复旦附中高一期末(2019.01)

上海市复旦附中2019-2020学年高一上学期期末英语试题（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习上海市复旦附中2019-2020学年高一上学期期末英语试题（含答案解析）1 Fears haunted him those days ______ he ______ down by the scandal.A. that; draggedB. that; would be draggedC. which; had been draggedD. when; would drag【答案解析】 B【详解】考查同位语从句和时态。

句意：那些日子里他一直担心这件丑闻会把他拖下水。

第一空为同位语从句，解释fears的具体内容，从句中不缺少成分，句意完整，故应用that；第二空中，he与drag构成被动关系，且指从过去的某个时间来看，将要发生的动作，应用过去将来时。

故选B。

2 No sooner ______ up the catwalk than the spotlight shone down on her.A. did the model startB. the model had startedC. had the model startedD. the model started【答案解析】 C【详解】考查时态和倒装句。

句意：模特刚走上T台，聚光灯就照在她身上。

no sooner... than...引导的时间状语从句，前面的主句通常用过去完成时，后面的从句通常用一般过去时，当no sooner放于句首时，前面的主句应采用部分倒装，助动词had在主语the model 之前。

故选C项。

3 Madame Curie spent her whole life ______ to ______ the scientific world.A. devoted; exploringB. devoted herself; exploreC. devoting herself; exploreD. being devoted; exploring【答案解析】 D【详解】考查非谓语动词及动词短语辨析。

2018学年复旦附中高一年级第一学期期末试卷2019.1一、填空题1.（19复旦附中高一期末1）()1x f x a -=（0a >且1a ≠）的图像经过一个定点，这个定点的坐标是_________. 答案：（-1,1）2. （19复旦附中高一期末2）函数y ______. 答案： (],6-∞3.（19复旦附中高一期末3）研究人员发现某种物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （单位：分钟）的变化规律是：()12220x x y x -=⋅+≥.经过__________分钟，该物质温度为5摄氏度. 答案：13. （19复旦附中高一期末4）函数()()34,1log ,1aa x a x f x x x ⎧--<⎪=⎨≥⎪⎩是定义在R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是________. 答案：（1.3）5.（19复旦附中高一期末5）函数()()1224174f x x x =-+的单调递增区间是__________.答案：[)4,+∞6.（19复旦附中高一期末6）函数0.52log 1x y x =-的零点个数为_________个. 答案：27. （19复旦附中高一期末7）若函数()()()22lg 111f x a x a x ⎡⎤=-+++⎣⎦的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________. 答案： 53a >或1a ≤8.（19复旦附中高一期末8）已知函数()()()220log 01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫⎪⎝⎭=________. 答案：19.（19复旦附中高一期末9）当lg lg ,a b a b =<时，则2a b +的取值范围是_________.答案： ()3,+∞10.（19复旦附中高一期末10）函数()142xf x =-的图像关于点__________成中心对称. 答案：（2,0）11.（19复旦附中高一期末11）设{}()()()21,1112,121M y y x N y y x m x x m -⎧⎫⎛⎫====--+--≤≤⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是________.答案：（-1,0）12.（19复旦附中高一期末12）已知函数()241f x ax x =++，若对任意()(),0x R f f x ∈≥恒成立，实数a 的取值范围是_________. 答案： [)3,+∞二、选择题13.（19复旦附中高一期末13）下列四组函数中，不是互为反函数的是（） A. 3y x -=和13y x -=B. 23y x =和()320y xx =≥C. ()20x y x =>和()2log 1y x x =>D. ()()lg 11y x x =->和101x y =+答案：B14.（19复旦附中高一期末14）“1a >”是“函数()()1x f x a a =-⋅是单调递增”的（）A 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C 充要条件D.既非充分也非必要条件答案：A15.（19复旦附中高一期末15）下列四个函数中，图像如图所示的只能是（） A. lg y x x =+ B. lg y x x =-+ C. lg y x x =-D. lg y x x =--答案：C16.（19复旦附中高一期末16）已知n m <，函数()()1221log 1,123,x x x n f x n x m ----≤≤⎧⎪=⎨⎪-<≤⎩的值域是[-1,1]有下列结论：①当0n =时，(]0,2m ∈；②当12n =时，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；③当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，[]1,2m ∈；④当10,2n ⎡⎫∉⎪⎢⎣⎭时(],2m n ∈ A. ①② B.①③ C.②③ D.③④答案：C 三、解答题17.（19复旦附中高一期末17）已知幂函数()()223m m f x x m Z -++=∈是奇函数，且()()12f f <. （1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）求()()2121log log 2,,22y f x f x x ⎡⎤=+∈⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦的值域.答案：（1）()30,m f x x == （2）5,114⎡⎤-⎢⎥⎣⎦18.（19复旦附中高一期末18）已知函数()()2log ,f x x a a =+为常数，()g x 是定义在[-1,1]上的奇函数.（1）当2a =时，满足()1f x >的x 取值范围；（2）当01x ≤≤时，()()g x f x =，求()f x 的反函数()1g x -.答案：（1）()32,0,2⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭（2）()[][]1210,1121,0x xx g x x --⎧-∈⎪=⎨-∈-⎪⎩ 19.（19复旦附中高一期末19）如图所示，为一台冷轧机的示意图，冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.（轧钢过程中.钢带宽度不变，且不考虑损耗）一对对轧辊的减薄率=-输入该对的钢带厚度输出该对的钢带厚度输入该对的钢带厚度（1）输入钢带的厚度为20mm ，输出钢带的厚度为2mm ，若每对轧辊的减薄率不超过20%，问冷轧机至少需要安装几对轧辊？（2）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧拖，所有轧辊周长均为1600mm ，若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在刚带上压出一个疵点，在冷轧机输出的刚带上，疵点的间距为k L ，易知41600L mm =，为了便于检修，请计算123,,L L L . 答案：（1）11 （2）1233125,2500,2000L L L ===20.（19复旦附中高一期末20）已知函数()2a f x x x=+（其中a 为常数）（1）判断函数()2x y f =的奇偶数；（2）若不等式()2122++42x x f <在[]0,1x ∈时有解，求实数a 的取值范围； （3）设()11x g x x -=+，是否存在整数a ，使得对于区间10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的任意三个实数,,m n p ，都存在以()()(),,f g x f g n f f p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦为边长的三角形？若存在，试求出这样的a 的取值范围；若不存在，请说明理由.答案：（1）1a =，偶函数；1a =-，奇函数；1a ≠±，非奇非偶函数 （2）（-3,3）（3）5155,,3153⎛⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21.（19复旦附中高一期末21）函数()y f x =定义域为有理数集，当0x ≠时，()1f x >，且对任意有理数,x y ，有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=.（1）证明：()01f =； （2）比较()11,,122f ff ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭大小，并说明理由； （3）对任意的*,,x y Q x y ∈<，判断()(),f x f y 的大小关系，并说明理由. 答案：（1）略（2）()11122f f f ⎛⎫⎛⎫>=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）()()f x f y <。

复旦大学附属中学2019学年第二学期高一年级数学期末考试试卷时间：120分钟 满分：150分 2020.07.06一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果．1．1-和4-的等比中项为__________．2．化简求值：1tan arccos 3⎛⎫= ⎪⎝⎭________．3．若函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的局部图像如右，则ω=_______．4．若三角式等式2cos 2cos cos x a b x c x =++（,,a b c 为常数），对于任意x R ∈都成立，则a b c -+=______． 5．lim 1n n r r →∞⎛⎫ ⎪+⎝⎭存在，则实数r 的取值范围是________． 6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12020OB a OA a OC =+（向量,OA OC 不平行），A C B 、、共线，则2020S =_________．7．123PP P 是边长为1的正三角形，则12(,1,2,3,)i j PP PP i j i j ⋅=≠取值集合为__________． 8．向量,,a b c 在正方形网格中的位置，如图所示，若,(,)c a b R λμλμ=+∈，则λμ=_____．9．{}n a 是等差数列，首项11a =，公差0,n d S ≠为其前n 项和，若125,,a a a 成等比数列，则8S =_______．10．如图是由6个宽、高分别为11,b a ；22,b a ；33,b a ；…；66,b a 的矩形在第一象限紧挨拼成()1234560a a a a a a >>>>>>．显然6个矩形面积之和为6112266S a b a b a b =+++．若记121,2,,,6i i T b b b i =+++=，则上述面积又可以写成()()()6121232565S a a T a a T a a T X =-+-++-+形式，其中代数式X =________．（用题目中元素,,i i i a b T 的最简形式表达）11．已知()f x 为偶函数，当0x 时，1cos ,02()121,2x x f x x x π⎧⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，则不等式1(1)2f x -的解集为__________． 12．三角形蕴涵大量迷人性质，例如：若点O 在ABC 内部，用A B C S S S 、、分别代表OBC 、OCA 、OAB 的面积，则有0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．现在假设锐角三角形顶点,,A B C 所对的边长分别为,,,a b c H 为其垂心，,,HA HB HC 的单位向量分别为123,,e e e ，则123ae be ce ++=_________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．对二元一次方程组1223x y c x y c -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵A 经过一系列的初等行变换，得：103~011A⎛⎫ ⎪-⎝⎭，则列向量12c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭为（ ）A ．58⎛⎫⎪⎝⎭ B ．31⎛⎫ ⎪-⎝⎭ C ．57⎛⎫ ⎪-⎝⎭ D ．51⎛⎫ ⎪-⎝⎭14．已知2sin 23α=，则2sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．16 B ．12 C ．13 D ．5615．等差数列{}n a 的公差为d ，数列{}12na a 为递减数列，则（ ） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d >16．根据下面一组等式：11s =，2235s =+=，345615s =++=，47891034s =+++=，5111213141565s =++++=，6161718192021111s =+++++=，……可得21n S -=（ ）A ．324641n n n -+-B ．1413n -C ．2184023n n -+D ．(1)12n n -+ 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写岀必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知(cos ,sin ),(cos 3sin ,3cos sin ),()a x x b x x x x f x a b ==+-=⋅（1）求()f x 的解析式及其最小正周期；（2）求()f x 的单调增区间．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在斜三角形ABC 中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、且()222sin cos cos()b a cA A ac A C --=+， （1）求角A 大小；（2）若sin cos B C>，求角C 的取值范围． 19．（本题满分14分）某水泥厂计划用一台小型卡车从厂区库房运送20根水泥电线杆，到一条公路沿着路侧架设，已知库房到该公路入口处500米，从库房出发卡车进入公路后继续行驶，直到离入口50米处时放下第一根电线杆，然后沿着该公路同一侧边每隔50米逐一放下余下电线杆，放完折返库房重新装运剩余电线杆．已知卡车每趟从库房最多只能运送3根水泥杆．问：卡车运送完这批水泥杆，并最终返回库房，至少运送几趟？最少行驶多少米？20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设数列{}n x 各项均为正数，且满足()22221222,n x x x n n n N ++++=+∈， （1）求数列{}n x 的通项公式n x ；（2）已知12231113n n T x x x x x x ++++=+++，求n ； （3）试用数学归纳法证明：2122312(1)1n n x x x x x x n +⎡⎤+++<+-⎣⎦． 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）借助三角比及向量知识，可以方便地讨论平面上点及图像的旋转问题．试解答下列问题．（1）在直角坐标系中，点112A ⎫-⎪⎪⎭，将点A 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转6π到点B ，如果终边经过点A 的角记为α，那么终边经过点B 的角记为6πα+．试用三角比知识，求点B 的坐标；（2）如图，设向量(,)ABh k =，把向量AB 按逆时针方向旋转θ角得点C ，判断C 是否能够落在直线y x=上，若能，试用,,a m n 表示相应θ的值，若不能，说明理由．（3）设(,),(,)A a a B m n 为不重合的两定点，将点B 绕点A 按逆时针方向旋转θ角得点C ，判断C 是否能够落在直线y x =上，若能，试用,,a m n 表示相应θ的值，若不能，说明理由．复旦大学附属中学2019学年第二学期高一年级数学期末考试试卷时间：120分钟 满分：150分 2020.07.06一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果．1．【答案】：2± 2．【答案】： 3．【答案】：44．【答案】：1 5．【答案】：12r >- 6．【答案】：1010 7．【答案】：4 8．【答案】：4 9．【答案】：6410．【答案】：66X a T =【解析】：()()611226*********S a b a b a b a T a T T a T T =+++=+-++- ()()()12123256566a a T a a T a a T a T =-+-++-+ 故66X a T =11．【答案】：1247,,4334⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 【解析】：13|1|34x ≤-≤，解1243x ≤≤或4734x ≤≤，故不等式1(1)2f x -的解集为1247,,4334⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12．【答案】：0【解析】：由0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=可得123111||||||||||||0222a HD HA eb HE HB ec HF HC e ⋅+⋅+⋅= 根据BHD AHE ∽可得||||||||HD HA HE HB =，同理可得||||||||HF HC HE HB =所以||||||||||||HD HA HE HB HF HC ==所以1230ae be ce ++=二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．【答案】：A14．【答案】：D15．【答案】：C16．【答案】：A【解析】：易得第(1)n -行最后一项为2(1(1))(1)22n n n n +---=，第n 行最后一项为2(1)22n n n n ++= 故第n 行为第一项212n n -+，最后一项为22n n +，项数为n 的等差数列，故22312222n n n n n n n n S ⎛⎫-+++ ⎪+⎝⎭== 所以32214641n S n n n -=-+-，故选A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）【答案】：（1）()2sin 2,6f x x T ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭； （2）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）【答案】：（1）4π；（2）,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭19．（本题满分14分）【答案】：至少运送7趟，最少行驶14000米20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）【答案】：（1）*n x n N =∈； （2）48； （3）略．21．【答案】：（1）(2,1)； （2）(cos sin ,cos sin )h k k h θθθθ-+；（3）若2m n a +=，则,2k k Z πθπ=+∈，若2,tan ,arctan ,22m n m n m n a k k Z m n a m n a θθπ--+≠==+∈+-+-。

【解析】【详解】解:,是周期为的奇函数,A,在上是递减的,错误;B,是奇函数, 图象关于原点对称,正确;C,是周期为,错误;D,的最大值为1,错误;B 选项是正确的.．已知数列是公差不为零的等差数列，函数是定义在上的单调递增的奇函数，数列{}n a ()f x R 的前项和为，对于命题：)}n a n n S {}a 0S >，与题设矛盾，所以递增，故112121()()...()()...()0k k k f a f a f a f a f a ++=++++++≤{}n a 正确； ，则，，令，所以，但是23n a n =-11a =-21a =()f x x =12()()0f a f a +=23n a n =-错误；因为，所以，k a =121222 (20)k k k a a a a a --+=+===，12122211,,...,k k k k a a a a a a ---+=-=-=-，12122211()(),()(),...,()()k k k k a f a f a f a f a f a ---+=-=-=-，则存在，使得2112121()()...()()...()0k k k k f a f a f a f a f a -+-=++++++=*m N ∈0m S =正确.故选：C.【解析】所求的等比中项为： .284±⨯=±．函数，的反函数为__________．arctan y x =(0,1)x ∈【答案】tan ,(0,)4y x x π=∈【解析】将函数变形为的形式，然后得到反函数，注意定义域.()x f y =【详解】，所以，则反函数为：且.arctan y x =tan x y =tan y x =(0,)4x π∈【点睛】本题考查反三角函数的知识，难度较易.给定定义域的时候，要注意函数定义域.．在等差数列中，，，则 ．{}n a 12a =3510a a +=7a =本题考查根据三角函数值求解给定区间中变量的值，难度较易.．在中，角的对边分别为，若面积，则角__________ABC ∆,,A B C ,,a b c 2222a b S c +-=C =【答案】arctan 2【解析】根据面积公式计算出的值，然后利用反三角函数求解出的值.tan C C 【详解】，所以，则，则有：2221sin 22a b c S ab C +-==222sin 2cos ab C a b c ab C =+-=tan 2C =.arctan 2【点睛】本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，难度较易.利用面积公式的时候要选择合适的公式进行化简，可根据所求角进行选择.【答案】4π【解析】根据和的取值特点，判断出两个值都是最值，然后根据图象去确定1()f x 2()f x 12x x -【详解】对任意成立，所以取最小值，取最大值；12()()()f x f x f x ≤≤x ∈R 1()f x 2()f x 取最小值时，与必为同一周期内的最小值和最大值的对应的，则，且2x 1x 2x x 12min 2Tx x -=，故.28||πω=12min 4x x -=【点睛】任何一个函数，若有对任何定义域成立，此时必有：()f x 12()()()f x f x f x ≤≤x ∈1()min f x =.2)max=可得①或②得：；解得：．故答案为9．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．【思路点睛】解本题首先要能根据韦达定理判断出a ，b 均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当为等差中项时，因为，所以不可取，则-2只能作为首项或者末项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b 与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p ，q ．．设函数（是常数，）.若在区间上具有单()sin()f x A x ωϕ=+,,A ωϕ0,0A ω>>()f x [,]62ππ调性，且，则的最小正周期为_________.2()()()236f f f πππ==-()f x 【答案】π由在区间上具有单调性，且知，函数的对称中心为，由知函数的对称轴为直线，设函数的最小正周期为，所以，，即，所以，解得，故答案为函数的对称性、周期性，属于中档题，若存在正整数（）满足，，则__________．n na b +k 2k ≥1100k c -=11000k c +=k c =【答案】262【解析】根据条件列出不等式进行分析，确定公比、、的范围后再综合判断.qk d 【详解】设等比数列公比为，等差数列公差为，因为，，所以qd 1100k c -=11000k c +=；又因为，分别为递增的等差数列、等比数列，所以2(2)100(*)1000k kk d q kd q --+=+={}n a {}n b q ≥；又时显然不成立，所以，则，即；12k =11100+=3k ≥31000q <9q ≤，，所以；因为，所以 ；2q ≥221002k k q -->>8k ≤(2)k d d -≥100d ≤可知：，则，；又(*)22900k k q q d --+=22900()200k k d q q -=--<22(1)700k q q -->，所以，即；取连续的有限项构成数sin 1n a =2,2n a k k Zππ=+∈(41),2n k a k Z π+=∈{}n a ，不妨令，则，且，则此时必为整数；}n 1(41),2k b k Z π+=∈2(41),2q k b k Z π+=∈2{}n b a ∈q 时，，不符合；4,k k Z =∈224(4)2(41){}2n k k b k k a π+=+=∉时，，符合，41,k k Z =+∈222(41)4(42)1{}22n k k k b a π+++==∈此时公比 ；41,q k k Z =+∈时， ，不符合；42,k k Z =+∈224(43)2(21)(41){}2n k k b k k a π++=++=∉2(43)(41)4(44)3k k k k π++++．已知数列的通项公式，前项和为，则关于数列、{}n a ()2019112n n a -⎧-⎪=⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩120192020n n ≤≤≥n n S {}n a 的极限，下面判断正确的是（）}．数列的极限不存在，的极限存在{}n a {}n S ．数列的极限存在，的极限不存在{}n a {}n S ．数列、的极限均存在，但极限值不相等{}n a {}n S ．数列、的极限均存在，且极限值相等{}n a {}n S 【答案】D 【解析】分别考虑与的极限，然后作比较.{}n a {}n S 【详解】【解析】（1）根据条件求解出公比，然后写出等比数列通项；（2）先表示出，然后考虑n S 的的最小值.2020n 【详解】）因为，所以或，又，则，所以；（1222416a q q =⎧⎨=+⎩4q =2-20200S <2q =-12(2)n n a -=⋅-，则，当为偶数时有不符合；2(1(2))2(1(2))20201(2)3n n n S --==-->--(2)3029n -<-n (2)0n->为奇数，且，，所以且为奇数，故.n 11(2)2048-=-13(2)4096-=-13n ≥n min 13n =【点睛】本题考查等比数列通项及其前项和的应用，难度一般.对于公比为负数的等比数列，分析前项和所n n 满足的不等式时，注意分类讨论，因此的奇偶会影响的正负.n n S）由锐角三角形可知： ，所以，则 ，A B C π⎪++=⎩42A <<(2)(,)636A +∈，所以，，则()2sin(2)6A A π=+min 7()2sin()16f A π>=-max ()2sin 22f A π==.)(1,2]∈-【点睛】本题考查三角恒等变换以及三角函数值域问题，难度较易.根据三角形形状求解角范围的时候，要注意到隐含条件的使用.A B C π++=．已知数列满足：，，.{}n a 12a =1(1)(1)n n na n a n n +=+++*n N ∈）求证：数列为等差数列，并求出数列的通项公式；{}n a n {}n a ）记（），用数学归纳法证明：，2(1)n n b n a =+*n N ∈12211(1)n b b b n +++<-+ *n N∈(1)(1)(2)(2)(2)(1)(2)(1)k k k k k k k k ++++++++⎝⎭⎝⎭ ，2222221)2(1)(2)1(1)(2)(1)(2)k k k k k k +++-+-=<++++，22212111(1)(1)(2)(2)k k k k ⎛⎫⎛⎫-+<- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，故时不等式成立，21211(2)k k b b b k +++++<-+ 1n k =+综上可知：.12211(1)n b b b n +++<-+ 【点睛】数学归纳法的一般步骤：（1）命题成立；（2）假设命题成立；（3）证明命题1n =n k =1n k =+成立（一定要借助假设，否则不能称之为数学归纳法）.π），因为是一条对称轴，对应最值；又()5sin(2)f x x ϕ=+35x π=36()2sin()55f ππϕ=+()f x ，所以，所以，则；（2）由条件知：(0,)2πϕ∈6617()(,)5510πππϕ+∈63()52πϕπ+=310πϕ=，可得，则，又因为5sin((0))025sin((0))0πωϕωπϕ++=-+=1122,2,k k Zk k Z πωϕππωϕπ⎧+=∈⎪⎨⎪-+=∈⎩1212(2)(,)3k k k k Z πϕ+=∈，所以，则，(0,)2π3πϕ=1122,23,3k k Z k k Z ππωπππωπ⎧+=∈⎪⎪⎨⎪-+=∈⎪⎩1162,313k k Z k ω-⎧=∈⎪⎪⎨-⎪因为，故共有个；记对称轴为，据图有：242T ππ==[0,6]π12T ()f x (1,i x a i ==，，，，，1212x x a +=2322x x a +=3432x x a += (232423)x x a +=则，令，12321122322222(...)n n n x x x x x x a a a --+++++=+++ 4,62x k k Zπππ+=+∈，又因为，所以，由于与仅在前半个周期内,412k k Z ππ=+∈[0,6]x π∈[0,23]k ∈()f x 35y =有交点，所以，max 22k =.232101221139122222(...)223444123n n n x x x x x πππ--+++++=++++⋅⋅= 【点睛】本题考查三角函数图象与性质的综合运用，难度较难.对于三角函数零点个数问题，可将其转化为函数图象的交点个数问题，通过数形结合去解决问题会更方便.）将的前项列举出：；将的前项列举出：{}n a 3n (0,1,1,1,2,2,2,...,1,,)n n n -{}n b 3n ；(0,0,0,1,1,1,...,1,1,1)n n n ---；2(11)(1)(11)(1)323322n n n n n n n n ⎡+--⎤⎡+--⎤⎛⎫⎛⎫=++=- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦）充分性：取，此时，将的前项列举出：，将1,33n n n na b +==-120d d +={}n a 30,1,1{n b 项列出：，此时的前项为：，显然不是等差数列，充分性不满足；必1,1,1---{}n c 31,0,0-{}n c 要性：设，，当为等差数列时，因为，所以11(1)n a a n d =+-12(1)n b b n d =+-{}n c [][]n n n c a b =+ ，又因为，所以有：Z1100[][](1)()n c a b n d d Z =++-∈，且，所以101112[](1)[(1)][(1)]b n d a n d b n d ++-=+-++-[]1x x x-<≤；10110110(1)2[][](1)(1)b n d a b n d a b n d +--<++-≤++-综上：数列为等差数列的必要非充分条件是{}n c 12d d Z+∈【点睛】本题考查数列的定义以及证明，难度困难.对于充分必要条件的证明，需要对充分性和必要性同时分析，不能取其一分析；新定义的数列问题，可通过定义先理解定义的含义，然后再分析问题.。

2018-2019学年上海复旦大学附属中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．下列四组函数中，不是互为反函数的是（ ） A.3y x -=和13y x -= B.23y x =和()320y x x =≥C.()20xy x =>和()2log 1y x x =>D.()()lg 11y x x =->和101x y =+【答案】B【解析】根据反函数的概念与性质，逐项判断，即可得出结果. 【详解】对于选项A ，由3y x -=得13-=x y ，即3y x -=和13y x -=互为反函数；对于选项B ，由23y x =得x ∈R ，由()320y x x =≥得320=≥y x ，根据反函数的性质，可得，23y x =和()320y x x =≥不是互为反函数； 对于选项C ，D ，由对数函数与指数函数的性质，可得()20xy x =>和()2log 1y x x =>互为反函数，()()lg 11y x x =->和101xy =+也互为反函数. 故选：B 【点睛】本题主要考查判断两函数是否互为反函数，熟记反函数的概念与性质即可，属于常考题型.2．“1a >”是“函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】A【解析】先由函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增，得到101a a ->⎧⎨>⎩或1001a a -<⎧⎨<<⎩，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】因为函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增，所以101a a ->⎧⎨>⎩或1001a a -<⎧⎨<<⎩，即1a >或01a <<；因此，由“1a >”能推出“函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增”，反之不能推出.因此，“1a >”是“函数()()1xf x a a =-⋅是单调递增”的充分不必要条件.故选：A 【点睛】本题主要考查命题的充分不必要条件的判断，熟记充分条件与必要条件即可，属于常考题型.3．下列四个函数中，图象如图所示的只能是（ ）A.lg y x x =+B.lg y x x =-C.lg y x x =-+D.lg y x x =--【答案】B【解析】试题分析：A 中，110,ln10y x '=+>∴函数在(0,)+∞上单调递增,A 不成立；B 中，110ln10y x '=->,当0lg x e <<时,0y '<,当lg x e >时0y '>,故函数先减后增,B 成立；C 中,11ln10y x '=-+，当0lg x e <<时,0y '>,当lg x e >时，0y '<,故函数为先增后减,不符合题意；D 中，110ln10y x '=--<,故函数在(0,)+∞上单调递减,不符合题意.故选B. 【考点】函数的图象.4．已知n m <，函数()()1221log 1,123,x x x n f x n x m --⎧--≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩的值域是[]1,1-，有下列结论：①当0n =时，(]0,2m Î；②当12n =时，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；③当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，[]1,2m ∈；④当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时(],2m n ∈. A.①②B.①③C.②③D.③④【答案】C【解析】先根据指数函数与对数函数单调性，作出函数2123--=-x y 与()12log 1=-y x 的图像，根据题中条件，逐项判断，即可得出结果. 【详解】 对于函数2123--=-x y ，当1x >时，10x ->，2132323-+-=-=-x x y ，单调递减；当11x -<<时，2112323+-+=-=-x x y 单调递增；作出函数2123--=-x y 与()12log 1=-y x 的图像如下：对于①，当0n =时，()()1221log 1,1023,0x x x f x x m --⎧--≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，因为()f x 的值域是[]1,1-，由图像可得：[]1,2m ∈，故①错；对于②，当12n =时，()()12211log 1,12123,2x x x f x x m--⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，因为()f x 的值域是[]1,1-，112x ≤≤-时，()()[]12log 11,1=-∈-f x x ，所以只需1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦即可，②正确；对于③④，当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()()1122log 1log 11=-<-<f x x n ，由图像可得，只需[]1,2m ∈，所以③正确，④错； 故选：C 【点睛】本题主要考查由分段函数的值域求参数的问题，熟记指数函数与对数函数的图像与性质，利用数形结合的思想即可求解，属于常考题型.二、填空题 5．()1x f x a-=（0a >且1a ≠）的图象经过一个定点，这个定点的坐标是______.【答案】()1,1【解析】令10x -=代入函数解析式，即可得出结果. 【详解】令10x -=得1x =，所以()101-===x f x a a ，因此函数()1x f x a -=过点()1,1.故答案为：()1,1 【点睛】本题主要考查指数型函数所过定点问题，熟记指数函数性质即可，属于基础题型.6．函数y =______.【答案】(],6-∞【解析】先由题意得到()ln 7070x x ⎧-≥⎨->⎩，求解，即可得出结果.【详解】根据题意得到()ln 7070x x ⎧-≥⎨->⎩，即7170x x -≥⎧⎨->⎩，解得6x ≤，即所求函数定义为(],6-∞. 故答案为：(],6-∞ 【点睛】本题主要考查求具体函数的定义域，只需求使解析式有意义的自变量的范围即可，属于基础题型.7．研究人员发现某种物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （单位：分钟）的变化规律是：()12220xxy x -=⋅+≥.经过______分钟，该物质温度为5摄氏度.【答案】1【解析】根据题意，得到12225-⋅+=x x ，解方程，即可得出结果. 【详解】由题意可得：12225-⋅+=x x ，即22252⋅+=xx ， 即()2225220⋅-⋅+=xx ，即()()222012-⋅=-x x，解得122x=或22x =，即1x =-或1x =； 又0x ≥，所以1x =. 故答案为：1 【点睛】本题主要考查解含指数的方程，熟记指数的运算法则，以及指数函数的性质即可，属于常考题型.8． 已知(3)4,1()log ,1aa x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩，是R 上的增函数，那么a 的取值范围是 。

复旦附中高一期末数学试卷2019.06一. 填空题1. 计算：23lim 31n n n →∞-=+ 2. 2与8的等比中项是3. 函数arctan y x =，(0,1)x ∈的反函数为4. 在等差数列{}n a 中，12a =，3510a a +=，则7a =5. 用列举法表示集合1{|cos(),[0,]}32x x x ππ-=∈= 6. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若面积2222a b c S +-=， 则角C =7. 已知无穷等比数列{}n a 的各项的和为1，则2a 的取值范围为8. 已知函数()2sin()46xf x π=+，若对任意x ∈R 都有12()()()f x f x f x ≤≤（12,x x ∈R ）成立，则12||x x -的最小值为9. 若a 、b 是函数2()f x x px q =-+（0p >，0q >）的两个不同的零点，且a 、b 、2- 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +=10. 若函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>）在区间[,]62ππ上单调，且 2()()()236f f f πππ==-，则()f x 的最小正周期为 11. 由正整数组成的数列{}n a 、{}n b 分别为递增的等差数列、等比数列，111a b ==，记n n n c a b =+，若存在正整数k （2k ≥）满足1100k c -=，11000k c +=，则k c =12. 已知无穷等比数列{}n a 满足：对任意的*n ∈N ，sin 1n a =，则数列{}n a 公比q 的取值集合为二. 选择题13. 对于函数()2sin cos f x x x =，下列选项中正确的是（ ）A. ()f x 在(,)42ππ上单调递增 B. ()f x 的图像关于原点对称 C. ()f x 的最小正周期为2π D. ()f x 的最大值为214. 若等差数列{}n a 的前10项之和大于其前21项之和，则16a 的值（ ）A. 大于0B. 等于0C. 小于0D. 不能确定15. 已知数列{}n a 的通项公式2019(1)120191()20202n n n n a n -⎧-≤≤⎪=⎨≥⎪⎩，前n 项和为n S ，则关于数列 {}n a 、{}n S 的极限，下列判断正确的是（ ）A. 数列{}n a 的极限不存在，{}n S 的极限存在B. 数列{}n a 的极限存在，{}n S 的极限不存在C. 数列{}n a 、{}n S 的极限均存在，但极限值不相等D. 数列{}n a 、{}n S 的极限均存在，且极限值相等16. 已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，函数()f x 是定义在R 上的单调递增的奇函数，数列{()}n f a 的前n 项和为n S ，对于命题：① 若数列{}n a 为递增数列，则对一切*n ∈N ，0n S >；② 若对一切*n ∈N ，0n S >，则数列{}n a 为递增数列；③ 若存在*m ∈N ，使得0m S =，则存在*k ∈N ，使得0k a =；④ 若存在*k ∈N ，使得0k a =，则存在*m ∈N ，使得0m S =；其中正确命题的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3三. 解答题17. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，32216a a =+，且20200S <.（1）求{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数n ，使得2020n S >成立？若存在，求出n 的最小值，若不存在，请说明理由.18.已知函数2()2cos cos 1f x x x x =+-.（1）求函数()y f x =的单调递减区间；（2）在锐角△ABC 中，若角2C B =，求()f A 的值域.19. 已知数列{}n a 满足：12a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，*n ∈N .（1）求证：数列{}n a n 为等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）记2(1)n n b n a =+（*n ∈N ），用数学归纳法证明：12211(1)n b b b n ++⋅⋅⋅+<-+，*n ∈N .20. 设函数()5sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，(0,)2πϕ∈. （1）设2ω=，若函数()f x 的图像的一条对称轴为直线35x π=，求ϕ的值； （2）若将()f x 的图像向左平移2π个单位，或者向右平移π个单位得到的图像都过坐标原 点，求所有满足条件的ω和ϕ的值；（3）设4ω=，6πϕ=，已知函数()()3F x f x =-在区间[0,6]π上的所有零点依次为123,,,,n x x x x ⋅⋅⋅，且1231n n x x x x x -<<<⋅⋅⋅<<，*n ∈N ，求123212222n n n x x x x x x --+++⋅⋅⋅+++的值.21. 已知无穷数列{}n a 、{}n b 是公差分别为1d 、2d 的等差数列，记[][]n n n c a b =+（*n ∈N ）， 其中[]x 表示不超过x 的最大整数，即1[]x x x -<≤.（1）直接写出数列{}n a 、{}n b 的前4项，使得数列{}n c 的前4项为：2，3，4，5；（2）若13n n a +=，13n n b -=，求数列{}n c 的前3n 项的和3n S ； （3）求证：数列{}n c 为等差数列的必要非充分条件是12d d +∈Z .参考答案一. 填空题 1. 23 2. 4± 3. tan y x =，(0,)4x π∈ 4. 8 5. 2{0,}3π 6. arctan2 7. (0,1)(1,2)U 8. 4π9. 9 10. π 11. 262 12. {|41,}q q k k =+∈Z二. 选择题13. B 14. C 15.D 16. C三. 解答题17.（1）12(2)n n a -=-；（2）12.18.（1）2[,]63k k ππππ++，k ∈Z ；（2）(1,2). 19.（1）(1)n a n n =+；（2）略.20.（1）310π；（2）643n ω+=，3πϕ=；（3）3913π. 21.（1）{}n a 的前4项为1，2，3，4，{}n b 的前4项为1，1，1，1；（2）23n n -；（3）证明略.。

2019-2020学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.若命题甲：，命题乙：，则命题甲是命题乙的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分也非必要条件2.下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是A. B. C. D.3.设函数的定义域为R，有下列三个命题：若存在常数M，使得对任意，有，则M是函数的最大值；若存在，使得对任意，且，有，则是函数的最大值；若存在，使得对任意，有，则是函数的最大值．这些命题中，真命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 34.已知函数，记集合，集合，若，且都不是空集，则的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.函数的定义域为______．6.函数的反函数为______．7.已知，试用a表示______．8.幂函数为偶函数，且在上是减函数，则______．9.函数的递增区间为______．10.方程的解是______．11.已知关于x的方程有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数k的取值范围为______．12.若函数且的值域是，则实数a的取值范围是______．13.已知的反函数为，当时，函数的最大值为M，最小值为m，则______．14.对于函数，若对于任意的a，b，，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是______．15.若关于x的方程在内恰有三个相异实根，则实数m的取值范围为______ ．16.已知函数，，若对任意的，，均有，则实数k的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知函数．若，解方程：；若在上存在零点，求实数a的取值范围．18.已知函数的图象关于原点对称，其中a为常数．求a的值；设集合，，若，求实数m的取值范围．19.近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器百台，其总成本为万元，其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元总成本固定成本生产成本销售收入万元满足，假定该产品产销平衡即生产的产品都能卖掉，根据以述统计规律，请完成下列问题：求利润函数的解析式利润销售收入总成本；工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？20.若函数满足：对于其定义域D内的任何一个自变量，都有函数值，则称函数在D上封闭．若下列函数的定义域为，试判断其中哪些在D上封闭，并说明理由．，．若函数的定义域为，是否存在实数a，使得在其定义域上封闭？若存在，求出所有a的值，并给出证明：若不存在，请说明理由．已知函数在其定义域D上封闭，且单调递增．若且，求证：．21.已知函数，其中．若，解不等式；设，，若对任意的，函数在区间上的最大值和最小值的差不超过1，求实数a的取值范围；已知函数存在反函数，其反函数记为，若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：若命题甲：，命题乙：，若命题甲：，则，，则命题甲：，能推出命题乙：，成立；若命题乙：，则，所以或，即或；命题乙：，不能推出命题甲：成立，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断．命题甲是命题乙的充分非必要条件；故选：A．根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．2.答案：D解析：解：函数为偶函数，当时，，为减函数，不满足条件．B.函数为偶函数，当时，为减函数，不满足条件．C.函数的定义域为，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，不满足条件．D.函数为偶函数且在区间上为增函数，满足条件故选：D．根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合常见函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．比较基础．3.答案：C解析：解：错．原因：M不一定是函数值，可能“”不能取到．因为函数最大值的定义是存在一个函数值大于其它所有的函数值，则此函数值是函数的最大值所以对故选：C．利用函数最大值的定义是存在一个函数值大于其它所有的函数值，则此函数值是函数的最大值判断出各命题的真假．本题考查函数的最大值的定义并利用最值的定义判断命题的真假．4.答案：A解析：解：设，，，即，故；故，，当时，成立；当时，0，不是的根，故，解得：；综上所述，；故选：A．由可得，从而求得；从而化简，从而讨论求得本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程的根的判断，属于中档题5.答案：解析：解：由，得．函数的定义域为．故答案为：．由对数式的真数大于0求解x的范围得答案．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．6.答案：解析：解：由，得，，x，y互换得：，函数的反函数为，故答案为：．由原函数求得x，把x，y互换求得原函数的反函数．本题考查函数的反函数的求法，注意反函数的定义域为原函数的值域，是基础题．7.答案：解析：解：，故答案为：．利用换底公式以及对数的运算性质即可求解．本题主要考查了对数的运算性质以及换底公式，是基础题．8.答案：3解析：解：幂函数，在上是减函数，，且，，，又，，1，2，又幂函数为偶函数，，，故答案为：3．先利用幂函数的定义和单调性求出a的值和m的范围，再结合偶函数确定m的值，即可求出结果．本题主要考查了幂函数的性质，是基础题．9.答案：解析：解：函数的定义域为，令，则，为增函数，在上为减函数；在为增函数，函数的单调递增区间为，故答案为：．先求出函数的定义域，然后将复合函数分解为内、外函数，分别讨论内外函数的单调性，进而根据复合函数单调性“同增异减”的原则，得到函数的单调递增区间．本题考查的知识点是复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调性，其中复合函数单调性“同增异减”是解答本题的关键，本题易忽略真数大于零．10.答案：解析：解：，，令，则，解得或．由式子有意义可知，解得，即，．．故答案为：．利用对数运算性质解方程．本题考查了对数的运算性质，换元法解题思想，属于基础题．11.答案：解析：解：令，由题意可得，即：，整理：，解得：，所以实数k的取值范围为；故答案为：．设函数，由题意可得，解得k的取值范围．考查方程的根的分布，属于基础题．12.答案：解析：解：由于函数且的值域是，故当时，满足．若，在它的定义域上单调递增，当时，由，，，．若，在它的定义域上单调递减，，不满足的值域是．综上可得，，故答案为：．当时，检验满足当时，分类讨论a的范围，依据函数的单调性，求得a的范围，综合可得结论．本题主要考查分段函数的应用，对数函数的单调性和特殊点，属于中档题．13.答案：2解析：解：由题意可得，即函数在R上为奇函数，当，令，则为奇函数且单调递增所以反函数也是单调递增的奇函数，所以是向上平行移动1个单位也为单调递增，对称中心，由互为反函数的性质可得，故答案为：2由题意可得换元可得为奇函数在上，所以也是奇函数，且值域为，为对称中心为的函数且值域为，考查换元法求函数的定义域，及互为反函数的性质，属于中档题．14.答案：解析：解：由题意可得对于，b，都恒成立，由于，当，，此时，，，都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件．当，在R上是减函数，，同理，，由，可得，解得．当，在R上是增函数，，同理，，由，可得，解得．综上可得，，故实数t的取值范围是，故答案为：因对任意实数a、b、c，都存在以、、为三边长的三角形，则恒成立，将解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由的符号决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论k转化为的最小值与的最大值的不等式，进而求出实数k的取值范围．本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．15.答案：解析：解：当时，，方程，，即；．当时，，方程，，即；；当时，方程无解；当时，方程有且只有一个解；当时，方程在上有两个解；当时，方程的解为1，；综上所述，实数m的取值范围为故答案为：分类讨论以去掉绝对值号，从而利用基本不等式确定各自方程的根的个数，从而解得．本题考查了绝对值方程的解法与应用，同时考查了基本不等式的应用及转化思想的应用．16.答案：解析：解：对函数，当时，；当时，，在上的最大值；对函数，函数若有最小值，则，即，当时，，易知函数；又对任意的，，均有，，即，，，即实数k的取值范围为．故答案为：．可求得，，根据题意，由此得到，解该不等式即可求得实数k的取值范围．本题考查不等式的恒成立问题，考查函数最值的求解，考查转化思想及计算能力，属于中档题．17.答案：解：当时，．，，或舍，当时，令，则，由，得，．在上单调递减，在上单调递增，当时，；当或时，，，．解析：将代入中，然后根据，求出的值，再解出x即可；令，则由可得，再根据t的范围求出a的范围．本题考查了指数方程的解法和根据函数的零点求参数的范围，考查了整体思想和转化思想，属中档题．18.答案：解：函数的图象关于原点对称，其中a为常数．，，解得．当时，，与条件矛盾，舍去．；集合解不等式得．由知，；，且，解得；由于，所以，解得，．故m的取值范围是．解析：根据的图象关于原点对称，得是奇函数，由恒成立，解得a的值即可．先解分式不等式，求得集合A；由于，所以B有解，解得集合B；再根据集合的关系求得m的取值范围即可．本题考查了奇函数的定义，分式不等式的解法，根据交集运算求参数取值范围，考查了运算求解能力，属于中档题．19.答案：解：由题意得，则，即；当时，函数递减，即有，当时，函数，当时，有最大值，综上可知，当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元．解析：本题考查函数模型在实际问题中的应用，考查函数的最值问题，属于中档题．先求得，再由可得所求；分别求出各段的最值，注意运用一次函数和二次函数的最值求法，即可得到．20.答案：解：在中，对于定义域D内的任意一个自变量，都有函数值，故函数在上不封闭；在中，，在上封闭．的定义域为，对称中心为，当时，函数在上为增函数，只需，解得当时，函数在上为减函数，只需，解得综上，所求a的值等于2．证明：函数在其定义域D上封闭，且单调递增．且，根据单调函数性质，则有唯一的，．解析：根据定义域，求得函数的定义域，利用新定义，即可得到结论；分类讨论，确定函数的单调性，建立不等式组，可求a的值．函数在其定义域D上封闭，且单调递增，根据单调函数性质，则有唯一的，由此能证明．本题以新定义函数为载体，考查新定义，考查学生的计算能力，关键是对新定义的理解，有一定的难度．21.答案：解：当，，当时，，解得或，所以或；当时，，解得，所以；综上所述，不等式的解为．，，，，，由复合函数的单调判断原则，可知在上单调递减，，化简得，在上恒成立，令，则，当时，，当时，，由对勾函数性质可知，在上单调递减，，即，故实数a的取值范围为；函数存在反函数，单调，又在上单调递增，在R上必须单调递增，即，，令，，则，，在上恒成立，当即时，恒成立，，当即时，，解得，综上所述，实数a的取值范围为．解析：把代入函数，分段解不等式即可；，，，，，再由复合函数的单调判断出在上单调递减，从而得到在上恒成立，然后用换元法，令，构造新函数，再求出该函数的最大值即可；由函数存在反函数，可得且；再令，，得其最小值为，然后分类讨论解不等式即可．本题考查函数的综合应用，涉及绝对值函数、指对函数的单调性、函数的恒成立问题，在解题过程中用到换元法、构造法、分类讨论法，考查了学生灵活运用知识的能力和逻辑推理能力，属于难题．。

2019-2020学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷一.填空题1．（3分）函数12log (5)y x =-的定义域为 ．2．（3分）函数21(1)y x x =+-„的反函数为 ． 3．（3分）已知2log 3a =，试用a 表示9log 12= ． 4．（3分）幂函数223()(1)(,)m m f x a x a m N --=-∈为偶函数，且在(0,)+∞上是减函数，则a m += ．5．（3分）函数23log ()y x x =-的递增区间为 ． 6．（3分）方程22log (95)log (32)2x x -=-+的解是 ．7．（3分）已知关于x 的方程2240x kx k k +++-=有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数k 的取值范围为 ．8．（3分）若函数6,2()(03log ,2a x x f x a x x -+⎧=>⎨+>⎩„且1)a ≠的值域是[4，)+∞，则实数a 的取值范围是 ．9．（3分）已知1()(33)2x x f x -=-的反函数为1()f x -，当[3x ∈-，5]时，函数1()(1)1F x f x -=-+的最大值为M ，最小值为m ，则M m += ．10．（3分）对于函数()f x ，若对于任意的a ，b ，c R ∈，f （a ），f （b ），f （c ）为某一三角形的三边长，则称()f x 为“可构造三角形函数”，已知函数()1x x e t f x e +=+是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是 ．11．（3分）若关于x 的方程54(4)|5|x x m x x+--=在(0,)+∞内恰有三个相异实根，则实数m的取值范围为 ．12．（3分）已知函数213,1()1,12x x k x f x log x x ⎧-++⎪=⎨-+>⎪⎩„，2()(2)()1x g x aln x a R x =++∈+，若对任意的1x ，2{|x x x R ∈∈，2}x >-，均有12()()f x g x „，则实数k 的取值范围是 ． 二.选择题13．（3分）若命题甲：10x -=，命题乙：20lg x lgx -=，则命题甲是命题乙的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．非充分也非必要条件14．（3分）下列函数中既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增的是( ) A ．1||y x =B ．2y x -=C ．2|log |y x =D ．23y x =15．（3分）设函数()f x 的定义域为R ，有下列三个命题：①若存在常数M ，使得对任意x R ∈，有()f x M „，则M 是函数()f x 的最大值； ②若存在0x R ∈，使得对任意x R ∈，且0x x ≠，有0()()f x f x <，则0()f x 是函数()f x 的最大值；③若存在0x R ∈，使得对任意x R ∈，有0()()f x f x „，则0()f x 是函数()f x 的最大值． 这些命题中，真命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．316．（3分）已知函数2()2x f x m x nx =++g ，记集合{|()0A x f x ==，}x R ∈，集合{|[()]0B x f f x ==，}x R ∈，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是( )A ．[0，4)B ．[1-，4)C ．[3-，5]D ．[0，7)三.解答题17．已知函数1()421x x f x a +=-+g ． （1）若1a =，解方程：()4f x =；（2）若()f x 在[1-，1]上存在零点，求实数a 的取值范围． 18．已知函数21()log 1axf x x -=-的图象关于原点对称，其中a 为常数． （1）求a 的值； （2）设集合4{|1}7A x x=-…，2{|()log (1)}B x f x x m =+-<，若A B ≠∅I ，求实数m 的取值范围．19．近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器x （百台），其总成本为()P x （万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入()Q x （万元）满足20.522(016)()224(16)x x x Q x x ⎧-+=⎨>⎩剟，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据以述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入-总成本）； （2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？20．若函数()f x 满足：对于其定义域D 内的任何一个自变量0x ，都有函数值0()f x D ∈，则称函数()f x 在D 上封闭．（1）若下列函数的定义域为(0,1)D =，试判断其中哪些在D 上封闭，并说明理由．1()21f x x =-，2()21x f x =-． （2）若函数5()2x ag x x -=+的定义域为(1,2)，是否存在实数a ，使得()g x 在其定义域(1,2)上封闭？若存在，求出所有a 的值，并给出证明：若不存在，请说明理由．（3）已知函数()f x 在其定义域D 上封闭，且单调递增．若0x D ∈且00(())f f x x =，求证：00()f x x =．21．已知函数||0()20x x a x f x x +⎧=⎨<⎩…，其中a R ∈．（1）若1a =-，解不等式1()4f x …；（2）设0a >，21()log ()g x f x=，若对任意的1[2t ∈，2]，函数()g x 在区间[t ，2]t +上的最大值和最小值的差不超过1，求实数a 的取值范围；（3）已知函数()y f x =存在反函数，其反函数记为1()y f x -=，若关于x 的不等式12(4)()|2|f a f x x a --+-„在[0x ∈，)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．2019-2020学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）函数12log (5)y x =-的定义域为 (,5)-∞ ．【解答】解：由50x ->，得5x <． ∴函数12log (5)y x =-的定义域为(,5)-∞．故答案为：(,5)-∞．2．（3分）函数21(1)y x x =+-„的反函数为2)y x =… ． 【解答】解：由21(1)y x x =+-„，得21x y =-，2)x y ∴=…， x ，y互换得：2)y x =…， ∴函数21(1)y x x =+-„的反函数为2)y x =…，故答案为：2)y x =…． 3．（3分）已知2log 3a =，试用a 表示9log 12=22a a+ ． 【解答】解：22292212342129232log log log a log log log a++===， 故答案为：22a a+． 4．（3分）幂函数223()(1)(,)m m f x a x a m N --=-∈为偶函数，且在(0,)+∞上是减函数，则a m +=3 ．【解答】解：Q 幂函数223()(1)(,)m m f x a x a m N --=-∈，在(0,)+∞上是减函数，11a ∴-=，且2230m m --<， 2a ∴=，13m -<<，又m N ∈Q ，0m ∴=，1，2， 又Q 幂函数()f x 为偶函数，1m ∴=， 3a m ∴+=，故答案为：3．5．（3分）函数23log ()y x x =-的递增区间为 (1,)+∞ ．【解答】解：函数23log ()y x x =-的定义域为(-∞，0)(1⋃，)+∞， 令2t x x =-，则3log y t =， 3log y t =Q 为增函数，2t x x =-在(,0)-∞上为减函数；在(1,)+∞为增函数，∴函数23log ()y x x =-的单调递增区间为(1,)+∞，故答案为：(1,)+∞．6．（3分）方程22log (95)log (32)2x x -=-+的解是 1x = ． 【解答】解：222log (95)log (32)2log [4(32)]x x x -=-+=-Q ，954(32)x x ∴-=-， 令3x t =，则2430t t -+=， 解得1t =或3t =．由式子有意义可知950320x x ⎧->⎨->⎩，解得3x >t >3t ∴=． 1x ∴=．故答案为：1x =．7．（3分）已知关于x 的方程2240x kx k k +++-=有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数k 的取值范围为 (3,0)- ．【解答】解：令22()4f x x kx k k =+++-，由题意可得f （2）0<， 即：222240k k k +++-<，整理：230k k +<，解得：30k -<<， 所以实数k 的取值范围为(3,0)-； 故答案为：(3,0)-．8．（3分）若函数6,2()(03log ,2a x x f x a x x -+⎧=>⎨+>⎩„且1)a ≠的值域是[4，)+∞，则实数a 的取值范围是 (1，2] ．【解答】解：由于函数6,2()(03log ,2a x x f x a x x -+⎧=>⎨+>⎩„且1)a ≠的值域是[4，)+∞， 故当2x „时，满足()64f x x =-…．①若1a >，()3log a f x x =+在它的定义域上单调递增，当2x >时，由()3log 4a f x x =+…，log 1a x ∴…，log 21a ∴…，12a ∴<„． ②若01a <<，()3log a f x x =+在它的定义域上单调递减， ()3log 3log 23a a f x x =+<+<，不满足()f x 的值域是[4，)+∞．综上可得，12a <„， 故答案为：(1，2]．9．（3分）已知1()(33)2x x f x -=-的反函数为1()f x -，当[3x ∈-，5]时，函数1()(1)1F x f x -=-+的最大值为M ，最小值为m ，则M m += 2 ．【解答】解：由题意可得1()(33)()2x x f x f x --=-=-，即函数()f x 在R 上为奇函数，当[3x ∈-，5]，令1[4t x =-∈-，4]，则1(1)()(33)2t t f x f t --==-为奇函数且单调递增所以反函数1()f t -也是单调递增的奇函数，所以1()()F x f t -=是1()y f t -=向上平行移动1个单位也为单调递增，对称中心(0,1)， 由互为反函数的性质可得352M m +=-+=， 故答案为：210．（3分）对于函数()f x ，若对于任意的a ，b ，c R ∈，f （a ），f （b ），f （c ）为某一三角形的三边长，则称()f x 为“可构造三角形函数”，已知函数()1x x e tf x e +=+是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是 1[2，2] ．【解答】解：由题意可得f （a ）f +（b ）f >（c ）对于a ∀，b ，c R ∈都恒成立，由于1()111x x xe t tf x e e +-==+++， ①当10t -=，()1f x =，此时，f （a ），f （b ），f （c ）都为1，构成一个等边三角形的三边长， 满足条件．②当10t ->，()f x 在R 上是减函数，1f <（a ）11t t <+-=， 同理1f <（b ）t <，1f <（c ）t <，由f （a ）f +（b ）f >（c ），可得2t …，解得12t <„． ③当10t -<，()f x 在R 上是增函数，t f <（a ）1<， 同理t f <（b ）1<，t f <（c ）1<，由f （a ）f +（b ）f >（c ），可得21t …，解得112t >…．综上可得，122t 剟，故实数t 的取值范围是1[2，2]，故答案为：1[2，2]11．（3分）若关于x 的方程54(4)|5|x x m x x+--=在(0,)+∞内恰有三个相异实根，则实数m的取值范围为 ．【解答】解：当x 450x x-…，Q 方程54(4)|5|x x m x x+--=，54(4)(5)x x m x x ∴+--=，即9x m x -+=；m ∴„当0x <<时，450x x -<， Q 方程54(4)|5|x x m x x+--=，54(4)(5)x x m x x∴++-=，即19x m x+=； 196x x+Q …；∴当6m <时，方程19x m x+=无解； 当6m =时，方程19x m x+=有且只有一个解； 当610m <<时，方程19x m x+=在(0,1)上有两个解； 当10m =时，方程19x m x+=的解为1，19；综上所述，实数m的取值范围为．故答案为：． 12．（3分）已知函数213,1()1,12x x k x f x log x x ⎧-++⎪=⎨-+>⎪⎩„，2()(2)()1x g x aln x a R x =++∈+，若对任意的1x ，2{|x x x R ∈∈，2}x >-，均有12()()f x g x „，则实数k 的取值范围是 3(,]4-∞- ．【解答】解：对函数()f x ，当1x „时，11()()24max f x f k ==+；当1x >时，1()(1)2max f x f ==-，()f x ∴在(2,)-+∞上的最大值11(){,}42max f x max k =+-；对函数()g x ，函数()g x 若有最小值，则0a =，即2()1xg x x =+， 当(2x ∈-，0)(0⋃，)+∞时，1()1g x x x=+，易知函数1()2min g x =-； 又对任意的1x ，2{|x x x R ∈∈，2}x >-，均有12()()f x g x „， ()()(2)max min f x g x x ∴>-„，即111{,}422max k +--„，∴1142k +-„， ∴34k -„，即实数k 的取值范围为3(,]4-∞-．故答案为：3(,]4-∞-．二.选择题13．（3分）若命题甲：10x -=，命题乙：20lg x lgx -=，则命题甲是命题乙的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．非充分也非必要条件【解答】解：若命题甲：10x -=，命题乙：20lg x lgx -=， ①若命题甲：10x -=，则1x =，22110lg x lgx lg lg -=-=， 则命题甲：10x -=，能推出命题乙：20lg x lgx -=，成立；②若命题乙：20lg x lgx -=，则(1)0lgx lgx -=，所以0lgx =或1lgx =，即1x =或10x =； 命题乙：20lg x lgx -=，不能推出命题甲：10x -=成立， 根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断． 命题甲是命题乙的充分非必要条件； 故选：A ．14．（3分）下列函数中既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增的是( ) A ．1||y x =B ．2y x -=C ．2|log |y x =D ．23y x =【解答】解：A ．函数为偶函数，当0x >时，1()f x x=，为减函数，不满足条件． B ．函数为偶函数，当0x …时，()f x 为减函数，不满足条件． C ．函数的定义域为(0,)+∞，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，不满足条件．D ．函数为偶函数且在区间(0,)+∞上为增函数，满足条件故选：D ．15．（3分）设函数()f x 的定义域为R ，有下列三个命题：①若存在常数M ，使得对任意x R ∈，有()f x M „，则M 是函数()f x 的最大值； ②若存在0x R ∈，使得对任意x R ∈，且0x x ≠，有0()()f x f x <，则0()f x 是函数()f x 的最大值；③若存在0x R ∈，使得对任意x R ∈，有0()()f x f x „，则0()f x 是函数()f x 的最大值． 这些命题中，真命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：①错．原因：M 不一定是函数值，可能“=”不能取到．因为函数最大值的定义是存在一个函数值大于其它所有的函数值，则此函数值是函数的最大值 所以②③对 故选：C ．16．（3分）已知函数2()2x f x m x nx =++g ，记集合{|()0A x f x ==，}x R ∈，集合{|[()]0B x f f x ==，}x R ∈，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是( )A ．[0，4)B ．[1-，4)C ．[3-，5]D ．[0，7)【解答】解：设1{|()0}{|(())0}x x f x x f f x ∈===， 11()(())0f x f f x ∴==，(0)0f ∴=，即(0)0f m ==， 故0m =； 故2()f x x nx =+，22(())()()0f f x x nx x nx n =+++=， 当0n =时，成立；当0n ≠时，0，n -不是20x nx n ++=的根， 故△240n n =-<， 解得：04n <<； 综上所述，04n m +<…； 故选：A ． 三.解答题17．已知函数1()421x x f x a +=-+g ． （1）若1a =，解方程：()4f x =；（2）若()f x 在[1-，1]上存在零点，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）当1a =时，()4221x x f x =-+g ．()4f x =Q ，42214x x ∴-+=g ， 23x ∴=或21x =-（舍)，2log 3x ∴=．（2）当[1x ∈-，1]时，令2x t =，则1[,2]2t ∈， ∴由()0f x =，得2210t at -+=，∴2112t a t t t+==+． Q 1y t t =+在1[,1]2上单调递减，在[1，2]上单调递增， ∴当1x =时，1()2min t t +=；当2x =或12时，15()2max t t +=， ∴52[2,]2a ∈，∴5[1,]4a ∈． 18．已知函数21()log 1ax f x x -=-的图象关于原点对称，其中a 为常数． （1）求a 的值；（2）设集合4{|1}7A x x=-…，2{|()log (1)}B x f x x m =+-<，若A B ≠∅I ，求实数m 的取值范围． 【解答】解：（1）Q 函数21()log 1ax f x x -=-的图象关于原点对称，其中a 为常数． ∴222111()111ax ax x f x log log log x x ax +---==-=----， ∴1111ax x x ax+-=---， 解得1a =±．当1a =时，11111ax x x x --==---，与条件矛盾，舍去． 1a ∴=-； （2）Q 集合4{|1}7A x x=-…解不等式得{|37}A x x =<„． 由（1）知，2221()log (1)log log (1)1x f x x x m x ++-=+-<-； ∴21(1)x log x m>⎧⎨+<⎩，且A B ≠∅I ，解得121m x <<-； 由于A B ≠∅I ，所以213m ->，解得，2m >．故m 的取值范围是(2,)+∞．19．近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器x （百台），其总成本为()P x （万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入()Q x （万元）满足20.522(016)()224(16)x x x Q x x ⎧-+=⎨>⎩剟，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据以述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入-总成本）；（2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？【解答】解：（1）由题意得()1210P x x =+，⋯（1分）则20.5221210,016()()()2241210,16x x x x f x Q x P x x x ⎧-+--=-=⎨-->⎩剟 即为20.51212,016()21210,16x x x f x x x ⎧-+-=⋯⎨->⎩剟（4分） （2）当16x >时，函数()f x 递减，即有()(16)21216052f x f <=-=万元6⋯ 分 当016x 剟时，函数2()0.51212f x x x =-+-20.5(12)60x =--+，当12x =时，()f x 有最大值60万元．9⋯ 分所以当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元．10⋯ 分20．若函数()f x 满足：对于其定义域D 内的任何一个自变量0x ，都有函数值0()f x D ∈，则称函数()f x 在D 上封闭．（1）若下列函数的定义域为(0,1)D =，试判断其中哪些在D 上封闭，并说明理由．1()21f x x =-，2()21x f x =-．（2）若函数5()2x a g x x -=+的定义域为(1,2)，是否存在实数a ，使得()g x 在其定义域(1,2)上封闭？若存在，求出所有a 的值，并给出证明：若不存在，请说明理由．（3）已知函数()f x 在其定义域D 上封闭，且单调递增．若0x D ∈且00(())f f x x =，求证：00()f x x =．【解答】解：（1）在1()21f x x =-中，对于定义域D 内的任意一个自变量0x ，都有函数值10()(1f x ∈-，11)D ∉，故函数1()21f x x =-在1D 上不封闭；在2()21x f x =-中，21(0,1)x -∈，在1D 上封闭．（2）5()2x a g x x -=+的定义域为(1,2)，对称中心为(2,5)-， 当100a +>时，函数5()2x a g x x -=+在2D 上为增函数， 只需(1)1(2)210f f a ⎧⎪⎨⎪>-⎩…„，解得2a =当100a +<时，函数5()2x a g x x -=+在2D 上为减函数， 只需(1)2(2)110f f a ⎧⎪⎨⎪<-⎩„…，解得a ∈∅ 综上，所求a 的值等于2．证明：（3）Q 函数()f x 在其定义域D 上封闭，且单调递增．0x D ∈且00(())f f x x =，∴根据单调函数性质0()f x D ∈，则有唯一的0x D ∈，00()f x x ∴=．21．已知函数||0()20x x a x f x x +⎧=⎨<⎩…，其中a R ∈． （1）若1a =-，解不等式1()4f x …； （2）设0a >，21()log ()g x f x=，若对任意的1[2t ∈，2]，函数()g x 在区间[t ，2]t +上的最大值和最小值的差不超过1，求实数a 的取值范围；（3）已知函数()y f x =存在反函数，其反函数记为1()y f x -=，若关于x 的不等式12(4)()|2|f a f x x a --+-„在[0x ∈，)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当1a =-，|1|,0()2,0x x x f x x -⎧=⎨<⎩…， 当0x …时，1()|1|4f x x =-…，解得54x …或34x „，所以304x 剟或54x …；当0x <时，1()24x f x =…，解得2x -…，所以20x -<„； 综上所述，不等式的解为35[2,][,)44x ∈-+∞U ． （2）0a >Q ，1[2t ∈，2]，[x t ∈，2]t +，()f x x a ∴=+，2211()log ()()g x f log a x x==+， 由复合函数的单调判断原则，可知()g x 在[x t ∈，2]t +上单调递减，2211()()()(2)()()12max min g x g x g t g t log a log a t t ∴-=-+=+-++„， 化简得，2(2)t a t t -+…在1[2t ∈，2]上恒成立， 令32[0,]2m t =-∈，则22()(2)(2)(4)68t m m h m t t m m m m -===+---+， 当0m =时，()0h m =， 当3(0,]2m ∈时，1()86h m m m=+-， 由对勾函数性质可知，86m m +-在3(0,]2上单调递减，∴8316566236m m +-+-=…，即60()5h m <„， 故实数a 的取值范围为65a …； （3）Q 函数()y f x =存在反函数，()y f x ∴=单调，又()f x Q 在(,0)-∞上单调递增，()y f x ∴=在R 上必须单调递增，0021a ∴+=…即1a …，12,(),01x a x a f x log x x --⎧∴=⎨<<⎩…， 令2()()|2|F x f x x a =+-，[0x ∈，)+∞， 则222223,2()|2|,2a x a a x F x x a x a ax a a x ⎧-+⎪⎪=++-=⎨⎪-++<⎪⎩…， ∴22()()22min a a F x F a ==+， 12(4)()|2|f a f x x a --+-Q „在[0x ∈，)+∞上恒成立，∴当041a <-<即34a <<时，22(4)2a log a a -+„恒成立，34a ∴<<，当4a a -…即2a „时，242a a a a --+„32a 剟，综上所述，实数a 的取值范围为3,2](3,4)a ∈U ．。

2019-2020学年上海市复旦大学附属中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．对二元一次方程组1223x y c x y c -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵A 经过一系列的初等行变换，得：103~011A ⎛⎫⎪-⎝⎭，则列向量12c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭为（ ）A ．58⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．31⎛⎫ ⎪-⎝⎭C ．57⎛⎫ ⎪-⎝⎭D ．51⎛⎫ ⎪-⎝⎭【答案】A【解析】首先根据题意得到3x =，1y =-，再代入方程组即可得到答案. 【详解】 二元一次方程组1223x y c x y c -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵A 经过一系列的初等行变换，得：103~011A ⎛⎫⎪-⎝⎭，所以3x =，1y =-，所以1232331c c +=⎧⎨⨯-=⎩，即1258c c =⎧⎨=⎩. 列向量12c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭为58⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A 【点睛】本题主要考查方程组的增广矩阵，属于简单题. 2．已知2sin 23α=，则2sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．16B ．12C ．13D ．56【答案】D【解析】利用二倍角降幂公式和诱导公式可求得2sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【详解】由二倍角的降幂公式可得221cos 211sin 2523sin 42226παπαα⎛⎫-++⎪+⎛⎫⎝⎭+==== ⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查利用二倍角降幂公式和诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题. 3．设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a 为递减数列，则（ ） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d >【答案】C【解析】试题分析：因为{}n a 是等差数列，则2111(1)1(1)22n a a a a n dn a a n d +-=+-∴=，又由于{}12na a 为递减数列，所以1111-01221202nn a a a d a a a d +=>=∴<，故选C.【考点】1.等差数列的概念；2.递减数列.4．根据下面一组等式：11s =， 2235s =+=，345615s =++=， 47891034s =+++=， 5111213141565s =++++=， 6161718192021111s =+++++=，……可得21n S -=（ ）A ．324641n n n -+-B ．1413n -C ．2184023n n -+D ．(1)12n n -+【答案】A【解析】求出第()1n -行最后一项，可得第n 行为第一项，求出第n 行最后一项，根据第n 是等差数列求出n S ，即可求出21n S -. 【详解】易得第()1n -行最后一项为[]21(1)(1)22n n n n +---=，则第n 行第一项为212n n-+， 第n 行最后一项为2(1)22n n n n++=， 故第n 行为第一项212n n -+，最后一项为22n n+，项数为n 的等差数列， 故22312222n n n n n n n n S ⎛⎫-+++ ⎪+⎝⎭==， 所以32214641n S n n n -=-+-.故选：A. 【点睛】本题考查对数列的理解，以及等差数列的前n 项和的求法，属于中档题.二、填空题5．1-和4-的等比中项为__________． 【答案】2±【解析】根据等比中项定义直接求解. 【详解】1-和4-的等比中项为2=±故答案为：2± 【点睛】本题考查等比中项，考查基本分析求解能力，属基础题. 6．化简求值：1tan arccos 3⎛⎫= ⎪⎝⎭________．【答案】【解析】设1arccos3α=，求出α的正弦值、余弦值，利用商数关系可得到答案．【详解】由反余弦函数定义得1 arccos(0,)32π∈，11cos(arccos)33=，∴2211122sin(arccos)1cos(arccos)1()3333=-=-=，1sin(arcsin)13tan(arccos)2213cos(arccos)3==故答案为：22．【点睛】本题考查反余弦函数的定义，考查平方关系，属于基础题.7．若函数()sin()(0)f x xωϕω=+>的局部图像如下图，则ω=_______．【答案】4【解析】根据图象确定周期，解得ω.【详解】由图得0022()442T x xTπππω=+-=∴==故答案为：4【点睛】本题考查函数周期，考查数形结合思想方法，属基础题.8．若三角式等式2cos2cos cosx a b x c x=++（,,a b c为常数），对于任意x∈R都成立，则a b c-+=______．【答案】1【解析】利用特值法，分别取2xπ=，xπ=，0x=，代入三角等式即可得到答案. 【详解】因为三角式等式2cos2cos cosx a b x c x=++（,,a b c为常数），对于任意x ∈R 都成立， 所以当2x π=时，2cos coscos 22πππ=++a b c ，解得：1a =-.当x π=时，2cos 2cos cos πππ=++a b c ， 即：1=-+a b c .当0x =时，2cos0cos0cos 0=++a b c ， 即：1a b c =++.所以1111b c b c =--+⎧⎨=-++⎩，解得02b c =⎧⎨=⎩. 所以1021-+=-++=a b c . 故答案为：1 【点睛】本题主要考查特殊三角函数值得用法，特值法为解决本题的关键，属于简单题.9．lim 1nn r r →∞⎛⎫ ⎪+⎝⎭存在，则实数r 的取值范围是________． 【答案】12r >-【解析】根据数列极限存在的条件求解.， 【详解】因为lim 1nn r r →∞⎛⎫ ⎪+⎝⎭存在，所以011<<+rr ， 解得12r >-故答案为：12r >- 【点睛】本题主要考查数列极限的定义和性质，属于基础题.10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12020OB a OA a OC =+（向量OA 、OC 不平行），A 、C 、B 共线，则2020S =_________． 【答案】1010【解析】先证明当A 、C 、B 共线且OB mOA nOC =+，则1m n +=，根据题意可求得12020a a +的值，然后利用等差数列求和公式可求得2020S 的值. 【详解】当A 、C 、B 共线时，则AB 、AC 共线，可设AB AC λ=， 所以，()OB OA OC OA λ-=-，()1OB OA OC λλ∴=-+， 又OB mOA nOC =+，则()11m n λλ+=-+=，由于12020OB a OA a OC =+（向量OA 、OC 不平行），A 、C 、B 共线，则120201a a +=， 由等差数列的求和公式可得()120202020202020201101022a a S +⨯===.故答案为：1010. 【点睛】本题考查等差数列求和，同时也考查了三点共线结论的应用，考查计算能力，属于中等题.11．123PP P 是边长为1的正三角形，则12(,1,2,3,)i j PP PP i j i j ⋅=≠取值集合为__________． 【答案】111,,,122⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【解析】根据数量积的定义，分别求2112PP PP ⋅、1122PP P P ⋅、1213PP PP ⋅、1132PP P P ⋅、3122PP P P ⋅、2132PP P P ⋅，即可得12(,1,2,3,)i j PP PP i j i j ⋅=≠取值集合. 【详解】 如图：由向量数量积的定义得：11212122cos01111PP PP PP PP ⋅==⨯⨯=；()12122121cos1801111PP P P PP P P ⋅==⨯⨯-=-； 1212131311cos601122PP PP PP PP ⋅==⨯⨯=； 3112123111cos1201122PP P P PP P P ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭； 2312122311cos1201122PP P P PP P P ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭； 1212323211cos601122PP P P PP P P ⋅==⨯⨯=. 故构成的集合为：111,,,122⎧⎫--⎨⎬⎩⎭ 【点睛】本题主要考查了向量数量积的定义，属于基础题.12．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)，则λμ=___________.【答案】4 【解析】【详解】以向量a ，b 的交点为原点，建立直角坐标系，则a =(-1,1)， b =(6,2)， c = (-1,-3)，由c =λa ＋μb ，得()()()1,31,16,2λμ--=-+，即61,{23,λμλμ-+=-+=-解得12,2λμ=-=-，4λμ=.【考点定位】本小题考查了平面向量的线性运算、坐标运算和平面向量基本定理.13．已知{}n a 是等差数列, 11a =,公差0d ≠,n S 为其前n 项和,若1a ,2a ,5a 成等比数列,则8S =_____. 【答案】64【解析】利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出． 【详解】解：因为{}n a 为等差数列,且1a ,2a ,5a 成等比数列,所以()()21114a a d a d +=+,解得122d a ==,所以()()818818818826422S a d ⨯-⨯-=+=+⨯=. 故答案为：64 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 14．如图是由6个宽、高分别为1b ，1a ；2b ，2a ；3b ，3a ；…；6b ，6a ，的矩形在第一象限紧挨拼成()1234560a a a a a a >>>>>>．显然6个矩形面积之和为6112266S a b a b a b =+++．若记12i i T b b b =+++，1,2,,6i =，则上述面积又可以写成()()()6121232565S a a T a a T a a T X =-+-++-+形式，其中代数式X =________．（用题目中元素i a ，i b ，i T 的最简形式表达）【答案】66a T【解析】根据题中条件，找出规律，进而可得出结果. 【详解】由题意，()()611226*********S a b a b a b a T a T T a T T =+++=+-++-()()()12123256566a a T a a T a a T a T =-+-++-+故66X a T =. 故答案为：66a T . 【点睛】本题主要考查合情推理的简单应用，属于基础题型.15．已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -≤的解集为__________． 【答案】4712{|}3443x x x ≤≤≤≤或【解析】当102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，由()1 2f x =，即1 2cos x π= 则 3x ππ=，即13x =当12x >时，由()1 2f x =，得121?2x -=，解得3 4x =则当0x ≥时，不等式()12f x ≤的解为1334x ≤≤ 则由()f x 为偶函数∴当0x <时，不等式()12f x ≤的解为3143x -≤≤- 即不等式()12f x ≤的解为1334x ≤≤或3143x -≤≤-则由13134x ≤-≤或31143x -≤-≤-解得：4734x ≤≤或1243x ≤≤即不等式()112f x -≤的解集为4712{|}3443x x x ≤≤≤≤或点睛：本题是一道关于分段函数的应用的题目，考查了不等式的求解以及函数的图象问题．先求出当0x ≥时，不等式()12f x ≤的解，然后利用函数的奇偶性求出整个定义域()12f x ≤的解，即可得到结论． 16．三角形蕴涵大量迷人性质，例如：若点O 在ABC 内部，用A B C S S S 、、分别代表OBC 、OCA 、OAB 的面积，则有0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．现在假设锐角三角形顶点,,A B C 所对的边长分别为,,,a b c H 为其垂心，,,HA HB HC 的单位向量分别为123,,e e e ，则123ae be ce ++=_________．【答案】0【解析】由0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=可得112a HD HA e ⋅+212b HE HB e ⋅+3102c HF HC e ⋅=，根据相似三角形可得HD HA HE HB =，HF HC HE HB =，即HD HA HE HB =HF HC =，即可得1230ae be ce ++= 【详解】由0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=可得1231110222a HD HA eb HE HB ec HF HC e ⋅+⋅+⋅= 根据BHD AHE ∽可得HD HA HE HB =，同理可得HF HC HE HB =，所以HD HA HE HB =HF HC =， 所以1230ae be ce ++= 故答案为：0 【点睛】本题以三角形中的结论为载体，考查了垂心的性质，涉及三角形面积公式、相似三角形的性质，属于难题.三、解答题17．已知(cos ,sin ),(cos 3sin ,3cos sin ),()a x x b x x x x f x a b ==+-=⋅（1）求()f x 的解析式及其最小正周期； （2）求()f x 的单调增区间． 【答案】（1）()2sin 2,6f x x T ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；（2）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． 【解析】（1）利用数量积的坐标表示，将()f x a b =⋅表示出来，再利用二倍角公式、辅助角公式即可化简()f x ，由周期公式即可得周期. （2）令222262k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈，解得x 的范围即为()f x 的单调增区间. 【详解】（1）())()cos cos sin sin f x a b x x x xx x =⋅=+-22cos sin cos cos 22x x x x x x =-+=+ 2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭最小正周期22T ππ== （2）令222262k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈解得：36k x k ππππ-+≤≤+，()k Z ∈所以()f x 的单调增区间为：,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈【点睛】本题主要考查了三角公式的二倍角公式、辅助角公式，考查了求解三角函数的周期和单调区间，涉及了向量数量积的坐标表示，属于中档题.18．在斜三角形ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、且()222sin cos cos()ba c A A ac A C --=+，（1）求角A 大小； （2）若sin cos BC>，求角C 的取值范围． 【答案】（1）4π；（2）,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）根据正弦定理与余弦定理化简条件，解得角A ；（2）将B 化为C ，再根据两角和正弦公式化简，最后根据正切函数性质解不等式得结果. 【详解】 （1）()222sin cos cos()ba c A A ac A C --=+()2cos sin cos cos()ac B A A ac B π∴-=- ()2cos sin cos cos ac B A A ac B ∴-=-因为斜三角形ABC 中cos 0,B ≠2sin cos 1sin 212,24A A A A A ππ∴=∴=∴==；（2）sin()sin 4cos cosC B C Cπ+>>cos 22tan 1(,)cos 42C CC C C ππ+∴>>∴∈ 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、两角和正弦公式、正切函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.19．某水泥厂计划用一台小型卡车从厂区库房运送20根水泥电线杆，到一条公路沿着路侧架设，已知库房到该公路入口处500米，从库房出发卡车进入公路后继续行驶，直到离入口50米处时放下第一根电线杆，然后沿着该公路同一侧边每隔50米逐一放下余下电线杆，放完折返库房重新装运剩余电线杆．已知卡车每趟从库房最多只能运送3根水泥杆．问：卡车运送完这批水泥杆，并最终返回库房，至少运送几趟？最少行驶多少米？【答案】至少运送7趟，最少行驶14700米.【解析】根据每趟从库房最多只能运送3根水泥杆确定运送趟数，再根据等差数列求和公式计算行驶路程. 【详解】因为每趟从库房最多只能运送3根水泥杆，20362=⨯+，所以至少运送7趟， 第一趟运送2根，后6趟每次运送3根时行驶路程最少，后6趟行驶路程构成以为(500505)2+⨯⨯首项，(5032)⨯⨯为公差的等差数列，最少行驶16(500505)2(5032)65(500502)2147002+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯++⨯⨯=米 【点睛】本题考查数列在实际问题中应用、等差数列求和公式，考查基本分析求解能力，属中档题.20．设数列{}n x 各项均为正数，且满足()22221222,n x x x n n n N ++++=+∈，（1）求数列{}n x 的通项公式n x ；（2）已知122311113n n x x x x x x ++++=+++，求n ；（3）试用数学归纳法证明：2122312(1)1n n x x x x x x n +⎡⎤+++<+-⎣⎦．【答案】（1）*n x n N =∈；（2）48；（3）证明见解析． 【解析】（1）先根据和项与通项关系求得2n x ，解得n x ； （2）利用裂项相消法化简条件，解得结果；（3）先证明1n =成立，再根据n k =成立推导1n k =+成立即可. 【详解】 （1）当2n ≥时222222221212122,2(1)2(1),n n x x x n n x x x n n -+++=++++=-+-所以222222(1)2(1)4n n n n n xn =+----=当1n =时221224,40n n n x x nx x =+=∴=>∴=（2）111(1)2221n n n n x x n n +==+-+++所以122311111111(21)(32)(1)(11)32222n n n n n x x x x x x ++++=-+-+++-=+=+++解得48n =；（3）①当1n =时, 212222232[(11)1]x x =⨯<⨯=+-，即1n =时,结论成立； ②假设当,(1,)n k k k Z =≥∈时,结论成立，即2122312(1)1k k x x x x x x k +⎡⎤+++<+-⎣⎦当1n k =+时, 21212122312(1)1k k k k k k x x x x x x x x x k x ++++++⎡⎤+++<+⎣⎦+-因为21224122(2(1)12(212)3)k k x k x k k k k ++⎡⎤⎡⎤+-+-+=++⎣-⎦++⎣⎦22222(41282(2)12(2)14129)k k k k k k =+++-+⎡⎤⎡⎤+-+-+⎣<⎦⎣⎦即当1n k =+时, 结论成立； 由①②得，2122312(1)1n n x x x x x x n +⎡⎤+++<+-⎣⎦【点睛】本题考查根据和项求通项、裂项相消法求和、数学归纳法证明不等式，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.21．借助三角比及向量知识，可以方便地讨论平面上点及图象的旋转问题．试解答下列问题．（1）在直角坐标系中，点133,122A ⎫-⎪⎪⎭，将点A 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转6π到点B ，如果终边经过点A 的角记为α，那么终边经过点B 的角记为6πα+．试用三角比知识，求点B 的坐标；（2）如图，设向量(),AB h k =，把向量AB 按逆时针方向旋转θ角得向量AC ，试用h 、k 、θ表示向量AC 的坐标；（3）设(),Aa a 、(),B m n 为不重合的两定点，将点B 绕点A 按逆时针方向旋转θ角得点C ，判断C 是否能够落在直线y x =上，若能，试用a 、m 、n 表示相应θ的值，若不能，说明理由．【答案】（1）()2,1；（2）()cos sin ,cos sin AC h k k h θθθθ=-+；（3）能，()(),22arctan ,22k k Z m n a m n k k Z m n am n a ππθπ⎧+∈+=⎪⎪=⎨-⎪+∈+≠⎪+-⎩.【解析】（1）计算出OA 以及sin α、cos α的值，利用两角和的正弦和余弦公式可求得cos 6πα⎛⎫+⎪⎝⎭和sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，进而可得点B 的坐标； （2）记AB r =，cos h r β=，sin krβ=，可得出()()()cos ,sin AC r r βθβθ=++，利用两角和的正、余弦公式可求得向量AC 的坐标； （3）求得点C 的坐标，由点C 在直线y x =上可得出()()2sin cos m n a m n θθ+-=-，分20m n a +-=与20m n a +-≠两种情况讨论，结合反三角函数可得出角θ. 【详解】（1）由于点1,122A ⎫-⎪⎪⎭，则OA ==根据三角函数的定义可得1cos 10α==，1sin α-==所以，1cos cos cos sin sin 6661021025πππααα⎛⎫+=-=-⨯=⎪⎝⎭，1sin sin cos cos sin 6661021025πππααα⎛⎫+=+=+⨯=⎪⎝⎭，由旋转可知，OB OA == 所以，点B 的横坐标为cos 26B x OB θα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，纵坐标为sin 16B y OB πα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，因此，点B 的坐标为()2,1； （2）记AB r =，cos h r β=，sin krβ=，则()()()cos ,sin AC r r βθβθ=++， 其中()cos cos cos sin sin cos sin r r r h k βθβθβθθθ+=-=-，()sin sin cos cos sin cos sin r r r k h βθβθβθθθ+=+=+，因此，()cos sin ,cos sin AC h k k h θθθθ=-+； （3）(),AB m a n a =--， 由（2）可知()()()()()cos sin ,cos sin AC m a n a n a m a θθθθ=----+-，()()()()()cos sin ,cos sin O a m a n a C OA A b n a m a C θθθθ=+---++=+--，即点()()()()()cos sin ,cos sin C a m a n a a n a m a θθθθ+---+-+-， 由于点C 在直线y x =上，可得()()()()cos sin cos sin a m a n a a n a m a θθθθ+---=+-+-， 整理得()()2sin cos m n a m n θθ+-=-.①当20m n a +-=时，即当2m n a +=时，cos 0θ=，此时()2k k Z πθπ=+∈；②当20m n a +-≠时，即当2m n a +≠时，可得tan 2m nm n aθ-=+-，此时，()arctan2m nk k Z m n aθπ-=+∈+-.综上所述，()(),22arctan ,22k k Z m n a m n k k Z m n am n a ππθπ⎧+∈+=⎪⎪=⎨-⎪+∈+≠⎪+-⎩. 【点睛】本题考查三角恒等变换与平面向量的综合问题，考查了两角和的正弦、余弦公式以及反三角函数的应用，考查推理能力与计算能力，属于难题.。

复旦附中高一期末数学试卷2019.01一. 填空题1. 3()x f x a -=（0a >且1a ≠）的图像经过一个定点，这个定点的坐标是2.函数y 的定义域是3. 研究人员发现某种物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （单位：分钟）的变化规律 是：1222x x y -=⋅+(0)x ≥. 经过 分钟，该物质温度为5摄氏度4. 函数(3)4,1()log ,1a a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩是定义在R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围 是5. 函数122()(4174)f x x x -=-+的单调递增区间是6. 函数0.52|log |1x y x =-的零点个数为 个7. 若函数22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 8. 已知函数22,0()log ,01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是1()f x -，则11()2f -= 9. 当|lg ||lg |a b =()a b <时，则2a b +的取值范围是10. 函数1()42x f x =-的图像关于点 成中心对称 11. 设2{|}M y y x -==，1{|(1)(1)(||1)(2),12}1N y y x m x x m ==+-+--≤≤-， 若N M ⊆，则实数m 的取值范围是 12. 已知函数2()41f x ax x =++，若对任意x ∈R ，(())0f f x ≥恒成立，实数a 的取值 范围是二. 选择题13. 下列四组函数中，不是互为反函数的是（ ）A. 3y x -=和13y x -=B. 23y x =和32y x =(0)x ≥C. 2x y =(0)x >和2log y x =(1)x >D. lg(1)y x =-(1)x >和101x y =+ 14. “1a >”是“函数()(1)x f x a a =-⋅是单调递增”的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要15. 下列四个函数中，图像如图所示的只能是（ ）A. lg y x x =+B. lg y x x =-+C. lg y x x =-D. lg y x x =--16. 已知n m <，函数122|1|log (1),1()23,x x x n f x n x m ----≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩的值域 是[1,1]-有下列结论：① 当0n =时，(0,2]m ∈； ② 当12n =时，1(,2]2m ∈； ③ 当1[0,)2n ∈时，[1,2]m ∈； ④ 当1[0,)2n ∈时，(,2]m n ∈. 其中，正确的命题为（ ）A. ①②B. ①③C. ②③D. ③④三. 解答题17. 已知幂函数223()m m f x x -++=()m ∈Z 是奇函数，且(1)(2)f f <.（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）求12221log ()log [2()],[,2]2y f x f x x =+∈的值域.18. 已知函数2()log ()f x x a =+，a 为常数，()g x 是定义在[1,1]-上的奇函数.（1）当2a =时，满足|()|1f x >的x 取值范围；（2）当01x ≤≤时，()()g x f x =，求()g x 的反函数1()g x -.19. 如图所示，为一台冷轧机的示意图，冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.（轧钢过程中，钢带宽度不变，且不考虑损耗）一对对轧辊的减薄率=输入该对的钢带厚度-输出该对的钢带厚度输入该对的钢带厚度（1）输入钢带的厚度为20mm ，输出钢带的厚度为2mm ，若每对轧辊的减薄率不超过 20%，问冷轧机至少需要安装几对轧辊？（2）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm ，若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的刚带上，疵点的间距为 k L ，易知41600L mm =，为了便于检修，请计算1L 、2L 、3L .20. 已知函数2()a f x x x=+（其中a 为常数）. （1）判断函数(2)x y f =的奇偶性；（2）若不等式1(2)242x x x f <++在[0,1]x ∈时有解，求实数a 的取值范围； （3）设1()1x g x x -=+，是否存在正数a ，使得对区间1[0,]2上的任意三个实数m 、n 、p ， 都存在以[()]f g m 、[()]f g n 、[()]f g p 为边长的三角形？若存在，试求出这样的a 的取值 范围；若不存在，请说明理由3k →→21. 函数()y f x =定义域为有理数集，当0x ≠时，()1f x >，且对任意有理数x 、y ， 有()()2()()f x y f x y f x f y ++-=.（1）证明：(0)1f =；（2）比较1()2f -、1()2f 、(1)f 的大小，并说明理由； （3）对任意的,x y +∈Q ，x y <，判断()f x 、()f y 的大小关系，并说明理由.参考答案一. 填空题1. (3,1)2. (,6]-∞3. 14. (1,3)5. 1(,)4-∞ 6. 2 7. 53a >或1a ≤- 8. 1- 9. (3,)+∞ 10. (2,0) 11. (1,0){1}- 12. [3,)+∞二. 选择题13. B 14. A 15. C 16. C三. 解答题17.（1）0m =，3()f x x =；（2）5[,11]4-.18.（1）3(2,)(0,)2--+∞；（2）121[0,1]()12[1,0)x x x g x x --⎧-∈=⎨-∈-⎩.19.（1）11；（2）13125L =，22500L =，32000L =.20.（1）1a =，偶函数；1a =-，奇函数；1a ≠±，非奇非偶函数；（2）(3,3)-；（3）5155(,(,)315153--.21.（1）略；（2）11(1)()()22f f f >=-；（3）()()f x f y <.。

复旦大学附属中学2019学年第一学期高一年级数学期末考试试卷时间：120分钟 满分：150分一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1.函数()12log 5y x =-的定义域为 ．2.函数()()211f x x x =+≤-的反函数为 ． 3.已知2log 3a =，试用a 表示9log 12= ．4.幂函数()()2231m m f x a x --=-(),a m N ∈为偶函数，且在()0,+∞上是减函数，则a m += ．5.函数()23log y x x =-的递增区间为 ．6.方程()2log 95x -=()2log 322x -+的解为x = ． 7.已知关于x 的方程2240x kx k k +++-=有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数k 的取值范围为 ． 8.若函数()6,2,3log ,2,a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩，（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是 ． 9.已知()()1332x x f x -=-的反函数为()1f x -，当[]3,5x ∈-时，函数()()111F x f x -=-+的最大值为M ，最小值为m ，则M m += ．10.对于函数()y f x =，x D ∈，若对任意a ，b ，c D ∈，()f a ，()f b ，()f c 都可为某一三角形的三边长，则称()f x 为“三角形函数”.已知()1x x e t f x e +=+是三角形函数，则实数t 的取值范围是 ． 11.若关于x 的方程5445x x m x x⎛⎫+--= ⎪⎝⎭在()0,+∞内恰好有三个实数根，则实数m 的取值范围是 ． 12.已知函数()21211log 12x x k x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，()()()2lg 21x g x a x a R x =⋅++∈+若对任意的1x ，{}2,2x x x R x ∈∈>-，均有()()12f x g x ≤，则实数k 的取值范围是 ．二、选择题：（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=，则命题甲是命题乙的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件14.下列函数中既是偶函数，又在()0,+∞上单调递增的是（ ）A ．1y x =B ．2y x -=C ．2log y x =D ．23y x = 15.设函数()f x 的定义域为R ，有下列三个命题：（1）若存在常数M ，使得对任意x R ∈，有()f x M ≤，则M 是函数()f x 的最大值；（2）若存在0x R ∈，使得对任意x R ∈，且0x x ≠，有()()0f x f x <，则()0f x 是函数()f x 的最大值；（3）若存在0x R ∈，使得对任意x R ∈，有()()0f x f x ≤，则()0f x 是函数()f x 的最大值. 这些命题中，真命题的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个16.已知函数()22x f x m x nx =⋅++，记集合(){}0,A x f x x R ==∈，集合(){}0,B x f f x x R ==∈⎡⎤⎣⎦，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ）A ．[]0,4B ．[]1,4- C.[]3,5- D ．[]0,7三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.已知函数()1421x x f x a +=-⋅+.（1）若1a =，解方程：()4f x =；（2）若()f x 在[]1,1-上存在零点，求实数a 的取值范围.18.已知函数()21log 1ax f x x -=-的图像关于原点对称，其中a 为常数. （1）求a 的值；（2）设集合417A x x ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，()(){}2log 1B x f x x m =+-<，若A B φ=，求实数m 的取值范围. 19.近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题.某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器x （百台），其总成本为()P x （万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本）.销售收入()Q x （万元）满足()()()20.522,016224,16x x x Q x x ⎧-+≤≤⎪=⎨>⎪⎩，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入-总成本）；（2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？20.若函数()f x 满足：对于其定义域D 内的任何一个自变量0x ，都有函数值()0f x D ∈，则称函数()f x 在D 上封闭.（1）若下列函数的定义域为()0,1D =，试判断其中哪些在D 上封闭，并说明理由.()121f x x =-，()221x f x =-；（2）若函数()52x a g x x -=+的定义域为()1,2，是否存在实数a ，使得()g x 在其定义域()1,2上封闭？若存在，求出所有a 的值，并给出证明；若不存在，请说明理由.（3）已知函数()f x 在其定义域D 上封闭，且单调递增，若0x D ∈且()()00f f x x =，求证：()00f x x =.21.已知函数()020x x a x f x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，其中a R ∈. （1）若1a =-，解不等式()14f x ≥； （2）设0a >，()21log g x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若对任意的1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()g x 在区间[],2t t +上的最大值和最小值的差不超过1，求实数a 的取值范围； （3）已知函数()y f x =存在反函数，其反函数记为()1y f x -=.若关于x 的不等式；()()1242f a f x x a --≤+-在[)0,x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.试卷答案一、填空题1.(),5-∞2.y =()2x ≥3.22a a+ 4.3 5.()1,+∞ 6.1 7.()3,0- 8.(]1,2 9.2 10.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.⎛ ⎝⎭ 12.3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 二、选择题13.A 14.D 15.C 16.A三、解答题17.（1）()42214x x f x =-⋅+=，23x =或21x=-（舍） 方程的解为2log 3x =.（2）令12,22x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则2210t at -+=， 2112t a t t t+==+，因为1t t +在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，[]1,2上递增， 所以522,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，51,4a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 18.（1）()f x 为奇函数，101ax x ->-的解集关于原点对称，所以1a =-. 此时()21log 1x f x x +=-，（1x >或1x <-），()21log 1x f x x -+-=--()21log 1x f x x -==-+成立， 所以1a =-.（2）[)3,7A = ()()()22log 1log 1f x x x m +-=+<在[)3,7上有解， ∵()[)2log 12,3x +∈，∴2m >.解2：()2log 1x m +<，012m x <+<，()1,21m B =-- ∵A B φ≠，∴213m ->，2m >.19.（1）由题意得()1210P x x =+，则()()()f x Q x P x =-=20.51212,016,21210,16.x x x x x ⎧-+-≤≤⎨->⎩（2）当16x >时，函数()f x 递减，即有()212101652f x <-⨯=；当016x ≤≤时，函数()()20.51260f x x =--+当12x =时，()f x 有最大值6052>综上可知，当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元.20.（1）当()0,1x ∈时，()()1211,1f x x =-∈-， ∴()1f x 在D 上不封闭；()()2210,1x f x =-∈，()2f x 在D 上封闭.（2）设存在实数a ，使得()52x a g x x -=+在()1,2上封闭， 即对一切()1,2x ∈，5122x a x -<<+恒成立， ∵20x +>，∴2524x x a x +<-<+，即3442x a x -<<-恒成立，∵()341,2x -∈-∴2a ≥；∵()422,6x -∈∴2a ≤. 综上，满足条件的2a =.（3）假设()00f x x ≠，①若()00f x x >，∵()00,f x x D ∈，()f x 在D 上单调递增， ∴()()()00f f x f x >，即()00x f x >，矛盾；②若()00f x x <，∵()0f x ，0x D ∈，()f x 在D 上单调递增， ∴()()()00f f x f x <，即()00x f x <，矛盾.所以，假设不成立，()00f x x =.21.（1）1a =-时，()1,02,0x x x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩ 当0x ≥时，()114f x x =-≥，54x ≥或34x ≤，∴350,,44x ⎡⎤⎡⎫∈+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭； 当0x <时，()124x f x =≥，2x ≥-，∴[)2,0x ∈-. 综上，352,,44x ⎡⎤⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭. （2）∵0a >，[],2x t t ∈+，∴()2211log log g x f a x x ⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减， ()()max min g x g x -=()()2g t g t -+=2211log log 12a a t t ⎛⎫⎛⎫+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 1122a a t t ⎛⎫+≤+ ⎪+⎝⎭，()12222t a t t t t -≥-=++在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， 令320,2m t ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，()()22t h m t t -==+()()22468m mm m m m =---+， 当0m =时，()0h m =，当30,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()186h m m m=+-， ∵86m m +-在30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减，∴8316566236m m +-≥+-=，()60,5h m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 综上，65a ≥. （3）若0a <，则()()02f f a a =-=；若0a =，则()11122f f ⎛⎫-== ⎪⎝⎭； 若01a <<，则()()20log f f a a ==，∴1a <时，()f x 没有反函数.当1a ≥时，(),02,0x x a x f x x +≥⎧=⎨<⎩为增函数，存在反函数， 且()f x 的值域为()[)0,1,a +∞.令()()22F x f x x a =+-，[)0,x ∈+∞，则()22F x x a x a =++-=22223,2,2a x a a x ax a a x ⎧-+≥⎪⎪⎨⎪-++<⎪⎩， 22a x =，()2min 2a F x a =+，所以()2142a f a a --≤+， 因为()f x 是增函数，所以()1f x -也是增函数.()[)()(]22242,680,332240,1,,3,4,21a a a f a a a a a a a a a a ⎧⎛⎫-≤+=++-≥≥-+≤-⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪-∈+∞∈-∞⎨⎪≥⎪⎪⎩综上，()3,23,4a ⎤∈⎦.。