如果 m 和 n 在平面 内的射影分别是直线 m 1和直线 n 1，给出下列四个命题： ① m 1 ⊥ n 1 m ⊥ n ； ② m ⊥ n m 1 ⊥ n 1 ；第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16分．1n13 ．若 (x)n 展开式中第 2 项与第 6项的系数相同，那么展开式的中间一项的系数 x14 ．已知区域 {(x,y)|x y 10,x 0,y 0},A {(x,y)|x y 0,x 5,y 0} ，若于A ． 1005B ． 1006C ． 2010D ． 2012③ m 1与 n 1相交 m 与 n 相交或重合； 其中不．正．确．的命题个数是A.1B. 2④ m 1 与 n 1 平行 m 与 n 平行或重合；C. 3D. 4向区域上随机投1个点，则这个点落入区域A 的概率P A ；15 ．关于x 的不等式|x 2| |x 1| 5的解集为；log2x (x 0)16 ．已知函数 f (x) 3x 2(x 0)，且关于x 的方程f(x) x a 0有且只有一个实根，则实数a 的范围是．三、解答题：本大题共 6 小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17 ．(本小题满分12 分)已知向量m ( 3sin2x t,cosx) ，n (1,2 cosx) ，设函数f (x) m n.1(Ⅰ)若cos(2x ) ，且m n ，求实数t 的值;323(Ⅱ)在ABC 中,a,b,c 分别是角A,B,C 的对边,若f (A) 3,b 1,且ABC 的面积为3, 2实数t 1,求边长a的值.18 ．(本小题满分12 分)某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从2 种服装商品, 2 种家电商品, 3种日用商品中,选出3种商品进行促销活动.(Ⅰ)试求选出的3 种商品中至多有一种是家电商品的概率;(Ⅱ )商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高x 元,同时,若顾客购买该商品,则允许有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为40元1的奖券.假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是,若使促销方案对商场有利，则x 最少为多少2元？19. ( 本题满分共12 分) 下图分别为三棱锥S ABC 的直观图与三视图，在直观图中，SA SC ，M、N 分别为AB、SB的中点.(Ⅰ)求证：AC SB;(Ⅱ)求二面角M NC B 的余弦值.侧视图20. (本题满分共12 分)已知各项均为正数的数列a n 满足a n21 2a n2 a n a n 1,且a2 a4 2a3 4,其中n N . (Ⅰ )求数列a n 的通项公式;2 T n 1 12 2log2 b n 1 2 (Ⅱ)设数列b n 的前n项和为T n,令b n a n2,其中n N ,试比较n 1与 2 n1 n n n n4T n 2log2 b n 1 的大小, 并加以证明.21. (本题满分12 分)12 2 已知定义在正实数集上的函数f(x) x22ex, g(x) 3e2ln xb(其中e为常数，e 2.71828 ) ,若这两个函数的图象有公共点,且在该点处的切线相同.(Ⅰ)求实数b 的值;(Ⅱ)当x 1,e 时,2(f(x) 2ex) a2(2g(x) e2) (a 2)x恒成立,求实数a的取值范e 6e围.22. (本题满分14 分)22已知椭圆C: x2y2 1(a b 0)的左右两焦点分别为F1,F2，P是椭圆C上的一点，且ab在x轴的上方，H 是PF1上一点，若PF2 F1F2 0,OH PF1 0,OH OF1 ，11 , (其中O 为坐标原点) .32(Ⅰ)求椭圆C 离心率e的最大值;2(Ⅱ)如果离心率e取(Ⅰ)中求得的最大值, 已知b2 2，点M( 1，0)，设Q 是椭圆C 上的一点，过Q、M 两点的直线l交y轴于点N,若NQ 2QM , 求直线l的方程.38分青岛市高三教学质量统一检测一、选择题： CBBBA 二、填空题： 本大题共 BCDDA 本大题共 13 ．20 14 ． 三、解答题（共 74 分）．17 ．（本小题满分 12 分） 数学试题（理科）答案12 小题，每小题 5 分，共 60 分． AD 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 1 4 15 ．（ 3，2） 16 ．（1， ） 解: ( Ⅰ )由题意得 m n ( 3 sin2x t) 2cos 2 x 2sin(2x ) t 1 0 6 3分所以 t 2sin(2x ) 1 2cos(2x ) 1 2 63 6分(Ⅱ)由(Ⅰ )知 f (x) 2sin(2x ) t 1 2sin(2x ) 2 由题意得 f (A) 2sin(2A ) 2 3 1 所以 sin(2A ) 13 5 因为 0 A ， 2A ，所以 2A 6 6 6 6 6 8分 2010.313 解得 A 3 3 1 3因为 ABC 的面积为 ,所以 bcsin A,bc 2即c 22210 分由余弦定理得 a b 2 c 2 2bc cos A 12 分18 ．（本小题满分 12 分） 3解: （Ⅰ）选出 3种商品一共有 C 7 种选法 , 选出的 3 种商品中至多有一种是家电商品有 ⋯⋯ 2 分 C 53 C 21C 52种. ⋯⋯C 3 C 1C 2 6 所以至多有一种是家电商品的概率为 P C5 C 32C5 6.⋯⋯ C737 ⋯⋯（Ⅱ）奖券总额是一随机变量 ,设为 ,可能值为 0, 40, 80, 120. P0 C 30 14分 5分6分1 3 12 2 8, P 40 C31 1 132 2 8 7分10 分P 80 C 32 3P 120 C 33211 21 1 3 , 228 1 3 1 0 12284080120P133 1 88 881 33 1 所以 EX 0 40 80 120 60.8 888所以 x 60 ,因此要使促销方案对商场有利，则 x 最少为 60元.19.( 本题满分 12 分 )解: 由题意知 : SA SC 2 3，侧面 SAC 底面 ABC ，(Ⅱ) 如图所示建立空间直角坐标系 O xyz ,则 A(2,0,0),B(0,2 3,0),C( 2,0,0),S(0,0,2 2),M (1, 3,0), N (0, 3, 2).AC ( 4,0,0), SB (0,2 3, 2 2) .CM (3, 3,0), MN ( 1,0, 2).设n (x, y, z)为平面 CMN 的一个法向量 ,n CM 3x 3y 0 ，取 z 1, 得 x 2,y 6 . n MN x 2z 0 所以 n ( 2, 6,1) 又由上可得 CB (2,2 3,0),CN (2, 3, 2). 设 m (a,b,c)为平面 NBC 的法向量 ,m CB 2a 2 3b 0 ,得 a 2c 0,m CN 2a 3b 2c 0 令 c 1 ，则 m ( 2, 6 ,1)39分10 12 分底面 ABC 为正三角形2分(Ⅰ) 取 AC 的中点 O ,连结 OS,OB .因为 SA SC,AB BC , 所以 AC SO,AC OB . 所以 AC 平面 OSB .所以AC SB4分6分8分①当 n 1时， 7 40 7 3 1 1 4 ,上面不等式显然成立；②假设当 n k 时，不等式 7 4k 1 3k 1成立⋯⋯⋯⋯ 9 分 当 n k 1 时，7 4k 4 7 4k 1 4(3k 1) 12k 4 3k 4 3(k 1) 1 综上①②对任意的 n N 均有 7 4n 1 3n 1 ⋯⋯⋯⋯ 11 分m n 2 2 1 33 所以 cos n,m所以|m||n|3 33 11 33 所以二面角 M NC B 的余弦值为 33 . 11 12 分20.（ 本题满分 12 分 ） 22 解:(Ⅰ)因为 a n 1 2a n a n a n 1,即(a n1 a n )(2a n a n 1) 0 又 a n 0,所以有 2a n a n 1 0,所以 2a n a n 1 所以数列 a n 是公比为 2的等比数列⋯⋯⋯⋯ 2 分 由 a 2 a 4 2a 3 4得 2a 1 8a 1 8a 1 4,解得 a 1 2 故数列 a n 的通项公式为 a n 2n (n N )⋯⋯⋯⋯ 4分 (Ⅱ) 因 b n a n 2 4 ，所以 b 1 4, n 1 4 b n 即数列 b n 是首项为 4,公比是 4 的等比数列 4n所以 T n (4 n 1) 3 6分 则T n 1 12 4n 18 4T n 4(4n 1) 13 n 41 2log 2b n 1 2 4n 6又 2log 2 b n 1 4n 1 7 1 4n 1 T n 1 12 2log 2 b n 1 2 4T n 3 2log 2 b n 1 4n 1 4n 14(3n 1 7 4n 1)(4n 1)(4n 1)猜想： 7 4n 1 3n 18分9分又 4n 1 0,4n 1 01 2 2x 0 2ex 0 3e ln x 02x 0x 0 0 2 e解得:b⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分22 2e (Ⅱ)由(Ⅰ)知, g(x) 3e 2 ln x 2所以 2( f (x) 2ex) a 2 (2g(x) e 2) x 2 aln x6e 2即 a ( x ln x) x 2 2x (1)当 x [ ,1) 时， ln x 0 ， x ln x 0 e当 x 1,e 时， lnx 1 x ，且等号不能同时成立， x ln x 0x 2 2x 1所以,则由(1)式可得 a在 ,e 上恒成立⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分x ln x ex 2 2x1 设 F(x) , x ,ex ln xe又 F (x) (x 1)(x 2 22ln x )⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(x ln x)2T n 1 12 4T n2log 2 b n 1 2 2log 2 b n 1所以对任意的 n N 均有 T n 1 12 2log 2 b n 1 24T n2log 2 b n 112 分21.( 本题满分 12 分 ) 解:(Ⅰ) f ( x) x 2e , g ( x) 3e2x1分设函数 f(x) 1 x 2 2ex 与 g (x)23e ln x b的图象有公共点为(x 0,y 0)由题意得 x 0 2e3e 23分1 2 16分令 F (x) 0 得： x 1 又 ln x 1, x 2 2ln x 0 F (x) 0 ；当 x 1,e 时， F (x) 0；1所以， F(x) 在［ ,1)上为减函数， F(x) 在 1,e 上为增函数 e 又 F(1) 1 2e 0 F(e) e 2ee e(e 1) e 1故 F(x)max F(e) e e 12ee122.( 本题满分 14 分 )则有 F 1OH 与 F 1PF 2 相似设 F 1( c,0),F 2(c,0),c 0, P(c,y 1)所以实数 a 的取值范围是 e 2ee112 分22 c y 1 则有 2 1 a b 2 1, 解得 y 1 b 2 a 所以 PF 2 b 2 y 1 根据椭圆的定义得 : F 1P 2a PF 2 2a b2a4分b 2 2a 2 b 2 ,即a b22a所以 e 22c2 12 ab 22a所以，当 x 1,1 时， e11 分解 :(Ⅰ)由题意知 PF 2 F 1F 2,OHPF 1所以OH PF 2OF 1 F 1P2分2 1 1 1在 [ , ] 上是单调减函数 13 2 1 2 1当时, e 2取最大值32设Q (x 1,y 1),由于 NQ 2QM ,所以有 (x 1,y 1 k) 2( 1C ( 3)又 Q 是椭圆 C 上的一点 , 则 34解得 k 4所以直线 l 的方程为 4x y 4 0或 4xy 4 02kx13,y1 3 12显然 e 2 所以椭圆 C 离心率 e 的最大值是8分2(Ⅱ)由(Ⅰ )知c 2b212 aa2 1 21 a2 2,解得a 4所以此时椭圆 2C 的方程为 y14210 分由题意知直线 l 的斜率存在 ,故设其斜率为 k , 则其方程为 y k(x 1),N(0,k)x 1, y 1)(3)1 31 214 分。

2019-2020年高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，若A⊆B，则a的取值范围是（）A．a≤2 B．a≤1 C．a≥1 D．a≥2考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据集合A是B的子集，利用数轴帮助理解，可得实数a应为不小于a的实数，得到本题答案．解答：解：∵设A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，且A⊆B，∴结合数轴，可得2≤a，即a≥2故选：D点评：本题给出两个数集的包含关系，求参数a的取值范围，着重考查了集合的包含关系判断及应用的知识，属于基础题．2．（5分）已知复数z=，则|z|=（）A．B．C．l D．2考点：复数求模；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：首先利用复数的除法运算把复数z化为a+bi的形式，然后直接代入模的公式求模．解答：解：z==．所以|z|=．故选C．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础的运算题．3．（5分）一个底面是正三角形的三棱柱的侧视图如图所示，则该几何体的侧面积等于（）A．B．6C．2D．2考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意判断几何体的形状，集合三视图的数据求出侧面积．解答：解：由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，侧面积为3×2×1=6，故答案为：B．点评：本题考查三视图求解几何体的侧面积，考查空间想象能力，计算能力．4．（5分）下列说法错误的是（）A．在线性回归模型中，相关指数R2取值越大，模型的拟合效果越好B．对于具有相关关系的两个变量，相关系数r的绝对值越大，表明它们的线性相关性越强C．命题“∃x∈R．使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题若x=y，则sin．r=siny”的逆否命题为真命题考点：特称命题；命题的否定．专题：探究型．分析：A．利用相关指数R2取值意义进行判断．B．利用相关系数r的意义判断．C．利用特称命题的否定是全称命题进行判断．D．利用四种命题之间的关系进行判断．解答：解：A．相关指数R2来刻画回归效果，R2越大，说明模型的拟合效果越好，所以A 正确．B．线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强，所以B正确．C．命题“∃x∈R．使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”．D．点评：本题主要考查命题的真假判断，综合性较强，牵扯的知识点较多，要求熟练掌握相应的知识．5．（5分）（2011•宝鸡模拟）若将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象关于y轴对称，则实数m的最小值为（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：函数=2cos（x+）图象向左平移m个单位可得y=2cos（x+m），由函数为偶函数图象关于y轴对称，故可得此函数在y轴处取得函数的最值即2cos（m+=±2，求解即可解答：解：∵函数=2cos（x+）图象向左平移m个单位可得y=2cos（x+m）根据偶函数的性质：图象关于y轴对称，故可得此函数在y轴处取得函数的最值即2cos（m+=±2，解得，m 的最小值故选C点评：本题主要考查了三角函数的辅助角公式的应用，函数的图象平移，偶函数的性质，三角函数的对称轴的应用，综合的知识比较多，但都是基本运用．6．（5分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且A=60°，c=5，a=7，则△ABC 的面积等于（）A．B．C．10D．10考点：正弦定理．专题：计算题．分析：利用余弦定理a2=b2+c2﹣2accosA可求得b，即可求得△ABC的面积．解答：解：∵△ABC中，A=60°，c=5，a=7，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即49=b2+25﹣2×5b ×，解得b=8或b=﹣3（舍）．∴S△ABC =bcsinA=×8×5×=10．故选C．点评：本题考查余弦定理与正弦定理的应用，求得b是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．7．（5分）在下列图象中，可能是函数y=cosx+lnx2的图象的是（）A．B．C．D．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：令f（x）=cosx+lnx2（x≠0），可得f（﹣x）=f（x），f（x）是偶函数，其图象关于y 轴对称．利用导数（x≠0），可知：当2＞x＞0时，y′＞0．及f（π）=﹣1+2lnπ＞0即可判断出．解答：解：令f（x）=cosx+lnx2（x≠0），则f（﹣x）=f（x），即f（x）是偶函数，其图象关于y轴对称．∵（x≠0），∴当2＞x＞0时，y′＞0．由f（π）=﹣1+2lnπ＞0可知：只有A适合．故选A．点评：熟练掌握偶函数的性质、利用导数研究函数的单调性、数形结合的思想方法等是解题的关键．8．（5分）（2008•浙江）已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=（）A．16（1﹣4﹣n）B．16（1﹣2﹣n）C．（1﹣4﹣n）D．（1﹣2﹣n）考点：等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：首先根据a2和a5求出公比q，根据数列{a n a n+1}每项的特点发现仍是等比数列，且首项是a1a2=8，公比为．进而根据等比数列求和公式可得出答案．解答：解：由，解得．数列{a n a n+1}仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为，所以，故选C．点评：本题主要考查等比数列通项的性质和求和公式的应用．应善于从题设条件中发现规律，充分挖掘有效信息．9．（5分）某学校星期一每班都排9节课，上午5节、下午4节，若该校李老师在星期一这天要上3个班的课，每班l节，且不能连上3节课（第5和第6节不算连上），那么李老师星期一这天课的排法共有（）A．474种B．77种C．462种D．79种考点：排列、组合及简单计数问题．专题：概率与统计．分析：首先求得不受限制时，从9节课中任意安排3节排法数目，再求出其中上午连排3节和下午连排3节的排法数目，进而计算可得答案．解答：解：使用间接法，首先求得不受限制时，从9节课中任意安排3节，有A93=504种排法，其中上午连排3节的有3A33=18种，下午连排3节的有2A33=12种，则这位教师一天的课表的所有排法有504﹣18﹣12=474种，故选A．点评：本题考查排列知识的应用，使用间接法求解，考查学生的计算能力，属于中档题．10．（5分）（2010•宁德模拟）如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概型；定积分．专题：计算题．分析：欲求所投的点落在叶形图内部的概率，须结合定积分计算叶形图（阴影部分）平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解．解答：解：可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，由图可知基本事件空间所对应的几何度量S（Ω）=1，满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：S（A）==．所以P（A）=．故选C．点评：本题综合考查了对数的性质，几何概型，及定积分在求面积中的应用，是一道综合性比较强的题目，考生容易在建立直角坐标系中出错，可多参考本题的做法．11．（5分）设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足•=0，则4e12+e22的最小值为（）A．3B．C．4D．考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用椭圆、双曲线的定义，确定a2+m2=2c2，利用离心率的定义，结合基本不等式，即可得出结论．解答：解：由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，不妨令P在双曲线的右支上由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2m ①由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a ②又•=0，∴∠F1PF2=90°，故|PF1|2+|PF2|2=4c2③①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④将④代入③得a2+m2=2c2，∴4e12+e22==+≥+=故选B．点评：本题考查椭圆、双曲线的定义，考查基本不等式的运用，属于中档题．12．（5分）定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=x3﹣1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为（）A．γ＞α＞βB．β＞α＞γC．α＞β＞γD．β＞γ＞α考点：导数的运算．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：分别对g（x），h（x），φ（x）求导，令g′（x）=g（x），h′（x）=h（x），φ′（x）=φ（x），则它们的根分别为α，β，γ，即α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，然后分别讨论β、γ的取值范围即可．解答：解：∵g′（x）=1，h′（x）=，φ′（x）=3x2，由题意得：α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，①∵ln（β+1）=，∴（β+1）β+1=e，当β≥1时，β+1≥2，∴β+1≤＜2，∴β＜1，这与β≥1矛盾，∴0＜β＜1；②∵γ3﹣1=3γ2，且γ=0时等式不成立，∴3γ2＞0∴γ3＞1，∴γ＞1．∴γ＞α＞β．故答案为A．点评：函数、导数、不等式密不可分，此题就是一个典型的代表，其中对对数方程和三次方程根的范围的讨论是一个难点．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．）13．（4分）某种品牌的摄像头的使用寿命ξ（单位：年）服从正态分布，且使用寿命不少于2年的溉率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2．某校在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：根据题意ξ～N（μ，σ2），且P（ξ＜2）=P（ξ≥6），结合正态分布密度函数的对称性可知，μ=4，从而得出每支这种摄像头的平均使用寿命，即可得到在4年内一个摄像头都能正常工作的概率，最后利用相互独立事件同时发生的概率的乘法公式即得这两个摄像头都能正常工作的概率．解答：解：∵ξ～N（μ，σ2），P（ξ≥2）=0.8，P（ξ≥6）=0.2，∴P（ξ＜2）=0.2，显然P（ξ＜2）=P（ξ≥6）…（3分）由正态分布密度函数的对称性可知，μ=4，即每支这种灯管的平均使用寿命是4年；…（5分）∴在4年内一个摄像头都能正常工作的概率，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为=．故答案为：点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查曲线的变化特点，本题是一个基础题．14．（4分）（2﹣）8展开式中不含x2的所有项的系数和为﹣1119．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；概率与统计．分析：在展开式的通项公式中，令x的幂指数=2，解得r的值，可得含x2的系数．再根据所有项的系数和为（2﹣1）8=1，求得不含x2的所有项的系数和．解答：解：（2﹣）8展开式的通项公式为T r+1=•28﹣r•（﹣1）r•，令=2，解得r=4，故含x2的系数为24•=1120．而所有项的系数和为（2﹣1）8=1，故不含x2的所有项的系数和为1﹣1120=﹣1119，故答案为﹣1119．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．15．（4分）（2012•湖北模拟）已知某算法的流程图如图所示，若将输出的（x，y）的值依次记为（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），若程序运行中输出的一个数组是（t，﹣8），则t为81．考点：循环结构．专题：图表型．分析：由已知中程序框图，我们可以模拟程序的运行结果，并据此分析出程序运行中输出的一个数组是（t，﹣8）时，t的取值．解答：解：由已知中的程序框图，我们可得：当n=1时，输出（1，0），然后n=3，x=3，y=﹣2；当n=3时，输出（3，﹣2），然后n=5，x=32=9，y=﹣2×2=﹣4；当n=5时，输出（9，﹣4），然后n=7，x=33=27，y=﹣2×3=﹣6；当n=7时，输出（27，﹣6），然后n=9，x=34=81，y=﹣2×4=﹣8；当n=9时，输出（81，﹣8），故t=81．故答案为：81．点评：本题考查循环结构，在解决程序框图中的循环结构时，常采用利用框图的流程写出前几次循环的结果，找规律．16．（4分）定义min{a，b}=，实数x、y满足约束条件，设z=min{4x+y，3x﹣y}，则z的取值范围是[﹣10，7]．考点：简单线性规划．专题：新定义；数形结合；不等式的解法及应用．分析：由新定义可得目标函数的解析式，分别由线性规划求最值的方法求各段的取值范围，综合可得．解答：解：由题意可得z=min{4x+y，3x﹣y}=，z=4x+y的几何意义是直线y=﹣4x+z的纵截距，约束条件为，可知当直线y=﹣4x+z经过点（﹣2，﹣2）时，z取最小值﹣10，经过点（2，﹣1）时，z取最大值7，同理可得z=3x﹣y的几何意义是直线y=3x﹣z的纵截距的相反数，约束条件为，可知当直线y=3x﹣z经过点（﹣2，2）时，z取最小值﹣8，经过点（2，﹣1）时，z取最大值7，综上可知z=min{4x+y，3x﹣y}的取值范围是[﹣10，7]，故答案为：[﹣10，7]点评：本题考查简单的线性规划，涉及对新定义的理解，属中档题．三、解答题（本大题共6小题，共74分．）17．（12分）已知函数f（x）=4sin2（x+）+4sin（x+）sin（x﹣）﹣2．（I）求函数f（x）在[0，]上的值域；（Ⅱ）若对于任意的x∈R，不等式f（x）≤f（x0）恒成立，求sin（2x0）．考点：三角函数的恒等变换及化简求值；复合三角函数的单调性．专题：综合题．分析：（I）利用利用降幂公式、两角和与差的正弦公式及辅助角公式可将y=f（x）转化为f （x）=4sin（2x﹣）﹣1，再利用复合三角函数的单调性即可求得函数f（x）在[0，]上的值域；（Ⅱ）依题意知，f（x0）是f（x）的最大值，从而可求得2x0=2kπ+（k∈Z），继而可得sin（2x0）．解答：解：（I）∵f（x）=4sin2（x+）+4sin（x+）sin（x﹣）﹣2．=2[1﹣cos（2x+）]+4（sinx+cosx）（sinx﹣cosx）﹣2=2+2sin2x+sin2x﹣3cos2x﹣2=2sin2x﹣2cos2x﹣1=4sin（2x﹣）﹣1…4分∴x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴﹣≤sin（2x﹣）≤1，∴﹣3≤f（x）≤3，∴函数f（x）在[0，]上的值域为[﹣3，3]…8分（Ⅱ）∵对于任意的x∈R，不等式f（x）≤f（x0）恒成立，∴f（x0）是f（x）的最大值，因此2x0﹣=2kπ+（k∈Z），∴2x0=2kπ+（k∈Z），∴sin（2x0）=sin（2kπ+﹣）=sin=…12分点评：本题考查降幂公式、两角和与差的正弦公式及辅助角公式，考查复合三角函数的单调性及正弦函数的性质，考查三角函数的综合应用，属于中档题．18．（12分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是为为，；两人租车时间都不会超过四小时．（Ⅰ）求甲乙两人所付的租车费用相同的概率．（Ⅱ）设甲乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式．专题：计算题；应用题．分析：（Ⅰ）首先求出两个人租车时间超过三小时的概率，甲乙两人所付的租车费用相同即租车时间相同：都不超过两小时、都在两小时以上且不超过三小时和都超过三小时三类求解即可．（Ⅱ）随机变量ξ的所有取值为0，2，4，6，8，由独立事件的概率分别求概率，列出分布列，再由期望的公式求期望即可．解答：解：（Ⅰ）甲乙两人租车时间超过三小时的概率分别为：，甲乙两人所付的租车费用相同的概率p=（Ⅱ）随机变量ξ的所有取值为0，2，4，6，8P（ξ=0）==P（ξ=2）==P（ξ=4）==P（ξ=6）==P（ξ=8）==数学期望Eξ==点评：本题考查独立事件、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查利用所学知识解决问题的能力．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，平面PAD⊥平面ABCD，PA=BC=1，PD=AB=，E、F分别为线段PD和BC的中点（I）求证：CE∥平面PAF；（Ⅱ）求二面角A﹣PB﹣C的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．专题：证明题；综合题；数形结合；空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）由题意，可设出PA的中点为H，连接HE，HF，在四边形HECF中证明CE与HF平行，从而利用线平行的判定定理得出结论；（II）由题中条件知，可建立空间坐标系求出两个半平面的法向量，再利用向量夹角公式求二面角的余弦值，从而得出二面角的大小．解答：解：（I）由图知，取PA的中点为H，连接EH，HF，由已知，E、F分别为线段PD和BC的中点及底面ABCD是平行四边形可得出HE AD，CF AD故可得HE CF，所以四边形FCEH是平行四边形，可得FH CE又CE⊈面PAF，HF⊆面PAF所以CE∥平面PAF（II）底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，可得CA⊥AD，又由平面PAD⊥平面ABCD，可得CA⊥平面PAD，所以CA⊥PA又PA=AD=1，PD=，可知，PA⊥AD建立如图所示的空间坐标系A﹣XYZ因为PA=BC=1，PD=AB=，所以AC=1所以B（1，﹣1，0），C（1，0，0），P（，0，0，1），=（1，﹣1，0），=（0，0，1）设平面PAB的法向量为=（x，y，z）则可得，令x=1，则y=1，z=0，所以=（1，1，0）又=（0，﹣1，0），又=（﹣1，0，1）设平面PCB的法向量为=（x，y，z），则，令x=1，则y=0，z=1，所以=（1，0，1），所以|cos＜，＞|=所以二面角A﹣PB﹣C的大小为60°点评：本题考查二面角的求法与线面平行的判定，利用空间向量求二面角是一个重要的方法，恰当的建立空间坐标系是解答此题的关键，本题考查了综合法证明及空间想像能力，是一道有一定难度的综合题20．（12分）已知正项数列{an}的前n项和为S n，且a1=1，a n=（n≥2）（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前项n和为T n，求证：T n＜n+1．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）利用数列递推式证明数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，再求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）确定数列{b n}的通项，利用裂项法求前项n和为T n，即可得出结论．解答：（I）解：∵an=，∴Sn﹣S n﹣1=∴﹣=1（n≥2）∵a1=1，∴=1，∴数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列∴∴S n=n2∴n≥2时，a n=2n﹣1n=1时也满足上式∴a n=2n﹣1；（II）证明：b n==1+=1+，∴T n=n+（1﹣++…+）=∵∴T n＜n+1．点评：本题考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（12分）（2012•济宁一模）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于点Q（1，0）．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题．分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率为，可得，利用椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，可得b=，从而可求椭圆的方程；（Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设方程为y=k（x﹣4）代入椭圆方程，利用韦达定理，表示出直线AE的方程，令y=0，化简即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率为，∴∴∵椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．∴b=∴a2=4，b2=3∴椭圆的方程为；（Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设方程为y=k（x﹣4）代入椭圆方程可得（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0设B（x1，y1），E（x2，y2），则A（x1，﹣y1），∴x1+x2=，x1x2=又直线AE的方程为y﹣y2=令y=0，则x=x2﹣===1∴直线AE过x轴上一定点Q（1，0）．点评：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，解题的关键是确定几何量之间的关系，利用直线与椭圆联立，结合韦达定理求解22．（14分）已知函数f（x）=ax﹣2lnx﹣（I）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设g（x）=，若存在x∈[1，e]，使得f（x）＞g（x）成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（I）确定函数的定义域，求导函数，由导数的正负，分离参数求最值，即可求实数a 的取值范围；（Ⅱ）g（x）=在[1，e]上是减函数，且g（x）∈[2，2e]．分类讨论求最值，即可求实数a的取值范围．解答：解：（I）函数的定义域为（0，+∞），①若f′（x）≥0，则ax2﹣2x+a≥0在（0，+∞）上恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，∵，∴a≥1，此时函数在（0，+∞）上单调递增；②若f′（x）≤0，则ax2﹣2x+a≤0在（0，+∞）上恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，∵，∴a≤0，此时函数在（0，+∞）上单调递减；综上，a≥1或a≤0；（II）g（x）=在[1，e]上是减函数，且g（x）∈[2，2e]．①a≤0时，函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时f（x）max=f（1）=0，不合题意；②a≥1时，函数f（x）在[1，e]上是增函数，由题意，f（e）＞g（e）∴∴；②当0＜a＜1时，∵∴f（x）=ax﹣2lnx﹣≤≤﹣2＜2，不合题意综上，．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查存在性问题的研究，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．。

绝密★启用前2019-2020年高考第一次模拟考试数学（理科）试题 含答案注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =．其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{4,5,6,8},{3,5,7,8}A B ==，则AB 中元素的个数为A ．8B ．7C ．6D ．5 2．已知复数(87)(3)z i i =---，则z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． “a b >”是 “22ac bc >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线的斜率为12，则该双曲线的离心率为B.C.2D.5．不等式组5315+15 3.x y y x x y +≤⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，，表示的平面区域的面积为A. 7B.5C. 3D.146．设,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是 A.若//,//,//m l m l αα则； B.若,,//m l m l αα⊥⊥则； C.若//,,//,l m l m αβαβ⊥⊥则； D. 若,//,,//,//m m l l αββααβ⊂⊂则； 7．将5本不同的书摆成一排，若书甲与书乙必须相邻，而书丙与书丁不能相邻，则不同的摆法种数为A. 48B. 24C. 20D. 12 8．非空数集A 如果满足：①0A ∉；②若对,x A ∀∈有1A x∈，则称A 是“互倒集”.给出以下数集：①2{|10}x R x ax ∈++=； ②2{|410}x x x -+<；③ln 1{|,[,1)(1,]}x y y x e x e =∈⋃；④22,[0,1)51.[1,2]x x x x x y y +∈+∈⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎨⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎭.其中“互倒集”的个数是A.4B. 3C.2D. 1二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9－13题）9．已知(sin ,cos ),2,1a b αα==（-），若a b ⊥，则tan α的值为 ． 10．已知函数log a y x =(0,1)a a >≠的图象经过点1(2,)2，则其反函数的解析式y = ．11．在△ABC 中，A B C ∠∠∠、、的对边分别为a b c 、、，若3a =，2B A ∠=∠，cos A =，则b =______ ． 12．某射击运动员在练习射击中，每次射击命中目标的概率是35，则这名运动员在10次射击中，至少有9次命中的概率是 ．（记1035p =（），结果用含p 的代数式表示）13．已知函数3()f x x =对应的曲线在点(,())()k k a f a k N *∈处的切线与x 轴的交点为1(,0)k a +，若11a =31010(1()3f a ++=- ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线sin()24πρθ+=被圆=4ρ截得的弦长为 .15．（几何证明选讲选做题）如图1，BE 、CF 分别为钝角△ABC 的两条高，已知1,AE =3,AB CF ==则BC 边的长18.（1）证明：AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD A B C D ∴⊥，-------------------1分又BC CD ⊥， AB BC B =， CD ∴⊥平面ABC ，------------------------------2分又E 、F 分别是AC 、AD 的中点，∴//.EF CD ---------------------------------------3分∴EF ⊥平面ABC又EF ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面ABC -----------4分（3）解法1：以点C 为坐标原点，CB 与CD 所在的直线分别为x 、y 轴建立空间直角坐标系如图示，--------------------------------------------------------9分则(000)C ，，,(100),(010),(10B D A ，，，，111(,0(,,22222E F ，∴1(,022BE =-，,11(,222BF =-，,---------------10分 设平面BEF 的一个法向量为(,,)n a b c =，由0n BE n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得102211022a c a b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩令c =6,0a b ==，∴(6,0,n =，------------------12分∵BA =是平面BCD 的法向量，设平面BEF 与平面BCD 所成的锐二面角大小为θ，则cos ||||6n BA n BA θ⋅===⋅⨯,---------------------------------------------------14分19.解：（1）由2122232(21)S a a a =+=-⨯-和211a =可得15a = --------------------2分（2）解法1：当2n ≥时，由1n n n a S S -=-得13(1)(1)3(1)(2)n n n a na n n n a n n -=-------，---------------------------------4分⇒1(1)(1)6(1)n n n a n a n ----=-16(2,)n n a a n n N *-⇒-=≥∈---------------------6分∴数列{}n a 是首项15a =，公差为6的等差数列，∴16(1)61n a a n n =+-=--------------------------------------------------------7分 ∴21()322n n n a a S n n +==+-----------------------------------------------------8分（2）解法1：由曲线C 关于y 轴对称可知，若存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ，则点N 必在y 轴上，设(0,)N n ，--------------------------------------------------6分又设点200(,)4x P x ，由直线2:l y kx m =+与曲线C 有唯一公共点P 知，直线2l 与曲线C 相切，由214y x =得1'2y x =，∴001'|2x x k y x ===，---------------------------------------7分∴直线2l 的方程为2000()42x xy x x -=-，--------------------------------------------8分令1y =-得2022x x x -=，∴Q 点的坐标为002(,1)2x x --，-----------------------------9分200002(,),(,1)42x x NP x n NQ n x ∴=-=------------------------------------------10分∵点N 在以PQ 为直径的圆上，∴22220002(1)()(1)20(*)244x x x NP NQ n n n n n ⋅=--+-=-++-=---------------12分要使方程(*)对0x 恒成立，必须有21020n n n -=⎧⎨+-=⎩解得1n =，-------------------------13分∴在坐标平面内存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ，其坐标为(0,1)．---------14分②③联立解得0,1.x y =⎧⎨=⎩或0,1.x y =⎧⎨=-⎩，-----------------------------------------------12分 ∴在坐标平面内若存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ，则点N 必为(0,1)或(0,1)-， 将(0,1)的坐标代入①式得，①式， 左边=00002(1)2(1)()[]y y x x --+--002(1)2(1)0y y =-+-==右边， 将(0,1)-的坐标代入①式得，①式， 左边=00002(1)()[]2(1)y x y x ---=-不恒等于0，------------------------------------13分∴在坐标平面内是存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ，点N 坐标为为(0,1)．--14分]设1()cos(1)H x x x =-，则()()()()()2222c o s 1s i n 1s i n 1c o s 1'()c o s (1)c o s (1)x x x x x x H x x x x x -------==------7分当()0,1x ∈时，()sin 10x -<，()cos 10x ->所以'()0H x <在()0,1上恒成立，即函数()H x 在()0,1上单调递减，-------------------8分∴当()0,1x ∈时，()(1)1H x H >=，∴1a ≤.-----------------------------------------------------------------------9分（3）证法1：由（2）知，当1a =时，()sin(1)ln G x x x =--(1)0G >=,sin(1)ln x x ⇒->1sin(1)ln x x⇒-<，------------------------------------------10分∵对任意的k N *∈有21(0,1)(1)k ∈+，∴211(0,1)(1)k -∈+ ∴22211(1)sin ln ln 1(1)(2)1(1)k k k k k +<=++-+，--------------------------------------12分∴22222211123(1)sin sin sin ln ln ln23(1)1324(2)n n n n ++++<++++⨯⨯+ 22223(1)2(1)ln[]ln1324(2)2n n n n n++=⋅⋅⋅=⨯⨯++ln 2<， 即211sin ln 2(1)nk k =<+∑．--------------------------------------------------------14分。

2019-2020年高考数学一模试卷理（含解析）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合U={2，0，1，5}，集合A={0，2}，则∁U A=（）A．φB．{0，2} C．{1，5} D．{2，0，1，5}2．（5分）已知复数z满足z（1+i）=1（其中i为虚数单位），则z=（）A．B．C．D．3．（5分）若函数y=a x+b的部分图象如图所示，则（）A．0＜a＜1，﹣1＜b＜0 B．0＜a＜1，0＜b＜1 C．a＞1，﹣1＜b＜0 D．a＞1，0＜b＜14．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则2x+y的最大值为（）A．3 B．4 C．6 D．95．（5分）已知直线a，b，平面α，β，且a⊥α，b⊂β，则“a⊥b”是“α∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．16 B．25 C．36 D．497．（5分）在△ABC中，a，b，c分为为∠A，∠B，∠C所对的边，若函数f（x）=x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1有极值点，则∠B的范围是（）A．（0，）B．（0，] C．[，π）D．[，π]8．（5分）如果自然数a的各位数字之和等于8，我们称a为“吉祥数”．将所有“吉祥数”从小到大排成一列a1，a2，a3…，若a n=xx，则n=（）A．83 B．82 C．39 D．37二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．本大题分为必做题和选做题两部分（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生必须作答．9．（5分）（x﹣）4的展开式中常数项为．（用数字表示）10．（5分）（x2﹣2sinx）dx=．11．（5分）已知向量=（﹣1，1），=（1，）（x＞0，y＞0），若⊥，则x+4y的最小值为．12．（5分）已知圆C：x2+y2+8x+ay﹣5=0经过抛物线E：x2=4y的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得的弦长为．13．（5分）设P是函数y=lnx图象上的动点，则点P到直线y=x的距离的最小值为．三、【坐标系与参数方程选做题】（共1小题，每小题5分，满分5分）14．（5分）在极坐标系中，曲线C1：ρcosθ=与曲线C2：ρ2cos2θ=1相交于A，B两点，则|AB|=．四、【几何证明选讲选做题】（共1小题，每小题0分，满分0分）15．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E．若BC=6，则DE的长为．三、解答题16．（12分）函数f（x）=2sin（ωx+）（w＞0）的最小正周期是π．（1）求f（）的值；（2）若sinx0=，且x0∈（0，），求f（x0）的值．17．（12分）空气质量指数（简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站．下表是某网站公布的广东省内21个城市在xx12月份某时刻实时监测到的数据：城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值广州118 东莞137 中山95 江门78 云浮76 茂名107 揭阳80深圳94 珠海95 湛江75 潮州94 河源124 肇庆48 清远47佛山160 惠州113 汕头88 汕尾74 阳江112 韶关68 梅州84 （1）请根据上表中的数据，完成下列表格：空气质量优质良好轻度污染中度污染AQI值范围[0，50）[50，100）[100，150）[150，200）城市个数（2）统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取6个城市，省环保部门再从中随机选取3个城市组织专家进行调研，记省环保部门“选到空气质量“良好”的城市个数为ξ”，求ξ的分布列和数学期望．18．（14分）在三棱锥P﹣ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC，AB是底面△ABC最长的边．三棱锥P﹣ABC的三视图如图1所示，其中侧视图和俯视图均为直角三角形．（1）请在图2中，用斜二测画法，把三棱锥P﹣ABC的直观图补充完整（其中点P在xOz平面内），并指出三棱锥P﹣ABC的哪些面是直角三角形；（2）求二面角B﹣PA﹣C的正切值；（3）求点C到面PAB的距离．19．（14分）已知数列{a n}的首项大于0，公差d=1，且+=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足：b1=﹣1，b2=λ，b n+1=b n+，其中n≥2．①求数列{b n}的通项b n；②是否存在实数λ，使得数列{b n}为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．20．（14分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过左焦点倾斜角为45°的直线被椭圆截得的弦长为．（1）求椭圆E的方程；（2）若动直线l与椭圆E有且只有一个公共点，过点M（1，0）作l的垂线垂足为Q，求点Q 的轨迹方程．21．（14分）已知定义在[﹣2，2]上的奇函数f（x）满足：当x∈（0，2]时，f（x）=x（x﹣2）．（1）求f（x）的解析式和值域；（2）设g（x）=ln（x+2）﹣ax﹣2a，其中常数a＞0．①试指出函数F（x）=g（f（x））的零点个数；②若当1+是函数F（x）=g（f（x））的一个零点时，相应的常数a记为a k，其中k=1，2，…，n．证明：a1+a2+…+a n＜（n∈N*）．广东省深圳市xx高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合U={2，0，1，5}，集合A={0，2}，则∁U A=（）A．φB．{0，2} C．{1，5} D．{2，0，1，5}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：根据集合的补集的定义求出A的补集即可．解答：解：∵集合U={2，0，1，5}，集合A={0，2}，∴∁U A={1，5}，故选：C．点评：本题考查了集合的运算，是一道基础题．2．（5分）已知复数z满足z（1+i）=1（其中i为虚数单位），则z=（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：∵z（1+i）=1，∴=．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3．（5分）若函数y=a x+b的部分图象如图所示，则（）A．0＜a＜1，﹣1＜b＜0 B．0＜a＜1，0＜b＜1 C．a＞1，﹣1＜b＜0 D．a＞1，0＜b＜1考点：指数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数函数的图象和性质即可判断解答：解：由图象可以看出，函数为减函数，故0＜a＜1，因为函数y=a x的图象过定点（0，1），函数y=a x+b的图象过定点（0，b），∴﹣1＜b＜0，故选：A点评：本题主要考查函数图象的应用，利用函数过定点是解决本题的关键．4．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则2x+y的最大值为（）A．3 B．4 C．6 D．9考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出可行域，平行直线可得直线过点A（3，0）时，z取最大值，代值计算可得．解答：解：作出不等式组所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数z=2x+y可得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x可知，当直线经过点A（3，0）时，z取最大值，代值计算可得z=2x+y的最大值为6故选：C点评：本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．5．（5分）已知直线a，b，平面α，β，且a⊥α，b⊂β，则“a⊥b”是“α∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据题意，分两步来判断：①分析当α∥β时，a⊥b是否成立，有线面垂直的性质，可得其是真命题，②分析当a⊥b时，α∥β是否成立，举出反例可得其是假命题，综合①②可得答案．解答：解：根据题意，分两步来判断：①当α∥β时，∵a⊥α，且α∥β，∴a⊥β，又∵b⊂β，∴a⊥b，则a⊥b是α∥β的必要条件，②若a⊥b，不一定α∥β，当α∩β=a时，又由a⊥α，则a⊥b，但此时α∥β不成立，即a⊥b不是α∥β的充分条件，则a⊥b是α∥β的必要不充分条件，故选B．点评：本题考查充分必要条件的判断，涉及线面垂直的性质的运用，解题的关键要掌握线面垂直的性质．6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．16 B．25 C．36 D．49考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，n，S的值，当i=6时，满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为36．解答：解：执行程序框图，可得S=0，n=1，i=1S=1，不满足条件i＞5，i=2，n=3，S=4不满足条件i＞5，i=3，n=5，S=9不满足条件i＞5，i=4，n=7，S=16不满足条件i＞5，i=5，n=9，S=25不满足条件i＞5，i=6，n=11，S=36满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为36．故选：C．点评：本题主要考察了程序框图和算法，正确判断退出循环时S的值是解题的关键，属于基础题．7．（5分）在△ABC中，a，b，c分为为∠A，∠B，∠C所对的边，若函数f（x）=x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1有极值点，则∠B的范围是（）A．（0，）B．（0，] C．[，π）D．[，π]考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题；导数的综合应用；解三角形．分析：先求导f′（x）=x2+2bx+（a2+c2﹣ac），从而化函数f（x）=x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1有极值点为x2+2bx+（a2+c2﹣ac）=0有两个不同的根，从而再利用余弦定理求解．解答：解：∵f（x）=x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1，∴f′（x）=x2+2bx+（a2+c2﹣ac），又∵函数f（x）=x3+bx2+（a2+c2﹣ac）x+1有极值点，∴x2+2bx+（a2+c2﹣ac）=0有两个不同的根，∴△=（2b）2﹣4（a2+c2﹣ac）＞0，即ac＞a2+c2﹣b2，即ac＞2accosB；即cosB＜；故∠B的范围是（，π）；故选：D．点评：本题考查了导数的综合应用及余弦定理的应用，属于中档题．8．（5分）如果自然数a的各位数字之和等于8，我们称a为“吉祥数”．将所有“吉祥数”从小到大排成一列a1，a2，a3…，若a n=xx，则n=（）A．83 B．82 C．39 D．37考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：利用“吉祥数”的定义，分类列举出“吉祥数”，推理可得到结论．解答：解：由题意，一位数时只有8一个；二位数时，有17，26，35，44，53，62，71，80共8个三位数时：（0，0，8）有1个，（0，1，7）有4个，（0，2，6）有4个，（0，3，5）有4个，（0，4，4）有2个，（1，1，6）有3个，（1，2，5）有6个，（1，3，4）有6个，（2，2，4），有3个，（2，3，3）有3个，共1+4×3+2+3×3+6×2=36个，四位数小于等于xx：（0，0，1，7）有3个，（0，0，2，6）有1个，（0，1，1，6）有6个，（0，1，2，5）有7个，（0，1，3，4）有6个，（1，1，1，5）有3个，（1，1，2，4）有6个，（1，1，3，3）有3个，（1，2，2，3）有3个，共有3×4+6×3+1+7=38个数，∴小于等于xx的一共有1+8+36+38=83个，即a83=xx故选：A点评：本题考查新定义，涉及简单计数原理和排列组合的知识，属中档题．二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．本大题分为必做题和选做题两部分（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生必须作答．9．（5分）（x﹣）4的展开式中常数项为．（用数字表示）考点：二项式定理．专题：计算题；二项式定理．分析：利用二项展开式的通项公式T r+1=（﹣）r••x4﹣2r，令4﹣2r=0得r=2，即可求出（x﹣）4的展开式中常数项．解答：解：设（x﹣）4展开式的通项为T r+1，则T r+1=（﹣）r••x4﹣2r，令4﹣2r=0得r=2．∴展开式中常数项为：（﹣）2•=．故答案为：．点评：本题考查二项式系数的性质，利用通项公式化简是关键，属于中档题．10．（5分）（x2﹣2sinx）dx=18．考点：微积分基本定理．专题：导数的概念及应用．分析：根据微积分基本定理计算即可．解答：解：（x2﹣2sinx）dx=（x3+2cosx）|=×33+2cos3﹣×（﹣3）3﹣2cos（﹣3）=9+9=18 故答案为：18点评：本题考查了微积分基本定理，关键是求出原函数，属于基础题11．（5分）已知向量=（﹣1，1），=（1，）（x＞0，y＞0），若⊥，则x+4y的最小值为9．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据⊥，得到x+y=xy，由x+4y≥4结合“=”成立的条件，求出此时x，y的值，从而得到答案．解答：解：∵⊥，（x＞0，y＞0），∴•=﹣1+=0，∴+=1，∴x+4y=（x+4y）（+）=1+++4≥5+2=9，当且仅当=即x2=4y2时“=”成立，故答案为：9点评：本题考查了平面向量数量积的运算，考查了基本不等式的性质，是一道基础题．12．（5分）已知圆C：x2+y2+8x+ay﹣5=0经过抛物线E：x2=4y的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得的弦长为4．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线E：x2=4y的焦点为（0，1），准线为y=﹣1，确定圆的方程，即可求出抛物线E的准线与圆C相交所得的弦长．解答：解：抛物线E：x2=4y的焦点为（0，1），准线为y=﹣1．（0，1）代入圆C：x2+y2+8x+ay﹣5=0，可得1+a﹣5=0，∴a=4∴圆C：x2+y2+8x+4y﹣5=0，即（x+4）2+（y+2）2=25，∴圆心到直线的距离为d=1，∴抛物线E的准线与圆C相交所得的弦长为2=4．故答案为：4．点评：本题考查圆的方程，考查抛物线的性质，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）设P是函数y=lnx图象上的动点，则点P到直线y=x的距离的最小值为．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；作图题；导数的综合应用．分析：由题意作图，从而可得点P（1，0）时，点P到直线y=x的距离的有最小值；从而求解．解答：解：由题意作图如下，令y′==1得，x=1，y=0；故点P（1，0）时，点P到直线y=x的距离的有最小值；故d==；故答案为：．点评：本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想应用，属于中档题．三、【坐标系与参数方程选做题】（共1小题，每小题5分，满分5分）14．（5分）在极坐标系中，曲线C1：ρcosθ=与曲线C2：ρ2cos2θ=1相交于A，B两点，则|AB|=2．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：曲线C1：ρcosθ=化为x=．曲线C2：ρ2cos2θ=1化为ρ2（cos2θ﹣sin2θ）=1，可得x2﹣y2=1，联立解得即可．解答：解：曲线C1：ρcosθ=化为x=．曲线C2：ρ2cos2θ=1化为ρ2（cos2θ﹣sin2θ）=1，∴x2﹣y2=1，联立，解得．∴|AB|=2．故答案为：2．点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、弦长问题，考查了计算能力，属于基础题．四、【几何证明选讲选做题】（共1小题，每小题0分，满分0分）15．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E．若BC=6，则DE的长为4．考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：连接OE，由已知得∠AEO=90°，OA=2OE，OD=AD，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得DE=OD，由此能求出DE的长．解答：解：连接OE，∵AC是⊙O的切线，∴∠AEO=90°，∵∠A=30°，∴OA=2OE，∵OA=OD+AD，OD=OE，∴OD=AD，∴DE=OD（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），∵∠C=90°，∠A=30°，BC=6，∴AB=2BC=12，∵AB=OB+OD+AD=3OD=12，∴OD=4，∴DE=OD=4．故答案为：4．点评：本题考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的简单性质的合理运用．三、解答题16．（12分）函数f（x）=2sin（ωx+）（w＞0）的最小正周期是π．（1）求f（）的值；（2）若sinx0=，且x0∈（0，），求f（x0）的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（1）由已知可求ω的值，从而可得解析式，即可根据诱导公式求值．（2）由已知可求得cos2x0的值，即可求sin2x0的值，由两角和的正弦公式展开所求代入即可求值．解答：解：（1）∵f（x）的周期是π，即T=π，…（1分）∴ω==2，即．…（3分）∴．…（5分）（2）由得，…（7分）又，∴2x0∈（0，π），…（8分）∴，…（9分）∵=．∴．…（12分）点评：本小题主要考查了三角函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）的图象与性质，同角三角函数的关系式，诱导公式，两角和与差和二倍角的三角函数公式，考查了简单的数学运算能力，属于基础题．17．（12分）空气质量指数（简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站．下表是某网站公布的广东省内21个城市在xx12月份某时刻实时监测到的数据：城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值广州118 东莞137 中山95 江门78 云浮76 茂名107 揭阳80深圳94 珠海95 湛江75 潮州94 河源124 肇庆48 清远47佛山160 惠州113 汕头88 汕尾74 阳江112 韶关68 梅州84 （1）请根据上表中的数据，完成下列表格：空气质量优质良好轻度污染中度污染AQI值范围[0，50）[50，100）[100，150）[150，200）城市个数（2）统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取6个城市，省环保部门再从中随机选取3个城市组织专家进行调研，记省环保部门“选到空气质量“良好”的城市个数为ξ”，求ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（1）根据已知数据，能完成表格．（2）按分层抽样的方法，抽出的“良好”类城市为4个，抽出的“轻度污染”类城市为2个．根据题意ξ的所有可能取值为：1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．解答：解：（1）根据数据，完成表格如下：空气质量优质良好轻度污染中度污染AQI值范围[0，50）[50，100）[100，150）[150，200）城市频数 2 12 6 1…（2分）（2）按分层抽样的方法，从“良好”类城市中抽取个，…（3分）从“轻度污染”类城市中抽取个，…（4分）所以抽出的“良好”类城市为4个，抽出的“轻度污染”类城市为2个．根据题意ξ的所有可能取值为：1，2，3．∵，，．…（8分）∴ξ的分布列为：ξ 1 2 3p所以．…（11分）答：ξ的数学期望为2个．…（12分）点评：本题主要考察读图表、分层抽样、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力．18．（14分）在三棱锥P﹣ABC中，已知平面PBC⊥平面ABC，AB是底面△ABC最长的边．三棱锥P﹣ABC的三视图如图1所示，其中侧视图和俯视图均为直角三角形．（1）请在图2中，用斜二测画法，把三棱锥P﹣ABC的直观图补充完整（其中点P在xOz平面内），并指出三棱锥P﹣ABC的哪些面是直角三角形；（2）求二面角B﹣PA﹣C的正切值；（3）求点C到面PAB的距离．考点：二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由已知条件能用出三棱锥P﹣ABC直观图，由三视图知△ABC和△PCA是直角三角形．（2）过P作PH⊥BC交BC于点H，由三视图知△PBC为等腰三角形，取PC的中点E，过E作EF⊥PA且交PA于点F，连接BE，BF，∠BFE是二面角B﹣PA﹣C的平面角，由此能求出二面角B﹣PA﹣C的正切值．（3）记C到面PAB的距离为h，由V P﹣ABC=V C﹣PAB，能求出C到面PAB的距离．解答：解：（1）三棱锥P﹣ABC直观图如图1所示；由三视图知△ABC和△PCA是直角三角形．…（3分）（2）如图2，过P作PH⊥BC交BC于点H，由三视图知△PBC为等腰三角形，∵BC=4，，∴PB=PC=BC=4，取PC的中点E，过E作EF⊥PA且交PA于点F，连接BE，BF，因为BE⊥PC，由三视图知AC⊥面PBC，且BE⊂面PBC，∴AC⊥BE，又由AC∩PC=C，∴BE⊥面PAC，由PA⊂面PAC，∴BE⊥PA，BE∩EF=E，∴PA⊥面BEF，由BF⊂面BEF，∴PA⊥BF，所以∠BFE是二面角B﹣PA﹣C的平面角．…（6分）∵△PEF∽△PAC，∴，∵，∴，…（8分），∴在直角△BFE中，有．所以，二面角B﹣PA﹣C的正切值为．…（9分）（3）记C到面PAB的距离为h，由（1）、（2）知，∴，PB=4，V C﹣PAB==，…（12分）三棱锥P﹣ABC的体积，…（13分）由V P﹣ABC=V C﹣PAB，得C到面PAB的距离．…（14分）点评：本题主要考察空间点、线、面位置关系，三视图及几何体的直观图，二面角，三棱锥的体积，空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．19．（14分）已知数列{a n}的首项大于0，公差d=1，且+=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足：b1=﹣1，b2=λ，b n+1=b n+，其中n≥2．①求数列{b n}的通项b n；②是否存在实数λ，使得数列{b n}为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．考点：数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知得=，从而，由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）①由已知得=+1，令c n=，则c2=λ，c n+1=c n+1，由此能求出数列{b n}的通项公式．②若数列{b n}为等比数列，则有，由此能求出存在实数λ=1，使得数列{b n}为等比数列．解答：解：（1）∵数列{a n}的首项大于0，公差d=1，且+=，…（2分）∴=，…（3分）整理得，解得a1=1或a1=﹣3（舍去）．…（4分）因此数列{a n}的通项a n=n．…（5分）（2）①∵b n+，∴=+1．…（6分）令c n=，则有c2=λ，c n+1=c n+1，（n≥2）．∴当n≥2时，c n=c2+（n﹣2）=n﹣2+λ，．…（8分）∴数列{b n}的通项b n=．…（9分）②∵b1=﹣1，b2=λ，，…（10分）∴若数列{b n}为等比数列，则有=b1b3，即，解得λ=1或．…（11分）当时，（n≥2），不是常数，数列{b n}不是等比数列，当λ=1时，b1=﹣1，，（n≥2），数列{b n}为等比数列．所以，存在实数λ=1，使得数列{b n}为等比数列．…（14分）点评：本题考查了等差数列的基本量的计算、递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、等比数列的定义，考查了学生的运算能力，以及化归与转化的思想．20．（14分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过左焦点倾斜角为45°的直线被椭圆截得的弦长为．（1）求椭圆E的方程；（2）若动直线l与椭圆E有且只有一个公共点，过点M（1，0）作l的垂线垂足为Q，求点Q 的轨迹方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由椭圆E的离心率为，可得=，解得a2=2b2，可得c=b．故椭圆E的方程可设为x2+2y2=2b2，则椭圆E的左焦点坐标为（﹣b，0），过左焦点倾斜角为45°的直线方程为l′：y=x+b．与椭圆方程联立可得交点坐标，利用弦长公式|AB|===，解得b即可得出．（2）当切线l的斜率存在且不为0时，设l的方程为y=kx+m，与椭圆方程联立得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，根据直线l和椭圆E有且仅有一个交点，可得△=0，m2=2k2+1．由于直线MQ与l垂直，可得直线MQ的方程为：y=﹣，联立，解得，消去m，k即可得出．解答：解：（1）∵椭圆E的离心率为，∴=，解得a2=2b2，∴c2=a2﹣b2=b2，即c=b．故椭圆E的方程可设为x2+2y2=2b2，则椭圆E的左焦点坐标为（﹣b，0），过左焦点倾斜角为45°的直线方程为l′：y=x+b．设直线l′与椭圆E的交点记为A，B，联立，消去y，得3x2+4bx=0，解得x1=0，x2=﹣，∴|AB|===，解得b=1．故椭圆E的方程为．（2）（ i）当切线l的斜率存在且不为0时，设l的方程为y=kx+m，联立，消去y并整理，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∵直线l和椭圆E有且仅有一个交点，∴△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0，化简并整理，得m2=2k2+1．∵直线MQ与l垂直，∴直线MQ的方程为：y=﹣，联立，解得，∴x2+y2====2．（*）（ ii）当切线l的斜率为0时，此时Q（1，±1），符合（*）式．（ iii）当切线l的斜率不存在时，此时Q 或，符合（*）式．综上所述，点Q的轨迹方程为x2+y2=2．点评：本题主要考查轨迹方程和椭圆的定义、直线方程、直线与椭圆相切的位置关系，弦长问题，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想，属于难题．21．（14分）已知定义在[﹣2，2]上的奇函数f（x）满足：当x∈（0，2]时，f（x）=x（x﹣2）．（1）求f（x）的解析式和值域；（2）设g（x）=ln（x+2）﹣ax﹣2a，其中常数a＞0．①试指出函数F（x）=g（f（x））的零点个数；②若当1+是函数F（x）=g（f（x））的一个零点时，相应的常数a记为a k，其中k=1，2，…，n．证明：a1+a2+…+a n＜（n∈N*）．考点：数列与函数的综合．专题：导数的综合应用；等差数列与等比数列．分析：（1）由奇函数性质得f（0）=0，当x∈[﹣2，0）时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（﹣x）（﹣x﹣2）=﹣x（x+2），由此能求出f（x）的解析式和值域．（2）①当t=0时，方程f（x）=t有三个实根，当t=1或t=﹣1时，方程f（x）=t只有一个实根，当t∈（0，1）或t∈（﹣1，0）时，方程f（x）=t有两个实根．设h（x）=，x∈[﹣1，1]，h（﹣1）=0，，由此利用导数性质能求出函数F（x）=g （f（x））的零点个数．②由已知得g（f（1+））=0，g（f（1+））=g（）=ln（﹣a k（）=0，从而，记m（x）=ln（x+1）﹣x，﹣1=，由此利用导数性质能证明a1+a2+…+a n＜（n∈N*）．解答：（1）解：∵f（x）为奇函数，∴f（0）=0．当x∈[﹣2，0）时，﹣x∈（0，2]，则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（﹣x）（﹣x﹣2）=﹣x（x+2），∴f（x）=．∵x∈[0，2]时，f（x）∈[﹣1，0]，x∈[﹣2，0），f（x）∈[0，1]，∴f（x）的值域为[﹣1，1]．（2）①解：函数f（x）的图象如图a所示，当t=0时，方程f（x）=t有三个实根，当t=1或t=﹣1时，方程f（x）=t只有一个实根，当t∈（0，1）或t∈（﹣1，0）时，方程f（x）=t有两个实根．由g（x）=0，解得a=，∵f（x）的值域为[﹣1，1]，∴只需研究函数y=在[﹣1，1]上的图象特征．设h（x）=，x∈[﹣1，1]，h（﹣1）=0，，令h′（x）=0，得x=e﹣2∈（0，1），h（e﹣2）=．∵当﹣1＜x＜e﹣2时，h′（x）＞0，当e﹣2＜x＜1时，h′（x）＜0，又∵ln23＜ln32，即，由h（0）=，h（1）=，得h（0）＜h（1），∴h（x）的大致图象如图b所示．根据图象b可知，当0＜a＜、、a=时，直线y=a与函数y=h（x）的图象仅有一个交点，则函数g（x）在[﹣1，1]上仅有一个零点，记零点为t，则t分别在区间（﹣1，0）、（0，1）上，根据图象a，方程f（x）=t有两个交点，因此函数F（x）=g（f（x））有两个零点．类似地，当a=时，函数g（x）在[﹣1，1]上仅有零点0，因此函数F（x）有﹣1、0、1这三个零点．当a=时，函数g（x）在[﹣1，1]上有两个零点，一个零点是1，另一个零点在（0，1）内，因此函数Y（x）有三个零点．当时，函数g（x）在[﹣1，1]上有两个零点，且这两个零点均在（0，1）内，因此函数F（x）有四个零点．当a＞时，函数g（x）在[﹣1，1]上没有零点，因此函数F（x）没有零点．②证明：∵1+是函数F（x）=g（f（x））的一个零点，∴有g（f（1+））=0，∵1+∈（0，2），∴f（1+）=，∴g（f（1+））=g（）=ln（）﹣a k（）=0，∴，k=1，2，…，n．记m（x）=ln（x+1）﹣x，﹣1=，∵当x∈（0，1]时，m′（x）＜0，∴当x∈（0，1]时，m（x）＜m（0）=0，即ln（x+1）＜x．故有ln（）＜，则＜=，k=1，2，…，n．当n=1时，a1．当n≥2时，∵＜=﹣，∴a1+a2+a3+…+a n＜+…+＜==＜．综上，有a1+a2+…+a n＜（n∈N*）．点评：本题主要考查函数的性质、分段函数、导数应用、一元二次方程的求解、连续函数的零点存在性定理，放缩法证明数列不等式，考查学生数形结合、分类讨论的数学思想，以及计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识．。

2019-2020年高三下学期一模考试数学（理）试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.复数（是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是（）A. B. C. D.【知识点】复数乘除和乘方【试题解析】所以z的共轭复数为1+i，即对应点为（1，1）。

故答案为：A【答案】A2.已知集合，集合，则为（）A. B. C. D.【知识点】集合的运算【试题解析】因为所以故答案为：C【答案】C3.已知函数的部分图像如图所示，向图中的矩形区域随机投出100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数.通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为39，由此可估计的值约为（）A. B. C. D.【知识点】几何概型积分【试题解析】表示阴影部分的面积s。

因为所以s=。

故答案为：D【答案】D4.圆被直线分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为（）A. B. C. D.【知识点】直线与圆的位置关系【试题解析】的圆心为（1，0），半径为1．圆心到直线的距离为所以较短弧长对的圆心角为较长弧长对的圆心角为故弧长之比为1:2．故答案为：A【答案】A5.若的展开式中项系数为20，则的最小值为（）A. 4B. 3C. 2D. 1【知识点】均值定理二项式定理与性质【试题解析】的通项公式为：令12-3r=3，所以r=3．所以所以故答案为：C【答案】C6.下列四个判断：①某校高三（1）班的人数和高三（2）班的人数分别是和，某次数学测试平均分分别是，则这两个班的数学平均分为；②从总体中抽取的样本(1,2.5),(2,3.1),(4,3.9),(5,4.4)，则回归直线必过点；③已知服从正态分布，且，则其中正确的个数有（）A.0个B. 1个C.2个D. 3个【知识点】样本的数据特征变量相关【试题解析】对 ：平均分为故 错；对‚：样本的中心点为（3，3．475），所以回归直线必过点（3，3．475）。

2019-2020年高三一模（数学理）试题 word 版、选择题：本大题共有 8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑。

3 4i一1 •若复数z，复数z 的共轭复数z 等于（）1 i1 7. 1 7.1 7.1 7 A .iB. iC.i D . — -12 2 2 22 2 2 22.已知等差数列a n 的前n 项和为S n ,若 a 4 18 a 5，则 S 8 ()A . 68B . 72C. 54D . 903.设f'（x ）是函数f （x ）的导函数，将y f （x ）和y f'（x ）的图象画在同一个直角坐标系中,b 、c ,则可以组成顶点在第一象限且过原点的抛物线条数为（1A . S 0(xx)dxB . S(x x 2)dx C. S0(y2y)dyD .1 0(y\ y)dy5.已知cos(24 A.-3)3，且53 B.—4c.D .6.如果命题“ （p 或q ）为假命题，则（A . p 、 C. p 、 均为真命题中至少有一个为真命题B . D .p 、q 均为假命题p 、q 中至多有一个为真命题7.从 2、1、0、1、2、3这六个数字中任选 3个不重复的数字作为二次函数 2axbx c的系数a 、 A . 6B . 20C . 100D . 120uuu uuu UULT &已知O 是正三角形ABC 内部一点，OA 2OB 3OC0 ,贝y ABC 的面积与OAC 的面积之比是（）CD与y x 所围成图形的面积，其中正确的是（ 4.求曲线yx 2 不可能正确的是（二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分•本大题分必做题和选做题两部分.（一）必做题：第9、10、11、12、13题是必做题，每道试题考生都必须作答.10•如右图所示为某一函数的求值程序框图。

根据框图，如果输出的入x .相交于E,则得到的类比的结论是5B.-3C. 2D. 5第二部分非选择题2 2x y11 .过双曲线~2a b1（a 0,b 0）的右焦点F和虚轴端点B作一条直线，若右顶点A到直线FB的距离等于；，则双曲线的离心率12 .在ABC 中，角B、C对应边分别是a、b、c,若a 1，b 2，则角A的取值范围13.在平面几何中,类比到空间：在三棱锥AEEBA BCD中（如图所示），平面DEC平分二面角ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为AC，把这个结论BCA CD B且与ABy的值为23，那么应输AEB DC则y 的取值范围为 _____________ .x三、解答题：本大题共 6小题，共80分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每2 1 盏灯出现红灯的概率都是 -,出现绿灯的概率都是 1 •记这4盏灯中出现红灯的数量为33当这排装饰灯闪烁一次时：（1 ）求 2时的概率；（2）求的数学期望.17. （本小题满分12分）(2cos x,cos x sin x),b (sin x,cos x sin x).（1 ）求f （x ）的图象的对称中心坐标和对称轴方程；（二）选做题：第 14、15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第14题的得分。

2019-2020年高三一模试题及答案（数学理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1(i 为虚数单位)等于A ．1B ．1-C ．iD ．i -2．若集合}11,|{31≤≤-==x x y y A ，}1{x y x B -==，则A B =A ．(]1,∞-B ．]1,1[-C ．φD ．{1}3．设p 和q 是两个简单命题，若p ⌝是q 的充分不必要条件，则p 是q ⌝的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是1=a 3=b b a a += b a b -= PRINT b a ,A ．1 3 B ．4 1 C ． 0 0 D ．605．若dx x a ⎰=22sin π，dx x b ⎰=10cos ，则a 与b 的关系是A ．b a <B ．b a >C ．b a =D ．0=+b a 6．圆222210x y x y +--+=上的点到直线2=-y x 的距离的最大值是A ．2 B. 1+C ．2+D. 1+7．已知抛物线2x ay =的焦点恰好为双曲线222y x -=的上焦点，则a 的值为A ．1B ．4C ．8D ．168．将奇函数()sin()(0,0,)22f x A x A ππωφωφ=+≠>-<<的图象向左平移6π个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为A ．2B ．3C ．4D ．6 9．已知281(0,0)x y x y+=>>，则x y +的最小值为A ．12B ．14C ．16D ．1810．过原点的直线与函数xy 2=的图像交于B A ,两点，过B 作y 轴的垂线交于函数xy 4=的图像于点C ，若直线AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是A ．)2,1(B ．)4,2(C ．)2,21( D ．)1,0(11．在数列}{n a 中，a a a n n +=+1（a n ,N *∈为常数），若平面上的三个不共线的非零向量,,满足a a 20101+=，三点C B A ,,共线且该直线不过O 点，则2010S 等于A ．1005B ．1006C ．2010D ．201212．平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是直线1m 和直线1n ，给出下列四个命题： ①1m ⊥1n ⇒m ⊥n ； ②m ⊥n ⇒1m ⊥1n ； ③1m 与1n 相交⇒m 与n 相交或重合； ④1m 与1n 平行⇒m 与n 平行或重合； 其中不正确．．．的命题个数是 A.1 B. 2 C.3 D. 4第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．若nxx )1(+展开式中第2项与第6项的系数相同，那么展开式的中间一项的系数为 ；14．已知区域}0,5,0|),{(},0,0,10|),{(≥≤≥-=≥≥≤+=Ωy x y x y x A y x y x y x ，若向区域Ω上随机投1个点，则这个点落入区域A 的概率()P A = ； 15．关于x 的不等式|2||1|5x x ++-<的解集为 ；16．已知函数⎩⎨⎧=x x x f 3log )(2)0()0(≤>x x ，且关于x 的方程0)(=-+a x x f 有且只有一个实根，则实数a 的范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知向量)cos ,2sin 3(x t x m +=，)cos 2,1(x n =，设函数n m x f ⋅=)(. (Ⅰ)若21)32cos(=-πx ，且⊥，求实数t 的值; (Ⅱ)在ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A ,,的对边,若1,3)(==b A f ,且ABC ∆的面积为23,实数1=t ,求边长a 的值.18．（本小题满分12分）某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从2种服装商品, 2种家电商品, 3种日用商品中,选出3种商品进行促销活动.(Ⅰ)试求选出的3种商品中至多有一种是家电商品的概率;(Ⅱ)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高x 元,同时,若顾客购买该商品,则允许有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为40元的奖券.假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是21,若使促销方案对商场有利，则x 最少为多少元？19.(本题满分共12分)下图分别为三棱锥ABC S -的直观图与三视图，在直观图中，SA SC =，N M 、分别为SB AB 、的中点.（Ⅰ）求证：SB AC ⊥;（Ⅱ）求二面角B NC M --的余弦值.CSN侧视图20.(本题满分共12分)已知各项均为正数的数列{}n a 满足12212+++=n n n n a a a a ,且42342+=+a a a ,其中*∈N n .(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n b 的前n 项和为n T ,令2n n a b =,其中*∈N n ,试比较n n T T 4121++与1log 22log 2212-++n n b b 的大小,并加以证明.21.(本题满分12分)已知定义在正实数集上的函数ex x x f 221)(2+=,b x e x g +=ln 3)(2（其中e 为常数，2.71828e =⋅⋅⋅）,若这两个函数的图象有公共点,且在该点处的切线相同.(Ⅰ)求实数b 的值;(Ⅱ)当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e e x ,1时,x a e x g e aex x f )2())(2(6)2)((222+≤++-恒成立,求实数a 的取值范围.22.(本题满分14分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右两焦点分别为21,F F ，P 是椭圆C 上的一点，且在x 轴的上方，H 是1PF 上一点，若12120,0PF OH F F PF ==⋅=⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,31λ（其中O 为坐标原点）.(Ⅰ)求椭圆C 离心率e 的最大值;(Ⅱ)如果离心率e 取(Ⅰ)中求得的最大值, 已知22=b ，点），（01-M ，设Q 是椭圆C 上的一点，过Q 、M 两点的直线l 交y 轴于点N ,若2NQ QM , 求直线l 的方程.青岛市高三教学质量统一检测数学试题（理科）答案 2010.3一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． CBBBA BCDDA AD二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 13．20 14．4115．），（23- 16．），（∞+1 三、解答题（共74分）． 17．（本小题满分12分）解: (Ⅰ)由题意得01)62sin(2cos 2)2sin 3(2=+++=++=⋅t x x t x n m π…………3分 所以21)32cos(21)62sin(2-=---=-+-=ππx x t …………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知2)62sin(21)62sin(2)(++=+++=ππx t x x f由题意得32)62sin(2)(=++=πA A f所以21)62sin(=+πA …………………8分 因为6136260ππππ<+<<<A A ，，所以6562ππ=+A 解得3π=A因为ABC ∆的面积为23,所以23sin 21=A bc ,2=bc 即2=c …………10分 由余弦定理得32121241cos 222=⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a …………12分 18．（本小题满分12分）解: (Ⅰ)选出3种商品一共有37C 种选法, …………2分选出的3种商品中至多有一种是家电商品有251235C C C +种. …………4分所以至多有一种是家电商品的概率为7637251235=+=C C C C P .…………5分 (Ⅱ)奖券总额是一随机变量,设为ξ,可能值为0, 40,80,120.…………6分(),81212103003=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ…………7分 (),832121402113=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ…………8分(),832121801223=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫⎝⎛==C P ξ …………9分 ().1111200333=⎪⎫ ⎛⋅⎪⎫ ⎛==C P ς…………10分所以60812088084080=⨯+⨯+⨯+⨯=EX .所以60≥x ,因此要使促销方案对商场有利，则x 最少为60元. …………12分19.(本题满分12分)解: 由题意知: 32==SC SA ，侧面⊥SAC 底面ABC ， 底面ABC ∆为正三角形…………2分 (Ⅰ) 取AC 的中点O ,连结OB OS ,. 因为BC AB SC SA ==,, 所以OB ACSO AC ⊥⊥,. 所以⊥AC 平面OSB .所以SB AC ⊥ …………4分(Ⅱ) 如图所示建立空间直角坐标系xyz O -,则)2,3,0(),0,3,1(),22,0,0(),0,0,2(),0,32,0(),0,0,2(N M S C B A -.(4,0,0),(0,AC SB ∴=-=-.).2,0,1(),0,3,3(-==…………6分设=n ),,(z y x 为平面CMN 的一个法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+=⋅02033z x y x ，取1=z ,得6,2-==y x . 所以)1,6,2(-=n …………8分又由上可得).2,3,2(),0,32,2(==CN CB 设),,(c b a m =为平面NBC 的法向量,由⎪⎩⎪⎨⎧=++=⋅=+=⋅02320322c b a b a ,得02=+c a , 令1=c ，则)1,36,2(-=…………10分所以11333333122||||,cos -=⨯+--=>=<n m所以二面角B NC M --的余弦值为1133. …………12分 20.(本题满分12分)解:(Ⅰ)因为12212+++=n n n n a a a a ,即0)2)((11=-+++n n n n a a a a又0>n a ,所以有021=-+n n a a ,所以12+=n n a a 所以数列{}n a 是公比为2的等比数列…………2分 由42342+=+a a a 得4882111+=+a a a ,解得21=a故数列{}n a 的通项公式为n n a 2=)N (*∈n …………4分(Ⅱ) 因n n n n a b 4222===，所以4,411==+nn b b b 即数列{}n b 是首项为4,公比是4的等比数列 所以)14(34-=nn T …………6分 则1431)14(48441211-+=-+=+++n n n n n T T 又147114641log 22log 2212-+=-+=-++n n n b b n n)14)(14()4713(41471431log 22log 241212121--⋅-+=---=-+-+-++n n n b b T T nn n n n n n 猜想：13471+>⋅-n n …………8分①当1=n 时，41137470=+⨯>=⋅,上面不等式显然成立； ②假设当k n =时，不等式13471+>⋅-k k 成立…………9分当1+=k n 时，1)1(343412)13(4474471++=+>+=+>⨯⨯=⨯-k k k k k k综上①②对任意的*∈N n 均有13471+>⋅-n n …………11分又410,410nn ->->01log 22log 24122121<-+-+∴++n n n n b b T T 所以对任意的*∈N n 均有1log 22log 24122121-+<+++n n n n b b T T …………12分 21.(本题满分12分)解:(Ⅰ)e x x f 2)(+=',xex g 23)(='………………1分设函数ex x x f 221)(2+=与b x e x g +=ln 3)(2的图象有公共点为),(00y x 由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=++=+032ln 3221002002020x x e e x b x e ex x ………………………3分解得:22e b -= ………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,2ln 3)(22e x e x g -=所以x a x e x g eaex x f ln ))(2(6)2)((2222+=++- 即)1(2)ln 2x x x x a -≥-（当)1,1[ex ∈时，0ln <x ，0ln >-∴x x当[]e x ,1∈时，x x ≤≤1ln ，且等号不能同时成立，0ln >-∴x x所以,则由(1)式可得x x x x a ln 22--≥在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上恒成立……………………7分设x x x x x F ln 2)(2--=,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e e x ,1又2)ln (ln 22)(1()(x x x x x x F --+-='）……………………9分令0)(='x F 得：1=x 又0ln 22,1ln >-+∴≤x x x所以，当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，0)(<'x F ；当(]1,x e ∈时，0)(>'x F ； 所以，)(x F 在)1,1[e上为减函数，)(x F 在(]1,e 上为增函数…………11分又<<+-=0)1(21)1(e e ee F 12)(2--=e e e e F故12)()(2max --==e e e e F x F所以实数a 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞--,122e e e ……………12分 22.(本题满分14分)解:(Ⅰ)由题意知1212,PF OH F F PF ⊥⊥ 则有OH F 1∆与21PF F ∆相似 所以λ==PF PF OF OH 121……………2分设0),0,(),0,(21>-c c F c F ,),(1y c P则有122122=+by a c ,解得a b y 21=所以ab y PF 212==根据椭圆的定义得:ab a PF a P F 22122-=-= ……………4分2222b a b -=∴λ,即λλ+=1222ab 所以112122222-+=-==λab ac e ……………6分显然1122-+=λe 在]21,31[上是单调减函数 当31=λ时,2e 取最大值21 所以椭圆C 离心率e 的最大值是22……………8分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知21211222222=-=-==a a b a c e ,解得42=a 所以此时椭圆C 的方程为12422=+y x ……………10分 由题意知直线l 的斜率存在,故设其斜率为k ,则其方程为),0(),1(k N x k y +=设),(11y x Q ,由于2=,所以有),1(2),(1111y x k y x ---=-3,3211k y x =-=∴……………12分 又Q 是椭圆C 上的一点,则12)3(4)32(22=+-k 解得4±=k所以直线l 的方程为044=+-y x 或044=++y x ……………14分。

2019-2020年高考数学一模试卷（理科）含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合M={x|lg（1﹣x）＜0}，集合N={x|﹣1≤x≤1}，则M∩N=（）A．（0，1） B．[0，1）C．[﹣1，1]D．[﹣1，1）2．已知复数z满足z•i=2﹣i，i为虚数单位，则z的共轭复数等于（）A．2﹣i B．﹣1+2i C．1+2i D．﹣1﹣2i3．已知平面向量=（﹣2，m），=，且（﹣）⊥，则实数m的值为（）A．B． C． D．4．设曲线y=sinx上任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y=x2g（x）的部分图象可以为（）A．B．C．D．5．“a=2”是“函数f（x）=x2+2ax﹣2在区间（﹣∞，﹣2]内单调递减”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．x=B．x=C．x=D．x﹣=7．执行如图所示的程序框图，输出的i为（）A．4 B．5 C．6 D．78．已知抛物线y2=8x的准线与双曲线=1相交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，△ABF为直角三角形，则双曲线的离心率为（）A．3 B．2 C．D．9．若实数x、y满足xy＞0，则+的最大值为（）A．2﹣B．2C．4D．410．若实数a，b，c，d满足（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．B．8 C． D．2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（2x﹣1）（3﹣2x）5的展开式中，含x次数最高的项的系数是（用数字作答）．12．在约束条件下，当3≤m≤5时，目标函数z=3x+2y的最大值的取值范围是（请用区间表示）．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为14．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为．15．已知在锐角△ABC中，已知∠B=，|﹣|=2，则的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a﹣b）cosC﹣ccosB=0．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若三边a，b，c满足a+b=13，c=7，求△ABC的面积．17．为落实国务院“十三五”规划中的社会民生建设，某医院到社区检查老年人的体质健康情况．从该社区全体老年人中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式如图：根据老年人体质健康标准，成绩不低于80的为优良．（Ⅰ）将频率视为概率．根据样本估计总体的思想，在该社区全体老年人中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（Ⅱ）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的人数，求ξ的分布列及期望．18．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥ABB1A1平面．（1）证明：BC⊥AB1；（2）若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值．19．已知数列{a n}前n项和S n满足：2S n+a n=1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜．20．已知函数．（Ⅰ）记函数，求函数F（x）的最大值；（Ⅱ）记函数若对任意实数k，总存在实数x0，使得H（x0）=k成立，求实数s的取值集合．21．已知椭圆的上顶点M与左、右焦点F1，F2构成三角形MF1F2面积为，又椭圆C的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l与椭圆C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且x1+x2=2，又直线l1：y=k1x+m 是线段AB的垂直平分线，求实数m的取值范围；（Ⅲ）椭圆C的下顶点为N，过点T（t，2）（t≠0）的直线TM，TN分别与椭圆C交于E，F两点．若△TMN的面积是△TEF的面积的k倍，求k的最大值．2016年山东省日照市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合M={x|lg（1﹣x）＜0}，集合N={x|﹣1≤x≤1}，则M∩N=（）A．（0，1） B．[0，1）C．[﹣1，1]D．[﹣1，1）【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】由题设条件先求集合M和N，再由交集的运算法则计算M∩N．【解答】解：由题意知M={x|0＜x＜1}，∴M∩N={x|0＜x＜1}=（0，1），故选：A．【点评】本题考查集合的交集运算，解题时要认真审题，注意对数函数定义域的求法．2．已知复数z满足z•i=2﹣i，i为虚数单位，则z的共轭复数等于（）A．2﹣i B．﹣1+2i C．1+2i D．﹣1﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数定义是法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：z•i=2﹣i，∴﹣i•z•i=﹣i（2﹣i），∴z=﹣1﹣2i，则z的共轭复数=﹣1+2i．故选：B．【点评】本题考查了复数定义是法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知平面向量=（﹣2，m），=，且（﹣）⊥，则实数m的值为（）A．B． C． D．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】平面向量及应用．【分析】由向量的坐标的加减运算求出，然后直接利用向量垂直的坐标表示列式求出m的值．【解答】解：由，所以=．再由（a﹣b）⊥b，所以=．所以m=．故选B．【点评】本题考查了数量积判断两个向量的垂直关系，考查了向量减法的坐标运算，是基础题．4．设曲线y=sinx上任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y=x2g（x）的部分图象可以为（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】先根据导数几何意义得到曲线y=sinx上任一点（x，y）处切线斜率g（x），再研究函数y=x2g（x）的奇偶性，再根据在某点处的函数值的符号进一步进行判定．【解答】解：曲线y=sinx上任一点（x，y）处切线斜率为g（x），∴g（x）=cosx，则函数y=x2g（x）=x2•cosx，设f（x）=x2•cosx，则f（﹣x）=f（x），cos（﹣x）=cosx，∴y=f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，排除A、B．令x=0，得f（0）=0．排除D．故选C．【点评】本题主要考查了导数的运算，以及考查学生识别函数的图象的能力，属于基础题．5．“a=2”是“函数f（x）=x2+2ax﹣2在区间（﹣∞，﹣2]内单调递减”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】由二次函数单调性和充要条件的定义可得．【解答】解：当a=2时，f（x）=x2+2ax﹣2=（x+a）2﹣a2﹣2=（x+2）2﹣6，由二次函数可知函数在区间（﹣∞，﹣2]内单调递减；若f（x）=x2+2ax﹣2=（x+a）2﹣a2﹣2在区间（﹣∞，﹣2]内单调递减，则需﹣a≥﹣2，解得a≤2，不能推出a=2，故“a=2”是“函数f（x）=x2+2ax﹣2在区间（﹣∞，﹣2]内单调递减”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充要条件的判定，涉及二次函数的单调性，属基础题．6．将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．x=B．x=C．x=D．x﹣=【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象对应的函数的解析式为y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+），当x=时，函数取得最大值，可得所得函数图象的一条对称轴的方程是x=，故选：C．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．7．执行如图所示的程序框图，输出的i为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=6时不满足条件S＜30，退出循环，输出i的值为6．【解答】解：由框图，模拟执行程序，可得：S=0，i=1S=1，i=2满足条件S＜30，S=4，i=3满足条件S＜30，S=11，i=4满足条件S＜30，S=26，i=5满足条件S＜30，S=57，i=6不满足条件S＜30，退出循环，输出i的值为6．故选：C．【点评】本题考查循环结构，已知运算规则与最后运算结果，求运算次数的一个题，是算法中一种常见的题型，属于基础题．8．已知抛物线y2=8x的准线与双曲线=1相交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，△ABF为直角三角形，则双曲线的离心率为（）A．3 B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据抛物线方程求得准线方程，代入双曲线方程求得y，根据双曲线的对称性可知△FAB为等腰直角三角形，进而可求得A或B的纵坐标为4，进而求得a，利用a，b和c的关系求得c，则双曲线的离心率可得．【解答】解：依题意知抛物线的准线x=﹣2，代入双曲线方程得y=±•，不妨设A（﹣2，）．∵△FAB是等腰直角三角形，∴=p=4，求得a=，∴双曲线的离心率为e====3，故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是通过双曲线的对称性质判断出△FAB为等腰直角三角形，属于中档题．9．若实数x、y满足xy＞0，则+的最大值为（）A．2﹣B．2C．4D．4【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】转化思想；换元法；不等式的解法及应用．【分析】运用换元法，设x+y=s，x+2y=t，由xy＞0，可得s，t同号．即有x=2s﹣t，y=t﹣s，则+=+=4﹣（+），再由基本不等式即可得到所求最大值．【解答】解：可令x+y=s，x+2y=t，由xy＞0，可得x，y同号，s，t同号．即有x=2s﹣t，y=t﹣s，则+=+=4﹣（+）≤4﹣2=4﹣2，当且仅当t2=2s2，取得等号，即有所求最大值为4﹣2．故选：C．【点评】本题考查最值的求法，注意运用换元法和基本不等式，考查运算求解能力，属于中档题．10．若实数a，b，c，d满足（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A．B．8 C． D．2【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用；导数的概念及应用．【分析】化简得b=﹣（a2﹣3lna），d=c+2；从而得（a﹣c）2+（b﹣d）2=（a﹣c）2+（3lna ﹣a2﹣（c+2））2表示了点（a，3lna﹣a2）与点（c，c+2）的距离的平方；作函数图象，利用数形结合求解．【解答】解：∵（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2=0，∴b=﹣（a2﹣3lna），d=c+2；∴（a﹣c）2+（b﹣d）2=（a﹣c）2+（3lna﹣a2﹣（c+2））2，其表示了点（a，3lna﹣a2）与点（c，c+2）的距离的平方；作函数y=3lnx﹣x2与函数y=x+2的图象如下，∵（3lnx﹣x2）′=﹣2x=；故令=1得，x=1；故切点为（1，﹣1）；结合图象可知，切点到直线y=x+2的距离为=2；故（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为8；故选：B．【点评】本题考查了函数的图象的作法及数形结合的思想应用，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（2x﹣1）（3﹣2x）5的展开式中，含x次数最高的项的系数是﹣64（用数字作答）．【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理．【分析】利用二项式定理展开式的通项公式即可得出．【解答】解：（3﹣2x）5的展开式的通项公式：T r+1=35﹣r（﹣2x）r，令r=5，可得：（2x﹣1）（3﹣2x）5的展开式中，含x次数最高的项的系数为2×（﹣2）5=﹣64．故答案为：﹣64．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．在约束条件下，当3≤m≤5时，目标函数z=3x+2y的最大值的取值范围是[7，8]（请用区间表示）．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=3x+2y过区域内边界上的某些点时，z最大值即可．【解答】解：由⇒交点为A（2，0），B（4﹣m，2m﹣4），C（0，m），C'（0，4），当3≤m＜4时可行域是四边形OABC，此时，7≤z≤8当4≤m≤5时可行域是△OAC'此时，z max=8故答案为：[7，8]．【点评】本题主要考查了简单的线性规划．由于线性规划的介入，借助于平面区域，可以研究函数的最值或最优解；借助于平面区域特性，我们还可以优化数学解题，借助于规划思想，巧妙应用平面区域，为我们的数学解题增添了活力．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A﹣BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，分别计算侧面积，即可得出结论．【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A﹣BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，则S△AED=×1×1=，S△ABC=S△ABE=×1×=，S△ACD=×1×=，故答案为：【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的侧面积的求法，考查计算能力．14．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为465．【考点】进行简单的合情推理．【专题】规律型．【分析】这是一个类比推理的问题，在类比推理中，参照上述方法，200的所有正约数之和可按如下方法得到：因为200=23×52，所以200的所有正约数之和为（1+2+22+23）（1+5+52），即可得出答案．【解答】解：类比36的所有正约数之和的方法，有：200的所有正约数之和可按如下方法得到：因为200=23×52，所以200的所有正约数之和为（1+2+22+23）（1+5+52）=465．可求得200的所有正约数之和为465．故答案为：465．【点评】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．15．已知在锐角△ABC中，已知∠B=，|﹣|=2，则的取值范围是（0，12）．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，得到C的坐标，找出三角形为锐角三角形的A的位置，得到所求范围．【解答】解：以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，因为∠B=，|﹣|=||=2，所以C（1，），设A（x，0）因为△ABC是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A＜90°，即A在如图的线段DE上（不与D，E重合），所以1＜x＜4，则=x2﹣x=（x﹣）2﹣，所以的范围为（0，12）．故答案为：（0，12）．【点评】本题考查了向量的几何意义以及利用坐标法求数量积范围；属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a﹣b）cosC﹣ccosB=0．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若三边a，b，c满足a+b=13，c=7，求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；解三角形．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理与两角和的正弦公式，化简题中的等式可得sin（B+C）﹣2sinAcosC，结合三角函数的诱导公式算出cosC=，可得角C的大小；（Ⅱ）由余弦定理可得ab的值，利用三角形面积公式即可求解．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，ccosB=（2a﹣b）cosC，∴由正弦定理，可得sinCcosB=（2sinA﹣sinB）cosC，即sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC，所以sin（B+C）=2sinAcosC，∵△ABC中，sin（B+C）=sin（π﹣A）=sinA＞0，∴sinA=2sinAcosC，即sinA（1﹣2cosC）=0，可得cosC=．又∵C是三角形的内角，∴C=．（Ⅱ）∵C=，a+b=13，c=7，∴由余弦定理可得：72=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=132﹣3ab，解得：ab=40，∴S △ABC=absinC=40×=10．【点评】本题求角C的大小并依此求三角形面积的最大值．着重考查了正余弦定理、两角和的正弦公式三角函数的图象性质，属于中档题．17．为落实国务院“十三五”规划中的社会民生建设，某医院到社区检查老年人的体质健康情况．从该社区全体老年人中，随机抽取12名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式如图：根据老年人体质健康标准，成绩不低于80的为优良．（Ⅰ）将频率视为概率．根据样本估计总体的思想，在该社区全体老年人中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（Ⅱ）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的人数，求ξ的分布列及期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）从该社区中任选1人，成绩是“优良”的概率为，由此利用对立事件概率计算公式能求出至少有1人成绩是“优良”的概率．（Ⅱ）由题意可得，ξ的可能取值为0，1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及期望．【解答】解：（Ⅰ）抽取的12人中成绩是“优良”的频率为，故从该社区中任选1人，成绩是“优良”的概率为，…设“在该社区老人中任选3人，至少有1人成绩是‘优良’的事件”为A，则；…（Ⅱ）由题意可得，ξ的可能取值为0，1，2，3．，，，，…所以ξ的分布列为ξ0 1 2 3P．…【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．18．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥ABB1A1平面．（1）证明：BC⊥AB1；（2）若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的性质．【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）要证明BC⊥AB1，可证明AB1垂直于BC所在的平面BCD，已知CO垂直于侧面ABB1A1，所以CO垂直于AB1，只要在矩形ABB1A1内证明BD垂直于AB1即可，可利用角的关系加以证明；（Ⅱ）分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，求出，平面ABC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论．【解答】（I）证明：由题意，因为ABB1A1是矩形，D为AA1中点，AB=2，AA1=2，AD=，所以在直角三角形ABB1中，tan∠AB1B==，在直角三角形ABD中，tan∠ABD==，所以∠AB1B=∠ABD，又∠BAB1+∠AB1B=90°，∠BAB1+∠ABD=90°，所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°，即BD⊥AB1，又因为CO⊥侧面ABB1A1，AB1⊂侧面ABB1A1，所以CO⊥AB1所以，AB1⊥面BCD，因为BC⊂面BCD，所以BC⊥AB1．（Ⅱ）解：如图，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣，0），B（﹣，0，0），C（0，0，），B1（0，，0），D（，0，0），又因为=2，所以所以=（﹣，，0），=（0，，），=（，，），=（，0，﹣），设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则根据可得=（1，，﹣）是平面ABC的一个法向量，设直线CD与平面ABC所成角为α，则sinα=，所以直线CD与平面ABC所成角的正弦值为．…【点评】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查线面角，考查向量方法的运用，属于中档题．19．已知数列{a n }前n 项和S n 满足：2S n +a n =1 （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n =，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＜．【考点】数列的求和；数列递推式． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】（I ）利用递推式可得：．再利用等比数列的通项公式即可得出；（II ）由（I ）可得b n ==，；利用“裂项求和”即可得出数列{b n }的前n 项和为T n ，进而得到证明． 【解答】（I ）解：∵2S n +a n =1， ∴当n ≥2时，2S n ﹣1+a n ﹣1=1， ∴2a n +a n ﹣a n ﹣1=0，化为．当n=1时，2a 1+a 1=1，∴a 1=．∴数列{a n }是等比数列，首项与公比都为． ∴．（II ）证明：b n ====，∴数列{b n}的前n项和为T n=++…+=．∴T n＜．【点评】本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式、“裂项求和”、不等式的证明，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知函数．（Ⅰ）记函数，求函数F（x）的最大值；（Ⅱ）记函数若对任意实数k，总存在实数x0，使得H（x0）=k成立，求实数s的取值集合．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题．【专题】计算题；分类讨论；转化思想；分析法；综合法；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）化简函数，的表达式，求出函数的导数，求出极值点以及端点的函数值，然后求函数F（x）的最大值；（Ⅱ）求出函数H（x）的值域为R．求出在[s，+∞）单调递增，其值域为．然后求解函数的值域，通过（1）若s＞e，求解值域，（2）若0＜s≤e，函数的值域，判断是否满足题意，推出实数s的取值集合．【解答】解：（Ⅰ）函数．函数，F（x）=x2﹣lnx，x，令F′（x）=0，得．∴，F（2）=4﹣ln2，且，∴x=2时，函数F（x）取得最大值，最大值为4﹣ln2．…（Ⅱ）∵对任意实数k，总存在实数x0，使得H（x0）=k成立，∴函数H（x）的值域为R．函数在[s，+∞）单调递增，其值域为．函数，．当x=e时，y'=0．当x＞e时，y'＜0，函数在[e，+∞）单调递减，当0＜x＜e时，y'＞0，函数在（0，e）单调递增．…（1）若s＞e，函数在（0，e）单调递增，在（e，s）单调递减，其值域为，又，不符合题意；（2）若0＜s≤e，函数在（0，s）单调递增，其值域为，由题意得，即s2﹣2elns≤0；令u（s）=s2﹣2elns，．当时，u'（s）＞0，u（s）在单调递增；当，u'（s）＜0，u（s）在单调递减．∴时，u（s）有最小值，从而u（s）≥0恒成立（当且仅当时，u （s）=0）．由（1）（2）得，u（s）=0，所以．综上所述，实数s的取值集合为．…【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及分析问题解决问题的能力．21．已知椭圆的上顶点M与左、右焦点F1，F2构成三角形MF1F2面积为，又椭圆C的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l与椭圆C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且x1+x2=2，又直线l1：y=k1x+m 是线段AB的垂直平分线，求实数m的取值范围；（Ⅲ）椭圆C的下顶点为N，过点T（t，2）（t≠0）的直线TM，TN分别与椭圆C交于E，F两点．若△TMN的面积是△TEF的面积的k倍，求k的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】计算题；转化思想；分析法；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）利用椭圆离心率，，a2=b2+c2，解得a=2，b=1，即可求出椭圆方程．（Ⅱ）设AB的中点D（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），求出x0，y1+y2=2y0．（y0≠0）又A（x1，y1）、B（x2，y2）在椭圆C上，利用平方差法，推出．通过D在椭圆C内部，得到，求出m的范围．（Ⅲ）推出S△TMN==|t|，S△TEF=，利用，通过二次函数的最值求解k的最大值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆离心率，又，a2=b2+c2，解得a=2，b=1，∴椭圆方程：．．…（Ⅱ）设AB的中点D（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2x0=2，所以x0=1，y1+y2=2y0．（y0≠0）又A（x1，y1）、B（x2，y2）在椭圆C上，所以由②﹣①得，即．…即，l1：y=4y0x+m．当x0=1时，y0=4y0+m，所以．所以D点的坐标为．又D在椭圆C内部，所以，解得且m≠0．…（Ⅲ）因为S△TMN==|t|，直线方程为：y=，联立，得x E=，所以E（，）到直线3x﹣ty﹣t=0的距离d==，直线方程为：y=，联立，得x F=，所以F（，），∴|TF|==，∴S△TEF==••=，所以=，令t2+12=n＞12，则=，当且仅当n=24，即等号成立，所以k的最大值为．…【点评】本题考查椭圆的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用，二次函数的最值的求法，难度比较大．。

2019-2020年高三数学一模试卷（理科）含解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.把正确选项的代号填在答题卡上）1．设全集为实数集R，M={x|x∈R|x≤}，N={1，2，3，4}，则∁R M∩N=（）A．{4}B．{3，4}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4}2．已知复数z满足（3+i）z=10i（其中i是虚数单位，满足i2=﹣1），则复数z的共轭复数是（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．1+3i D．﹣1﹣3i3．已知a，b为实数，则“a+b≤2”是“a≤1且b≤1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．设直线y=kx与椭圆相交于A、B两点，分别过A、B向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于（）A．B． C． D．±25．如图，长方形的四个顶点为O（0，0），A（4，0），B（4，2），C（0，2），曲线经过点B，现将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是（）A．B．C．D．6．如图是函数f（x）=sin2x和函数g（x）的部分图象，则g（x）的图象可能是由f（x）的图象（）A．向右平移个单位得到B．向右平移个单位得到C．向右平移个单位得到D．向右平移个单位得到7．一个棱锥的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）A．16 B．24 C．30 D．328．在△ABC中，BC=1，ccosA+acosC=2bcosB，△ABC的面积S=，则AC等于（）A． B．4 C．3 D．9．某店一个月的收入和支出总共记录了N个数据a1，a2，…a N，其中收入记为正数，支出记为负数．该店用下边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（）A．A＞0，V=S﹣T B．A＜0，V=S﹣T C．A＞0，V=S+T D．A＜0，V=S+T10．不等式组表示的平面区域为D，若对数函数y=log a x（a＞0，a≠1）的图象上存在区域D上的点，则实数a的取值范围是（）A．[1，3]B．（0，1）∪（1，3] C．[3，+∞）D．（，1）∪[3，+∞）11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=c2（c=）交A、B、C、D 四点，若四边形ABCD是正方形，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x12．已知函数y=f（x﹣1）的图象关于x=1对称，y=f′（x）是y=f（x）的导数，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立，已知a=f（log32）log32，b=（log52）log52，c=2f（2），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b本题包括必考题和选考题两部分。

2019-2020年高三教学质量检测（一模）数学（理）试题 含答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合{1,0,1},{||10}A B x x =-=+>，那么A ．B ．C ．D ．2、已知复数，则A ．B ．1C ．D ．-13、沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为4、已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是A ．求的值B ．求的值C ．求的值D ．求的值5、已知平面向量满足11,(2)()2a b a b a b ==+-=-， 则与与的夹角为A ．B ．C ．D ．6、在正项等比数列中，232629log log log 3a a a ++=，则的值是A ．16B ．8C ．4D ．27、在二项式的展开式中，含的项的系数为A ．-10B ．10C ．-5D ．58、某城市对机动车单双号限行进行了调查，在参加调查的2548名有车人中有1560名持反对意见，2452名无车人中有1200名持反对意见，在运用这些数据说明“拥有车辆”与“反对机动车单双号限行”是否有关系时，用什么方法最有说服力A ．平均数与方差B ．回归直线方程C ．独立性检验D ．概率9、焦点在y 轴上的双曲线G 的下焦点为F ，上顶点为A ，若线段FA 的中垂线与双曲线G 有公共点，则双曲线G 的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．10、已知()[)[]211,010,1x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨+∈⎪⎩，则下列函数的图象正确的是A ．的图象B ．的图象C ．的图象D ．的图象11、若直线20(0,0)ax by a b -+=>>过圆22:2410C x y x y ++-+=的圆心，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．12、定义域为R 的偶函数满足对任意，有，且当时，，若函数在上恰有三个零点，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。