数学高一- 北师必修1单元目标检测 第三章 指数函数和对数函数

一、选择题1．若关于x 的不等式34log 2xa x -≤在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦2．已知函数()()2log 2xf x m =+，则满足函数()f x 的定义域和值域都是实数集R 的实数m 构成的集合为 （ ） A ．{}|0m m =B ．{}0|m m ≤C ．{}|0m m ≥D ．{}|1m m =3．若()()22ln 1f x x x e =+≤≤(e 为自然对数的底数)，则函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的最大值为（ ） A ．6B ．13C ．22D ．334．已知函数()()2log 23a f x x x =--+，若()00f <，则此函数的单调递增区间是（ ） A ．(],1-∞-B ．[)1,-+∞C ．[)1,1-D ．(]3,1--5．已知函数)()lnf x x =，则120212020a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20201log 2021b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2021log 2020c f =的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>6．已知函数22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的值域为R ．则实数a 的取值范围是（ ） A ．5[1,]3B ．5(1,]3C ．(]5,1(,)3-∞-⋃+∞ D ．()5,1[1,)3-∞-7．已知函数3()22x f x =+，则111357(1)432234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．212 B ．214C ．7D ．1528．5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+⎪⎝⎭，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内所传信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.按照香农公式，在不改变W 的情况下，将信噪比SN从1999提升至λ，使得C 大约增加了20%，则λ的值约为（参考数据：lg 20.3≈， 3.96109120≈）（ ） A ．7596B ．9119C ．11584D ．144699．已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-，则()f x 是（ ） A ．偶函数，且在(0,10)是增函数 B ．奇函数，且在(0,10)是增函数 C ．偶函数，且在(0,10)是减函数 D ．奇函数，且在(0,10)是减函数10．函数()22x xxf x -=+的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．11．若1a b >>，lg lg P a b ⋅，1(lg lg )2Q a b =+，lg()2a b R +=，则（ ） A ．R P Q <<B ．P Q R <<C ．Q P R <<D ．P R Q <<12．实数,a b 满足2510a b ==，则下列关系正确的是（ ） A ．212a b+= B ．111a b+= C ．122a b+= D ．1212a b += 二、填空题13．下列命题中所有正确的序号是___________． ①函数()13x f x a-=+()1a > 在R 上是增函数；②函数(1)f x -的定义域是(1,3)，则函数()f x 的定义域为(2,4)； ③已知()f x =538x ax bx ++-，且()28f -=，则(2)8f =-； ④11()122x f x =--为奇函数．14．若函数()22log 3y x ax a =-+在[2,)+∞上是单调增函数，则a 的取值范围是____________．15．设函数2()ln(1)fx x x =++，若()23(21)0f a f a +-<，则实数a 的取值范围为_____. 16．若3log 14a>（0a >且1a ≠），则实数a 的取值范围为________ 17．已知函数()4sin 22xx f x π=++，则122019101010101010f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______.18．如图，在面积为2的平行四边形OABC 中，AC CO ⊥，AC 与BO 交于点E .若指数函数()01xy aa a =>≠,经过点E ，B ，则函数()af x x x=-在区间[]1,2上的最小值为________.19．设log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，则log b ac =______.20．下列结论正确的是____________①1()2(0,1)x f x a a a -=+>≠的图像经过定点(1,3)； ②已知28log 3,43yx ==，则2x y +的值为3； ③若3()6f x x ax =+-，且(2)6f -=，则(2)18f =； ④11()()122xf x x =--为偶函数； ⑤已知集合{}{}1,1,|1A B x mx =-==；且B A ⊆，则m 的值为1或-1.三、解答题21．设131()log 1axf x x -=-为奇函数，a 为常数． （1）求a 的值．（2）若[2,4]x ∀∈，不等式1()3xf x x m ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．22．已知函数()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，函数()13log g x x =.（1）若函数()22y g mx mx =++的定义域为R ，求实数m 的取值范围；（2）是否存在非负实数,m n ，使得函数()2y g f x ⎡⎤=⎣⎦的定义域为[],m n ，值域为[]2,2m n ，若存在，求出,m n 的值；若不存在，则说明理由；（3）当[]1,1x ∈-时，求函数()()223y f x af x =-+⎡⎤⎣⎦的最小值()h a . 23．已知函数()ln(32)f x x =+，()ln(32)g x x =-.设函数()()()F x f x g x =-. （1）求函数()F x 的定义域； （2）判断()F x 奇偶性并证明； （3）若()0F x >成立，求x 的取值范围.24．已知函数()12,012,0m x x x f x x n x x ⎧⎛⎫+-> ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪++< ⎪⎪⎝⎭⎩是奇函数.（1）求实数m ，n 的值；（2）若对任意实数x ，都有()()420xxf f λ+≥成立.求实数λ的取值范围. 25．已知集合(){}2log 33A x x =+≤，{}213B x m x m =-<≤+.（1）若2m =-，求A B ；（2）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围.26．化简计算： （1）160.25361.587-⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭（2）lg5lg 20lg 2lg50lg 25⋅-⋅-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】转化为当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，函数342xy =-的图象不在log a y x =的图象的上方，根据图象列式可解得结果.【详解】由题意知关于x的不等式34log2xax-≤在10,2x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，所以当10,2x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，函数342xy=-的图象不在log ay x=的图象的上方，由图可知0111log22aa<<⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得114a≤<.故选：A【点睛】关键点点睛：利用函数342xy=-的图象与函数log ay x=的图象求解是解题关键. 2．A解析：A【分析】若定义域为实数集R，则20x m+>对于x∈R恒成立，可得0m≥，若值域为实数集R，令2xt m=+，则2logy t=此时需满足2xt m=+的值域包括()0,∞+，可得0m≤，再求交集即可.【详解】若()()2log2xf x m=+定义域为实数集R，则20x m+>对于x∈R恒成立，即2xm>-对于x∈R恒成立，因为20x>，所以20x-<，所以0m≥，令2xt m=+，则2logy t=若()()2log2xf x m=+值域为实数集R，则2xt m=+的值域包括()0,∞+，因为t m>，所以0m≤，所以0m=，故选：A【点睛】关键点点睛：本题的关键点是要找到定义域为R 的等价条件即20x m +>对于x ∈R 恒成立，分离参数m 求其范围，值域为R 的等价条件即2x t m =+可以取遍所有大于0的数，由t m >，所以0m ≤，再求交集.3．B解析：B 【分析】先依题意求函数定义域，再化简函数，进行换元后求二次函数在区间上的最大值即可. 【详解】由21x e ≤≤及()2f x知221x e ≤≤，故定义域为[]1,e ，又()()()()()222222ln 2ln ln 6ln 61y f x f x x x x x x e =+=+++=++≤≤⎡⎤⎣⎦令[]ln 0,1t x =∈，则266y t t =++，易见y 在[]0,1t ∈上单调递增， 故当1t =时，即x e =时，max 16613y =++=. 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用换元法求函数最值时，要注意函数的定义域，否则求得的易出错.4．C解析：C 【分析】由()00f <求得01a <<，求出函数()f x 的定义域，利用复合函数法可求得函数()f x 的单调递增区间. 【详解】由题意可得()0log 30log 1a a f =<=，01a ∴<<.对于函数()()2log 23a f x x x =--+，2230x x --+>，可得2230x x +-<，解得31x -<<.所以，函数()f x 的定义域为()3,1-.由于内层函数223u x x =--+在区间(]3,1--单调递增，在区间[)1,1-单调递减. 外层函数log a y u =单调递减，由复合函数法可知，函数()f x 的单调递增区间为[)1,1-. 故选：C. 【点睛】方法点睛：函数单调性的判定方法与策略：（1）定义法：一般步骤：设元→作差→变形→判断符号→得出结论；（2）图象法：如果函数()f x 是以图象的形式给出或者函数()f x 的图象易作出，结合图象可得出函数的单调区间；（3）导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间； （4）复合函数法：先将函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦分解为内层函数()u g x =和外层函数()y f u =，再讨论这两个函数的单调性，然后根据复合函数法“同增异减”的规则进行判定. 5．D解析：D 【分析】先判断出()f x 在R 上单调递减，再利用指数对数函数的单调性求出120212020，20201log 2021， 2021log 2020的范围，即可根据单调性比较大小.【详解】210x x +->恒成立，()f x ∴定义域为R ，))()lnlnf x x x ===-，其中y x 单调递增，则()f x 单调递减，102021202020120>=，202020201log log 102021<=，2021202120210log 1log 2020log 20211=<<=，b c a ∴>>. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的单调性比较大小，解题的关键是判断出)()ln f x x =在R 上单调递减，进而可利用单调性比较.6．A解析：A 【分析】当函数的值域为R 时，命题等价于函数()()22111y a x a x =-+++的值域必须包含区间()0+∞，得解 【详解】22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的值域为R令()()22111y a x a x =-+++，则()()22111y a x a x =-+++的值域必须包含区间()0+∞，当210a -=时，则1a =± 当1a =时，21y x =+符合题意； 当1a =-时，1y =不符合题意；当1a ≠±时，()()222101410a a a ⎧->⎪⎨∆=+--≥⎪⎩，解得513a <≤ 513a ∴≤≤，即实数a 的取值范围是5[1,]3故选：A 【点睛】转化命题的等价命题是解题关键.7．B解析：B 【分析】先利用解析式计算3()(2)2f x f x +-=，再计算和式即可得到结果. 【详解】 因为3()22x f x =+， 所以2332(2)22224xx x f x -⋅-==+⋅+，()3323()(2)222222xx x f x f x ⋅+-=+=++. 故1113573321(1)34322342224f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++=⨯+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题解题关键是通过指数式运算计算3()(2)2f x f x +-=，再配对求和即解决问题. 8．B解析：B 【分析】根据题设条件列出方程，计算即可. 【详解】由题可知 ()()()22log 119991+20%log 1W W λ+⨯=+，即()221.2log 2000log 1λ⨯=+，所以()lg 1lg 20001.2lg 2lg 2λ+⨯=，即()()lg 1 1.2lg2000 1.23lg2 3.96λ+=⨯=⨯+≈，所以 3.961109120λ+≈≈，所以9119λ≈.故选：B 【点睛】本题主要考查对属于对数函数，考查学生的运算能力.9．C解析：C 【分析】先判断函数的定义域关于原点对称，再由奇偶性的定义判断奇偶性，根据复合函数的单调判断其单调性，从而可得结论. 【详解】 由100100x x +>⎧⎨->⎩，得(10,10)x ∈-，故函数()f x 的定义域为()10,10-，关于原点对称，又()()lg 10lg(10)()f x x x f x -=-++=，故函数()f x 为偶函数， 而()()2lg(10)lg(10)lg 100f x x x x=++-=-，因为函数2100y x =-在()0,10上单调递减，lg y x =在()0,∞+上单调递增， 故函数()f x 在()0,10上单调递减，故选C. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，()()1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数） .10．B解析：B 【分析】根据函数为奇函数排除C ，取特殊值排除AD 得到答案. 【详解】当()22x xx f x -=+，()()22x x xf x f x ---==-+，函数为奇函数，排除C ； 2221(2)22242f -=<=+，排除A ；3324(3)22536f -==+，4464(4)224257f -==+，故()()34f f >，排除D.故选：B. 【点睛】本题考查了函数图象的识别，意在考查学生的计算能力和识图能力，取特殊值排除是解题的关键.11．B解析：B 【分析】利用对数函数lg y x =，结合基本不等式即可确定P 、Q 、R 的大小关系 【详解】由于函数lg y x =在(0,)+∞上是增函数1a b >>，则lg lg 0a b >>由基本不等式可得11(lg lg )lg()lg 222a bP a b ab R +=<+==<=因此，P Q R <<故选：B 【点睛】本题考查了利用对数函数的单调性比较大小，应用函数思想构造对数函数，并利用其单调性和基本不等式比较大小12．B解析：B 【分析】根据指数式与对数的互化公式，求得11lg2,lg5a b==，再结合对数的运算公式，即可求解. 【详解】因为2510a b ==，可得25log 10,log 10a b ==，所以11lg2,lg5a b==， 则11lg 2lg5lg101a b +=+==. 故选：B. 【点睛】本题主要考查指数式与对数的互化，以及对数的运算公式的化简、求值，其中解答中熟记指数式与对数的互化公式，以及对数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.二、填空题13．①④【分析】根据指数的运算性质且恒成立求出函数图象所过的定点可判断①；根据抽象函数的定义域的求法可判断②；根据奇函数的图象和性质求出可判断③；根据奇函数的定义及判定方法可判断④【详解】解：当时且恒成解析：①④ 【分析】根据指数的运算性质01(0a a =>且1)a ≠恒成立，求出函数图象所过的定点，可判断①；根据抽象函数的定义域的求法，可判断②；根据奇函数的图象和性质，求出()2f ，可判断③；根据奇函数的定义及判定方法，可判断④ 【详解】解：当1x =时，101(0x a a a -==>且1)a ≠恒成立，故f （1）4=恒成立，故函数1()3(0x f x a a -=+>且1)a ≠的图象一定过定点(1,4)P ，故①正确；函数(1)f x -的定义域是(1,3)，则函数()f x 的定义域为(0,2)，故②错误；已知53()8f x x ax bx =++-，且(2)8f -=，则()224f =-，故③错误；11()122x f x =--的定义域为{|0}x x ≠， 且112111()()122212212x x x xf x f x ---=-=-=-=----，故()f x 为奇函数，故④正确； 故答案为：①④ 【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了指数函数的图象和性质，函数的定义域，函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．14．【分析】利用复合函数单调性的判断方法分内层和外层分别判断解出的取值范围【详解】由题意得设根据对数函数及复合函数单调性可知：在上是单调增函数且所以所以故答案为:【点睛】本题考查复合函数单调性的应用考查 解析：(4,4]-【分析】利用复合函数单调性的判断方法,分内层和外层分别判断,解出a 的取值范围. 【详解】由题意得，设2()3g x x ax a =-+，根据对数函数及复合函数单调性可知：()g x 在[)2,+∞上是单调增函数，且(2)0g >，所以2240aa ⎧≤⎪⎨⎪+>⎩，所以44a -<≤． 故答案为: (4,4]- 【点睛】本题考查复合函数单调性的应用,考查对数函数的性质,考查学生运算求解能力,属于中档题.15．【分析】根据已知可得为奇函数且在上单调递增不等式化为转化为关于自变量的不等式即可求解【详解】的定义域为是奇函数设为增函数在为增函数在为增函数在处连续的所以在上单调递增化为等价于即所以实数的取值范围为解析：1(1,)3-【分析】根据已知可得()f x 为奇函数且在R 上单调递增，不等式化为()23(12)f a f a <-，转化为关于自变量的不等式，即可求解. 【详解】()f x 的定义域为R ，()()))ln10f x f x x x +-=+==，()f x ∴是奇函数，设,[0,)()x u x x =∈+∞为增函数，()f x 在[0,)+∞为增函数，()f x 在(,0)-∞为增函数， ()f x 在0x =处连续的，所以()f x 在R 上单调递增，()23(21)0f a f a +-<，化为()23(12)f a f a <-，等价于2312a a <-，即213210,13a a a +-<-<<， 所以实数a 的取值范围为1(1,)3-. 故答案为: 1(1,)3- 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，熟练掌握函数的性质是解题的关键，属于中档题.16．【分析】讨论和两种情况利用函数单调性解不等式得到答案【详解】当时满足不成立；当时综上所述：故答案为：【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式分类讨论是解题的关键解析：3,14⎛⎫⎪⎝⎭【分析】讨论1a >和01a <<两种情况，利用函数单调性解不等式得到答案. 【详解】3log 1log 4aa a >=，当1a >时，满足34a >，不成立；当01a <<时，34a >. 综上所述：3,14a ⎛⎫∈⎪⎝⎭. 故答案为：3,14⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式，分类讨论是解题的关键.17．2019【分析】观察的特点探究得再利用倒序相加法求解【详解】因为所以故答案为：2019【点睛】本题主要考查了函数求值中的倒序相加法还考查了抽象概括的能力属于中档题解析：2019 【分析】 观察122019101010101010⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f 的特点，探究得()(2)2+-=f x f x ，再利用倒序相加法求解. 【详解】因为()()()2442sin sin 222222x x f x f x x x πππ-+-=+++-=++ 所以1220192[]101010101010⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f12019120191010101010101010f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22019=⨯1220192019101010101010f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：2019.【点睛】本题主要考查了函数求值中的倒序相加法，还考查了抽象概括的能力，属于中档题.18．【分析】设点则点B 的坐标为由题意得则再根据平行四边形的面积求得由此得得函数的解析式从而得函数的的单调性与最值【详解】解：设点则点B 的坐标为∵∴∵平行四边形OABC 的面积又平行四边形OABC 的面积为2 解析：3-【分析】设点(),tE t a ，则点B 的坐标为()2,2tt a ，由题意得22tt aa =，则2t a =，再根据平行四边形的面积求得12t =，由此得4a =，得函数()f x 的解析式，从而得函数()f x 的的单调性与最值． 【详解】解：设点(),tE t a ，则点B 的坐标为()2,2tt a ，∵22t t a a =，∴2t a =，∵平行四边形OABC 的面积24t S OC AC a t t =⨯⨯==， 又平行四边形OABC 的面积为2，∴42t =，12t =，所以122a =，4a =， ∴()4f x x x=-在[]1,2为增函数，∴函数()f x 的最小值为()4111f =-=3-， 故答案为：3-． 【点睛】本题主要考查指数函数的图象和性质，考查利用函数的单调性求最值，属于中档题．19．【分析】根据题意由韦达定理得进而得再结合换底公式得【详解】解：因为､是方程的两个实根所以由韦达定理得所以所以所以故答案为：【点睛】本题解题的关键在于根据韦达定理与换底公式进行计算其中两个公式的转化是解析：37±【分析】根据题意由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-，进而得()2log log 37c c a b -=，再结合换底公式得1log log b acc b a==【详解】解：因为log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根， 所以由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-， 所以()()22log log log log 4log log 37c c c c c c a b a b a b -=+-⋅=，所以log log c c b a -=所以11log log log 37log b c c acc b b a a===±-.故答案为：37± 【点睛】本题解题的关键在于根据韦达定理与换底公式进行计算，其中()()22log log log log 4log log c c c c c c a b a b a b -=+-⋅，1log log b acc b a=两个公式的转化是核心，考查运算求解能力，是中档题.20．①②④【分析】①根据指数函数的性质进行判断②根据对数的运算法则进行判断③根据函数的运算性质进行运算④根据偶函数的定义进行判断⑤根据集合关系利用排除法进行判断【详解】①当时（1）则函数的图象经过定点；解析：①②④ 【分析】①根据指数函数的性质进行判断，②根据对数的运算法则进行判断，③根据函数的运算性质进行运算，④根据偶函数的定义进行判断，⑤根据集合关系，利用排除法进行判断． 【详解】①当1x =时，f （1）02123a =+=+=，则函数的图象经过定点(1,3)；故①正确， ②已知2log 3x =，843y=，则2823y=，282log 3y =， 则2222882log 3log log (3)log 8333x y +=+=⨯==；故②正确， ③若3()6f x x ax =+-，且(2)6f -=，则32266a ---=，即10a =-， 则f （2）32210618=-⨯-=-，故③错误；④函数的定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称，1112()()?1222(12)xx x f x x x +=-=--， 则122112()?··()2(12)2(21)2(12)x x xx x x f x x x x f x --+++-=-=-==---， 即()f x 为偶函数，故④正确，⑤已知集合{1A =-，1}，{|1}B x mx ==，且B A ⊆，当0m =时，B =∅，也满足条件，故⑤错误， 故正确的是①②④， 故答案为：①②④ 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及指数函数的性质，函数奇偶性的判断，以及对数的运算法则，综合性较强，涉及的知识点较多．三、解答题21．（1）1a =-；（2）89m <. 【分析】（1）由奇函数的性质()()0f x f x ，代入运算后可得1a =±，代入验证即可得解；（2）转化条件为131log 113xx x m x +<⎛⎫- ⎝+⎪⎭-对于[2,4]x ∀∈恒成立，令()[]131log ,2,4113xx g x x x x ⎛⎫-+=+⎝⎭∈- ⎪，结合函数的单调性求得()min g x 即可得解.【详解】（1）因为131()log 1axf x x -=-为奇函数， 则1113331111()()log log log 1111ax ax ax ax f x f x x x x x +-⎡+-⎤⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()21231log 01ax x-==-， 则()22111ax x -=-，所以21a =即1a =±， 当1a =时，()11331()log log 11xf x x -==--，不合题意； 当1a =-时，131()log 1x f x x +=-，由101xx +>-可得1x >或1x <-，满足题意； 故1a =-；（2）由1()3xf x x m ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭可得131log 113xx x m x ⎛⎫>+ +⎪⎭+⎝-，则131log 113xx x m x +<⎛⎫- ⎝+⎪⎭-对于[2,4]x ∀∈恒成立，令()[]131log ,2,4113xx g x x x x ⎛⎫-+=+⎝⎭∈- ⎪，因为函数12111x y x x +==+--在[2,4]上单调递减， 所以函数131log 1xy x +=-在[2,4]上单调递增， 所以()g x 在[2,4]上单调递增，所以()()1min32log 182993g x g -===+， 所以89m <. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将恒成立问题转化为求函数的最值.22．（1）08m ≤<；（2）存在，0,2m n ==；（3）答案不唯一，见解析. 【分析】（1）根据函数定义域为R ，转化为220mx mx ++>恒成立，分类讨论求解；（2）根据二次函数单调性可得2222m mn n ⎧=⎨=⎩，求解即可；（3）换元，令11,333xt ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，分类讨论求二次函数的最小值即可. 【详解】（1）∵定义域为R ，即220mx mx ++>恒成立 ∴0m =， 或00m >⎧⎨∆<⎩得08m << 综上得08m ≤< （2）2yx 的定义域为[],m n ，值域为[]2,2m n∴222(0)2m mm n n n ⎧=≤<⎨=⎩ ，解得0,2m n ==. （3）令11,333xt ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则223y t at =-+ 若13a ≤，则228()39a h a =-+； 若133a <<，则2()3h a a =-； 若3a ≥，则()612h a a =-+；【点睛】关键点点睛：涉及指数型复合函数的单调性最值问题，多采用换元法，能够使问题简捷，突出问题本质，大多转化为二次函数，利用二次函数的图象和性质，体现转化思想，属于中档题. 23．（1）33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）奇函数，证明见解析；（3）302x <<【分析】（1）由320320x x +>⎧⎨->⎩可解得结果；（2）()F x 是奇函数，根据奇函数的定义可证结论正确； （3）根据对数函数的单调性可解得结果. 【详解】 （1）由320320x x +>⎧⎨->⎩，解得3322x -<<，所以函数()F x 的定义域为33(,)22-.（2）()F x 是奇函数. 证明如下：x ∀∈33(,)22-，都有x -∈33(,)22-，因为 ()ln(32)ln(32)()F x x x F x -=--+=-， ∴()F x 是奇函数.（3）由()0F x >可得()()0f x g x ->，得ln(32)ln(32)0x x +-->，即ln(32)ln(32)x x +>-，由对数函数的单调性得32320x x ，解得302x <<.【点睛】易错点点睛：利用对数函数的单调性解对数不等式时，容易忽视函数的定义域. 24．（1）22m n =⎧⎨=⎩；（2）1λ≥-. 【分析】（1）根据()f x 是奇函数，即()()f x f x -=-即可求解实数m ，n 的值；（2）利用换元法，转化为二次函数的问题讨论最值恒成立即可求解实数λ的取值范围. 【详解】（1）当0x >时，()()()12f x x n x ⎡⎤-=-++⎢⎥-⎣⎦，因为()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，()()()1122f x x n m x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫∴-=-++=-+-⎢⎥ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 即()()1220m x n x ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭总成立. 2020m n -=⎧∴⎨-=⎩，22m n =⎧∴⎨=⎩， 又当0x <时，同理可得22m n =⎧⎨=⎩，综上：22m n =⎧∴⎨=⎩. （2）40x >，20x >，原不等式化为11242222042xx xxλλ⎛⎫⎛⎫+-++-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令122xxt =+，则2t ≥， 原不等式进一步化为230t t λλ+--≥在2t ≥上恒成立. 记()23g t t t λλ=+--，[)2,t ∈+∞①当22λ-≤时，即4λ≥-时，()()min 210g t g λ==+≥，1λ∴≥-合理；②当22λ->时，即4<-λ时，()n2mi 3024g t g λλλ⎛⎫-=---≥ ⎪⎝⎭=，显然不成立.综上实数λ的取值范围为：1λ≥-. 【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，指数函数的单调性，奇函数的性质，是函数图象和性质的综合应用，难度中档.25．（1）{}31A B x x ⋂=-<≤；（2）[][)1,24,m ∈-+∞【分析】（1）计算{}35A x x =-<≤，{}51B x x =-<≤，再计算交集得到答案. （2）A B A ⋃=，故B A ⊆，讨论B =∅和B ≠∅，计算得到答案. 【详解】（1）(){}{}2log 3335A x x x x =+≤=-<≤，{}51B x x =-<≤，故{}31A B x x ⋂=-<≤.（2）{}35A x x =-<≤，A B A ⋃=，故B A ⊆，当B =∅时，213m m -≥+，解得4m ≥； 当B ≠∅时，4m <，故21335m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得12m -≤≤.综上所述：[][)1,24,m ∈-+∞.【点睛】本题考查交集运算，根据集合的包含关系求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.26．（1）110；（2）-1 【分析】（1）原式化简为分数指数幂，计算结果；（2）根据对数运算公式化简求值. 【详解】 （1）原式113133234432222323-⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭113322210833⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭110=（2）原式()()22lg5lg 25lg 2lg 510lg5=⨯⨯-⋅⨯-()()lg52lg2lg5lg2lg512lg5=⨯+-⋅+-()22lg 2lg5lg5lg 2lg5lg 22lg5=⋅+-⋅--()()2lg 2lg5lg5lg 2lg5lg5=⋅+-+-()lg5lg2lg51lg5=⋅+--lg51lg51=--=-【点睛】本题考查指数幂和对数运算，重点考查计算能力，转化与变形，属于基础题型.。

一、选择题1．函数()212()log 23f x x x =--+单调减区间为（ ） A ．(,1]-∞- B ．(3,1]--C ．[)1,1-D ．[)1-+∞， 2．若x ，y ，z 是正实数，满足2x =3y =5z ，试比较3x ，4y ，6z 大小（ ） A ．3x >4y >6z B ．3x >6z >4y C ．4y >6z >3xD ．6z >4y >3x3．已知函数()()3,<1log ,1a a x a x f x x x ⎧--=⎨≥⎩的值域．．是R ，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．()1,+∞C ．()()0,11,3D ．3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭4．设log a m 和log b m 是方程2420x x -+=的两个根，则log a bm 的值为（ ）AB．2C．D．2±5．已知实数1212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 3b =，4log 7c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a c b <<6．函数1()1x f x a +=-恒过定点（ ）A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,0)-D ．(1,1)--7．已知函数()f x 满足()()11f x f x -=+，当(],1-∞时，函数()f x 单调递减，设()41331=log ,log 3,92a f b f c f log ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<8．函数2()ln(43)f x x x =+-的单调递减区间是（ ）A ．32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，B ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦9．已知奇函数()f x 与偶函数()g x 满足()()2x x f x g x a a -+=-+，且()g b a =，则()2f 的值为（ ）A ．2aB ．2C ．154D ．17410．已知0.22a =，0.20.4b =，0.60.4c =，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>11．设()lg (21)fx x a =-+是奇函数，则使f(x)<0的x 的取值范围是( )．A ．(－1,0)B ．(0, 1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)12．函数32ln ||()x x f x x-=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．当x >0时，212()log (32)f x x x -=-+，则y =f (x )在(,0)-∞内的单调增区间为_____. 14．函数f （x ）=lg （x 2-3x -10）的单调递增区间是______．15．若函数()22log 3y x ax a =-+在[2,)+∞上是单调增函数，则a 的取值范围是____________．16．如图，在面积为2的平行四边形OABC 中，AC CO ⊥，AC 与BO 交于点E .若指数函数()01xy aa a =>≠,经过点E ，B ，则函数()af x x x=-在区间[]1,2上的最小值为________.17．关于x 的不等式()()222log 1log 2x x ->-的解集为______.18．方程()()122log 44log 23xx x ++=+-的解为____；19．函数()()212log 56f x x x =-+的单调递增区．．．间是__________． 20．函数22()log (2)f x x x =--的单调递增区间是_____________．三、解答题21．如图，过函数()log c f x x =(1)c >的图像上的两点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为M (,0)a ，(,0)N b (1)b a >>，线段BN 与函数()log m g x x =，(1)m c >>的图像交于点C ，且AC 与x 轴平行.（1）当2,4,3a b c ===时，求实数m 的值； （2）当2b a =时，求2m cb a-的最小值； （3）已知()x h x a =，()xx b ϕ=，若1x ，2x 为区间(),a b 内任意两个变量，且12x x <，求证：[][]21()()h f x f x ϕ<.22．已知函数()2log f x x =，()241g x ax x =-+.（1）若函数()()y f g x =的值域为R ，求实数a 的取值范围；（2）函数22()()()h x f x f x =-，若对于任意的1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，都存在[]1,1t ∈-使得不等式()22th x k >⋅-成立，求实数k 的取值范围.23．已知函数122()log 2xf x x-=+． （1）求函数()f x 的定义域，并判断其奇偶性；（2）判断()f x 在其定义域上的单调性，并用单调性定义证明． 24．计算下列各式的值： （1）1100.753270.064()160.258---++;（2）53log 425log lg lg 452++-. 25．已知集合(){}2log 33A x x =+≤，{}213B x m x m =-<≤+. （1）若2m =-，求AB ；（2）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围.26．已知函数()f x ()()4log 41xkx k R =++∈的图象关于y 轴对称．（1）求实数k 的值（2）设函数()g x 12421f x xx m +=+⋅-（），[]20log 3x ∈，，是否存在实数m ， 使得()g x 的最小值为0？若存在， 求出m 的值，若不存在说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据复合函数的单调性可知，()()212log 23f x x x =--+的单调减区间为223t x x =--+在定义域上的单调增区间.再根据一元二次函数的单调性求单调增区间即可. 【详解】解：函数()()212log 23f x x x =--+的定义域为()3,1- 令223t x x =--+，则()12log g t t =为单调递减函数，由复合函数的单调性可知：()f x 的单调递减区间为223t x x =--+在()3,1-上的单调增区间.()222314t x x x =--+=-++，对称轴为1x =-，开口向下，所以223t x x =--+的单调增区间为(]3,1--.故选：B. 【点睛】本题考查复合函数的单调性，属于中档题. 方法点睛：（1）先求出函数的定义域； （2）判断外层函数的单调性；（3）根据复合函数同增异减的原则，判断要求的内层函数的单调性； （4）求出单调区间.2．B解析：B 【分析】令235x y z t ===，则1t >，lg lg 2t x =，lg lg 3t y =，lg lg 5tz =，利用作差法能求出结果. 【详解】∵x 、y 、z 均为正数，且235x y z ==， 令235x y z t ===，则1t >， 故2lg log lg 2t x t ==，3lg log lg 3t y t ==，5lg log lg 5tz t ==， ∴()3lg lg5lg 4lg 2lg 3630lg 2lg5lg 2lg5t t t x z -⎛⎫-=-=>⎪⋅⎝⎭，即36x z >； ()2lg lg 27lg 253lg 2lg 6420lg5lg3lg3lg5t t t z y -⎛⎫-=-=> ⎪⋅⎝⎭，即64z y >， 即364x z y >>成立，故选：B. 【点睛】 关键点点睛：（1）将指数式转化为对数式； （2）利用作差法比较大小.3．A解析：A 【分析】当0＜a ＜1时，当1≥x 时，log 0a y x =≤，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0,+∞，，当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，,从而可得答案. 【详解】由题意，()f x 的值域为R ，当0＜a ＜1时，当1≥x 时，log 0a y x =≤，所以当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0,+∞，当1x <时，()3y a x a =--单调递增，()332y a x a a =--<- 所以不满足()f x 的值域为R .当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，， 所以当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，, 若3a =时，当1x <时，3y a =-=-，不满足()f x 的值域为R .若3a >时，当1x <时，()3y a x a =--单调递减，()332y a x a a =-->- 所以不满足()f x 的值域为R .若13a <<时，当1x <时，()3y a x a =--单调递增，()332y a x a a =--<- 要使得()f x 的值域为R ，则320a -≥，即32a ≤ 所以满足条件的a 的取值范围是：312a <≤， 故选：A ． 【点睛】关键点睛：本题考查根据函数的值域求参数的范围，解答本题的关键是当0＜a ＜1时，当1≥x 时，log 0a y x =≤，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0,+∞，，当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，，属于中档题. 4．D解析：D 【分析】利用换底公式先求解出+log log m m a b 、log log m m a b ⋅的结果，然后利用换底公式将log a bm 变形为1log log m m a b-，根据+log log m m a b 、log log m m a b ⋅的结果求解出log log m m a b -的结果，则log a bm 的值可求.【详解】因为log log 4log log 2a b a b m m m m +=⎧⎨⋅=⎩，所以114log log 112log log m m m m a b a b⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩ ，所以log +log 4log log 1log log 2m m m mm m a b a b a b ⎧=⎪⋅⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，所以log +log 21log log 2m m m m a b a b =⎧⎪⎨⋅=⎪⎩， 又因为11log log log log a m m bmm aa b b==-，且()()22log log =log log lo +42g log m m m m m m a b a b b a -⋅=-，所以log log m m a b -=所以log 2a bm ==±，故选：D. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是在于换底公式的运用，将log a bm 变形为1log log m m a b-，再根据方程根之间的关系求解出结果.5．D解析：D 【分析】本题首先可根据2log 3b =以及2log c =得出b c >，然后根据1a <以及1c >得出c a >，即可得出结果.【详解】 因为2log 3b =，42log 7log 7c ，函数2log y x =在()0,∞+上是增函数，所以b c >，因为01211122a <⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭，44log 7log 41c ， 所以c a >， 综上所述，a c b <<， 故选：D. 【点睛】指数、对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递，考查计算能力，是中档题.6．C解析：C 【分析】根据指数函数性质求定点. 【详解】因为01a =,所以()011f a -=-=0,因此过定点()1,0-,选C.【点睛】本题考查指数函数性质以及定点问题，考查基本分析求解能力，属于基础题.7．B解析：B 【分析】由()()11f x f x -=+可得函数()f x 关于直线1x =对称，根据对数的运算法则，结合函数的对称性，变形41log 2、13log 3、39log 到区间[)1,+∞内，由函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，即可得结果. 【详解】根据题意，函数()f x 满足()()11f x f x -=+， 则函数()f x 关于直线1x =对称，又由当(],1-∞时，函数()f x 单调递减，则函数在[)1,+∞上单调递增， 又由()44115log log 2222a f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()13log 313b f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，()()3log 92c f f ==，则有c a b <<，故选B.【点睛】在比较()1f x ，()2f x ，，()n f x 的大小时，首先应该根据函数()f x 的奇偶性（对称性）与周期性将()1f x ，()2f x ，，()n f x 通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．8．B解析：B 【分析】先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性同增异减，即可求解. 【详解】由2430x x +->得2340x x --<，解得：14x -<<，2()ln(43)f x x x =+-由ln y t =和234t x x =-++复合而成，ln y t =在定义域内单调递增，234t x x =-++对称轴为32x =，开口向下， 所以 234t x x =-++在31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 单调递增，在3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减，所以2()ln(43)f x x x =+-的单调减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选：B 【点睛】本题主要考查了利用同增异减求复合函数的单调区间，注意先求定义域，属于中档题9．C解析：C 【分析】根据奇函数()f x 与偶函数()g x ，由()()2x xf xg x a a -+=-+得到()()2﹣﹣﹣=+xx g x f x a a ，两式相加、相减并结合()g b a =求得()f x 即可.【详解】∵奇函数()f x 与偶函数()g x ，()()()(),-∴=-=f x f x g x g x .又()()2﹣+=+-x x f x g x a a ，①()()2﹣---∴+=+x x f x g x a a ，()()2﹣∴=--+x x g x f x a a .② +①②，得()24g x =，()2g x ∴=. (),2g b a a =∴=. ()22﹣-∴=x x f x . 22115(2)22444f -∴=-=-=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．A解析：A 【解析】分析：0.20.4b =， 0.60.4c =的底数相同，故可用函数()0.4xf x =在R 上为减函数，可得0.60.200.40.40.41<<=．用指数函数的性质可得0.20221a =>=，进而可得0.20.20.620.40.4>>．详解：因为函数()0.4xf x =在R 上为减函数，且0.2<0.4 所以0.60.200.40.40.41<<= 因为0.20221a =>=．所以0.20.20.620.40.4>>． 故选A ．点睛：本题考查指数大小的比较，意在考查学生的转化能力．比较指数式的大小，同底数的可利用指数函数的单调性判断大小，底数不同的找中间量1，比较和1的大小．11．A解析：A 【解析】 试题分析：由()lg (21)fxx a=-+为奇函数，则()()f xf x-=-，可得1a =-，即()lg 11f x x x =+-，又()0fx<，即lg 110xx+-<，可变为0111x x <+-<，解得10x -<<．考点：函数的奇偶性，对数函数性质，分式不等式．12．A解析：A 【分析】判断奇偶性可排除两个选项，再确定函数值的变化趋势排除一个，得出正确选项． 【详解】解：函数的定义域为{0}xx ≠∣， 因为3322()ln ||ln ||()()()x x x x f x f x x x-----===-，所以()f x 为偶函数，所以排除C ,D,又因为当0x >时，322ln ln ()x x xf x x x x-==-， 当x →+∞时，()f x →+∞，所以排除B故选：A. 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题方法是排除法，即通过判断函数的性质，特殊的函数值或函数值的变化趋势等，排除错误选项，得出正确答案．二、填空题13．【分析】由已知函数解析式求出时的函数解析式由真数大于0得到的范围再由复合函数的单调性求解【详解】令则当时且或二次函数在上为减函数在上为增函数而对数式在上为减函数在内的单调增区间为故答案为：【点睛】本 解析：(,2)-∞-【分析】由已知函数解析式求出0x <时的函数解析式，由真数大于0得到x 的范围，再由复合函数的单调性求解．【详解】令0x <，则0x ->，当0x >时，212()log (32)f x x x -=-+， 221122()[()][()3()2](32)(0f x f x log x x log x x x ∴=--=---+=++<且2320)x x ++>．2x ∴<-或10x -<<．二次函数232t x x =++在(,2)-∞-上为减函数，在(1,0)-上为增函数， 而对数式12y log t =在(0,)t ∈+∞上为减函数， ()y f x ∴=在(,0)-∞内的单调增区间为(,2)-∞-．故答案为：(,2)-∞-．【点睛】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查复合函数的单调性，对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．14．（5+∞）【分析】确定函数的定义域考虑复合函数的单调性即可得出结论【详解】由x2-3x-10＞0可得x ＜-2或x ＞5∵u=x2-3x-10在（5+∞）单调递增而y=lgu 是增函数由复合函数的同增异减解析：（5，+∞）【分析】确定函数的定义域，考虑复合函数的单调性，即可得出结论．【详解】由x 2-3x-10＞0可得x ＜-2或x ＞5，∵u=x 2-3x-10在（5，+∞）单调递增，而y=lgu 是增函数由复合函数的同增异减的法则可得，函数f （x ）=lg （x 2-3x-10）的单调递增区间是（5，+∞）故答案为（5，+∞）．【点睛】本题考查对数函数的单调性和应用，考查学生的计算能力，属于中档题15．【分析】利用复合函数单调性的判断方法分内层和外层分别判断解出的取值范围【详解】由题意得设根据对数函数及复合函数单调性可知：在上是单调增函数且所以所以故答案为:【点睛】本题考查复合函数单调性的应用考查 解析：(4,4]-【分析】利用复合函数单调性的判断方法,分内层和外层分别判断,解出a 的取值范围.【详解】由题意得，设2()3g x x ax a =-+，根据对数函数及复合函数单调性可知：()g x 在[)2,+∞上是单调增函数，且(2)0g >，所以2240a a ⎧≤⎪⎨⎪+>⎩，所以44a -<≤． 故答案为: (4,4]-【点睛】本题考查复合函数单调性的应用,考查对数函数的性质,考查学生运算求解能力,属于中档题. 16．【分析】设点则点B 的坐标为由题意得则再根据平行四边形的面积求得由此得得函数的解析式从而得函数的的单调性与最值【详解】解：设点则点B 的坐标为∵∴∵平行四边形OABC 的面积又平行四边形OABC 的面积为2 解析：3-【分析】设点(),t E t a ，则点B 的坐标为()2,2t t a，由题意得22t t a a =，则2t a =，再根据平行四边形的面积求得12t =，由此得4a =，得函数()f x 的解析式，从而得函数()f x 的的单调性与最值．【详解】解：设点(),t E t a ，则点B 的坐标为()2,2t t a， ∵22t t a a =，∴2t a =，∵平行四边形OABC 的面积24t S OC AC a t t =⨯⨯==，又平行四边形OABC 的面积为2，∴42t =，12t =，所以122a =，4a =， ∴()4f x x x =-在[]1,2为增函数， ∴函数()f x 的最小值为()4111f =-=3-， 故答案为：3-．【点睛】 本题主要考查指数函数的图象和性质，考查利用函数的单调性求最值，属于中档题． 17．【分析】由对数函数的性质化对数不等式为一元二次不等式组求解【详解】由得解得∴不等式的解集为故答案为：【点睛】本题考查对数不等式的解法考查了对数函数的性质是基础题解析：(,1-∞-.【分析】由对数函数的性质化对数不等式为一元二次不等式组求解.【详解】由()()222log 1log 2x x ->-，得21220x x x ⎧->-⎨->⎩，解得1x <--∴不等式()()222log 1log 2x x ->-的解集为(,1-∞-.故答案为：(,1-∞-.【点睛】本题考查对数不等式的解法，考查了对数函数的性质，是基础题. 18．【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可【详解】解：可得即：解得（舍去）可得经检验是方程的解故答案为：【点睛】本题考查方程的解的求法对数的运算法则的应用考查计算能力解析：2【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．【详解】解：()()122log 44log 23x x x ++=+-()()1222log 44log log 232x x x +∴+=+-可得()()122log 44log 232x x x ++=-⎡⎤⎣⎦， 即：()144232x x x ++=-， ()223240x x -⋅-=，解得21x =-（舍去）24x =，可得2x =．经检验2x =是方程的解．故答案为：2．【点睛】本题考查方程的解的求法，对数的运算法则的应用，考查计算能力．19．【分析】求出函数的定义域利用复合函数法可求得函数的单调递增区间【详解】对于函数有解得或所以函数的定义域为内层函数在区间上单调递减在区间上单调递增外层函数为减函数所以函数的单调递增区间为故答案为：【点 解析：(),2-∞【分析】求出函数()f x 的定义域，利用复合函数法可求得函数()()212log 56f x x x =-+的单调递增区间.【详解】对于函数()()212log 56f x x x =-+，有2560x x -+>，解得2x <或3x >. 所以，函数()()212log 56f x x x =-+的定义域为()(),23,-∞+∞，内层函数256u x x =-+在区间(),2-∞上单调递减，在区间()3,+∞上单调递增， 外层函数12log y u =为减函数，所以，函数()f x 的单调递增区间为(),2-∞. 故答案为：(),2-∞.【点睛】复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的单调性规律是“同则增，异则减”，即()y f u =与()u g x =.若具有相同的单调性，则()y f g x ⎡⎤=⎣⎦为增函数，若具有不同的单调性，则()y f g x ⎡⎤=⎣⎦必为减函数．20．【分析】首先求出函数的定义域再根据复合函数同增异减求其单调减区间即可【详解】函数的定义域为：解得：或令为增函数当为增函数为增函数当为减函数为减函数所以增区间为故答案为：【点睛】本题主要考查复合函数的 解析：()2,+∞【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数同增异减求其单调减区间即可.【详解】函数()f x 的定义域为：220x x -->，解得：2x >或1x <-.令22t x x =--，2log y t =为增函数.当2x >，t 为增函数，22()log (2)f x x x =--为增函数，当1x <-，t 为减函数，22()log (2)f x x x =--为减函数.所以增区间为(2,)+∞.故答案为：(2,)+∞【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，同增异减为解题的关键，属于中档题.三、解答题21．（1）9；（2）1-；（3）证明见解析.【分析】（1）将2a =，4b =，3c =代入，然后分别得出点A ，C 的坐标，使点A 与点C 的纵坐标相等求解m 的值；（2）用含a ，b 的式子表示出点A ，B ，C 的坐标，再利用AC 与x 轴平行得到m 与a ，b ，c 的关系式，代入2m c b a-中，运用函数知识处理最值即可； （3）当12a x x b <<<，且1c >时可推出12log log log log c c c c a x x b <<<，则有2log log c c x b a a <，1log log c c a x b b <成立，又log log log log c c c c b a a b =即log log log log c c b a c c a b =，则可证明出log log c c b a a b =，则可证明出21log log c c x x a b <，即[][]21()()h f x f x ϕ<成立.【详解】解：（1）由题意得A 3(2,log 2)，B 3(4,log 4) ，C (4,log 4)m ，因为AC 与x 轴平行，所以3log 4log 2m =所以9m =.（2）由题意得A (,log )c a a ，B (,log )c b b ，C (,log )m b b因为AC 与x 轴平行，所以log log m c b a =，因为2b a =，所以2m c =. 所以22222(1)1m c c c c b a a a a-=-=--,所以1c a =时，达到最小值1-， （3）证明：因为12a x x b <<<，且1c >，所以12log log log log c c c c a x x b <<<，又因为1a >，1b >，所以2log log c c x b a a <，1log log c c a x b b <，又因为log log log log c c c c b a a b =，所以log log log log c c b a c c a b =，所以log log c c b a a b =，所以21log log c c x x a b <，即21[()][()]h f x f x ϕ<.22．（1）[]0,4a ∈；（2）2k <.【分析】（1）由()2log f x x =，()()y f g x =的值域为R ，知()g x 值域应为小于等于0的数直至正无穷，分类讨论参数a 的正负，再结合二次函数值域与判别式的关系即可求解； （2）对恒成立问题与存在性问题转化得()22t min k h x ⋅<+在[]1,1t ∈-有解，求得()min h x ，再结合函数单调性即可求解【详解】（1）0a <时，内函数有最大值，故函数值不可能取到全体正数，不符合题意；当0a =时，内函数是一次函数，内层函数值可以取遍全体正数，值域是R ，符合题意； 当0a >时，要使内函数的函数值可以取遍全体正数，只需要函数最小值小于等于0，故只需0≥，解得(]0,4a ∈.综上得[]0,4a ∈；2（）由题意可得2222()222t k h x log x log x ⋅<+=-+在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立， 则()221t min k h x ⋅<+=在[]1,1t ∈-有解， 即1<2t k 在[]1,1t ∈-有解， 122t maxk ⎛⎫∴<= ⎪⎝⎭，综上，实数k 的取值范围2k <. 【点睛】关键点睛：本题考查由对数型复合函数的值域求解参数取值范围，由恒成立与存在性问题建立的不等式求解参数取值范围，解题关在在于：（1）()()()log a f x g x =值域为R ，()g x 值域范围的判断；（2）全称命题与存在性命题逻辑关系的理解与正确转化.23．（1）定义域为(2,2)-，奇函数（2）函数()f x 在(2,2)-上为增函数，证明见解析【分析】（1）根据真数大于0可得定义域，根据奇函数的定义可得函数为奇函数；（2）设1222x x -<<<，根据对数函数的单调性可得12()()f x f x <，再根据定义可证函数()f x 在(2,2)-上为增函数.【详解】（1）由函数有意义得202x x->+，解得22x -<<， 所以函数的定义域为(2,2)-， 因为1112222()log log ()22x x f x f x x x -+-⎛⎫-===- ⎪-+⎝⎭， 所以函数为奇函数.（2）因为124()log 12f x x ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭，所以函数()f x 在(2,2)-上为增函数， 证明：设1222x x -<<<，则120224x x <+<+<，则1244122x x >>++，则124411022x x -+>-+>++， 因为1012<<，所以12()()f x f x <，所以函数()f x 在(2,2)-上为增函数， 【点睛】思路点睛：判断函数的奇偶性的思路：①求出定义域，并判断其是否关于原点对称；②若定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，再判断()f x -与()f x 的关系，若()()f x f x -=-，则函数为奇函数；若()()f x f x -=，则函数为偶函数.24．（1）10 （2）0【分析】（1）利用指数幂的运算性质求解即可；（2）利用对数的运算性质求解即可.【详解】解:（1）1100.753270.064()160.258---++ ()11333244211254-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 51182210=（2）53log 425log lg lg 452++- 34223log 2log 2lg 5lg 22lg 24=-+-+-()331lg5lg 244=-++- 331144=-+- 0=【点睛】本题考查指数幂的运算,考查对数的运算.25．（1）{}31A B x x ⋂=-<≤；（2）[][)1,24,m ∈-+∞ 【分析】（1）计算{}35A x x =-<≤，{}51B x x =-<≤，再计算交集得到答案.（2）A B A ⋃=，故B A ⊆，讨论B =∅和B ≠∅，计算得到答案.【详解】（1）(){}{}2log 3335A x x x x =+≤=-<≤，{}51B x x =-<≤， 故{}31A B x x ⋂=-<≤.（2）{}35A x x =-<≤，A B A ⋃=，故B A ⊆， 当B =∅时，213m m -≥+，解得4m ≥；当B ≠∅时，4m <，故21335m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得12m -≤≤.综上所述：[][)1,24,m ∈-+∞.【点睛】 本题考查交集运算，根据集合的包含关系求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.26．（1）12-；（2）1-． 【分析】（1）根据()()()4log 41x f x kx k R =++∈的图象关于y 轴对称．得到()()f x f x -=，再利用待定系数法法求解.（2）由（1）知()42=+⋅x x g x m ，[]20log 3x ∈，，令2x t =，[]13t ∈，得到2=+⋅y t m t ，然后利用二次函数的图象和性质求解.【详解】（1）()()()4log 41x f x kx k R =++∈的图象关于y 轴对称． ∴函数()f x 是偶函数．()()f x f x ∴-=，即()()44log 41log 41x x kx kx -+-=++， 即()()()44log 411log 41x x k x kx +-+=++， 即210k +=，12k ∴=-； （2）()1242142（）+=+⋅-=+⋅f x x x x x g x m m ，[]20log 3x ∈，，设2x t =，则[]13t ∈，， 2∴=+⋅y t m t 在[]13t ∈，上最小值为0， 又22()24m m y t =+-，[]13t ∈，， 当12m -≤ 即2m ≥-时，1t =时10min y m =+=，1m ∴=-，符合，当132m -<-< 即62m -<<-时，2m t =-时，204min m y =-=， 0m ∴= 不符合， 当32m -≥ 即6m ≤-时，3t =时，930min y m =+=， 3m ∴=-，不符合，综上所述m 的值为1-．【点睛】本题主要考查偶函数的应用，对数运算以及二次函数的图象和性质的应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.。

一、选择题1．函数12xy⎛⎫= ⎪⎝⎭的大致图象是（）.A．B．C．D．2．设()|lg|f x x=，且0a b c<<<时，有()()()f a f c f b>>，则（）A．(1)(1)0a c-->B．1ac>C．1ac=D．01ac<< 3．集合{}1002,xx x x R=∈的真子集的个数为（）A．2B．4C．6D．74．已知函数||()2xf x=，记131(())4a f=，37(log)2b f=，13(log5)c f=，则a，b，c的大小关系为（）A．c b a>>B．b a c>>C．a b c>>D．c a b>>5．已知1311531log,log,363a b cπ-===，则,,a b c的大小关系是（）A．b a c<<B．a c b<<C．c b a<<D．b c a<< 6．已知函数()()2lnf x ax bx c=++的部分图象如图所示，则a b c-+的值是（）A．1-B．1 C．5-D．57．已知函数()lg2x xe ef x--=，则f(x)是（）A．非奇非偶函数，且在(0，+∞)上单调递增B．奇函数，且在R上单调递增C ．非奇非偶函数，且在(0，+∞)上单调递减D ．偶函数，且在R 上单调递减8．函数()log (2)a f x ax =-（0a >且1a ≠）在[]0,3上为增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(0,1)C ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．[)3,+∞ 9．若函数112xy m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是（ ）A ．1m ≤-B ．10m -≤<C ．m 1≥D ．01m <≤10．已知奇函数()f x 与偶函数()g x 满足()()2x x f x g x a a -+=-+，且()g b a =，则()2f 的值为（ ）A ．2aB ．2C ．154D ．17411．已知0.22a =，0.20.4b =，0.60.4c =，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>12．函数()log (3)a f x ax =-在[]13，上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．()1+∞， B ．()01，C ．103⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．()3+∞， 二、填空题13．函数()log 31a y x =+-.（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上（其中m ，0n >），则12m n+的最小值等于__________. 14．已知()f x 是定义在[0,)+∞的函数，满足(1)()f x f x +=-，当[0,1)x ∈时，()3x f x =，则3(log 30)f =________.15．已知函数()()212log 23f x x ax =-+，若函数的增区间是(),1-∞，则实数a =______. 16．已知函数2223,1,()log (6),1x mx x f x x m x ⎧---≤=⎨+>⎩在(,)-∞+∞上是单调函数，则m 的取值范围是__.17．设25a b m ==,且112a b+=,则m =______.18．函数()()12log 13y x x =-+的递增区间为______．19．若函数1log 12a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦有最小值-2，则实数a =_______.20．已知函数()()log 21101a y x a a =-+>≠,的图象过定点A ，若点A 也在函数()2x f x b =+的图象上，则()2log 3f =________. 三、解答题21．已知函数()ln(32)f x x =+，()ln(32)g x x =-.设函数()()()F x f x g x =-. （1）求函数()F x 的定义域； （2）判断()F x 奇偶性并证明； （3）若()0F x >成立，求x 的取值范围. 22．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--. （1）判断并证明函数()f x 的奇偶性； （2）用定义法证明()f x 在定义域上是增函数； （3）求不等式()()2520f x f x -+-<的解集.23．已知12324xA x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，121log ,264B y y x x ⎧⎫==≤≤⎨⎬⎩⎭． （1）求AB ；（2）若{}11C x m x m =-≤≤+，若C A ⊆，求m 的取值范围．24．（1）求满足不等式221139x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭的x 的取值集合；（2）求函数235()log (45)f x x x =--的单调递减区间. 25．已知函数()lg(3)f x ax =-的图像经过定点(2,0)． (1)求a 的值；(2)设(3),(5)f m f n ==，求21log 63（用,m n 表示）； 26．函数()2lg 34y x x=-+的定义域为M ，x M ∈，求()2234x x f x +=-⨯的最值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】去绝对值符号后根据指数函数的图象与性质判断． 【详解】由函数解析式可得：1,022,0xx x y x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪<⎩可得值域为：01y <≤， 由指数函数的性质知：在(),0-∞上单调递增；在()0,∞+上单调递减. 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.2．D解析：D 【分析】作出()f x 的图象，利用数形结合即可得到结论． 【详解】∵函数()|lg |f x x =，作出()f x 的图象如图所示，∵0a b c <<<时，有()()()f a f c f b >>，∴0＜a ＜1，c ＞1，即f （a ）＝|lga |＝﹣lga ，f （c ）＝|lgc |＝lgc ，∵f （a ）＞f （c ）， ∴﹣lga ＞lgc ，则lga +lgc ＝lgac ＜0，则01ac <<. 故选：D ．【点睛】关键点点睛：利用对数函数的图象和性质，根据条件确定a ，c 的取值范围.3．D解析：D 【分析】分析指数函数2xy =与幂函数100y x=的图像增长趋势，当0x <时，有1个交点；当0x >时，有2个交点；即集合{}1002,x x x x R =∈有3个元素，所以真子集个数为3217-=【详解】分析指数函数2xy =与幂函数100y x =的图像增长趋势， 当0x <时，显然有一个交点；当0x >时，当1x =时，110021>；当2x =时，210022<；故()1,2x ∈时，有一个交点；分析数据发现，当x 较小时，100y x =比2x y =增长的快；当x 较大时，2x y =比100y x =增长的快，即2x y =是爆炸式增长，所以还有一个交点.即2xy =与100y x =的图像有三个交点，即集合{}1002,x x xx R =∈有3个元素，所以真子集个数为3217-= 故选：D. 【点睛】结论点睛：本题考查集合的子集个数，集合A 中含有n 个元素，则集合A 的子集有2n 个，真子集有()21n-个，非空真子集有()22n-个.4．A解析：A 【分析】首先判断函数()f x 的性质，再比较133317,log ,log 542⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系，从而利用单调性比较a ，b ，c 的大小关系. 【详解】()2xf x =是偶函数，并且当0x >时，2x y =是增函数，()133log 5log 5c f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为1310()14<<，3371log log 52<<，即1333170log log 542⎛⎫<<< ⎪⎝⎭ 又因为()y f x =在()0,∞+是增函数，所以a b c <<. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数的单调性和奇偶性比较函数值的大小，本题的关键是判断函数()2xf x =的性质，后面的问题迎刃而解.5．D解析：D 【分析】根据指数函数和对数函数性质，借助0和1进行比较． 【详解】由对数函数性质知151log 16>，13log 03π<，由指数函数性质知13031-<<，∴b c a <<． 故选：D ． 【点睛】方法点睛：本题考查指数式、对数式的大小比较，比较指数式大小时，常常化为同底数的幂，利用指数函数性质比较，或化为同指数的幂，利用幂函数性质比较，比较对数式大小，常常化为同底数的对数，利用对数函数性质比较，如果不能化为同底数或同指数，或不同类型的数常常借助中间值如0或1比较大小．6．D解析：D 【分析】由图中函数的单调性可得方程20ax bx c ++=的两根为2和4，利用根与系数的关系结合(1)0f =列式求得,,a b c 的值，则答案可求.【详解】解：由图可知，函数()f x 的减区间为(,2)-∞，增区间为(4,)+∞， ∴内层函数2t ax bx c =++的减区间为(,2)-∞，增区间为(4,)+∞， ∴方程20ax bx c ++=的两根为2和4， 又(1)0f =，68ln()0ba ca abc ⎧-=⎪⎪⎪∴=⎨⎪++=⎪⎪⎩，解得13283a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎩.182533a b c ∴-+=++=.故选：D. 【点睛】本题考查函数的图象与图象变换，考查复合函数的单调性，考查数学转化思想方法，是中档题.7．A解析：A 【分析】本题考查函数的奇偶性和和单调性的概念及简单复合函数单调性的判定. 【详解】要使函数有意义，需使0,2x x e e -->即21,1,x xx e e e >∴>解得0;x >所以函数()f x 的为(0,);+∞定义域不关于原点对称，所以函数()f x 是非奇非偶函数；因为1,xxx y e y ee-==-=-是增函数，所以2x xe e y --=是增函数，又lg y x =是增函数，所以函数()lg 2x xe ef x --=在定义域(0,)+∞上单调递增.故选：A 【点睛】本题考查对数型复合函数的奇偶性和单调性，属于中档题.8．C解析：C 【分析】根据对数函数性质与复合函数的单调性求解． 【详解】因为0a >且1a ≠，令2t ax =-，所以函数2t ax =-在[]0,3上为减函数， 所以函数log a y t =应是减函数，()f x 才可能是增函数， ∴01a <<，因为函数()f x 在[]0,3上为增函数， 由对数函数性质知230a ->，即23<a ， 综上023a <<． 故选：C ． 【点睛】本题考查复合函数的单调性，掌握对数函数性质是解题关键，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题．9．B解析：B 【分析】11()+2x y m -=与x 有公共点，转化为11()2xy -=与y m =-有公共点，结合函数图象，可得结果. 【详解】11()+2x y m -=与x 有公共点，即11()2x y -=与y m =-有公共点，11()2xy -=图象如图可知0110m m <-≤⇒-≤< 故选：B 【点睛】本题考查了函数的交点问题，考查了运算求解能力和数形结合思想，属于基础题目.10．C解析：C 【分析】根据奇函数()f x 与偶函数()g x ，由()()2x xf xg x a a -+=-+得到()()2﹣﹣﹣=+xx g x f x a a ，两式相加、相减并结合()g b a =求得()f x 即可.【详解】∵奇函数()f x 与偶函数()g x ，()()()(),-∴=-=f x f x g x g x .又()()2﹣+=+-x x f x g x a a ，①()()2﹣---∴+=+x x f x g x a a ，()()2﹣∴=--+x x g x f x a a .② +①②，得()24g x =，()2g x ∴=. (),2g b a a =∴=. ()22﹣-∴=x x f x . 22115(2)22444f -∴=-=-=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11．A解析：A 【解析】分析：0.20.4b =， 0.60.4c =的底数相同，故可用函数()0.4xf x =在R 上为减函数，可得0.60.200.40.40.41<<=．用指数函数的性质可得0.20221a =>=，进而可得0.20.20.620.40.4>>．详解：因为函数()0.4xf x =在R 上为减函数，且0.2<0.4 所以0.60.200.40.40.41<<= 因为0.20221a =>=． 所以0.20.20.620.40.4>>． 故选A ．点睛：本题考查指数大小的比较，意在考查学生的转化能力．比较指数式的大小，同底数的可利用指数函数的单调性判断大小，底数不同的找中间量1，比较和1的大小．12．D解析：D 【分析】由题意可得可得1a >，且30a ->，由此求得a 的范围． 【详解】 解：函数()log (3)a f x ax =-在[]13，上单调递增，而函数()3t x ax =-在[]13，上单调递增，根据复合函数的单调性可得1a >，且30a ->，解得3a >，即()3a ∈+∞，故选：D ． 【点睛】本题主要考查对数函数的定义域、单调性，复合函数的单调性，属于基础题．二、填空题13．8【分析】根据函数平移法则求出点得再结合基本不等式即可求解【详解】由题可知恒过定点又点在直线上故当且仅当时取到等号故的最小值等于8故答案为：8【点睛】本题考查函数平移法则的使用基本不等式中1的妙用属解析：8 【分析】根据函数平移法则求出点A ()2,1--，得21m n +=，再结合基本不等式即可求解 【详解】由题可知，()log 31a y x =+-恒过定点()2,1--，又点A 在直线 10mx ny ++=上，故21m n +=，()121242448n mm n m n m n m n⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当122n m ==时取到等号，故12m n+的最小值等于8故答案为：8 【点睛】本题考查函数平移法则的使用，基本不等式中“1”的妙用，属于中档题14．【分析】利用对数的运算性质得出结合周期性即可得出的值【详解】且则则函数的周期为2故答案为：【点睛】本题主要考查了由抽象函数的周期求函数值涉及了对数的运算属于中档题 解析：109-【分析】利用对数的运算性质得出3310log 303log 9=+，结合周期性，即可得出3(log 30)f 的值. 【详解】33333101010log 30log 27log 27log 3log 999⎛⎫=⨯=+=+ ⎪⎝⎭，且333100log log log 9131=<<= (1)()f x f x +=-，(11)(1)()f x f x f x ∴++=-+=，则(2)()f x f x +=，则函数()f x 的周期为2310log 3333310101010(log 30)21log 1log log 39999f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++=+=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故答案为：109- 【点睛】本题主要考查了由抽象函数的周期求函数值，涉及了对数的运算，属于中档题.15．1或2【分析】因为函数在上单调递减要使的单调增区间为分两种情况讨论对称轴和对称轴分别计算可得；【详解】解：因为函数在上单调递减要使的单调增区间为①当函数对称轴为时因为所以恒成立满足条件②当函数对称轴解析：1或2 【分析】因为函数12log y x =在()0,∞+上单调递减，要使()()212log 23f x x ax =-+的单调增区间为(),1-∞，分两种情况讨论，对称轴1x =和对称轴1x a =>，分别计算可得； 【详解】解：因为函数12log y x =在()0,∞+上单调递减，要使()()212log 23f x x ax =-+的单调增区间为(),1-∞，①当函数()223g x x x a =-+对称轴为1x a ==时，因为()22430∆=--⨯<，所以2230x ax -+>恒成立，满足条件，②当函数()223g x x x a =-+对称轴1x a =>时，需满足()10g =，即21230a -+=解得2a =；综上可得1a =或2 故答案为：1或2 【点睛】本题考查复合函数的单调性判断，已知函数的单调性求参数的取值范围，属于中档题.16．【分析】根据对数部分函数为单调递增所以整个函数为递增函数两段函数各自递增且左段的右端点小于等于右段的左端点即可求得的取值范围【详解】函数在上是单调函数因为当时为增函数所以整个函数在上是单调递增函数因 解析：[5,4]--【分析】根据对数部分函数为单调递增,所以整个函数为递增函数.两段函数各自递增,且左段的右端点小于等于右段的左端点,即可求得m 的取值范围. 【详解】函数2223,1,()log (6),1x mx x f x x m x ⎧---≤=⎨+>⎩在(,)-∞+∞上是单调函数因为当1x >时, 2()log (6)f x x m =+为增函数,所以整个函数在(,)-∞+∞上是单调递增函数因而满足60x m +>对1x >恒成立,则6m ≥-. 当1x ≤时,2()23f x x mx =---为增函数,则14m -≥ 即2614(1)log (6)m mf m ≥-⎧⎪⎪-≥⎨⎪≤+⎪⎩,即2645log (6)0m m m m ≥-⎧⎪≤-⎨⎪+++≥⎩因为2()5log (6)g x x x =+++在(6,)-+∞为增函数,且(5)0g -=, 所以5m ≥-.综上可知54m -≤≤-,即[5,4]m ∈-- 故答案为:[5,4]-- 【点睛】本题考查了分段函数的单调性判断,根据函数单调性求参数的取值范围,属于中档题.17．【分析】变换得到代入化简得到得到答案【详解】则故故答案为：【点睛】本题考查了指数对数变换换底公式意在考查学生的计算能力【分析】变换得到2log a m =，5log b m =，代入化简得到11log 102m a b+==，得到答案. 【详解】25a b m ==，则2log a m =，5log b m =，故11log 2log 5log 102,m m m m a b+=+==∴=【点睛】本题考查了指数对数变换，换底公式，意在考查学生的计算能力.18．【分析】首先求出函数的定义域再根据复合函数的单调性计算可得【详解】解：则解得即函数的定义域为令则因为在上单调递增在上单调递减；在定义域上单调递减根据复合函数的单调性同增异减可知函数在上单调递增故答案 解析：()1,1-【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得. 【详解】 解：()()12log 13y x x =-+则()()130x x -+>解得31x -<<即函数的定义域为()3,1- 令()()()()21314t x x x x =-+=-++，()3,1x ∈-，则12logy t =因为()t x 在()3,1--上单调递增，在()1,1-上单调递减；12log y t =在定义域上单调递减根据复合函数的单调性“同增异减”可知函数()()12log 13y x x =-+在()1,1-上单调递增故答案为：()1,1- 【点睛】本题考查复合函数的单调区间的计算，属于基础题.19．或2【分析】根据复合函数的单调性及对数的性质即可求出的值【详解】当时在为增函数求得即;当时在为减函数求得即故答案为:或【点睛】本题考查复合函数单调性对数方程的解法难度一般解析：12或2 【分析】根据复合函数的单调性及对数的性质即可求出a 的值. 【详解】当1a >时, 1log 12a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为增函数,min 33log 1-224a y f ⎛⎫⎛⎫=-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求得-214a =,即=2a ; 当01a <<时, 1log 12a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为减函数,()()min 6log 31-2a y f ==+=,求得-24a =,即1=2a . 故答案为:12或2. 【点睛】本题考查复合函数单调性,对数方程的解法,难度一般.20．2【分析】先利用函数的解析式得出其图象必过哪一个定点再将该定点的坐标代入函数中求出最后即可求出相应的函数值得到结果【详解】因为函数的图象恒过定点将代入得所以所以则故答案为：【点睛】该题考查的是有关函解析：2 【分析】先利用函数log (21)1(0,1)a y x a a =-+>≠的解析式得出其图象必过哪一个定点，再将该定点的坐标代入函数()2xf x b =+中求出b ，最后即可求出相应的函数值2(log 3)f ，得到结果. 【详解】因为函数log (21)1(0,1)a y x a a =-+>≠的图象恒过定点(1,1)， 将1,1x y ==代入()2xf x b =+，得121b +=，所以1b =-，所以()21xf x =-， 则2log 32(log 3)21312f =-=-=，故答案为：2. 【点睛】该题考查的是有关函数值的求解问题，涉及到的知识点有对数型函数图象过定点问题，点在函数图象上的条件，已知函数解析式求函数值，属于简单题目.三、解答题21．（1）33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）奇函数，证明见解析；（3）302x <<【分析】（1）由320320x x +>⎧⎨->⎩可解得结果；（2）()F x 是奇函数，根据奇函数的定义可证结论正确； （3）根据对数函数的单调性可解得结果.【详解】 （1）由320320x x +>⎧⎨->⎩，解得3322x -<<，所以函数()F x 的定义域为33(,)22-.（2）()F x 是奇函数. 证明如下：x ∀∈33(,)22-，都有x -∈33(,)22-，因为 ()ln(32)ln(32)()F x x x F x -=--+=-， ∴()F x 是奇函数.（3）由()0F x >可得()()0f x g x ->，得ln(32)ln(32)0x x +-->， 即ln(32)ln(32)x x +>-，由对数函数的单调性得32320x x ，解得302x <<.【点睛】易错点点睛：利用对数函数的单调性解对数不等式时，容易忽视函数的定义域. 22．（1）奇函数，证明见解析；（2）证明见解析；（3）}{23x x <<. 【分析】（1）求出函数定义域，求出()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-即可得到奇偶性； （2）任取1211x x -<<<， 则()()12f x f x -122111ln 11x x x x ⎛⎫+-=⋅⎪+-⎝⎭，得出与0的大小关系即可证明； （3）根据奇偶性解()()()2522f x f x f x -<--=-，结合单调性和定义域列不等式组即可得解. 【详解】（1）由对数函数的定义得1010x x ->⎧⎨+>⎩，得11x x <⎧⎨>-⎩，即11x -<<所以函数()f x 的定义域为()1,1-.因为()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-， 所以()f x 是定义上的奇函数. （2）设1211x x -<<<，则()()()()()()121122ln 1ln 1ln 1ln 1f x f x x x x x -=+---++-122111ln 11x x x x ⎛⎫+-=⋅ ⎪+-⎝⎭因为1211x x -<<<，所以12011x x <+<+，21011x x <-<-， 于是12211101,0111x x x x +-<<<<+-.则1221110111x x x x +-<⋅<+-，所以122111ln 011x x x x ⎛⎫+-⋅< ⎪+-⎝⎭ 所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，即函数()f x 是()1,1-上的增函数. （3）因为()f x 在()1,1-上是增函数且为奇函数.所以不等式()()2520f x f x -+-<可转化为()()()2522f x f x f x -<--=-所以1251121252x x x x -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩，解得23x <<.所以不等式的解集为}{23x x <<.【点睛】此题考查判断函数的奇偶性和单调性，利用单调性解不等式，关键在于熟练掌握奇偶性和单调性的判断方法，解不等式需要注意考虑定义域. 23．（1）[1,5]A B ⋂=-；（2）(],3-∞. 【分析】（1）根据指数运算解不等式求出集合A ，利用对数的运算求出集合B ，由此能求出A B ；（2）由{}11C x m x m =-≤≤+和C A ⊆，对C 是否为空集分类讨论，列出不等式组，由此能求出m 的取值范围． 【详解】 解：（1）1{|232}{|25}4xA x x x ==-， 12{|log B y y x==，12}{|16}64x x x =-， [1,5]A B ∴=-.（2）{}11C x m x m =-≤≤+且C A ⊆，若,11,0C m m m =∅->+<若C ≠∅，则111512m m m m -≤+⎧⎪+⎨⎪--⎩，解得03m ≤≤，m ∴的取值范围是(],3-∞.【点睛】本题考查交集的运算以及根据集合间的包含关系求参数的取值范围，还涉及指对数的运算，属于基础题． 24．（1）32x x ⎧⎨⎩或}1x <- （2）(5,)+∞ 【分析】（1）先使得()22222139x x ---⎛⎫= ⎪⎝⎭,再由3x y =的单调性求解即可；（2）先求定义域,再根据复合函数单调性的“同增异减”原则求解即可. 【详解】解:（1）因为221139x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭,且()22222139x x ---⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以()222133x x --->,因为3x y =在R 上单调递增,所以()2221xx -->-,解得32x >或1x <-, 则满足不等式221139x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭的x 的取值集合为32x x⎧⎨⎩或}1x <- （2）由题,2450x x -->,解得5x >或1x <-,则定义域为()(),15,-∞-+∞,设245u x x =--,35log y u =,因为35log y u =单调递减,若求()f x 的递减区间,则求245u x x =--的递增区间,因为245u x x =--的对称轴为2x =,所以在()5,+∞上单调递增, 所以函数()f x 的单调减区间为()5,+∞ 【点睛】本题考查解指数不等式,考查复合函数的单调区间. 25．（1）2a =；（2）2m nm n++ 【分析】（1）根据对数运算求a 的值；（2）利用换底公式化简求值. 【详解】(1)由已知得231a -=得：2a =(2)由(1)得()()lg 23f x x =-，则()()3lg3,5lg7f m f n ====， ∴21lg632lg3lg72log 63lg21lg3lg7m nm n++===++ 【点睛】本题考查对数换底公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 26．最大值为43，无最小值. 【分析】首先根据对数真数大于0，解不等式2340x x -+>求出定义域M ，然后利用换元法，即可求出函数()f x 的最值． 【详解】由2340x x -+>，解得1x <或3x >，所以(,1)(3,)M =-∞+∞，22()234423(2)x x x x f x +=-⨯=⨯-⨯，令2x t =，由x M ∈得02t <<或8t >，则原函数可化为2224()433()33g t t t t =-=--+，其对称轴为23t =，所以当02t <<时，4()(4,]3g t ∈-；当8t >时，()(,160)g t ∈-∞-． 所以当23t =，即223log x =时，()g t 取得最大值43，即函数()f x 取得最大值43，函数()g t 无最小值，故函数()f x 无最小值． 【点睛】本题主要考查函数定义域的求法及换元法求函数最值．。

一、选择题1．若函数()()23log 5f x x ax a =+++，()f x 在区间(),1-∞上是递减函数，则实数a的取值范围为（ ） A ．[]3,2--B ．[)3,2--C ．(],2-∞-D ．(),2-∞-2．若实数a ，b ，c 满足232log log ab c k ===，其中()1,2k ∈，则下列结论正确的是（ ） A ．b c a b > B ．log log a b b c >C ．log b a c >D ．b a c b >3．已知()()514,1log ,1a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）. A ．()0,1B ．10,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,95⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,19⎡⎫⎪⎢⎣⎭4．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，页常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数()22xy xx R =-∈的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知函数3131()(),()log ,()(0)2x f x x g x x x h x x x x =-=-=->的零点分别为,,a b c ，则,,a b c 的大小顺序为（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．b a c >>6．已知函数()f x 满足()()11f x f x -=+，当(],1-∞时，函数()f x 单调递减，设()41331=log ,log 3,92a f b f c f log ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<7．已知235log log log 0x y z ==<，则2x 、3y 、5z的大小排序为 A ．235x y z <<B ．325y x z <<C ．523z x y <<D ．532z y x<<8．在数学史上，一般认为对数的发明者是苏格兰数学家——纳皮尔（Napier ，1550-1617年）．在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科．可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间．纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数．在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法．让我们来看看下面这个例子：这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂．如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现． 比如，计算64×256的值，就可以先查第一行的对应数字:64对应6，256对应8，然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有：64×256＝16384,按照这样的方法计算：16384×32768=（ ） A ．134217728B ．268435356C ．536870912D ．5137658029．已知函数()sin 2f x x x =-，且()0.3231ln ,log ,223a f b f c f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则以下结论正确的是 A ．c a b >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b a c >>10．设()21,xf x c b a =-，且()()()f a f c f b >>，则下列说法正确的是（ ） A ．0,0,0a b c <<< B ．0,0,0a b c ≥ C ．22a c -<D ．222c a +<11．计算log 916·log 881的值为（ ）A ．18B ．118C ．83D ．3812．对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数()21y a x x =--在同一坐标系内的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知函数()1122,121,1x x x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，则关于x 的不等式()()10f x f x -+≤的解集为___________________．14．已知(5)3,1()log ,1a a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的增函数，则a 的取值范围为_________15．测量地震级别的里氏震级M 的计算公式为:0lg lg M A A =-，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，常数A 0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，而此次地震的里氏震级恰好为6级，那么里氏9级地震的最大的振幅是里氏5级地震最大振幅的______倍.16．已知21()1,()log 2xf xg x x m ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，若()()1212[1,3],[1,3],x x f x g x ∀∈∃∈≥，则实数m 的取值范围是_______.17．已知43==m n k ，且20+=≠m n mn ，则k =______.18．如图，在面积为2的平行四边形OABC 中，AC CO ⊥，AC 与BO 交于点E .若指数函数()01xy aa a =>≠,经过点E ，B ，则函数()af x x x=-在区间[]1,2上的最小值为________.19．设实数x 满足01x <<，且2log 4log 1x x -=，则x =______.20．设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()2f x ≤的x 的取值范围是_______________.三、解答题21．已知函数()21log 1xf x x-=+. （1）求函数()f x 的定义域； （2）讨论函数()f x 的奇偶性；（3）证明：函数()f x 在定义域上单调递减. 22．求下列各式的值.（1）74log 2327log lg 25lg 47++. （2）()146230.25341622322428201249-⎛⎫⨯+-⨯+- ⎪⎝⎭.23．已知函数()22x x f x k -=+. （1）若()f x 为偶函数，求实数k 的值；（2）若()4f x 在2[log x m ∈，2log (2)](m m +为大于0的常数)上恒成立，求实数k 的最小值.24．分别计算下列数值：（1）1lg3lg93452lg81lg 27+--； （2）已知()1401x xx -+=<<，求221122x x x x---+.25．（1）求值:)()141231()105220538500---+⨯-（2）已知14,x x -+=3322x x -+.26．已知函数1()log a f x a x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 其中实数0a >且1a ≠.（1）当3a =时，求不等式()0f x >的解集；（2）若()f x 在区间[1,3]上单调递增，求a 的取值范围；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】判断复合函数的单调性，首先要分清楚内外层函数，根据复合函数“同增异减”原则，同时内层函数的值域要满足外层函数的定义域要求即可. 【详解】由题意知，()f x 在区间(),1-∞上是递减函数， 由()()23log 5f x x ax a =+++可知，此复合函数外层函数为：()3log f x x =，在定义域上为增函数， 内层函数为()25h x x ax a =+++，要使()f x 在区间(),1-∞上是递减函数， 根据复合函数“同增异减”原则，内层函数为()h x 在区间(),1-∞上必须是递减函数， 同时须保证最大值()10h ≥，所以()1210a h ⎧-≥⎪⎨⎪≥⎩，解得32a --≤≤. 故选：A. 【点睛】易错点睛：判断复合函数的单调性，根据复合函数“同增异减”原则，同时内层函数的值域要满足外层函数的定义域要求.2．D解析：D 【分析】首先确定a ，b ，c 的取值范围，再根据指对互化得到2k b =，3k c =，再代入选项，比较大小. 【详解】由题意可知a ∈(0，1)，b ∈(2，4)，c ∈(3，9)，且23k k b c ==，，对于A 选项，01b a <<，1c b >可得到b c a b <，故选项A 错误；对于B 选项，log log 2log 20k a a a b k ==<，log log 3log 30k b b b c k ==>，所以log log a b b c <，故B 选项错误；对于C 选项，22log log 3log 31k kb c a ==>>，故C 选项错误；对于D 选项，1a b b b <=，1b c c c >=，而c >b ，所以b a c b >，故D 选项正确. 故选：D . 【点睛】关键点点睛：本题考查指对数比较大小，本题的关键是首先确定,,a b c 的大小，并结合指对数运算化简选项中的对数式，再和中间值0或1比较大小，本题属于中档题型.3．C解析：C 【分析】由51001514log 1a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩解得结果即可得解. 【详解】因为()()514,1log ,1a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的减函数，所以51001514log 1a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩，解得1195a ≤<.故选：C 【点睛】易错点点睛：容易忽视两段交界点处函数值的大小关系.4．A解析：A 【分析】分析函数()()22xf x xx R =-∈的奇偶性，结合()01f =可得出合适的选项.【详解】令()22=-xf x x ，该函数的定义域为R ，()()()2222xxf x x x f x --=--=-=，函数()22=-xf x x 为偶函数，排除B 、D 选项；又()010f =>，排除C 选项. 故选：A. 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）从函数的特征点，排除不合要求的图象.5．B解析：B 【分析】将函数3131()(),()log ,()(0)2x f x x g x x x h x x x x =-=-=->的零点，转化为函数y x=的图象分别与函数3131(),log ,(0)2xy y x y x x ===>的图象交点的横坐标，利用数形结合法求解. 【详解】函数3131()(),()log ,()(0)2xf x xg x x xh x x x x =-=-=->的零点， 即为函数y x =的图象分别与函数3131(),log ,(0)2x y y x y x x ===>的图象交点的横坐标， 如图所示：由图象可得：c a b >>， 故选：B 【点睛】本题主要考查函数的零点以及指数函数，对数函数和幂函数的图象的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.6．B解析：B 【分析】由()()11f x f x -=+可得函数()f x 关于直线1x =对称，根据对数的运算法则，结合函数的对称性，变形41log 2、13log 3、39log 到区间[)1,+∞内，由函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，即可得结果. 【详解】根据题意，函数()f x 满足()()11f x f x -=+， 则函数()f x 关于直线1x =对称，又由当(],1-∞时，函数()f x 单调递减，则函数在[)1,+∞上单调递增， 又由()44115log log 2222a f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()13log 313b f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，()()3log 92c f f ==，则有c a b <<，故选B.【点睛】在比较()1f x ，()2f x ，，()n f x 的大小时，首先应该根据函数()f x 的奇偶性（对称性）与周期性将()1f x ，()2f x ，，()n f x 通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．7．A解析：A 【解析】x y z ，， 为正实数，且235log log log 0x y z ==<，111235235k k k x y z ---∴===，，，可得：1112352131,51k k k x y z---=>=>=>，． 即10k -> 因为函数1kf x x -=（） 单调递增，∴235x y z<<.故选A.8．C解析：C 【分析】先找到16384与32768在第一行中的对应数字，进行相加运算，再找和对应第二行中的数字即可. 【详解】由已知可知，要计算16384×32768，先查第一行的对应数字: 16384对应14，32768对应15，然后再把第一行中的对应数字加起来：14＋15＝29，对应第二行中的536870912， 所以有：16384×32768＝536870912, 故选C. 【点睛】本题考查了指数运算的另外一种算法，关键是认真审题，理解题意，属于简单题.9．D解析：D 【解析】因为()cos 20f x x '=-<，所以函数()sin 2f x x x =-的单调递减函数，又因为0.3213log 0,ln ln 1,12232e <<=<<，即0.3213log ln 232<<，所以由函数的单调性可得：0.3213(log )(ln )(2)32f f f >>，应选答案D ．10．D解析：D 【详解】分析：先画出函数()21xf x =-的图像，根据c b a >>且()()()f a f c f b >>得到a ＜0，b ＞0，c ＞0,再找正确的选项. 详解：作出函数()21xf x =-的图像，因为c b a >>且()()()f a f c f b >>， 所以a ＜0， c ＞0,因为()()f a f c >，所以2121,1221,222acacac->-∴->-∴+<.故答案为D.点睛：（1）本题主要考查图像的作法，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想方法.(2)解答本题的关键是通过图像分析出a ＜0，b ＞0，c ＞0.11．C解析：C 【分析】根据对数的运算性质，换底公式以及其推论即可求出． 【详解】原式＝23443232448log 2log 3log 2log 3233⋅=⋅=． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查对数的运算性质，换底公式以及其推论的应用，属于基础题．12．A解析：A 【分析】由对数函数，对a 分类，01a <<和1a >，在对数函数图象确定的情况下，研究二次函数的图象是否相符．方法是排除法． 【详解】由题意，若01a <<，则log a y x =在()0+∞，上单调递减， 又由函数()21y a x x =--开口向下，其图象的对称轴()121x a =-在y 轴左侧，排除C ，D.若1a >，则log a y x =在()0+∞，上是增函数， 函数()21y a x x =--图象开口向上，且对称轴()121x a =-在y 轴右侧，因此B 项不正确，只有选项A 满足. 故选：A ． 【点睛】本题考查由解析式先把函数图象，解题方法是排除法，可按照其中一个函数的图象分类确定另一个函数图象，排除错误选项即可得．二、填空题13．【分析】对自变量分情况讨论即然后对各种情况分别解不等式最后取并集；【详解】当时所以由此时不等式恒成立；当时则由则此时不等式恒成立；当时符合题意；当时解得∴综上可得不等式的解集为故答案为：【点睛】关键解析：7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】对自变量分情况讨论，即1x ≤，12x <≤，23x <<，3x ≥，然后对各种情况分别解不等式，最后取并集；【详解】当1x ≤时，10x -≤，121x -≤，121x -≥，所以()11220x x f x --=-≤由2122x -≤，222x -≥，()221220x xf x ---=-<， 此时不等式()()10f x f x +-≤恒成立；当12x <≤时，()212110f x x x x =--=--=-<，011x <-≤，则()22122x xf x ---=-，由221x -≤，221x -≥，则()10f x -≤此时不等式()()10f x f x +-≤恒成立；当23x <<时，()()12131f x f x x x +-=--+--213110x x =--+--=-<， 符合题意；当3x ≥时，()()12131270f x f x x x x +-=--+--=-≤，解得72x ≤， ∴732x ≤<． 综上可得，不等式()()10f x f x +-<的解集为7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．故答案为：7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】关键点睛：本题考查分别函数解不等式的问题，涉及分类讨论思想的应用，解答本题的关键是对自变量x 的范围进行分类，即1x ≤，12x <≤，23x <<，3x ≥，从而得出()f x 和()1f x -的表达式，从而求解不等式，属于中档题.14．【分析】根据在上单调递增列出不等式组求解即可【详解】解：在上单调递增即解得：即故答案为：【点睛】易错点点睛：在解决分段函数的单调性问题时要注意上下段端点值的问题解析：5,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据()f x 在R 上单调递增，列出不等式组，求解即可. 【详解】 解：(5)3,1()log ,1aa x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩在R 上单调递增，即50153log 1a a a a a ->⎧⎪>⎨⎪--≤⎩， 解得：554a ≤<， 即5,54a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 故答案为：5,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】易错点点睛：在解决分段函数的单调性问题时，要注意上下段端点值的问题.15．10000【分析】根据条件先计算出的值然后分别计算出里氏9级地震的最大的振幅和里氏5级地震最大振幅由此可求解出最终结果【详解】由条件可知：所以设里氏9级地震的最大的振幅为里氏5级地震最大振幅为所以所解析：10000 【分析】根据条件先计算出0A 的值，然后分别计算出里氏9级地震的最大的振幅和里氏5级地震最大振幅，由此可求解出最终结果. 【详解】由条件可知：06lg1000lg A =-，所以3010A -=，设里氏9级地震的最大的振幅为1A ，里氏5级地震最大振幅为2A ，所以31329lg lg105lg lg10A A --⎧=-⎨=-⎩，所以621210,10A A ==，所以1210000A A =， 故答案为：10000. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于理解公式0lg lg M A A =-中各个量的含义并先求解出0A 的值，由此继续分析.16．【分析】求出函数在上的最值最后根据题意列出不等式进行求解即可【详解】当时因此；当时因此因为所以有即故答案为：【点睛】本题考查了求指数型函数和对数型函数的最小值考查了存在性和任意性的概念的理解考查了数解析：9,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】求出函数(),()f x g x 在[1,3]x ∈上的最值，最后根据题意列出不等式进行求解即可. 【详解】当[1,3]x ∈时，11[,1]28x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此9()[,2]8f x ∈； 当[1,3]x ∈时，22(log )[0,log 3]x ∈，因此2()[,log 3]g x m m ∈+， 因为()()1212[1,3],[1,3],x x f x g x ∀∈∃∈≥，所以有min min ()()f x g x ≥， 即9988m m ≥⇒≤. 故答案为：9,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查了求指数型函数和对数型函数的最小值，考查了存在性和任意性的概念的理解，考查了数学运算能力.17．【分析】根据对数和指数的关系将指数式化成对数式再根据对数的运算计算可得【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查对数和指数的关系对数的运算属于基础题 解析：36【分析】根据对数和指数的关系，将指数式化成对数式，再根据对数的运算计算可得. 【详解】 解：43m n k ==4log m k ∴=，3log =n k20m n mn +=≠ 211n m ∴+=，1log 4k m =，1log 3k n= 2log 3log 41k k ∴+= 2log 3log 41k k ∴+=()log 941k ∴⨯=36k ∴=故答案为：36 【点睛】本题考查对数和指数的关系，对数的运算，属于基础题.18．【分析】设点则点B 的坐标为由题意得则再根据平行四边形的面积求得由此得得函数的解析式从而得函数的的单调性与最值【详解】解：设点则点B 的坐标为∵∴∵平行四边形OABC 的面积又平行四边形OABC 的面积为2 解析：3-【分析】设点(),tE t a ，则点B 的坐标为()2,2tt a ，由题意得22tt aa =，则2t a =，再根据平行四边形的面积求得12t =，由此得4a =，得函数()f x 的解析式，从而得函数()f x 的的单调性与最值． 【详解】解：设点(),tE t a ，则点B 的坐标为()2,2tt a ，∵22t t a a =，∴2t a =，∵平行四边形OABC 的面积24t S OC AC a t t =⨯⨯==， 又平行四边形OABC 的面积为2，∴42t =，12t =，所以122a =，4a =， ∴()4f x x x=-在[]1,2为增函数，∴函数()f x 的最小值为()4111f =-=3-， 故答案为：3-． 【点睛】本题主要考查指数函数的图象和性质，考查利用函数的单调性求最值，属于中档题．19．【分析】利用换底公式和对数运算法则可将方程转化为解方程求得或进而结合的范围求得结果【详解】即解得：或或故答案为：【点睛】本题考查对数方程的求解问题涉及到对数运算法则和换底公式的应用；考查基础公式的应解析：14【分析】利用换底公式和对数运算法则可将方程转化为222log 1log x x-=，解方程求得2log 2x =-或2log 1x =，进而结合x 的范围求得结果.【详解】22log 42log 2log x x x ==2222log 4log log 1log x x x x∴-=-= 即()222log log 20x x +-=，解得：2log 2x =-或2log 1x = 14x ∴=或2x = 01x << 14x ∴=故答案为：14【点睛】本题考查对数方程的求解问题，涉及到对数运算法则和换底公式的应用；考查基础公式的应用能力.20．【分析】根据分段函数分段解不等式最后求并集【详解】当时因为解得：∴当时解得：所以综上原不等式的解集为故答案为：【点睛】本题主要考查了解分段函数不等式涉及指数与对数运算属于基础题 解析：[0,)+∞【分析】根据分段函数，分段解不等式，最后求并集. 【详解】当1x ≤时，1()2xf x -=，因为11x -≤，解得：0x ≥，∴01x ≤≤ ，当1x >时，2()1log 2f x x =-≤，2log 1x ≥-，解得：12x ≥，所以1x >， 综上，原不等式的解集为[)0,+∞. 故答案为：[)0,+∞. 【点睛】本题主要考查了解分段函数不等式，涉及指数与对数运算，属于基础题.三、解答题21．(1) (1,1)- (2) 函数()f x 为奇函数 (3)证明见解析. 【分析】(1)由()f x 的定义域满足101xx->+可得答案. (2)直接判断()f x 与()f x -的关系可得答案. (3) 设1211x x -<<<，先作差判断出212111011--<<++x x x x ，再由对数函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增有，21222111log log 11x x x x --<++，即可得出结论. 【详解】解：（1）令101xx->+，可得()()110x x -+>，即()()110x x -+<，解得11x -<< 函数()f x 的定义域为(1,1)-（2）由（1）知函数()f x 的定义域关于原点对称 由2211()log log ()11x xf x f x x x+--==-=--+，可得函数()f x 为奇函数 （3）设1211x x -<<<设()()()()()()()()()122112212112121111211111111+--+-----==++++++x x x x x x x x x x x x x x∵1211x x -<<<∴121210,10,0x x x x +>+>-< ∴212111011--<<++x x x x 利用对数函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增有，21222111log log 11x x x x --<++ 即()()21f x f x <故函数()f x 在(1,1)-上单调递减． 【点睛】关键点睛：本题考查函数的定义域、奇偶性的判断和用定义法证明单调性，解答本题的关键是先得出2211x x -+与1111x x -+的大小关系，再由函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增得到21222111log log 11x x x x --<++，即()()21f x f x <，属于中档题. 22．（1）154；（2）210 【分析】（1）根据对数的运算法则运算求值即可（2）根据指数的运算法则化简求值. 【详解】（1）7log 23log lg 25lg 473+++ 143log 3lg1002-=++1224=-++154= （2）()146230.2516248201249-⎛⎫⨯+-⨯+- ⎪⎝⎭43132334447223(2)42214=⨯⨯+-⨯-⨯+2162721=+--+210=【点睛】本题主要考查了对数的运算，指数的运算，属于中档题.23．（1）1k =；（2）当02m <<时，k 的最小值为4，当2m 时，k 的最小值为24m m -+. 【分析】（1）根据函数是偶函数，利用偶函数的定义求解. （2）将()4f x ，转化为2(2)42x x k-+⨯，令2[x t m =∈，2]m +，构造函数2()4g t t t =-+，利用二次函数的性质求得其最大值即可..【详解】 （1）()f x 为偶函数，()()f x f x ∴=-， 2?22?2x x x x k k --∴+=+，即(1)(22)0xxk ---=，对任意的x 恒成立，1k ∴=.（2）由()4f x ，可得2?24x x k -+，即2(2)42x x k -+⨯，令2[xt m =∈，2]m +，2()4g t t t ∴=-+，当02m <<时，对称轴2[t m =∈，2]m +， 则()max g t g =（2）4244=-+⨯=， 当2m 时，对称轴2t m =，则2()()4max g t g m m m ==-+，故当02m <<时，k 的最小值为4，当2m 时，k 的最小值为24m m -+. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的和不等式恒成立的问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题. 24．（1）32；（2）-. 【分析】（1）利用对数的运算性质化简可求得所求代数式的值；（2）由已知条件可求得1x x --的值，可求得22x x -+，并求得1122x x -+的值，代入计算可求得所求代数式的值. 【详解】（1）原式11lg3lg3lg3111lg3322lg5lg 2lg1081222lg32lg 27+-=++=+=； （2）因为()()()221114x xx x x x x x -----=+-=-，所以()()2211412x x x x ---=+-=，因为01x <<，则1x x -<，所以1x x --=-22x x --=-，又因为21112226x x x x --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，所以1122x x -+=所以221122x x x x---=-+【点睛】本题考查指数式与对数式的计算，考查了平方关系以及对数运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题.25．（1）16-；（2） 【分析】（1）由指数幂的运算法则直接计算即可；（2）由2111222x x x x --⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭可求出1122x x -+，再利用()3311122221x xx x x x ---⎛⎫+=++- ⎪⎝⎭即可求出. 【详解】（1）原式412500102012=-⨯-)10201126=+-20201616=+-=-；（2）14x x -+=，2111222426x x x x --⎛⎫∴+=++=+= ⎪⎝⎭， 又11220x x ->+，1122x x -∴=+())112233122141x x x x x x ---⎛⎫+=+-=-= ⎪⎝⎭+【点睛】本题考查指数幂的运算，考查完全平方公式和立方和公式的应用，属于基础题. 26．(1) 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭;(2) 103a << 【分析】(1)代入3a =,根据对数函数的单调性求解即可.(2)先根据区间[1,3]结合定义域可求得a 的大致范围,从而确定log a y x =的单调性,再根据复合函数的单调性确定a 的取值范围即可. 【详解】(1) 当3a =时, 31()log 3f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭,故()0f x >即31log 30x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭,即131x ->,14x >,解得104x <<.故()0f x >解集为10,4⎛⎫⎪⎝⎭.(2)由定义域可知,10a x->,即1a x >在区间[1,3]上恒成立,故103a <<,所以log a y x =为减函数.又1y a x =-在区间[1,3]上为减函数,故1()log a f x a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[1,3]上为增函数.满足题意.故103a << 【点睛】本题主要考查了对数函数的不等式求解以及对数型复合函数的单调性求解参数的问题.属于中档题.。