二次函数性质(对称性)(含答案)

(一)、教学内容1.二次函数得解析式六种形式①一般式y＝ax2 +bx+c(a≠0)②顶点式（a≠０已知顶点)③交点式(a≠0已知二次函数与X轴得交点）④y=ax２(ａ≠0）（顶点在原点）⑤y=ax２＋c(a≠0) (顶点在y轴上)⑥ｙ=ax2 +ｂx (a≠０) (图象过原点)2.二次函数图像与性质对称轴:顶点坐标:与y轴交点坐标(0,c)增减性:当a＞0时，对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,ｙ随x增大而增大ﻩ当a<０时,对称轴左边，y随x增大而增大;对称轴右边，y随x增大而减小☆二次函数得对称性二次函数就是轴对称图形,有这样一个结论:当横坐标为x1, x2 其对应得纵坐标相等那么对称轴:与抛物线y=ax2 ＋ｂx+c(a≠0）关于y轴对称得函数解析式:y=ａx２-bｘ+c(a≠0)与抛物线y=ax2 +ｂx+c(a≠0）关于x轴对称得函数解析式:y=-ax2–bx-c(a≠0）当a>0时，离对称轴越近函数值越小,离对称轴越远函数值越大；当a＜０时,离对称轴越远函数值越小,离对称轴越近函数值越大;【典型例题】题型 1 求二次函数得对称轴1、二次函数y＝－ｍx+3得对称轴为直线x=３,则m=_＿_____＿。

2、二次函数得图像上有两点(３，-８)与(－5，-8）,则此拋物线得对称轴就是( ) (A) (Ｂ） (C) (D)3、y=２ｘ－４得顶点坐标为___ ___＿_，对称轴为___＿__＿___。

4、如图就是二次函数y＝ａx２+bx＋c图象得一部分,图象过点Ａ(－3,0)，对称轴为x=-１.求它与x轴得另一个交点得坐标( , )5、抛物线得部分图象如图所示,若,则x得取值范围就是( )A、 B、C、或D、或6、如图,抛物线得对称轴就是直线,且经过点(3,0),则得值为 ( ）A、0B、－1C、 1D、２题型2 比较二次函数得函数值大小1、、若二次函数,当x取，(≠)时，函数值相等,则当x取＋时,函数值为( )(A)a＋c （B）a-c （C)-ｃ (D)ｃ2、若二次函数得图像开口向上,与x轴得交点为(4,0),(-2,0）知,此抛物线得对称轴为直线x=1,此时时,对应得y1 与ｙ２得大小关系就是( )Ａ．y1 <ｙ2Ｂ、 y１=y２Ｃ、 y1＞y２Ｄ、不确定点拨:本题可用两种解法yxO–1 13O–1 331解法1:利用二次函数得对称性以及抛物线上函数值y随x得变化规律确定:a>0时，抛物线上越远离对称轴得点对应得函数值越大;a<0时,抛物线上越靠近对称轴得点对应得函数值越大解法2:求值法:将已知两点代入函数解析式,求出a,b得值再把横坐标值代入求出ｙ1 与y２得值,进而比较它们得大小变式１：已知二次函数上两点,试比较得大小变式２:已知二次函数上两点，试比较得大小变式3:已知二次函数得图像与得图像关于y轴对称,就是前者图像上得两点，试比较得大小题型3 与二次函数得图象关于x、y轴对称:二次函数就是轴对称图形，有这样一个结论:当横坐标为x1，x２其对应得纵坐标相等那么对称轴：与抛物线y＝ax2 +bx+c（a≠0）关于y轴对称得函数解析式:y＝ａx２-bｘ＋ｃ(a≠０)与抛物线y=aｘ2+bx+ｃ（a≠0)关于x轴对称得函数解析式:y=-aｘ2 –bx-c(a≠０)１、把抛物线y＝-2x2+4x＋３沿x轴翻折后，则所得得抛物线关系式为____ __＿＿2、与y＝ -3x+关于Ｙ轴对称得抛物线_＿_＿_____＿_____＿3、求将二次函数得图象绕着顶点旋转１80°后得到得函数图象得解析式。

专题12 二次函数1．二次函数的概念：一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系： y=ax 2+bx+c(a≠0，a 、b 、c 为常数)，则称y 为x 的二次函数。

抛物线)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

2.二次函数y=ax 2 +bx+c(a ≠0)的图像与性质（1）对称轴：2b x a=- （2）顶点坐标：24(,)24b ac b a a-- （3）与y 轴交点坐标（0，c ）（4）增减性：当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y 随x 增大而增大；对称轴右边，y 随x 增大而减小。

3.二次函数的解析式三种形式。

（1）一般式 y=ax 2+bx+c(a ≠0).已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式 2()y a x h k =-+ 224()24b ac b y a x a a-=-+ 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。

（3）交点式 12()()y a x x x x =--专题知识回顾y x O已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式。

4．根据图像判断a,b,c 的符号（1）a 确定开口方向 ：当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线的开口向下。

（2）b ——对称轴与a 左同右异。

（3）抛物线与y 轴交点坐标（0，c ）5．二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴交点的横坐标x 1, x 2 是一元二次方程ax 2 +bx+c=0（a ≠0）的根。

抛物线y=ax 2 +bx+c ，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax 2 +bx+c=024b ac ->0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x 轴有两个交点；24b ac -=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x 轴有一个交点；24b ac -<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x 轴没有交点。

二次函数的对称性二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x 1, x 2 其对应的纵坐标y 相等，那么对称轴122x x x +=其可以变形为：x 1 = x 2 =例、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过点A （1，2），B （3，2），C （5，7）三点，则该二次函数的对称轴为__________变形：已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象的对称轴为直线x=3,点A （1，2）与点B 关于对称轴对称，则点B 的坐标为____________变形：已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象的对称轴为直线x=3,点A （3，2）与点B 关于对称轴对称，则点B 的坐标为____________练习、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过点A （-1，2），B （3，2），C （5，7）三点，则该二次函数的对称轴为__________练习、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过点A （-1，2），B （3，2），C （5，7）三点，则点C 关于二次函数的对称轴的对称点D 的坐标为__________练习、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过点A （-3，3），B （-5，3），C （1，6）三点，则点C 关于二次函数的对称轴的对称点D 的坐标为__________练习、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象的对称轴为直线x=3,点A （1，2）与点B 关于对称轴则二次函数y=ax 2+bx+c 的的对称轴为____________,在x=2时，y=___________．在y=-5时，x=____________增减性在对称中的应用已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象过点A（-1，2），B（3，2）．若点M（-2，y1），N（-1，y2），K（0，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为__________已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象过点A（-1，2），B（3，2）．若点M（2，y1），N（4，y2），K（3，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为__________已知二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象过点A（-1，2），B（3，2）．若点M（-2，y1），N（-1，y2），K（0，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为__________已知二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象过点A（-1，2），B（3，2）．若点M（2，y1），N（4，y2），K（3，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为__________例2、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（-2，练习1、已知点（-2，y1），（-1，y2），（3，y3）都在函数y=x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关2、已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）过A（-3，0）、O（1，0）、B（-5，y1）、C（5，y2）四点，则巩固作业：则二次函数y=ax2+bx+c的的对称轴为____________,顶点坐标为___________在x= 4时，y=___________．在y= -8时，x=____________2、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A（1，2），B（3，2），C（5，-2）．若点M（-2，y1），N（-1，y2），K（8，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是______________________3、已知点（-2，y1），（-1，y2），（5，y3）都在函数y=(x-1)2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是________________________4、已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过A（-3，0）、O（1，0）、B（-5，y1）、C（5，y2）四点，则(2)二次函数图象的对称变换：①两抛物线关于x 轴对称，此时顶点关于 x 轴对称，a 的符号相反；②两抛物线关于y 轴对称，此时顶点关于y 轴对称，a 的符号不变；(3)二次函数图象的旋转：开口反向(或旋转180°)，此时顶点坐标不变，只是a的符号相反．抛物线y＝－（x+1）2 +2关于x轴对称的直线的解析式为：________________________抛物线y＝－（x+1）2 +2关于y轴对称的直线的解析式为：________________________抛物线y＝－（x+1）2 +2关于原点对称的直线的解析式为：________________________抛物线y＝－（x+1）2 +2饶顶点旋转180°后的直线的解析式为：________________________练习、抛物线y＝－（x+1）2 -2关于x轴对称的直线的解析式为：________________________抛物线y＝（x-1）2 +2关于y轴对称的直线的解析式为：________________________抛物线y＝－2（x-1）2 +2关于原点对称的直线的解析式为：________________________抛物线y＝－（x+1）2 -2饶顶点旋转180°后的直线的解析式为：________________________1、在下列二次函数中,其图象的对称轴为直线x= - 2的是()A.y=(x+2)2B.y=2x2-2C.y=-2x2-2D.y=2(x-2)22、二次函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标为_ ( )___________3、已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴是直线x= -1,下列结论:①abc<0;①2a+b=0;①a-b+c>0;①4a-2b+c<0.其中正确的是()A.①①B.只有①C.①①D.①①4、如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数图象的顶点坐标为(4,－3),该图象与x轴相交于点A、其中点A的横坐标为1. 求该二次函数的表达式;5、次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1,0),(3,0)和(0,2),求其函数关系式，并写出其顶点坐标。

一、引入f x=x2的图像关于y 轴对称,为啥子呢?答案一: 折叠能重合.答案二:f x=x2关于y轴对称的点都在f x=x2上.（作y=x2图像）（线由点构成）讲:设（a,b）是f x=x2上任意一点,则b=f a=a2.而（a,b）关于y轴的对称点为（−a,b），则f−a=a2=b.∴（−a,b）在f x=x2图像上. ∴f x=x2关于 y轴对称.∴f−a=f(a). ﹡对函数f x来讲, 将﹡式用文字语言描述: 自变量互为相反数, 函数值相等, 称之为偶函数. 对所以图像关于轴对称的函数都有此性质吗? 用余弦函数图像说明混脸熟.二、新课1、如果对一切使F x有定义的x, F−x也有定义, 并且F−x=F x成立, 则称F x为偶函数。

类比:如果对一切使F x有定义的x,F−x也有定义, 并且F−x=−F x成立, 则称F x为奇函数.2、从函数三要素来分析奇函数、偶函数.①定义域：在数轴上关于原点对称.②解析式举例: 奇函数: x n（n为奇数），偶函数：x n（n为偶数）.③值域：无限制。

例1. 判断下列函数的奇偶性。

（1）f x=|x+1|+|x−1|.（2）f x=1−x2x+1.（3）f x=12x2+1 x>0;−12x2−1 x<0.（4）f x=1−x2|x+2|.例2. 已知f x为R上奇函数. 当x>0时, f x=−2x2+3x+1.(1) 求f x解析式.(2) 做出函数f x的图像.小结：基本知识: 1.奇、偶、定义域特点.2.判断函数奇偶性的方法.数学习惯: 符号语言, 文字语言, 图形语言的转换.数学思想: 类比, 函数思想——用研究函数的方法研究函数(三要素、性质). 作业：一、复习引入回顾上节小结的内容（具体化）.二、新课1、具有奇偶性的函数, 其单调性如何？举例：f x=x2,g x=1x.结论：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同.偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.2、二次函数f x=a(x−1)2+1a≠0的对称轴是x=1为什么？①图像上观察：1+t,a t2+1,(1−t,a t2+1)②解析式：f1+t=f1−t,t∈R成立.③将上式翻译成文字语言：对来说，自变量和为2，函数值相等.④一般化：f x=a(x−h)2+k关于x=h对称.f x= ax2+bx+c对称轴为x=−b2a.点: 对任意x∈R， f h+t=f h−t.自变量和为2h，则图像关于x=h对称.⑤更一般化：对其它（非二次函数）. 若f a+x=f a−x, x∈R成立，则函数f x图像关于x=a对称.3、二次函数图像的分类y= ax2+bx+c a≠0①②③④⑤⑥课外思考题：从偶函数图像关于y轴对称，解析式满足f−x=f x可得出：一般函数图像关于x=a对称，其解析式满足f a+x=f a−x.用类比方法, 得出函数图像关于a,0对称, 其解析式满足的条件, 并翻译成文字语言.例1. 已知二次函数f x同时满足①f1+x=f1−x②f(x)的最大值为15 ③f x=0的两根立方和等于17, 求f x的解析式.优化方案P35, 随堂自测.(1)、（2）、（3）、（4）小结：（1）f(x)= ax2+bx+c a≠0的对称性.（2）f(x)对称轴x=a f a+x=f a−x对一切x∈R成立.数学思想：①特殊到一般②类比方法上类比结论上类比作业：。

二次函数的对称性与单调性二次函数是一种重要的数学函数，在数学建模、物理学等领域都有广泛的应用。

掌握二次函数的基本性质，对于理解和解决实际问题具有重要意义。

本文将重点讨论二次函数的对称性与单调性。

一、二次函数的对称性二次函数的一般形式为：f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

根据对称性的不同，可以分为以下几种情况。

1. 关于y轴对称当a为偶数时，二次函数关于y轴对称。

即若f(x)为二次函数，则有f(-x) = f(x)。

例子：考虑二次函数f(x) = x² - 2x + 1，将x改为-x，则有f(-x) = (-x)² - 2(-x) + 1 = x² + 2x + 1 = f(x)，因此该二次函数关于y轴对称。

2. 关于x轴对称当c = 0时，二次函数关于x轴对称。

即若f(x)为二次函数，则有f(x) = f(-x)。

例子：考虑二次函数f(x) = x² - 4，将x改为-x，则有f(-x) = (-x)² - 4 = x² - 4 = f(x)，因此该二次函数关于x轴对称。

3. 关于原点对称当b = 0时，并且a、c异号，二次函数关于原点对称。

即若f(x)为二次函数，则有f(-x) = -f(x)。

例子：考虑二次函数f(x) = -x²，将x改为-x，则有f(-x) = -(-x)² = -x²= -f(x)，因此该二次函数关于原点对称。

二、二次函数的单调性二次函数的单调性表示函数在定义域上的增减性。

根据二次函数的a值的正负，可以判断其单调性。

1. 当a > 0时，二次函数在定义域上单调递增。

对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，如果a > 0，则对于任意x₁、x₂，若x₁ < x₂，有f(x₁) < f(x₂)，即函数在定义域上单调递增。

初三数学二次函数的性质试题答案及解析1.抛物线y=5（x﹣2）2+1的顶点是．【答案】（2，1）【解析】根据抛物线的顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），可直接写出顶点坐标．解：抛物线y=5（x﹣2）2+1的顶点是（2，1）．故答案为：（2，1）．点评：此题主要考查了二次函数的性质，二次函数顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．2.观察二次函数y=x2﹣2x﹣1的图象，若x＞0，则y的取值范围是．【答案】y＞﹣1【解析】令x=0求得y值，然后根据其开口方向确定函数值的取值范围即可．解：令x=0，解得：y=﹣1∵开口方向向上，且对称轴为x=1，∴当x＞0，则y的取值范围是y＞﹣1故答案为：点评：本题考查了二次函数的性质，也可根据图象利用数形结合的方法求解．3.已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，则当0≤x≤3时，函数值y的范围是．【答案】﹣1≤y≤3【解析】结合图象找到自变量在0≤x≤3范围内函数值的最大值和最小值即可．解：观察图象发现：当0≤x≤3时，函数值的y的取值范围是﹣1≤y≤3，故答案为：﹣1≤y≤3点评：本题考查了二次函数的性质，结合图象找到最大值和最小值是解答本题的关键．4.函数y=﹣2（x﹣1）2+3的最大值为．【答案】3【解析】根据函数的顶点式解析式，即可求解．解：根据函数的顶点式关系式y=﹣2（x﹣1）2+3知，当x=1时，二次函数y=﹣2（x﹣1）2+3有最大值3．故答案为：3．点评：本题主要考查的是关于二次函数最值的题目．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．5.已知抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣2），且通过点（1，10），则该抛物线的解析式为．【答案】y=3（x+1）2﹣2【解析】设抛物线的解析式为y=a（x+1）2﹣2．然后将点（1，10）代入其中，利用待定系数法求该抛物线的解析式即可．解：由题意，可设抛物线的解析式为y=a（x+1）2﹣2．∵该抛物线的解析式通过点（1，10），∴10=a（1+1）2﹣2，解得，a=3；故该抛物线的解析式是：y=3（x+1）2﹣2．点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．解答该题时，要充分利用已知条件“抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣2）”来设该抛物线的解析式．6.根据图中的抛物线可以判断：当x 时，y随x的增大而减小．【答案】＜1【解析】要确定抛物线的单调性首先要知道其对称轴，然后根据对称轴来确定x的取值范围．解：根据图象可知对称轴为x=（﹣1+3）÷2=1，所以当x＜1时，y随x的增大而减小；当x=1时，y有最小值．故答案为：＜1；点评：此题主要考查了函数的单调性与对称性．7.请你写出一个你学习过的函数表达式，使它满足当1＜x＜2时，﹣2＜y＜﹣1．你写的函数是．【答案】y=x﹣3【解析】答案不唯一，只要满足条件即可，如y=x﹣3，当1＜x＜2时，﹣2＜y＜﹣1．解：答案不唯一，如一次函数y=x﹣3，满足当1＜x＜2时，﹣2＜y＜﹣1，故答案为：y=x﹣3．点评：本题主要考查对学过的函数（如一次函数的性质）的理解和掌握，此题是一个开放型的题目，题型较好，能锻炼学生的思维能力．8.如果函数y=a（x﹣1）2+c与函数y=x2+2bx+b2﹣5的顶点相同，且其中一个函数经过点（2，7），求这两个函数的解析式．【答案】y=12（x﹣1）2﹣5【解析】先求出函数y=a（x﹣1）2+c与函数y=x2+2bx+b2﹣5的顶点，然后根据题意求得b、c的值；再由已知条件“其中一个函数经过点（2，7）”，利用待定系数法求得函数的解析式．解：∵函数y=a（x﹣1）2+c的顶点是（1，c），函数y=x2+2bx+b2﹣5=（x+b）2﹣5的顶点是（﹣b，﹣5），∴1=﹣b，即b=﹣1，c=﹣5；∴函数y=x2+2bx+b2﹣5的解析式为：y=x2﹣2x﹣4；又∵其中一个函数经过点（2，7），∴函数y=a（x﹣1）2+c经过点（2，7），∴7=a（2﹣1）2﹣5，解得，a=12；故函数y=a（x﹣1）2+c的解析式是：y=12（x﹣1）2﹣5．点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．在求函数y=x2+2bx+b2﹣5的顶点时，先将函数关系式转化为顶点式方程，然后求其顶点．这样减免了利用顶点坐标公式求解的繁琐过程．9.已知二次函数y=ax2+bx﹣3的图象经过点A（2，﹣3），B（﹣1，0）．求二次函数的解析式．【答案】y=x2﹣2x﹣3【解析】根据题意知，将A（2，﹣3），B（﹣1，0）代入二次函数的解析式，利用待定系数法法求该二次函数的解析式即可．解：根据题意，得，解得，；∴该二次函数的解析式为：y=x2﹣2x﹣3．点评：本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式．解题时，借用了二次函数图象上点的坐标特征：经过图象上的点一定在函数图象上，且图象上的每一个点均满足该函数的解析式．10.抛物线y=2（x﹣2）2+1的顶点坐标是（）A．（2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（﹣2，﹣1）【答案】A【解析】直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．解：∵顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），∴y=2（x﹣2）2+1的顶点坐标是（2，1）．故选A．点评：主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．11.抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示．给出下列说法：①抛物线与y轴的交点为（0，6）；②抛物线的对称轴是在y轴的右侧；③抛物线一定经过点（2，0）；④在对称轴左侧，y随x增大而减小．从表可知，说法正确的个数有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】根据表中数据和抛物线的对称性，可得到抛物线的开口向下，当x=3时，y=0，即抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）和（3，0）；因此可得抛物线的对称轴是直线x=，再根据抛物线的性质即可进行判断．解：根据图表，抛物线与y轴交与（0，6），①正确；∵抛物线经过点（0，6）和（1，6），∴对称轴为x==，∴②正确；设抛物线经过点（x，0），∴x==解得：x=3∴抛物线一定经过（3，0），故③错误；在对称轴左侧，y随x增大而增大，④错误故选B．点评：本题考查了抛物线y=ax2+bx+c的性质：抛物线是轴对称图形，它与x轴的两个交点是对称点，对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点；a＜0时，函数有最大值，在对称轴左侧，y随x增大而增大．12.二次函数y=2（x﹣1）2﹣3的顶点坐标为（）A．（1，3）B．（﹣1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（1，﹣3）【答案】D【解析】二次函数的顶点式方程：y=a（x﹣h）2+k，其顶点坐标是P（h，k）．解：∵二次函数的顶点式方程是：y=2（x﹣1）2﹣3，∴该函数的顶点坐标是：（1，﹣3）；故选D．点评：本题考查了二次函数的性质．在二次函数的图象上①顶点式：y=a（x﹣h）2+k，其顶点坐标是P（h，k）；②对于二次函数 y=ax2+bx+c 其顶点坐标为（，）．13.抛物线y=﹣3（x﹣3）2+5的顶点坐标为（）A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（5，﹣3）D．（5，3）【答案】A【解析】因为y=﹣3（x﹣3）2+5是二次函数的顶点式，根据顶点式可直接写出顶点坐标．解：∵抛物线解析式为y=﹣3（x﹣3）2+5，∴二次函数图象的顶点坐标是（3，5）．故选A．点评：本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标（对称轴），最大（最小）值，增减性等．14.已知二次函数y=x2+bx+c的图象上有三个点（﹣1，y1）、（1，y2）、（3，y3），若y1=y3，则（）A．y2＞c＞y1B．y2＜c＜y1C．c＞y1＞y2D．c＜y1＜y2【答案】B【解析】根据已知得出（﹣1，y1）和（3，y3）关于二次函数数y=x2+bx+c的对称轴对称，抛物线的开口向上，求出对称轴是直线x=1，根据0＜1＜3即可求出答案．解：∵y1=y3，∴（﹣1，y1）和（3，y3）关于二次函数数y=x2+bx+c的对称轴对称，∴二次函数y=x2+bx+c的对称轴是直线x==1，且二次函数图象的开口向上，∵x=0时，y=c，0＜1＜3，∴y2＜c＜y1，故选B．点评：本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键．15.（2010•无锡一模）二次函数y=x2﹣x+m（m为常数）的图象如图所示，当x=a时，y＜0；那么当x=a﹣1时，函数值（）A．y＜0B．0＜y＜m C．y＞m D．y=m【答案】C【解析】根据对称轴及函数值判断a的取值范围，从而得出a﹣1＜0，因为当x是y随x的增大而减小，所以当x=a﹣1＜0时，函数值y一定大于m．解：当x=a时，y＜0，则a的范围是x1＜a＜x2，又对称轴是x=，所以a﹣1＜0，当x是y随x的增大而减小，当x=0是函数值是m．因而当x=a﹣1＜0时，函数值y一定大于m．故选C．点评：本题主要考查了二次函数的对称轴，以及增减性．16.已知抛物线y=﹣x2+4x，则它的顶点坐标与函数值y的取值范围分别是（）A．（2，4）与y≥4B．（2，4）与y≤4C．（﹣2，4）与y≥4D．（﹣2，4）与y≤4【答案】B【解析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．解：∵y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，∴顶点坐标为：（2，4），∵开口向下，∴有最大值4，∴y≤4，故选B．点评：主要考查了函数的单调性．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当a＞0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大；当a＜0时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小．正比例函数中当k＞0时，y随x的增大而增大，k＜0时，y随x的怎大而减小．17.下列二次函数中，顶点在x轴上的是（）A．y=x2+2B．y=﹣x2﹣4x+4C．y=4x2﹣4x+1D．y=x2﹣2x﹣1【答案】C【解析】根据顶点在x轴上时，顶点的纵坐标是0，只要求出顶点的纵坐标就行，即求出的值即可．解：∵顶点在x轴上时，顶点的纵坐标是0，A、==2≠0，故本选项错误；B、==8≠0，故本选项错误；C、==0，故本选项正确；D、==﹣2≠0，故本选项错误．故选C．点评：本题主要考查对二次函数的性质，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，知道顶点在x轴上，就是顶点的纵坐标是0是解此题的关键．18.抛物线y=2（x﹣3）2+4的顶点坐标是（）A．（3，4）B．（4，3）C．（﹣3，4）D．（﹣3，﹣4）【答案】A【解析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．解：y=2（x﹣3）2+4是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，4）．故选A．点评：此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．19.下列函数中y随x增大而减小的有（）①；②；③y=﹣x2（x≥0）；④y=﹣3x．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】反比例函数的增减性需要考虑所在象限，在一次函数中，要使y随x的增大而减小，则需k＜0，二次函数需要以对称轴为界讨论．解：①中k=﹣9＜0，在每一象限内y随着x的增大而增大；②中k=11＞0，在每一象限内y随着x的增大而减小；③y=﹣x2（x≥0）中开口向上，对称轴为y=0，当x≥0时y随着x的增大而减小；④y=﹣3x中k=﹣3＜0，y随着x的增大而减小，正确的有两个．故选B．点评：本题考查了二次函数的性质、正比例函数的性质及反比例函数的性质，特别是在叙述反比例函数的增减性的时候，要强调在哪一个象限．20.已知抛物线y=5（x﹣1）2，下列说法中，你认为不正确的是（）A．顶点坐标为（1，0）B．对称轴为直线x=0C．当x＞1时，y随x的增大而增大D．当x＜1时，y随x的增大而减小【答案】B【解析】根据二次函数y=5（x﹣1）2的性质，利用排除法求解．解：A、顶点坐标为（1，0），正确，不符合题意；B、对称轴为直线x=1，错误，符合题意；C、当x＞1时，y随x的增大而增大，正确，不符合题意；D、当x＜1时，y随x的增大而减小，正确，不符合题意．故选B．点评：本题考查了二次函数的性质，牢记形如y=a（x﹣h）2的二次函数的性质是解答本题的关键．。

二次函数的对称性与像特征二次函数是高中数学中的重要内容之一，它的图像形态与一次函数有很大的不同。

在学习二次函数时，我们需要理解其对称性与像特征，这对于解题和分析二次函数的性质非常重要。

1. 顶点对称性二次函数的图像是一个抛物线，它的顶点是凸起或凹陷的最高或最低点。

顶点对称性是指二次函数图像关于顶点对称。

具体而言，如果顶点的坐标为（h，k），则二次函数图像上任意一点P的坐标（x，y）满足关系式：y = k + a(x - h)^2其中，a是二次函数的参数，决定了抛物线的开口方向。

当a>0时，抛物线开口向上，称为凸抛物线；当a<0时，抛物线开口向下，称为凹抛物线。

2. y轴对称性二次函数的图像也具有y轴对称性，即图像关于y轴对称。

这意味着当图像中的一点P的坐标为（x，y）时，点P'的坐标为（-x，y）。

具体而言，对于二次函数图像的任意点（x，y），都有关系式：f(x) = f(-x)3. x轴对称性二次函数的图像也具有x轴对称性，即图像关于x轴对称。

这意味着当图像中的一点P的坐标为（x，y）时，点P'的坐标为（x，-y）。

具体而言，对于二次函数图像的任意点（x，y），都有关系式：f(x) = -f(-x)4. 零点与判别式二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，即函数值为0的点。

对于一般的二次函数y = ax^2 + bx + c，我们可以使用求根公式计算零点。

求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，b^2 - 4ac被称为判别式，通过判别式的正负可以判断二次函数的零点情况：- 当判别式大于0时，二次函数有两个不相等的实数根；- 当判别式等于0时，二次函数有两个相等的实数根；- 当判别式小于0时，二次函数没有实数根。

5. 极值与开口方向对于二次函数y = ax^2 + bx + c，其顶点坐标可以通过计算公式 h =-b / (2a) 和 k = f(h) 获得。

二次函数的奇偶性与对称性二次函数是高中数学中常见的函数类型，它的基本形式是f(x) =ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数，且a不等于0。

在二次函数中，关于奇偶性与对称性的讨论十分重要。

首先，我们来研究二次函数的奇偶性。

根据函数的定义，对于任意实数x，如果有f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；如果有f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。

对于二次函数来说，我们可以通过判断a的正负来确定它的奇偶性。

如果a为正数，则二次函数会开口向上，呈现一个U形。

在这种情况下，f(-x) = a(-x)^2 + b(-x) + c = f(x)，即二次函数为偶函数。

反之，如果a为负数，则二次函数会开口向下，呈现一个倒U形。

在这种情况下，f(-x) = a(-x)^2 + b(-x) + c = -f(x)，即二次函数为奇函数。

其次，我们来探讨二次函数的对称性。

二次函数存在关于直线x = -b / (2a)的对称轴。

也就是说，对于任意实数x，f(x)与f(2a - x)的函数值相等。

这个性质可以通过二次函数的图像来直观理解。

无论二次函数是开口向上还是开口向下，它的图像都会关于对称轴对称。

通过研究二次函数的奇偶性与对称性，我们可以得到以下结论：1. 当a为正数时，二次函数为偶函数，开口向上，并且关于对称轴对称；2. 当a为负数时，二次函数为奇函数，开口向下，并且关于对称轴对称。

根据以上的结论，我们可以进一步讨论二次函数的性质。

首先是极值点。

对于一个开口向上的二次函数，恰好在对称轴上有一个极小值点，记为顶点。

而对于一个开口向下的二次函数，恰好也在对称轴上有一个极大值点，同样也是顶点。

顶点的横坐标为 -b / (2a)，纵坐标为f(-b / (2a))。

除了顶点之外，二次函数还有两个重要的性质，分别是零点和判别式。

二次函数的零点是函数图像与x轴相交的点，即f(x) = 0的解。

根据二次函数的求根公式，零点的横坐标可以通过以下公式求得：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a判别式的求法是通过计算b^2 - 4ac来得到的。

专题22.1 二次函数的图像和性质知识点解读 1.定义一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数。

其中x 是自变量，a 、b 、c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。

2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。

①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同。

②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x 。

3.几种特殊的二次函数的图像特征如下4.求抛物线的顶点、对称轴的方法①公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=， ∴顶点是），（ab ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=。

②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =。

③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。

若已知抛物线上两点12(,)(,)、x y x y （及y 值相同），则对称轴方程可以表示为：122x x x +=5.抛物线c bx ax y ++=2中， a 、b 、c 的作用①a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样。

②b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧。

③c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置。

当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴； ③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab6.用待定系数法求二次函数的解析式一般情况下设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ，结合题中条件解出a 、b 、c 就可以求出二次函数的解析式。

二次函数知识点总结及相关典型题目(含答案)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分 基础知识1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a . 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线. 4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x . 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<a b（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). （3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故 acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=--=-=-=444222122122121第二部分 典型习题１.抛物线y ＝x 2＋2x －2的顶点坐标是 （ D ）A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3）２.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ）Ａ．ab ＞0，c ＞0 Ｂ．ab ＞0，c ＜0 Ｃ．ab ＜0，c ＞0 Ｄ．ab ＜0，c ＜0CA EF BD第２,３题图 第4题图３.二次函数c bx ax y ＋＋＝2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ Ｄ ） A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0 D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0４.如图，已知∆ABC 中，BC=8，BC 上的高h =4，D 为BC 上一点，EF BC //，交AB 于点E ，交AC 于点F （EF 不过A 、B ），设E 到BC 的距离为x ，则∆DEF 的面积y 关于x 的函数的图象大致为（ Ｄ ）DO 424O424O 424O 424yxB2482,484EF xEF x y x x -=⇒=-∴=-+ ５.抛物线322--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为 4 ． 6.已知二次函数11)(2k 2－－＋＝x kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x （21x x ＜），则对于下列结论：①当x ＝－2时，y ＝1；②当2x x ＞时，y ＞0；③方程011)(22＝－＋-x k kx 有两个不相等的实数根1x 、2x ；④11-＜x ，12＞－x ；⑤22114k x x k＋－，其中所有正确的结论是 ①③④ （只需填写序号）．7.已知直线()02≠+-=b b x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；一抛物线的解析式为()c x b x y ++-=102.（1）若该抛物线过点B ，且它的顶点P 在直线b x y +-=2上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ，若抛物线的对称轴恰好过C 点，试确定直线b x y +-=2的解析式. 解：（1）102-=x y 或642--=x x y将0)b （，代入，得c b =.顶点坐标为21016100(,)24b b b +++-，由题意得21016100224b b b b +++-⨯+=-，解得1210,6b b =-=-. （2）22--=x y8.有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y ，且y 是x 的二次函数，已知输入值为2-,0,1时, 相应的输出值分别为5,3-,4-． （1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y 为正数时输入值x 的取值范围.解：（1）设所求二次函数的解析式为c bx ax y ++=2,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=+⋅+⋅=+-+-43005)2()2(22c b a c b a c b a ,即⎪⎩⎪⎨⎧-=+=--=1423b a b a c ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a 故所求的解析式为:322--=x x y . （2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值y 为正数时， 输入值x 的取值范围是1-<x 或3>x ． 9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答： ⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要多少时间⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少?⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到 22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解 析式．解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12小时 ⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃⑶()22102421612≤≤++-=x x x y 10.已知抛物线4)334(2+++=x a ax y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．是否存在实数a ，使得△ABC 为直角三角形．若存在，请求出a 的值；若不 存在，请说明理由．解：依题意，得点C 的坐标为（0，4）．设点A 、B 的坐标分别为（1x ，0），（2x ，0），由04)334(2=+++x a ax ，解得 31-=x ，ax 342-=．∴ 点A 、B 的坐标分别为（-3，0），（a34-，0）．∴ |334|+-=aAB ，522=+=OC AO AC ， =+=22OC BO BC 224|34|+-a． ∴ 9891693432916|334|2222+-=+⨯⨯-=+-=aa a a a AB ， 252=AC ，1691622+=a BC ．〈ⅰ〉当222BC AC AB +=时，∠ACB ＝90°． 由222BC AC AB +=，得)16916(259891622++=+-aa a ． 解得 41-=a ．∴ 当41-=a 时，点B 的坐标为（316，0），96252=AB ，252=AC ，94002=BC ． 于是222BC AC AB +=．∴ 当41-=a 时，△ABC 为直角三角形．〈ⅱ〉当222BC AB AC +=时，∠ABC ＝90°． 由222BC AB AC +=，得)16916()98916(2522+++-=aa a ． 解得 94=a ． 当94=a 时，3943434-=⨯=-a ，点B （-3，0）与点A 重合，不合题意．〈ⅲ〉当222AB AC BC +=时，∠BAC ＝90°． 由222AB AC BC +=，得)98916(251691622+-+=+aa a ． 解得 94=a ．不合题意． 综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当41-=a 时，△ABC 为直角三角形．11.已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2.（1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且AB 5求m 的值；（2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值.解: (1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) . 则x 1 ，x 2是方程 x 2－mx ＋m －2＝0的两根. ∵x 1 ＋ x 2 ＝m , x 1·x 2 =m －2 ＜0 即m ＜2 ;又AB ＝∣x 1 — x 2121245x x x x -=2（+）∴m 2－4m ＋3=0 .解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m 的值为1 . （2）M(a ，b)，则N(－a ，－b) . ∵M 、N 是抛物线上的两点,∴222,2.a ma m b a ma m b ⎧-+-+=⎪⎨---+=-⎪⎩①②①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 . ∴a 2＝－m ＋2 . ∴当m ＜2时，才存在满足条件中的两点M 、N. ∴2a m =- .这时M 、N 到y 2m -又点C 坐标为（0，2－m ）,而S △M N C = 27 , ∴2×12×（2－m 2m -∴解得m=－7 .12.已知：抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0）．（1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；NMCxyO（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点，如果点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解法一：（1）依题意，抛物线的对称轴为x ＝－2．∵ 抛物线与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴ 由抛物线的对称性，可得抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1， 0）， ∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝． ∴ D （0，3a ）．∴ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝ 上，∵ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4．∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(21＝OD CD AB ⋅+．∴ 93)42(21＝＋a ． ∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342---ax x y ＝．（3）设点E 坐标为（0x ，0y ）.依题意，00＜x ，00＜y ，且2500＝x y ．∴ 0025x y ＝－．①设点E 在抛物线342＋＋＝x x y 上，∴340200＋＋＝x x y ． 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧34,25020000＋＋＝＝－x x y x y 得⎩⎨⎧-；＝，＝15600y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-'．＝，＝452100y x ∵ 点E 与点A 在对称轴x ＝－2的同侧，∴ 点E 坐标为（21-，45）． 设在抛物线的对称轴x ＝－2上存在一点P ，使△APE 的周长最小． ∵ AE 长为定值，∴ 要使△APE 的周长最小，只须PA ＋PE 最小． ∴ 点A 关于对称轴x ＝－2的对称点是B （－3，0），∴ 由几何知识可知，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点．设过点E 、B 的直线的解析式为n mx y ＋＝，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-.03,4521＝＋－＝＋n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧.23,21＝＝n m ∴ 直线BE 的解析式为2321＋＝x y ．∴ 把x ＝－2代入上式，得21＝y ． ∴ 点P 坐标为（－2，21）． ②设点E 在抛物线342---x x y ＝上，∴ 340200---x x y ＝． 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧---.34,25020000x x y x y ＝＝－ 消去0y ，得03x 23x 020＝＋+． ∴ △＜0 . ∴ 此方程无实数根．综上，在抛物线的对称轴上存在点P （－2，21），使△APE 的周长最小． 解法二：（1）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝． 令 y ＝0，即0342＝＋＋a ax ax ．解得 11＝－x ，32＝－x ．∴ 抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）由a ax ax y 342＋＋＝，得D （0，3a ）．∵ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝上，∴ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4．∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(21＝＋OD CD AB ．解得OD ＝3． ∴ 33＝a ．∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342－－＝－x x y ．（3）同解法一得，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点．∴ 如图，过点E 作EQ ⊥x 轴于点Q ．设对称轴与x 轴的交点为F ．由PF ∥EQ ，可得EQPF BQ BF ＝．∴ 45251PF ＝．∴ 21＝PF ． ∴ 点P 坐标为（－2，21）． 以下同解法一．13.已知二次函数的图象如图所示．（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M 的坐标．（2）若点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设NQ 的长为l ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使△PAC 为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将△OAC 补成矩形，使△OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．解：（1）设抛物线的解析式)2)(1(-+=x x a y ，∴ )2(12-⨯⨯=-a ．∴ 1=a ．∴ 22--=x x y ．其顶点M 的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛-4921，． （2）设线段BM 所在的直线的解析式为b kx y +=，点N 的坐标为N （t ，h ），∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=.214920b k b k ，．解得23=k ，3-=b ． ∴ 线段BM 所在的直线的解析式为323-=x y ． ∴ 323-=t h ，其中221<<t ．∴ t t s )3322(212121-++⨯⨯=121432+-=t t ． ∴ s 与t 间的函数关系式是121432+-=t t S ，自变量t 的取值范围是221<<t ． （3）存在符合条件的点P ，且坐标是1P ⎪⎭⎫ ⎝⎛4725，，⎪⎭⎫ ⎝⎛-45232，P ．设点P 的坐标为P )(n m ，，则22--=m m n ．222)1(n m PA ++=，5)2(2222=++=AC n m PC ，．分以下几种情况讨论：i ）若∠PAC ＝90°，则222AC PA PC +=．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)1()2(222222n m n m m m n ， 解得：251=m ，12-=m （舍去）． ∴ 点⎪⎭⎫ ⎝⎛47251，P ． ii ）若∠PCA ＝90°，则222AC PC PA +=．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)2()1(222222n m n m m m n ， 解得：02343==m m ，（舍去）．∴ 点⎪⎭⎫ ⎝⎛45232，－P ． iii ）由图象观察得，当点P 在对称轴右侧时，AC PA >，所以边AC 的对角∠APC 不可能是直角．（4）以点O ，点A （或点O ，点C ）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA （或边OC ）的对边上，如图a ，此时未知顶点坐标是点D （－1，－2），以点A ，点C 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC 的对边上，如图b ，此时未知顶点坐标是E ⎪⎭⎫ ⎝⎛-5251，，F ⎪⎭⎫ ⎝⎛-5854，．图a 图b14.已知二次函数22－＝ax y 的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x 轴的交点的个数．解：根据题意，得a －2＝－1.∴ a ＝1． ∴ 这个二次函数解析式是22-x y ＝．因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与x 轴有两个交点．15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB ＝5 cm ，拱高OC ＝0.9 cm ，线段DE 表示大桥拱内桥长，DE ∥AB ，如图（1）．在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果DE 与AB 的距离OM ＝0.45 cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4.12≈，计算结果精确到1米）．解：（1）由于顶点C 在y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为1092＋＝ax y ． 因为点A （25-，0）（或B （25，0））在抛物线上， 所以109)25(02＋＝-⋅a ，得12518＝－a ．因此所求函数解析式为)2525(109125182≤≤-x x y ＋＝－． （2）因为点D 、E 的纵坐标为209， 所以109125182092＋－x =，得245±＝x ． 所以点D 的坐标为（245－，209），点E 的坐标为（245，209）． 所以225)245(245＝－＝-DE ． 因此卢浦大桥拱内实际桥长为385227501.011000225≈⨯⨯＝（米）． 16.已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两点，点A 在点B 的左侧，如图．二次函数c bx ax y ＋＋＝2（a ≠0）的图象经过点A 、B ，与y 轴相交于点C ．（1）a 、c 的符号之间有何关系?（2）如果线段OC 的长度是线段OA 、OB 长度的比例中项，试证a 、c 互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果b ＝－4，34＝AB ，求a 、c 的值．解:（1）a 、c 同号． 或当a ＞0时，c ＞0；当a ＜0时，c ＜0．（2）证明：设点A 的坐标为（1x ，0），点B 的坐标为（2x ，0），则210x x ＜＜．∴ 1x OA =，2x OB =，c OC =．据题意，1x 、2x 是方程)0(02≠=a c bx ax ＋＋的两个根． ∴ ac x x =⋅21． 由题意，得2OC OB OA ＝⋅，即22c c ac ＝＝． 所以当线段OC 长是线段OA 、OB 长的比例中项时，a 、c 互为倒数．（3）当4-=b 时，由（2）知，0421＞＝＝－＋a a b x x ，∴ a ＞0． 解法一：AB ＝OB －OA ＝21221124)(x x x x x x -＋＝－，∴ aa ac a c a AB 32416)(4)4(22=-==－． ∵ 34=AB ， ∴ 3432＝a ．得21=a ．∴ c ＝2. 解法二：由求根公式，a a a ac x 322416424164±-±-±＝＝＝， ∴ a x 321-＝，ax 322+＝． ∴ a a a x x OA OB AB 32323212＝－－＝－＝－＝+． ∵ 34＝AB ，∴3432＝a ，得21＝a ．∴ c ＝2． 17.如图，直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，⊙E 经过原点O 及A 、B 两点． （1）C 是⊙E 上一点，连结BC 交OA 于点D ，若∠COD ＝∠CBO ，求点A 、B 、C 的坐标；（2）求经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式：（3）若延长BC 到P ，使DP ＝2，连结AP ，试判断直线PA 与⊙E 的位置关系，并说明理由．解：（1）连结EC 交x 轴于点N （如图）．∵ A 、B 是直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴的交点．∴ A （3，0），B )3,0(． 又∠COD ＝∠CBO ． ∴ ∠CBO ＝∠ABC ．∴ C 是的中点． ∴ EC ⊥OA ．∴ 232,2321====OB EN OA ON ．连结OE ．∴ 3==OE EC ． ∴ 23=-=EN EC NC ．∴ C 点的坐标为（23,23-）． （2）设经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式为()3-=x ax y ．∵ C （23,23-）． ∴)323(2323-⋅=-a ．∴ 392=a ． ∴ x x y 8329322-=为所求． （3）∵ 33tan =∠BAO ， ∴ ∠BAO ＝30°，∠ABO ＝50°． 由（1）知∠OBD ＝∠ABD ．∴ ︒=︒⨯-∠=∠30602121ABO OBD ． ∴ OD ＝OB ·tan30°－1．∴ DA ＝2．∵ ∠ADC ＝∠BDO ＝60°，PD ＝AD ＝2．∴ △ADP 是等边三角形．∴ ∠DAP ＝60°．∴ ∠BAP ＝∠BAO ＋∠DAP ＝30°＋60°＝90°．即 PA ⊥AB ． 即直线PA 是⊙E 的切线．。

二次函数中对称轴的求解方法和性质二次函数是高中数学中的重要内容，它的图像呈现出一种独特的对称性，这种对称性在二次函数的求解和性质研究中起到了重要的作用。

本文将介绍二次函数中对称轴的求解方法和性质，以及其在实际问题中的应用。

一、对称轴的求解方法二次函数的标准形式为y=ax^2+bx+c（其中a≠0），在该形式下，对称轴的求解方法如下：1. 第一步，将一次项系数b消去，得到y=a(x+h)^2+k的形式，其中h为平移横坐标的量，k为平移纵坐标的量。

2. 第二步，对于函数y=a(x+h)^2+k，对称轴的横坐标为-x-h，即对称轴方程为x=-h。

二、对称轴的性质二次函数的对称轴具有以下性质：1. 对称轴是图像的一条直线，二次函数图像关于对称轴对称。

2. 对称轴将函数图像分为两个对称的部分，左侧和右侧呈现出镜像关系。

3. 对称轴上的点到图像的任意点的距离相等，即对称轴上的点是图像关于对称轴的中点。

三、对称轴的应用对称轴的求解和性质在实际问题中有广泛的应用，下面以一些典型问题作为例子进行介绍：例1：给定二次函数y=ax^2+bx+c，如果已知顶点坐标为（p,q），求对称轴的方程。

解：首先，根据顶点坐标的性质可得到顶点坐标满足关系式q=a(p-h)^2+k。

根据对称轴的性质，对称轴的横坐标为-x-h，即对称轴方程为x=-h。

从而可以得到以下等式：-h=p，解得h=-p。

因此，对称轴的方程为x=-p。

例2：某二次函数的图像关于x轴对称，已知该二次函数的顶点坐标为（1，-2），求二次函数的解析式。

解：根据题目要求可得到a的值为-1，因为图像关于x轴对称。

又已知顶点坐标为（1，-2），代入二次函数的标准形式y=ax^2+bx+c，得到-2=a(1)^2+b(1)+c。

又因为顶点坐标满足关系式-2=a(1)^2+b(1)+c，解得b=0，c=-2。

因此，二次函数的解析式为y=-x^2-2。

结论：本文介绍了二次函数中对称轴的求解方法和性质，并举例说明了对称轴在实际问题中的应用。

二次函数的轴对称性二次函数的轴对称性是指二次函数在平面直角坐标系中，以某一直线为轴对称。

具体来说，对于一般的二次函数y = ax² + bx + c，如果存在一条直线x = h（h为实数），使得对于任意实数x，都有f(h + x) =f(h - x)，即对于任意实数x，有f(x + h) = f(-x + h)，那么这条直线x = h就是二次函数的轴对称轴。

二次函数的轴对称性可以从函数的解析式来推导，也可以通过几何方法来理解。

第一种推导方法是通过函数的解析式来证明。

设二次函数为f(x) =ax² + bx + c。

首先，我们通过计算可知，当 x = -b/2a 时，二次函数的值取得极值。

也就是说，当x = -b/2a 时，函数达到了最高点或最低点。

此时，对于任意实数x，f(x) = f(2(-b/2a) - x) = f(-x + b/a)，所以函数关于直线x = -b/2a 对称。

第二种推导方法是几何方法。

我们可以考虑二次函数的图像，观察其几何特征。

对于二次函数y = ax² + bx + c来说，它的图像是一个抛物线。

根据抛物线的对称性，可以看出二次函数的图像关于直线x = -b/2a 对称。

有了二次函数的轴对称性，我们可以利用这个性质来简化一些计算。

例如，如果我们已知二次函数关于直线x = h 对称，我们只需要计算直线x = h 右侧的图像部分的内容，然后，将其关于x = h 对称得到的左侧的内容是完全一样的。

这样，我们就可以减少一半的计算量。

除了计算上的简化之外，二次函数的轴对称性在几何意义上也很重要。

它帮助我们理解二次函数的图像形态，并且在解决一些问题时提供了直观的指导。

通过研究二次函数的轴对称性，我们可以更好地理解关于二次函数图像的对称性、最值、根、切线等性质。

总结起来，二次函数的轴对称性是指二次函数关于某一直线对称。

它可以通过函数的解析式推导，也可以通过几何方法理解。

1.2.8 二次函数的图象和性质——对称性1.偶函数:如果对一切使F(x)有定义的x,F(-x)也有定义,并且①成立,则称F(x)为偶函数.2.奇函数:如果对一切使F(x)有定义的x,F(-x)也有定义,并且②成立,则称F(x)为奇函数.3.二次函数图象的对称性函数二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)a>0 a<0图象性质抛物线开口向上,并向上无限延伸抛物线开口向下,并向下无限延伸对称轴是③,顶点坐标是④对称轴是⑤,顶点坐标是⑥4.(1)当a>0时,f(x)=ax2+bx+c的图象、f(x)=0的根、f(x)>0(或<0)的解集可用下表表示: Δ=b2-4ac Δ>0Δ=0Δ<0f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象ax2+bx+c=0(a>0)的根有两个不等的实根x1,x2且x1<x2有两个相等的实根x1,x2且x1=x2没有实数根ax2+bx+c>0(a>0)的解集⑦⑧⑨ax2+bx+c<0(a>0)的解集⑩(2)当a<0时,若Δ<0,则图象总在x轴下方,二次函数的函数值恒为负;若Δ=0,则图象和x轴相切于点(x0,0),这里x=-b2a正好是方程ax2+bx+c=0的“相等”实根,图象除这一点外都在x轴下方;若Δ>0,则图象和x轴交于两点(x1,0)和(x2,0),这里x1<x2,且x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两个不等实根,当x∈(x1,x2)时,图象在x轴上方,当x在[x1,x2]之外时,图象在x轴下方.一、函数奇偶性的判断1.(2014课标Ⅰ,3,5分,★☆☆)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( )A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数思路点拨利用函数奇偶性的定义进行判断.2.(2014广东深圳宝安期末,★★☆)已知函数f(x)=x-1x.(1)研究此函数的奇偶性;(2)证明f(x)在(0,+∞)上为增函数.二、二次函数在给定区间上的最值及应用3.(2014河北邯郸模拟,★☆☆)若f(x)=-x2+2ax+1-a在[0,1]上有最大值2,则a的取值集合是.4.(2010广东文,20,14分,★★☆)已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)=kf(x+2),其中常数k为负数,且f(x)在区间[0,2]上有表达式f(x)=x(x-2).(1)求f(-1), f(2.5)的值;(2)写出f(x)在[-3,3]上的表达式,并讨论函数f(x)在[-3,3]上的单调性;(3)求出f(x)在[-3,3]上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的取值.思路点拨根据已知区间上函数的解析式f(x)=x(x-2)和关系式f(x)=kf(x+2)进行转化,然后分情况进行讨论.5.(2014江西赣州期末,★☆☆)已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.(1)求f(x)的解析式;(2)当x∈[-1,1]时,函数y=f(x)的图象恒在函数y=2x+m的图象的上方,求实数m的取值范围.三、二次函数图象的对称轴及应用6.(2013天津模拟,★★☆)设函数g(x)=x2-2(x∈R), f(x)={g(x)+x+4,x<g(x),g(x)-x,x≥g(x),则f(x)的值域是( )A.[-94,0]∪(1,+∞)B.[0,+∞)C.[-94,+∞)D.[-94,0]∪(2,+∞)思路点拨本题考查分段函数及二次函数在给定区间上的值域.利用二次函数的图象,明确单调性是通法.注意分段函数的值域应分开求后取并集.7.(2013河北模拟,★★☆)已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5].(1)当a=-1时,求函数的最大值和最小值;(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数.思路点拨 (1)根据二次函数在区间[-5,5]上的图象分析判断其取得最大值和最小值时自变量x 的取值;(2)只要对称轴与x 轴的交点的横坐标不在区间(-5,5)内即可.一、选择题1.若函数f(x)是R 上的奇函数,则下列关系式恒成立的是( ) A.f(x)-f(-x)≥0 B.f(x)-f(-x)≤0 C.f(x)·f(-x)≤0 D.f(x)·f(-x)≥02.下列函数:①f(x)=x 2-x;②f(x)=x 2-|x|;③f(x)=x 3-xx -1;④f(x)=5;⑤f(x)=|3x+2|-|3x-2|,其中具有奇偶性的为( )A.①③⑤B.②③④C.②④⑤D.③④⑤3.二次函数y=x 2+bx+c 的图象经过(1,0)与(2,5)两点,则这个二次函数的图象( ) A.过点(0,1) B.顶点为(1,-4) C.对称轴为x=-1D.与x 轴无交点4.设b>0,二次函数y=ax 2+bx+a 2-1的图象为下列之一:则a 的值为( ) A.1 B.-1C.-1-√52D.-1+√52二、填空题5.已知f(x)在R 上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=2x 2,则f(7)= .6.已知函数f(x)=ax 2+bx+3a+b 是偶函数,且定义域为[a-1,2a],则a= ,b= . 三、解答题7.已知f(x)是R 上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-x 2+2x+2. (1)求f(x)的解析式;(2)画出f(x)的大致图象,并指出f(x)的单调区间.8.已知f(x)=x2+ax+3在[-1,1]上的最小值为-3,求a的值.一、选择题1.(2015浙江台州高一期末,★☆☆)已知函数f(x)=x2+bx+c,且f(2+x)=f(-x),则下列不等式中成立的是( )A.f(-4)<f(0)<f(4)B.f(0)<f(-4)<f(4)C.f(0)<f(4)<f(-4)D.f(4)<f(0)<f(-4)2.(2014重庆西南大学附中期中,★☆☆)若函数y=(x+1)(x-a)为偶函数,则a等于( )A.-2B.-1C.1D.23.(2014重庆西南大学附中期中,★☆☆)定义在R上的函数f(x)为偶函数,且f(3+x)=f(5-x),当x∈[-4,0]时,f(x)=x+2,则f(7)=( )A.0B.1C.2D.34.(2013重庆杨守坪中学期中,★☆☆)已知f(x)=x2+ax是偶函数,则当x∈[-1,2]时,f(x)的值域是( )A.[1,4]B.[0,4]C.[-4,4]D.[0,2]二、填空题5.(2013重庆江津五中期中,★☆☆)已知函数f(x)=x2+(a-1)x+2的图象关于x=1对称,则f(1)= .三、解答题6.(2015山西大学附中月考,★★☆)已知函数f(x)=3x2-6x-5.(1)设g(x)=f(x)-2x2+mx,其中m∈R,求g(x)在[1,3]上的最小值;(2)若对于任意的a∈[1,2],关于x的不等式f(x)≤x2-(2a+6)x+a+b在区间[1,3]上恒成立,求实数b的取值范围.7.(2014湖北孝感期中,★★☆)设f(x)是定义在R上的函数,且对任意实数x,有f(1-x)=x2-3x+3.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若函数g(x)=f(x)-5x+1在[m,m+1]上的最小值为-2,求实数m的取值范围.8.(2013北京清华附中测试,★★☆)判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)={x2+x(x<0), x2-x(x>0);(2)f(x)=2+2(3)f(x)=x2-|x-a|+2.9.(2013重庆南开中学期中,★★☆)已知函数f(x)=x2-2(a-1)x+3(a∈R).(1)讨论f(x)的奇偶性;(2)求f(x)在区间[-1,3]上的最小值.10.(2013重庆西南大学附中期中,★★★)已知二次函数f(x)=ax2+bx(a、b为常数且a≠0)满足条件:f(-x+5)=f(x-3),方程f(x)=x有两相等实根.求f(x)的解析式.知识清单①F(-x)=F(x) ②F(-x)=-F(x) ③x=-b2a ④(-b2a,4ac-b24a)⑤x=-b2a⑥(-b2a,4ac-b24a)⑦{x|x<x1,或x>x2} ⑧{x|x≠x1}⑨R⑩{x|x1<x<x2} ⌀⌀链接高考1.C 由题意可知 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于选项A, f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x),所以f(x)g(x)是奇函数,故A项错误;对于选项B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),所以|f(x)|·g(x)是偶函数,故B项错误;对于选项C, f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)·|g(x)|是奇函数,故C项正确;对于选项D,|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是偶函数,故D项错误,选C.2.解析(1)f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且对定义域内任意x,有f(-x)=-x-1-x =-(x-1x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.(2)证明:任取x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,则x1-x2<0,x1x2>0,∴1+1x1x2>0,f(x1)-f(x2)=(x1-1x1)-(x2-1x2)=(x1-x2)+(1x2-1x1)=(x1-x2)·(1+1x1x2)<0,∴f(x1)<f(x2),由增函数定义可知,f(x)在(0,+∞)上为增函数.3.答案{-1,2}解析f(x)=-(x-a)2+a2-a+1.(1)当a<0时, f(x)max=f(0)=2,得a=-1.(2)当0≤a≤1时, f(x)max =f(a)=2,解得a=1±√52∉[0,1],故该方程在[0,1]上无解.(3)当a>1时, f(x)max=f(1)=2,得a=2.综上,a=-1或a=2.4.解析(1)由已知得f(-1)=kf(1)=-k, f(0.5)=kf(2.5),∴f(2.5)=1k f(0.5)=1k(0.5-2)×0.5=-34k.(2)∵对任意实数x, f(x)=kf(x+2),∴f(x-2)=kf(x),∴f(x)=1kf(x-2), 当-2≤x<0时,0≤x+2<2, f(x)=kf(x+2)=kx(x+2);当-3≤x<-2时,-1≤x+2<0,f(x)=kf(x+2)=k2(x+2)·(x+4);当2<x≤3时,0<x-2≤1, f(x)=1k ·f(x-2)=1k(x-2)(x-4).故f(x)={k 2(x +2)(x +4), -3≤x <-2,kx (x +2),-2≤x <0,x (x -2),0≤x ≤2,1k(x -2)(x -4),2<x ≤3.∵k<0,∴由函数图象得f(x)在[-3,-1]与[1,3]上为增函数,在[-1,1]上为减函数. (3)由函数f(x)在[-3,3]上的单调性可知,f(x)在x=-3或x=1处取得最小值 f(-3)=-k 2或f(1)=-1,在x=-1或x=3处取得最大值f(-1)=-k 或 f(3)=-1k .故有①k<-1时, f(x)在x=-3处取得最小值f(-3)=-k 2,在x=-1处取得最大值f(-1)=-k.②k=-1时, f(x)在x=-3与x=1处取得最小值f(-3)=f(1)=-1,在x=-1与x=3处取得最大值f(-1)=f(3)=1. ③-1<k<0时, f(x)在x=1处取得最小值f(1)=-1,在x=3处取得最大值f(3)=-1k . 5.解析 (1)设f(x)=ax 2+bx+c(a≠0), 由f(0)=1可知c=1, 由f(x+1)-f(x)=2ax+a+b=2x,可知{2a =2,a +b =0,∴{a =1,b =-1,∴f(x)=x 2-x+1.(2)由题意可得f(x)>2x+m 在x∈[-1,1]上恒成立, 即x 2-x+1>2x+m 在x∈[-1,1]上恒成立, ∴m<(x 2-3x+1)min ,x∈[-1,1],而y=x 2-3x+1=(x -32)2-54在[-1,1]上递减,∴y min =-1, ∴m<-1.6.D ∵x<g(x),即x<x 2-2,(x-2)(x+1)>0,∴x∈(-∞,-1)∪(2,+∞), f(x)={x 2+x +2, x ∈(-∞,-1)⋃(2,+∞),x 2-x -2,x ∈[-1,2],={(x +12)2+74, x ∈(-∞,-1)⋃(2,+∞),(x -12)2-94,x ∈[-1,2].∴f(x)的值域为[-94,0]∪(2,+∞). 7.解析 (1)当a=-1时, f(x)=x 2-2x+2,图象的对称轴为x=1,故f(x)min =f(1)=1, 由f(x)的图象及性质得f(x)max =f(-5)=37, 所以f(x)max =37, f(x)min =1. (2)f(x)的图象的对称轴为x=-a, 当-a≤-5或-a≥5时, f(x)在[-5,5]上是单调函数, 所以a≥5或a≤-5.基础过关一、选择题1.C ∵f(x)是R 上的奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)·f(-x)=f(x)·[-f(x)]=-[f(x)]2≤0.2.C 对于①,f(-1)=2,f(1)=0,∴f(-1)≠f(1),且f(-1)≠-f(1),∴f(x)是非奇非偶函数;对于②,定义域为R,且f(-x)=x 2-|x|=f(x),是偶函数;对于③,定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,∴不具有奇偶性;④中函数是偶函数;对于⑤,定义域为R,且满足f(-x)=|-3x+2|-|-3x-2|=-(|3x+2|-|3x-2|)=-f(x),为奇函数,∴②④⑤具有奇偶性. 3.C 由已知得D 错误.∵y=x 2+bx+c 的图象经过(1,0)与(2,5), ∴{1+b +c =0,4+2b +c =5⇒{b =2,c =-3, ∴y=x 2+2x-3=(x+1)2-4,∴图象的对称轴为x=-1,顶点为(-1,-4).当x=0时,y=-3,即图象过点(0,-3)∴A,B 错误,C 正确. 4.B ∵b>0,∴x=-b2a ≠0,显然(1)(2)不是函数图象,从(3)(4)可知a 2-1=0,即a=±1.当a=1时,抛物线开口向上,x=-b2a <0,∴(4)不是函数图象.当a=-1时,抛物线开口向下,x=-b2a >0,故(3)为函数图象,且a=-1. 二、填空题 5.答案 -2解析 ∵f(x+4)=f(x),∴f(7)=f(3+4)=f(3)=f[4+(-1)]=f(-1). 又∵f(-x)=-f(x), ∴f(-1)=-f(1)=-2×12=-2, ∴f(7)=-2. 6.答案 13;0解析∵f(x)为偶函数,∴对定义域内的任意实数x都有f(-x)=f(x). ∴ax2-bx+3a+b=ax2+bx+3a+b恒成立.∴b=0.又f(x)的定义域为[a-1,2a],∴(a-1)+2a=0,∴a=13.三、解答题7.解析(1)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-(-x)2-2x+2=-x2-2x+2,又∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),且f(0)=0,∴f(x)=x2+2x-2,∴f(x)={x2+2x-2(x<0),0(x=0),-x2+2x+2(x>0).(2)先画出y=f(x)(x>0)的图象,利用奇函数的对称性可得到相应y=f(x)(x<0)的图象,其大致图象如图所示.由图可知,其增区间为[-1,0)和(0,1],减区间为(-∞,-1]和[1,+∞).8.解析当-a2>1,即a<-2时,f(x)min=f(1)=4+a=-3,∴a=-7.当-1≤-a2≤1,即-2≤a≤2时,f(x)min =f(-a2)=12-a24=-3,∴a=±2√6(舍去).当-a 2<-1,即a>2时,f(x)min =f(-1)=4-a=-3,∴a=7.综上可知,a=±7.三年模拟一、选择题1.C 由f(2+x)=f(-x)得f(x)的图象的对称轴为x=1,∴f(x)在(-∞,1]上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.∵f(4)=f(-2),∴f(0)<f(4)=f(-2)<f(-4).2.C 令f(x)=(x+1)(x-a),由f(x)为偶函数知f(x)=f(-x),所以x 2+x-ax-a=x 2-x+ax-a,则a=1.3.B 由f(3+x)=f(5-x)得f(x)的图象关于直线x=4对称,所以f(7)=f(1).又因为f(x)为偶函数,所以f(7)=f(1)=f(-1)=-1+2=1.4.B 由f(x)=f(-x)得x 2+ax=(-x)2+a(-x),所以a=0,则f(x)=x 2,当x∈[-1,2]时,f(x)的值域为[0,4].二、填空题5.答案 1解析 由题意可知-a -12=1,则a=-1,所以f(x)=x 2-2x+2,则f(1)=1. 三、解答题6.解析 (1)g(x)=x 2+(m-6)x-5,①当-m -62<1,即m>4时,g(x)min =g(1)=m-10; ②当-m -62>3,即m<0时,g(x)min =g(3)=3m-14;③当1≤-m -62≤3,即0≤m≤4时,g(x)min =g (-m -62)=-m 2+12m -564.综上可得,g(x)min ={3m -14,m <0,-m 2+12m -564,0≤m ≤4,m -10,m >4.(2)由题意可知,只需b≥2x 2+2ax-a-5在x∈[1,3],a∈[1,2]上恒成立.设h(x)=2x 2+2ax-a-5,x∈[1,3],则只需b≥h(x)max ,x∈[1,3].∵1≤a≤2,∴-1≤-a 2<12,∴h(x)max =h(3)=5a+13,∴只需b≥5a+13在a∈[1,2]上恒成立,设φ(a)=5a+13,a∈[1,2],只需b≥φ(a)max ,∵φ(a)max =23,∴b≥23.7.解析 (1)令1-x=t,则x=1-t,由题意知f(t)=(1-t)2-3(1-t)+3=t 2+t+1. 所以f(x)=x 2+x+1.(2)g(x)=f(x)-5x+1=x 2-4x+2,g(x)的图象的对称轴为直线x=2.当m≥2时,g(x)在[m,m+1]上单调递增,所以g(x)min =g(m)=m 2-4m+2,则m 2-4m+2=-2,解得m=2,符合m≥2.当m<2≤m+1,即1≤m<2时,g(x)min =g(2)=22-4×2+2=-2.当m+1<2,即m<1时,g(x)在[m,m+1]上单调递减,所以g(x)min =g(m+1)=(m+1)2-4(m+1)+2,则(m+1)2-4(m+1)+2=-2,解得m=1,不符合m<1.综上所述,m 的取值范围是[1,2].8.解析 (1)显然函数定义域关于原点对称.当x<0时,-x>0,则f(-x)=(-x)2-(-x)=x 2+x=f(x);当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)2+(-x)=x 2-x=f(x).∴对任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞)都有f(-x)=f(x),故f(x)为偶函数.(2)由{3-x 2≥0,x 2-3≥0,得x=-√3或x=√3, ∴函数f(x)的定义域为{-√3,√3}.又∵对任意的x∈{-√3,√3},f(x)=0,∴f(-x)=f(x)=-f(x).∴f(x)既是奇函数又是偶函数.(3)函数f(x)的定义域是R.当a=0时,f(x)=f(-x),∴f(x)是偶函数;当a≠0时,f(a)=a 2+2,f(-a)=a 2-2|a|+2,f(a)≠f(-a),且f(a)+f(-a)=2(a 2-|a|+2)=2(|a |-12)2+72≠0,∴f(x)是非奇非偶函数. 9.解析 (1)当a=1时,f(-x)=f(x),f(x)为偶函数.当a≠1时,f(-x)≠f(x),且f(-x)≠-f(x),f(x)为非奇非偶函数.(2)f(x)图象的对称轴为直线x=a-1.当a-1≤-1,即a≤0时,f(x)在[-1,3]上单调递增,f(x)min=f(-1)=2a+2.当-1<a-1≤3,即0<a≤4时,f(x)min=f(a-1)=-a2+2a+2.当a-1>3,即a>4时,f(x)在[-1,3]上单调递减,f(x)min=f(3)=18-6a.综上,f(x)在区间[-1,3]上的最小值f(x)min ={2a+2,a≤0,-a2+2a+2,0<a≤4, 18-6a,a>4.10.解析∵f(-x+5)=f(x-3),∴f(x)的图象的对称轴为x=5-32=1, 又∵f(x)=x有两相等实根,∴ax2+(b-1)x=0有两相等实根.∴{-b2a=1,Δ=(b-1)2=0,∴{a=-12,b=1,∴f(x)=-12x2+x.。

专题21 二次函数中对称轴与对称问题知识对接考点一、求二次函数图象的顶点坐标、对称轴的3种方法1. 公式法:二次函数c bx ax y ++=2(a≠0)的图象的顶点坐标是)44,2(2a b ac a b -- 2.配方法:将抛物线的解析式配方,化为y=a(x -h)2+k 的形式,得到顶点坐标为(h,k),对称轴为直线x=h.3.运用抛物线的对称性:抛物线是轴对称图形,对称轴与抛物线的交点是顶点.若已知抛物线上两点(x 1,m),(x 2,m),则对称轴为直线x=221x x +,再将其代入抛物线的解析式,即可得顶点坐标.一、单选题1．抛物线y ＝2（x +1）2﹣3的对称轴是（ ）A ．直线x ＝1B ．直线x ＝﹣1C ．直线x ＝3D ．直线x ＝﹣3【答案】B【分析】根据抛物线函数关系式的顶点式可得其顶点坐标为，从而可得抛物线的对称轴．【详解】解：由题意知，抛物线顶点坐标为(－1，－3)，从而其对称轴为直线x =－1；故选：B ．【点睛】本题考查了抛物线的性质：确定抛物线的对称轴，根据顶点坐标即可确定抛物线的对称轴，若是一般式，则可由2b x a =-确定抛物线的对称轴． 2．已知抛物线2y ax bx =+经过点(3,3)A --，且该抛物线的对称轴经过点A ，则该抛物线的解析式为（ ）A ．2123y x x =-- B ．2123y x x =-+ C ．2123y x x D ．2123y x x =+ 【答案】D【分析】 根据抛物线图象性质可得A 点是抛物线顶点坐标，再根据顶点坐标公式进行求解即可.【详解】∵抛物线2y ax bx =+经过点(3,3)A --，且该抛物线的对称轴经过点A ，∵函数的顶点坐标是(3,3)--， ∵232034b a b a⎧-=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩， 解得132a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 经检验均符合∵该抛物线的解析式为2123y x x =+. 故选D.【点睛】本题主要考查抛物线的性质和顶点坐标公式，解决本题的关键是要熟练掌握抛物线的性质和顶点坐标公式.3．抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴是直线1x =-，其图象如图所示．下列结论：∵0abc <；∵()()2242a c b +<；∵若()11,x y 和()22,x y 是抛物线上的两点，则当1211x x +>+时，12y y <；∵抛物线的顶点坐标为()1,m -，则关于x 的方程21ax bx c m ++=-无实数根．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】 ∵由图象开口方向，对称轴位置，与y 轴交点位置判断a ，b ，c 符号．∵把2x =±分别代入函数解析式，结合图象可得22(4)(2)a c b +-的结果符号为负．∵由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点y 值越大．∵由抛物线顶点纵坐标为m 可得2ax bx c m ++，从而进行判断21ax bx c m ++=-无实数根．【详解】解：∵抛物线图象开口向上，0a ∴>，对称轴在直线y 轴左侧，a ∴，b 同号，0b >，抛物线与y 轴交点在x 轴下方，0c ∴<，0abc ∴<，故∵正确．∵22(4)(2)(42)(42)a c b a c b a c b +-=+++-，当2x =时242ax bx c a c b ++=++，由图象可得420a c b ++>，当2x =-时，242ax bx c a c b ++=+-，由图象可得420a c b +-<，22(4)(2)0a c b ∴+-<，即22(4)(2)a c b +<，故∵正确．∵11|1||(1)|x x +=--，22|1||(1)|x x +=--，12|1||1|x x +>+，∴点1(x ，1)y 到对称轴的距离大于点2(x ，2)y 到对称轴的距离，12|y y ∴>，故∵错误． ∵抛物线的顶点坐标为(1,)m -，y m ∴，2ax bx c m ∴++，21ax bx c m ∴++=-无实数根．故∵正确，综上所述，∵∵∵正确，故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数2(0)y ax bx c a =++≠中a ，b ，c 与函数图象的关系．4．如图，以直线1x =为对称轴的二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴负半轴交于A 点，则一元二次方程20ax bx c ++=的正数解的范围是（ ）．A ．23x <<B ．34x <<C ．45x <<D ．56x <<【答案】C【分析】 先根据图象得出对称轴左侧图象与x 轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴1x =，可以算出右侧交点横坐标的取值范围．【详解】∵二次函数2y ax bx c =++的对称轴为1x =，而对称轴左侧图象与x 轴交点横坐标的取值范围是32x -<<-，∵右侧交点横坐标的取值范围是45x <<．故选：C ．【点睛】本题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答本题首先需要观察得出对称轴左侧图象与x 轴交点横坐标的取值范围，再根据对称性算出右侧交点横坐标的取值范围． 5．已知关于x 的二次函数2y x bx c =++的图象关于直线2x =对称，则下列关系正确的是（ ）A ．4b =B ．240b c -≤C ．0x =的函数值一定大于3x =的函数值D ．若0c <，则当2x =时，0y >【答案】C【分析】根据函数的对称性，函数图象与x 轴交点的个数，抛物线的性质进行依次判断即可.【详解】∵二次函数2y x bx c =++的图象关于直线2x =对称， ∵22b -=, ∵b=-4，故A 错误；∵不能判断出图象与x 轴交点的个数，故不能确定240b c -≤，故B 错误；∵抛物线的对称轴为直线x=2，开口方向向上，故离对称轴近的点低，离对称轴远的点高，故0x =的函数值一定大于3x =的函数值，即C 正确；若0c <，则当2x =时，y<0，故D 错误；故选：C.【点睛】此题考查抛物线的性质，抛物线的对称性，抛物线与x 轴交点个数的计算方法，正确理解解析式中各系数与抛物线的性质的关系是解题的关键.6．点P (m ，n )在以y 轴为对称轴的二次函数y ＝x 2+ax +4的图象上．则m ﹣n 的最大值等于（ ）A ．154B ．4C ．﹣154D ．﹣174【答案】C【分析】根据题意，可以得到a 的值以及m 和n 的关系，然后将m 、n 作差，利用二次函数的性质，即可求出m ﹣n 的最大值．【详解】解：∵点P （m ，n ）在以y 轴为对称轴的二次函数y ＝x 2+ax +4的图象上，∵a ＝0，∵n ＝m 2+4，∵m ﹣n ＝m ﹣（m 2+4）＝﹣m 2+m ﹣4＝﹣（m ﹣12）2﹣154， ∵当m ＝12时，m ﹣n 取得最大值，此时m ﹣n ＝﹣154， 故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．7．二次函数y ＝ax 2﹣4ax +2（a ≠0）的图象与y 轴交于点A ，且过点B （3，6）若点B 关于二次函数对称轴的对称点为点C ，那么tan∵CBA 的值是（ ）A ．23B ．43C ．2D ．34【答案】B【分析】求出A 的坐标和抛物线的对称轴，根据对称性得出C 点坐标，求出BC∵x 轴，则AD=6-2=4，BD=3，tan∵CBA=43． 【详解】。

第六讲 二次函数专项一 二次函数的图象和性质知识清单一、二次函数的概念一般地，形如 （a ，b ，c 为常数，a≠0）的函数叫做二次函数．其中ｘ是自变量，a ，b ，c 分别是函数解析式的二次项系数、 和常数项． 二、二次函数的图象和性质1. 二次函数的图象是一条 ．其一般形式为y =ax 2+bx +c ，由配方法可化成y =a （x -h ）2+k 的形式，其中h=2ba-，k=244ac b a -．2. 二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象和性质3. 二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与系数a ，b ，c 符号的关系ab ＜0（a ，b 异号）对称轴在y 轴右侧 c决定抛物线与y 轴的交点c ＞0 交点在y 轴正半轴 c =0 交点在原点 c ＜0交点在y 轴负半轴考点例析例1 抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（-1，0），（3，0），且与y 轴交于点（0，-5），则当x=2时，y 的值为（ ）A ．-5B ．-3C ．-1D ．5分析：画出抛物线的大致图象，可知抛物线的对称轴为x=1，根据抛物线的对称性可求出y 的值． 例2 一次函数y=ax+b 的图象如图1所示，则二次函数y=ax 2+bx 的图象可能是（ ）A B C D分析：根据一次函数y=ax+b 的图象经过的象限得出a ＜0，b ＞0，可知二次函数y=ax 2+bx 的图象开口向下，对称轴在y 轴右侧．例3 二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图2所示，下列说法中，错误的是（ ） A ．对称轴是x=12B ．当-1＜x ＜2时，y ＜0C ．a+c=bD ．a+b ＞-c图2分析：由图可知，对称轴是x=1+22-=12，选项A 正确；当-1＜x ＜2时，函数图象在x 轴的下方，所以当-1＜x ＜2时，y ＜0，选项B 正确；当x=-1时，y=a-b+c=0，所以a+c=b ，选项C 正确；当x=1时，y=a+b+c ＜0，所以a+b ＜-c ，选项D 错误．例4二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，对称轴为x ＝12，且经过点（2，0）．有下列说法：①abc ＜0；②﹣2b +c ＝0；③4a +2b +c ＜0；④若112y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，252y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，是抛物线上的两点，则y 1＜y 2；图1⑤14b +c ＞m （am +b ）+c （其中m ≠12）．其中正确的有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个图3分析：由抛物线的开口方向、对称轴的位置、与y 轴的交点可得a ，b ，c 的符号，从而可得abc 的正负；由对称轴x=2b a -=12，得b=-a ，由图象易知当x=-1时，y=a-b+c=﹣2b+c ＝0；根据抛物线经过点（2，0），可得4a+2b+c=0；根据“开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越大”可判断y 1与y 2的大小；由图象知当x ＝12时，y 有最大值为14a+12b+c=14b +c ，由此可判断14b +c 与m （am +b ）+c 的大小关系．归纳：（1）几种常见代数式的判断①2a ±b 2b a-与±1比较②a ±b +c 令x ＝±1，看纵坐标 ③4a ±2b +c 令x ＝±2，看纵坐标 ④9a ±3b +c令x ＝±3，看纵坐标⑤3a +c ，3b -2c 等关于a ，c 或b ，c 的代数式 一般由②③④式与①式结合判断（2①当已知抛物线的解析式及相应点的横坐标时，可先求出相应点的纵坐标，然后比较大小．ꎻ②利用抛物线上的对称点的纵坐标相等，把各点转化到对称轴的同侧，再利用二次函数的增减性比较大小． ③利用“开口向上，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越小；开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越大”也可以比较大小． 跟踪训练1.已知二次函数y=（a-1）x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＞0 B ．a ＞1 C ．a≠1 D ．a ＜12.二次函数y=x 2+4x+1的图象的对称轴是（ ）A ．x=2B ．x=4C ．x=-2D ．x=-4 3.关于二次函数y=2（x-4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ） A ．有最大值4B ．有最小值4C ．有最大值6D ．有最小值64.一次函数y=ax+b （a≠0）与二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A B C D5.如图3，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C．有下列结论：①ac＞0；②当x＞0时，y随x的增大而增大；③3a+c=0；④a+b≥am2+bm．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4第5题图6.定义：[a，b，c]为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[m，1-m，2-m]的二次函数的一些结论：①当m=1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m=2时，函数图象过原点；③当m＞0时，函数有最小值；④如果m＜0，当x＞12时，y随x的增大而减小．其中所有正确结论的序号是．专项二确定二次函数的解析式知识清单用待定系数法求二次函数的解析式时，若已知条件给出了图象上任意三点（或任意三组对应值），可设解析式为；若给出顶点坐标为（h，k），则可设解析式为；若给出抛物线与x轴的两个交点为（x1，0），（x2，0），则可设解析式为.考点例析例在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的解析式为（）A．y＝﹣x2﹣4x+5 B．y＝x2+4x+5 C．y＝﹣x2+4x﹣5 D．y＝﹣x2﹣4x﹣5分析：由抛物线的解析式求得抛物线的顶点坐标与点C的坐标，然后结合中心对称的性质，求得新抛物线的顶点坐标，用待定系数法求出新抛物线的解析式．跟踪训练1.若抛物线y=x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为4，对称轴为直线x=2，P为这条抛物线的顶点，则点P 关于x轴的对称点的坐标是（）A．（2，4）B．（-2，4）C．（-2，-4）D．（2，-4）2.在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了如图所示直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3），同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数解析式各不相同，其中a的值最大为（）A．52B．32C．56D．12第2题图专项三二次函数图象的平移知识清单二次函数图象的平移规律平移前的解析式平移方向及距离平移后的解析式口诀顶点坐标y=a（x-h）2+k （a≠0）向左平移m个单位长度y=a（x-h+m）2+k左加右减纵坐标不变向平移m个单位长度y=a（x-h-m）2+k向上平移m个单位长度y=a（x-h）2+k+m上加下减横坐标不变向平移m个单位长度y=a（x-h）2+k-m平移前后ａ值不变例将抛物线y=-x2-2x+3向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线必定经过（）A．（-2，2）B．（-1，1）C．（0，6）D．（1，-3）分析：先将y=-x2-2x+3转化成顶点式y=a（x-h）2+k，再利用二次函数的平移规律：左加右减，上加下减，得出平移后抛物线的解析式，最后把各选项的点代入判断即可．跟踪训练1.将抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移2个单位长度，以下说法错误的是（）A．开口方向不变B．对称轴不变C．y随x的变化情况不变D．与y轴的交点不变2.抛物线的函数解析式为y=3（x-2）2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数解析式为（）A．y=3（x+1）2+3 B．y=3（x-5）2+3 C．y=3（x-5）2-1 D．y=3（x+1）2-13.已知抛物线y=a（x-h）2+k与x轴有两个交点A（-1，0），B（3，0），抛物线y=a（x-h-m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（）A．5 B．-1 C．5或1 D．-5或-14.已知抛物线y=x2+kx-k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（）A．-5或2 B．-5 C．2 D．-25.把抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为．6.如图，二次函数y=（x-1）（x-a）（a为常数）的图象的对称轴为x=2．（1）求a的值．（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的解析式．第6题图专项四二次函数与一元二次方程的关系知识清单二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的关系：Δ=b2-4ac一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系Δ>0有两个不等的实数根有两个不同的公共点Δ=0有两个相等的实数根只有唯一的公共点Δ<0无实数根没有公共点考点例析例已知关于x的一元二次方程x2+x-m=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）二次函数y=x2+x-m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x-m=0的解．分析：（1）由方程x2+x-m=0有两个不相等的实数根，可得Δ>0，列不等式即可求出m的取值范围；（2）根据二次函数图象的对称性，可得二次函数y=x2+x-m的图象与x轴的另一个交点，从而得到一元二次方程x2+x-m=0的解．解：跟踪训练1.已知直线y=kx+2过第一、二、三象限，则直线y=kx+2与抛物线y=x2-2x+3的交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．1或22.已知二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值见表格，有下列结论：①c=2；②b2-4ac＞0；③方程ax2+bx=0的两根为x1=-2，x2=0；④7a+c＜0．其中正确的有（）3.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y=x2+2x+k与x轴只有一个交点，则k=．4.对于任意实数a，抛物线y=x2+2ax+a+b与x轴都有公共点，则b的取值范围是．5.武汉）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c=0．下列四个结论：①若抛物线经过点（-3，0），则b=2a；②若b=c，则方程cx2+bx+a=0一定有根x=-2；③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若0＜a＜c，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2．其中正确的是．（填序号）专项五二次函数的应用知识清单构建二次函数模型解决实际问题的一般步骤：（1）审题，分析问题中的变量和常量；（2）建立二次函数模型表示它们之间的关系；（3）充分结合已知条件，利用函数解析式或图象等得出相应问题的答案，或把二次函数解析式用顶点坐标公式或用配方法化为顶点式，确定出二次函数的最大（小）值；（4）结合自变量的取值范围和问题的实际意义，检验结果的合理性.考点例析例1某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件．设该商品每件的销售价为x 元，每个月的销售量为y件．（1）求y与x的函数解析式；（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？分析：（1）根据“该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件”列出y与x的函数解析式；（2）设每个月的销售利润为w元，根据等量关系“利润=（售价-进价）×销量”列出函数解析式，配方后根据二次函数的性质求解．解：例2某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数解析式为y=-16（x-5）2+6．（1）求雕塑高OA；（2）求落水点C，D之间的距离；（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE=10 m，EF=1.8 m，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．分析：（1）根据给出的抛物线的函数解析式，令x=0，求出点A的纵坐标，可得出雕塑高OA；（2）根据给出的抛物线的函数解析式，令y=0，求出点D的横坐标，可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出OC的长，结合CD=OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离；（3）将x=10代入函数解析式y=-16（x-5）2+6求出y的值，将求出的y值与1.8比较后即可得出顶部F是否会碰到水柱．解：跟踪训练1.某快餐店销售A，B两种快餐，每份利润分别为12元，8元，每天卖出份数分别为40份，80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．2.某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元/吨，加工过程中原料的质量有20%的损耗，加工费m（万元）与原料的质量x（吨）之间的关系为m=50+0.2x，销售价y（万元/吨）与原料的质量x（吨）之间的关系如图所示．（1）求y与x之间的函数解析式；（2）设销售收入为p（万元），求p与x之间的函数解析式；（3）原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润=销售收入-总支出）第2题图3. 如图①是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24 m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF 为1.5 m ，以桥拱顶点O 为原点，桥面为x 轴建立平面直角坐标系． （1）求桥拱顶部O 离水面的距离．（2）如图②，桥面上方有3根高度均为4 m 的支柱CG ，OH ，DI ，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1 m ． ①求出其中一条钢缆抛物线的函数解析式；②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．① ②第3题图专项六 二次函数中的分类讨论思想分类讨论思想就是按照一定的标准，把研究对象分成为数不多的几个部分或几种情况，然后逐个加以解决，最后予以总结作出结论的思想方法．我们在运用分类讨论思想时，必须遵循下列两个原则：一是要有分类意识，善于从问题的情境中抓住分类对象；二是要找出科学合理的分类标准，应当满足互斥、无漏、最简原则. 引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面:①由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；②由数学变形所需要的限制条件引起的讨论；③由图形的不确定性引起的讨论；④由于题目含有字母引起的讨论等等． 考点例析例 已知关于x 的二次函数y 1=x 2+bx+c （实数b ，c 为常数）．（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x=1，求此二次函数的解析式； （2）若b 2-c=0，当b-3≤x≤b 时，二次函数的最小值为21，求b 的值；（3）记关于x 的二次函数y 2=2x 2+x+m ，若在（1）的条件下，当0≤x≤1时，总有y 2≥y 1，求实数m 的最小值．分析：（1）将（0，4）代入二次函数y 1=x 2+bx+c ，可求得c ，由对称轴为x=-2b=1，可求出b ；（2）二次函数y 1=x 2+bx+c 图象的对称轴为x=-2b ，需要分三种情况：b ＜-2b ，b-3＞-2b 和b-3≤-2b≤b 进行分类讨论；（3）设函数y 3=y 2-y 1，根据二次函数图象的增减性进行求解． 解：跟踪训练科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度y1（米）与小钢球运动时间x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度y2（米）与它的运动时间x（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．（1）直接写出y1与x之间的函数解析式；（2）求出y2与x之间的函数解析式；（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？参考答案专项一二次函数的图象和性质例1 A 例2 D 例3 D 例4 B1．B 2．C 3．D 4．C 5．B6．①②③专项二确定二次函数的解析式例 A1．A 2．A专项三二次函数图象的平移例 B1．D 2．C 3．C 4．B 5．y=2x2+4x6. 解：（1）因为y=（x-1）（x-a）=x2-（a+1）x+a，图象的对称轴为x=2，所以+12a=2，解得a=3．（2）由（1），知a=3，则该二次函数的解析式为y=x²-4x+3．所以二次函数的图象向下平移3个单位后经过原点．所以平移后图象所对应的二次函数的解析式是y=x²-4x．专项四二次函数与一元二次方程的关系例（1）由题意，知Δ＞0，即1+4m＞0，解得m＞-14．（2）二次函数y=x2+x-m图象的对称轴为x=-12，所以该函数图象与x轴的两个交点关于直线x=-12对称．由图可知抛物线与x轴的一个交点为（1，0），所以另一个交点为（-2，0）．所以一元二次方程x2+x-m=0的解为x1=1，x2=-2．1．C 2．B 3．1 4．①②④专项五二次函数的应用例1 （1）y=300-10（x-60）=-10x+900．（2）设每个月的销售利润为w元．由（1），知w=（x-50）y=（x-50）（-10x+900）=-10x2+1400x-45 000=-10（x-70）2+4000．因为-10＜0，所以当x=70时，w有最大值为4000．所以该商品每件的销售价为70元时，每个月的销售利润最大，最大利润是4000元．x2=11．所以OD=11 m．．因为从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，所以OC=OD=11 m．所以CD=OC+OD=22 m1．12642．解：（1）设y与x之间的函数解析式为y=kx+b．w（万元）．（3）设销售利润为所以原料的质量x为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是65.2万元．3. 解：（1）根据题意，知点F的坐标为（6，-1.5），可设拱桥侧面所在抛物线的函数解析式为y1=a1x2．=a2（x-6）2+1．（2）①根据题意，知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），可设其解析式为y2②设彩带的长度为L m．所以当x=4时，L 最小值=2．答：彩带长度的最小值是2 m ．专项六 二次函数中的分类讨论思想例 （1）因为二次函数的图象经过点（0，4），所以c=4．（2）当b 2-c=0时，b 2=c ，此时函数的解析式为y 1=x 2+bx+b 2． 根据题意，分三种情况：所以（b-3）2+b （b-3）+b 2=21，解得b 3=4，b 4=-1（舍去）．（3）由（1），知二次函数的解析式为y 1=x 2-2x+4．设函数y 3=y 2-y 1=x 2+3x+m-4． 所以当x=0时，y 3即y 2-y 1有最小值m-4，所以m-4≥0，即m≥4．所以m 的最小值为4． 跟踪训练解：（1）y 1=5x+30．（2）当x=6时，y 1=5×6+30=60．因为y 2的图象是过原点的抛物线，所以可设y 2=ax 2+bx ． 因为点（1，35），（6，60）在抛物线y 2=ax 2+bx 上，所以=35366=60.a b a b ++⎧⎨⎩，解得=5=40.a b ⎩-⎧⎨，所以y 2=-5x 2+40x ．所以y 2与x 的函数解析式为y 2=-5x 2+40x ． （3）设小钢球和无人机的高度差为y 米． 令y 2=0，则-5x 2+40x=0，解得x=0或x=8．因为6＜x≤8，所以当x=8时，y的最大值为70．70米．。

二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：的性质：2y ax =a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 的性质：2y ax c =+上加下减。

3. 的性质：()2y a x h =-左加右减。

4. 的性质：()2y a x h k =-+的符号a 开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上()00，轴y 时，随的增大而增大；时，0x >y x 0x <随的增大而减小；时，有最小值y x 0x =y ．00a <向下()00，轴y 时，随的增大而减小；时，0x >y x 0x <随的增大而增大；时，有最大值y x 0x =y ．0的符号a 开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上()0c ，轴y 时，随的增大而增大；时，0x >y x 0x <随的增大而减小；时，有最小值y x 0x =y ．c 0a <向下()0c ，轴y 时，随的增大而减小；时，0x >y x 0x <随的增大而增大；时，有最大值y x 0x =y ．c 的符号a 开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上()0h ，X=h时，随的增大而增大；时，x h >y x x h <随的增大而减小；时，有最小值y x x h =y ．00a <向下()0h ，X=h时，随的增大而减小；时，x h >y x x h <随的增大而增大；时，有最大值y x x h =y ．0的符号a 开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上()h k ，X=h时，随的增大而增大；时，x h >y x x h <随的增大而减小；时，有最小值y x x h =y二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；()2y a x h k =-+()h k ，⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2y ax =()h k，【【【(h <0)【【【【【(h >0)【【【(h 【【|k|【【【2. 平移规律在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．h k 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成c bx ax y ++=2y m c bx ax y ++=2（或）m c bx ax y +++=2m c bx ax y -++=2⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成c bx ax y ++=2m c bx ax y ++=2（或）c m x b m x a y ++++=)()(2c m x b m x a y +-+-=)()(2三、二次函数与的比较()2y a x h k =-+2y ax bx c =++从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过()2y a x h k =-+2y ax bx c =++配方可以得到前者，即，其中．22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2424b ac b h k a a -=-=，．k 0a <向下()h k ，X=h时，随的增大而减小；时，x h >y x x h <随的增大而增大；时，有最大值y x x h =y ．k四、二次函数图象的画法2y ax bx c =++五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确2y ax bx c =++2()y a x h k =-+定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点y ()0c ，()0c ，、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴()2h c ，x ()10x ，()20x ，x 对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.x y 五、二次函数的性质2y ax bx c =++ 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．0a >2bx a =-2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当2b x a <-y x 2bx a>-y x 时，有最小值．2bx a=-y 244ac b a - 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当0a <2bx a =-2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，2b x a <-y x 2b x a >-y x 2bx a=-有最大值．y 244ac b a-六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：（，，为常数，）；2y ax bx c =++a b c 0a ≠2. 顶点式：（，，为常数，）；2()y a x h k =-+a h k 0a ≠3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.12()()y a x x x x =--0a ≠1x 2x x 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以x 240b ac -≥用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数中，作为二次项系数，显然．2y ax bx c =++a 0a ≠ ⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越0a >a a 大；⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越0a <a a 大．总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决a a a 定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．a b ⑴ 在的前提下，0a >当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；0b >02ba-<y 当时，，即抛物线的对称轴就是轴；0b =02ba-=y 当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．0b <02ba->y ⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即0a <当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；0b >02ba->y 当时，，即抛物线的对称轴就是轴；0b =02ba-=y 当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．0b <02ba-<y 总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．a b 的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，ab abx 2-=y 0>ab y 0<ab 概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项c⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；0c >y x y⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；0c =y y 0 ⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为0c <y x y 负．总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．c y 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．a b c ，，二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；x 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于轴对称x关于轴对称后，得到的解析式是；2y ax bx c =++x 2y ax bx c =---关于轴对称后，得到的解析式是；()2y a x h k =-+x ()2y a x h k =--- 2. 关于轴对称y关于轴对称后，得到的解析式是；2y ax bx c =++y 2y ax bx c =-+关于轴对称后，得到的解析式是；()2y a x h k =-+y ()2y a x h k =++ 3. 关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是；2y ax bx c =++2y ax bx c =-+-关于原点对称后，得到的解析式是；()2y a x h k =-+()2y a x h k =-+- 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）关于顶点对称后，得到的解析式是；2y ax bx c =++222b y ax bx c a=--+-关于顶点对称后，得到的解析式是．()2y a x h k =-+()2y a x h k =--+ 5. 关于点对称()m n ，关于点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+()m n ，()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择a 合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x 2十一、【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数的图象64212++=x x y 【解】)128(21642122++=++=x x x x y 2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x 以为中间值，取的一些值，列表如下：4-=x x x …-7-6-5-4-3-2-1…y …25023--223-025…【例2】求作函数的图象。

❖ (1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值； ❖ ★课后思考题：(2)用a表示函数f(x)在区间[－5,5]上的最值．
思路分析：对于(1)，可将a＝－1 代入 f(x)解析式，然后配方，写出最值；对于(2)，由 于a 的值不确定，f(x)图象的对称轴不确定，那么 f(x)在[－5,5]上的单调性就不确定，因此要 对a 的值分类讨论才能求出相应的最值．
A．y＝|x| B．y＝3－x
C．y＝1 x
D．y＝－x2＋4
答案：C
解析：A 项和 D 项中的函数为偶函数，B 项中的函数是非奇非偶函数，选 C．
2．对于定义在 R 上的函数 f(x)，给出下列判断：
(1)若 f(－2)＝f(2)，则函数 f(x)是偶函数；
(2)若 f(－2)≠f(2)，则函数 f(x)不是偶函数；
学习目标
重点难点
1偶 2的 3图 4数． ． ． ．函奇象在能会会能数偶的闭说判分求的性对区出断析一定；称间奇具二个义性上函体次二；；的数函函次最和数数函值.重偶断运的难间点函函用问点最：数数奇题：值知的的偶．二问道定 奇性 次题奇义偶解函. 函，性决数数会，简的、判能单区
在《从图象看函数的性质》那一节课里，我们学习过函数的奇函数 和偶函数，请同学们回忆一下， 图象怎样时，函数是奇函数？图象怎样时，函数是偶函数？
答案：(1)A (2)0 解析：(1)因为当x≤0时，f(x)＝2x2－x，
所以f(－1)＝2×(－1)2－(－1)＝3. 又f(x)是奇函数，所以f(1)＝－f(－1)＝－3，选A． (2)(方法一)因为f(x)是奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)对任意x∈R都成立， 即－x3－3x＋a＝－x3－3x－a对任意x∈R都成立． 所以a＝0.